PYTANIA Z MECHANIKI TECHNICZNEJ STATYKA (część teoretyczna)

1. Podaj i omów trzy prawa Newtona.

Podstawą mechaniki są trzy prawa Newtona sformułowane w 1687 r. mające fundamentalne

znaczenie w mechanice i wytrzymałości materiałów.

Pierwsza zasada dynamiki (zasada bezwładności)

Istnieje taki układ odniesienia, w którym jeżeli na ciało nie działa żadna siła, lub siły

działające na to ciało równoważą się, to ciało zachowuje stan spoczynku lub porusza się

ruchem jednostajnym po linii prostej.

∑Fi = 0 → v = const. (=0)

Taki układ nazywamy inercyjnym.

Prawo to orzeka, że ciało nie przyspiesza samo z siebie; przyspieszenie musi być

narzucone z zewnątrz. Ciała spoczywające dążą do przebywania w stanie spoczynku,

ciała poruszające się dążą do utrzymania tego ruchu bez zmiany prędkości. Ten opór

ciał wobec zmian stanu ruchu nazywa się bezwładnością (inercją).

Druga zasada dynamiki <zmienności ruchu>

Jeżeli na ciało o masie m działają siły niezrównoważone o wypadkowej F, to ciało

porusza się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem a, takim że a = F/m.

F=ma

Trzecia zasada dynamiki <akcji i reakcji>

Jeżeli ciało A działa na ciało B pewną siłą FAB, to ciało B działa na ciało A siłą FBA

równą co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwnie skierowaną, co wyrażamy wzorem:

FAB = -FBA

Siły te są jednakowe co do wielkości i skierowane przeciwnie, lecz nie znoszą się ani nie

równoważą, gdyż przyłożone są do różnych ciał.

Mechanika oparta o prawa Newtona w zupełności wystarcza do opisu wszystkich

zjawisk mechanicznych, w których występują prędkości znacznie niższe niż prędkości

światła – dotyczy to inżynierskich zastosowań mechaniki w budowie maszyn.

2. Podaj i omów zasady statyki.

Statykę, jako dział dynamiki oparto na następujących zasadach (aksjomatach), których się nie

udowadnia, a przyjmuje jako pewnik.

Zasada pierwsza (zasada równoległoboku). Działanie dwóch sił P1 i P2 można

zastąpić działaniem jednej siły R, działającej na ten sam punkt, będącej przekątną

równoległoboku ABCD zbudowanego na wektorach sił P1 i P2.

Wypadkową R wyznaczamy ze wzoru :

Zasada druga. Jeśli do ciała przyłożone są dwie siły, to równoważą się one tylko wtedy , kiedy mają tę samą linię działania, te same wartości liczbowe i przeciwne zwroty (rys.2) Aby siły te równoważyły się, muszą być spełnione zależności P1 = -P2 P1 = P2 P1 P2 l Rys.2

Zasada trzecia. Skutek działania dowolnego układu sił, przyłożonego do ciała nie zmieni się, jeśli do tego układu dodamy lub odejmiemy dowolny układ równoważących się sił P2 i –P2 czyli tzw. układ zerowy (rys.3) P1 B -P2 A P2

Wynika stąd następujący wniosek: każdą siłę działającą na ciało sztywne można

przesunąć dowolnie wzdłuż jej linii działania.

Zasada czwarta (zasada zesztywnienia). Jeżeli ciało odkształcone znajduje się w równowadze pod działaniem pewnego układu sił, to również pozostanie w równowadze ciało doskonale sztywne (nieodkształcalne) identyczne z poprzednim, pod działaniem tego samego układu sił.

Zasada piąta ( zasada działania i przeciwdziałania). Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości o przeciwnym zwrocie i leżące na tej samej prostej przeciwdziałanie B R R B B R A A A O A G 0 -R G G Rys.4 G = - R

Zasada szósta (zasada oswobodzenia od więzów) Każde ciało można oswobodzić z więzów, zastępując ich działanie reakcjami, a następnie rozpatrując jako ciało swobodne, znajdujące się pod działaniem sił czynnych i biernych (reakcji więzów) A B R1 R2 C G G

Rys.5

R1, R2 – siły reakcji.

3. Omów stopnie swobody, więzy i reakcje (przykłady).

Każde ciało doskonale sztywne mogące poruszać się w przestrzeni nazywamy

ciałem swobodnym.

Stopniem swobody nazywa się możliwość wykonania ruchu ciała niezależnego od

innych ruchów.

Punkt materialny ma na płaszczyźnie dwa, a w przestrzeni trzy stopnie swobody.

Ciało doskonale sztywne ma na płaszczyźnie trzy, a w przestrzeni sześć stopni

swobody.

