Pi prezentacja
65
π π π π π π
Transcript of Pi prezentacja
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
! "#$%!&' ()&*+, π
!"#$%&'()&*" +,--
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
3!4!
$&'/%+
30)1.+ 5+6%%+
-'()*+ π . 7+"$7+"1($
80)1*&'9+:'$ &'()*1 π
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
!"#$%&'( )!*+ ,!* #!"#($! -%. *!/0( 0123( 4(*5!0 '!)&'!)("#$(+
)1 #$!"#( 10 0&6$%",%7
8
8 9:
8 9:9;<=>;8;?<@<8=
A1 $%& ,&-) 0&6$%",!B
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
!"#$%&'( )!*+ ,!* #!"#($! -%. *!/0( 0123( 4(*5!0 '!)&'!)("#$(+
)1 #$!"#( 10 0&6$%",%7
π 6= 8
8 9:
8 9:9;<=>;8;?<@<8=
A1 $%& ,&-) 0&6$%",!B
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
!"#$%&'( )!*+ ,!* #!"#($! -%. *!/0( 0123( 4(*5!0 '!)&'!)("#$(+
)1 #$!"#( 10 0&6$%",%7
π 6= 8
π 6= 8, 9:
8 9:9;<=>;8;?<@<8=
A1 $%& ,&-) 0&6$%",!B
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
!"#$%&'( )!*+ ,!* #!"#($! -%. *!/0( 0123( 4(*5!0 '!)&'!)("#$(+
)1 #$!"#( 10 0&6$%",%7
π 6= 8
π 6= 8, 9:
π = 8, 9:9;<=>;8;?<@<8=...?
A1 $%& ,&-) 0&6$%",!B
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
!"#$%&'( )!*+ ,!* #!"#($! -%. *!/0( 0123( 4(*5!0 '!)&'!)("#$(+
)1 #$!"#( 10 0&6$%",%7
π 6= 8
π 6= 8, 9:
π = 8, 9:9;<=>;8;?<@<8=...?
A1 $%& ,&-) 0&6$%",!B
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$%&'
!"#$%&'
(!)!*$ &!+, -./-0!1 2-3'4 ! 5'6 &!7- 68!0#$%94 ,-
!
= π
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"# π $%&'%#()*
!"#$%&!'( )#*+& ,"-."%&/(0 %* 1!$1-'*2 $3.$4- 4$ 5#*4'(+& .*
.1,&1!2(+6 2$7"+6 8*1! !"2( 1"9: ; <#,&'"89'(*8 3"#4,$ ,3/(%$'&
='" !&/* <$,.$/(7& (9 <$9("#&>:
?,(5 '(* <$.(''$ '"1 !$ 4,(.(@: A1,"2 .(*9&0 %* .1,&1!2(* 2$7" 1B
CD-#"9( <$4$3'&9(: E"!*9 1!$1-'2( $4<$.(*4'(+6 47-D$5+( 1B
,"+6$."'*:
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"# π $%&'%#()*
!"#$%&!'( )#*+& ,"-."%&/(0 %* 1!$1-'*2 $3.$4- 4$ 5#*4'(+& .*
.1,&1!2(+6 2$7"+6 8*1! !"2( 1"9: ; <#,&'"89'(*8 3"#4,$ ,3/(%$'&
='" !&/* <$,.$/(7& (9 <$9("#&>:
?,(5 '(* <$.(''$ '"1 !$ 4,(.(@: A1,"2 .(*9&0 %* .1,&1!2(* 2$7" 1B
CD-#"9( <$4$3'&9(: E"!*9 1!$1-'2( $4<$.(*4'(+6 47-D$5+( 1B
,"+6$."'*:
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$#%&!'()*"+,* -,$'.
!"#$% π &'( )*)+,%-.*/0 '/-12 &)*34"#45&6'% #%'2#!7"#%
*$4".*/"! '4 '#*-%"8 .% )*,4 ! *$'12 9*3%: ;4'.!4 2,%64<*= >4
64<* +"#? &!7 ' 	*3%"8:
@,% )4'.*/"! )-#?)*A!.%A?B
= π!
" = Cπ!
