pobierz artykuł

18
N aukowe nr 11 Zeszyty Kraków 2011 POLSKIE TOWARZYSTWO EKONOMICZNE Tadeusz Klecha Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Antoni Kasprzycki, Jan Szeja Wyższa Szkoła Ekonomii, Turystyki i Nauk Społecznych w Kielcach Modele równowagowe i nierównowagowe w opisie procesów ekonomicznych. Problematyka prawa zachowania masy kapitału 1. Wprowadzenie W pracy T.A. Klechy pt. O istocie kapitału sformułowano podstawowe poję- cia z zakresu termodynamiki i ekonomii 1 . W słowniku terminów znajdujących się w cytowanej pracy zdefiniowano takie pojęcia, jak: układ termodynamiczny, układ ekonomiczny 2 , stan termodynamiczny, stan ekonomiczny, równowaga, równowaga ekonomiczna, potencjał termodynamiczny, ekonomiczny, energia wewnętrzna, entropia. W innych swoich pracach T.A. Klecha omówił procesy skończenie wymiarowe, procesy różniczkowalne oraz strumienie fazowe 3 . W pra- 1 T.A. Klecha, O istocie kapitału, Miscellanea Oeconomicae nr 2, Kielce 2006. 2 Jeżeli układ znajdujący się w stanie równowagi termodynamicznej (ekonomicznej) podzie- limy na n części o równych objętościach, to objętość V , masa M, energia E, entropia S każdej części będą n razy mniejsze niż te wielkości dla całego układu. Takie wielkości nazywamy ekstensyw- nymi. Temperatura T , ciśnienie P, gęstość ρ = V/M, potencjał chemiczny μ to zmienne intensywne, gdyż będą takie same zarówno dla każdej części, jak i dla całego układu. W ekonomii wielkości A, B i , C j entropia S są ekstensywne, zaś ceny P i , I j , K l są intensywne. 3 Zob. następujące prace T.A. Klechy: Teorie wymiany w ekonomii, Księga jubileuszowa dedy- kowana Profesorowi Tadeuszowi Staniszowi, AE w Krakowie, Kraków 2006; Truesdellowski model kapitału i pieniądza [w:] Informacja ekonomiczno-finansowa jako podstawa zarządzania podmio-

Transcript of pobierz artykuł

Page 1: pobierz artykuł

Naukowe nr 11Zeszyty

Kraków 2011

POLSKIE TOWARZYSTWO EKONOMICZNE

Tadeusz KlechaUniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Antoni Kasprzycki, Jan SzejaWyższa Szkoła Ekonomii, Turystyki i Nauk Społecznych w Kielcach

Modele równowagowe i nierównowagowe w opisie procesów ekonomicznych. Problematyka prawa zachowania masy kapitału

1. Wprowadzenie

W pracy T.A. Klechy pt. O istocie kapitału sformułowano podstawowe poję-cia z zakresu termodynamiki i ekonomii1. W słowniku terminów znajdujących się w cytowanej pracy zdefiniowano takie pojęcia, jak: układ termodynamiczny, układ ekonomiczny2, stan termodynamiczny, stan ekonomiczny, równowaga, równowaga ekonomiczna, potencjał termodynamiczny, ekonomiczny, energia wewnętrzna, entropia. W innych swoich pracach T.A. Klecha omówił procesy skończenie wymiarowe, procesy różniczkowalne oraz strumienie fazowe3. W pra-

1 T.A. Klecha, O istocie kapitału, Miscellanea Oeconomicae nr 2, Kielce 2006.2 Jeżeli układ znajdujący się w stanie równowagi termodynamicznej (ekonomicznej) podzie-

limy na n części o równych objętościach, to objętość V, masa M, energia E, entropia S każdej części będą n razy mniejsze niż te wielkości dla całego układu. Takie wielkości nazywamy ekstensyw-nymi. Temperatura T, ciśnienie P, gęstość ρ = V/M, potencjał chemiczny μ to zmienne intensywne, gdyż będą takie same zarówno dla każdej części, jak i dla całego układu. W ekonomii wielkości A, Bi, Cj entropia S są ekstensywne, zaś ceny Pi, Ij, Kl są intensywne.

3 Zob. następujące prace T.A. Klechy: Teorie wymiany w ekonomii, Księga jubileuszowa dedy-kowana Profesorowi Tadeuszowi Staniszowi, AE w Krakowie, Kraków 2006; Truesdellowski model kapitału i pieniądza [w:] Informacja ekonomiczno-finansowa jako podstawa zarządzania podmio-

Page 2: pobierz artykuł

Tadeusz Klecha, Antoni Kasprzycki, Jan Szeja108

cach tych pokazano także, że wartość ekonomiczna, entropia objętościowa i entro-pia powierzchniowa są pojęciami, które mają sens tylko w równowadze termody-namicznej lub ekonomicznej. Pojęcia ekstensywnych i intensywnych4 zmiennych oraz chaosu deterministycznego zostały zdefiniowane w pracach K. Huanga pt. Mechanika statystyczna i H.G. Schustera pt. Chaos deterministyczny5.

Max Planck sformułował w swojej pracy habilitacyjnej w 1880 r. zerową zasadę termodynamiki, z której wynika, że tylko w stanach równowagi ma sens temperatura czy entropia6. Wykazał ich istnienie oraz podał sposób, jak mierzyć te obiekty. W niniejszym artykule sformułowano cztery zasady termodynamiki zaadoptowane do ekonomii7. Wykazano, że kapitał (cząstki kapitału) przemiesz-cza się z miejsc o małej koncentracji kapitału do obszarów o dużej koncentracji kapitału. Odbywa się to dzięki energii „ekonomicznej”, jaką ma kapitał, czyli w kierunku przeciwnym do tego, w którym poruszałby się kapitał pod nieobec-ność aktywnych mechanizmów transportu kapitału. W fizyce występują podobne sytuacje: np. niektóre silniki molekularne są poruszane w wyniku różnicy kon-centracji protonów czy różnicy temperatur8; dzięki energii chemicznej jony prze-

tami gospodarczymi, red. J. Czekaj, WSBiF, Bielsko-Biała 2006; Truesdellowski model kapitału i pieniądza II [w:] Informacja ekonomiczno-finansowa, red. S. Owsiak, WSBiF, Bielsko-Biała 2007; O naprężeniach kapitału, Studia i Prace Wydawnictw Naukowych i Zarządzania, nr 11, Szczecin 2008.

4 Temperatura to wartość termodynamiczna charakteryzująca stan równowagi termodyna-micznego układu makroskopowego (por. Encyklopedia fizyki, PWN, Warszawa 1974). Tempe-ratura jest jednakowa dla wszystkich części układu izolowanego znajdującego się w stanie rów-nowagi termodynamicznej. W układach niebędących w stanie równowagi energia przechodzi od ciała o wyższej temperaturze do ciała o niższej temperaturze. Najogólniej można określić tem-peraturę jako wielkość odwrotną do pochodnej entropii S i układu względem jego energii, tzn.: 1/T = dS/dE.