Trzy stopnie swobody ciała sztywnego na płaszczyźnie oznaczają możliwość dwóch

przesunięć niezależnych w kierunku osi x i y oraz możliwość obrotu ciała w

płaszczyźnie Oxy. Sześć stopni swobody ciała w przestrzeni oznaczają możliwość

trzech niezależnych przesunięć w kierunku osi x, y i z oraz możliwość niezależnego

obrotu ciała wokół tych osi.

Istnieją różne sposoby ograniczenia ruchu ciała – są to tzw. więzy.

Więzy i reakcje:

Więzami nazywamy warunki ograniczające ruch ciała w przestrzeni.

Wprowadzenie więzów jest równoznaczne z działaniem na ciało sił biernych, czyli

reakcji. Najczęstszymi sposobami podparcia ciał sztywnych są: przegub walcowy,

przegub kulisty, podpora przegubowa stała, zawieszenie na cięgnach wiotkich,

oparcie o gładką i chropowatą powierzchnię, utwierdzenie całkowite, podparcie na

prętach zamocowanych przegubowo na obu końcach.

Przegub walcowy.

Ciało sztywne jest osadzone na walcowym sworzniu przechodzącym przez kołowy

otwór wykonany w tym ciele. Po pominięciu siły tarcia jako małej w porównaniu z siłą

normalną R do powierzchni styku linia działania tej reakcji będzie przechodziła przez

oś sworznia. Występujące dwie reakcje Rx i Ry stanowią dwie niewiadome i

umożliwiają wyznaczenie wartości reakcji R i jej kierunku.

Przegub kulisty.

W celu unieruchomienia punktu podparcia w przestrzeni stosuje się przeguby kuliste,

które krępują swobodę przesunięć, ale umożliwiają obrót wokół dowolnej osi. Ich

zakończenie jest wykonane w kształcie kuli, która jest osadzona w łożysku kulistym.

W wyniku pominięcia sił tarcia w przegubie kulistym powstaje reakcja R o dowolnym

kierunku w przestrzeni, przechodząca przez środek kuli i mająca trzy niezależne

składowe Rx, Ry i Rz.

Podpora przegubowa przesuwna (rolkowa).

Ponieważ opór przy przesuwaniu takiej podpory w kierunku poziomym jest bardzo

mały, przyjmuje się, że linia działania reakcji jest prostopadła do płaszczyzny

poziomej (przesuwu).

Podpora przegubowa stała.

W przypadku zastosowania podpory przegubowej stałej koniec podparcia ciała

sztywnego może się obracać dookoła osi przegubu, ale nie może się przemieszczać

w dwóch kierunkach. Przy założeniu, że w przegubie nie ma tarcia, linia działania

reakcji R przechodzi przez punkt A. Powstają dwie niezależne od siebie składowe

reakcje Rx iRy. Rozważając podporę przegubową stałą w przestrzeni należy

zauważyć, że koniec podparcia B nie może się przemieszczać w trzech kierunkach i

dlatego występują trzy niezależne składowe reakcje Rx, Ry iRz.

Zawieszenie na cięgnach wiotkich.

Podwieszenie ciała za pomocą wiotkich cięgien stwarza tzw. podpory kierunkowe

jednostronne, bo cięgna mogą być tylko rozciągane. Reakcje S1 i S2 działają na ciało

wzdłuż tych cięgien, zgodnie z rysunkiem.

Oparcie o gładką i chropowatą powierzchnię.

W przypadku oparcia ciała o gładką powierzchnię (styk punktowy) występuje jedna

reakcja RA, prostopadła do powierzchni styku. Jeżeli powierzchnia będzie

chropowata, to wystąpią dwie składowe reakcji RA: normalna do powierzchni N i

styczna siła tarcia T.

Utwierdzenie całkowite.

Gdy chodzi o zupełne unieruchomienie ciała, wtedy stosuje się utwierdzenie

całkowite. Ciało sztywne na płaszczyźnie ma trzy stopnie swobody, a więc wystąpi

reakcja R o dwóch składowych Rx i Ry oraz moment utwierdzenia M. Rozważając

całkowite unieruchomienie ciała w przestrzeni, należy zastosować takie utwierdzenie,

które przedstawia sześć więzów. Wystąpi wtedy reakcja R o trzech składowych Rx, Ry

i Rz oraz moment utwierdzenia M o trzech składowych Mx, My i Mz .

Ciało podparte na prętach zamocowanych przegubowo na obu końcach (prętach przegubowych).

Ciało sztywne można także unieruchomić przez podparcie na prętach zakończonych

przegubami. Jeżeli pominiemy ciężary własne prętów i tarcie w przegubach, to

reakcje na ciało będą działać wzdłuż tych prętów SA, SB i SC , zgodnie z rysunkiem.