D%9 &!,.!4 #%)%2%E( 64 '#*-? ' )%A!70 .!4"8 /'!%2"#? "?6%6 #
F!,!*.4-1' G6H.IB
;?6%.!4B ;*,4 E%9!4E J<+-? .!<2? .!4 $72#!4 ,!"#$( "%39*'!6(K
L2)*'!42M )*)-%'.%B N*3%
O# '-*"3%'&9!4<* )*-6%,+ A%64A%6?"#.4<*P
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$#%&!'()*"+,* -,$'.
!"#$% π &'( )*)+,%-.*/0 '/-12 &)*34"#45&6'% #%'2#!7"#%
*$4".*/"! '4 '#*-%"8 .% )*,4 ! *$'12 9*3%: ;4'.!4 2,%64<*= >4
64<* +"#? &!7 ' 	*3%"8:
@,% )4'.*/"! )-#?)*A!.%A?B
= π!
" = Cπ!
D%9 &!,.!4 #%)%2%E( 64 '#*-? ' )%A!70 .!4"8 /'!%2"#? "?6%6 #
F!,!*.4-1' G6H.IB
;?6%.!4B ;*,4 E%9!4E J<+-? .!<2? .!4 $72#!4 ,!"#$( "%39*'!6(K
L2)*'!42M )*)-%'.%B N*3%
O# '-*"3%'&9!4<* )*-6%,+ A%64A%6?"#.4<*P
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$ π "%&#%!%'
!"#$%& '(" %)*+, %-' .("/0 /102+(3 40 0'%"'(" !02(0 $"% 1,50/(6,
#(7 #%/("!2"'("8 9" *(:$;0 π 5"#% '("#+,<:$,'03 =$ /!,:60/#+(">,
1,!%0*? .0%".0%):$'">,@
4("#+,<:$,') %, .0 ,'0 :, '05/)9"5 ,>,' A!,$/('(7:(" 2$("#(7%'"B3
C :, /(7:"5 5"#% ,', '(",+!"#,/" AD,E0'' F0.;"!% GHIH !3B3 J %,
5?9 5& +/0*(K+?5" 2, #$"!,+(">, >!,'0 *(:$; '("/).("!'):E3
L$(7+( 2,/,2,/( M"!2('0'20 F('2".0''0 ,2 !,+? GNNO *(:$;0
$0#(020 / >!,'(" $0:'):E *(:$; 1!$"#%71'):E3
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$ π "%&#%!%'
!"#$%& '(" %)*+, %-' .("/0 /102+(3 40 0'%"'(" !02(0 $"% 1,50/(6,
#(7 #%/("!2"'("8 9" *(:$;0 π 5"#% '("#+,<:$,'03 =$ /!,:60/#+(">,
1,!%0*? .0%".0%):$'">,@
4("#+,<:$,') %, .0 ,'0 :, '05/)9"5 ,>,' A!,$/('(7:(" 2$("#(7%'"B3
C :, /(7:"5 5"#% ,', '(",+!"#,/" AD,E0'' F0.;"!% GHIH !3B3 J %,
5?9 5& +/0*(K+?5" 2, #$"!,+(">, >!,'0 *(:$; '("/).("!'):E3
L$(7+( 2,/,2,/( M"!2('0'20 F('2".0''0 ,2 !,+? GNNO *(:$;0
$0#(020 / >!,'(" $0:'):E *(:$; 1!$"#%71'):E3
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$ π "%&#%!%'
!"#$%& '(" %)*+, %-' .("/0 /102+(3 40 0'%"'(" !02(0 $"% 1,50/(6,
#(7 #%/("!2"'("8 9" *(:$;0 π 5"#% '("#+,<:$,'03 =$ /!,:60/#+(">,
1,!%0*? .0%".0%):$'">,@
4("#+,<:$,') %, .0 ,'0 :, '05/)9"5 ,>,' A!,$/('(7:(" 2$("#(7%'"B3
C :, /(7:"5 5"#% ,', '(",+!"#,/" AD,E0'' F0.;"!% GHIH !3B3 J %,
5?9 5& +/0*(K+?5" 2, #$"!,+(">, >!,'0 *(:$; '("/).("!'):E3
L$(7+( 2,/,2,/( M"!2('0'20 F('2".0''0 ,2 !,+? GNNO *(:$;0 π
$0#(020 / >!,'(" $0:'):E *(:$; 1!$"#%71'):E3
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!" #$%!&' π (")*+,-./ ( ,0!"012!$/3
!"# #$ %&"&'()*%! +,#&()!- .%, /!"# $(& #,01$ 2,3,"4!3 53,"4627
*%, #!8 #,37 *$ 3$8!3, "+$#1&9 2$164 (&"-