Jeżeli entropię określa się jako logarytm wagi statystycznej, to jest ona bezwymiarowa, tem-peratura zaś ma wymiar energii.

W mechanice statystycznej temperatura bezwzględna jest identyczna z temperaturą staty-styczną występującą w rozkładzie kanonicznym Gibbsa (por. K. Huang, Mechanika statystyczna, PWN, Warszawa 1978; A. Anselm, Podstawy fizyki statystycznej i termodynamiki, PWN, War-szawa 1984; L.D. Landau, E.M. Lipszyc, Fizyka statystyczna I, II, Warszawa 1978). Z rozkładu kanonicznego Gibbsa wynika też, że dla całego i nieograniczonego od góry widma energii temperatura bezwzględna jest wielkością dodatnią. Pojęcie temperatury stosowane jest na ogół w wypadku układów znajdujących się w stanie równowagi, można posłużyć się nim również przy określaniu stanów niepełnej równowagi lokalnej.

5 K. Huang, Mechanika statystyczna, PWN, Warszawa 1978; H.G. Schuster, Chaos determi-nistyczny, PWN, Warszawa 1995.

6 M. Planck, Gluchgewichtsmstande isotroper Kǒrper in werschiedenen Temperaturen, Th. Ackermann, München 1880; M. Planck, Vorlesungen über Thermodynamic, Berlin 1897.

7 R. Penrose, Droga do rzeczywistości, Prószyński i Spółka, Warszawa 2004.8 Por. J.M. Rubi, J.M.G. Vilar, The Mesoscopic Dynamics of Thermodynamic Systems,

http://arxiv.org/abs/cond-mat/0511651; S. Kjelstrup, J.M. Rubi, D. Bedeaux, Active Transport.

Page 3: pobierz artykuł

Modele równowagowe i nierównowagowe... 109

mieszczają się kanałami w ściance komórki z miejsc o małej koncentracji do obszaru o dużej koncentracji – czyli w kierunku przeciwnym do tego, w którym poruszałyby się pod nieobecność aktywnych mechanizmów transportu. Fluktu-acje energii chemicznej mają taki sam wpływ na pracę silnika molekularnego jak losowa zmienność porcji paliwa pod tłokiem na pracę silnika samochodowego.

Identyczna sytuacja jest obserwowana w przypadku przepływów kapitało-wych. W związku z kreacją dużej ilości pustego pieniądza w USA przepływy tego kapitału charakteryzowały się bardzo dużą liczbą Reynoldsa. Aby obniżyć ten bezwymiarowy wskaźnik (parametr kontrolny), należy naszym zdaniem upań-stwowić banki charakteryzujące się ogromną liczbą Reynoldsa lub oprocentować przepływy spekulacyjne po to, by mieć do czynienia z układem, w którym będzie pojawiać się tarcie (lepkość dynamiczna), albo wręcz pozwolić na bankructwo układów finansowych. Duża złożoność układu oraz nieliniowość modeli, która pojawia się w tego typu sytuacjach, powoduje, że podobnie jak w przypadku pro-gnoz pogody istnieje wiele nieprzewidywalnych sytuacji i zachowań. Na przy-kład prognoza ekonometryczna spełnia się tylko dla krótkotrwałych prognoz, nie sprawdza się natomiast w innych przypadkach – dla prognoz długoterminowych i średnioterminowych. Nieliniowość stanów powoduje, że tylko nierównowagowa ekonomia, analogicznie do termodynamiki nierównowagowej, ma w takich sytu-acjach sens i zastosowanie. Układy nierównowagowe9 odznaczają się wieloma właściwościami niewyjaśnionymi przez klasyczną termodynamikę (ekonomia równowagi). Można podać tu przykład tostera elektrycznego – z drugiej zasady termodynamiki wynika, że proces jest nieodwracalny; ale jeżeli umieścimy dwa końce przewodu w tosterze w różnej temperaturze, wytwarza się nierównowa-gowy stan układu, co pozwala uzyskać przepływ prądu elektrycznego i wytwo-rzyć energię elektryczną. Podobne jest działanie termopary czy osmozy. Nawet pozornie „małe” układy (fizyczne, a także ekonomiczne) zawierają bardzo dużą ilość cząstek (w ekonomii cząstek kapitału), tak że zdarzenia, a zwłaszcza ich prędkości szybko przyjmują wartość średnią, która podlega małym fluktuacjom lub wcale im nie podlega. Pojedyncze zdarzenia są nieprzewidywalne, lecz obser-wacja wskazuje na wiele regularności. Na przykład cząstki cieczy lub kapitału podlegają niewielkim fluktuacjom. W przypadku gdy przepływ płynu (kapitału) jest turbulentny, wewnętrzne naprężenia (diwergencja tensora naprężeń) w płynie lub dla kapitału są zwykle proporcjonalne do gradientu temperatury, a dla prze-pływów kapitałowych gradientu wartości w(x1, x2, x3; t).

A Kinetic Description Based on Thermodynamic Ground, http://avxiv.org/abs/conol-mat/0412493; J.M.G. Vilar, J.M. Rubi, Termodynamics „beyond” Local Equilibrum, http://arxiv.org/abs/conol-mat/0110614.

9 Por. S.R. Groot, P. Mazur, Nonequilibrum Thermodynamics, Dover 1984.

Page 4: pobierz artykuł

Tadeusz Klecha, Antoni Kasprzycki, Jan Szeja110

W takich układach, w tego typu przypadkach obowiązuje sformułowana przez L. Onsagera nierównowagowa teoria wzajemności. Wielu problemów w ekono-mii można by uniknąć, gdyby spojrzeć na te procesy z innej perspektywy. Na przykład gwałtowność procesów na rynkach finansowych zależy od skali czasu, w jakiej ją badamy. Gdy procesy te obserwujemy „klatka po klatce”, zmiany nie są tak gwałtowne. Pośrednie stadia realizacji tych gwałtownych procesów wyko-rzystuje się do opisu, wprowadzając pewne parametry kontrolne. Sterowanie nimi pozwala na to, żeby układy te były w lokalnej równowadze. Za pomocą tych regulatorów można badać energie takich układów; można znaleźć się w chaosie, aby pod wpływem regulacji tych zmiennych (regulatorów) znaleźć się na krzywej wzrostu, różnorodności i złożoności.