4. Pojęcie skalara i wektora (rodzaje wektorów).

Pojęcie skalara i wektora St.3 B l a A Rys.6 a = AB Moduł wektora a = AB = a Rozróżniamy trzy rodzaje wektorów: - wektory związane z punktem ( wektory uczepione) z a M(x,y,z) 0 r 0 y x

Rys.7 r – promień wektor

- wektory związane z prostą (wektory ślizgające się, wektory posuwne)

l a a a Rys.8 Wektory swobodne –Są określone przez moduł, zwrot oraz kierunek równoległy do ich linii działania. Oznacza to, że wektor swobodny można dowolnie przemieszczać, równolegle do kierunku jego działania. - wersor (wektor jednostkowy) a0 a0 = a0 = 1 Rys.9 - wersory związane z osiami układu prostokątnego z k j y i 0 x Rys.10

5. Wektor w prawoskrętnym układzie kartezjańskim.

Składowe wektora a w układzie kartezjańskim St 4 z z az az a a k β 0 j ay y ay y i ax

ax x x Rys.11

Wartość modułu wektora a 2za2

ya2xaa (2)

cosinusy kątów a

acos x , a

acos y ,

aa

cos z (3) Układ kartezjański prawoskrętny – przy obrocie wersora i w kierunku j wersor k jest

skierowany zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

6. Dodawanie i mnożenie wektorów (zapis oraz ilustracja graficzna).

Iloczyn skalarny dwóch wektorów ab jest to skalar równy iloczynowi modułów wektorów

składowych przez cosinus kąta zawartego między nimi.

Analityczne wyrażenie iloczynu skalarnego wektorów a i b St5 kbjbibkajaiaba zyxzyx

(7)

ponieważ 1kkjjii

patrz (4)

oraz 0ikkjji

stąd (8)

zzyyxx babababa

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów axb jest to wektor, którego moduł równa się iloczynowi

modułów wektorów składowych.

Analityczne wyrażenie iloczynu wektorowego dwóch wektorów kbjbibkajaiaba zyxzyx

(10)

ponieważ 0kkjjii

patrz (6)

kji

, ikj

, jik

patrz (5) kij

, ijk

, jki

(11)

stąd wyrażenie (10) jest rozwinięciem wyznacznika

zyx

zyxbbbaaakji

ba

Przykład 1

Dane są wektory k4j6i3a

, k7j5i2b

Obliczyć: a) sumę wektorów cba

b) kąt między tymi wektorami ab c) wartości kątów ,β, jakie wektor c tworzy z osiami współrzędnych 0xyz d) wartość iloczynu skalarnego wektorów a i b e) iloczyn wektorowy, wektorów dba

f) wartość wektora d

Rozwiązanie

ad a) k11j1i5bac

12,121115c 222 (a)

ad b) z (4) ab

bacos ab

St.6

z (9) 474)5(623ba

z (2) 81,7463a 222

83,87)5(2b 222 ostatecznie 058,0

83,881,74

abcos

67,86ab

ad c) z (3) 412,012,12

5c

ccos x 064,65

0825,012,12

1c

ccos y 027,85

907,012,12

11cc

cos z 082,24

ad d) iloczyn ten obliczono w punkcie b) 4ba

ad e) z (12)

6253k2473j4576i752463kji

ba

k27j13i62dba

ad f) z (2) 86,68)27()13(62d 222

7. Analityczne wyznaczanie wypadkowej przestrzennego układu sił zbieżnych.

Zbieżne układy sił:

Płaski lub przestrzenny układ sił zbieżnych P1, P2, .. Pi, ..Pn przyłożonych do jednego punktu 0 można zastąpić jedną siłą wypadkową P przyłożoną w tymże punkcie i równą sumie geometrycznej tych sił (rys.14). P2 P = P12 + P3 P P12 = P1 + P2 P3 P1 0 Rys.14

Analityczny sposób wyznaczenia wypadkowej przestrzennego układu sił zbieżnych

polega na wyznaczeniu składowych wypadkowej Px, Py i Pz w prostokątnym układzie

współrzędnych Oxyz

Wartość liczbową wypadkowej P oraz jej cosinusy kierunkowe wyznaczamy ze

wzorów

Analityczny sposób wyznaczania wypadkowej przestrzennego układu sił zbieżnych (rys.15). z Pi Pi+1 i βi

0 y i Pn P2 P1 x Rys.15 Składowe siły Pi na osie prostokątnego układu 0xyz (rys.16) z Piz Pi Piy y Pix x Rys.16

8. Równowaga płaskiego i przestrzennego układu sił zbieżnych.

Geometryczny warunek równowagi (metoda geometryczna) płaskiego układu sił

zbieżnych brzmi: aby układ sił zbieżnych działających w jednej płaszczyźnie

znajdował się w równowadze, wielobok utworzony ze wszystkich sił tego układu

musi być zamknięty.