:)!;2"%,3 1&(','&#!3 <='%)! $*%,2)>*)! 1$4$-
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!" #$%!&' π (")*+,-./ ( ,0!"012!$/3
!"# #$ %&"&'()*%! +,#&()!- .%, /!"# $(& #,01$ 2,3,"4!3 53,"4627
*%, #!8 #,37 *$ 3$8!3, "+$#1&9 2$164 (&"-
:)!;2"%,3 1&(','&#!3 <='%)! $*%,2)>*)! 1$4$-
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$%" &'(')
!" #$%&#' ()* (+$,-)&.!/ 012,3$ $ ),&!43& "$5$ . +1-'1$,-)&6
7!%,' .'189 0&:;3):-3' #! (.$<& -3)&"(-0!5:&3)!6
7$5$ 1$.&1$.& :-' (!#$:;$,$.& 3)& <&(0 "$5&# #!0&#!0':-3'#=
&,3!"> ?,' $,1-2:)#' 3!(- 1'?$1'-#> 0$ :-' .@18, +1-'1$,'
-3!<,-)&#' +1-'"5!, "$5!A
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$%" &'(')
!" #$%&#' ()* (+$,-)&.!/ 012,3$ $ ),&!43& "$5$ . +1-'1$,-)&6
7!%,' .'189 0&:;3):-3' #! (.$<& -3)&"(-0!5:&3)!6
7$5$ 1$.&1$.& :-' (!#$:;$,$.& 3)& <&(0 "$5&# #!0&#!0':-3'#=
&,3!"> ?,' $,1-2:)#' 3!(- 1'?$1'-#> 0$ :-' .@18, +1-'1$,'
-3!<,-)&#' +1-'"5!, "$5!A
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$%&' $()%*$+," -)% .%/0$1 -" 2'3"#45
!"#$!%&'( "!)! *!+,')!-
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$%&' $()%*$+," -)% .%/0$1 -" 2'3"#45
!"#$!%&'( "!)! *!+,')!-
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#
!"#$%& '()* +& , -.#/.01#(& 2",&3 4$5" 6(&7'!" 2(& %&'3 !$589
:&% !'#3";3 %&'3 #<5(+02/ 10 -"."<050(1/ 0<.030,&%=
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#
!"#$%& '()* +& , -.#/.01#(& 2",&3 4$5" 6(&7'!" 2(& %&'3 !$589
:&% !'#3";3 %&'3 #<5(+02/ 10 -"."<050(1/ 0<.030,&%=
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$%
!"#$%&'&$()*'&$ +, -,./ $0&!)/ '1)*2!34$ ' !"#1",+#&$5
6&$"')#$ !"/', 7$!0$"/ 89:;9<9=>?@ A.,)&B
7/C+/ !0/D$*/ E-./+3 F.,D$%#D$A, !,"3)#/ )&2 ',-G. F.,(%/ !,
$0&!)&$5 F.,(%$ 0$C1 ' 4$+D1H # ,AD&)- *$4 $0&!)15
I%#1'&J%&$ D/ "3%K !0/D$* '!.1'/ )&./ A"/'&*/%4& &DD1%K !0/D$*L
+0/*$A, "3%K D&$ ,+M1'/ )&2 !, &+$/0D$4 $0&!)&$5
N&% ' !"#1",+#&$ D&$ 4$)* +,)-,D/.$5
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$%
!"#$%&'&$()*'&$ +, -,./ $0&!)/ '1)*2!34$ ' !"#1",+#&$5
6&$"')#$ !"/', 7$!0$"/ 89:;9<9=>?@ A.,)&B
7/C+/ !0/D$*/ E-./+3 F.,D$%#D$A, !,"3)#/ )&2 ',-G. F.,(%/ !,
$0&!)&$5 F.,(%$ 0$C1 ' 4$+D1H # ,AD&)- *$4 $0&!)15
I%#1'&J%&$ D/ "3%K !0/D$* '!.1'/ )&./ A"/'&*/%4& &DD1%K !0/D$*L
+0/*$A, "3%K D&$ ,+M1'/ )&2 !, &+$/0D$4 $0&!)&$5
N&% ' !"#1",+#&$ D&$ 4$)* +,)-,D/.$5
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$%