L. Onsager otrzymał w 1968 r. Nagrodę Nobla za sformułowanie relacji wza-jemności. Otóż układy nierównowagowe w chemii i fizyce (czy też w ekonomii), mają wiele własności niewyjaśnionych przez termodynamikę klasyczną (Clau-siusa, Boltzmana, Plancka), które przeczą tezie, że przyroda dąży do nieograni-czonej entropii, czyli do zwiększenia się nieuporządkowania. Istnieją zjawiska, jak działanie tostera, termopary czy osmoza, w których zachodzą zjawiska wza-jemności. Odkrycie tego zjawiska umożliwiło nowe spojrzenie na termodyna-mikę i przyczyniło się do powstania nowych tez, np.: układy nierównowagowe mogą być w wysokim stopniu uporządkowane, a regularność i symetria mogą charakteryzować takie układy. Wzajemna symetria tych procesów skłania do tezy, że zjawiska te są odwracalne, a nieodwracalność zachodzi tylko na pozio-mie makroskopowym. Regularność, symetria, obszary lokalnej równowagi mogą zatem charakteryzować układy dalekie od równowagi.

Omówimy także problemy związane z pojęciem masy kapitału. Pojęcie to zostało wprowadzone w pracy T.A. Klechy pt. Truesdellowski model kapitału i pieniądza10. Uczeni przez ponad dwieście lat uznawali poprawność zerowego prawa Newtona (prawo o zachowaniu masy) i uważali tak nie tylko dlatego, że zgadzało się ono z jakimś poglądem filozoficznym czy teologicznym. Uważano je za prawdziwe, ponieważ sprawdzało się w praktyce. Prawo to nie zawsze jed-nak działa. W rzeczywistości zasada zachowania masy czasami zawodzi. Przy-kładowo w LEP (w wielkim zderzaczu elektronowo-pozytonowym) zderzano ze sobą cząstki pędzące po obwodzie akceleratora w przeciwnych kierunkach. W wyniku takiego typowego zderzenia mogło np. powstać dziesięć mezonów π (pionów), proton i antyproton. Porównując stany przed zderzeniem i po zde-rzeniu, stwierdzamy, że powstałe w wyniku zderzenia produkty ważą 30 tys. razy więcej niż cząstki przed zderzeniem. Podobnie zasada zachowania masy dla kapitału nie jest zachowana, tutaj działają prawa wynikające z psychologii, np.

10 T.A. Klecha, Truesdellowski model…

Page 5: pobierz artykuł

Modele równowagowe i nierównowagowe... 111

nadmierna chciwość powoduje, że prawo to nie jest prawdziwe. Pojawia się zatem pytanie: jeżeli masa nie jest zachowana, to jakie są jej źródła?

2. Entropia w ekonomii

2.1. Zerowa zasada termodynamiki i zerowa zasada termodynamiki w ekonomii*

Gdy zetkniemy ze sobą ciała A i B bez umieszczania między nimi ścianki izolującej, to ciała te po pewnym czasie znajdą się w równowadze termodyna-micznej. Wiemy, że ich temperatury11 są takie same, ale jeżeli żadne z nich nie jest termometrem, to nie jesteśmy w stanie określić tej temperatury. Dopiero po wprowadzeniu ciała C, które jest termometrem, można zmierzyć tę temperaturę; Po ustaleniu się równowagi ciało A i termometr C mają taką samą temperaturę, niech wynosi ona TA. Jeśli termometr C zetkniemy z ciałem B, to ustali się po pewnym czasie temperatura TB. Załóżmy, że TA = TB, wtedy można stwierdzić, że ciała A i B są w równowadze termodynamicznej, mimo że nie ma bezpośred-niego kontaktu tych ciał. Sformułowana przez M. Plancka zerowa zasada termo-dynamiki brzmi: jeżeli ciało A jest w równowadze termodynamicznej z ciałem C i równocześnie ciało B jest w równowadze termodynamicznej z ciałem C, to ciała A i B są w równowadze termodynamicznej ze sobą. Z zasady tej wynika istnie-nie temperatury i nadaje ona sens pomiarowi temperatury. A więc temperatura, entropia mają sens tylko w równowadze termodynamicznej (odpowiednio – eko-nomicznej).

Podobnie w ekonomii – zerowa zasada termodynamiki w ekonomii brzmi: jeżeli dwa układy ekonomiczne znajdują się w stanie równowagi ekonomicznej z trzecim, to muszą znajdować się w równowadze względem siebie. Z zasady tej wynika istnienie wartości w(x1, x2, x3; t) oraz możliwość jej mierzenia. Pro-blematyką mierzenia zajmuje się rachunkowość. Wartość ekonomiczna ma sens tylko w stanach równowagi. Podobnie entropia ekonomiczna typu objętościowego i powierzchniowego. Reasumując, analogicznie jak w termodynamice można sformułować zerową zasadę termodynamiki w ekonomii, z której wynika, że ist-nieje wartość ekonomiczna, którą można mierzyć, oraz to, że wartość i entropia mają sens tylko w stanie równowagi.

* Por. J. Salach, Termodynamika, Zamiast korepetycji..., Kraków 1999.10 Por. ibidem.

Page 6: pobierz artykuł

Tadeusz Klecha, Antoni Kasprzycki, Jan Szeja112

2.2. Entropia typu objętościowego i powierzchniowego w ekonomii

Przez prosty układ ekonomiczny χ ⊂ θ (ekonostat θ) będziemy rozumieć: indy-widuum, powiat, rejon, Polskę, gminę, województwo, gospodarstwo rodzinne. Każdemu takiemu układowi przyporządkujemy entropię S, która ma inny cha-rakter niż entropia w sensie Shanona lub Kołmogorowa.

Funkcja entropii S całkowicie opisuje strukturę i własności układu χ. Funkcja S zależy od ekstensywnych zmiennych A, Bi, Cj, Dl, gdzie:

A – oznacza sumaryczną ilość pieniędzy liczoną w ustalonych jednostkach wartości,

Bi – ilość i-tego zasobu (i = 1, 2, …, к1),Cj – ilość j-tego zasobu intelektualnego ( j = 1, 2, …, к2),Dl – ilość l-tego zasobu etycznego (l = 1, 2, …, к3).

I. Zakładamy, że:a) S jest funkcją klasy C2, jednorodną pierwszego rzędu, oddzielnie dla każ-

dego argumentu,b) funkcja S jest funkcją wypukłą zmiennych A, Bi, Cj, Dl,c) funkcja S: S ≥ 0 i S = 0 ⇔ A = Bi = Cj = Dl = 0, dla i, j, l ∈ {1, 2, 3, …, к}.Wartość układu χ, który jest energią ekonomiczną (jest to cena χ), wynosi:

w(χ) = A0 + Σ PiBio + Σ IjCjo + Σ Dl Klo w t = t0, (1)gdzie:

Pi – cena jednostkowa i-tego zasobu na rynku,Ij – cena jednostkowa j-tego zasobu intelektualnego na rynku,Dl – cena jednostkowa l-tego zasobu etycznego na rynku.