Analityczny warunek równowagi (metoda analityczna) płaskiego układu sił

zbieżnych (czynnych i reakcji więzów) brzmi następująco: aby siły zbieżne leżące

w jednej płaszczyźnie były w równowadze, sumy rzutów tych sił na osie układu

współrzędnych muszą być równe zeru

Równowaga przestrzennego układu sił zbieżnych Warunki równowagi (równania równowagi) w postaci analitycznej

ni

1i

ni

1iiiixx 0cosPPP

ni

1i

ni

1iiiiyy 0cosPPP (18)

ni

1i

ni

1iiiizz 0cosPPP

9. Moment siły względem punktu.

Moment siły względem punktu Moment siły P względem punktu 0 nazywamy odłożony z punktu 0 wektor M0, równy iloczynowi wektorowemu promienia wektora r i wektora siły P.

PrM0

Wartość bezwzględna wektora M0

F2PhsinPrM0 (21) gdzie: h = rsin, F pole trójkąta 0AB

Z przyjętego określenia momentu siły względem punktu wynikają następujące własności:

- wektor Mo jest prostopadły do płaszczyzny określonej wektorami r i F o zwrocie określonym regułą śruby prawoskrętnej, - symbol momentu Mo musi być opatrzony indeksem, wskazującym punkt, względem którego moment jest obliczany, ponieważ moment ten zależy od wyboru tego punktu, - wartość momentu, jako moduł wektora, jest określona wzorem.

),sin( FrFrM o (2.2)

gdzie: sin( Fr, ) – kąt między wektorami r a F, sprowadzonymi do wspólnego punktu,

10. Moment siły względem dowolnego punktu w przestrzeni (twierdzenie

Varignona).

Moment siły względem dowolnego punktu 0 w przestrzeni:

Moment siły P względem punktu 0, w układzie Kartezjańskim zgodnie z rachunkiem wektorowym można przedstawić jako iloczyn wektorowy dwóch wektorów (rys.23)

k)PrPr(j)PrPr(i)PrPr(PPPrrrkji

PrM xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx0

(22)

gdzie 12x xxr 12y yyr 12z zzr

Wzór (22) można zapisać kMjMiMM zyx0

Twierdzenie Varignona Moment siły wypadkowej P przestrzennego układu sił zbieżnych względem dowolnego punktu 0 jest równy sumie geometrycznej momentów tych sił względem tego samego punktu (24).

ni

1i

ni

1i

ni

1i0iii0 M)Pr(PrPrM

11. Wypadkowa dwóch sił równoległych zgodnie skierowanych.

Z podobieństwa trójkątów:

AEF i ACD 1

1

PS

CDAD

, BCD i BGH 2

1

2

2

PS

PS

CDBD

(25)

Dzieląc stronami równania (25) otrzymujemy:

1

2

PP

BDAD

(26)

Dodając stronami równania (25) i przekształcając otrzymamy:

21

2

PPPABAD

, 21

1

PPPABBD

Wypadkowa dwóch sił równoległych zgodnie skierowanych działa równolegle do tych sił i

ma zwrot zgodny ze zwrotami tych sił. Jej wartość jest równa sumie wartości tych sił, a jej

linia działania dzieli wewnętrznie odległość między liniami działania sił w stosunku

proporcjonalnym do wartości tych sił.

12. Para sił i moment pary sił.

Układ dwóch sił równoległych o równych wartościach, lecz różnych zwrotach nazywamy parą sił. Płaszczyzna, w której leżą obie siły, jest płaszczyzną pary sił. Ramieniem pary sił nazywamy odległość między liniami działania obu sił.

Warunek równowagi par sił. Dowolna liczba par sił działających w jednej płaszczyźnie lub w płaszczyznach równoległych jest w równowadze wtedy, gdy algebraiczna suma ich momentów jest równa zeru.

Każdą parę sił możemy zastąpić wektorem momentu sił i odwrotnie - każdy wektor momentu sił możemy zastąpić parą sił, jeśli tylko iloczyn wartości siły i odległości między siłami wynosi M. Moment pary sił uważamy za dodatni, jeżeli para dąży do obrócenia swego ramienia w stronę przeciwną do ruchu wskazówek zegara. Jeżeli para dąży do obrócenia swego ramienia w stronę zgodną z ruchem wskazówek zegara, to jej moment uważamy za ujemny.

Moment pary sił:

Wektor momentu pary sił M0 jest prostopadły do płaszczyzny działania obu sił a jego zwrot

określa się za pomocą zasady śruby prawoskrętnej.