!"#$%&'&$()*'&$ +, -,./ $0&!)/ '1)*2!34$ ' !"#1",+#&$5
6&$"')#$ !"/', 7$!0$"/ 89:;9<9=>?@ A.,)&B
7/C+/ !0/D$*/ E-./+3 F.,D$%#D$A, !,"3)#/ )&2 ',-G. F.,(%/ !,
$0&!)&$5 F.,(%$ 0$C1 ' 4$+D1H # ,AD&)- *$4 $0&!)15
I%#1'&J%&$ D/ "3%K !0/D$* '!.1'/ )&./ A"/'&*/%4& &DD1%K !0/D$*L
+0/*$A, "3%K D&$ ,+M1'/ )&2 !, &+$/0D$4 $0&!)&$5
N&% ' !"#1",+#&$ D&$ 4$)* +,)-,D/.$5
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$%
!"#$%&'&$()*'&$ +, -,./ $0&!)/ '1)*2!34$ ' !"#1",+#&$5
6&$"')#$ !"/', 7$!0$"/ 89:;9<9=>?@ A.,)&B
7/C+/ !0/D$*/ E-./+3 F.,D$%#D$A, !,"3)#/ )&2 ',-G. F.,(%/ !,
$0&!)&$5 F.,(%$ 0$C1 ' 4$+D1H # ,AD&)- *$4 $0&!)15
I%#1'&J%&$ D/ "3%K !0/D$* '!.1'/ )&./ A"/'&*/%4& &DD1%K !0/D$*L
+0/*$A, "3%K D&$ ,+M1'/ )&2 !, &+$/0D$4 $0&!)&$5
N&% ' !"#1",+#&$ D&$ 4$)* +,)-,D/.$5
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$%
!" #$%&'( )( *+, -'&.$/#0+ ! π1
!"
# 2!
!
3
!
"
!
"
# $ #$
! "#$%!&' ()&*+, π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$%
!" #$%&'( )( *+, -'&.$/#0+ ! π1
= π!"
# 2!
!
3
"
$
"
3 $
"
%$
#
4
5
! " !"
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$%
!" #$%&'( )( *+, -'&.$/#0+ ! π1
= π!"
# = 2!
∫
!
√3− ǫ"$"√3− $
"
%$
#
4
5
! " !"
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$%
!" #$%&'( )( *+, -'&.$/#0+ ! π1
= π!"
# = 2!
∫
!
√3− ǫ"$"√3− $
"
%$
# ≈ π(4
5
(! + ")−√!")
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$% &%'((%
(!) =
σ√!π
"
−( −µ)
σ
"#$%&'()* +,- . ' /
!
!
"
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$% &%'((%
(!) =
σ√!π
"
−( −µ)
σ
"#$%&'()* +,- µ = . ' σ = /
(!) = √!π
"
−
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$% &%'((%
!"#$%&'( )%)*+ , "#"-.')/! 0'/1 2#&34'5 6#20'.6+7
8%)*+ $'3!% /'3 ,&2#9$: ,!%.3#;< 9$#"+: !6$%.!=%6)/': 777
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$% &%'((%
!"#$%&'( )%)*+ , "#"-.')/! 0'/1 2#&34'5 6#20'.6+7
8%)*+ $'3!% /'3 ,&2#9$: ,!%.3#;< 9$#"+: !6$%.!=%6)/': 777
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#$#
!"#$# %&'( '!$")* + ,-#. '!$")/ π %#01*2345 6/$"54 4/7& 01/8/+ "/9
26"#-/45 0!* % 6/$:3;7/$: 6<.;!$"7&%#$: 51$=
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#!$%& '"# ($%)*+
!" #$%!&' π (")*+,-./ ( ,0!"012!$/3 %!" *"#41 ( 5')!"6 1,$)$/
,0!"012" 7( )*(10!15"6 ,0!/! 5') 612/#-89
:; *1 ,"*'5$' 5'*-0" <#1!1<%!5/. $ .'41 *'4$/ ./ ,1!1)*'($6"=
!"#$%&' %()*+$,-. /%,!-#012! 345657
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
7!8!
