Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 1

Podstawy działań na wektorach - dodawanie

Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe).

1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia:

dane są dwa wektory i o znanych kierunkach, zwrotach i wartościach (nie są znane współrzędne obu wektorów). Tym samym jest określony kąt jaki tworzą ich kierunki - niech mniejszy z kątów pomiędzy ni-

mi wynosi ( ).

kierunki obu wektorów nie są do siebie równoległe ( ).

Metoda równoległoboku

Na wektorach i (łącząc ich początki) należy zbudować równoległobok.

Wektor będący sumą wektorów i leży na przekątnej równoległoboku wychodzącego z wierzchołka, gdzie

wektory i zostały połączone. Koniec (grot) utworzonego wektora znajduje się w nowoutworzonym wierzchoł-ku równoległoboku.

Jeżeli jest dana skala rysunku „ ”, to wartość wektora można obliczyć, mnożąc zmierzoną linijką długość tego wektora przez daną skalę rysunku.

Metoda wieloboku sznurowego

Do końca dowolnego z rozpatrywanych wektorów (dodawanie wektorów jest przemienne!), na przykład

wektora doczepiamy początek wektora (zachowując kierunki, wartości i zwroty obu wektorów wyjściowych!).

Aby otrzymać wektor ( ) należy połączyć początek pierwszego z wektorów ( ) z końcem wekto-

ra . Zwrot (grot) tak otrzymanego wektor znajduje się przy grocie ostatniego z "doklejonych" wektorów, w

tym przypadku wektora .

Szukany jest wektor:

Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 2

Uwaga: a. Metodą równoległoboku nie można dodawać wektorów równoległych do siebie.

b. jeżeli dodajemy więcej niż dwa wektory, to do końca pierwszego (dowolnie wybranego) wektora docze-

piamy początek kolejnego z wektorów, do końca tego wektora doczepiamy początek trzeciego itd.. Zaw-sze należy zachować kierunki, wartości (długości) i zwroty przenoszonych wektorów! Po zbudowaniu wie-loboku sznurowego („łamanej”), tzn. połączeniu w wyżej opisany sposób wszystkich dodawanych wekto-rów, należy połączyć „strzałką” (wektorem) początek rysunku (początek pierwszego z rysowanych wekto-rów) z końcem ostatniego z dodawanych wektorów. Zwrot (grot) tak otrzymanego wektora znajduje się przy grocie ostatniego z rysowanych wektorów. Metoda ta jest szczególnie użyteczna, jeżeli dodajemy (lub odejmujemy!) więcej niż dwa wektory o dowolnych kierunkach i zwrotach.

Przykład dla trzech wektorów .

W każdym z trzech pokazanych na rysunku przypadkach, kolejność dodawania wektorów była inna, ale każdy z otrzymanych wektorów, będący sumą wektorów wyjściowych ma (na każdym z rysunków) taką samą długość, kierunek i zwrot. Wynika stąd, że dodawanie wektorów jest przemienne!

c. Metodę równoległoboku można wykorzystać przy znajdowaniu składowych wektora o zadanej wartości,

kierunku i zwrocie, jeżeli znane są kierunki tych składowych. Niech dany będzie wektor oraz kierunki i , na których szukane są składowe tego wektora (rys. 1), tzn. takie wektory i , że zachodzi: . 1 1

2 2 rys. 1 rys. 2 Jeżeli wykreślony zostanie równoległobok, którego przekątną jest wektor (kierunki boków wyznaczają półproste i ), to wyznaczone boki równoległoboku (wychodzące z początku wektora ) zawierają szu-kane wektory składowe i . Mierząc długości obu wektorów i znając skalę rysunku, można wyznaczyć wartość obu składowych. Na rysunku nr 2 widać wyraźnie, że wartość składowej jest większa niż war-tość wektora wyjściowego ! (nie jest to regułą!).

Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 3

2. Analityczne (rachunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenie:

dane są dwa wektory i o dowolnych znanych kierunkach, zwrotach i wartościach (nie są znane współ-

rzędne obu wektorów). Tym samym jest określony kąt jaki tworzą ich kierunki - niech mniejszy z kątów

pomiędzy nimi wynosi ( )

Szukaną wartość wektora można znaleźć z zależności:

Uwaga:

a. z wzoru [1] można obliczyć wartość wektora , natomiast nie wynika z niego zwrot, kierunek i punkt przyłożenia tego wektora.

b. Konieczna jest znajomość wartości funkcji cosinus dla danego kąta . Przykłady dla szczególnych przypadków:

(cos0 = 1) wektory mają taki sam kierunek i zwrot

Z [1]:

z wzoru skróconego mnożenia

Wniosek: wartość sumy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i zwrotach jest równa sumie wartości obu wektorów.

Metodą graficzną:

(cos180 = – 1) wektory mają taki sam kierunek i przeciwny

zwrot

Z [1]:

z wzoru skróconego mnożenia

Wniosek: wartość sumy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i przeciwnych zwrotach jest równa war-tości bezwzględnej z różnicy wartości obu wektorów składowych.