Moment pary sił jest niezależny od wyboru punktu 0 i jest wielkością stałą. Jego wartość

równa się iloczynowi wartości jednej z sił pary i odległości między siłami (ramienia pary).

Jako wektor swobodny odkładamy go z dowolnego punktu płaszczyzny pary sił.

13. Równoległe przesunięcie sił.

<układ z rysunku a można zastąpić układem z rysunku c>.

Dla dowolnej siły P przyłożonej w punkcie A i punkcie B oddalonym o h wyznaczono

płaszczyznę π <rys. 26>. W punkcie B przykładamy równoważący się układ sił równoległych

do wektora P o wartościach równych P. Para sił –P i P tworzy moment równy M zaczepiony

w dowolnym punkcie płaszczyzny π, a więc np. w punkcie B. W efekcie siła P została

przesunięta do punktu B, w którym działają dwa wektory: siła P i moment pary sił M.

Oznacza to że układy z rysunku a i c są równoważne.

14. Redukcja płaskich układów sił.

Układ sił, którego siły leżą w jednej płaszczyźnie nazywamy układem płaskim.

Przesuwając równolegle wszystkie siły danego układu do jednego punktu 0 otrzymuje się

jedną siłę R równą ich sumie geometrycznej i jedną parę o momencie M0 równym sumie

momentów tych par sił, ogólnie dla układu przestrzennego.

Siłę R nazywamy wektorem głównym układu sił, zaś moment Mo momentem głównym

względem środka redukcji O.

W przypadku gdy suma geometryczna układu sił P1, P2, ... Pn działających w jednej

płaszczyźnie na ciało sztywne jest różna od zera, układ można zastąpić jedną siłą wypadkową

równą wektorowi głównemu R.

Jeżeli suma geometryczna jest równa zeru, to taki układ sił może <ale nie musi> redukować

się do pary sił, której wektor jest prostopadły do płaszczyzny działania tych sił.

15. Wyjaśnić pojęcie wektora i momentu głównego.

Dowolny układ sił, działających na ciało sztywne, o liniach działania leżących w jednej

płaszczyźnie możemy zastąpić wektorem głównym R, przyłożonym do dowolnie wybranego

środka redukcji O oraz momentem głównym Mo względem środka redukcji O. Wektor główny

R jest równy sumie geometrycznej wszystkich sił układu

Wartość wektora głównego oraz kąt a, jaki wektor ten tworzy z osią Ox, wyznaczamy ze

wzorów

Moment główny Mo względem środka redukcji O jako początku układu współrzędnych Oxy jest równy sumie momentów danych sił układu względem punktu O

Wektor momentu głównego Mo jest wektorem o jednej składowej w kierunku wersora k, czyli prostopadły do płaszczyzny Oxy i wektora głównego R. Wyrażenie

gdzie F jest siłą działającą wzdłuż prostej l, a r jej ramieniem nazywamy momentem siły względem dowolnego punktu O. Wzór na moment główny w prostszej postaci przedstawia się następująco:

gdzie M1, M2,Ľ, Mn to poszczególne momenty sił.

16. Redukcja płaskiego układu sił do jednej siły wypadkowej - linia działania

wypadkowej.

Równanie linii działania wypadkowej wyznacza się z warunku, że moment siły wypadkowej

względem początku układu równa się momentowi głównemu M0 równemu sumie momentów

danych sił względem początku układu współrzędnych.

0MRr

gdzie wyrażenia w mianowniku M0/ry, -M0/Rx odpowiadają odcinkom OC i OD jakie

linia działania wypadkowej odcina na osiach x i y.

17. Omówić cztery przypadki redukcji płaskiego układu sił.

W układzie mogą zachodzić cztery przypadki: 1) R ≠ 0 i M0 ≠ 0 układ sprowadza się do wypadkowej o linii działania według wzoru (34) 2) R ≠ 0 i M0 = 0 układ sprowadza się do wypadkowej przechodzącej przez środek

redukcji 0 3) R = 0 i M0 ≠ 0 układ sprowadza się do pary sił leżących w płaszczyźnie Oxy 4) R = 0 i M0 = 0 układ jest w równowadze

18. Równowaga dowolnego płaskiego układu sił.- trzy sposoby zapisu.

Warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił otrzymuje się przyrównując do zera

wektor i moment główny względem środka redukcji. R=0 i M0 = 0 co prowadzi do 3

równań algebraicznych:

n

iixF

10 0

1

n

iiyF

n

iioM

10

Płaski dowolny układ sił znajduje się w równowadze jeżeli sumy rzutów wszystkich sił na osie układów są równe zeru i moment wszystkich sił względem dowolnego punktu płaszczyzny działania tych sił jest równy zeru. Istnieją inne sposoby zapisania równań równowagi płaskiego układu sił:

- Jeżeli moment układu sił względem dwóch punktów jest równy zeru oraz rzut sił na oś

nieprostopadłą do odcinka łączącego te punkty jest równy zeru, to płaski układ sił jest w

równowadze.