$&'/%+
70)1.+ 9+:%%+
!"#!$%& '"# ($%)*+
!" #$%!&' π (")*+,-./ ( ,0!"012!$/3 %!" *"#41 ( 5')!"6 1,$)$/
,0!"012" 7( )*(10!15"6 ,0!/! 5') 612/#-89
:; *1 ,"*'5$' 5'*-0" <#1!1<%!5/. $ .'41 *'4$/ ./ ,1!1)*'($6"=
!"#$%&' %()*+$,-. /%,!-#012! 345657
;+ "0!/+(< &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"# $ %&'(#
!"#$%&' ()*+
!
π
!
,
-%.+/01234+5 ()*+ 6π
"
,
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$%&&'("#)% *)+, -!.(-!.%/'
π − = !
"#$%& '( )*+, (-./-0(*1.2%&$3 24-5&$3 6-416-4&7*
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$%&'()* +,'-+,'#!".,
∫
∞
−∞
−
!" =√ π
!"#$%&'()*( +*, '-*.'/0 ' /&'1-. 2$0++$ #"'"+%$-*$31 0-$4)13
5'1%(6)*/"37
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$%&'()* +,'-+,'#!".,
∫
∞
−∞
−
!" =√ π
!"#$%&'()*( +*, '-*.'/0 ' /&'1-. 2$0++$ #"'"+%$-*$31 0-$4)13
5'1%(6)*/"37
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#
!"
#$% π&
'("
#$% )π&
'"
#$%
π
&
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$%& '()*+"+,&'()$-"&
!"#$ $%&'$( % !)$%&'$( * +π
!"#$ ,(&-#&$( % !),(&-#&$( * π
.'&!/0# ,"1-)&)2#,"1/3&# 41!)"31$,(5% 6"1,10$/1 !)5)&%3(,)"31 7"31
)65%/3(&%' 41$)!)8/% 9)'&, :;#"#$,' <=>?+ "@A@
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$%& '()*+"+,&'()$-"&
!"#$ $%&'$( % !)$%&'$( * +π
!"#$ ,(&-#&$( % !),(&-#&$( * π
.'&!/0# ,"1-)&)2#,"1/3&# 41!)"31$,(5% 6"1,10$/1 !)5)&%3(,)"31 7"31
)65%/3(&%' 41$)!)8/% 9)'&, :;#"#$,' <=>?+ "@A@
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$"%&$" '()"
!" #$ %&' %()*%+,-).$/ (.$#,$+0 ) 1)2- ,3.*"4 1)2- #$*56) ()7$8
95%+ +) :5#5* ! +,!5;< +!.= 1,)>2543. #52&:%(&;<=
",(254 & 2&*&:(? %&' *&5 -#$= @25 4)A5 ! 1)4);? .$2;$8
! "#$%!&' ()&*+, π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$"%&$" '()"
!" #$ %&' %()*%+,-).$/ (.$#,$+0 ) 1)2- ,3.*"4 1)2- #$*56) ()7$8
95%+ +) :5#5* ! +,!5;< +!.= 1,)>2543. #52&:%(&;<=
",(254 & 2&*&:(? %&' *&5 -#$= @25 4)A5 ! 1)4);? .$2;$8
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$"%&$" '()"
!" #$ %&' %()*%+,-).$/ (.$#,$+0 ) 1)2- ,3.*"4 1)2- #$*56) ()7$8
95%+ +) :5#5* ! +,!5;< +!.= 1,)>2543. #52&:%(&;<=
",(254 & 2&*&:(? %&' *&5 -#$= @25 4)A5 ! 1)4);? .$2;$8
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!" #$%"&' ()'*$+) ,%&) +-!*./%-0)
!"#$%&'(% )*% +)(, -).' /+%0'*#1% /%,()-23'1% 4)!,1*#1%5
6!78%1,9,0 :"#0-:;, +!"#$(%&,*%, <*' =>?-27%,@A
B
CCBD
EF>=
B
CBBG
=BHD
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!" #$%"&' ()'*$+) ,%&) +-!*./%-0)
!"#$%&'(% )*% +)(, -).' /+%0'*#1% /%,()-23'1% 4)!,1*#1%5
6!78%1,9,0 :"#0-:;, +!"#$(%&,*%, <*' =>?-27%,@A
B
CCBD
EF>=
< π < B
CBBG
=BHD
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$%!& '!()$*+!('',)- .+$%/.