Zauważamy, że postulat Ic jest odpowiednikiem w ekonomii trzeciej zasady termodynamiki sformułowanej przez M. Plancka i M.W. Nernsta w 1907 r.12 Gdy kupuje się i sprzedaje zasoby rzeczowe i intelektualne, układ χ dąży do maksy-malizacji entropii S. Żądamy więc, aby przy nieobecności ograniczeń na A, Bi, Cj, Dl funkcja entropii S przy danej wartości w(χ) odpowiadającej stanowi równo-wagi względem zewnętrznego rynku (ekonostatu θ) osiągnęła maksimum. Zatem dla układu χ stawiamy problem ekstremum: przy zadanych cenach Pi, Ij, Kl oraz wartości w(χ) mamy znaleźć maksimum funkcji S(A, Bi, Cj, Dl ) przy założeniu, że S spełnia warunki Ia, Ib oraz Ic. Rozważania powyższe są bliskie drugiej zasa-dzie termodynamiki oraz drugiej zasadzie termodynamiki w ekonomii.

Uwaga: Analogicznie jak wprowadzono pole temperatury θ(x1, x2, x3; t) w przestrzeni R3 × I, I = ⟨0, ∞), można w czasoprzestrzeni newtonowskiej wpro-

12 Por. P. Perzyna, Termodynamika materiałów niesprężystych, WNT, Warszawa 1978.

Page 7: pobierz artykuł

Modele równowagowe i nierównowagowe... 113

wadzić pole wartości w(x1, x2, x3; t) i samą wartość. Zaburzenie tego pola powo-duje przepływ kapitału13.

W 1879 r. M. Planck podał definicję procesu odwracalnego. Proces jest odwra-calny, jeżeli w każdym stadium procesu można odwrócić kierunek jego przebiegu i wraz z otoczeniem powrócić do stanu początkowego układu i otoczenia. Istnieje kategoria procesów, które nie są odwracalne. Dzieli się je na:

– procesy dyssypatywne – zjawisko tarcia przy przepływie kapitału i pienią-dza (lepkość dynamiczna, kinematyczna), w fizyce: histereza magnetyczna, opór elektryczny itp. W procesach dyssypatywnych może pojawić się też zjawisko chaosu deterministycznego;

– procesy relaksacji – są to procesy, w których układ niebędący w stanie równowagi termodynamicznej zdąża do niej spontanicznie (np. dyfuzja, proces wyrównywania temperatur itp.).

Przyczynami nieodwracalności procesów termodynamicznych jest dyssypacja pracy użytecznej i niestateczność procesów bądź obie te przyczyny naraz. Cha-rakterystyczny jest fakt, że w procesach tych zachodzi produkcja entropii typu objętościowego i powierzchniowego.

Wybitny ekonomista amerykański, I. Fischer, na przełomie XIX i XX w. badał istotę kapitału. Doktorat bronił u jednego z najwybitniejszych fizyków amery-kańskich J.W. Gibbsa z problematyki wymiany w termodynamice. W 1926 r. I. Fischer sformułował tezę, że wartość jest tym, czym energia w fizyce14. Ponieważ wartość z jednej strony, a temperatura z drugiej strony zachowują się podobnie – są po prostu energiami. Z kolei zaś użyteczność15 spełnia równa-nie Hamiltona, więc jest energią (ekonomiczną). Stąd do badania użyteczności wykorzystuje się bardzo wygodne narzędzie zwane hamiltonianem. Układy eko-nomiczne na ogół nie są jednak hamiltonowskie, chociaż są kanoniczne16, więc nie stosuje się do nich formalizmu hamiltonowskiego. Rodzi to wśród ekono-mistów pewne obawy. Nie są bowiem znane równania ruchu procesu. W ujęciu jakościowym: turbulencja i rynki są podobne. A. Kołmogorow w 1941 r. wykazał w badaniach nad turbulencją, że w granicy nieskończenie dużych liczb Reynoldsa średni kwadrat przyrostów prędkości spełnia warunek:

⟨[∆V(l)]2⟩ ∼l 2/3.

13 Por. Encyklopedia fizyki…14 Por. P. Mirowski, From Mandelbrot to Chaos in Economics Theory, „Southern Economics

Journal” 1990, vol. 57; P. Mirowski, More Heat Than Light, Economics as Social Physics, Physics as Nature Ekonomics, Cambridge University Press, 1989.

15 Por. A. Arvid, Lecture Notes in Economics and Mathematical System, nr 31, Springer- -Verlag, New York.

16 Por. ibidem.

Page 8: pobierz artykuł

Tadeusz Klecha, Antoni Kasprzycki, Jan Szeja114

3. Uwagi o potencjałach termodynamicznych i ekonomicznych

Jeżeli rozważamy energię E jako funkcje zmiennych ekstensywnych S, V, N, gdzie: S – entropia, V – objętość, N – liczba cząstek, to jej różniczkę zupełną otrzymamy, różniczkując względem wszystkich trzech zmiennych (w stanie rów-nowagi). Mamy zatem: dE = TdS – PdV + µdN, (2)

gdzie µ − potencjał chemiczny.Tak samo można postąpić w przypadku entropii, wówczas otrzymamy:

dS = 1/T dE + (P/T) – (µ/T) dN. (3)

Inne pary zmiennych, których iloczyn daje energię, to prędkość v, pęd p; pręd-kość kątowa ω i moment pędu L; pole elektryczne E i polaryzacja P, pole magne-tyczne B i magnetyzacja M. Ogólnie:

dE = TdS – PdV + µdN + vdp + ωdL + EdP + BdM. (4)

Związki (2) są odpowiednikami postulatu: w układzie izolowanym energia jest zachowana. Wszystkie zmienne S, V, N, p, L, P i magnetyzacja M są zmien-nymi ekstensywnymi. TdS jest ilością ciepła. Za pomocą transformacji Legen-dre’a podobnej do F = E – TS można stwierdzić, że różniczkę energii swobodnej F = E – TS wyraża wzór: dF = –SdT – PdV + µdN.

Zauważmy, że różniczka energii swobodnej F zależy od różniczek zmiennych intensywnych. Po zastosowaniu transformacji Legendre’a można zdefiniować wiele innych potencjałów termodynamicznych. Przykłady potencjałów termody-namicznych są następujące:

– E – energia; dE = TdS – PdV + µdN; zmienne S, V, N są naturalne,– F – energia swobodna, F = E – TS; dF = –SdT – PdT – PdV + µdN; zmienne

T, V, N są naturalne,– Z – entalpia; Z = E + PV; dZ = TdS + VdP + µdN; zmienne naturalne S, P, N

itd.Wszystkich potencjałów o trzech zmiennych naturalnych jest 23. Potencjał

termodynamiczny to funkcja układu makroskopowych parametrów charaktery- to funkcja układu makroskopowych parametrów charaktery-zująca stan termodynamiczny układu.