01

n

iixF

n

iiAM

10

n

iiBM

10

- Jeżeli moment układu sił względem trzech punktów nie leżących na jednej prostej jest

równy zeru , to płaski układ sił jest w równowadze.

n

iiAM

10

n

iiBM

10

n

iiCM

10

19. Równowaga dowolnego przestrzennego układu sił.

Warunki równowagi dowolnego przestrzennego układu n sił otrzymuje się przyrównując

do zera wektor i moment główny względem środka redukcji R=0 i M0 = 0 co prowadzi do

6 równań algebraicznych:

n

iixF

10

n

iiyF

10

n

iizF

10

n

iixM

10

n

iiyM

10

n

iizM

10

Dowolny przestrzenny układ sił znajduje się w równowadze jeśli sumy rzutów wszystkich sił na trzy osie układu są równe zeru i suma momentów wszystkich sił względem trzech osi układu jest równa zeru.

20. Przestrzenny układ sił równoległych. Środek sił równoległych.

Punkt C mający tę własność, że przechodzi przez niego stale wypadkowa W=R

danego układu sił równoległych P niezależnie od kierunku tych sił (przy

niezmiennych punktach przyłożenia i wartości sił) nazywa się środkiem sił

równoległych.

Moment siły wypadkowej W=R względem dowolnego punktu równa się sumie

momentów układu sił względem tego samego punktu (twierdzenie Varignona).

Współrzędne punktu C obliczamy opierając się na twierdzeniu Varignona. Wartość

momentu względem osi y wypadkowej R przyłożonej do punktu C równa jest

My = -RXc przy czym R = ∑Pi

Moment siły Pi przyłożonej w punkcie przyłożenia wynosi

Miy = -Pixi

Z twierdzenia o momencie wypadkowej mamy RXc = ∑Pixi a stąd

Obróćmy teraz wszystkie siły tak, aby stały się równoległe do osi x nie zmieniając przy

tym ich punktów przyłożenia. Porównując sumę momentów wszystkich sił względem osi

y do odpowiedniego momentu wypadkowej przyłożonej do punktu C otrzymujemy trzecią

współrzędną środka sił równoległych:

Równania równowagi dla układu sił równoległych do osi z mają postać

∑Piz = 0 ∑Mix = 0 ∑Miy = 0

Równania równowagi dla układu sił równoległych do osi y mają postać:

∑Piy = 0 ∑Mix = 0 ∑Miz = 0

Równania równowagi dla układu sił równoległych do osi x mają postać:

∑Pix = 0 ∑Miy = 0 ∑Miz = 0

21. Środek ciężkości brył - współrzędne.

Zagadnienie wyznaczania Środków ciężkości brył, figur płaskich i linii wiąże się Ściśle z zagadnieniem wyznaczania Środka sił równoległych, gdyż najczęściej spotykanym przykładem sił równoległych są siły ciężkości (tj. siły przyciągania cząstek ciała materialnego przez kulę ziemską), skierowane prosto do środka ziemi. Siły te możemy traktować jako równoległe, gdyż wymiary ciał rozpatrywanych w zastosowaniach technicznych są bardzo małe w porównaniu z promieniem kuli ziemskiej. Siły ciężkości są szczególnym przypadkiem sił objętościowych, a więc działają na każdy element objętości danego ciała. Określony poprzednio środek sił równoległych w odniesieniu do sił ciężkości nazywamy środkiem ciężkości. Ciężar ciała, czyli wypadkową sił ciężkości, możemy uważać za przyłożony stale w środku ciężkości C, niezależnie od położenia ciała.

Określony poprzednio środek sił równoległych w odniesieniu do sił ciężkości nazywamy

środkiem ciężkości.

Po podstawieniu że Pi = ∆Gi = γi∆Vi do wzorów na położenie xc, yc, zc środka ciężkości C

dowolnego ciała otrzymujemy jego przybliżone położenie:

ni

1iii

ni

1iiii

CV

Vxx

ni

1iii

ni

1iiii

CV

Vyy

ni

1iii

ni

1iiii

CV

Vzz

Wzory powyższe są wzorami przybliżonymi. Aby otrzymać wzory dokładne trzeba przejść do

granicy, zakładając że liczba n elementów na które podzielimy dane ciało dąży do

nieskończoności, przy jednoczesnym dążeniu do zera wszystkich ich wymiarów. Występujące

sumy .....

