POLITECHNIKA KRAKOWSKA im. Tadeusza Kościuszki

WYDZIAŁ MECHANICZNY

INSTYTUT KONSTRUKCJI MASZYN

mgr inż. Mirosław Mrzygłód

PARAMETRYCZNA OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI PRACUJĄCYCH PRZY

OBCIĄŻENIACH WYSOKOCYKLOWYCH

ROZPRAWA DOKTORSKA

promotor: prof. dr hab. Andrzej P. Zieliński

KRAKÓW 2005

Spis treści

1. Wstęp ........................................................................................................3 1.1. Wprowadzenie do tematyki pracy 1.2. Przegląd literatury ...........................................................................5 1.3. Cele i zakres pracy ........................................................................10

2. Zmęczeniowa analiza konstrukcji .......................................................11 2.1. Założenia analizy konstrukcji 2.2. Metody i narzędzia analizy zmęczeniowej w złożonym stanie

naprężeń ........................................................................................18 2.2.1 Założenia analizy zmęczeniowej w złożonym stanie

naprężeń 2.2.2 Przegląd kryteriów wytrzymałości zmęczeniowej w

wieloosiowym stanie naprężeń 2.2.3 MES jako narzędzie do analizy zmęczeniowej

2.3. Badanie numeryczne wybranych wieloosiowych kryteriów zmęczenia wysokocyklowego .......................................................31 2.3.1 Implementacje kryteriów w programie ANSYS®

2.3.2 Schematy adaptacji przebiegów czasowych obciążeń dla analizy zmęczeniowej 2.3.3 Test numeryczny kryteriów zmęczeniowych na przykładowej części mechanicznej 2.3.4 Wybór kryterium dla optymalizacji zmęczeniowej

3. Optymalizacja w warunkach zmęczenia wysokocyklowego ............44 3.1. Przegląd metod optymalizacyjnych konstrukcji 3.2. Test metod optymalizacyjnych konstrukcji ..................................47

3.2.1 Test metody gradientowej 3.2.2 Test metody probabilistycznej 3.2.2 Wnioski z przeprowadzonych testów metod optymalizacyjnych

3.3. Narzędzia poprawy efektywności metod probabilistycznych.........56 3.3.1 Zastosowanie algorytmów ewolucyjnych jako narzędzia

optymalizacji probabilistycznej 3.3.2 Zwiększenie wydajności obliczeń poprzez technikę obliczeń

równoległych 3.3.3 Ograniczenie liczby zmiennych przez badanie wrażliwości

funkcji celu. 3.3.4 Propozycja procedury optymalizacyjnej

3.4. Przykłady zastosowań optymalizacji konstrukcji w warunkach zmęczeniowych .............................................................................64 3.4.1 Przykład 1: Optymalizacja zmęczeniowa części

mechanicznej – model płytowy dwuwymiarowy (2D) 3.4.2 Przykład 2: Optymalizacja zmęczeniowa części

mechanicznej – model powłokowy trójwymiarowy (3D) 3.5. Ocena wyników badań optymalizacyjnych ...................................87

4. Wnioski końcowe i perspektywy dalszych badań .............................88 5. Literatura ................................................................................................89 6. Dodatki ...................................................................................................97

2

1. Wstęp 1.1 Wprowadzenie do tematyki pracy

Cena, bezpieczeństwo i trwałość są jednymi z głównych wytycznych dla projektowania maszyn, pojazdów i innych konstrukcji. Trwałość jest parametrem na który składa się wiele czynników. Jednym z nich jest odporność konstrukcji na uszkodzenia o charakterze zmęczeniowym.

W 1983 roku w USA zostały przeprowadzone niezależne badania [36,112] wpływu ekonomicznego uszkodzeń zmęczeniowych na straty gospodarki krajowej. W wyniku przeprowadzonej analizy ustalono, że roczny koszt uszkodzeń zmęczeniowych w 1982 wyniósł 4% PKB. Najdotkliwsze straty z tego powodu odniosły sektory gospodarki zajmujące się użytkowaniem pojazdów (rys. 1).

Sektory gospodarki

Pojazdy samochodowe i części

Samoloty i części

Architektura, budynki mieszkalne

Architektura, budynki niemieszkalne

Żywność i pokrewne produkty

Produkty z prefabrykatów stalowych

Produkty nieżelazne

Przetwórstwo ropy naftowej

Konstrukcje metalowe

Opony i dętki

Rys. 1. Roczny koszt uszkodzeń zmęczeniowych dla gospodarki USA w głównych sektorach (dane za 1982 rok, wyrażone w miliardach USD) [112]

Podobny cykl badań został przeprowadzony dla Europy w 1991. Jak wynika z opublikowanych wyników [89] udział kosztów uszkodzeń był zbieżny z wynikami dla USA i wyniósł także około 4% PKB.

We wnioskach z obydwu raportów autorzy stwierdzają, że ogromne koszty uszkodzeń zmęczeniowych w skali gospodarki można by obniżyć o 30% przy lepszym użyciu bieżących osiągnięć technologii. Następną redukcje kosztów o 30% można osiągnąć w dłuższym czasie przez badania naukowe i zastosowanie ich w praktyce. Pozostałe koszty trudno będzie wyeliminować bez znaczącego przełomu w badaniach w tej dziedzinie [112].

W gałęziach przemysłu szczególnie narażonych na wysokie koszty związane z uszkodzeniami zmęczeniowymi, jak lotnictwo czy motoryzacja, rozwinęły się specjalne metodologie projektowe ukierunkowane na optymalne kształtowanie podzespołów i

3

struktur nośnych pojazdów. Oparte są one w głównej na badania prototypów pojazdów (fizycznych i komputerowych). Dzięki rozwojowi metod komputerowego prototypowania możliwe jest dzisiaj nawet projektowanie nowych produktów bez badań fizycznych modeli [136].

O tym jak ważne w tym procesie staje się prognozowanie „życia” produktu świadczy dynamiczny rozwój narzędzi komputerowych do analizy trwałości zmęczeniowej. Pod koniec lat 90-tych powstała nowa grupa programów, rozwinięta z narzędzi komputerowego wspomagania projektowania CAD oraz komputerowej analizy konstrukcji CAE, a zajmującą się całym cyklem „życia” produktu – PLM ( Product Lifecycle Management ). Obejmuje ona wszystkie jego fazy, od projektowanie i wytwarzanie poprzez eksploatacje do jej zakończenia i recyklingu [137]. Na tym tle rozwój metodyki optymalizacji konstrukcji z uwagi na uszkodzenia zmęczeniowe wydaje się wysoce uzasadniony, a jego osiągnięcia będą się praktycznie przekładać na korzyści dla społeczeństwa.

.

4

1.2 Przegląd literatury 1.2.1 Hipotezy wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego

W niniejszym przeglądzie autor skupił się na pozycjach literaturowych dotyczących przede wszystkim wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego, które będzie wiodącym przedmiotem zainteresowania tej rozprawy. Bardzo duża grupa kryteriów dotyczących niskocyklowego zmęczenia została omówiona tylko w przypadkach, gdy autorzy zaznaczyli możliwość stosowania ich także dla zmęczenia wysokocyklowego. Szerszy przegląd tych kryteriów można znaleźć w pracach Garuda[49] oraz You i Lee [127].

Choć początki prac badawczych nad wieloosiowym zmęczeniem datują się na koniec XIX wieku, to dopiero w latach 20-tych XX wieku przeprowadzono pierwsze analizy, które można by uznać w dzisiejszych kryteriach technicznym za przeprowadzone w wysokocyklowym reżimie obciążeń [49]. Od tego czasu nastąpił rozwój badań nad wieloosiowym zmęczeniem. Prace eksperymentalne doprowadziły do stworzenia wielu hipotez ważnych dla wysokocyklowego wieloosiowego zmęczenia. Hipotezy te często opierają się na krańcowo różnych założeniach, warto więc przy ich przeglądzie podzielić je na grupy odpowiadające ich charakterystyce [49,127]:

- kryteria wywodzące się z hipotezy krzywej eliptycznej Gougha-Pollarda - hipotezy oparte na niezmiennikach (inwariantach) stanu naprężenia lub

odkształcenia - podejście płaszczyzny krytycznej - hipotezy używające wartości średnich naprężeń lub odkształceń w elementarnej

objętości - hipotezy używające zakumulowanej w materiale energii

• Hipotezy oparte na krzywej eliptycznej Gougha-Pollarda

W lat trzydziestych XX w. Gougha i Pollard[52] stworzyli hipotezę krzywej eliptycznej dla złożonej wytrzymałości zmęczeniowej (zginanie i skręcanie). Mimo iż od powstania wzoru Gougha-Pollarda minęło już około 70 lat jest on nadal zalecany w podręcznikach [71], a także rozwijana we współczesnych kryteriach zmęczeniowych [75].

Marin [82] zaproponował kryterium, w którym bierze pod uwagę amplitudę i wartość średnią naprężenia oktaedrycznego.

Lee [75] zmodyfikował elipsę Gougha-Pollarda do postaci kryterium uwzględniającego przesunięcie w fazie oraz trwałość zmęczeniową dla przypadku wieloosiowego. W badaniach porównawczych Wanga [126] kryterium to zostało bardzo wysoko ocenione.

5

• Grupa hipotez inwariantnych

W skład kryteriów tej grupy wchodzą zwykle naprężenie hydrostatyczne oraz naprężenie oktaedryczne. Zastosowanie kryteriów inwariantnych pozwala ustalić czy pęknięcie zmęczeniowe się pojawi, czy też nie. Orientacja potencjalnych pęknięć nie może być jednak przez te kryteria ustalona.

W latach 20-tych XX w. High [59] sformułował prawdopodobnie pierwsze kryterium zmęczeniowe wieloosiowe. Wychodząc z zasad termodynamicznych High otrzymał formułę bardzo zbliżoną do stosowanych współcześnie inwariantnych kryteriów zmęczeniowych. Zawiera ona miedzy innymi sumę kwadratów naprężeń głównych oraz naprężenie hydrostatyczne.

Sformułowana przez Guesta zasada [54] wiążąca algebraicznie największe i najmniejsze naprężenia główne jest nadal uznawana za możliwą do stosowania dla przypadku rozpatrywania naprężeń głównych . Stosowana w równaniu Guesta stała materiałowa (stosunek Zso/Zgo) jest obecnie powszechnie używana jako miara ciągliwo-kruchej charakterystyki materiału.

Sines [115] poddał analizie wpływ różnych kombinacji zmiennego naprężenia zginającego i skręcającego na wytrzymałość zmęczeniową. Na postawie swoich badań sformułował kryterium zawierające naprężenie oktaedryczne reprezentujące amplitudę zmiennych naprężeń oraz średnią wartość naprężenia hydrostatycznego, które miało oddawać wpływ naprężeń średnich dla wieloosiowego zmęczenia. Jak zostało przez Sinesa dowiedzione, średnie naprężenie tnące ma w porównaniu do średniego naprężenia normalnego znikomy wpływ na trwałość zmęczeniową w zakresie odkształceń sprężystych. Hipoteza Sinesa wykazuje dobrą korelacje z badaniami eksperymentalnymi.

Crossland [21] sformułował bardzo zbliżone kryterium do Sinesa. Różnica w podejściu obu badaczy dotyczy wpływu na trwałość zmęczeniową naprężenia hydrostatycznego, które według Crosslanda powinno zostać uwzględnione przez jego wartość maksymalną.

Kakuno i Kawada [63] podobnie jak Crossland używa maksymalnego naprężenia hydrostatycznego. Jednak naprężenie to jest w ich kryterium w postaci rozdzielonej na część średnią i amplitudę, obie z innymi współczynnikami wagowymi.

Kryterium Deperrois [31] różni się w podejściu od wymienionych poprzednio w zakresie wyznaczenia amplitudy naprężeń. Deperrois bazuje na reprezentacji ścieżki obciążenia Φ w przetransformowanej przestrzeni dewiatorycznej E5, dla której wyznacza się cięciwę będącą miarą amplitudy. • Grupa hipotez płaszczyzny krytycznej

Stulen i Cummings [119] sformułował w 1954 roku tezę, że uszkodzenia zmęczeniowe są głównie powodowane przez powtarzające się poślizgi na płaszczyźnie krytycznej naprężeń tnących i jest powodowane przez naprężenie normalne do tej płaszczyzny. Jako płaszczyznę krytyczną definiuje się jednoznacznie zdefiniowaną płaszczyznę, dla której liniowa kombinacja naprężenia tnącego oraz normalnego osiąga określoną wartość.

6

Kryterium Findleya [45] nawiązuje do linowej kombinacji amplitudy naprężenia tnącego oraz maksymalnego naprężenia normalnego działającego na płaszczyźnie krytycznej. Płaszczyzna krytyczna jest to ta dla której ta kombinacja daje maksymalną wartość.

Matake [81] w swoim kryterium również posługuje się identyczną parą naprężeń jak Findley. Płaszczyzną krytyczną jednak dla Matakea jest płaszczyzna dla której amplituda naprężeń osiąga maksimum. To kryterium, w odróżnieniu do poprzednio omawianego, poprawnie oddaje granicę zmęczenia dla skręcania.

Dietmann [32] używa koncepcji oktaedrycznych naprężeń tnących i normalnych, które działają na płaszczyźnie jednakowo nachylonej do kierunków głównych tensora naprężeń. Dla proporcjonalnego obciążenia płaszczyzna oktaedryczna jest ustalona. Według kryterium amplituda oktaedrycznych naprężeń tnących nie może przekroczyć wartości dopuszczalnej.

Według McDiarmida [83] płaszczyzna krytyczna to ta, na której amplituda naprężeń tnących osiąga maksimum. Aby uwzględnić efekt naprężenia średniego McDiarmid zaproponował stosowanie zastępczej amplitudy naprężeń tnących. McDiarmid zasugerował również możliwość pominięcia średniego naprężenia tnącego, którego wpływ na trwałość zmęczeniową na płaszczyźnie krytycznej jest bardzo mały. Kryterium McDiarmid w swojej formule bierze pod uwagę także dwie fazy inicjacji pęknięć zmęczeniowych.

Macha [78,79] zasugerował kryterium w rozumieniu stanu odkształcenia na płaszczyźnie krytycznej poddanej wieloosiowemu losowemu obciążeniu zmęczeniowemu. Macha definiuje płaszczyznę krytyczną poprzez średnią kosinusów kierunkowych, które wyznaczają płaszczyznę maksymalnych odkształceń tnących w odniesieniu do czasu w arbitralnie przyjętym okresie. W ogólnej formie tego kryterium brane jest pod uwagę wieloosiowe losowe obciążenie zmęczeniowe w warunkach naprężeniowych.

Łagoda [70] zaproponował wysokocyklowe kryterium dla wieloosiowego losowego i nie proporcjonalnego obciążenia. W kryterium rozpatruje się gęstość energii odkształcenia normalnego działającego na płaszczyźnie krytycznej. • Hipotezy używające wartości średnich w elementarnej objętości

Kolejną kategorię kryteriów można określić jako bazujące na średnich naprężeniach w elementarnej objętości V . W tej kategorii hipotez zmęczeniowych bierze się pod uwagę średnią wartość naprężeń tnących i normalnych w objętości V.

Grubisic i Simbürger [53] w 1973 roku przeprowadzili bardzo obszerne badania dla złożonego wieloosiowego obciążenia. Wnioski z tych badań pozwoliły między innymi na ustalenie, że na mechanizm zmęczeniowy dla różnego typu materiałów ( zostały wyróżnione trzy podstawowe grupy: materiały ciągliwe, ciągliwo-kruche i kruche) ma wpływ zarówno naprężenie tnące jak i normalne, a ten wpływ jest różny dla różnych grup metali.

Dang Van [23] w swej pracy z 1973 roku jako pierwszy sformułował hipotezę lokalnych (w skali mikroskopowej - na poziomie ziaren) odkształceń plastycznych, które są początkiem tworzenia pęknięć nawet gdy badana struktura w skali makroskopowej pozostaje w zakresie odkształceń sprężystych. Skomplikowany sposób

7

obliczania amplitudy naprężeń tnących został przez Dang Vana uproszczony w nowej postaci jego kryterium [21].

Ballard [5] sformułował hipotezę, że pęknięcie zmęczeniowe nie nastąpi jeśli tylko odpowiedzią ziaren, najkorzystniej zorientowanych i poddanych mikroskopowemu periodycznemu obciążeniu, jest elastyczny shakedown.

Papadopoulos [105] przeprowadził analizę wielu kryteriów zmęczeniowych pod względem poprawności ich przewidywania w warunkach przesunięcia fazowego obciążeń zmęczeniowych. Jak wynika z jego badań wytrzymałość zmęczeniowa dla bardzo dużej liczby cykli obciążeń ( ~106 ) dla przesuniętego w fazie zginania i skręcania nie jest zależna od różnicy faz. Dla innych typów obciążeń kryterium Papadopoulosa przewiduje dający się zauważyć wpływ różnicy w przesunięciu fazowym na wytrzymałości zmęczeniową. Kryterium Papadopoulosa wykazało bardzo dobrą zgodność z badaniami eksperymentalnymi, ale jest ono ograniczone do klasy metali „hard” (0.577≤ Zso/Zgo≤ 0.8).

Dang Van [20,28,139], w swoich najnowszych pracach zaproponował zmodyfikowane podejście do wysoko i niskocyklowego zmęczenia bazujące na teorii shakedown oraz dyssypacji energii. • Kryteria energetyczne

Kryteria tej grupy biorą pod uwagę wieloosiowe naprężeniowo-odkształceniowe odpowiedzi materiału oraz cykliczne plastyczne deformacje, które zależą od ścieżki naprężeniowo-odkształceniowej.

Ellyin i Gołoś [41] zaproponowali, że zakumulowane przez zmęczenie uszkodzenie materiału może być scharakteryzowane przy użyciu ilości energii, którą materiał może zabsorbować. Ellyin i Gołoś udowodnili, że ich kryteria mogą dobrze przewidywać trwałość zmęczeniową dla regionów jednoosiowego obciążenia zmęczeniowego oraz zgodnego w fazie zmęczenia wieloosiowego.

Gołoś [51] zaproponował podejście unifikujące nisko i wysokocyklowe zmęczenie. Kryterium Gołosia bazuje na parametrze uszkodzenia oraz energii, zostało przebadane dla wieloosiowego zmęczenia przy proporcjonalnym obciążeniu z naprężeniem średnim i wykazało dobrą zgodność z wynikami eksperymentalnymi. 1.2.2 Optymalizacja zmęczeniowa

Jak napisał Osgood [102]: „Można powiedzieć, że wszystkie analizy naprężeniowe są właściwie analizami zmęczeniowymi, różnica leży tylko w ilości cykli przyłożonego naprężenia lub odkształcenia”. Myśl tę można by uogólnić także do optymalizacji konstrukcji. W dziedzinie tej nastąpił w XX wieku ogromny rozwój, zwłaszcza w zakresie lotnictwa i pojazdów lądowych. Aspekt optymalizacji zmęczeniowej jako takiej zapoczątkowany został jednak dopiero w latach 70-tych i ograniczał się głównie do optymalizacji kształtu [67,72]. Ta dziedzina optymalizacji zmęczeniowej jest rozwijana do dzisiaj i wraz rozwojem nowoczesnych narzędzi symulacji komputerowych ma coraz większe możliwości [85, 113].

8

Zmęczeniowa optymalizacja konstrukcji napotyka na kilka istotnych trudności. Niejednoznaczna jest adaptacja przebiegów zmiennych obciążeń (określenie przebiegów zastępczych). Różnorodność hipotez wytrzymałości zmęczeniowych utrudnia decyzje wyboru jednoznacznej formuły zmęczeniowej. Wreszcie, niezbędne metody analizy problemu (MES) oraz rozbudowane algorytmy optymalizacyjne skutkują nieprzekraczalną barierą dużych czasów obliczeń komputerowych.

Wśród niewielu pozycji z tej dziedziny wyróżnia się praca Haiby [58], który podjął się próby zbudowania ogólnego algorytmu dla optymalizacji strukturalnej w warunkach zmęczenia. Algorytm Haiby uwzględnia miedzy innymi wybór metody obliczania naprężeń, zastosowanie wieloosiowego kryterium zmęczeniowego oraz parametryczną modyfikację geometrii projektowanej części. Pomimo kompleksowego podejścia do zagadnienia wyboru metody obliczania naprężeń, autor nie daje jednak pełnej odpowiedzi jak zastosować zaproponowany algorytm w parametrycznej optymalizacji konstrukcji. Bardzo ważna kwestia wyboru hipotez wieloosiowego zmęczenia nie została przez Haibę omówiona, a stosowana przez niego formuła zmęczeniowa [29] ogranicza się tylko do zakresu niskocyklowego.

9

1.3 Cele pracy

Celem pracy jest opracowanie możliwie jednoznacznego i prostego w aplikacji algorytmu procesu optymalizacji złożonych elementów konstrukcji pracujących przy obciążeniach wysokocyklowych. Opracowanie ujmuje więc trzy dziedziny:

1. Wieloosiowe zmęczenie elementów maszyn i konstrukcji,

2. Komputerową analizę naprężeń i deformacji tych elementów,

3. Parametryczną optymalizację konstrukcji.

W ramach pierwszej dziedziny zostanie dokonane porównanie wybranych hipotez

zmęczeniowych uwzględniających wpływ zastępczych naprężeń stałych w konstrukcji na dopuszczalną wartość zastępczych naprężeń amplitudowych. Powyższe porównanie zostanie przeprowadzone zarówno poprzez szczegółowe badanie literaturowe, jak i porównawcze obliczenia komputerowe. W tej części zostanie też poruszony istotny problem adaptacji przebiegów obciążeń do algorytmów analizy i optymalizacji (dobór przebiegów reprezentatywnych).

W ramach drugiej dziedziny zostanie przeprowadzone staranne modelowanie badanych struktur metodą elementów skończonych przy wykorzystaniu wersji uniwersyteckiej systemu ANSYS® v. 8.1. Planowane jest badanie wpływu siatki elementów na rozwiązanie oraz opracowanie metody określania wielkości naprężeniowych występujących w hipotezach zmęczeniowych.

Ostatnia dziedzina będzie obejmować badanie poszczególnych metod poszukiwania minimum funkcji celu z wykorzystaniem algorytmów optymalizacyjnych systemu ANSYS® oraz opracowanie programu łączącego zaawansowany system optymalizacji ewolucyjnej EOS z użytkowanym pakietem MES zaadoptowanym do obliczeń zmęczeniowych.

Podany w pracy algorytm i jego numeryczna realizacja mogą w istotny sposób zmienić spojrzenie na optymalizację konstrukcji pracujących w warunkach zmęczenia materiału.

10

2 Zmęczeniowa analiza konstrukcji 2.1 Założenia analizy zmęczeniowej

Zmęczenie materiału można definiować jako uszkodzenie powodowane przez powtarzające się lub zmienne obciążenie, które jednak co do wartości nigdy nie przekracza wartości dopuszczalnej dla danego materiału.

Z punktu widzenia liczby cykli które badana struktura jest w stanie przenieść proces zmęczenia materiału można podzielić na trzy zakresy [71]:

I. quasi-statyczne , od ¼ do 103÷104 cykli II. niskocyklowe, od 104 do 105 cykli III. wysokocyklowe, powyżej 105 cykli

Należy jednak pokreślić, że powyższe granice są płynne (rys. 2) a pewne efekty niskocyklowego zmęczenia występują również w strefie I.

Rys.2 Wykres zmęczeniowy σ−Ν

Każdy z wymienionych zakresów zmęczenia (rys.2) charakteryzuje się nieco innym mechanizmem uszkodzeń [116]. W zakresie quasi-statyczne pękanie materiału następuje z widocznymi silnymi odkształceniami plastycznymi oraz możliwymi efektami pełzania. Dla przypadku niskocyklowego wysokim naprężeniom towarzyszą znaczne odkształcenia plastyczne badanej struktury. Ten typ zmęczenia określany jest w literaturze jako odkształceniowy lub energetyczny. Dla przedziału wysokocyklowego odkształcenia plastyczne zanikają a trwałość zmęczeniowa związana jest bezpośrednio z poziomem amplitudy naprężeń. Inicjacja pęknięć występująca w rejonie koncentracji naprężeń rozpoczyna się poślizgiem w słabych płaszczyznach krystalicznych (płaszczyznach łatwego poślizgu). Zmęczenie wysokocyklowe jest historycznie pierwszy zbadany mechanizm zmęczeniowy (A. Wöhler 1860r.), w literaturze określane jest też jako zmęczenie naprężeniowe.

Inny podział zjawisk zmęczeniowych może wynikać z wymiaru rozpatrywanego zjawiska, w którym rozróżniamy zmęczenie jedno i wieloosiowe. Zmęczenie jednoosiowe, dla którego zjawiska zmęczeniowe rozpatrywane są dla przypadku

11

zmiennego w czasie prostego naprężenia lub odkształcenia, jest stosunkowo dobrze rozpoznane. Pomimo, że uzyskane z testów jednoosiowych, krzywe Wöhlera (σ−Ν) czy wykresy Haigha (Smitha) są nadal używane jako narzędzie do przewidywania trwałości zmęczeniowej konstrukcji wielowymiarowych.

Zmęczenie wieloosiowe jest najczęściej spotykanym przypadkiem w zagadnieniach technicznych. Nie posiada ono jednak tak udokumentowanych jak przypadek jednoosiowy zestawu formuł opisujących trwałość zmęczeniową. Rozpoczęte w latach 50-tych XX wieku intensywne prace nad wieloosiowym zmęczeniem nie doprowadziły jeszcze do stworzenia uniwersalnych zasad opisujących zarówno przypadek nisko jak i wysokocyklowy. Istniejące obecnie formuły zmęczeniowe dla obydwóch tych przypadków zasadniczo się różnią, choć trzeba zanotować iż próby sformułowania wieloosiowego kryterium dla przypadku nisko i wysokocyklowego są podejmowane (patrz [20,28,139]). Dużą szansą na przyspieszenie prac w tej dziedzinie jest dynamiczny rozwój metod numerycznej analizy naprężeń i odkształceń w konstrukcji.

Bardzo częstym zjawiskiem dla rzeczywistych przebiegów obciążeń jest niesymetryczność cyklu. Charakteryzuje się ona występowaniem pewnego zakresu obciążeń o charakterze statycznym, który dla przypadku jednoosiowego wywołuje naprężenie średnie σm (rys.3). Niesymetryczność obciążenia i wywołanego przez nie naprężenie jest opisywane przez współczynnik niesymetryczności naprężenia R i amplitudy A. Należy zauważyć, że wpływ naprężenia średniego na trwałość zmęczeniową jest inny dla ściskania i rozciągania, a badany materiał jest bardziej wrażliwy na rozciąganie.