Podobnie definiuje się potencjał ekonomiczny. Jest on głównie wyczerpywany przez produkcję entropii H, zarówno objętościowej jak i powierzchniowej. Przy stałym E w stanie równowagi H osiąga maksymalną wartość. Przy stałym H w stanie równowagi E osiąga wartość minimalną. Przy stałym T w stanie równo-wagi F osiąga wartość minimalną.

Page 9: pobierz artykuł

Modele równowagowe i nierównowagowe... 115

Podstawową miarą zdolności układu termodynamicznego (ekonomicznego) do wykonania pracy jest jego potencjał termodynamiczny (ekonomiczny). Podobnie jak w chemii: jeżeli N oznacza liczbę cząstek kapitału, к oznacza potencjał eko-nomiczny, to к dN = dE, a więc iloczyn кN ma wymiar energii ekonomicznej.

W ekonomii przykładem potencjału jest „obiekt” – funkcja wzrostu Cobba--Douglasa. Kapitał także ma zdolność do wykonywania pracy, a więc też jest pewnym potencjałem ekonomicznym. Równość Cobba-Douglasa ma postać:

Y = AL1–α NXα.

Dla potencjału Cobba-Douglasa zmiennymi naturalnymi są A, L, N, X, ozna-czające:

A – wskaźnik technologii,L – zatrudnienie w produkcji dóbr finalnych,X – wielkość produkcji dóbr pośrednich,N – liczba dóbr pośrednich.Należy też dodać, że entropia i energia wewnętrzna są zarówno w termodyna-

mice, jak i w ekonomii funkcjami stanu, a ciepło i kapitał – funkcjami procesu. Potencjału o czterech zmiennych naturalnych jest 24 = 16.

Niektóre własności modeli ekonomicznej wymiany

Łatwo udowodnić następujące własności sformułowane przez C. Prirogina, M. Lichnerowicza i I. Fischera.

w.1. Entropia maksymalizuje użyteczność. w.2. Ekonomiczna komórka χ nazywa się złożoną, jeżeli jest sumą komórek,

np. χ = (E1, E2) oraz χ = E1 + E2.

Zmienne ekstensywne zachowują się w komórce χ: A = A1 + A2, Bi = Bi(1) + Bi

(2), Cj = Cj

(1)+ Cj(2), Dl = Dl

(1) + Dl(2), gdzie i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, k; l = 1, 2, …, t.

Suma funkcji entropii S = S1(A1, Bi(1), Cj

(1), Dl(1)) + S2(A2, Bi

(2), Cj(2), Dl

(2)) jest ekstensywna.

w.3. Istnieją pewne osobliwe stany złożonych komórek (stany równowagi), które są pewnymi ekstensywnymi zmiennymi charakteryzującymi komórkę eko-nomiczną złożoną.

w.4. Jeżeli złożona komórka ekonomiczna jest izolowana, to ekstensywne zmienne przyjmują takie wartości, w których funkcja entropii osiąga maksimum i wartość ta jest osiągalna tylko w zbiorze stanów równowagi.

w.5. Każdy stan równowagi złożonej komórki χ = (E1, E2) jest optimum Pareto.

Page 10: pobierz artykuł

Tadeusz Klecha, Antoni Kasprzycki, Jan Szeja116

4. Zasady termodynamiki w ekonomii

Według R. Penrose’a druga zasada termodynamiki brzmi: ciepło przepływa od ciała cieplejszego do zimniejszego17. Zgodnie z prawem tej zasady, jeśli połą-czymy ciało gorące z zimnym za pomocą przewodnika cieplnego, to ciało gorące się ochładza, a zimne ociepla, osiągając równowagę (to przewiduje zasada pre-dykcji)18 i taka ewolucja jest w pełni deterministyczna. Odwrotnie odtwarzając ten proces, nie da się przewidzieć, które ciało było cieplejsze, o ile i kiedy. W tym układzie proces dynamicznej retrodukcji jest niemożliwy. Druga zasada termo-dynamiki dla kapitału brzmi: entropia po przejściu jakiegoś procesu ekonomicz-nego ma większą wartość (a co najmniej nie mniejszą) niż przed owym procesem. Gradient wartości jest przyczyną przepływu kapitału, np. zły pieniądz wypiera dobry pieniądz; zły robotnik będzie wypierał dobrego robotnika.

Pojęcie, które będziemy rozważać, to pierwsza zasada termodynamiki. Zasada ta stwierdza, że w układzie izolowanym energia całkowita jest zachowana (Car-not 1820). Explicite stwierdza ona, że ciało nie może tracić energii całkowitej, kiedy np. w wyniku oporu powietrza ciało zmniejsza prędkość i traci energię kinetyczną. Energia ta zmienia się w ciepło i zwiększa temperaturę ciała i oto-czenia. Temperatura jest po prostu miarą energii przypadającej na jeden stopień swobody, a zatem termodynamiczne pojęcia ciepła i temperatury są w zasadzie tym samym19. Podobnie można powiedzieć o wartości i kapitale. W prezento-wanej pracy wartość ekonomiczna jest pojęciem pierwotnym (podobnie zakłada się niekiedy o temperaturze, że jest pojęciem pierwotnym). Wartość od czasu I. Fischera jest energią ekonomiczną.

Wprowadźmy teraz bardzo istotne pojęcie przenoszenia (transportu). Procesy, w których masa, energia i pęd są przenoszone z jednego obszaru do innego pod wpływem gradientu temperatury, prędkości i układu chemicznego, nazywają się procesami przenoszenia (transportu). Niejednorodny stan jest warunkiem koniecznym zajścia procesów przenoszenia, dlatego są to procesy nierównowa-gowe. Z występowaniem gradientu układu, temperatury i prędkości związane są procesy dyfuzyjne, lepkość i przewodnictwo cieplne. Na przykład przewodnictwo cieplne polega na przenoszeniu energii od obszaru materii o wyższej temperaturze do obszaru o niższej temperaturze. Wyróżnia się trzy rodzaje przenoszenia cie-pła: przewodnictwo cieplne, konwekcja cieplna oraz promieniowanie ciepła. Prze-wodnictwo kapitału to natomiast nic innego jak przenoszenie energii od miejsc o mniejszej koncentracji do miejsc o większej koncentracji kapitału (na ogół).

17 Por. R. Penrose, op. cit.18 Predykcja – przewidywalna ewolucja w przeszłość.19 Por. R. Penrose, op. cit., s. 660–661.

Page 11: pobierz artykuł

Modele równowagowe i nierównowagowe... 117

Temperatura i entropia w termodynamice są zdefiniowane tylko w stanach równowagi (w równowadze termodynamicznej). Podobnie wartość i entropia w równowadze ekonomicznej. Wartość w(x1, x2, x3; t) jest energią „ekonomiczną”, temperatura θ (x1, x2, x3; t) jest także energią.