Najczęściej w praktyce inżynierskiej przy obliczaniu środków ciężkości bryły stosuje się metodę dzielenia, która sprowadza się do następujących etapów: - dokonujemy podziału bryły na proste elementy, których położenie środków ciężkości jest znane, - obliczamy momenty statyczne bryły względem płaszczyzn przyjętego układu współrzędnych x, y, z. (sumując iloczyny objętości brył prostych i współrzędnych środków ciężkości), - obliczamy ze wzorów współrzędne środka ciężkości bryły (dzieląc momenty statyczne bryły przez całkowitą objętość bryły).

Określenie położenia środka ciężkości przy zastosowaniu metody symetrii ułatwiają w

szczególnych przypadkach następujące twierdzenia:

- jeżeli bryła ma płaszczyznę symetrii to środek ciężkości leży w tej płaszczyźnie

- gdy bryła ma dwie płaszczyzny symetrii to środek ciężkości leży na linii ich przecinania się - gdy bryła ma trzy płaszczyzny symetrii środek ciężkości leży w punkcie przecięcia się tych płaszczyzn.

22. Warunek statycznej wyznaczalności kratownic – przykłady.

Kratownica ABC składa się z trzech prętów zakończonych przegubami. Dla utworzenia

nowego węzła potrzebne są 2 pręty.

Z zasady tworzenia nowych węzłów wynika związek:

p=2w-3

Jest to związek, który musi być spełniony, aby kratownica była niezmienna geometrycznie,

czyli inaczej, sztywna w swej płaszczyźnie

a) p=5; w=4 warunek sztywności spełniony,.

b) Układ pszesztywniony ponieważ jeśli usuniemy

jeden pręt, kratownica nadal będzie układem

niezmiennym,

c) Warunek sztywności niespełniony, ponieważ

p=4<2w-3=5

Układ może zmieniać kształt

Warunek sztywności jest konieczny ale niewystarczający w pewnych przypadkach, jedna

część kratownicy może być przesztywniona, druga zaś niedostatecznie sztywna ( np. b+c).

23. Rodzaje sił działających na kratownice.

Siły działające na kratownicę w jej płaszczyźnie w węzłach powodują powstawanie sił w

prętach. Ponieważ każdy z prętów znajduje się w równowadze, przyłożone do niego siły

muszą być równe co do wartości, przeciwne co do kierunku i muszą działać wzdłuż osi pręta.

a) pręt rozciągany (siła skierowana zawsze „ od węzła”),

b) pręt ściskany (siła skierowana zawsze „ do węzła”),

Znajomość powyższych sił jest niezbędna do projektowania kratownic.

24. Analityczne wyznaczanie sił działających na pręty w kratownicy – omówienie

przykładu.

Dla wyznaczenia niewiadomych ułóżmy trzy równania równowagi dla całej kratownicy

traktowanej jako ciało sztywne, tzn. równania rzutów na oś poziomą x i pionową y oraz

równanie momentów względem punktu B:

RB – HC = 0

VC – P = 0

HCa – P2a = 0

Z równań tych znajdujemy

HC = RB =2P

VC = P

Wytnijmy myślowo węzeł A i napiszmy dla niego równaniw równowagi rzutów na osie x i y

∑Pix = -S1cos 45 – S2 = 0

∑Piy = -S1sin 45 – P = 0

Rozwiązując te równania otrzymujemy S1 = √2 P, S2 = -P

Ponieważ S2 jest <0 to siła z którą działa pręt 2 na węzeł A ma kierunek przeciwny niż

założyliśmy co oznacza, że w rzeczywistości pręt 2 jest ściskany.

Dla węzła E (zakładamy dalej że wszystkie pręty kratownicy są rozciągane)

∑Pix =S2 – S4 = 0

∑Piy = S3 = 0

Ponieważ zgodnie z drugim równaniem S2 = -P więc

S4 = -P, S3 = 0.

Pręt 4 jest więc ściskany, natomiast siła w pręcie 3 = 0.

∑Pix =S1cos45 – S5cos 45 – S6 = 0

∑Piy = -S5cos45 – S1cos45 = 0

W równaniu rzutów na oś y uwzględniono, że S3 = 0. Biorąc pod uwagę , że S1 = √2 P z

powyższych równań znajdujemy

S5 = -P√2, S6 = 2P.

Dla wyznaczenia siły w pręcie 7 ułożymy równanie równowagi dla węzła C:

∑Pix =S6 – HC = 0

∑Piy =VC – S7 = 0

Ponieważ HC = 2P, VC = P, S6 = 2P to pierwsze z powyższych równań jest spełnione

tożsamościowo a z drugiego znajdujemy S7 = P.