( )

( )( )R

RA

R

m

a

m

r

+−

==

=

+=

−=

11

2

max

min

minmax

minmax

σσσσ

σσσ

σσσ

Rys. 3 Definicja naprężenia średniego dla przypadku jednoosiowego

12

Rys. 4 Przybliżone zależności miedzy σm a σa powstałe na podstawie badań różnych autorów: Goodmana, Soderberga, Gerbera, Haigha (najczęściej stosowana w polskiej literaturze) [12,35,61,71,100]. Dla stanu jednoosiowego wpływ naprężenia średniego na trwałość zmęczeniową został dokładnie empirycznie przebadany. Na tej podstawie powstało kilka relacji, które łączą zmiany amplitudy naprężeń z naprężeniem średnim (rys. 4) [12,35,61,71,100]:

stosowana w polskiej literaturze relacja opisująca wykres Haigha jest

przedstawiona na rysunku 4, równanie granicznej amplitudy naprężeń można zapisać: dla odcinka ADF:

mrj

rjrcrca Z

ZZZ σσ

−−=

2 (1)

a dla odcinka FG:

rj

e

rjm

rja

ZR

ZZ

212

2 −

−−=

σσ (2)

gdzie: aσ - graniczna amplituda cyklu σm – naprężenie średnie Zrc – wytrzymałość zmęczeniowa na rozciąganie obustronne

13

Zrj – wytrzymałość zmęczeniowa na rozciąganie jednostronne

Re – granica plastyczności propozycja Goodman’a :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

m

mrca R

Z σσ 1 (3)

gdzie: σm – naprężenie średnie Rm – wytrzymałość na rozciąganie propozycja Gerber’a:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

1m

mrca R

Z σσ (4)

propozycja Soderberg’a:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

e

mrca R

Z σσ 1 (5)

Powyższe zależności mogą niekiedy służyć do określania zmęczeniowej wytrzymałości jednostronnej [35].

Dla przypadku zmęczenia wieloosiowego do opisu „naprężenia średniego” i „amplitudy naprężeń” stosuje się kilka wielkości będących skalarnymi reprezentacjami aksjatora i dewiatora tensora naprężeń [38], zostaną one dokładniej omówione w dalszej części pracy.

Powstałe na gruncie badań eksperymentalnych formuły zmęczeniowe bazują na testach wykonywanych w warunkach laboratoryjnych na standardowych próbkach. Aby przejść od takich „idealnych” warunków do rzeczywistych reżimów pracy badanych struktur w obliczeniach zmęczeniowych stosuje się współczynniki korekcyjne. Najczęściej uwzględniają one wpływ takich czynników jak: stan powierzchni (chropowatość), czy oddziaływanie środowiska pracy (korozja), wielkości przedmiotu, wrażliwość materiału na działanie karbu. Stosowany jeszcze powszechnie współczynnik kształtu αk jest coraz częściej eliminowany poprzez zastosowania modelowania MES, które jest w stanie współczynnik ten określić.

Jednym z aspektów analizy zmęczeniowej jest jej statystyczny charakter. Poczynając od badań materiałowych, przy których zawsze następuje rozrzut wyników, poprzez niedokładności zamodelowania struktury, a skończywszy na nieścisłości w pomiarach sił. Na każdym z tych etapów występują błędy które rzutują na ostateczny wynik analizy.

14

Rys.5 Krzywe zmęczeniowe dla różnego prawdopodobieństwa P zniszczenia obrotowo

zginanych próbek z normalizowanej stali 45 [71]

Największym źródłem błędów obliczeniowych trwałości zmęczeniowej są zwykle badania próbek przy ustalaniu krzywych Wöhlera i ε-N. Rozrzut wyników badań ma w tym wypadku charakter rozkładu normalnego ( w skali logarytmicznej ) i na przykład 10% błędu może skutkować zmniejszeniem trwałości zmęczeniowej o połowę lub jej dwukrotnym zwiększeniem.

Rys.6 Rozrzut trwałości zmęczeniowej dla identycznych próbek [116]

Dwa pozostałe czynniki jak błędy modelowania i pomiaru sił mają mniejsze znaczenia. Błędy modelowania mogą być znacznie ograniczane w przypadku zastosowania dokładnego modelowania MES.

Zmienne w czasie przebiegi sił oprócz omówionego wcześniej aspektu dokładności pomiaru nastręczają w analizie zmęczeniowej dużo problemów zwłaszcza gdy mają charakter losowy. Określenie jakie składowe widma obciążeń mają wpływ na trwałość, a jakie z tego punktu widzenia są neutralne ma istotne znaczenie. Aby „historię obciążeń” adaptować do łatwej do oceny postaci stosuje się proces filtracji. Autorem powszechnie stosowanej w technice metody redukcji przebiegu obciążeń jest prof. Tatsuo Endo, metoda nosi nazwę „Rainflow Cycle Counting”. Od jej powstania w 1968

15

roku jest ciągle modyfikowana. Dla potrzeb zmęczenia wysoko-cyklowego jej algorytm wygląda następująco [35,71]:

Analizowane są trzy kolejne ekstrema w historii – A, B, C, pomiędzy kolejnymi ich parami mierzone są zakresy naprężeń:

∆σAB = | σA - σB | ∆σBC = | σB - σC |

Cykl jest zaliczany wtedy, gdy drugi zakres jest większy lub równy pierwszemu:

∆σBC ≥ ∆σAB

zakres naprężeń tego cyklu wyznaczony jest poprzez ekstrema ‘A’ i ‘B’. Są one następnie wymazywane z historii zmian naprężeń, po czym następuje przejście do następnej trójki ekstremów i proces weryfikacji jest powtarzany. Procedura przeczesywania całej historii zmian naprężeń jest powtarzana, aż do wyczerpania ostatniej trójki ekstremów. Przykład filtracji Rainflow przedstawiono na rysunku 7.

Rys.7 Przykład filtracji przebiegów czasowych obciążeń metodą Rainflow Counting [35]

Zmienna w czasie amplituda obciążeń może spowodować zniszczenie nawet, gdy w

końcowej fazie jej wartość jest poniżej wytrzymałości zmęczeniowej. Zjawisko to zostało zbadane i nazywane jest od ich autorów regułą Palmgrena-Minera [35,99,116,121].

16

Rys.8 Przykład użycia reguły Palmgrena-Minera dla oszacowania trwałości zmęczeniowej[35]

Reguła ta mówi, że oczekiwana wytrzymałość zmęczeniowa zostanie wyczerpana, gdy suma poszczególnych frakcji wytrzymałości zmęczeniowej osiągnie 100%.

∑ =1fi

i

NN

(6)

gdzie: Ni – liczba cykli danego poziomu amplitudy f Nfi – maksymalna ilość cykli dla danego poziomu amplitudy naprężeń

Na rysunku 8 przedstawiono przykład uporządkowanego metodą Rainflow przebiegu czasowego, do którego użyto reguły Palmgrena-Minera w celu oszacowania trwałości zmęczeniowej. Do części cykli, które wywołują naprężenie średnie należy stosować odpowiednie relacje przeliczeniowe (np. wzory (3÷5)), [71].

Oprócz omówionej reguły Palmgrena-Minera stosowane są obecnie też inne hipotezy kumulacji uszkodzeń jak: Haibacha, Cornela-Dolana czy Serensena-Kogayewa [99].

17

2.2 Metody i narzędzia analizy zmęczeniowej w złożonym stanie naprężeń

2.2.1 Założenia analizy zmęczeniowej w złożonym stanie naprężeń

W większości elementów maszyn i konstrukcji, czy też całych struktur, w trakcie eksploatacji występuje stan wieloosiowego naprężenia. Poszczególne składniki stanu naprężenia mogą się zmieniać niezależnie jako rezultat wymuszeń dynamicznych działających ze zgodną częstotliwością lub przesuniętych w fazie. Dlatego też zawansowana metodologia projektowania wymaga zastosowania efektywnych i dokładnych metod określania wytrzymałości zmęczeniowej w złożonym stanie naprężeń.

W literaturze [5,6,17,19,21,24,31,41,81,105,115] można znaleźć wiele propozycji kryteriów określających wytrzymałość zmęczeniową stworzonych na bazie badań eksperymentalnych. Z punktu widzenia możliwości zastosowania tych kryteriów do optymalizacji numerycznej najdogodniejsza wydaje się grupa kryteriów bazująca na niezmiennikach stanu naprężenia (inwariantach) oraz kryteria używające wartości średnich naprężeń lub odkształceń w elementarnej objętości, gdyż ich składowe można w łatwy sposób uzyskać z programów do analizy MES [5,21,24,105].

Dla celów analiz oraz optymalizacji zmęczeniowej w złożonym stanie obciążeń dokonano przeglądu najczęściej występujących w literaturze kryteriów zmęczeniowych. W doborze oraz wykorzystaniu kryteriów kierowano się następującymi założeniami:

I. Wzięto pod uwagę wyłącznie kryteria obejmujące obszar zmęczenia wysokocyklowego. Dla uproszczenia prezentacji założono zakres nieograniczonej trwałości zmęczeniowej.

II. Kryteria zostały dobrane z uwagi na ich potwierdzoną zgodność z wynikami badań eksperymentalnych oraz możliwość zastosowania w optymalizacji numerycznej opartej na parametrycznej analizie MES

III. Przyjęto, że wpływ wartości średniej obciążeń nie ma charakteru dominującego w zjawisku zniszczenia zmęczeniowego (kryteria nie rozpatrują przypadku zniszczenia statycznego)

IV. Przyjęto, że poszczególne składniki złożonego przypadku obciążeń, działające na

badaną konstrukcje, są ze sobą zgodne lub przeciwne w fazie

V. Przekroczenie kryterium nie oznacza zniszczenia całej struktury lecz lokalną inicjację pęknięć zmęczeniowych

VI. Przyjęto, że częstotliwość działających na konstrukcje sił jest wyraźnie niższa od

pierwszej częstości własnej badanej struktury VII. Obciążenia wynikające z sił bezwładności nie zostały uwzględnione

18

VIII. Założono możliwość rozkładu obciążeń na stałe w czasie {qm} i wahadłowo

zmienne {qa}

Ostatnie założenie jest natury umownej. Upraszcza ono prezentację metod optymalizacyjnych zakładając wymiarowanie obiektu na korzyść pewności. Przy rzeczywistych przebiegach, korzystając z pomiarów można określić zastępcze miary wymienionych obciążeń.

W trakcie analizy kryteriów zostało zauważone, że dogodnym dla rozpatrywania złożonych stanów obciążenia jest możliwość rozłożenia obciążenia działającego na badany obiekt na część statyczną oraz zmienną (rys. 9).

Rys. 9 Obciążenia i wielkości naprężeniowe w analizie zmęczeniowej Przy spełnieniu wcześniejszych założeń możliwa jest dla takiego rozkładu obciążeń następująca superpozycja niezmienników naprężeń:

)(,,, maHmHaHH +=+= σσσσ (7)

Superpozycja nie jest możliwa dla naprężenia zastępczego Treski-Guesta oraz II niezmiennika dewiatora naprężeń:

)(,,, maTGmTGaTGTG +≠+= σσσσ (8)

)(,2,2,22 mama JJJJ +≠+= (9)

19

2.2.2 Przegląd kryteriów wytrzymałości zmęczeniowej w wieloosiowym stanie naprężeń

Wielkości występujące w wieloosiowych kryteriach zmęczeniowych możemy podzielić na dwie grupy: wielkości określające zastępczą amplitudę naprężeń oraz wielkości określające zastępcze naprężenie średnie. Wśród wielkości określające zastępczą amplitudę naprężeń możemy wyróżnić:

- amplitudę pierwiastka drugiego niezmiennika dewiatora naprężeń J2,a oraz naprężenia oktaedrycznego τa,oct :

octaaJ ,,2 32τ=

- amplitudę naprężenia zastępczego Hubera-Misesa-Hencky’ego:

aHMH ,σ

- amplitudę maksymalnych naprężeń tnących:

aτ gdzie:

( ) ( ) ([ ]213

232

221,2 6

1aaaaaaaJ σσσσσσ −+−+−= ) (10a)

( ) ( ) ( )213

232

221, 2

1aaaaaaaHMH σσσσσσσ −+−+−= (10b)

2IIIaIa

aσσ

τ−

= (10c)

σ1a , σ2a , σ3a - naprężenia główne, symbol „a” oznacza, że zostały one wyznaczone dla stanu naprężenia odpowiadającemu amplitudzie obciążeń Wielkości określające zastępcze naprężenie średnie to: - naprężenie określane jako hydrostatyczne będące 1/3 pierwszego niezmiennika naprężeń:

mH ,σ

20

- naprężenie zastępcze Hubera-Misesa-Hencky’ego wyznaczone dla średniej wartości obciążeń:

mHMH ,σ

- wartość średnią drugiego niezmiennika dewiatora naprężeń:

mJ ,2

gdzie:

[ mmmmH 321, 31 σσσσ ++= ] (11a)

( ) ( ) ( )213

232

221, 2

1mmmmmmmHMH σσσσσσσ −+−+−= (11b)

( ) ( ) ([ ]213

232

221,2 6

1mmmmmmmJ σσσσσσ −+−+−= ) (11c)

σ1m , σ2m , σ3m - naprężenia główne, symbol „m” oznacza, że zostały one wyznaczone dla stanu naprężenia odpowiadającemu wartości średniej obciążeń W pracy stosowano równolegle zapis literatury polskiej i anglosaskiej, tzn.:

σf ≡ Rm ; f-1 ≡ Zgo ; fo ≡ Zgj ; t-1 ≡ Zso ; to ≡ Zsj

21

• Kryterium Marina [82,105] Kryterium Marina bazuje na amplitudzie i wartości średniej 2J . Ogólna forma kryterium ma postać:

13 ,2

1

,2 ≤⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

µλ

σκ

f

ma JfJ

(12)

gdzie: κ, λ, µ − parametry W praktyce Marin sugeruje użycie wartości κ=1 i λ=µ=2 i kryterium przyjmuje postać:

13

2

,2

2

1

,2 ≤⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− f

ma JfJ

σ (13)

Dla ogólnego przypadku obciążeń przy braku naprężeń średnich równanie (13) przyjmuje formę:

103

2

1

,2 ≤+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−fJ a

1,23 −≤ fJ a

po podstawieniu formy 2J z równania (12) otrzymujemy:

( ) ( ) ( ) 12

132

322

21323

−≤−+−+− faaaaaa σσσσσσ

a ta forma jest równoznaczna z:

1, −≤ faHMHσ (14) Z równania (14) wynika, że kryterium jest spełnione gdy naprężenie zredukowane H-M-H jest poniżej Zgo ( w granicach 70-90% Re dla różnych gatunków stali). W przypadku gdy amplituda naprężeń jest zerowa, równanie (13) ma postać:

22

10

2

,2 ≤⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

f

mJσ

Analogicznie, równanie to można zapisać w postaci:

fHMH σσ ≤3

1 (σf ≡ Rm) (15)

Z równania (15) wynika, że kryterium jest spełnione gdy naprężenie zredukowane H-M-H jest 3 raza większe od Rm. Tak więc, aby kryterium miało sens należy przyjąć parametr κ (w równaniu (12)) równy 3 .

W opisanej sytuacji można zaobserwować, że kryterium Marina spełnia warunki wytrzymałościowe dla przypadków skrajnych (J2,a = 0, J2,m ≠ 0) oraz (J2,a ≠ 0,J2,m = 0) jeżeli założymy, że współczynnik κ= 3 . Kryterium jednak nie nawiązuje do wyników badań doświadczalnych [105]. W szczególności błędnie jest interpretowany wpływ średniego naprężenia tnącego τm , które dla zmęczenia wysokocyklowego nie ma wpływu na granicę trwałości zmęczeniowej. Ponadto dodatnia wartość naprężenia średniego σm nie wpływa w kryterium Marina na obniżenie dopuszczalnej amplitudy naprężeń σa. Oba te poważne błędy nie pozwalają brać pod uwagę tego kryterium w dalszych częściach pracy.

23

• Kryterium Sinesa [105,115]

Opierając się na badaniach eksperymentalnych Sines zaproponował liniową zależność między dopuszczalną amplitudą zmieniających się naprężeń (oktaedrycznym naprężeniem tnącym) i naprężeniem statycznym (naprężeniem średnim - pierwszym niezmiennikiem naprężeń ):

Rys. 10 Ilustracja kryterium Sinesa w postaci graficznej

Kryterium Sinesa w pierwotnym jego zapisie miało postać:

( ) ( ) ( ) ( )mmmaaaaaaocta K 3212

132

322

21, 31 σσσασσσσσστ ++−=−+−+−=

(16) Obecnie kryterium jest zapisywane w tożsamej formie:

λκσ ≤+ mHaJ ,,2 (17)

gdzie: κ i λ - parametry Parametry κ i λ mogą być np. uzyskane z testu skręcania [5,105] ( 1,2 −= tJ a , 0, =mHσ

i λ =t-1 ) oraz np. testu jednostronnego zginania (2

01

fa =σ , 021 == aa σσ ;

20

1f

m =σ ,

021 == mm σσ ; 60

,2fJ a = ,

60

,f

mH =σ ):

λκσ ≤+ mHaJ ,,2

100

66 −=+ tff κ

24

660

1 −= −

ftκ

Kryterium Sinesa poprawnie oddaje formę warunku zmęczeniowego dla czystego

skręcania. Ponadto wprowadza liniową zależność między granicą zmęczeniową dla zginania przy nakładających się statycznych naprężeniach normalnych. Zastosowanie tego kryterium do obustronnego zginania prowadzi do równości:

31

1

1 =−

−

ft

Dlatego według Sinesa wytrzymałości zmęczeniowe dla skręcania oraz obustronnego zginania są w stałym stosunku dla wszystkich metali. Jest to niezgodne z wynikami eksperymentalnymi, które wskazują, że stosunek (Z11 / −− ft so/Zgo) waha się od 0.5 dla ciągliwych do 1.0 dla kruchej stali. W kryterium Sinesa wytrzymałość zmęczeniowa f0 (Zgj) jest często zastępowana przez wytrzymałość zmęczeniowa f-1 (Zgo). Korzysta się przy tym z wzoru Goodmanna (3), skąd można uzyskać formułę

)/1/(2 110 ffff σ−− += . Z tym założeniem kryterium może zostać zapisane w postaci:

1,1

1

1,2 633

−−

−

− ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++ tt

ftJ mH

fa σ

σ (18)

Dla potrzeb obliczeń numerycznych dogodne jest użycie w zapisie kryterium Sinesa naprężenia zastępczego Hubera-Misesa-Hencky’ego:

λκσσ ≤+ mHaHMH ,,31

(19) po uwzględnieniu oznaczeń stosowanych w polskiej literaturze równanie Sinesa przeznaczone do implementacji numerycznej ma postać:

somHm

so

go

soaHMH Z

RZ

ZZ

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++ ,, 633

31 σσ (20)

25

• Kryterium Crosslanda [5,21,105]

Kryterium sformułowane przez Crosslanda różni się od Sinesa tylko wpływem naprężenia hydrostatycznego, które według Crosslanda musi pojawić się w formule zmęczeniowej z wartością maksymalną:

λκσ ≤+ max,,2 HaJ (21)

gdzie: mHaHH ,,max, σσσ +=

Parametry κ i λ mogą być uzyskane z testu skręcania [21,105] (np.: 1,2 −= tJ a ,

0max, =Hσ i λ = t-1) oraz testu obustronnego zginania (np.: 3/1,2 −= fJ a i

3/1max, −= fHσ ) skąd można uzyskać:

33

1

1 −=−

−

ftκ

Kryterium poprawnie oddaje warunek zmęczeniowy dla skręcania. Wprowadza także liniową zależność między granicą zmęczeniową dla zginania w odniesieniu do nakładających się statycznych naprężeń normalnych. Dla potrzeb obliczeń numerycznych dogodne jest użycie w zapisie kryterium Crosslanda naprężenia zastępczego Hubera-Misesa-Hencky’ego:

λκσσ ≤+ max,,31

HaHMH (22)

po uwzględnieniu polskich oznaczeń równanie Crosslanda przeznaczone do implementacji numerycznej ma postać:

soHgo

soaHMH Z

ZZ

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ max,, 33

31 σσ (23)

Należy zwrócić uwagę iż zazwyczaj Zso≈0.6 Zgo co skutkuje niewielkim oddziaływaniem naprężeń stałych w czasie na warunek wytrzymałościowy (23). Dla stali, dla których Zso/ Zgo< 3 przyjmuje się tutaj brak wpływu σH na postać kryterium.

26

• Kryterium Dang Vana [5,24,105]

Dang Van oparł swoje kryterium na założeniu, że w trakcie wysokocyklowych obciążeń zmęczeniowych konstrukcji lokalnie może następować przekroczenie granicy plastyczności. Zjawisko to występuje w skali mikroskopowej, gdzie metale nie są izotropowe ani homogeniczne pomimo, iż w skali makroskopowej struktura pozostaje sprężysta. Według Dang Vana uszkodzenie zmęczeniowe pojawia się w określonym czasie, gdy kombinacja lokalnego naprężenia tnącego τ(t) oraz naprężenia hydrostatycznego σH(t) przecina granice dopuszczalnego obszaru wytrzymałości zmęczeniowej.

Rys. 11 Ilustracja kryterium Dang Vana w postaci graficznej

Obszar ten może być przedstawiony przez dwie linie proste (rys.11) których równanie ma postać:

( ) 0)()( =±≡ λκστσ mttf H (24a) W 1989 roku Dang Van sformułował II postać swojego kryterium znacznie ułatwiającą zastosowanie go w praktyce:

[ ] λκστ ≤+ )()(max tt HA (24b)

gdzie: 2

)()()( 31 ttt σστ −=

( ))()()(31)( 321 ttttH σσσσ ++=

27

κ i λ - parametry, mogą być uzyskane z testów obustronnego skręcania i obustronnego zginania [5,24]:

1−= tλ , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−

−−

3/2/

1

11

fftκ

A –obszar badanego obiektu Dla potrzeb obliczeń numerycznych dogodne jest użycie w zapisie kryterium Dang Vana naprężenia zastępczego Treski-Guesta:

λκσσ ≤⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + )()(21max tt HTGA

(25)

po uwzględnieniu polskich oznaczeń ( f-1 = Zgo , t-1 = Zso) równanie Dang Vana przeznaczone do implementacji numerycznej ma postać:

soHgo

soTGA

ZtZZ

t ≤⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ )(

233

)(21max σσ (26)

Od jego powstania w l973 kryterium Dang Vana jest stale rozwijane i w świetle literatury [5, 26, 105] wydaje się najlepiej oddawać rzeczywisty charakter zmęczenia wysokocyklowego w złożonym stanie obciążenia. Kryterium to jest często używane jako porównawcze dla nowych hipotez zmęczeniowych.

28

2.2.3. MES jako narzędzie do analizy zmęczeniowej

Metoda elementów skończonych ma już obecnie powszechne zastosowanie w obliczeniach wytrzymałościowych konstrukcji. Rozwój i integracja narzędzi CAD 3D z programami do obliczeń MES (ANSYS, ABAQUS, NASTRAN i inne) pozwala na ciągłe zwiększanie pola zastosowania MES w technice.

Z punktu widzenia obliczeń zmęczeniowych konstrukcji analiza MES ma niezaprzeczalne zalety, gdyż dostarcza powiązania pomiędzy zastosowanym obciążeniem i odpowiadającym mu naprężeniem w regularnych rozlokowanych punktach struktury. Pozwala to ominąć konieczność uzyskiwania przybliżonego współczynnika koncentracji naprężeń. Ponadto, analiza MES pozwala na badanie właściwości zmęczeniowych obiektu dla złożonych przypadków obciążeń. Wykorzystywane w kryteriach wieloosiowego zmęczenia składniki (naprężenia główne, naprężenia zastępcze wg różnych hipotez) są standardowymi danymi wynikowymi obliczeń programów MES. Daje to możliwość łatwej adaptacji MES do potrzeb wieloosiowej analizy zmęczeniowej.

Dzięki tym zaletom MES jest obecnie głównym narzędziem w symulacyjnych badaniach zmęczeniowych. Jego zalety są widoczne zwłaszcza w fazie badań prototypowych wyrobu.

Oprócz wymienionych zalet należy zauważyć pewne niedogodności metody

elementów skończonych. Główną wadą analizy MES jest nieuniknione przyjmowanie pewnego stopnia uproszczenia modelu. W „idealnym” modelu badanej części pomija się obecności małych pęknięć lub wstępnych defektów powierzchniowych, które są trudne do zamodelowania. Defekty powierzchniowe są jednak istotnym czynnikiem wpływającym na trwałość zmęczeniową części maszyn. Obecnie ich wpływ w obliczeniach symulacyjnych uwzględniony jest poprzez stosowanie odpowiednich współczynników korekcyjnych.

Możliwa jest również ( w zagadnieniach liniowych) osobna analiza lokalna obiektu („mikro”) i jej superpozycja na efekt globalny („makro”).

Dzięki dużemu zapotrzebowaniu przemysłu samochodowego i lotniczego powstała

specjalistyczna grupa programów wspomagania komputerowego CAE poświęcona obliczeniom zmęczeniowym. Programy te koncentrują się na określaniu trwałości zmęczeniowej (liczby cykli do zniszczenia) dla badanych konstrukcji w zakresie nisko- wysokocyklowego zmęczenia oraz inicjacji i rozwoju pęknięć. Wśród zaawansowanych programów z tej dziedziny można wymienić miedzy innymi: FE-Fatigue, FE-SAFE, LMS Virtual.Lab Durability, MSC.ADAMS\Durability.

29

Programy CAE do analizy trwałości zmęczeniowej można podzielić na dwie grupy: programy zajmujące się badaniem trwałości w sposób pasywny na podstawie

zarejestrowanego przebiegu sił i modelu MES obiektu, programy aktywnej symulacji warunków pracy badanego obiektu, w których

trwałość jest badania w sposób dynamiczny w trakcie ruchu modelu przedmiotu w środowisku wirtualnej symulacji dynamicznej Multi-Body Symulation (MBS).

Pierwsza grupa programów wykorzystuje do badania wieloosiowego stanu obciążeń

quasi-statyczną analizę naprężeń [98]. Główną ideą tej metody jest zastąpienie każdego zewnętrznego obciążenia działającego na strukturę w przebiegu czasowym statycznym jednostkowym obciążeniem działającym w tym samym kierunku jak w przebiegu czasowym. Następnie dla każdego jednostkowego przebiegu czasowego jest wykonywana statyczna analiza naprężeń. Naprężenie dynamiczne pochodzące od każdego indywidualnego przebiegu czasowego może być wyznaczone przez przemnożenie przez współczynnik naprężenia statycznego uzyskanego z odpowiedniego obciążenia jednostkowego. Ze swego założenia metoda ta wykorzystuje liniowe powiązanie miedzy siłą a odkształceniem (naprężeniem), jakkolwiek zakres nieliniowy (zmęczenie niskocyklowe) również możliwy jest do rozpatrywania [98].