!"#" $% & '()
*
π=
√*
*
·√
*+√*
*
·
√
*+√
*+√*
*
...
+,-. , /01,"23 45060#7(
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$%!& '!()$*+!('',)- .+$%/.
!"#$% &'( )*!$*( +,-,. /01
23$456'7 #38#"9 8:4;'(95< =
>?@AB80
!"
=
= = = =
C9$456' DE F4*G;5 :# :/6*54(?! +84*$#?@A # =
!
3#?'5<H10
I' G*J# 56*KL $4563M N 6 /6'"?'N 3# 6 /6'"?'N '$* G*"('?N ('698'
;4M $!"#$O(@0
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$%!& '!()$*+!('',)- .+$%/.
!"#$% &'( )*!$*( +,-,. /01
23$456'7 #38#"9 8:4;'(95< =
>?@AB80
π = !"
→∞=
√
=−
√
=+
√
=+ ...+√=
C9$456' DE F4*G;5 :# :/6*54(?! +84*$#?@A # =
!
3#?'5<H10
I' G*J# 56*KL $4563M N 6 /6'"?'N 3# 6 /6'"?'N '$* G*"('?N ('698'
;4M $!"#$O(@0
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$%!& '!()$*+!('',)- .+$%/.
!"#$% &'( )*!$*( +,-,. /01
23$456'7 #38#"9 8:4;'(95< =
>?@AB80
π = !"
→∞=
√
=−
√
=+
√
=+ ...+√=
C9$456' DE F4*G;5 :# :/6*54(?! +84*$#?@A # =
!
3#?'5<H10
I' G*J# 56*KL $4563M πN 6 /6'"?'N 3# 6 /6'"?'N '$* G*"('?N ('698'
;4M $!"#$O(@0
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$%!& '!()$*+!('',)- .+$%/.
!"# $%&&'( )*+,+ -./
π
0
=0 · 0 · 1 · 1 · + · +2 · 2 · , · , · 3 · 3 ...
45'6#'7 )*+32 -./
1
*
*
2
*
,
*
3
*
8
9%-:7! ;!&#! 76'5<#=.
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$%!& '!()$*+!('',)- .+$%/.
!"# $%&&'( )*+,+ -./
π
0
=0 · 0 · 1 · 1 · + · +2 · 2 · , · , · 3 · 3 ...
45'6#'7 )*+32 -./
π
1
= *− *
2
+*
,
− *
3
+*
8
− ...
9%-:7! ;!&#! 76'5<#=.
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$%!& '!()$*+!('',)- .+$%/.
!"#$ %&'((( )*+
π
,
= -+-
.
+-
/
+-
01
+-
2,
+ ...
.
-
-
0
!
!
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$%!& '!()$*+!('',)- .+$%/.
!"#$ %&'((( )*+
π
,
= -+-
.
+-
/
+-
01
+-
2,
+ ...
.
π= -+
-
0+ !
+ !
+...
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$%!& '!()$*+!('',)- .+$%/.
π =
[
!"#$!%
(
&
'
)
+ !"#$!%
(
&
(
)
+ !"#$!%
(
&
)
)]
!"#$!%( ) = −
*
+
!
(
−
"
+
+
#
,
− ...