Istnieje teoria, że temperatura jest pojęciem pierwotnym, podobnie można powiedzieć o wartości ekonomicznej. Wartość w i temperatura θ są polami ska-larnymi w odpowiednich przestrzeniach newtonowskich. Gradient temperatury jest przyczyną przepływu ciepła od ciała gorętszego do zimniejszego. Dzięki energii chemicznej jony przemieszczają się kanałami w ściance komórek z miejsc o małej koncentracji do obszaru o dużej koncentracji, czyli w kierunku przeciw-nym do tego, w którym poruszałyby się pod nieobecność aktywnych mechani-zmów transportu energii. Podobnie dzieje się przy przepływach kapitałowych. Dzięki energii „ekonomicznej” wywodzącej się z pracy ludzkiej kapitał na ogół przepływa z miejsc o małej koncentracji do obszaru o dużej koncentracji, czyli w kierunku przeciwnym do tego, w którym poruszałby się pod nieobecność aktywnych mechanizmów transportu energii „ekonomicznej”.

5. Hydrodynamiczny model kapitału*

W 2007 r. T. Klecha wygłosił odczyt w krakowskim oddziale PAN pt. „Trues-dellowski model kapitału”. Głównym założeniem było stwierdzenie, że war-tość w(x1, x2, x3; t) jest pojęciem pierwotnym oraz generuje pewne skalarne pole w R3 × I, I = ⟨0, +∞). Idąc za I. Fischerem, wartość jest odpowiednikiem tem-peratury i sama ma wymiar energii „ekonomicznej”. Termodynamiczne pojęcia ciepła i temperatury są w zasadzie tym samym i są podobne do pojęć wartości i kapitału. Podobnie jak w fizyce, z występowaniem gradientu, układu, tempera-tury i prędkości związane są takie procesy, jak lepkość, dyfuzja i przewodnictwo cieplne. Przewodnictwo kapitału polega natomiast na przenoszeniu energii od miejsc o mniejszej koncentracji do obszarów o dużej koncentracji, czyli w kie-runku przeciwnym do tego, w którym poruszałby się pod nieobecność aktyw-nych mechanizmów transportu energii „ekonomicznej”.

Koncentracja to ilość substancji przypadająca na jednostkę objętości tej sub-stancji.

Przyjęliśmy, że wartość jest określona w czasoprzestrzeni newtonowskiej. Okazuje się, że zawsze można znaleźć taki układ odniesienia, w którym prze-strzeń jest jednorodna i izotropowa, a czas jest jednorodny20. Taki układ nazywa

* Por. L.D. Landau, E.M. Lifszyc, Hydrodynamika, PWN, Warszawa 1994.19 Por. L.D. Landau, E.M. Lipszyc, Mechanika, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa

2009.

Page 12: pobierz artykuł

Tadeusz Klecha, Antoni Kasprzycki, Jan Szeja118

się inercjalnym. Przyjęcie układu inercjalnego do opisu pola wartości ruchu kapi-tału powoduje, że równanie ruchu kapitału jest postaci (5). Jest to model lepko-sprężysty: divT + ρb = ρÿ, (5)

T = TT, (6)gdzie:

T – tensor naprężeń kapitałowych,b – wektor sił zewnętrznych,ÿ – przyspieszenie,ρ – gęstość masy,ẏ – prędkość przepływającego kapitału.

Pełny układ równań dla przepływów kapitałowych powinien zawierać:– równanie ciągłości,– trzy równania Naviera-Stokesa,– równanie zawierające adiabatyczność ruchu (równanie entropii).Ponieważ problem rozwiązań równań Naviera-Stoksa jest otwarty, ograniczy-

liśmy się do modelu lepkosprężystego, który jest rozwiązany. W swojej pracy doktorskiej D. Kosiorowski, stosując prezentowany model, pokazał istnienie naprężeń kapitałowych związanych z tensorem naprężeń T 21. Tutaj

T = (–p + λtrD) 1 + 2µD,

gdzie p, λ, µ zależą od gęstości ρ. λ, µ są odpowiednio lepkościami dynamicz-nymi i kinetycznymi. Do tak sformułowanych równań (5) i (6) należy dodać warunki początkowe i brzegowe. Więcej szczegółów na temat problematyki poru-szanej w tym punkcie można znaleźć w pracy C. Truesdella22. Doświadczenie uczy, że dwa różne kapitały K1, K2 na ogół zachowują się inaczej pod wpływem działania tych samych sił zewnętrznych. Zatem siły wewnętrzne (naprężenie kapitałowe) muszą się różnić w tych przypadkach. Dlatego konstruujemy równa-nia tworzące, które pozwalają na wyznaczenie naprężenia z wystarczających do tego celu danych kinematycznych. Teorię tę opieramy na trzech zasadach:

1) determinizmu,2) lokalnego działania,3) niezależności.Zasada niezależności oznacza, że jeżeli dwaj obserwatorzy analizują ten sam

ruch kapitału, to dostrzegają ten sam stan naprężenia kapitału.

21 Por. D. Kosiorowski, Statystyczne teorie kształtu w wielowymiarowej analizie porównaw-czej zjawisk ekonomicznych, Kraków 2006 (praca doktorska).

22 C. Truesdell, A First Course Rational Continuum Mechanics, The Johns Hopkins Univer-sity Baltimore, Maryland 1972.

Page 13: pobierz artykuł

Modele równowagowe i nierównowagowe... 119

Jeżeli χ(X, t) jest ruchem widzianym przez pierwszego obserwatora, a χ′(X, t′) – ruchem widzianym przez drugiego obserwatora, to można dowieść, że:

χ′ = Q χ + c , t′ = t – a, (7)gdzie:

Q – niezależny od czasu ortogonalny tensor,c – wektor niezależny od czasu,a – pewna stała.

Relację (7) można sformułować tak samo jak żądanie niezmienniczości rów-nań odzwierciedlających przepływ kapitału względem tej transformacji. Podob-nie, taką samą funkcję spełnia np. transformacja Galileusza w mechanice. Zasadę względności Galileusza można sformułować jako żądanie niezmienniczości rów-nań ruchu według tej transformacji.

Do problematyki niezmienników szczególnie duży wkład wniosła N. Nëter. Omówione są one m.in. w pracy J. Gelfanda i S.W. Fomina pt. Rachunek waria-cyjny oraz w 5-tomowej encyklopedii matematyki wydanej przez Rosjan w latach 80. XX w.23

Zasada determinizmu mówi, że naprężenie kapitału wyznaczone jest przez historię ruchu tego kapitału, czyli za pomocą wzoru:

T(X, t) = F(χ, X, t),

gdzie F jest funkcjonałem ruchu χ kapitału.Zasada lokalnego działania oznacza, że ruch zachowujący na zewnątrz dowol-

nie małego otoczenia cząstki kapitału można pominąć podczas wyznaczania naprężenia oddziałującego na tę cząstkę.