Druga grupa programów poprzez integracje modelu dynamicznego MBS z modelem MES (tzw. flex-MBS) oraz analizy zmęczeniowej pozwala na wierne odtworzenie reżimu pracy analizowanej pojedynczej części lub nawet całych złożeń. Ważnym aspektem dla badań zmęczeniowych jest odpowiedź dynamiczna modelu na ruch i zastosowane obciążenie. W analizach typu „flex-MBS” możliwe jest uwzględnienie w analizie naprężeń efektów bezwładnościowych (inertial stresses), wpływu częstości drgań własnych (modal stresses) oraz analiza stanów przejściowych naprężenia (transient stress analysis) [97].

Kryteria wieloosiowego zmęczenia stosowane w omówionych programach nie nawiązują do najnowszych osiągnięć w tej dziedzinie, w większości wypadków jest to kryterium Hubera-Misesa-Hencky’ego.

30

2.3 Badania numeryczne wybranych wieloosiowych kryteriów zmęczenia wysokocyklowego

Głównym celem tej części badań było sprawdzenie wybranych kryteriów zmęczeniowych w kontekście ich przydatności do prac optymalizacyjnych. Test przeprowadzono dla trzech kryteriów: Sinesa, Crosslanda i Dang Vana. W ramach badań przewidziano:

1) Implementację wybranych kryteriów w programie do analizy MES ANSYS® 2) Opracowanie schematu adaptacji przebiegów czasowych obciążeń do postaci

dogodnej dla analizy zmęczeniowej oraz przyszłej optymalizacji 3) Test numeryczny dla przykładowej części mechanicznej poddanej

wieloosiowemu obciążeniu obejmujący: - zbudowanie modelu MES dla przykładowej części, - dobór siatki elementów skończonych oraz estymację błędu

obliczeń, - określenie rozkładów naprężeń zastępczych wg rozpatrywanych

hipotez 4) Wybór kryterium optymalizacyjnego

Przez implementację kryteriów jest rozumiane dodanie nowych funkcji do programu, które będą rozszerzać jego możliwości. 2.3.1 Implementacja kryteriów w programie ANSYS

Do implementacji kryteriów zmęczeniowych użyto Ansys Parametric Design Language (APDL), języka skryptowego programu ANSYS® , który jest używany do automatyzacji rozwiązań, tworzenia makr oraz poleceń własnych użytkownika. Jedną ze standardowych funkcji postprocessora programu ANSYS® jest funkcja tworzenia „tablic elementowych” (Element Tables), pozwalających na zapisywanie bieżących wartości składników tensora naprężeń oraz pewnych predefiniowanych wielkości (jak np. naprężenia zredukowane) do wyspecyfikowanych przez użytkownika tablic (wektorów). Dane te mogą być następnie wyświetlane w postaci listy lub obrazowane przez wykresy warstwicowe na konturze badanego modelu. Co jest istotne dla zapisu formuł zmęczeniowych, w tablicach elementowych zapisywane są jednocześnie wartości dla wszystkich elementów skończonych. Istnieje też możliwość prowadzenia operacji algebraicznych na tablicach elementowych o tych samej wymiarach. Przy użyciem funkcji tablic elementowych zostało przygotowane makro APDL wykonujące następujące działania:

31

- zapis do osobnych tablic elementowych: składowych naprężeń głównych oraz naprężeń zastępczych Treski-Guesta i Hubera-Misesa-Hencky’ego

- obliczenie wartości naprężenia hydrostatycznego σH - obliczenie współczynników materiałowych κ i λ na podstawie stałych

materiałowych Zgo , Zgj , Zso , Rm - obliczenie wartości naprężeń zstępczych wg. kryteriów Sinesa (20),

Crosslanda (23) oraz Dang Vana(26) - automatyczny zapis wyników analizy w postaci map warstwicowych

naprężeń zastępczych dla poszczególnych kryteriów do plików graficznych *.TIF.

Operacje obliczeniowe dokonywane są jednocześnie dla wszystkich elementów skończonych badanego modelu. Wartości stałych materiałowych zostały wprowadzone w sposób parametryczny i mogą być łatwo modyfikowane. Dodatki A i B zawierają pełne wydruki makr APDL do obliczania powyższych kryteriów. 2.3.2 Schematyzacja przebiegów czasowych obciążeń dla analizy zmęczeniowej

• Schematyzacja przebiegów czasowych obciążenia dla kryteriów Sinesa i Crosslanda

Przyjęty do analizy i przyszłej optymalizacji obszar wysokocyklowego zmęczenia o

bardzo dużej liczbie cykli ( zakres nieograniczonej trwałości zmęczeniowej) pozwala przy redukcji obciążenia przyjmować jedynie wartości ekstremalne cyklu zmiennych w czasie obciążeń. Zgodnie z przyjętymi w rozdziale 2.2.1 i 2.2.2 założeniami procedura obliczeniowa dla kryteriów Sinesa i Crosslanda obejmuje obliczenie składowych tych kryteriów - HMHσ , Hσ dla trzech poziomów obciążeń: wartości maksymalnej,

wartości średniej oraz amplitudy obciążeń. Ponieważ wielkości aH ,σ i mH ,σ mogą

być dodawane (7) tworząc max,Hσ , całość cyklu obciążeń upraszcza się tylko do dwóch zakresów. Na rysunku 12 przedstawiono przykład redukcji przebiegu czasowego dla kryteriów Sinesa i Crosslanda. W wyniku redukcji przebiegu czasowego obciążenia q(t) otrzymujemy zastępcze wartości średnie przebiegów qm oraz amplitudy przebiegów qa.

32

a) b) Rys. 12 Schemat redukcji przebiegu czasowego obciążenia q(t) (a) do postaci dogodnej do

obliczeń zmęczeniowych wg kryterium Sinesa i Crosslanda (b). Ponieważ celem niniejszej pracy są działania optymalizacji a nie analiza rzeczywistych przebiegów sił, można w uproszczeniu przyjąć największy poziom obciążenia pomijając cykle o niższej amplitudzie. Naprężenie zastępcze przyjętego kryterium zmęczeniowego będzie oddziaływać na konstrukcję dostosowując ją do optymalnego kształtu, a przyjęcie maksymalnej wartości obciążeń wpłynie tylko na podniesienie współczynnika bezpieczeństwa nowo projektowanej struktury.

• Schematyzacja przebiegów czasowych obciążenia dla kryterium Dang Vana

W odróżnieniu od poprzednio omówionych kryteriów formuła Dang Vana (15) obejmuje analizę w funkcji czasu. W związku z tym adaptacja przebiegu czasowego dla potrzeb kryterium zmęczeniowego powinna zawierać oprócz wartości minimalnej i maksymalnej także stany pośrednie [26].

Dla potrzeb analizy i ewentualnie przyszłej optymalizacji z użyciem kryterium Dang Vana zaproponowano następujący schemat redukcji przebiegu czasowego obciążeń:

wyznaczenie wartości ekstremalnych dla rzeczywistego przebiegu czasowego

wyznaczenie pięciu poziomów obciążeń, które będą sprawdzane w trakcie jednej analizy zmęczeniowej:

o poziom „min” – dla minimalnej wartości obciążenia ( qm – qa)

o poziom „zero” – dla wartości średniej obciążenia (qm )

o poziom „max” - dla maksymalnej wartości obciążenia ( qm + qa)

o oraz dwa poziomy pośrednie: „1/2 min” i „1/2 max” (rys.13) Na rysunku 13 przedstawiono przykład redukcji przebiegu czasowego obciążenia q(t) dla kryterium Dang Vana.

33

a) b) Rys. 13 Schemat redukcji przykładowego przebiegu czasowego obciążenia q(t) (a) dla postaci

dogodnej do obliczeń zmęczeniowych wg kryterium Dang Vana (b) 2.3.3 Test numeryczny kryteriów zmęczeniowych na przykładowej części mechanicznej

• Opis analizowanego problemu

Jako przykład do analizy zmęczeniowej został wybrany wahacz z przedniego zawieszenia samochodu. Kształt geometryczny wahacza został zaprezentowany na rysunku 16a, a na rysunku 14 przedstawiono widok zawieszenia wraz z wahaczem oraz schemat zestawu sił działających na badaną część. Warunki utwierdzenia i obciążenia wahacza uzyskano z prac badawczo-symulacyjnych dr inż. Stanisława Walczaka [124].

Dla określenia reżimu obciążeń działających na wahacz podczas pracy została przeprowadzona symulacja jazdy pojazdu w programie typu MBS CarDyn 1.0 [112]. W trakcie symulacji wykonano przejazdy po założonym profilu drogi z prędkością 50 km/h dla dwóch przypadków : jazdy na drodze prostej oraz po łuku. W wyniku tych badań uzyskano przebiegi czasowe sił działających na wahacz. Fragment przebiegu dla sił Rb1-1 i Rb1-2 działających na wahacz przedstawione na rysunku 15. Do dalszej analizy zmęczeniowej przyjęto zestaw przebiegów sił o większych amplitudach jako bardziej niekorzystne warunki pracy części (przypadek jazdy po łuku).

34

a) b)

Rys.14 Zawieszenie przednie samochodu (a) oraz jego schemat kinematyczny (b). Badany element zaznaczono kolorem niebieskim [124].

Rys.15 Fragment przebiegu czasowego sił Rb1-1 i Rb1-2 działających na wahacz podczas jazdy

po łuku uzyskany z programu symulacyjnego CarDyn [124].

35

a) b)

Rys.16 Rysunek wahacza (a) z elementami mocującymi (szczegóły A i B mają charakter technologiczny i są pominięte w modelu MES). Model MES wahacza (b) wraz z warunkami brzegowymi ( przyjęty schemat zamocowania został sprawdzony dla przypadku zamodelowania podatnych przegubów nie wykazując znaczących różnic w rozkładach i wartościach naprężeń ). Kolorem fioletowym oznaczono pogrubienia modelu MES.

• Zbudowanie modelu MES badanego obiektu Trójwymiarowy kształt części uproszczono do modelu dwu wymiarowego, na co pozwala sam kształt wahacza – w przybliżeniu jest to płaski element ze zróżnicowaną grubością (rys.16a). Różnice grubości różnych stref modelu uzyskano przez zróżnicowanie grubości elementów powłokowych typu shell zastosowanych do analizy. Dodatkowym uzasadnieniem przemawiającym za zastosowaniem tego typu uproszczenia jest fakt, że kierunki obu sił działających na wahacz (które uzyskano w trakcie symulacji dynamicznej) zostały określone w lokalnym, związanym z nim układzie współrzędnych. Jedynym obciążeniem mającym charakter przestrzenny jest w tym wypadku moment pochodzący od przegubu gumowego, który jednak jest relatywnie mały i przez to pomijalny.

Do budowy modelu użyto element powłokowy shell63 który pozwala uwzględnić zginanie, stan błonowy, a także duże ugięcia oraz wzmocnienie materiału. Element zdefiniowany jest czterema węzłami, każdy węzeł posiada 6 stopni swobody (trzy przemieszczenia i trzy obroty). Z uwagi na dwuwymiarowy charakter analizy dla modelu zostały globalnie wyłączone przemieszczenia w osi Z oraz wszystkie obrotowe stopnie swobody.

Dla przebadania zbieżności modelu MES wykonano obliczenia dla siatki rzadszej Ne= 2037 elementów i gęstszej Ne= 8569 pozostawiając podobny charakter zagęszczenia elementów ( rys. 16b). Dla Ne= 2037 naprężenie zastępcze σeqv,HMH było 0.5% mniejsze, a dla Ne= 8569 o 0.25% większe od przyjętego do dalszej analizy i optymalizacji Ne= 4031. Uznano, że takie odchylenia od rezultatów są dopuszczalne.

Sekwencja preprocessingu dla analizy MES została zapisana w formie skryptu APDL co umożliwia wielokrotną analizę w trybie interaktywnym oraz wsadowym (Batch Processing), a także łatwe połączenie z makrem analizy zmęczeniowej.

36

• Określenie rozkładów naprężeń zastępczych dla badanych kryteriów

Dla przygotowanego modelu MES przygotowano dwie wersje programu analizy zmęczeniowej. Pierwsza wersja programu, dla kryterium Sinesa i Crosslanda obejmowała dwie sekwencje obliczeń statycznych dla dwóch stanów obciążenia wahacza wyznaczonych z przebiegów czasowych – obciążenia średniego oraz amplitudowego. Z analizy MES uzyskano odpowiednio wartości średnie i amplitudowe składników kryteriów dla wszystkich elementów skończonych modelu jednocześnie. Za pomocą operacji algebraicznych na tablicach elementowych zostały obliczone wartości naprężeń zastępczych dla badanej części. Całość programu zmęczeniowego została wykonana w sposób automatyczny, łącznie z generacją map graficznych dla każdego kryterium.

Druga wersja programu, dla kryterium Dang Vana obejmowała przeliczenie pięciu przypadków obciążeń wg przyjętych założeń (rozdz. 2.3.2). Całość analizy zmęczeniowej została przeprowadzona jak dla programu pierwszego w sposób automatyczny. Dodatkowo dla analizy Dang Vana przygotowano makro odczytujące dla dowolnego punktu modelu MES w trakcie pięciostopniowego cyklu obliczeniowego składowe kryterium niezbędne do wykonania wykresu Dang Vana (rys. 20). W tym szczególnym przypadku zmiany obciążenia wywołują przebieg ( τmax, σH,max )wg jednej lini (tam i z powrotem). Ogólnie, dla obciążeń przesuniętych w fazie, wykresy te tworzą pętlę lub nie zamknięte krzywe.

Dla przyjętego modelu materiałowego (Zgo = 260MPa , Zso = 160MPa, Rm = 580MPa) analizowane kryteria zmęczeniowe (20,23,26) przyjmują następującą postać:

• kryterium Sinesa: MPamHaHMHSeqv 160224.058.0 ,,, ≤+= σσσ

• kryterium Crosslanda:

MPaHaHMHCeqv 160114.058.0 max,,, ≤+= σσσ

• kryterium Dang Vana: MPatt HTGDVeqv 160)(346.0)(5.0, ≤+= σσσ

W powyższych wzorach σHMH,a otrzymano metodą elementów skończonych uwzględniającą efekt, koncentracji naprężeń, tak więc ujmuje ono efekt współczynnika kształtu αk. Pominięto tu wpływ współczynnika powierzchni βp, współczynnika wielkości przedmiotu γ oraz wpływ materiału na działanie karbu ( wsp. η). W rzeczywistych obliczeniach inżynierskich należało by powyższe współczynniki uwzględnić. Warto jednak zauważyć, że w przypadku obiektów stalowych pominięcie η jest uproszczeniem na korzyść pewności.

37

Wyniki obliczeń zmęczeniowych

Wyniki przeprowadzonych analiz zmęczeniowych badanej części najdogodniej jest przedstawić w postaci map warstwicowych naprężeń zastępczych odpowiednio dla kryteriów Sinesa, Crosslanda oraz Dang Vana. Wyniki te zostały zaprezentowane na rysunkach od 17, 18, 19. Przebieg kryterium Dang Vana zilustrowano dodatkowo w postaci wykresów modelu MES (rys. 19). W pierwszym rzędzie przedstawiono σTG(t) , w drugim σH(t) , a w trzecim σeqv,DV(t) = 0.5σTG(t) + 0.346σH(t), czyli naprężenie zastępcze w sensie Dang Vana. Naprężenie podano w pięciu punktach czasowych wg rys. 13b. Na rysunku 20 przedstawiono przebieg kryterium Dang Vana w postaci wykresu dla wybranego punktu konstrukcji. Na rysunku 21 mapę warstwicową kryterium Dang Vana dla maksymalnej wartości naprężenia zredukowanego uzyskanej w pięciostopniowym przebiegu.

Analiza zmęczeniowej zmęczeniowa dla wahacza została przeprowadzona dla zestawu obciążeń uzyskanego z symulacji dynamicznej jazdy w programie MBS. Uzyskane niskie wartości naprężeń zredukowanych dla rozpatrywanych kryteriów zmęczeniowych sugerują stosunkowo wysokie współczynniki bezpieczeństwa przyjęte dla konstrukcji przez producenta. Należy jednak podkreślić, że prowadzona analiza korzysta z wyidealizowanego przebiegu obciążeń, nieujmującego przeciążeń wahacza.

38

Rys. 17 Mapa warstwicowa kryterium Sinesa oraz składowych kryterium: σHMH,a (górny lewy) i

σH,m(górny prawy).

39

Rys. 18 Mapa warstwicowa kryterium Crosslanda oraz składowych kryterium: σHMH,a (górny

lewy) i σH,max (górny prawy).

40

Rys. 19 Zestawienie wyników dla przebiegu kryterium Dang Vana oraz składowych kryterium: σTG i σH, największą wartość naprężenia zredukowanego zaznaczono czerwonym kolorem (σeqv,DVmax.= 18 MPa).

Max forceX_m=-150 forceX_a=350 forceX_mplusa=200 forceY_m=1825 forceY_a=425 forceY_mplusa=2250

½ max forceX_m=-150 forceX_a=175 forceX_mplusa=25 forceY_m=1825 forceY_a=212.5 forceY_mplusa=2037.5

Zero forceX_m=-150 forceX_a=0 forceX_mplusa=-149 forceY_m=1825 forceY_a=0 forceY_mplusa=1826

½ min forceX_m=-150 forceX_a=-175 forceX_mplusa=-325 forceY_m=1825 forceY_a=-212.5 forceY_mplusa=1612.5

Min forceX_m=-150 forceX_a=-350 forceX_mplusa=-500 forceY_m=1825 forceY_a=-425 forceY_mplusa=1400

Rys. 20 Przebieg kryterium Dang Vana dla wybranego punktu modelu MES.

Rys. 21 Mapa warstwicowa dla maksymalnej wartości kryterium Dang Vana uzyskanej w

pięciostopniowym przebiegu

2.3.4 Wybór kryterium dla optymalizacji zmęczeniowej

Jak wynika z przeprowadzonych badań najbardziej rygorystyczne wyniki analizy zmęczeniowej daje kryterium Dang Vana. Stawia ono projektowanej konstrukcji największe w porównaniu do innych kryteriów wymagania, zapewniając jednak tym samym większy stopień bezpieczeństwa obiektu. Kryterium to zostanie użyte do dalszych prac związanych z optymalizacją konstrukcji w warunkach wysokocyklowego zmęczenia.

44

3 Optymalizacja w warunkach zmęczenia wysokocyklowego 3.1 Przegląd metod optymalizacyjnych konstrukcji

Optymalizację złożonych konstrukcji lub ich elementów można zdefiniować jako proces wyznaczania optymalnych cech geometrycznych bądź własności wytrzymałościowych dla przyjętego kryterium lub kryteriów [11,103]. Większość kryteriów optymalizacji konstrukcji można zaliczyć do trzech zasadniczych grup:

- kryteriów związanych z minimalizacją objętości (lub ciężaru) konstrukcji, w większości przypadków silnie powiązanych z kosztami konstrukcji,

- kryteriów największej sztywności lub najmniejszej odkształcalności,

- kryteria wyrównywania wytężeń [11]. Wynik optymalizacji przyjętej funkcji celu f(xi) musi zwykle spełnić dodatkowe warunki ograniczające gi(xi), które określają przestrzeń rozwiązań dopuszczalnych. Wśród metod optymalizacji konstrukcji można wyróżnić:

1. Metody analityczne 2. Metody programowania matematycznego 3. Metody optymalizacji numerycznej

• Metody analityczne

Metody analityczne optymalizacji konstrukcji wykorzystują rachunek wariacyjny i

są stosowane dla nieskomplikowanych przypadków konstrukcyjnych. Zagadnienia analizy ustrojów trójwymiarowych są zwykle w tych metodach upraszczane i sprowadzane do dwu lub jednowymiarowej postaci. Zredukowanie liczby wymiarów pól odkształceń i naprężeń prowadzi do pominięcia ich zmienności, co ma wydatny wpływ na jakość uzyskanych rozwiązań[11].

• Metody programowania matematycznego

Metody programowania matematycznego dzielą się na:

- liniowe (Linear Programming, LP), w których funkcja celu i ograniczenia występują w postaci liniowej,

45

- nieliniowe (Nonlinear Programming, NLP), w których funkcja celu i/lub ograniczenia mają charakter nieliniowy.

Wśród metod nieliniowych NLP mających zastosowanie do optymalizacji konstrukcji można wyróżnić dwie zasadnicze grupy:

1. metody gradientowe, w których badane jest nachylenie (gradient) funkcji celu i ograniczeń;

2. metody bezgradientowe, oparte na metodach probabilistycznych (Monte Carlo,

Symulowane Wyżarzanie, Algorytmy Ewolucyjne, Rój Cząstek)[9,55,56].

• Metody optymalizacji numerycznej

Grupa ta wyodrębniła się z poprzednio omawianej a różni ją jedynie odmienny sposób obliczania wartości funkcji celu. W miejsce matematycznej formuły opisującej analizowany problem wprowadza się w tej metodzie model numeryczny jako zamkniętą procedurę, do której na wejściu wprowadzane są zmienne konstrukcyjne (decyzyjne) a na wyjściu otrzymywane są wartości funkcji celu oraz ograniczeń (rys. 22).

Rys. 22 Schemat metody optymalizacji numerycznej [34]

Dzięki dynamicznemu rozwojowi metod numerycznych, optymalizacja konstrukcji może obecnie uwzględniać coraz więcej aspektów fizycznego oddziaływania na konstrukcje. Wśród istotnych czynników, których wpływ na konstrukcje można obecnie analizować i optymalizować numerycznie można wymienić:

- obciążenia statyczne i dynamiczne,

46

- obciążenia termo-mechaniczne, - obciążenia CFD, - oddziaływania elektromagnetyczne.

Kryteria optymalizacyjne mogą ujmować również szereg zjawisk fizycznych występujących w konstrukcji, np.:

- utratę stateczności, - drgania i efekty rezonansowe, - zmęczenie, pękanie i pełzanie materiału, - korozję.

47

3.2 Test metod optymalizacyjnych konstrukcji

Z uwagi na potrzebę doboru metody optymalizacyjnej dla przyszłych badań przewidziano wykonanie wstępnego testu dwóch algorytmów optymalizacyjnych często stosowanych w zagadnieniach optymalizacji konstrukcji - procedury gradientowej i probabilistycznej. W obu przypadkach przewidziano zastosowanie gotowych procedur optymalizacyjnych zawartych w bibliotece /OPT programu ANSYS®.

• Opis przykładu optymalizacyjnego

Jako przykład do optymalizacji posłuży omówiony w rozdziale 2.3.3 wahacz (rys.14a). Na obecnym etapie przewidziana została do wykonana optymalizacja dla warunków statycznych pracy wahacza, co znacznie przyspiesza proces optymalizacyjny. Efekty zmęczeniowe zostaną uwzględnione w dalszych badaniach optymalizacyjnych.

Model elementów skończonych wahacza został przygotowany do celów optymalizacyjnych poprzez sparametryzowanie opisu geometrycznego. W stosunku do pierwotnego kształtu (rys.14b) dokonano modyfikacji poprzez wprowadzenie dodatkowych otworów w ramionach wahacza. Położenie oraz średnica otworów w lewym ramieniu zostały sparametryzowane i mogły być łatwo modyfikowane przez wprowadzone do skryptu analizy numerycznej APDL zmienne konstrukcyjne. Wprowadzone heurystycznie otwory w ramieniu prawym nie były optymalizowane. W parametryczny sposób zostało również zdefiniowane obciążenie wahacza, co umożliwia prowadzenie analizy dla różnych zakresów obciążenia. Do bieżącego testu optymalizacyjnego przyjęte zostały maksymalne wartości obciążeń.

Zapisany w skrypcie APDL w pełni zautomatyzowany proces analizy statycznej został zakończony wyodrębnieniem z danych wyjściowych postprocessingu wartości funkcji celu tj. objętości badanej struktury oraz ograniczenia w postaci parametru stanu, którym była maksymalna wartość naprężenia zredukowanego Hubera-Misesa-Hencky’ego. Obu tym wielkościom zostały w skrypcie przyporządkowane alfanumeryczne zmienne dla potrzeb optymalizacji.

Dla zmiennych konstrukcyjnych przeprowadzono test ich maksymalnych i minimalnych wartości w celu określenia przestrzeni poszukiwań dla algorytmu optymalizacyjnego. Wartość graniczna parametru stanu została ustalona na podstawie analizy statycznej pierwotnej wersji modelu MES przy poziomie obciążeń identycznym jak przyjęty dla optymalizacji (rys.23a).

• Sformułowanie problemu optymalizacyjnego Dla dwóch testowanych metod optymalizacji zostało postawione identyczne zadanie optymalizacyjne sformułowane w następujący sposób:

48

Rozpatrywano osiem zmiennych konstrukcyjnych (cztery średnice otworów w lewym ramieniu, położenie pierwszego otworu na prostej będącej sieczną kąta rozwarcia rozpatrywanego ramienia oraz odpowiednio trzy odległości między brzegami pozostałych otworów (rys.23.)):

x ≡ [x1,x2,x3 ... xn] , n = 8 (27)

Na zmienne te nałożono górne i dolne ograniczenia ich wartości:

iii xxx ≤≤ , (i = 1,2,3, ... ,8) (28)

Rozpatrywano jedną zmienną stanu (w tym przypadku naprężenie zastępcze HMH,

maksymalne w badanym obiekcie o objętości Α) z górnym ograniczeniem jej wartości:

g

Amax i(x)≤ ig , ( i = 1 ) (29)

Jako funkcję celu wybrano objętość elementu W(x) (dalej w rysunkach i tekście

oznaczanej W):

Rys.23 Opis zmiennych konstrukcyjnych w optymalizowanej części. W górnym ramieniu

wahacza dodano dodatkowe otwory odciążające (naprężenia są tu bardzo małe).

3.2.1 Test metody gradientowej

Jako przykład metody gradientowej wybrano metodę First Order Optimization (FOO) będącą częścią zaimplementowanej w programie ANSYS® biblioteki funkcji optymalizacyjnych /OPT [3].