Metodą graficzną:

[1]

Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 4

(cos90 = 0) wektory mają kierunki wzajemnie prostopadłe

Z [1]: Wniosek: wartość sumy dwóch wektorów o kierunkach wzajemnie prostopadłych jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów wartości obu wektorów (jak długość przeciwprostokątnej w trójkącie pro-stokątnym - co wynika z twierdzenia Pitagorasa).

Metodą graficzną:

lub

metoda wieloboku sznurowego metoda równoległoboku

3. Analityczne (rachunkowe) dodawanie wektorów o znanych współrzędnych.

Założenie:

danych jest dwuwymiarowych wektorów o znanych współrzędnych

Problem:

jak obliczyć wartość wektora będącego sumą wektorów ?

Aby wyznaczyć wartość wektora wystarczy wyznaczyć wartości jego współrzędnych i , po czym skorzystać

z zależności:

Można wykazać, że każda ze współrzędnych wektora jest sumą odpowiednich współrzędnych wektorów skła-dowych, tzn.:

Uwaga: analogicznie postępuje się w przypadku wektora trójwymiarowego:

[2a]

[2b]

[2c]

Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 5

-10 -5 -1 1 5 10 X

10

5

1

-5

Przykład. W dwuwymiarowym układzie współrzędnych dane są cztery wektory: .

a. Oblicz współrzędne każdego z wektorów.

b. Zapisz każdy z wektorów wykorzystując wersory osi.

c. Oblicz długość (wartość) każdego z wektorów.

Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 6

-10 -5 -1 1 5 10 X

10

5

1

-5

d. Oblicz analitycznie współrzędne wektora będącego sumą tych wektorów.

e. Oblicz analitycznie wartość wektora .

f. Oblicz graficznie wartość sumy tych wektorów (metoda wieloboku sznurowego).

Ponieważ przesunięcie równoległe nie zmienia wartości współrzędnych wektora, to graficzne "skle-janie" wektorów metodą wieloboku sznurowego można zacząć od dowolnego punktu na układzie współ-rzędnych. Na przykład od punktu . Dodatkowo dodawanie wektorów jest przemienne, tzn. można je

dodawać w dowolnej kolejności. Na przykład:

Zgodnie z zasadą wieloboku sznurowego, przesuwamy równolegle do wybranego punktu (w tym przypad-ku o współrzędnych ) początek pierwszego z wybranych wektorów (tzn. ). Do grotu tego wektora docze-piamy początek kolejnego z dodawanych wektorów przesuwając go równolegle (tzn. ). Do grotu wektora doczepiamy (po równoległym przesunięciu) początek następnego z dodawanych wektorów, tzn. . Ostatnim z dodawanych wektorów jest wektor . Tak jak poprzednio przesuwamy go równolegle, tak by jego początek zna-lazł się przy grocie poprzednio dodanego wektora (tzn. ). Na koniec łączymy punkt startowy, tzn. z gro-

tem ostatniego z dodawanych wektorów (tzn. ), jest to poszukiwany wektor . Grot tak otrzymanego wektora znajduje się zawsze przy grocie ostatniego z dodawanych wektorów. W rozpatrywanym przypadku jest to punkt

o współrzędnych . Wartość wektora można odczytać mierząc jego długość linijką i przeliczając według długości jednostki miary na osi. W tym przypadku jego długość wynosi , natomiast skala rysunku:

. Stąd:

Długość wektora także obliczyć jako długość odcinka łączącego punkt startowy z punktem końcowym. Jak widać z rysunku, współrzędne poszukiwanego wektora mają takie same wartości, jak otrzymane metodą analityczną:

Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 7

Uwagi i wnioski:

a. Metody graficzne są użyteczne przy dodawaniu więcej niż dwóch wektorów, jeżeli znamy kierunki, zwroty i wartości wektorów dodawanych, natomiast nie znamy wartości ich składowych (w wybranym układzie odniesienia).

b. Wynik otrzymany metodami graficznymi jest zazwyczaj przybliżony, z uwagi na niedokładności związane z rysowaniem wektorów wyjściowych i ich przesuwaniem równoległym.

c. Metodę równoległoboku można stosować do znajdowania sumy wektorów, które na żadnym etapie kon-strukcji nie mają kierunków równoległych.

d. Metoda równoległoboku jest użyteczna przy znajdowaniu składowych wektora na zadanych kierunkach (nierównoległych).

e. Ogólną metodą znajdowania sumy dowolnych wektorów jest metoda równoległoboku sznurowego. Jeżeli punkt końcowy konstrukcji jest tożsamy z punktem początkowym, to wartość sumy tych wektorów wy-nosi zero. Grot wektora wypadkowego jest położony zawsze przy grocie ostatniego z dodawanych wekto-rów.

f. Wartość wektora o znanych składowych jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów jego składowych.

g. Dodawanie wektorów (tak jak i skalarów) jest przemienne.

h. Jeżeli dodajemy wektory o znanych składowych, to każda ze składowych wektora wypadkowego jest równa sumie odpowiednich składowych wektorów wyjściowych.