Twierdzenia Nëther mogą być użyte do badań niezmienników problemu (5) i (6) rozszerzonego na równania konstytutywne.

6. Przewodnictwo cieplne. Przewodnictwo kapitału. Zasady konstytutywne

Wyróżnia się trzy rodzaje przenoszenia ciepła: przewodnictwo cieplne, kon-wekcję cieplną oraz promieniowanie ciepła. Podobnie w teorii kapitału. Zdaniem autorów w teorii przepływów kapitałowych realizuje się ruch przenoszenia kapi-tału polegający na przenoszeniu aktywów na ogół od obszarów o koncentracji mniejszej kapitału do obszarów o koncentracji większej.

23 Por. J. Gelfand, S.W. Fomin, Rachunek wariacyjny, PWN, Warszawa 1975; Encyklopedia matematyczna, t. 1–5, Moskwa 1979–1983.

Page 14: pobierz artykuł

Tadeusz Klecha, Antoni Kasprzycki, Jan Szeja120

Istnieje więc możliwość porównywania zjawisk takich jak naprężenia cieplne z jednej strony oraz naprężenie kapitału drugiej strony. D. Kosiorowski potwier-dził istnienie takich naprężeń kapitałowych w modelu sformułowanym w swojej pracy doktorskiej24.

Na przykład w ciele stałym25 przenoszenie się ciepła realizuje się poprzez przewodnictwo cieplne rozumiane jako przenoszenie się ciepła z miejsc o wyż-szej temperaturze do miejsc o niższej temperaturze. Jest to proces samorzutny i nieodwracalny związany z wytwarzaniem entropii. Równanie przewodnictwa cieplnego wyprowadza się z prawa zachowania energii wyrażonego w postaci równania przepływu entropii. Prawo to, stanowiące sformułowanie lokalne dru-giej zasady termodynamiki, ma postać:

,Wdivq

dtdsTn +−= (8)

gdzie:q – wektor przepływu energii (w naszym przypadku równy przepływowi

ciepła),W – ilość ciepła wytworzona w jednostce objętości i jednostce czasu.

Równanie (8) można także zapisać w postaci skalarnej:

TWiq

Tdtds

+−= ,11 (9)

lub w postaci:

,6+

−=Tqdiv

dtds

(10)

gdzie q jest wektorem przepływu ciepła,

TW

Ttq ii +−= 2,σ (11)

jest źródłem entropii.

Rozpatrzmy zbiór B, przy czym:

B ⊂ IR3 i ∂B = A.

Wtedy:

dV

TW

Tq

dVdtds

dtdS

Bii

B ∫∫

+

−== ,

(12)

24 Por. D. Kosiorowski, op. cit.25 Por. W. Nowacki, Dynamiczne zagadnienie sprężystości, PWN, Warszawa 1966.

Page 15: pobierz artykuł

Modele równowagowe i nierównowagowe... 121

oznacza przyrost wzrostu entropii w B wywołany przepływem ciepła. Związek (12) można zapisać w postaci:

.2 dV

TWdV

TTqdA

Tnq

dtdS

BB,ii

Aii ∫∫∫ +−−= (13)

Ostatecznie równanie przewodnictwa cieplnego przyjmuje postać (w przypadku trójwymiarowym):

,);,,();,,(1);,,( 321

3213212

ϰtxxxQtxxx

ϰtxxx =−∇ θθ (14)

gdzie:θ – temperatura,Q – ciepło,ϰ – współczynnik przewodnictwa ciepła.

Zdaniem autorów istnieje możliwość analogicznego jak w fizyce zapisania równania przewodnictwa kapitału w postaci:

),;,,();,,();,,( 3213213212 txxxaKtxxxWatxxxw −=′−∇

gdzie:a – współczynnik przewodnictwa kapitału,w – wartość,K – kapitał.

Na potwierdzenie tej tezy przypomnijmy, że F. Black i M. Scholes sprowa-dzili problem ekonomiczny (chodzi o cenę opcji kupna akcji, tzw. cenę Blacka--Scholesa) do jednowymiarowego równania przewodnictwa cieplnego, z pewnym warunkiem brzegowym26. Na koniec sformułujmy jeszcze raz tezę, że kapitał przenosi się na ogół za pomocą przewodnictwa kapitałowego. Warunki począt-kowe i brzegowe dla tego problemu formuje się tak samo jak w przypadku pro-blemów występujących w termodynamice ośrodków ciągłych lub dla problemów początkowych i brzegowych dla równań różniczkowych cząstkowych.

7. Uwagi końcowe

Rozpatrzmy pewien klasyczny układ ekonomiczny27, w którym pod wpły-wem oddziaływania x należącego do pewnego zbioru możliwych oddziaływań X powstaje odpowiednio y z pewnego zbioru możliwych reakcji Y. Natura oddzia-

26 Por. A. Weron, R. Weron, Inżynieria finansowa, WNT, Warszawa 1998.27 J. Rychlewski, Teoria symetrii, WNT, Warszawa 1992.

Page 16: pobierz artykuł

Tadeusz Klecha, Antoni Kasprzycki, Jan Szeja122

ływania i reakcji może być rozmaita. Mogą to być stany, pola, procesy. Oddzia-ływanie x nazywa się najczęściej przyczyną, y – skutkiem. Można więc mówić o pewnym przyczynowo-skutkowym prawie ekonomicznym: f: X→Y. W teorii systemów x to wejście, y – wyjście, f – układ. Celem ustalenia uwagi można roz-ważać np. następującą sytuację: układem ekonomicznym jest dostatecznie małe otoczenie cząstki kapitału, oddziaływanie x – gradientem gęstości kapitału w tej cząstce (gradientem pola wartości), a reakcją – wektor przepływu strumienia kapitału w tej cząstce. Podobnie w fizyce – układ fizyczny to otoczenie cząstki ośrodka ciągłego, oddziaływanie x – gradient temperatury, y = f(x) – wektor stru-mienia ciepła. Jeszcze raz powróćmy do równań (5) i (6) – po dodaniu odpowied-nich warunków początkowo-brzegowych mamy sformułowany model przepływu kapitału, nazywany przez autorów modelem hydrodynamicznym.