49

• Opis algorytmu optymalizacyjnego

W metodzie FOO ograniczenia typu mocnego nałożone na zadanie optymalizacyjne

są zamieniane na typ słaby przez dodanie funkcji kary. Na przykład rozpatrywana funkcja celu W(x) zamieniana jest na bezwymiarową funkcję Q(x,q), która może być sformułowana w następujący sposób [3]:

Q(x,q)= Qf (x)+ Qf (x,q) (30)

Qf (x)= 0WW

(31) gdzie:

Q - bezwymiarowa pozbawiona ograniczeń funkcja celu Qf – zasadnicza bezwymiarowa funkcji celu Qp – bezwymiarowa funkcja kary W0 – wartość referencyjna funkcji celu

Bezwymiarowa funkcji kary dla przypadku optymalizacji wahacza ma postać:

Qp(x,q) , n = 8 , m = 1 (32) )()(11

i

m

ig

n

iix gPqxP ∑∑

==

+=

gdzie: Px, Pg –funkcja kary uwzględniająca ograniczenia zmiennych konstrukcyjnych i zmiennych stanu q – parametr wagowy umożliwiający algorytmowi optymalizacyjnemu wewnętrzną kontrolę zmiennych stanu

Funkcje kary zmiennej stanu Pg(xi) są typu wewnętrznego („extended-interior”) i ma postać:

λ

α

2

max)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=ii

i

Aig gggP (33)

gdzie: λ - duża liczba całkowita powodująca

wzrost funkcji kary gdy ograniczenia parametrów są przekroczone

iα - tolerancja

50

Dla zmiennych konstrukcyjnych funkcje kary Px(xi) mają formę zewnętrzną [3]. Pochodne funkcji celu oraz funkcje kary zmiennych stanu prowadzą do

wyznaczenia kierunku przeszukiwania przestrzeni rozwiązań. W trakcie każdej iteracji są przeszukiwane różne kierunki aż do uzyskania zbieżności. Każda iteracja składa się z kilku poditeracji, w których obliczany jest gradient oraz kierunek przeszukiwań.

• Wynik optymalizacji

W wyniku optymalizacji metodą gradientową nastąpiła redukcja masy wahacza o 6.3% ( w stosunku do pierwotnego modelu MES (rys. 16b)). Całkowity czas obliczeniowy optymalizacji wyniósł ok. 1 godziny. Na rysunku 25b przedstawiono końcową postać optymalizowanej części. Mapy naprężeń dla optymalnego układu otworów pokazują, że w ramieniu optymalizowanego wahacza osiągnęliśmy stan bardziej równomiernego wytężenia materiału. Na rysunku 24 przedstawiono przebiegi zmian funkcji celu w kolejnych iteracjach.

Rys.24 Przebieg zmian funkcji celu w trakcie optymalizacji z zaznaczonym najlepszym wynikiem

51

a)

b)

Rys.25 Mapa naprężeń zastępczych σeqv,HMH dla wyjściowego (a) oraz optymalnego kształtu wahacza (b) uzyskanego przez gradientową metodę optymalizacyjną. Otwory w prawym ramieniu nie podlegają optymalizacji parametrycznej.

52

3.2.2 Test metody probabilistycznej

Algorytm optymalizacji metodą probabilistyczną został zrealizowany przy pomocy funkcji losowej generacji układów rozwiązań (Random Design Generation) zawartej w bibliotece funkcji optymalizacyjnych ANSYS/OPT (OPTYPE, RAND). Dla zwiększenia efektywności metody zaproponowana została dodatkowa procedura obejmująca losowe przeszukiwania przestrzeni zmiennych z trójstopniowym zawężaniem przedziału poszukiwań.

• Opis algorytmu optymalizacyjnego Przewidziano, że proces optymalizacji probabilistycznej będzie się składał z trzech faz: Faza I

♦ Wykonanie serii 1000 iteracji, z których zostanie wybrane 130 wektorów parametrów xi, i=1,2...8 dających najmniejsze wartości funkcji celu.

Faza II

♦ Dokonanie zawężenia przedziałów zmienności parametrów konstrukcyjnych poprzez:

• obliczenie średniej arytmetycznej wartości każdego z parametrów,

• zastąpienie tą wartością dolnej granicy przedziału zmienności tego parametru.

♦ Wykonanie drugiej serii 1000 iteracji dla zawężonych przedziałów zmienności parametrów konstrukcyjnych.

Faza III

♦ Zawężenie przedziałów zmienności parametrów konstrukcyjnych (w oparciu o procedurę z fazy II) dla N układów uzyskanych z fazy II

♦ Wykonanie trzeciej serii 1000 iteracji dla obszaru o zawężonych przedziałach zmienności parametrów konstrukcyjnych.

♦ Uzyskanie wyniku końcowego optymalizacji

53

• Wynik optymalizacji

W wyniku przeprowadzonej optymalizacji probabilistycznej uzyskano spadek masy o 7.4%. Łączny czas obliczeń optymalizacyjnych wyniósł ok. 6.5 godziny. Dla I fazy optymalizacji uzyskano kilkaset dopuszczalnych rozwiązań, z których do dalszych obliczeń wybrano 130 najlepszych. Dla II fazy uzyskano 46 prawidłowych rozwiązań, dla III fazy uzyskano tylko 6 prawidłowych rozwiązań. Rysunek 26 przedstawia kolejne fazy poszukiwania optimum (kółkiem zaznaczono optymalny układ uzyskany w II fazie poszukiwań). Optymalny kształt wahacza przedstawiono na rysunku 27.

Rys.26 Wykres dla I, II oraz III fazy optymalizacji probabilistycznej. Najlepszy wynik oznaczono kółkiem, łączna liczba iteracji wyniosła N = 3000.

54

Rys.27 Mapa naprężeń dla optymalnego kształtu wahacza uzyskanego przez probabilistyczną metodę optymalizacyjną. 3.2.2 Wnioski z przeprowadzonych testów metod optymalizacyjnych

W wyniku gradientowej optymalizacji wahacza uzyskano spadek jego masy o 6.3%. Dla metody probabilistycznej uzyskano jednak wynik lepszy (Tab.1). Można z powyższego wnioskować, iż metoda niegradientowa zatrzymała się na lokalnym optimum pomijając globalne. Jak można zaobserwować na rysunkach 25b i 27 formy geometryczne uzyskane metodą gradientową i probabilistyczną znacznie się różnią, co dodatkowo przemawia za powyższą tezą.

Tabela 1. Porównanie zastosowanych metod optymalizacyjnych.

Rodzaj metody Całkowity czas optymalizacji

[h]

Wartość funkcji celu [g]

Poprawa funkcji celu [%]

Gradientowa 1 2075.7 6.3

Probabilistyczna 6.5 2053.8 7.4

55

Stosowane w celu pominięcia tego mankamentu metody gradientowej zabiegi, jak: zmiana punktu startowego czy też przeszukiwanie z różną wielkością kroku, pozwalają zwiększyć prawdopodobieństwo uzyskania optimum globalnego. Wypływają jednak znaczne na wydłużenie całkowitego czasu optymalizacji. Ponadto, jak to zostało stwierdzone w [131], metody gradientowe są nieodporne na numeryczne niejednoznaczności funkcji celu.

Metoda probabilistyczna, choć osiągnęła wyraźną przewagę w teście optymalizacyjnym, charakteryzuje się znacząco długimi czasami obliczeniowymi, co przy optymalizacji większych struktur stanowi duże utrudnienie.

W celu zwiększenia efektywności tej metody przewidziano zastosowanie następujących kroków:

• zastosowanie inteligentnej metody przeszukiwania probabilistycznego opartej na algorytmach ewolucyjnych,

• zwiększenie wydajności obliczeniowej przez zastosowanie techniki obliczeń równoległych,

• przeprowadzenie badania wrażliwości funkcji celu pod kątem preselekcji zmiennych konstrukcyjnych dla optymalizacji.

Dla wszystkich tych przedsięwzięć przewidziano budowę specjalnych narzędzi programowych, które zostaną omówione później.

56

3.3 Narzędzia poprawy efektywności metod probabilistycznych 3.3.1 Zastosowanie algorytmów ewolucyjnych jako narzędzia optymalizacji probabilistycznej

• Opis metody

Jako środek do zwiększenia efektywności przeszukiwania probabilistycznego została wybrana metoda algorytmów ewolucyjnych.

Metoda ta bazuje na mechanizmach ewolucji biologicznej. Algorytmy ewolucyjne wykonują wielokierunkowe przeszukiwania funkcji celu, prowadząc ochronę populacji potencjalnych rozwiązań oraz wymianę informacji między nimi. W każdej populacji dobre rozwiązania mają szansę na reprodukcję, a złe są eliminowane. Ocena różnych rozwiązań jest prowadzona poprzez funkcję przystosowania, która jest odzwierciedleniem zachowania funkcji celu [86,87,103]. Schemat działania metody obejmuje:

- zapis cech (parametrów konstrukcyjnych) w postaci wektora kodu genetycznego chromosomu osobnika dla każdego dowolnego układu zmiennych decyzyjnych,

- losową generację populacji ( zbioru osobników),

- obliczenie funkcji przystosowania ( wartości funkcji celu) dla każdego wylosowanego osobnika,

- zastosowanie operatorów genetycznych: reprodukcji, krzyżowania, mutacji w celu znalezienia najlepiej przystosowanego osobnika,

- znalezienie optimum globalnego lub bliskie globalnemu

• Parametry sterujące algorytmem ewolucyjnym W ramach działania algorytmu ewolucyjnego istnieje możliwość dostosowania działania procedury w zależności od charakterystyki badanego obiektu. Można tego dokonać przez zmianę parametrów sterujących algorytmu, wśród których można wyróżnić:

Wielkość populacji J Dla algorytmów genetycznych najczęściej przyjmowana wielkość populacji waha się od 50 do 500 lub więcej osobników. Optymalna wielkość pokolenia

57

zwiększa się wraz z wielkością problemu. Problem z dwiema zmiennymi decyzyjnymi jest reprezentowany przez krótszy genotyp i będzie wymagać mniejszej populacji niż problem z 10-cioma zmiennymi [103].

Parametr operacji krzyżowania pc

Parametr ten wpływa w podobny sposób na rezultat optymalizacji jak wielkość populacji. Wysoki parametr krzyżowania pozwala na eksplorację większej przestrzeni rozwiązań i zmniejsza szansę zatrzymania się przeszukiwania na lokalnym optimum. Z drugiej strony zbyt duża wartość pc będzie wydłużać całkowity czas obliczeń.

Parametr operacji mutacji pm

Parametr ten definiuje wartość procentową zmutowanych genów w populacji kontrolując ilość nowych genów wprowadzanych do generacji. W przypadku, gdy parametr mutacji jest za niski wiele genów, które mogą być przydatne nigdy nie zostanie użyte. Jednak gdy parametr pm jest za wysoki, powoduje to duże zakłócenia losowe, co sprawia, że „potomstwo” traci swoje podobieństwo do „rodziców”. Oznacza to, że algorytm straci zdolność uczenia się z historii poszukiwań.

Liczba generacji Lg

Jest to parametr związany z czasem obliczeń, jedno z możliwych kryteriów zakończenia działania algorytmu optymalizacyjnego. Oprócz tego rozwiązania w optymalizacji ewolucyjnej stosuje się też kryteria związane z dokładnością obliczeń (np. zbieżność rozwiązania) [103].

• Opis narzędzia programowego

Jako bezpośrednie narzędzie do optymalizacji został wybrany pakiet oprogramowania do optymalizacji ewolucyjnej EOS [103]. Dla potrzeb optymalizacji numerycznej niezbędne było dokonanie zmian w działaniu algorytmu programu. W miejsce opisu matematycznego funkcji celu dodane zostały do programu EOS dodatkowe procedury umożliwiające współpracę z zewnętrznym programem do obliczeń MES ANSYS®:

zapis wartości aktualnego układu zmiennych stanu do pliku tekstowego czytelnego dla programu ANSYS®;

uruchomienie programu ANSYS® w trybie wsadowym wraz z określeniem zadania do analizy;

wczytanie wyników uzyskanych z analizy tj. wartości parametru stanu (np. naprężenia zastępczego) oraz funkcji celu (np. masy badanej struktury).

58

Ostatni punkt wymiany danych między ANSYS a EOS został zrealizowany poprzez pliki tekstowe, które są tworzone automatycznie przez skrypt optymalizacyjny APDL w trakcie analizy. 3.3.2 Zwiększenie wydajności obliczeń poprzez technikę obliczeń równoległych

• Opis metody

Jak wynika z teorii stosowania obliczeń równoległych ich efektywność rośnie, gdy mamy możliwość podziału zadania obliczeniowego na fragmenty dogodne do obliczeń na pojedynczych procesorach/komputerach stanowiących wirtualny komputer wieloprocesorowy [64]. Z tego punktu widzenia algorytmy ewolucyjne posiadają istotną zaletę umożliwiającą efektywne zastosowanie obliczeń równoległych. Obliczenia funkcji przystosowania dla całego pokolenia osobników w standardowym algorytmie wykonywane są w sposób sekwencyjny. W pracy wykorzystano możliwość zamiany tego sposobu na równoległy [3]. Dzięki temu powstała możliwość skrócenia czasu obliczeń w stopniu proporcjonalnym do liczby zastosowanych do obliczeń komputerów. W przypadku idealnym, gdyby można było dysponować dużą liczbą komputerów o identycznej mocy obliczeniowej, ogólny czas obliczeń zadania optymalizacyjnego mógłby być niemal wprost dzielony przez liczbę procesorów/komputerów.

• Opis narzędzia programowego

Przed przystąpieniem do opracowywania algorytmu programu oraz jego technicznej realizacji przyjęto kilka założeń:

projektowana aplikacja będzie rozwinięciem używanego już programu EOS;

do realizacji zadania zostanie wykorzystany istniejący potencjał obliczeniowy, w postaci kilkunastu komputerów w różnych konfiguracjach, pracujących na różnych platformach systemowych (Unix, Windows, Linux);

jako podstawę do budowy aplikacji przyjęto architekturę klient-serwer z wykorzystaniem protokołu HTTP;

do budowy aplikacji zostanie wykorzystane oprogramowanie oparte na licencji publicznej (GNU).

Na podstawie przyjętych założeń został opracowany algorytm aplikacji

zaprezentowany na rysunku 28. Aplikacja „klient-serwer” do obliczeń równoległych składa się z dwóch członów: Serwera Obliczeń Równoległych (SOR) oraz Klienta Obliczeń Równoległych (KOR). Oba człony aplikacji klient-serwer zostały napisane w

59

języku Python [96,138], który jest interpretowanym, obiektowym językiem wysokiego poziomu. Serwer SOR, jak wynika z algorytmu działania (rys.28), realizuje swoją podstawową funkcje wysyłania do klientów KOR danych do obliczeń dla kolejnych osobników oraz odbierania wyników. Klient KOR realizuje następujące funkcje: odbiera dane z serwera SOR, uruchamia Skrypt Zadania Obliczeniowego (SZO) na lokalnym komputerze, wysyła wyniki obliczeń do serwera SOR.

Rys. 28 Algorytm aplikacji do obliczeń równoległych z wykorzystaniem algorytmów genetycznych

Dla potrzeb obliczeń równoległych w architekturze „klient-serwer” do programu

EOS zostały dodane dodatkowe funkcje (patrz dodatek C):

zmieniono sposób obliczania funkcji przystosowania dla osobników w ramach poszczególnych populacji z dotychczasowego sekwencyjnego na równoległy;

dodano funkcje wymiany danych z programem - Serwerem Obliczeń Równoległych poprzez interfejs ASCII;

dodano funkcje cyklicznego uruchamiania w trakcie działania EOS-a zewnętrznego programu SOR.

Jak wynika z przeprowadzonych testów dzięki zastosowaniu aplikacji obliczeń równoległych uzyskano około 3-krotne przyspieszenie obliczeń na dostępnej bazie komputerów o różnej mocy obliczeniowej.

60

3.3.3 Ograniczenie liczby zmiennych przez badanie wrażliwości funkcji celu

• Opis metody

Badanie wrażliwości dostarcza informacji o wpływie na wartość funkcji celu przyrostów wartości poszczególnych zmiennych decyzyjnych. W swej podstawowej wersji badanie wrażliwości polega na numerycznym obliczeniu pochodnej cząstkowej funkcji celu względem optymalizowanych zmiennych w celu wyznaczenia kierunku największego spadku [62,118,131]. W odróżnieniu od cytowanych prac, na potrzebę przyszłych badań optymalizacyjnych zaproponowano zmodyfikowaną miarę wrażliwości S funkcji celu:

( ) ( ) ( ) (

( ) (⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<∆

−=

)(,)(,gdy ,0

)(,)(,gdy ,)(,)(,

00

0000

xgQgQ

xgQgQx

xgQgQS

kk

kkk

kk

xxx

xxxxxx )

) (34)

))(()())(,( igifii gQQgQ xxxx += , i = {1,2 ...m} (35)

0

)()( WW

ifiQ xx = (36)

1)( 0 =xfQ

( ) λ2)())(( gg

igigQ xx = (37)

gdzie:

; ,

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

m

k

x

x

xx

..

..2

1

0x

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∆+=

m

kkk

x

xx

xx

..

..2

1

x

Q - bezwymiarowa pozbawiona ograniczeń funkcja celu, Qf – zasadnicza bezwymiarowa funkcji celu, Qg – bezwymiarowa funkcja kary,

W0 – wartość referencyjna funkcji celu, g (xi) – parametr stanu (w naszym przypadku zmęczeniowe naprężenie zastępcze),

61

g – wartość referencyjna parametru stanu (w naszym przypadku Zso lub mniejsza wielkość uwzględniająca współczynnik bezpieczeństwa), λ - duża dodatnia liczba całkowita powodująca wzrost funkcji kary gdy ograniczenie parametru stanu zostaną przekroczone. Funkcja kary zmiennej stanu Qg pozwoli uwzględnić przy badaniu wrażliwości wpływ tej wielkości. W przypadku znaczącego przekroczenia ustalonej granicy wyeliminuje bieżącą zmienną z grona potencjalnych zmiennych optymalizacyjnych. Dla zabezpieczenia się przed odrzuceniem zmiennej, która w małym otoczeniu nie daje znaczącej poprawy, zdecydowano badać wrażliwość zarówno w małym jak i w dużym otoczeniu ( co ilustruje rysunek 29) [117].

Rys.29 Sche

Końcowa postać

{ 12 ,,max SSS −−=

Małe i duże otzmiennych optym

f(x)S(x)

x x x x x-2 -1 0 1 2

∆∆∆∆

x x xx x xx x xx x x

− −

− −

= −= −

= −= −

2 2

1 1 0

1 1 0

2 2 0

,,

,,

0

}

mat doboru punktów badania wrażliwości funkcji celu dla pojedynczej

zmiennej i (k = -2, -1, 1, 2).

miary wrażliwości funkcji celu prezentuje się następująco:

21,SS (38)

gdzie: dane są wzorem (34) dla 2112 ,,, SSSS −− x x0 + ∆ równego odpowiednio (rys.29). 2112 ,,, xxxx −−

oczenie powinno być określone indywidualnie dla poczególnych alizowanej konstrukcji.

62

• Opis narzędzia programowego

Program do badania wrażliwości funkcji celu został zbudowany w oparciu o następujące założenia:

- program będzie uwzględniał przyjęty algorytm badania wrażliwości (formuły 34 do 38),

- program będzie można wykorzystać do badania wrażliwości dla dowolnej liczby zmiennych,

- program będzie uruchamiał zewnętrzną aplikację analizy numerycznej (np. ANSYS®) oraz automatycznie wczytywał wyniki obliczeń (wartość funkcji celu i parametru stanu),

- program będzie działał w trybie automatycznym bez interakcji z użytkownikiem,

- po zakończeniu procesu badania wrażliwości program wygeneruje raport zawierający pełne informacje o przebiegu obliczeń oraz końcową postać miary wrażliwości S dla każdej badanej zmiennej.

Na podstawie przyjętych założeń została zbudowana aplikacja przy wykorzystaniu języka programowania C++ [dodatek D].

63

3.3.4 Propozycja procedury optymalizacyjnej

Pierwotne próby optymalizacji w warunkach zmęczenia wykazały, że jednoczesne przeszukiwanie całej przestrzeni np. ośmiu zmiennych decyzyjnych może trwać wiele tygodni. W celu poprawy efektywności metody probabilistycznej została opracowana procedura optymalizacyjna wykorzystująca przygotowane narzędzia programowe. Procedura obejmuje następujące kroki:

1. Losowe przeszukanie przestrzeni rozwiązań dla {xi}zmiennych decyzyjnych (np. 1000 iteracji)

2. Wybór N punktów startowych charakteryzujących się najmniejszą wartością funkcji celu (przyjęto N = 5)

3. Badanie wrażliwości dla {xi} zmiennych w wybranych punktach

4. Wybór ze zbioru {xi} podzbioru {xm} zmiennych przeznaczonych do optymalizacji

5. Optymalizacja przy użyciu algorytmów ewolucyjnych i techniki obliczeń równoległych dla {xm} zmiennych

6. Uzyskanie wyniku optymalizacji – optymalnego wektora zmiennych decyzyjnych

64

3.4 Przykłady zastosowań optymalizacji konstrukcji w warunkach

zmęczeniowych 3.4.1 Przykład 1: Optymalizacja zmęczeniowa części mechanicznej – model płytowy dwuwymiarowy (2D).

• Opis rozpatrywanego zagadnienia optymalizacyjnego

Pierwszy przykład optymalizacji zmęczeniowej to część mechaniczna: wahacz z przedniego zawieszenia samochodu [124]. Reżim pracy oraz geometria tej części została już częściowo omówiony w rozdziałach 2.3.3. oraz 3.2.

Przedstawiona na rysunkach (14a i 16a) część poddawana jest zmiennemu, wysokocyklowemu obciążeniu w trakcie jazdy. Za cel optymalizacji przyjęto parametryczne dostosowanie geometrii części tak by nastąpił spadek jej masy przy zachowanych własnościach zmęczeniowych na tym samym poziomie. Dla optymalizowanej części przyjęto poziom wytężenia zmęczeniowego zgodny z pierwotną konstrukcją poprzez przyjęcie jako graniczne naprężenia zastępczego uzyskanego w teście dla początkowej formy konstrukcji (rys. 21).

Z uwagi na geometryczną formę części oraz sposób jej obciążenia (por. rozdz. 2.3.3 i 3.2) możliwe jest uproszczenie rozpatrywanego zagadnienia do dwóch wymiarów. Pozwala to na znaczne przyspieszenie procesu optymalizacji przy niewielkim obniżeniu jakości wyników.

• Przygotowanie modelu MES do optymalizacji zmęczeniowej

Jako model MES rozpatrywanego elementu został przyjęty model przygotowany wcześniej dla testu metod optymalizacyjnych (rozdział 3.2). Do skryptu parametrycznej analizy numerycznej wahacza został dołączony podprogram analizy zmęczeniowej Dang Vana (por. rozdz. 2.3.3 oraz dodatek B). Podobnie jak w przypadku testu metod optymalizacyjnych, do skryptu APDL dodano funkcje wyodrębnienia z wyników analizy wartości funkcji celu i parametru stanu (naprężenia zredukowanego wg kryterium Dang Vana). Z uwagi na badanie pięciu przypadków obciążenia w jednym cyklu analizy, do jej skryptu dodano funkcje automatycznego wyboru maksymalnej wartości parametru stanu z pięciu otrzymanych wartości. Parametry wyjściowe analizy zostały zapisane w sposób automatyczny do plików tekstowych.

Jako wartość graniczną parametru stanu przyjęto wartość =g 18 MPa uzyskaną z analizy zmęczeniowej dla pierwotnego układu konstrukcji (por. rozdział 2.3.3 i rys. 19). Dodatek E zawiera pełny skrypt APDL dla przykładu 1.

65

• Schematyzacja reżimu obciążeń

Zgodnie z przyjętymi w rozdziale 2.2.1 i 2.3.1 założeniami do analizy

zmęczeniowej, przebiegi obciążeń zostały odpowiednio zaadaptowane według schematu opisanego w rozdziale 2.3.1. Wyznaczono wartości poziomów obciążeń zastępczych, wartości poszczególnych kroków obciążenia zamieszczono na rysunku 30.

• Sformułowanie zadania optymalizacyjnego Zadanie optymalizacyjne zostało sformułowane podobnie jak w rozdziale 3.2: Rozpatrywano osiem zmiennych konstrukcyjnych (cztery średnice otworów w

lewym ramieniu, położenie pierwszego otworu na prostej będącej sieczna kąta rozwarcia rozpatrywanego ramienia oraz odpowiednio trzy odległości między brzegami pozostałych otworów ( rys. 21)):

x = [x1, x1 x1 ... xn] , n = 8

Na zmienne te nałożono górne i dolne ograniczenia ich wartości:

iii xxx ≤≤ , (i = 1,2,3, ... ,8)

Rozpatrywano jedną zmienną stanu (maksymalne naprężenie zastępcze wg. kryterium Dang Vana) z górnym ograniczeniem jej wartości:

iiAgg ≤)(max x , ( i = 1 )

Jako podstawową funkcję celu wybrano objętość elementu W(x)

• Określenie parametrów startowych procedury optymalizacji ewolucyjnej Po badaniach literaturowych [87, 88, 103], konsultacjach ze specjalistami (jak np. dr inż. St. Krenich) oraz przeprowadzeniu kilku wstępnych testów dla rozpatrywanego zadania optymalizacyjnego przyjęto następujące parametry startowe algorytmu ewolucyjnego :

wielkość populacji J = 500 parametr prawdopodobieństwa krzyżowania pc = 0.7

parametr prawdopodobieństwa mutacji pm = 0.4

liczba generacji Lg = 125

66

• Wynik optymalizacji

Na rysunku 30 przedstawiono zestawienie wyników optymalizacji dla przykładu I w formie przebiegu kryterium zmęczeniowego Dang Vana. Kolorem niebieskim zaznaczono maksymalną wartość parametru stanu w pięciopunktowym przebiegu.

W wyniku przeprowadzonej optymalizacji uzyskano spadek masy badanej struktury o 4.11% (w odniesieniu do pierwotnego modelu MES (rys.16b)). Łączny czas obliczeń wyniósł ok. 100 godzin.

Na rysunku 31 przedstawiono zestawienie wyników optymalizacji ewolucyjnej, a na rysunku 32 kolejne etapy ewolucji rozwiązania dla rozpatrywanej konstrukcji (ostatnią poprawę funkcji celu uzyskano w 58 pokoleniu).

67

Rys. 30 Zestawienie wyników dla przebiegu kryterium Dang Vana dla optymalnego wahacza. Przypadek z największą wartością naprężenia zredukowanego zaznaczono niebieską ramką.

Max forceX_m=-150 forceX_a=350 forceX_mplusa=200 forceY_m=1825 forceY_a=425 forceY_mplusa=2250

½ max forceX_m=-150 forceX_a=175 forceX_mplusa=25 forceY_m=1825 forceY_a=212.5 forceY_mplusa=2037.5

Zero forceX_m=-150 forceX_a=0 forceX_mplusa=-149 forceY_m=1825 forceY_a=0 forceY_mplusa=1826

½ min forceX_m=-150 forceX_a=-175 forceX_mplusa=-325 forceY_m=1825 forceY_a=-212.5 forceY_mplusa=1612.5

Min forceX_m=-150 forceX_a=-350 forceX_mplusa=-500 forceY_m=1825 forceY_a=-425 forceY_mplusa=1400

Optymalizacja ewolucyjna. Przykład nr 1.