25. Pojęcie prętów zerowych – przykłady.

Pręty zerowe - pręty kratownic (płaskich lub przestrzennych) w których wartości sił normalnych wynoszą zero. Aby określić położenie prętów zerowych najczęściej nie ma potrzeby przeprowadzania obliczeń, gdyż wystarcza analiza geometrii samej kratownicy i umiejscowienia obciążeń zewnętrznych. Określenie położenia prętów zerowych przed rozpoczęciem obliczeń analitycznych znacznie upraszcza sam proces obliczeń.

W rozważanej poprzednio kratownicy siła wewnętrzna w pręcie 3 = 0. Pręt taki nazywamy

prętem zerowym. Pręt połączony był w węźle E z prętami 2 i 4, których osie leżały na jednej

linii prostej a do węzła tego nie była przyłożona żadna siła zewnętrzna, czyli węzeł ten nie był

obciążony.

Przypadki występowania prętów zerowych:

Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się 3 pręty, z których dwa leżą na tej samej prostej i

węzeł jest nieobciążony, to siła w trzecim pręcie jest równa zeru.

Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się 2 pręty i węzeł jest obciążony siłą leżącą na kierunku

jednego z nich, to siła wewnętrzne w drugim pręcie jest równa zeru.

26. Metoda graficzna wyznaczania sił w kratownicach – omówienie przykładu.

W przypadku kratownicy złożonej z dużej liczby prętów metoda analityczna ze względów

rachunkowych staje się kłopotliwa i dlatego w praktyce stosuje się zwykle metodę wykreślną.

Sposób postępowania oparty na tej samej zasadzie.

Na rysunku przedstawiona jest kratownica obciążona:

27. Metoda Cremony, zasady i kolejność postępowania (przykład).

Zasady:

1. kratownica musi być kratownicą prostą.

2. siły zewnętrzna przyłożone na zewnątrz węzła są uczepione tylko w węzłach

zewnętrznych konturu kratownicy.

3. istnieje co najmniej 1 obciążony węzeł, w którym zbiegają się dwa pręty (od tego

węzła zaczynamy konstrukcję)

4. przyjmujemy kierunek obchodzenia prętów w węźle np. wg ruchu wskazówek zegara.

5. kierunek obchodzenia węzłów zgodny z kierunkiem obchodzenia prętów.

6. przy przechodzeniu od węzła do węzła musi być możliwość wyodrębnienia

następnego z dwoma niewiadomymi.

KOLEJNOŚĆ POSTĘPOWANIA:

1. sprawdzenie warunku kinematycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności.

2. przyjęcie podziałki <skala> długości i sił.

3. wyznaczenie reakcji.

4. wykreślenie zamkniętego wieloboku sił zewnętrznych i wewnętrznych <plan

Cremony>, zaczynając od węzła w którym schodzą się co najwyżej 2 pręty.

28. Metoda Rittera wyznaczania sił w kratownicach (przykład).

29. Metoda Culmana wyznaczania sił w kratownicach (przykład).

Są to metody znajdowania sił w prętach kratownic, szczególnie dogodne w przypadkach, gdy

chodzi o określenie sił w niektórych tylko prętach. Obie te metody nazwać można ogólnie

metodami przecięć w odróżnieniu od poznanych poprzednio metod polegających na

rozpatrywaniu równowagi sił w wyciętych myślowo węzłach kratownicy i nazywanych

dlatego metodami węzłów.

Metoda Rittera:

Jako równania równowagi lewej części kratownicy weźmiemy równania momentów

względem punktów O1, O2, O3, w których parami przecinają się linie działania sił S1, S2, S3.

W ten sposób w każdym z równań występować będzie tylko jedna niewiadoma.

Zakładamy, że wszystkie pręty są rozciągane.

Równania momentów względem punktów O1, O2, O3 mają odpowiednio postać, które

pozwalają wyznaczyć szukane wartości sił w prętach:

S1h1 + Pp1 – Rar1 = 0

S1 = ...

S2h2 + RAr2 – Pp2 = 0

S2 = ...

-S2h3 – Rar3 + Pp3 = 0

S3 = ....

Metoda Culmanna:

Druga metoda Culmanna, oparta jest na analogicznej zasadzie jak Rittera i polega na

prowadzeniu przekrojów przez kratownicę. Tok postępowania przy tym sposobie jest następujący: – wyznaczenie sił w więziach podporowych dla całej kratownicy, – dokonanie myślowo przekroju przez trzy pręty, – zrównoważenie wypadkowej sił zewnętrznych oraz sił w więziach podporowych działających na jedną z odciętych części kratownicy przez trzy siły w przeciętych prętach, za pomocą zadania Culmanna