Istnieje analogia między teorią naprężeń cieplnych a teorią naprężeń kapita-łowych. Aby opisać taką analogię, należałoby najpierw dokładnie opisać model ośrodka, w którym istnieją naprężenia cieplne, podając m.in.:

– podstawowe równania pola opisujące proces termosprężysty (w sensie C. Truesdella, C. Gurtina) z objaśnieniami wszystkich symboli (temperatury, entropii, strumienia ciepła, naprężeń, odkształceń itp.),

– warunki początkowe i brzegowe,– przypadki graniczne ciała stałego i cieczy (sztywnego przewodnika ciepła,

deformowalnego ciała termosprężystego, lepkosprężystego itp.).Opis procesu termomechanicznego powinien być kompletny w sensie popraw-

nego sformułowania problemu początkowo-brzegowego (aby problem miał roz-wiązanie jednoznaczne i zależne w sposób ciągły od danych przyczyn wywo-łujących proces). Następnie należy wprowadzić pojęcia ekonomiczne, będące odpowiednikami dla modelu ośrodka ciągłego w mechanice. Tak wprowadzone pojęcia (np. pole wartości ekonomicznej z jego dziedziną i zakresem, pole entro-pii ekonomicznej z odpowiednią dziedziną i zakresem, stopa dyskontowa z dzie-dziną i zakresem) powinny się pojawić w podstawowym układzie różniczkowych równań pola teorii ekonomicznej (związki kinematyczne w układzie ekonomicz-nym, prawa zachowania pędu „ekonomicznego” i „energii” ekonomicznej oraz równania konstytutywne układu ekonomicznego). Układ równań pola teorii ekonomicznej winien być uzupełniony ekonomicznymi warunkami początkowo--brzegowymi tak, aby równania pola i warunki zewnętrzne określały przebieg realnego procesu ekonomicznego. Dopiero po podaniu kompletnych sformuło-wań można wyciągnąć wnioski wynikające z teorii naprężeń cieplnych lub ze znajomości rozwiązań równań Naviera-Stokesa. Na koniec podkreślmy, że nasze rozważania są prowadzone przy założeniu, że model można stosować w eko-nomii wtedy, gdy siły zewnętrzne są niezależne od sił wewnętrznych (napręże-niowych).

Page 17: pobierz artykuł

Modele równowagowe i nierównowagowe... 123

Literatura

Anselm A., Podstawy fizyki statystycznej i termodynamiki, PWN, Warszawa 1984.Arnold V., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975.Arvid A., Lecture Notes in Economics and Mathematical System, nr 31, Springer-Verlag,

New York.Biney J.J. i in., Zjawiska krytyczne, PWN, Warszawa 1998.Encyklopedia fizyki, PWN, Warszawa 1974.Encyklopedia matematyczna, t. 1–5, Moskwa 1979–1983.Gelfand J., Fomin S.W., Rachunek wariacyjny, PWN, Warszawa 1975.Groot S.R., Mazur P., Nonequilibrum Thermodynamics, Dover 1984.Huang K., Mechanika statystyczna, PWN, Warszawa 1978.Kjelstrup S., Rubi J.M., Bedeaux D., Active Transport. A Kinetic Description Based on

Thermodynamic Ground, http://avxiv.org/abs/conol-mat/0412493.Klecha T.A., O istocie kapitału, Miscellanea Oeconomicae nr 2, Kielce 2006.Klecha T.A., O naprężeniach kapitału, Studia i Prace Wydawnictw Naukowych i Zarzą-

dzania, nr 11, Szczecin 2008.Klecha T.A., Teorie wymiany w ekonomii, Księga jubileuszowa dedykowana Profesorowi

Tadeuszowi Staniszowi, AE w Krakowie, Kraków 2006.Klecha T.A., Truesdellowski model kapitału i pieniądza [w:] Informacja ekonomiczno-

-finansowa jako podstawa zarządzania podmiotami gospodarczymi, red. J. Czekaj, WSBiF, Bielsko-Biała 2006.

Klecha T.A., Truesdellowski model kapitału i pieniądza II [w:] Informacja ekonomiczno--finansowa, red. S. Owsiak, WSBiF, Bielsko-Biała 2007.

Kosiorowski D., Statystyczne teorie kształtu w wielowymiarowej analizie porównawczej zjawisk ekonomicznych, Kraków 2006 (praca doktorska).

Landau L.D., Lifszyc E.M., Hydrodynamika, PWN, Warszawa 1994.Landau L.D., Lipszyc E.M., Fizyka statystyczna I, II, Warszawa 1978.Landau L.D., Lipszyc E.M., Mechanika, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa

2009.Mirowski P., From Mandelbrot to Chaos in Economics Theory, „Southern Economics

Journal” 1990, vol. 57.Mirowski P., More Heat Than Light, Economics as Social Physics, Physics as Nature

Ekonomics, Cambridge University Press, 1989.Nowacki W., Dynamiczne zagadnienie sprężystości, PWN, Warszawa 1966.Penrose R., Droga do rzeczywistości, Prószyński i Spółka, Warszawa 2004.Perzyna P., Termodynamika materiałów niesprężystych, WNT, Warszawa 1978.Planck M., Gluchgewichtsmstande isotroper Kǒrper in werschiedenen Temperaturen,

Th. Ackermann, München 1880.Planck M., Vorlesungen über Thermodynamic, Berlin 1897.Rubi J.M., Vilar J.M.G., The Mesoscopic Dynamics of Thermodynamic Systems, http://

arxiv.org/abs/cond-mat/0511651.Rychlewski J., Teoria symetrii, WNT, Warszawa 1992.Salach J., Termodynamika, Zamiast korepetycji..., Kraków 1999.

Page 18: pobierz artykuł

Tadeusz Klecha, Antoni Kasprzycki, Jan Szeja124

Schuster H.G., Chaos deterministyczny, PWN, Warszawa 1995.Truesdell C., A First Course Rational Continuum Mechanics, The Johns Hopkins Univer-

sity Baltimore, Maryland 1972.Vilar J.M.G., Rubi J.M., Termodynamics „beyond” Local Equilibrum, http://arxiv.org/

abs/conol-mat/0110614.Weron W., Weron R., Inżynieria finansowa, WNT, Warszawa 1998.

Equilibrium and Non-Equilibrium Models in the Description of Economic Processes. The Problems of Capital Mass Preservation

The paper proves that the description of economic processes may be based on equilibrium and non-equilibrium models which are effectively analysed in fluid mechanics. The authors also prove that the capital mass preservation principle is not applicable to economics.

Tadeusz Klecha – doktor, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie, Wydział Finansów, Katedra Mate-matyki.

Zainteresowania naukowo-badawcze: teoria przepływu kapitału.

e-mail: [email protected]

Antoni Kasprzycki – magister, Wyższa Szkoła Ekonomii, Turystyki i Nauk Społecznych w Kielcach, Wydział Ekonomiczny.

Zainteresowania naukowo-badawcze: teoria przepływu kapitału i pieniądza.

e-mail: [email protected]

Jan Szeja – doktor, Wyższa Szkoła Ekonomii, Turystyki i Nauk Społecznych w Kielcach, Wydział Ekonomiczny.

Zainteresowania naukowo-badawcze: analiza statystyczna.

e-mail: [email protected]