GA Data Received Results

1 2151.1 4 2150.7 5 2150.7 6 2132.2 8 2131.3 10 2131.1 14 2127.5 56 2127.2 58 2123.2 70 -

mdReprType=1 {Binary Coding} gaSelectType=3 {Simple Tournament} gaCrossType=1 {Single Point} gaMutaType=1 {Uniform Binary} population size = 500 number of generations = 70 probability of crossover = 0.70 probability of mutation = 0.40 penalty parameter = 1.000000e+002

Last improvement generation = 58 Variables X Ranges / Precision Best fitness value 0.005 0.0125 100000000 0.005 0.0125 100000000 0.005 0.0125 100000000 0.005 0.0125 100000000 0.080 0.1440 100000000 0.006 0.0100 100000000 0.006 0.0100 100000000 0.006 0.0100 100000000

F = 2123.227 X[0] =0.011204 X[1] =0.007263 X[2] =0.006391 X[3] =0.005821 X[4] =0.111955 X[5] =0.008776 X[6] =0.009190 X[7] =0.009185 G = 184190.000000

Rys.31 Zestawienie parametrów optymalizacji ewolucyjnej dla przykładu I .

Generacja 1 Parametry konstrukcyjne:

r1a=0.011538 r2a=0.006976 r3a=0.007256 r4a=0.008299 l1=0.089039

dl2=0.008550 dl3=0.009487 dl4=0.009710

Parametr stanu: DV Eqv Stress = 16704390.0 [Pa]

Funkcja celu: F = 2151.1 [g]

Generacja 8 Parametry konstrukcyjne:

r1a=0.010463 r2a=0.006150 r3a=0.007917 r4a=0.006970 l1=0.105778

dl2=0.008118 dl3=0.009780 dl4=0.009632

Parametr stanu: DV Eqv Stress = 17532650.0

Funkcja celu: F = 2131.3

Generacja 58 Parametry konstrukcyjne:

r1a=0.011204 r2a=0.007263 r3a=0.006391 r4a=0.005821 l1=0.111955

dl2=0.008776 dl3=0.009190 dl4=0.009185

Parametr stanu: DV Eqv Stress = 17815810.0

Funkcja celu: F = 2123.2

Generacja 2 Parametry konstrukcyjne:

r1a=0.011538 r2a=0.006976 r3a=0.007256 r4a=0.008525 l1=0.089039

dl2=0.008550 dl3=0.009488 dl4=0.009531

Parametr stanu: DV Eqv Stress = 16707270.0

Funkcja celu: F = 2150.7

Generacja 10 Parametry konstrukcyjne:

r1a=0.010463 r2a=0.006150 r3a=0.007917 r4a=0.006970 l1=0.105778

dl2=0.008113 dl3=0.009487 dl4=0.009710

Parametr stanu: DV Eqv Stress = 17715940.0

Funkcja celu: F = 2131.1

Generacja 3 Parametry konstrukcyjne:

r1a=0.011538 r2a=0.006976 r3a=0.007256 r4a=0.008525 l1=0.089039

dl2=0.008550 dl3=0.009488 dl4=0.009522

Parametr stanu: DV Eqv Stress = 16179300.0

Funkcja celu: F = 2150.7

Generacja 14 Parametry konstrukcyjne:

r1a=0.010984 r2a=0.005713 r3a=0.005251 r4a=0.006817 l1=0.113415

dl2=0.009681 dl3=0.009111 dl4=0.009656

Parametr stanu: DV Eqv Stress = 16972200.0

Funkcja celu: F = 2127.5

Generacja 4 Parametry konstrukcyjne:

r1a=0.009898 r2a=0.005333 r3a=0.006479 r4a=0.005065 l1=0.115339

dl2=0.009176 dl3=0.009562 dl4=0.008444

Parametr stanu: DV Eqv Stress = 17934080.0

Funkcja celu: F = 2132.2

Generacja 56 Parametry konstrukcyjne:

r1a=0.009049 r2a=0.006874 r3a=0.005024 r4a=0.005865 l1=0.120702

dl2=0.009479 dl3=0.009941 dl4=0.009881

Parametr stanu: DV Eqv Stress = 17502620.0

Funkcja celu: F = 2127.2

Rys.32 Etapy ewolucji rozwiązania dla I-ego przykładu optymalizacyjnego.

Dla rozpatrywanej konstrukcji wykonano w celach porównawczych optymalizacje

przy kryterium Hubera-Misesa-Hencky’ego. Optymalizacja została wykonana z użyciem programu EOS z identycznymi ustawieniami parametrów algorytmu wyszukiwania, uzyskano 6.14% obniżenia masy wahacza. Porównanie wyników optymalizacji dla kryterium Dang Vana i Hubera-Misesa-Hencky’ego przedstawiono na rysunku 33.

Warto zwrócić uwagę na istotnie większą wartość naprężenia zastępczego σeqv,HMH (rys. 33a) w stosunku do naprężenia zastępczego σeqv,DV ( rys. 33b). Należy jednak podkreślić, że σeqv,HMH porównywane jest z granicą plastyczności Re, a naprężenie zmęczeniowe z trwałą wytrzymałością na obustronne skręcanie Zso. Przejęty z konstrukcji pierwotnej niski poziom wytężenia (nie uwzględniający między innymi chwilowych przeciążeń i nadwyżek dynamicznych) wpływa na niski poziom granicznego naprężenia zastępczego.

Zmęczeniowe badania optymalizacyjne dla pierwszego przykładu zakończono sprawdzającymi obliczeniami dla innego zestawu parametrów sterujących algorytmem ewolucyjnym (Tab.2), uzyskany wynik był gorszy od pierwotnego optimum (patrz zestawienie na rys. 32) co potwierdza poprawność zastosowanych ustawień dla programu EOS.

Tabela 2. Wyniki badań optymalizacyjnych sprawdzających dla pierwszego przykładu

Wielkość populacji

J

Liczba generacji Lg

Prawdopodobieństwa krzyżowania

pc

Prawdopodobieństwa mutacji

pm

Wartość funkcji celu

W [g]

400 125 0.7 0.4 2127.13

a)

b)

Rys. 33 Porównanie wyników optymalizacji wahacza dla kryterium Dang Vana (a) oraz Hubera-Misesa-Hencky’ego (b)

73

3.4.2 Przykład 2: Optymalizacja zmęczeniowa części mechanicznej – model powłokowy trójwymiarowy (3D).

• Opis rozpatrywanego zagadnienia optymalizacyjnego

Jako drugi przykład optymalizacyjny wybrano także część zawieszania samochodu. Przewidziany do optymalizacji wahacz tylni z uwagi na inne funkcje zasadniczo różni się kształtem od pierwszego przykładu optymalizacyjnego. W trakcie pracy jest on poddawany złożonemu, wysokocyklowemu zestawowi obciążeń. Na rysunku 34 i 38a przedstawiono rozpatrywany obiekt, a na rysunku 35 przedstawiono schemat jego obciążenia [124].

Przyjęto iż w drugim przykładzie optymalizacyjnym, podobnie jak w pierwszym, optymalizowana będzie masa struktury przy ustalonym parametrze stanu, którym jest wybrana miara wytężenia zmęczeniowego.

Rys. 34 Tylnie zawieszenie samochodu, optymalizowany wahacz zaznaczono kolorem

niebieskim [124].

Rys. 35 Schemat obciążenia optymalizowanego wahacza [124]

74

Dla rozpatrywanego przykładu wykonano symulację jazdy pojazdu w programie typu MBS dla podobnych warunków jak w przykładzie pierwszym (rozdz. 2.3.3) [124]. Na tej podstawie wygenerowano zestaw sił działających na wahacz. Fragmenty przebiegów czasowych dla 12 składowych obciążenia działających na wahacz przedstawiono na rysunkach 36 i 37.

Rys. 36 Fragment przebiegu czasowego składowych sił Fs i Fa działających na wahacz uzyskane z symulacji MBS

75

Rys. 37 Fragment przebiegu czasowego składowych siły Fo i momentu Mo działających na

wahacz uzyskane z symulacji MBS

76

• Przygotowanie modelu MES do optymalizacji zmęczeniowej Optymalizowana część zbudowana jest z dwóch wytłoczek blaszanych połączonych przez zgrzewanie i spawanie. Dla tego typu konstrukcji cienkościennych jedną racjonalną strategią wykonania modelu MES jest zastosowanie elementów skończonych typu powłokowego (shell). Pozwoli to na uzyskanie dokładnych wyników przy względnie małym czasie obliczeniowym. Przy użyciu języka APDL został zaprogramowany parametryczny model MES wahacza. Z uwagi na ograniczone możliwości modelowania w programie ANSYS® oryginalna forma wahacza musiała ulec pewnemu uproszczeniu (rys. 35). Starano się by uproszczenia prowadziły do rezultatów na korzyść pewności badanego obiektu.

a)

b) Rys. 38 Rysunek wahacza (a) oraz jego modelu MES wraz z obciążeniami i warunkami

brzegowymi analizy(b) Podobnie jak dla pierwszego przykładu do skryptu analizy dodano możliwość parametrycznej zmiany poziomu obciążeń. Wprowadzono również podprogram analizy zmęczeniowej Dang Vana oraz sekwencje automatycznego zapisu parametru stanu i wartości funkcji celu do pliku tekstowego. Dodatek F zawiera pełny skrypt APDL dla przykładu 2.

Do budowy modelu użyto opisany już w rozdz. 2.3.3 element powłokowy shell63. Dla przebadania zbieżności modelu MES wykonano obliczenia dla siatki rzadszej Ne=

77

5214 elementów i gęstszej Ne= 20218 pozostawiając podobny charakter zagęszczenia elementów (rys. 38b). Dla Ne= 5214 naprężenie zastępcze σeqv,HMH było 4.5% mniejsze, a dla Ne= 20218 o 14.79% większe od przyjętego do dalszej analizy i optymalizacji Ne= 10616. Uznano, że takie odchylenia od rezultatów są dla prowadzonego procesu optymalizacyjnego dopuszczalne. Należy jednak zwrócić uwagę, że zoptymalizowany wahacz będzie musiał być przebadany przy gęstszej siatce, w celu określenia rzeczywistego współczynnika bezpieczeństwa.

• Schematyzacja reżimu obciążeń

W oparciu o przyjęte w rozdziałach 2.2.1 i 2.3.2 dla kryterium Dang Vana założenia odnośnie do zestawu obciążeń działającego na badaną część, dokonano schematyzacji przebiegów czasowych. Uzyskane 5-cio stopniowe równoważne przebiegi (por. 13b) dla 12 składowych sił zostały następnie zaprogramowane w skrypcie analizy zmęczeniowej wahacza dla dalszych badań optymalizacyjnych. Wartości poszczególnych kroków obciążeń przedstawiono na rysunku 39. Podobnie jak na rys. 30 w pierwszym rzędzie przedstawiono σTG(t) , w drugim σH(t) , a w trzecim σeqv,DV(t).

• Ustalenie wartości granicznej parametru stanu dla optymalizacji

W celu ustalenia wartości granicznej parametru stanu, to jest naprężenia zastępczego według kryterium Dang Vana, wykonano testową analizę zmęczeniową dla wyjściowego układu parametrów konstrukcyjnych wahacza. Przyjęcie za górną granicę parametru stanu wytrzymałości zmęczeniowej pierwotnego wahacza pozwala zwiększyć współczynnik bezpieczeństwa konstrukcji, a przez to czyni ją bardziej odporną na nieprzewidziane chwilowe impulsy siłowe zdarzające się w trakcie eksploatacji pojazdu (np. nagły wjazd w wyrwę w jezdni). Wynik analizy Dang Vana został przedstawiony na rysunku 39.

• Sformułowanie zadania optymalizacyjnego Dla przykładu drugiego zadanie optymalizacyjne zostało sformułowane w następujący sposób: Wstępnie rozpatrywano 12 zmiennych konstrukcyjnych przedstawionych na

rysunku 40 (przewidywano, iż liczba zmiennych ulegnie zmniejszeniu po badaniu wrażliwości):

x = [x1, x1 x1 ... xn] , n = 12

Za zmienne przyjęto wszystkie wymiary, które mogły być korygowane bez zakłócenia współpracy wahacza z innymi częściami zawieszenia pojazdu. Na zmienne te nałożono górne i dolne ograniczenia ich wartości:

78

iii xxx ≤≤ , (i = 1,2,3, ... ,12)

Rozpatrywano jedną zmienną stanu (maksymalne naprężenie zastępcze wg. kryterium Dang Vana) z górnym ograniczeniem jej wartości:

iiAgg ≤)(max x , ( i = 1 )

Jako zasadniczą funkcję celu wybrano objętość elementu W(x)

Rys. 40 Zmienne konstrukcyjne wstępnie przyjęte do procesu optymalizacji. Kolorem czerwonym zaznaczono zmienne wyselekcjonowane w trakcie badania wrażliwości.

79

Rys. 39 Przebiegu kryterium Dang Vana dla wyjściowego układu parametrów konstrukcyjnych wahacza. Kolorem czerwonym zaznaczono przypadek z maksymalną wartością parametru stanu (σeqv,Dvmax = 20 MPa).

Max FoX =-300 FoY =-1030 FoZ =2050 MoX =-310 MoY =-50 MoZ =-40 FsX =-950 FsY =-240 FsZ =-2450 FaX =250 FaY =5 FaZ =390

½ max FoX = -200 FoY = -1197,5 FoZ = 2337,5 MoX = -350 MoY = -60 MoZ = -30 FsX = -1175 FsY = -275 FsZ = -2612,5 FaX = 157,5 FaY = 2,5 FaZ = 242,5

Zero FoX = -100 FoY = -1365 FoZ = 2625 MoX = -390 MoY = -70 MoZ = -20 FsX = -1400 FsY = -310 FsZ = -2775 FaX = 65 FaY = 0 FaZ = 95

½ min FoX = 0 FoY = -1532,5 FoZ = 2912,5 MoX = -430 MoY = -80 MoZ = -10 FsX = -1625 FsY = -345 FsZ = -2937,5 FaX = -27,5 FaY = -2,5 FaZ = -52,5

Min FoX = 100 FoY = -1700 FoZ = 3200 MoX = -470 MoY = -90 MoZ = 0 FsX = -1850 FsY = -380 FsZ = -3100 FaX = -120 FaY = -5 FaZ = -200

• Badania wrażliwości funkcji celu na przyrost zmiennych decyzyjnych

Badania wrażliwości funkcji celu na przyrost zmiennych decyzyjnych zostało wykonane zgodnie z procedurą zaproponowaną w rozdziale 3.3.4.. W pierwszym etapie badania wrażliwości wykonano 1000 losowych iteracji w celu wyboru pięciu punktów startowych dla badania wrażliwości. Dodatkowo wybrano jeden punkt startowy kierując się intuicją inżynierską (punkt heurystyczny). Dla wybranych punktów startowych dokonano badania wrażliwości S funkcji celu dla 12 zmiennych konstrukcyjnych zgodnie z metodyką przyjętą w rozdziale 3.3.3. Przyrosty ∆xk dobrano dzieląc dopuszczalny przedział danej zmiennej na 100 części. ( kk xx − )/100 przyjęto jako przyrost w małym otoczeniu, a ( kk xx − )/20 jako przyrost w dużym. Wynik badania zaprezentowano w tabeli 3. Kolorem czerwonym oznaczono przypadki miary wrażliwości, które uznano za znaczące ( S ≥ 1.0 )

Do dalszego procesu optymalizacji wyselekcjonowano 5 z 12 zmiennych konstrukcyjnych, które uzyskały co najmniej 4 wartości miary wrażliwości powyżej 1.0 (Tab.3).

Procedura badań wrażliwości zajęła ok. 2 godziny na pojedynczym komputerze klasy PIV. Biorąc pod uwagę, że pełna optymalizacja z użyciem wszystkich 12 zmiennych zajęłaby powyżej 400 godzin można uznać stosowanie procedury eliminacji pewnych zmiennych decyzyjnych za uzasadnione.

• Określenie parametrów startowych procedury optymalizacji ewolucyjnej Dla algorytmu ewolucyjnego przyjęto następujące parametry startowe:

wielkość populacji J = 350

parametr prawdopodobieństwa krzyżowania pc = 0.7

parametr prawdopodobieństwa mutacji pm = 0.4

liczna generacji Lg = 70

Tabela 3. Zestawienie wyników badania wrażliwości funkcji celu na przyrost zmiennych decyzyjnych (wg wzoru (34)). Kolorem czerwonym oznaczono wartości miary wrażliwości S ≥ 1.0.

Zmienna Punkt heurystyczny

Punkt losowy nr 1

Punkt losowy nr 2

Punkt losowy nr 3

Punkt losowy nr 4

Punkt losowy nr 5

X1 = l2 X2 = l3 X3 = l4 X4 = l5 X5 = l6 X6 = l7 X7 = l8 X8 = b4 X9 = b7 X10 = g1 X11 = g2 X12 = g4

S[0] = 1.335900 S[1] = 0.558364 S[2] = 34.528926 S[3] = 3.925029 S[4] = 0.717421 S[5] = 4.538602 S[6] = 0.000000 S[7] = 33.902030 S[8] = 0.360957 S[9] = 53.409416 S[10] = 0.022064 S[11] = 7.073499

S[0] = 0.024278 S[1] = 0.099063 S[2] = 1.751110 S[3] = 5.880205 S[4] = 0.019752 S[5] = 0.132459 S[6] = 0.000000 S[7] = 0.998089 S[8] = 0.077631 S[9] = 8.196244 S[10] = 0.053595 S[11] = 0.228671

S[0] = 1.838053 S[1] = 1.759896 S[2] = 70.207368 S[3] = 35.041416 S[4] = 3.146300 S[5] = 0.370960 S[6] = 0.000000 S[7] = 105.517195 S[8] = 0.278077 S[9] = 127.552578 S[10] = 2.981001 S[11] = 10.839872

S[0] = 0.003870 S[1] = 0.012036 S[2] = 0.217945 S[3] = 0.000000 S[4] = 0.016813 S[5] = 0.081984 S[6] = 0.000000 S[7] = 0.000000 S[8] = 0.010538 S[9] = 1.632138 S[10] = 0.083055 S[11] = 0.433730

S[0] = 0.016353 S[1] = 0.161505 S[2] = 9.140839 S[3] = 30.952831 S[4] = 0.033857 S[5] = 0.189359 S[6] = 0.000000 S[7] = 7.261762 S[8] = 0.000000 S[9] = 33.026115 S[10] = 0.000000 S[11] = 2.409473

S[0] = 0.016353 S[1] = 0.161505 S[2] = 9.140839 S[3] = 30.952831 S[4] = 0.033857 S[5] = 0.189359 S[6] = 0.000000 S[7] = 7.261762 S[8] = 0.000000 S[9] = 33.026115 S[10] = 0.000000 S[11] = 2.409473

Wytypowane zmienne: X3 = l4, X4 = l5, X8 = b4, X10 = g1 , X12 = g4

• Wynik optymalizacji

Na rysunku 41 przedstawiono wynik analizy zmęczeniowej z kryterium Dang Vana dla optymalnego wahacza. Kolorem niebieskim zaznaczono największą wartość parametru stanu (σeqv,DV(t) w trzecim rzędzie rezultatów). W wyniku przeprowadzonej optymalizacji uzyskano zmniejszenie masy badanej części o 11.3%. Łączny czas obliczeń wyniósł około 180 godzin. Na rysunku 42 przedstawiono zestawienie parametrów optymalizacji ewolucyjnej. Kolejne etapy ewolucji rozwiązania konstrukcyjnego wahacza zaprezentowano na rysunku 43 (ostatnią poprawę funkcji celu uzyskano w 53 pokoleniu). Rys. 44 prezentuje zestawienie konstrukcji wyjściowej z optymalną.

Zmęczeniowe badania optymalizacyjne dla drugiego przykładu zakończono sprawdzającymi obliczeniami dla innego zestawu parametrów sterujących algorytmem ewolucyjnym (Tab.4), uzyskany wynik był gorszy od pierwotnego optimum (patrz zestawienie na rys. 43) co potwierdza poprawność zastosowanych ustawień dla programu EOS.

Tabela 4. Wyniki badań optymalizacyjnych sprawdzających dla drugiego przykładu

Wielkość populacji

J

Liczba generacji

Lg

Prawdopodobieństwo krzyżowania

pc

Prawdopodobień-stwo mutacji

pm

Wartość funkcji

celu W [g]

500 32 0.7 0.4 5777.020

• Badanie wrażliwości dla optymalnego układu konstrukcji

Dla znalezionego optymalnego układu zmiennych decyzyjnych przeprowadzono dodatkowo badanie wrażliwości funkcji celu na przyrost tych zmiennych. Do badań wzięto pod uwagę pierwotny zestaw 12 zmiennych konstrukcyjnych. Jak wynika z testu dla 8 z 12 zmiennych otrzymano miarę wrażliwości powyżej 1.0 (Tab.5). Należy zauważyć też, iż jedna z poprzednio wytypowanych zmiennych (X4 = l5) nie osiągnęła założonej granicy 1.0.

Z uzyskanych wyników można wnioskować, iż znalezione optimum nie jest optimum globalnych, choć po niskim poziomie miary wrażliwości ( tylko w jednym wypadku przekracza ona 10.0 (porównaj z Tab. 3)) można wnioskować, że jest ono do optimum globalnego zbliżone.

Tabela 5. Zestawienie wyników badania wrażliwości funkcji celu na przyrost zmiennych

decyzyjnych dla znalezionego optymalnego układu konstrukcji

Zmienna Punkt optimum

X1 = l2 X2 = l3 X3 = l4 X4 = l5 X5 = l6 X6 = l7 X7 = l8 X8 = b4 X9 = b7 X10 = g1 X11 = g2 X12 = g4

S[0] = 0.000000 S[1] = 0.044156 S[2] = 1.411387 S[3] = 0.177945 S[4] = 3.866796 S[5] = 0.000000 S[6] = 4.188247 S[7] = 1.039225 S[8] = 1.566087 S[9] = 5.503306 S[10] = 3.121252 S[11] = 12.484064

85

Rys. 41 Przebieg kryterium Dang Vana dla optymalnego układu parametrów konstrukcyjnych wahacza. Niebieską ramką zaznaczono przypadek z maksymalną wartością parametru stanu.

Max FoX = - 300 FoY = - 1030 FoZ = 2050 MoX = - 310 MoY = - 50 MoZ = - 40 FsX = - 950 FsY = - 240 FsZ = - 2450 FaX = 250 FaY = 5 FaZ = 390

½ max FoX = -200 FoY = -1197,5 FoZ = 2337,5 MoX = -350 MoY = -60 MoZ = -30 FsX = -1175 FsY = -275 FsZ = -2612,5 FaX = 157,5 FaY = 2,5 FaZ = 242,5

Zero FoX = -100 FoY = -1365 FoZ = 2625 MoX = -390 MoY = -70 MoZ = -20 FsX = -1400 FsY = -310 FsZ = -2775 FaX = 65 FaY = 0 FaZ = 95

½ min FoX = 0 FoY = -1532,5 FoZ = 2912,5 MoX = -430 MoY = -80 MoZ = -10 FsX = -1625 FsY = -345 FsZ = -2937,5 FaX = -27,5 FaY = -2,5 FaZ = -52,5

Min FoX = 100 FoY = -1700 FoZ = 3200 MoX = -470 MoY = -90 MoZ = 0 FsX = -1850 FsY = -380 FsZ = -3100 FaX = -120 FaY = -5 FaZ = -200

Optymalizacja ewolucyjna. Przykład nr 2.

GA Data Received Results 1 6026.863 … 4 5872.992 … 15 5840.646 …

21 5838.030 …

41 5756.380 …

53 5713.026 … 70 -

mdReprType=1 {Binary Coding} gaSelectType=3 {Simple Tournament} gaCrossType=1 {Single Point} gaMutaType=1 {Uniform Binary} population size = 350 number of generations = 70 probability of crossover = 0.70 probability of mutation = 0.40 penalty parameter = 1.000000e+002

Last improvement generation = 53

Variables X Ranges / Precision Best fitness value 0.001 0.025 100000000 0.040 0.100 100000000 0.090 0.130 100000000 0.016 0.026 100000000 0.001 0.004 100000000

F = 5713.026 X[0] = 0.001481 X[1] = 0.043338 X[2] = 0.096282 X[3] = 0.016340 X[4] = 0.001915 G[0] = 54820.0

Rys. 42 Zestawienie parametrów optymalizacji ewolucyjnej dla przykładu II.

Generacja 1

Parametry konstrukcyjne:

l4=0.002752 [m] l5=0.055171 b4=0.096032 g1=0.016801 g4=0.002021

Parametr stanu: DV Eqv Stress = 19476660.0 [Pa]

Funkcja celu: F = 6026.863 [g]

Generacja 4

Parametry konstrukcyjne:

l4=0.002937 l5=0.052252 b4=0.093921 g1=0.016165 g4=0.001963

Parametr stanu: DV Eqv Stress = 19578960.0

Funkcja celu: F = 5872.992

Generacja 15

Parametry konstrukcyjne:

l4=0.007348 l5=0.046694 b4=0.101848 g1=0.016525 g4=0.001913

Parametr stanu: DV Eqv Stress = 19927160.0

Funkcja celu: F = 5840.646

Generacja 21

Parametry konstrukcyjne: 4

l4=0.007544 l5=0.043935 b4=0.102133 g1=0.016584 g4=0.001920

Parametr stanu: DV Eqv Stress = 19889870.0

Funkcja celu: F = 5838.030

Generacja 30

Parametry konstrukcyjne:

l4=0.003388 l5=0.042541 b4=0.098660 g1=0.016017 g4=0.001934

Parametr stanu: DV Eqv Stress = 19865100.0

Funkcja celu: F = 5778.229

Generacja 41

Parametry konstrukcyjne:

l4=0.002862 l5=0.050876 b4=0.090470 g1=0.016033 g4=0.001921

Parametr stanu: DV Eqv Stress 19999510.0

Funkcja celu: F = 5756.380

Generacja 53

Parametry konstrukcyjne:

l4=0.001481 l5=0.043338 b4=0.096282 g1=0.016340 g4=0.001915

Parametr stanu: DV Eqv Stress = 19945180.0

Funkcja celu: F = 5713.026

Rys.43 Etapy ewolucji rozwiązania dla drugiego przykładu optymalizacyjnego.