-./$ 0121#%34 5637 %8. $"9.:! ;8#93< 7!6%3#= 08.">8!/$?@>A
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!" #$%&'()!*+
!"#$ !"% &' (' )*+,-. /' 0&123- 456+3756+ %8% *+19:3 &;74+2+<3+='
!"! &' >8?@ *+19:3 ABCD(EF
!#% &' 8888 *+19:3
!@" &' 888888 *+19:3
'''
0 9=G+* 316H 6+375*5 =I ,561J 01KLHM N+3-=L= )7H&G= 4
;O6+3712+=3- P7+1*:G+3-P 45:,=&37Q ?$" 35R&5. 4 PG;:*+37253-P S$@
35R&'
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!" #$%&'()!*+
!"#$ !"% &' (' )*+,-. /' 0&123- 456+3756+ %8% *+19:3 &;74+2+<3+='
!"! &' >8?@ *+19:3 ABCD(EF
!#% &' 8888 *+19:3
!@" &' 888888 *+19:3
'''
0 9=G+* 316H 6+375*5 =I ,561J 01KLHM N+3-=L= )7H&G= 4
;O6+3712+=3- P7+1*:G+3-P 45:,=&37Q ?$" 35R&5. 4 PG;:*+37253-P S$@
35R&'
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$#! $%!&'() *+#)&,'-
!"# $%&'(#)
!"* ' +"%!',-. /0%-#12 (# 3'+"'!* ' 405/'6',-. +5456 7 )
!
"
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$#! $%!&'() *+#)&,'-
!"# $%&'(#)
!"* ' +"%!',-. /0%-#12 (# 3'+"'!* ' 405/'6',-. +5456 7 )
π ≈ !
"
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$% &'(
!"#$%&'()* +,&"#-!)'* %./-!,+012 3 !"#$%&'()2)4 "#-. 5
"!#&- /,.6+7"38.,!38,!"!7%,
*,+%"! 1*6!/!'#7 *#
8-329! 6!&""! 9+8+%*:+!7.-6
;+*1+! 9+8+%*:+!7.-6
<,.3.= "2 *"#4*"+"7/,.67. *#7%,
.6. #!%*)+!- +!7%,
"3*0)+.8(# >7:+%7%,
#-?'8(# ,+)3/.9.7/,..67%,
9!,*) "#*-*.1*#-+!7#! 6* "7%,
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
! "! #$%" &'()*+ π,
-'()*+ π . /0)10!2)'$
-'()*+ π . 3+"$3+"1($
40)1*&'5+6'$ &'()*1 π
!"#$%&'() !* %+*,#
π
!"#$#%&'(%!%)&*&!'!)$('($!!)!'*&%+'))$#&*#(&!&&!*%#+%)'+&*$&
$$%&'!+*)#($+(')('+)&&)(')+!$)'%!$'##*+(*&)'#$)+)(%#!')'!+((
$*+&!)$$(+&%%+%)''!#*'%!%&$+)#')$)###*$%+')$#+'*+#&!)%'##+%%
%&($$(''&$)&%$&!+!)#&($$'))#+&*%((%&!!$$(#')$*%($)'!!*)(*)!#
(%'*#'+#&+&#$%($)%((&'!$(+!$)(#+$%$!'(($)'#!!&!(+*'(+'$&#$#'
*!*'$%)*++((+(!#%%))#*$))#%'+&'+&(')'&'%$+&#*#%!($!(*)&'%&+!
(++##!!+%!+%$))'+$((%'#!)$#$(&%#&$#%##(+&$!!+%*'*+!(%*%&%&#&
%!+&'#)(##*!)#&!'(##*&!#+%##)%$)+*$$('!*&&('*$&%(*!%#))%*%'*'
$)&#''*&!)#)!+##&$&#'&)!!(*!!('$$+(%(($!+)(+'#!&$&$(!&%''$*!*
#&+*+'#*&)(+&$!*+'**+%!&'#*#*('&!#*(*%'!)$(*$)#)$(*((&$+%#!'+
++%()#'*#$%'(!%(+)'**)%**#!$'*%**)&(+&#*!(!*#*)*'#$()$$+&+#'
'$&%!$!+#$(%$&%)%!*#+%+*&''*&()&'%)&'!%$'+#&&%(##'#'&+'#&(+)(
$+!$$#)#%&)#!('&**$**#!+&&(+%#)*+*'##!$&&&&&&)!*'&*)+$&&%#+%&
*!#*!')#(+&(!#)%&%+'$$%&$%%!$(&+)!+'($'%''!+)'%!!$$()%+!%'(#&!
7+ "0!/+(8 &'()*1 π