Rys.44 Porównanie początkowego układu konstrukcji (górny) z układem uzyskanym z optymalizacji zmęczeniowej (dolny)

3.4. Ocena wyników badań optymalizacyjnych

W wyniku przeprowadzonych badań optymalizacyjnych udało się z powodzeniem

zastosować do optymalizacji konstrukcji kryteria zmęczenia wysokocyklowego. Zastosowanie algorytmów ewolucyjnych do optymalizacji pozwoliło w zauważalny

sposób zwiększyć sprawność przeszukiwania probabilistycznego. Dzięki zastosowaniu obliczeń równoległych nastąpiła znacząca redukcja czasów

obliczeniowych. Badanie wrażliwości funkcji celu okazało się racjonalną techniką wyboru

potencjalnych zmiennych decyzyjnych, przyczyniając się do znaczącego przyspieszenia procesu optymalizacyjnego.

W wyniku przeprowadzonej optymalizacji w obu rozpatrywanych przykładach

osiągnięto znaczące redukcje masy przy ustalonym granicznym parametrze trwałości zmęczeniowej.

Dla optymalizowanych części uzyskano dodatkowo stan bardziej równomiernego

wytężenia zmęczeniowego materiału. Przeprowadzona porównawcza optymalizacja dla kryterium Hubera-Misesa-

Hencky’ego (przykład pierwszy) pokazuje, iż kryterium to ma inny wpływ na formowanie się kształtu przedmiotu optymalizacji (rys.30b). Jak można zauważyć na rysunku 30 maksima naprężeń wypadają w innych rejonach konstrukcji dla obydwóch kryteriów. Ponadto, kryterium zmęczeniowe Dang Vana okazuje się dużo bardziej restrykcyjne w porównaniu do H-M-H, dla którego nastąpiła o ok. 2% większa redukcja masy.

Badanie wrażliwości (przykład drugi) pokazało, że uzyskane optimum nie jest

optimum globalnym. Uzyskane niskie wartości miar wrażliwości oraz przeprowadzona dodatkowa optymalizacja sprawdzająca pozwalają jednak sądzić, że uzyskany wynik jest do optimum globalnego zbliżony.

4. Wnioski końcowe i perspektywy dalszych badań

W wyniku przeprowadzonych badań udało się opracować metodykę oraz narzędzie do parametrycznej optymalizacji konstrukcji pracujących przy obciążeniach wysokocyklowych.

Przedstawione przykłady pokazują, iż kryteria wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego wpływają zasadniczo inaczej na kształtowanie optymalizowanej konstrukcji w stosunku do tradycyjnie stosowanego kryterium Hubera-Misesa-Hencky’ego.

Pomimo przyjętego stosunkowo niskiego poziomu wytężenia zmęczeniowego w badanych konstrukcjach udało się znacząco zredukować masę, co pokazuje potencjalne możliwości zastosowania opracowanej metodyki w różnych gałęziach przemysłu.

Opracowane narzędzia programowe oraz skrypty analiz numerycznej mają charakter uniwersalny i mogą być zastosowane do dowolnej konstrukcji narażonej na wysokocyklowe uszkodzenia zmęczeniowe. Dalsze prace autora będą zmierzać w następujących kierunkach:

Rozszerzenie stosowalności kryteriów wieloosiowych do optymalizacji zmęczeniowej w zakresie ograniczonej wysokocyklowej trwałości zmęczeniowej oraz zmęczenia niskocyklowego

Rozwijanie metody algorytmów ewolucyjnej w zastosowaniu do optymalizacji

konstrukcji

Rozwijanie narzędzi programowych wspomagających parametryczną optymalizację konstrukcji bazującą na modelu numerycznym

92

5. Literatura 1. Achtelik H., Karolczuk A., Łagoda T., Macha E., Niesłony A., Pawliczek R.:

Wieloosiowe zmęczenie losowe elementów maszyn i konstrukcji-część IV, Studia i Monografie, Z.139, Politechnika Opolska, Opole 2002

2. Alba E.; Nebro A. J.; Troya J. M., Heterogeneous Computing and Parallel Genetic Algorithms, Journal of Parallel and Distributed Computing, Vol. 62 (9), pp1362-1385, 2002

3. Ansys Inc., Theory Manual , 12th edition ,2001 4. Alfredsson B., Olsson M., Applying multiaxial fatigue criteria to standing contact

fatigue, Int. Journal of Fatigue, Vol 23 pp533–548, 2001 5. Ballard P., Dang Van K., Deperrois A., Papadopoulos Y. V., High cycle fatigue and

a finite element analysis, Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures, Vol.18 , pp397-411, 1995

6. Banvillet A., Palin-Luc T., Lasserre S., A volumetric energy based high cycle multiaxial fatigue citerion, Int. Journal of Fatigue, Vol 25, pp755–769, 2003

7. Beretta S., Application of multiaxial fatigue criteria to materials containing defects, Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, Vol 26, pp551-559, 2003

8. Bernasconi A.,Efficient algorithms for calculation of shear stress amplitude and amplitude of the second invariant of the stress deviator in fatigue criteria applications, Int. Journal of Fatigue, Vol 24, pp. 649-657,2002

9. Belengundu A. D., Chadrupatla T. R., Optimization Concept and Applications in Engineering, Prentice Hall, 1998

10. Będkowski W. i inni, Wieloosiowe Zmęczenie Losowe Elementów Maszyn i Konstrukcji - część I, Studia i Monografie, Z. 63, Wyższa Szkoła Inżynierska , Opole 1993

11. Brandt A. M., Kryteria i metody optymalizacji konstrukcji, PWN, 1977 12. Brown M. W., Miller K.J. , Biaxial and Multiaxial Fatigue, MEP London , 1989 13. Brown M. W., Suker D. K., Wang C. H., An Analysis of Mean Stress in Multiaxial

Random Fatigue, Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, vol. 19, no. 2/3, pp. 323-333, 1996

14. Chaperon P., Jones R., Heller M., Pitt S., Rose F., A methodology for structural optimisation with damage tolerance constraints, Engineering Failure Analysis , Vol 7 pp281-300, Pergamon 2000

15. Carpinteri A., Brighenti R., Macha E., Spagnoli A., Expected principal stress directions under multiaxial random loading. Part II: Numerical simulation and experimental assessment through the weight function method, Int. Journal of Fatigue, Vol 21 pp89–96, 1999

16. Carpinteri A., Brighenti R., Spagnoli A., A fracture plane approach in multiaxial high-cycle fatigue of metals, Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, vol. 23, pp355-364, 2000

17. Carpinteri A., Spagnoli A., Multiaxial high-cycle fatigue criterion for hard metals, Int. Journal of Fatigue, Vol 23, pp135-145, 2001

93

18. Carpinteri A., Spagnoli A., Vantadori S., Critical plane approach for multiaxial fatigue of metals, Zeszyty Naukowe Politechniki Opolskiej, Seria: M. z.67, 2001

19. Carpinteri A., Spagnoli A., Vantandori S., A multiaxial fatigue criterion for random loading, Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, Vol 26, pp515-522, 2003

20. Constantinescu A., Dang Van K., Maitournam M. H., A unified approach for high and low cycle fatigue based on shakedown concept, Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, Vol 26, pp561-568, 2003

21. Crossland B., Effect of large hydrostatic pressures on the torsional fatigue strength of an alloy steel. In: Proceedings of the International Conference on Fatigue of Metals, Institution of Mechanical Engineers, pp138–49, London, 1956

22. Cruz I., Zouain N., A shakedown model for high-cycle fatigue, Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, Vol 26, pp123-135, 2003

23. Dang Van K., ‘Sur la resistance a la fatigue des metaux’, These de Doctorat en Sciences, Sci. Techniq. L’Armement, 1973

24. Dang Van K.,Cailletau G., Flavenot J. F., Le Douaron A., Lieuarade H. P., Criterion for high cycle fatigue failure under multiaxial loading, Biaxial and multiaxial fatigue, EGF 3. Mechanical Engineering Publications, London, pp459-479, 1989

25. Dang Van K.,Griveau B., Message O., On a new multiaxial fatigue limit criterion: theory and application, Biaxial and multiaxial fatigue, EGF 3. Mechanical Engineering Publications, London, pp479-496, 1989

26. Dang Van K., Papadopoulos I.V.(Eds.), High Cycle Metal Fatigue, From Theory to Applications, C.I.S.M. Courses and Lectures N° 392, Springer 1999

27. Dang Van K., Maitournam M.H., On some recent trends in modelling of contact fatigue and wear in rail, Wear, Vol 253, pp219–227, 2002

28. Dang Van K., Unified fatigue modelling for structural applications based on a multiscale approach and shakedown hypothesis, Workshop: Optimal Design, Laboratoire de Mécanique des Solides, Ecole Polytechnique Palaiseau, France, 2003

29. Das J., Sivakumar S.M., An evaluation of multiaxial fatigue life assessment methods for engineering components, Int.Journal of Pressure Vessels and Piping, Vol.76, pp741–746, 1999

30. Davoli P., Bernasconi A., Filippini M,, Foletti S., Papadopoulos I.V., Independence of the torsional fatigue limit upon a mean shear stress, Int. Journal of Fatigue, Vol 25, pp471–480, 2003

31. Deperrois A., Sur le calcul de limites d’endurance des aciers, These de Doctorat, Ecole Polytechnique, Paris, 1991

32. Dietmann H., Bhongbhibhat T., Schmid A., In „Fatigue under biaxial and multiaxial loading, ESIS 10, pp449-464, Mechanical Engineering Publications, London, 1991

33. Dietrich M. (Ed.), Podstawy Konstrukcji Maszyn, Tom I, WNT, 1999 34. Diwekar U., Introduction to Applied Optimization, Kluwer Academic Publishers,

2003 35. Dowling N.E., Mechanical Behaviour of Materials, Prentice-Hall Int. Editors Inc. ,

Engelwood Cliffs, 1993 36. Duga J. J., The Economic Effects of Fracture in the United States, Batelle Columbus

Laboratories, 1983

94

37. Eichlseder W., Fatigue analysis by local stress concept based on finite element results, Computers and Structures, Vol 80, pp2109–2113, 2002

38. Ekberg A., Lecture Notes: Multiaxial high cycle fatigue (http://www.am.chalmers.se/%7Eanek/teaching/fatfract/)

39. Ekberg A., Rolling contact fatigue of railway wheels - a parametric study, Wear, Vol 221, pp280-288, 1997

40. Ekberg A., Kabo E.,Andersson H.,Predicting rolling contact fatigue of railway wheels, Presented at the 13th International Wheelset Congress in Rome, September 17–21, 2001

41. Ellyin F., Gołoś K., Multiaxial fatigue damage criterion, Trans. ASME, J. Engng Mater. Technol., Vol 110, pp63-68, 1988

42. Ellyin F., Fatigue Damage, Crack Growth and Life Prediction , Chapman & Hall, 1997

43. Fatemi A., Yang L., Cumulative fatigue damage and life prediction theories: a survey of the state of art for homogeneous material, Int. Journal of Fatigue, Vol 20, pp9-34, 1998

44. Fermer M., Svensson H., Industrial experiences of FE-based fatigue life prediction of welded automotive structures, Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, 24 , pp489-500, 2001

45. Findley W. N., Theory for the effects of mean stress on fatigue of metals under combined torsion and axial load or bending , Trans. ASME Ser B, Vol 81, pp301-306, 1959

46. Flavenot J. F., Skalli N. , A comparison of multiaxial fatigue criterion incorporating residual stress effects, EGF 3. Mechanical Engineering Publications, London, pp437-457, 1989

47. Froustey C., Lasserre S., Multiaxial fatigue endurance of 30NCD16 steel, Int. Journal of Fatigue, Vol 11 pp169-175, 1989

48. Fuchs H. O., Stephens R. I., Metal fatigue in engineering, John Wiley & Sons, 1980 49. Garud Y. S., Multiaxial fatigue: a survey of the state of the art, Journal of Testing

and Evaluation, Vol 9, pp165-178, 1981 50. Giglio M., FEM submodelling fatigue analysis of a complex helicopter component,

Int. Journal of Fatigue, Vol 21, pp445–455, 1999 51. Gołoś K. M., Multiaxial fatigue criterion with mean stress effect, Int. J. Pres. Ves. &

Piping, Vol 69, pp263-266, 1996 52. Gough H. J., Pollard H. V., The strenght of metals under combined alternating

stress, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Vol 31 no. 3, pp3-54, 1935

53. Grubisic V., Simbürger A., In ‘Int. Conf. Fatigue Testing and Design’, pp27.1-27.8, Society of Environmental Engineering, London, 1976

54. Guest J. J., Recent research on combined stress, Proceedings of Institution of Automobile Engineers, Vol 35, pp33-72, 1940

55. Hafka R. T., Elements of Structural Optimization, Kluwer Academic Publishers, 1992

56. Hartmann A. K., Rieger H., Optimization Algorithms in Physics, Wiley-VCH Verlag, Berlin 2002

95

57. Haiba M., Barton D.C., Brooks P.C., Levesley M.C., Review of life assessment techniques applied to dynamically loaded automotive components, Computers and Structures, Vol 80, pp481–494, 2002

58. Haiba M., Barton D.C., Brooks P.C., Levesley M.C. , The development of an optimisation algorythm based on fatigue life, Int. Journal of Fatigue,Vol 25, pp299-310 , 2003

59. Haigh B. P., The thermodynamic thory of mechanical fatigue and hysteresis in metals, Reports British Association for the advancement of science, pp358-368, London, 1923

60. Hinterding R., Michalewicz Z., Eiben A.E., Adaptation in evolutionary computation: a survey, Proceedings of the 4th IEEE Int. Conference on Evolutionary Computation, pp65-69, Indianapolis, April 13-16, 1997

61. Jaworski A., Podstawy mechaniki ciała stałego, Oficyna wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1999

62. Karaś M., Zastosowanie uogólnionej metody Treffza do optymalizacji konstrukcji sprężystych, Politechnika Krakowska, Rozprawa doktorska, 2001

63. Kakuno H, Kawada Y. A new criterion of fatigue strength of a round bar subjected to combined static and repeated bending and tortion, Fatigue Eng. Mater. Struct., Vol 2, p229, 1979

64. Karbowski A., Niewiadomska-Szynkiewicz E., Obliczenia równoległe i rozproszone, Oficyna Wydawnicza PW, 2001

65. Kluger K., Łagoda T.,Application of the Dang-Van criterion for life determination under uniaxial random tension-compression with different mean values, Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, Vol 27 pp505-512, 2004

66. Kreyszig E., Advanced Engineering Mathematics. Seventh Edition, John Wiley & Sons, 1999

67. Łagoda T., Macha E., Niesłony A., Comparison of the rain flow algorithm and the spectral method for fatigue life determination under uniaxial and multiaxial random loading, Journal of ASTM International, Vol.1, No.8, pp1-13, 2004

68. Łagoda T., Macha E.: Wieloosiowe Zmęczenie Losowe Elementów Maszyn i Konstrukcji - część II, Studia i Monografie , Z. 76, Wyższa Szkoła Inżynierska , Opole 1995

69. Łagoda T., Macha E., Wieloosiowe zmęczenie losowe elementów maszyn o konstrukcji – część III, Studia i Monografie, Z.104, Politechnika Opolska, Opole 1998

70. Łagoda T., Macha E., Będkowski W., A critical plane approach based on energy concepts: application to biaxial random tension-compression high-cycle fatigue regime, Int. Journal of Fatigue, Vol 21, pp431–443, 1999

71. Kocańda St., Szala J., Podstawy obliczeń zmęczeniowych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1997

72. Krzyś W., Latos W., Kształtowanie wytrzymałości cienkościennej rury z uwagi na zmęczenie w złożonym przypadku obciążenia, Archiwum Budowy Maszyn, Tom XXI (4), s571-591, 1974

73. Latos W., Życzkowski M., The optimum of rotating shaft for combined fatigue strength, Applied Mechanics Vol XXI (7-8), pp341-351, PAN, 1973

96

74. Lazzaron P., Susmel L., A stress-based method to predict lifetime under multiaxial fatigue loadings, Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures , Vol 26, pp1171-1187, 2003

75. Lee SB., A criterion for fully reversed out-of-phase torsion and bending, pp553–68, In ‘Multiaxial fatigue’, ASTM, 1985.

76. Li B., Santos J.L.T., Freitas M., A unified numerical approach for multiaxial fatigue limit evaluation ,Mech. Struct. Mach. 28, pp85-103, Marcel Dekker , 2000

77. Łagoda T., Macha E., Będkowski W., A critical plane approach based on energy concepts: application to biaxial random tension-compression high-cycle fatigue regime, Int. Journal of Fatigue, Vol 21, pp431–443, 1999

78. Macha E., In ‘Biaxial and multiaxial fatigue’, p. 425, Mechanical Engineering Publications, London, 1989

79. Macha E., In ‘Fatigue under biaxial and multiaxial loading’, p. 65, Mechanical Engineering Publications, London, 1991

80. Mamiya E.N., Araujo J.A., Fatigue limit under multiaxial loadings: on the definition of the equivalent shear stress, Mechanics Research Communications, Vol 29, pp141–151, 2002

81. Matake T., An explanation on fatigue limit under combined stress, Bull JSME, Vol 20, pp257–63, 1977

82. Marin J., In ‘Proc. Int. Conf. On Fatigue of Metals’, pp.184-194, Institution of Mechanical Engineers, London, 1956

83. McDiarmid D. L., A general criterion for high cycle multiaxial fatigue failure, Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, Vol 14(4), pp429–53, 1991

84. McDiarmid D. L., A shear stress based critical-plane criterion of multiaxial fatigue failure for design and life prediction, Fatigue Fract Engng Mater Struct, Vol 17, pp1475–84, 1999

85. McDonald M., Heller M., Robust shape optimization of notches for fatigue-life extension, Struct Multidisc Optim, Vol.28, pp55–68, 2004

86. Michalewicz Z., Dasgupta D., Le Riche R.G., and Schoenauer, M., Evolutionary Algorithms for Constrained Engineering Problems, Computers & Industrial Engineering Journal, Vol 30 (2), pp851-870, 1996

87. Michalewicz Z., Algorytmy ewolucyjne + struktury danych = programy ewolucyjne, WNT, 1996

88. Michalewicz Z., Hinterding R., Michalewicz M., Evolutionary Algorithms, Chapter 2 in Fuzzy Evolutionary Computation, W. Pedrycz (editor), Kluwer Academic, 1997

89. Milne I., The importance of the management of structural integrity, Engineering Failure Analysis, Vol. 1 (3), pp171-181, 1994

90. Morel F., A critical plane approach for life prediction of high cycle fatigue under multiaxial variable amplitude loading , Int. Journal of Fatigue, Vol 22, pp101–119, 2000

91. Morel F., Palin-Luc T., Froustey C., Comparative study and link between mesoscopic and energetic approaches in high cycle multiaxial fatigue, Int. Journal of Fatigue, Vol 23, pp317–327, 2001

97

92. Morel F., Palin-Luc T., A non-local theory applied to high cycle multiaxial fatigue, Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, Vol 25, pp649-665, 2002

93. Morel F., Bastard M., A multiaxial life prediction method applied to a sequence of non similar loading in high cycle fatigue, Int. Journal of Fatigue, Vol 25, pp1007–1012, 2003

94. Mrzygłód M., Aplikacja systemu ANSYS® do parametrycznej optymalizacji konstrukcji, Czasopismo Techniczne seria Mechanika nr 4, 2003

95. Mrzygłód M., Projektowanie trwałości elementów pojazdu pracujących w warunkach zmęczenia materiału, Problemy Eksploatacji nr 2, 2003

96. Mrzygłód M., Budowa aplikacji programowej do równoległych obliczeń optymalizacyjnych z wykorzystaniem algorytmów genetycznych, Część III Raportu z Badań Własnych, nr tematu: M8/548/BW/2004, Politechnika Krakowska, Instytut Pojazdów Szynowych, grudzień 2004

97. MSC.Software Corporation, ADAMS/Durability Help,2004 98. nCode Int. Ltd, The nCode Book of Fatigue Theory v. 4.1, 2000 99. Niesłony A., Macha E., Wieloosiowe zmęczenie losowe elementów maszyn i

konstrukcji - część V, Metoda spektralna, Studia i Monografie, Z.160, Politechnika Opolska, Opole 2004

100. Niezgodziński M. E., Niezgodziński T., Obliczenia zmęczeniowe elementów maszyn, PWN, Warszawa, 1973

101. Niezgodziński M. E., Niezgodziński T., Wzory, wykresy i tablice wytrzymałościowe, WNT, Warszawa, 1996

102. Osgood C. C., Fatigue Design, Pergamon Press, Oxford, 1982 103. Osyczka A., Evolutionary Algorythms for Single and Multicriteria Design

Optimization, A Springer-Verlag Company, 2001 104. Papadopoulos I.V., Invariant formulation of a gradient dependent multiaxial

high-cycle fatigue criterion, Engineering Fracture Machanics, Vol 55, pp.513-528, Prgamon 1996

105. Papadopoulos I.V., Davoli P., Gorla C., Filippini M., Bernasconi A., A comparative study of multiaxial high-cycle fatigue criteria for metals, Int. Journal of Fatigue, Vol 19, pp219-235, 1997

106. Papadopoulos I.V., Long life fatigue under multiaxial loading, Int. Journal of Fatigue, Vol 23, pp839–849, 2001

107. Pascual FG, Meeker WQ. Estimating fatigue curves with the random fatigue-limit model. Technometrics; Vol 41(4), pp277–89, 1999

108. Pavlou D.G.,A phenomenological fatigue damage accumulation rule based on hardness increasing, for the 2024-T42 aluminum, Engineering Structures, Vol 24, pp1363–1368, 2002

109. Pitoiset X., Preumont A., Kernilis A., Tools for a multiaxial fatigue analysis of structures submitted to random vibrations, European Conference on Sapcecraft Structures, Materials and Mechanical Testing, Braunschweig, Germany, 4-6 November 1998

110. Pitoiset X., Preumont A., Spectral methods for multiaxial random fatigue analysis of metallic structures, Int. Journal of Fatigue, Vol 22, pp541–550, 2000

98

111. Qilafku G., Kadi N., Dobranski J., Azari Z., Gjonaj M., Pluvinage G., Fatigue of specimens subjected to combined loading. Role of hydrostatic pressure, Int. Journal of Fatigue, Vol 23, pp689–701, 2001

112. Reed, R. P., The Economic effects of fracture in the United States, U.S. Dept. of Commerce, National Bureau of Standards, 1983

113. Ronold K. O., Christensen C. J., Optimization of a design code for wind-turbine rotor blades in fatigue, Engineering Structures, Vol. 23, pp993–1004, 2001

114. Schnack E., Weikl W., Shape optimization under fatigue using continuum damage mechanics, Computer-Aided Design, Vol.34(12), pp929-938, 2002

115. Sines G., Behaviour of metals under complex static and alternating stresses, Metal Fatigue , pp145-169, McGraw Hill, New York, 1959

116. Sobczyk K., Spencer Jr. B. F., Stochastyczne modele zmęczenia materiału, WNT, Warszawa, 1996

117. Spagnoli A., A new high-cycle fatigue criterion applied to out-of-phase biaxial stress state, Int. Journal of Mechanical Sciences, Vol 43, pp2581–2595, 2001

118. Stodulski M., Optymalizacja i analiza wrażliwości złożonej konstrukcji płytowej na przykładzie detektora PHOBOS, Politechnika Krakowska, Rozprawa doktorska, 2001

119. Stulen F. B., Cummings H. N., A failure criterion for multi-axial fatigue stresses, in Proceedings ASMT , Vol 54, pp822-835, 1954

120. Susmel L., Lazzarin P.,A bi-parametric Wöhler curve for high cycle multiaxial fatigue assessment, Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, Vol 25, pp63–78, 2002

121. Szala J., Hipotezy sumowania uszkodzeń zmęczeniowych, Wydawnictwo Uczelniane Akademii Techniczno-Rolniczej w Bydgoszczy, 1998

122. Tarnowski W., Podstawy projektowania technicznego, WNT, 1997 123. Tipton S.M., Nelson D.V., Advances in multiaxial fatigue life prediction for

components with stress concentrations, Int. Journal of Fatigue, Vol 19, pp503-515 ,1997

124. Walczak St., Analiza dynamicznych elementów niezależnych zawieszeń kół samochodu, Politechnika Krakowska, Rozprawa Doktorska , 2003

125. Walczak J., Wytrzymałość materiałów oraz postawy teorii sprężystości i plastyczności, PWN, Warszawa, 1977

126. Wang Y., Yao W., Evaluation and comparison of several multiaxial fatigue criteria, Int. Journal of Fatigue, Vol 26, pp17–25, 2004

127. You B., Lee S., A critical review on multiaxial fatigue assessment of metals, Int. Journal of Fatigue, Vol 18, pp235-244, 1996

128. Zahavi E., Torbilo V., Fatigue Design. Life Expectancy of Machine Parts , CRC Press , 1996

129. Zenner H., Simburger A., Liu J., On the fatigue limit of ductile metals under complex multiaxial loading, Int. Journal of Fatigue, Vol 22, pp137–145, 2000

130. Zhang Y., Taylor D., Optmization of spot-welded structures, Finite elements in analysis and design, Vol 37, pp1013-1022, Elsevier 2001

131. Zieliński A. P., Sanecki H., Karaś M., Effectiveness of the Trefftz method in different engineering optimization procedures, Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences , Vol. 8, pp. 479-493, 2001

99

132. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., The Finite Element Method, Butterworth & Heineman , 2000

133. Zomaya A. Y.,Olariu S., Special Issue on Parallel Evolutionary Computing, Journal of Parallel and Distributed Computing, Vol. 47, pp1–7, 1997

134. Życzkowski M., Combined Loadings in the Theory of Plasticity, PWN, Warszawa, 1981

135. Życzkowski M., Recent advances in optimal structural design of shells, Eur. J. Mech. A/Solid Vol.11. Special issue, pp5-29, 1992

136. WardsAuto.com, The 12-Month Car--A Virtual Reality by Alisa Priddle, http://mgmtbriefing.wardsauto.com/ar/auto_month_cara_virtual/

137. IBM, Product Lifecycle Management, http://www.catia.ibm.com 138. Oficjalna strona oprogramowania Python, http://www.python.org.pl 139. Constantinescu A., Dang Van K., A Global Computational Approach in

Engineering Problems Identification and Fatigue, Lecture Notes 10, IPPT PAN and CoE AMAS, Warsaw, 2004

140. Korolczuk A., Macha E., Płaszczyzna krytyczna w modelach wieloosiowego zmęczenia materiałów, Wieloosiowe zmęczenie losowe elementów maszyn i konstrukcji-część VI, Studia i Monografie, Z.162, Politechnika Opolska, Opole 2004

100

6. Dodatki Dodatek A: Skrypt APDL obejmujący analizę zmęczeniową wg kryterium Sinesa i Crosslanda !============================== /prep7 ! blok preprocessingu /SHOW,WIN32C ! definicja modelu materialowego ! np.: Rm=580e6 zgo=260e6 zso=160e6 ! definicja gemometrii, siatki elementów skończonych oraz ! utwierdzenia finish !============================== !----- ! 1 !----- /solution ! blok rozwiazania zdania ! definicja obciezenia: wartosc srednia ! np.: Fk,43,Fx,(forcex_m/2) Fk,40,Fx,(forcex_m/2) Fk,41,Fy,(forcey_m/2) Fk,42,Fy,(forcey_m/2) SOLVE ! rozwiazanie finish !============================== /post1 ! blok postprocessingu /CONT,1,25, ! napr. gl.dla obc. sredniego etable,m_s_1,s,1 ! sigmam 1 etable,m_s_2,s,2 ! sigmam 2 etable,m_s_3,s,3 ! sigmam 3 SADD,m_s12,m_s_1,m_s_2,,, !sigmam 1 + sigmam 2 SADD,m_s123,m_s12,m_s_3,,,!(sigmam 1 + sigmam 2 !+ sigmam 3) ! sigma Hydrostatic mean sadd,m_s_h,m_s123,,(1/3), ! Sigma H,m = 1/3 * (sigmam !1 + sigmam 2 + sigmam 3) ! wydruk mapy naprezen dla Sigma H,m na ekran i do ! pliku /title, Sigma H,m PLetable,m_s_h, /ui,copy,save,tiff,graph,color,reverse,portrain,yes,, finish !============================== !----- ! 2 !----- /solution FDELE,ALL,ALL ! definicja obciezenia: amplituda ! np.: Fk,43,Fx,(forcex_a/2) Fk,40,Fx,(forcex_a/2) Fk,41,Fy,(forcey_a/2) Fk,42,Fy,(forcey_a/2) SOLVE finish

!============================== /post1 /CONT,1,25, ! sigma HMH amplituda etable,a_s_hmh,s,eqv /title, Sigma HMH,a PLetable,a_s_hmh, /ui,copy,save,tiff,graph,color,reverse,portrain,yes,, ! napr. gl. dla amplitudy etable,m_s_1a,s,1 ! sigmam 1a etable,m_s_2a,s,2 ! sigmam 2a etable,m_s_3a,s,3 ! sigmam 3a SADD,m_s12a,m_s_1a,m_s_2a,,, !sigmam 1a + sigmam 2a SADD,m_s123a,m_s12a,m_s_3a,,,!(sigmam 1a + sigmam 2a + ! sigmam 3a) ! sigma Hydrostatic amplituda sadd,m_s_ha,m_s123a,,(1/3), ! Sigma H,a = 1/3 * (sigmam 1 + ! sigmam 2 + sigmam 3) ! sigma Hydrostatic max SADD,max_s_h,m_s_ha,m_s_h,,, ! (Sigma H,a + Sigma H,m ) /title, Sigma H,max PLetable,max_s_h, /ui,copy,save,tiff,graph,color,reverse,portrain,yes,, !------------------------------------------------------ ! Kryterium Sinesa !------------------------------------------------------ sines_kappa=(((3*zso)/zgo)+((3*zso)/Rm)-(sqrt(6))) sadd,sin_eqv,a_s_hmh,m_s_h,(1/(sqrt(3))),sines_kappa, /title, Sines Eqv PLETAB,sin_eqv, /ui,copy,save,tiff,graph,color,reverse,portrain,yes,, !------------------------------------------------------ ! Kryterium Crosslanda !------------------------------------------------------ crossland_kappa=(((3*zso)/zgo)-(sqrt(3))) sadd,cros_eqv,a_s_hmh,max_s_h,0.577350269,crossland_kappa,/title, Crossland Eqv PLETAB,cros_eqv, /ui,copy,save,tiff,graph,color,reverse,portrain,yes,, !------------------------------------------------------ finish

Uwaga: słowa po znaku ”!” są komentarzem (można je usunąć).

101

Dodatek B: Skrypt APDL obejmujący analizę zmęczeniową wg kryterium Dang Vana /prep7 ! blok preprocessingu /SHOW,WIN32C ! definicja modelu materialowego ! np.: zgo=260e6 zso=160e6 ! definicja gemometrii, siatki elementów skończonych oraz ! utwierdzenia finish !----------------1----------------- /solution !np.: Fox=-300 F,29003,FX,(Fox) SOLVE /post1 etable,max_s_1,s,1 ! sigma 1 etable,max_s_2,s,2 ! sigma 2 etable,max_s_3,s,3 ! sigma 3 etable,max_s_TG,s,int ! Sigma TG SADD,max_s12,max_s_1,max_s_2,,, SADD,max_s123,max_s12,max_s_3,,, sadd,max_s_h,max_s123,,(1/3), ! Sigma H,max ! Kryterium Dang Van'a dang_van_kappa=(((3*zso)/zgo)-(3/2)) sadd,dv_eqv,max_s_tg,max_s_h,0.5,dang_van_kappa, ESORT,ETAB,dv_eqv,,1 *GET,SMAX_1,SORT,,MAX !----------------2----------------- /solution FDELE,ALL,ALL Fox=-200 F,29003,FX,(Fox) SOLVE /post1 etable,max_s_1,s,1 ! sigma 1 etable,max_s_2,s,2 ! sigma 2 etable,max_s_3,s,3 ! sigma 3 etable,max_s_TG,s,int ! Sigma TG SADD,max_s12,max_s_1,max_s_2,,, SADD,max_s123,max_s12,max_s_3,,, sadd,max_s_h,max_s123,,(1/3), ! Kryterium Dang Van'a dang_van_kappa=(((3*zso)/zgo)-(3/2)) sadd,dv_eqv,max_s_tg,max_s_h,0.5,dang_van_kappa, ESORT,ETAB,dv_eqv,,1 *GET,SMAX_2,SORT,,MAX !----------------3----------------- /solution FDELE,ALL,ALL Fox=-100 F,29003,FX,(Fox) SOLVE /post1 etable,max_s_1,s,1 ! sigma 1 etable,max_s_2,s,2 ! sigma 2 etable,max_s_3,s,3 ! sigma 3 etable,max_s_TG,s,int ! Sigma TG SADD,max_s12,max_s_1,max_s_2,,, SADD,max_s123,max_s12,max_s_3,,, sadd,max_s_h,max_s123,,(1/3), ! Sigma H,max

! Kryterium Dang Van'a dang_van_kappa=(((3*zso)/zgo)-(3/2)) sadd,dv_eqv,max_s_tg,max_s_h,0.5,dang_van_kappa, ESORT,ETAB,dv_eqv,,1 *GET,SMAX_3,SORT,,MAX !----------------4----------------- /solution FDELE,ALL,ALL Fox=0 F,29003,FX,(Fox) SOLVE /post1 etable,max_s_1,s,1 ! sigma 1 etable,max_s_2,s,2 ! sigma 2 etable,max_s_3,s,3 ! sigma 3 etable,max_s_TG,s,int ! Sigma TG SADD,max_s12,max_s_1,max_s_2,,, SADD,max_s123,max_s12,max_s_3,,, sadd,max_s_h,max_s123,,(1/3), ! Sigma H,max ! Kryterium Dang Van'a dang_van_kappa=(((3*zso)/zgo)-(3/2)) sadd,dv_eqv,max_s_tg,max_s_h,0.5,dang_van_kappa, ESORT,ETAB,dv_eqv,,1 *GET,SMAX_4,SORT,,MAX !----------------5----------------- /solution FDELE,ALL,ALL Fox=100 F,29003,FX,(Fox) SOLVE finish /post1 etable,max_s_1,s,1 ! sigma 1 etable,max_s_2,s,2 ! sigma 2 etable,max_s_3,s,3 ! sigma 3 etable,max_s_TG,s,int ! Sigma TG SADD,max_s12,max_s_1,max_s_2,,, SADD,max_s123,max_s12,max_s_3,,, ! sadd,max_s_h,max_s123,,(1/3), ! Sigma H,max ! Kryterium Dang Van'a dang_van_kappa=(((3*zso)/zgo)-(3/2)) sadd,dv_eqv,max_s_tg,max_s_h,0.5,dang_van_kappa, ESORT,ETAB,dv_eqv,,1 *GET,SMAX_5,SORT,,MAX !--------------------------------------- smax=smax_1 *IF,smax,LT,smax_2,THEN smax=smax_2 *ENDIF *IF,smax,LT,smax_3,THEN smax=smax_3 *ENDIF *IF,smax,LT,smax_4,THEN smax=smax_4 *ENDIF *IF,smax,LT,smax_5,THEN smax=smax_5 *ENDIF /OUTPUT,par_state_var,txt,, max_eq_stress=smax

/OUTPUT Uwaga: słowa po znaku ”!” są komentarzem (można je usunąć).

102

Dodatek C: Algorytm programu EOS [103] . Na schemacie uwzględniono zmiany dokonane przez autora w programie. Umożliwiają one równoległe obliczenie funkcji dopasowania osobników.

PCS SERVER

PCS SERVER

103

Dodatek D: Program C++ do badania wrażliwości funkcji celu na zmianę parametrów decyzyjnych. (wersja dla przykładu optymalizacyjnego nr 2). #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> /* Program do badania wrazliwosci */ /* Miroslaw Mrzyglod (c) 2005 */ int i,NUM_VARS=12; double X[12],Xmin[12],Xmax[12],Xarea[12],Xnorm[12]; double V[12],F0,G0,Q0; double G_V0,G_V1,G_V2,G_V3; double Q_V0[12],Q_V1[12],Q_V2[12],Q_V3[12]; double deltaX[12],deltaX_V0[12],deltaX_V1[12],deltaX_V2[12],deltaX_V3[12];double Xn_krok[12],Xn_krok_m[12]; double F_V0,F_V1,F_V2,F_V3; double V_0[12],V_1[12],V_2[12],V_3[12]; double X_V0[12],X_V1[12],X_V2[12],X_V3[12]; double X0pocz,X1pocz,X2pocz,X3pocz,X4pocz,X5pocz,X6pocz,X7pocz; double X8pocz,X9pocz,X10pocz,X11pocz,X12pocz; char sl1[9]; char sl2[13]; char sl3[19]; char sl4[6]; double wagazpliku; double maxstress; FILE *stream; /**** program glowny ****/ void main(void) { /* wartosci startowe oraz przedziały zmiennych konstrukcyjne */ X0pocz=0.210; X1pocz=0.096; X2pocz=0.020; X3pocz=0.050; X4pocz=0.030; X5pocz=0.16008; X6pocz=0.062; X7pocz=0.115; X8pocz=0.150; X9pocz=0.018; X10pocz=0.023; X11pocz=0.002; X[0]=X0pocz; X[1]=X1pocz; X[2]=X2pocz; X[3]=X3pocz; X[4]=X4pocz; X[5]=X5pocz; X[6]=X6pocz; X[7]=X7pocz; X[8]=X8pocz; X[9]=X9pocz; X[10]=X10pocz; X[11]=X11pocz; Xmin[0]=0.018; Xmin[1]=0.080; Xmin[2]=0.001; Xmin[3]=0.040; Xmin[4]=0.020; Xmin[5]=0.090; Xmin[6]=0.040; Xmin[7]=0.090; Xmin[8]=0.090; Xmin[9]=0.016; Xmin[10]=0.019; Xmin[11]=0.001;

Xmax[0]=0.260 ; Xmax[1]=0.110 ; Xmax[2]=0.025 ; Xmax[3]=0.100 ; Xmax[4]=0.080 ; Xmax[5]=0.200 ; Xmax[6]=0.080 ; Xmax[7]=0.130 ; Xmax[8]=0.200 ; Xmax[9]=0.026 ; Xmax[10]=0.025 ; Xmax[11]=0.004 ; for (i = 0; i < NUM_VARS; ++i) { Xarea[i]=Xmax[i]-Xmin[i]; Xnorm[i]=(X[i]-Xmin[i])/Xarea[i]; Xn_krok[i]=0.025; Xn_krok_m[i]=(Xn_krok[i]*0.25); printf( "%d\n",i); printf( "Xn_krok=%lf\n",Xn_krok[i]); printf( "Xn_krok_m=%lf\n",Xn_krok_m[i]); printf( "area=%lf\n",Xarea[i]); printf( "Xnorm=%lf\n",Xnorm[i]); } /**** badanie wrazliwosci ****/ /* obliczenie wartości X0 */ stream = fopen( "wopt01-par.txt", "w"); fprintf (stream,"l2=%lf\n",X[0]); fprintf (stream,"l3=%lf\n",X[1]); fprintf (stream,"l4=%lf\n",X[2]); fprintf (stream,"l5=%lf\n",X[3]); fprintf (stream,"l6=%lf\n",X[4]); fprintf (stream,"l7=%lf\n",X[5]); fprintf (stream,"l8=%lf\n",X[6]); fprintf (stream,"b4=%lf\n",X[7]); fprintf (stream,"b7=%lf\n",X[8]); fprintf (stream,"g1=%lf\n",X[9]); fprintf (stream,"g2=%lf\n",X[10]); fprintf (stream,"g4=%lf\n",X[11]); fclose( stream ); printf( "Obliczanie wartosci X0 "); printf( "\n"); system( "start.bat" ); stream = fopen( "par_obj_fun.txt", "r"); fscanf( stream, "%s",sl1); fscanf( stream, "%s",&sl2); fscanf( stream, "%s",&sl4); fscanf( stream, "%lf",&wagazpliku); fclose( stream ); F0=wagazpliku; stream = fopen( "par_state_var.txt", "r"); fscanf( stream, "%s",sl1); fscanf( stream, "%s",&sl3); fscanf( stream, "%s",&sl4); fscanf( stream, "%lf",&maxstress); fclose( stream ); G0=pow((maxstress/34500000),10); Q0=1+G0; stream = fopen( "wyniki_bw.txt", "w"); fprintf (stream,"============================= \n"); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream," START"); fprintf (stream,"\n"); fprintf

104

(stream,"=========================================\n"); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"Punkt startowy:\n"); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"l2=%lf\n",X[0]); fprintf (stream,"l3=%lf\n",X[1]); fprintf (stream,"l4=%lf\n",X[2]); fprintf (stream,"l5=%lf\n",X[3]); fprintf (stream,"l6=%lf\n",X[4]); fprintf (stream,"l7=%lf\n",X[5]); fprintf (stream,"l8=%lf\n",X[6]); fprintf (stream,"b4=%lf\n",X[7]); fprintf (stream,"b7=%lf\n",X[8]); fprintf (stream,"g1=%lf\n",X[9]); fprintf (stream,"g2=%lf\n",X[10]); fprintf (stream,"g4=%lf\n",X[11]); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"Q(x0) = %lf\n",Q0); fprintf (stream,"( F0 = %lf",F0); fprintf (stream,"( , G0 = %lf",G0); fprintf (stream," )\n"); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"=========================================\n"); fprintf (stream,"\n"); fclose( stream ); printf( "\n"); printf( "maxstress = %lf", maxstress ); printf( "\n"); printf( "G0 = %lf", G0 ); printf( "\n"); printf( "F0 = %lf", F0 ); printf( "\n"); printf( "Q(x0) = %lf", Q0 ); printf( "\n"); /* obliczenie V(i) dla wszystkich zmiennych */ for (i = 0; i < NUM_VARS; ++i) { X_V0[i]=Xnorm[i]-Xn_krok[i]; X_V1[i]=Xnorm[i]-Xn_krok_m[i]; X_V2[i]=Xnorm[i]+Xn_krok_m[i]; X_V3[i]=Xnorm[i]+Xn_krok[i]; deltaX_V0[i]=X_V0[i]-Xnorm[i]; deltaX_V1[i]=X_V1[i]-Xnorm[i]; deltaX_V2[i]=X_V2[i]-Xnorm[i]; deltaX_V3[i]=X_V3[i]-Xnorm[i]; X[0]=X0pocz; X[1]=X1pocz; X[2]=X2pocz; X[3]=X3pocz; X[4]=X4pocz; X[5]=X5pocz; X[6]=X6pocz; X[7]=X7pocz; X[8]=X8pocz; X[9]=X9pocz; X[10]=X10pocz; X[11]=X11pocz; X[i]=(X_V0[i]*Xarea[i])+Xmin[i]; printf( "\n"); printf( "--------------------------------------------------- \n"); printf( "\n"); printf( "\n"); printf( "i = %d", i ); printf( "\n"); printf( "Nr zmiennej = %d\n",i); printf( "\n"); printf( "\n"); printf( "i = %d", i ); printf( "\n"); printf( "X_V0= %lf\n",X_V0[i]); printf( "X_V1= %lf\n",X_V1[i]); printf( "X_V2= %lf\n",X_V2[i]); printf( "X_V3= %lf\n",X_V3[i]);

printf( "\n"); printf( "deltaX_V0 = %lf\n",deltaX_V0[i]); printf( "deltaX_V1 = %lf\n",deltaX_V1[i]); printf( "deltaX_V2 = %lf\n",deltaX_V2[i]); printf( "deltaX_V3 = %lf\n",deltaX_V3[i]); printf( "\n"); printf( "X[i]%lf\n",X[i]); printf( "\n"); printf( "\n"); printf( "--------------------------------------------------- \n"); printf( "\n"); printf( "Obliczanie wartosci V[%d",i); printf("]\n"); stream = fopen( "wyniki_bw.txt", "a"); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"Obliczanie wartosci V[%d",i); fprintf(stream,"]\n"); fclose( stream ); /****X_V0*****/ stream = fopen( "wopt01-par.txt", "w"); fprintf (stream,"l2=%lf\n",X[0]); fprintf (stream,"l3=%lf\n",X[1]); fprintf (stream,"l4=%lf\n",X[2]); fprintf (stream,"l5=%lf\n",X[3]); fprintf (stream,"l6=%lf\n",X[4]); fprintf (stream,"l7=%lf\n",X[5]); fprintf (stream,"l8=%lf\n",X[6]); fprintf (stream,"b4=%lf\n",X[7]); fprintf (stream,"b7=%lf\n",X[8]); fprintf (stream,"g1=%lf\n",X[9]); fprintf (stream,"g2=%lf\n",X[10]); fprintf (stream,"g4=%lf\n",X[11]); fclose( stream ); system( "start.bat" ); stream = fopen( "par_obj_fun.txt", "r"); fscanf( stream, "%s",sl1); fscanf( stream, "%s",&sl2); fscanf( stream, "%s",&sl4); fscanf( stream, "%lf",&wagazpliku); fclose( stream ); printf( "\n"); F_V0=wagazpliku; stream = fopen( "par_state_var.txt", "r"); fscanf( stream, "%s",sl1); fscanf( stream, "%s",&sl3); fscanf( stream, "%s",&sl4); fscanf( stream, "%lf",&maxstress); fclose( stream ); G_V0=pow((maxstress/34500000),10); Q_V0[i]=(F_V0/F0)+G_V0; if ( Q_V0[i] < Q0 ) { V_0[i]=fabs((Q_V0[i]-Q0)/(deltaX_V0[i])); } if ( Q_V0[i] > Q0 ) { V_0[i]=0; } if ( Q_V0[i] == Q0 ) { V_0[i]=0; } printf( "\n"); printf( "V0 = %lf", V_0[i] ); printf("\n"); printf( "( F_V0 = %lf", F_V0 ); printf(", G_V0= %lf", G_V0); printf( ", Q_V0 = %lf", Q_V0[i] ); printf( " )\n"); printf("\n"); stream = fopen( "wyniki_bw.txt", "a"); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"V_0 = %lf", V_0[i]); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"( F_V0= %lf", F_V0); fprintf (stream," , G_V0= %lf", G_V0);

105

fprintf (stream," , Q_V0 = %lf", Q_V0[i]); fprintf (stream," )\n"); fclose( stream ); X[0]=X0pocz; X[1]=X1pocz; X[2]=X2pocz; X[3]=X3pocz; X[4]=X4pocz; X[5]=X5pocz; X[6]=X6pocz; X[7]=X7pocz; X[8]=X8pocz; X[9]=X9pocz; X[10]=X10pocz; X[11]=X11pocz; X[i]=(X_V1[i]*Xarea[i])+Xmin[i]; /****X_V1*****/ stream = fopen( "wopt01-par.txt", "w"); fprintf (stream,"l2=%lf\n",X[0]); fprintf (stream,"l3=%lf\n",X[1]); fprintf (stream,"l4=%lf\n",X[2]); fprintf (stream,"l5=%lf\n",X[3]); fprintf (stream,"l6=%lf\n",X[4]); fprintf (stream,"l7=%lf\n",X[5]); fprintf (stream,"l8=%lf\n",X[6]); fprintf (stream,"b4=%lf\n",X[7]); fprintf (stream,"b7=%lf\n",X[8]); fprintf (stream,"g1=%lf\n",X[9]); fprintf (stream,"g2=%lf\n",X[10]); fprintf (stream,"g4=%lf\n",X[11]); fclose( stream ); system( "start.bat" ); stream = fopen( "par_obj_fun.txt", "r"); fscanf( stream, "%s",sl1); fscanf( stream, "%s",&sl2); fscanf( stream, "%s",&sl4); fscanf( stream, "%lf",&wagazpliku); fclose( stream ); F_V1=wagazpliku; stream = fopen( "par_state_var.txt", "r"); fscanf( stream, "%s",sl1); fscanf( stream, "%s",&sl3); fscanf( stream, "%s",&sl4); fscanf( stream, "%lf",&maxstress); fclose( stream ); G_V1=pow((maxstress/34500000),10); Q_V1[i]=(F_V1/F0)+G_V1; if ( Q_V1[i] < Q0 ) { V_1[i]=fabs((Q_V1[i]-Q0)/(deltaX_V1[i])); } if ( Q_V1[i] > Q0 ) { V_1[i]=0; } if ( Q_V1[i] == Q0 ) { V_1[i]=0; } printf( "\n"); printf( "V1 = %lf", V_1[i] ); printf("\n"); printf( "( F_V1 = %lf", F_V1 ); printf(", G_V1= %lf", G_V1); printf( ", Q_V1 = %lf", Q_V1[i] ); printf( " )\n"); stream = fopen( "wyniki_bw.txt", "a"); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"V_1 = %lf", V_1[i]); fprintf (stream," )\n"); fprintf (stream,"( F_V1= %lf", F_V1); fprintf (stream," , G_V1= %lf", G_V1); fprintf (stream," , Q_V1 = %lf", Q_V1[i]); fprintf (stream," )\n"); fprintf (stream," )\n"); fclose( stream );

X[0]=X0pocz; X[1]=X1pocz; X[2]=X2pocz; X[3]=X3pocz; X[4]=X4pocz; X[5]=X5pocz; X[6]=X6pocz; X[7]=X7pocz; X[8]=X8pocz; X[9]=X9pocz; X[10]=X10pocz; X[11]=X11pocz; X[i]=(X_V2[i]*Xarea[i])+Xmin[i]; /****X_V2*****/ stream = fopen( "wopt01-par.txt", "w"); fprintf (stream,"l2=%lf\n",X[0]); fprintf (stream,"l3=%lf\n",X[1]); fprintf (stream,"l4=%lf\n",X[2]); fprintf (stream,"l5=%lf\n",X[3]); fprintf (stream,"l6=%lf\n",X[4]); fprintf (stream,"l7=%lf\n",X[5]); fprintf (stream,"l8=%lf\n",X[6]); fprintf (stream,"b4=%lf\n",X[7]); fprintf (stream,"b7=%lf\n",X[8]); fprintf (stream,"g1=%lf\n",X[9]); fprintf (stream,"g2=%lf\n",X[10]); fprintf (stream,"g4=%lf\n",X[11]); fclose( stream ); stream = fopen( "par_obj_fun.txt", "r"); fscanf( stream, "%s",sl1); fscanf( stream, "%s",&sl2); fscanf( stream, "%s",&sl4); fscanf( stream, "%lf",&wagazpliku); fclose( stream ); F_V2=wagazpliku; stream = fopen( "par_state_var.txt", "r"); fscanf( stream, "%s",sl1); fscanf( stream, "%s",&sl3); fscanf( stream, "%s",&sl4); fscanf( stream, "%lf",&maxstress); fclose( stream ); G_V2=pow((maxstress/34500000),10); Q_V2[i]=(F_V2/F0)+G_V2; if ( Q_V2[i] < Q0 ) { V_2[i]=fabs((Q_V2[i]-Q0)/(deltaX_V2[i])); } if ( Q_V2[i] > Q0 ) { V_2[i]=0; } if ( Q_V2[i] == Q0 ) { V_2[i]=0; } printf( "\n"); printf( "V2 = %lf", V_2[i] ); printf("\n"); printf( "( F_V2 = %lf", F_V2 ); printf(", G_V2= %lf", G_V2); printf( ", Q_V2 = %lf", Q_V2[i] ); printf( " )\n"); stream = fopen( "wyniki_bw.txt", "a"); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"V2 = %lf", V_2[i]); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"( F_V2= %lf", F_V2); fprintf (stream," , G_V2= %lf", G_V2); fprintf (stream," , Q_V2 = %lf", Q_V2[i]); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"\n"); fclose( stream ); /*********/ X[0]=X0pocz; X[1]=X1pocz; if ( V[i] < V_2[i] )

106

X[2]=X2pocz; X[3]=X3pocz; X[4]=X4pocz; X[5]=X5pocz; X[6]=X6pocz; X[7]=X7pocz; X[8]=X8pocz; X[9]=X9pocz; X[10]=X10pocz; X[11]=X11pocz; X[i]=(X_V3[i]*Xarea[i])+Xmin[i]; /****X_V3*****/ stream = fopen( "wopt01-par.txt", "w"); fprintf (stream,"l2=%lf\n",X[0]); fprintf (stream,"l3=%lf\n",X[1]); fprintf (stream,"l4=%lf\n",X[2]); fprintf (stream,"l5=%lf\n",X[3]); fprintf (stream,"l6=%lf\n",X[4]); fprintf (stream,"l7=%lf\n",X[5]); fprintf (stream,"l8=%lf\n",X[6]); fprintf (stream,"b4=%lf\n",X[7]); fprintf (stream,"b7=%lf\n",X[8]); fprintf (stream,"g1=%lf\n",X[9]); fprintf (stream,"g2=%lf\n",X[10]); fprintf (stream,"g4=%lf\n",X[11]); fclose( stream ); system( "start.bat" ); stream = fopen( "par_obj_fun.txt", "r"); fscanf( stream, "%s",sl1); fscanf( stream, "%s",&sl2); fscanf( stream, "%s",&sl4); fscanf( stream, "%lf",&wagazpliku); fclose( stream ); F_V3=wagazpliku; stream = fopen( "par_state_var.txt", "r"); fscanf( stream, "%s",sl1); fscanf( stream, "%s",&sl3); fscanf( stream, "%s",&sl4); fscanf( stream, "%lf",&maxstress); fclose( stream ); G_V3=pow((maxstress/34500000),10); Q_V3[i]=(F_V3/F0)+G_V3; if ( Q_V3[i] < Q0 ) { V_3[i]=fabs((Q_V3[i]-Q0)/(deltaX_V3[i])); } if ( Q_V3[i] > Q0 ) { V_3[i]=0; } if ( Q_V3[i] == Q0 ) { V_3[i]=0; } printf( "\n"); printf( "V3 = %lf", V_3[i] ); printf("\n"); printf( "( F_V3 = %lf", F_V3 ); printf(", G_V3= %lf", G_V3); printf( ", Q_V3 = %lf", Q_V3[i] ); printf( " )\n"); stream = fopen( "wyniki_bw.txt", "a"); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"V3 = %lf", V_3[i]); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"( F_V3= %lf", F_V3); fprintf (stream," , G_V3= %lf", G_V3); fprintf (stream," , Q_V3 = %lf", Q_V3[i]); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"\n"); fclose( stream );

V[i]=V_0[i]; if ( V[i] < V_1[i] ) { V[i]=V_1[i]; } { V[i]=V_2[i]; } if ( V[i] < V_3[i] ) { V[i]=V_3[i]; } printf( "\n"); printf( "\n"); printf( "V[%d",i); printf( "] = %lf",V[i]); printf( "\n"); stream = fopen( "wyniki_bw.txt", "a"); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"V[%d",i); fprintf (stream,"]=%lf",V[i]); fprintf (stream,"\n"); fclose( stream ); } printf( "(G0= %lf", G0 ); printf( ")"); printf( "\n"); printf("***koniec***\n\n"); stream = fopen( "wyniki_bw.txt", "a"); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"=============================\n"); fprintf (stream," WYNIKI \n"); fprintf (stream,"\n"); for (i = 0; i < NUM_VARS; ++i) { fprintf (stream,"V[%d",i); fprintf (stream,"]=%lf",V[i]); fprintf (stream,"\n"); } fprintf (stream,"X1=l2\n"); fprintf (stream,"X2=l3\n"); fprintf (stream,"X3=l4\n"); fprintf (stream,"X4=l5\n"); fprintf (stream,"X5=l6\n"); fprintf (stream,"X6=l7\n"); fprintf (stream,"X7=l8\n"); fprintf (stream,"X8=b4\n"); fprintf (stream,"X9=b7\n"); fprintf (stream,"X10=g1\n"); fprintf (stream,"X11=g2\n"); fprintf (stream,"X12=g4\n"); fclose( stream ); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream,"============================= \n"); fprintf (stream,"\n"); fprintf (stream," ***koniec***\n\n"); fprintf (stream,"\n"); system( "pause" ); //********* koniec

}

Uwaga: słowa po znaku ”//” oraz ”/* */” są komentarzem (można je usunąć).

107

Dodatek E: Skrypt APDL dla przykładu optymalizacyjnego nr 1. /clear !============================================! Przyklad I (ANSYS wersja 8.1) –(opt-w1.txt)----------------- !============================================/prep7 /title,Wahacz I /SHOW,WIN32C ANTYPE,STATIC,NEW OUTRES,STRS,ALL CSYS,0 /CONT,1,25,,,, ! wczytanie zmiennych konstrukcyjnych----------------------- /INPUT,opt-w1-par,txt, ! model materialowy ----------------------------------------------- zgo=260e6 zso=160e6 ! model geometryczny --------------------------------------------- wdl=1000 ! wsp. przliczeniowy mm->m lll=17/wdl mmm=18.5/wdl sz1=6/wdl sz2=22/wdl sz3=5/wdl lp1=l1 lp2=l1-r1a-dl2-r2a lp3=l1-r1a-dl2-2*r2a-dl3-r3a lp4=l1-r1a-dl2-2*r2a-dl3-2*r3a-dl4-r4a drmax=12.5/wdl dr1=drmax*(lp1/0.144) dr2=drmax*(lp2/0.144) dr3=drmax*(lp3/0.144) dr4=drmax*(lp4/0.144) rcyl1=r1a+dr1 rcyl2=r2a+dr2 rcyl3=r3a+dr3 rcyl4=r4a+dr4 l2=l1-rcyl1-dl2-rcyl2 l3=l1-rcyl1-dl2-2*rcyl2-dl3-rcyl3 l4=l1-rcyl1-dl2-2*rcyl2-dl3-2*rcyl3-dl4-rcyl4 !new cos73=0.292371 ! cosinus 73 st. sin73=0.956304 xpocz=-53.634/wdl ypocz=-234.869/wdl xcyl1=xpocz+(l1*cos73) ycyl1=ypocz+(l1*sin73) xcyl2=xpocz+(l2*cos73) ycyl2=ypocz+(l2*sin73) xcyl3=xpocz+(l3*cos73) ycyl3=ypocz+(l3*sin73) xcyl4=xpocz+(l4*cos73) ycyl4=ypocz+(l4*sin73) xcyl5=190/wdl ycyl5=0/wdl rcyl5=10.5/wdl xcyl6=154/wdl ycyl6=-2.5/wdl rcyl6=11.5/wdl xcyl7=118/wdl ycyl7=-10.5/wdl rcyl7=12/wdl xcyl8=85/wdl ycyl8=-22.5/wdl rcyl8=11.5/wdl xcyl9=55/wdl ycyl9=-38/wdl rcyl9=10/wdl

k,2,483.4321/wdl,-249.7825/wdl,0.0 k,3,-68.63312/wdl,-244.5510/wdl,0.0 k,4,-70.75000/wdl,-288.5000/wdl,0.0 k,5,83.50000/wdl,-122.0000/wdl,0.0 k,6,225.2023/wdl,-339.9919/wdl,0.0 k,7,-46.69570/wdl,-251.6572/wdl,0.0 k,8,187.8324/wdl,-282.3659/wdl,0.0 k,9,26.50000/wdl,-20.00000/wdl,0.0 k,10,78.45310/wdl,-113.0544/wdl,0.0 k,11,219.5718/wdl,-350.0798/wdl,0.0 k,12,201.5000/wdl,-2.658947/wdl,0.0 k,13,201.5000/wdl,4.335123/wdl,0.0 k,14,187.3102/wdl,-244.5281/wdl,0.0 k,15,34.87867/wdl,-24.99105/wdl,0.0 k,16,16.49369/wdl,-104.5601/wdl,0.0 k,51,-49.62074/wdl,-141.1976/wdl,0.0 k,52,-36.02494/wdl,-88.22635/wdl,0.0 k,54,-6.092827/wdl,-54.41187/wdl,0.0 k,56,38.98531/wdl,-34.10892/wdl,0.0 k,58,40.58200/wdl,-33.20518/wdl,0.0 k,60,201.9554/wdl,12.32215/wdl,0.0 k,62,209.5000/wdl,4.335123/wdl,0.0 k,64,209.5000/wdl,-2.658947/wdl,0.0 k,66,201.9156/wdl,-10.64815/wdl,0.0 k,68,45.69401/wdl,-58.03166/wdl,0.0 k,70,18.81975/wdl,-89.71934/wdl,0.0 k,72,-44.83322/wdl,-252.3860/wdl,0.0 k,74,-47.78908/wdl,-253.3319/wdl,0.0 k,76,-68.72934/wdl,-246.5486/wdl,0.0 k,78,-70.59288/wdl,-244.1517/wdl,0.0 k,119,18.50000/wdl,-15/wdl,0.0 k,120,-18.50000/wdl,-15/wdl,0.0 k,122,-18.50000/wdl,-20.68231/wdl,0.0 k,124,-20.18659/wdl,-28.72091/wdl,0.0 k,126,-55.50000/wdl,-140.0000/wdl,0.0 k,128,-82.44507/wdl,-272.2758/wdl,0.0 k,130,-51.52541/wdl,-282.9850/wdl,0.0 k,132,23.21933/wdl,-97.68455/wdl,0.0 k,134,48.07443/wdl,-67.50203/wdl,0.0 k,136,227.5000/wdl,-15.00000/wdl,0.0 k,138,227.5000/wdl,-9.000000/wdl,0.0 k,140,254.0000/wdl,-9.000000/wdl,0.0 k,142,254.0000/wdl,9.000000/wdl,0.0 k,144,227.5000/wdl,9.000000/wdl,0.0 k,146,227.5000/wdl,15.00000/wdl,0.0 k,148,30.69045/wdl,-26.81470/wdl,0.0 k,150,18.50000/wdl,-20.00000/wdl,0.0 k,161,-61.75000/wdl,-292.8589/wdl,0.0 k,162,-75.10890/wdl,-279.5000/wdl,0.0 k,164,-66.39110/wdl,-279.5000/wdl,0.0 k,166,-61.75000/wdl,-284.1411/wdl,0.0 k,167,-70.75/wdl,-298.5/wdl k,168,-70.75/wdl,-308.5/wdl LARC,51, 52,70, 544.00/wdl LARC,52, 54,70,55.000/wdl L,54,56, LARC,56,58,1,10.000/wdl LARC,58,60,66,257.27/wdl LARC,60,62,1,8.0000/wdl L,62,64 LARC,64,66,1,8.0000/wdl LARC,66,68,134,339.89/wdl LARC,68,70,134,64.036/wdl L,70,72 LARC,72, 74 ,1, 2.0000/wdl LARC,74, 76 ,162, 42.000/wdl

108

k,1,-38.50000/wdl,-20.68231/wdl,0.0 L,78, 51 L,119, 120 L, 120 ,122 LARC,122, 124 ,1, 20.000/wdl LARC,124, 126 ,70, 550.00/wdl L,126, 128 LARC,128, 168 ,164, 20.000/wdl LARC,168, 130 ,164, 20.000/wdl L,130, 132 LARC,132, 134 ,136, 65.000/wdl LARC,134, 136 ,132, 325.00/wdl L,136, 138 L,138, 140 L,140, 142 L,142, 144 L,144, 146 LARC,146 ,148 ,136, 300.00/wdl LARC, 148 ,150 ,60, 8.0000/wdl L,150 ,119 LARC,161 ,167 ,164, 10.000/wdl LARC,167 ,162 ,164, 10.000/wdl L,162 ,164 LARC,164 ,166 ,162, 10.000/wdl L, 166 ,161 numcmp,all lcomb,1,2,0 lcomb,3,4,0 lcomb,5,6,0 lcomb,7,8,0 lcomb,9,10,0 al,1,3,5,7,9,11,12,13,14,15 lcomb,17,18,0 ! 1 lcomb,19,20,0 ! 2 lcomb,21,22,0 ! 3 lcomb,23,24,0 ! 4 lcomb,25,26,0 ! 5 lcomb,27,28,0 ! 6 lcomb,29,30,0 ! 7 lcomb,31,32,0 ! 8 al,16,17,19,21,23,25,27,29,31,33 al,34,35,36,37,38 /PNUM,AREA,1 APLOT asba,2,1,sepo,keep,keep adel,2 asba,4,3,sepo,keep,keep adel,3 adel,4 aglue,1,2 numcmp,all cyl4,xcyl1,ycyl1,rcyl1 asba,1,3 numcmp,all APLOT cyl4,xcyl2,ycyl2,rcyl2 numcmp,all asba,2,3 APLOT cyl4,xcyl3,ycyl3,rcyl3 numcmp,all asba,3,2 numcmp,all APLOT cyl4,xcyl4,ycyl4,rcyl4 numcmp,all asba,2,3 numcmp,all APLOT

LARC,76 , 78 ,1, 2.0000/wdl cyl4,xcyl5,ycyl5,rcyl5 numcmp,all asba,2,3 cyl4,xcyl6,ycyl6,rcyl6 numcmp,all asba,3,2 cyl4,xcyl7,ycyl7,rcyl7 numcmp,all asba,3,2 cyl4,xcyl8,ycyl8,rcyl8 numcmp,all asba,3,2 cyl4,xcyl9,ycyl9,rcyl9 numcmp,all asba,3,2 lovlap,all numcmp,all APLOT ! pokrycie siatka e.s.----------------------------------------------- et,1,shell63 mp,ex,1,2.1e11 mp,nuxy,1,0.3 r,1,sz1 r,2,sz2 type,1 mat,1 les=0.57/wdl, LESIZE,37,les, LESIZE,38,les, LESIZE,39,les, LESIZE,40,les, LESIZE,41,les, LESIZE,42,les, LESIZE,43,les, LESIZE,44,les, LESIZE,45,les, LESIZE,46,les, LESIZE,47,les, LESIZE,48,les, LESIZE,49,les, LESIZE,50,les, LESIZE,51,les, LESIZE,52,les, real,1 eshape,0 esize,4/wdl amesh,2 ! wewnetrzny obrys real,2 eshape,0 esize,5/wdl amesh,1 ! zewnetrzny obrys ! warunki brzegowe ---------------------------------------------------D,ALL,UZ,0 D,ALL,ROTX,0 D,ALL,ROTY,0 D,ALL,ROTZ,0 allsel lsel,s,line,,29 nsll,,1 d,all,all lsel,s,line,,18 nsll,,1 d,all,uy,0 allsel finish ! wcztanie skrytptu analizy zmeczeniowej /INPUT,dang-van-w1,txt,

!============================================

Uwaga: słowa po znaku ”!” są komentarzem (można je usunąć).

109

Dodatek F: Skrypt APDL dla przykładu optymalizacyjnego nr 2. /clear !============================================! Przyklad II (ANSYS wersja 8.1) –(opt-w2.txt)-----------------!============================================/prep7 ANTYPE,STATIC,NEW /title, Wahacz II /SHOW,WIN32C CSYS,0 ! wczytanie zmiennych konstrukcyjnych----------------------- /INPUT,opt-w2-par,txt, ! model materialowy ----------------------------------------------- zgo=260e6 zso=160e6 ! model geometryczny --------------------------------------------- wdl=1000 *afun,deg l1=306/wdl l2=210/wdl l3=96/wdl !l4=25/wdl! $$$ !l5=50/wdl! $$$ l6=30/wdl l7=120/wdl l8=62/wdl l9=204/wdl l10=400/wdl l11=79/wdl l12=10/wdl l13=100/wdl l14=97/wdl b1=40/wdl b2=37/wdl b3=20/wdl !b4=115/wdl! $$$ b7=90/wdl b9=62/wdl b10=330/wdl b11=17/wdl b12=80/wdl b13=9/wdl b14=51/wdl b15=80/wdl b16=40/wdl r1=20/wdl r2=50/wdl r3=35/wdl r4=75/wdl r5=75/wdl r6=35/wdl r7=18/wdl r8=90/wdl r9=33/wdl r9a=15/wdl r10=30/wdl r11=30/wdl r12=25/wdl r13=160/wdl r14=40/wdl r15=(10+20+25)/wdl r16=(20+5)/wdl r17=60/wdl r18=10/wdl r19=8/wdl r20=5/wdl r21=5/wdl lcomb,1,2,0 !->1

r22=50/wdl r23=8/wdl !g1=20/wdl !$$$ g2=25/wdl g3=10/wdl !g4=2/wdl !$$$ g5=25/wdl g6=15/wdl h1=-32/wdl h2=80/wdl h3=52/wdl h4=20/wdl h5=15/wdl h6=40/wdl h7=30/wdl h8=35/wdl h9=10/wdl /PNUM,KP,1 /PNUM,LINE,1 /PNUM,AREA,1 /PNUM,VOLU,1 k,1,l1,(-b1),(h1-g1) k,2,l2,(-b3-b2),(h1-g1) k,3,l3,-b3,(h1-g1) k,4,(l1+l4),b4,(h1-g1) k,5,l5,(b10+b3),(h1-g1) k,6,l6,(b10-b3),(h1-g1) k,7,l7,b7,(h1-g1) k,8,l8,b3,(h1-g1) k,9,l9,b9,(h1-g1) k,11,-r1,(b10+b3),(h1-g1) k,12,-r1,(b10-b3),(h1-g1) k,13,-r1,b3,(h1-g1) k,14,-r1,-b3,(h1-g1) k,15,(l1-(r9*cos(10))),(-b1-(r9*sin(10))),(h1-g1) k,16,(l1+(r9*cos(10))),(-b1+(r9*sin(10))),(h1-g1) L,14,3 ! L1 L,3,2 ! L2 L,2,15 ! L3 L,15,1 ! L4 L,1,16 ! L5 L,16,4 ! L7 L,4,5 ! L8 L,5,11 ! L9 L,11,12 ! L10 L,12,6 ! L11 L,6,7 ! L12 L,7,8 ! L13 L,8,13 ! L14 L,13,14 ! L15 LFILLT,12,13,r2,, LFILLT,1,2,r3,, LFILLT,2,3,r4,, LFILLT,6,7,r5,, LFILLT,7,8,r6,, LFILLT,10,11,r7,, LFILLT,11,12,r8,, lcomb,1,16,0 lcomb,2,17,0 lcomb,6,18,0 lcomb,7,19,0 lcomb,10,20,0 lcomb,11,21,0 lcomb,12,15,0 lcomb,11,12,0 !->11 lcomb,6,7,0 !->6 vdrag,2,,,,,,21,,,,,

110

lcomb,1,3,0 !->1 al,1,4,5,6,8,9,10,11,13,14 k,28,l1,(-b1),h2 L,1,28 ! L2 vdrag,1,,,,,,2,,,,, k,30,(h2*(tan(30))),(-b3),h2 k,31,((h1-g1)*(tan(30))),(-b3),(h1-g1) k,32,((h1-g1)*(tan(30))),(b10+b3),(h1-g1) l,30,31 l,31,32 adrag,32,,,,,,33,,,,, !->a13 vsba,1,13,sepo,delete,delete !->v4 vdele,2,,,1 vdele,3,,,1 k,160,(r1*(sin(30))),(-b2-b3),(r1*(cos(30))) k,161,((r1*(sin(30)))+(((r1*(cos(30)))-(h1+g2))*(tan(60)))),(-b2-b3),(h1+g2) k,162,(l1-((h3+h1+(r9/(cos(25))))/tan(25))),(-b2-b3),(h1+g2) k,163,(l1-((r9/(cos(25))-r9)/tan(25)*1.8)+(0.02/tan(25))),(-b2-b3),(h3+h1+r9+0.02) k,164,(l10),(-b2-b3),(h3+h1+r9+0.02) k,165,(l10),(b10+b3),(h3+h1+r9+0.02) l,160,161 !->1 3 l,161,162 !->3 7 l,162,163 !->4 19 l,163,164 !->5 20 l,164,165 !->6 21 LFILLT,1,3,r10,, !->7 22 lcomb,1,7,0 !->1 lcomb,1,3,0 !->1 lcomb,1,4,0 !->1 lcomb,1,5,0 !->1 k,170,l10,(-b2-b3),(h3+h1+r9) k,171,l10,(-b11),(h3+h1+r9) k,172,l10,b12,(h1+g2) k,173,l10,(b10+b3),(h1+g2) k,174,(l1-((h3+h1+(r9/(cos(25))))*tan(65))),(b10+b3),(h1+g2) l,170,171 !->3 7 l,171,172 !->4 8 l,172,173 !->5 9 20 LFILLT,3,4,r12,, !->7 22 LFILLT,4,5,r13,, !->8 23 lcomb,3,7,0 !->3 7 lcomb,3,4,0 !->3 7 lcomb,3,8,0 !->3 7 lcomb,3,5,0 !->3 7 l,173,174 !->4 19 k,175,(l10),(-b2-b3),((h3+h1)+(r9/(cos(25)))+0.1) k,176,(r1*(sin(30))),(-b2-b3),(r1*(cos(30))+0.1) l,164,175 !->5 20 l,175,176 !->7 22 l,176,160 !->8 23 al,1,5,7,8, !->1 2 k,180,l10,(b10+b3),(h1+g2+0.1) k,181,l10,(-b2-b3),((h3+h1)+(r9/(cos(25)))+0.1) l,173,180 !->9 24 l,180,181 !->10 25 l,181,170 !->11 26 al,3,9,10,11,,,,,, !->2 5 vdrag,1,,,,,,6,,,,, vdrag,2,,,,,,4,,,,, vsbv,4,1,sepo,delete,delete vsbv,3,2,sepo,delete,delete k,190,(l1+l11),(-b2-b3),h4 k,191,(l1+l11),(-b13),h4 k,192,(l1+l11),((0.2*cos(30))-b13),(h4-(0.2*sin(30))) k,193,(l1+l11),(-b2-b3),(h4-(0.2*sin(30))) l,190,191 !->3 7 l,191,192 !->9 24 l,192,193 !->10 25 l,193,190 !->11 26 LFILLT,3,9,r14,, !->20 27 al,3,20,9,10,11,,,,, !->a2 a5 k,194,((l1+l11)-(0.2*cos(25))),(-b2-b3),(h4-(0.2*sin(25)))

vsbv,1,2,sepo,delete,delete k,100,(-r1*(sin(30))),(-b2-b3),(-r1*(cos(30))) k,101,(((g1-h1-r1*cos(30))*tan(60))-r1*(sin(30))),(-b2-b3),(h1-g1) k,102,(((g1-h1-r1*cos(30))*tan(60))-r1*(sin(30))),(b10+b3),(h1-g1) l,100,101 !->1 l,101,102 !->3 k,103,(((g1-h1-r1*cos(30))*tan(60))-r1*(sin(30))+0.05),(-b2-b3),(h1-g1) l,101,103 !->5 4 LFILLT,1,5,r15,, !->7 5 lcomb,1,7,0 !->1 adrag,1,,,,,,3,,,,, !->1 vsba,3,1,sepo,delete,delete !->v4 vdele,1,,,1 vdele,2,,,1 local,11,cart,0,(-b2-b3),0,0,90,0,, ! define a local coordinate system csys,11 ! activate cs 11 /psymb,cs,1 WPCSYS,-1,, CYL4,0,0,r16, , , ,-(b3+b2+b10+b3+b2) csys,0 WPCSYS,-1,, nummrg,all vsbv,4,1,sepo,delete,delete k,110,l1,-b1,(h1+h3) local,12,cart,l1,-b1,(h1+h3),0,90,10,, ! define a local coordinate system csys,12 ! activate cs 12 WPCSYS,-1,, CYL4,0,0,(r9a-0.001), , , ,h5 csys,0 ! activate cs 0 VADD,1,2, k,120,(l9-r17),b9,(h1-g1) k,121,(l9-r17-(0.2*tan(15))),b9,(h1-g1+0.2) k,122,l9,b9,(h1-g1+0.2) l,9,120 !->35 46 l,120,121 !->77 59 l,121,122 !->78 62 l,122,9 !->79 63 LFILLT,35,77,r18,, !->80 66 al,35,80,77,78,79, !->1 VROTAT,1,,,,,,9,122,, VADD,1,2,4,5, vsbv,3,6,sepo,delete,delete k,230,(l9-r17+(r19*tan(40))+(r18*tan(37.5))),b9,(h1-g1) k,231,(l9-r17+(r19*tan(40))+(r18*tan(37.5))+h6*tan(10)),b9,(h1-g1+h6) k,232,l9,b9,(h1-g1+h6) k,233,l9,b9,(h1-g1) l,230,120 !->1 17 l,230,231 !->7 18 l,231,232 !->8 23 l,232,233 !->9 46 LFILLT,1,7,r19,, !->10 nummrg,all l,233,9 !->11 62 al,10,11,7,8,9, !->a2 a3 VROTAT,2,,,,,,233,232,, VADD,2,3,4,5, local,13,cart,l9,b9,(h1-g1+h7),0,0,-10,, csys,13 ! activate cs 13 WPCSYS,-1,, VSBW,6 vdele,2,,,1 csys,0 ! activate cs 0 k,140,(l9+l12),(b9+b15+b16),(h1-g1-h8) k,141,(l9+l12),(b9+b15+b16),(h1-g1) k,142,(l9+l12),(b9+b15),(h1-g1) k,143,(l9+l12),(b9+b15),(h1-g1-h8) k,144,(l9+l12+l13),(b9+b15+b16),(h1-g1) !+141 l,140,141 !->7 18 l,141,142 !->8 23

111

l,190,194 !->21 28 l,141,144 !->14 69 LFILLT,7,13,r20,, !->18 73 LFILLT,13,9,r20,, !->20 75 al,7,8,9,20,13,18, !->a2 a3 vdrag,2,,,,,,14,,,,, !->2 local,14,cart,(l9+l14),(b9+b15),(h1-g1-h9),0,90,0,, csys,14 ! activate cs 14 WPCSYS,-1,, CYL4,0,0,r21, , , ,(-b16) csys,0 ! activate cs 0 WPCSYS,-1,, vsbv,2,4,sepo,delete,delete vglue,1,5,3, !->2,4,6 k,262,(l1-((h3+h1+(r9/(cos(25))))/tan(25))),(-b2-b3),(h1+g2) l,161,262, !->12 66 k,263,(l1-((r9/(cos(25))-r9)/tan(25)*1.8)+(0.02/tan(25))),(-b2-b3),(h3+h1+r9+0.02) l,262,263, !->15 70 LFILLT,12,15,r22,, !->16 71 k,264,((r1*(sin(30)))+(((r1*(cos(30)))-(h1+g2))*(tan(60)))),(-b2-b3),(h1+g2-0.015) l,161,264, !->19 74 adrag,16,,,,,,19,,,,, !->a3 a1 vdrag,3,,,,,,185,,,,, !->v1 adrag,189,,,,,,2,,,,, !->18 30 k,209,l9,b9,(h1-g1+0.05) AROTAT,160,,,,,,209,233,90,1, !->21 32 VSBV,6,1,SEPO,delete,KEEP VSBA,1,18,SEPO,delete,delete VSBA,6,21,SEPO,delete,delete vdele,1,,,1 vdele,5,,,1 vadd,7,3, csys,12 k,301,0,0,0 k,302,0,0,0.01 aROTAT,219,,,,,,301,302,90,1 adele,8,,,0 nummrg,kp LFILLT,257,24,r23,, !->31 l,20,26 !->37 al,31,35,37, !-> 8 k,301,0,0,0 k,302,0,0,0.01 VROTAT,8,,,,,,301,302,, vadd,3,7,5,6,1, !->8 csys,0 vdele,2,,, vdele,4,,, vdele,8,,, aplot al,88,55,49,96 !->4 adele,27 adele,36 adele,32 adele,33 adele,34 adele,22 adele,52 adele,77 adele,72 adele,78 adele,9 adele,10 adele,14 adele,12 al,76,81 al,80,82 nummrg,all ASKIN,63,88, !->a12 ASKIN,49,238, !->a13 l,182,179 !->42 l,193,179 !->51 KGEN,2,179,,1,,,0.1,,,0 !->20

l,142,143 !->9 46 l,143,140 !->13 68 adrag,51,,,,,,53,,,,, !->16 ASBA,89,14,SEPO,delete,delete ASBA,95,16,SEPO,delete,delete nummrg,all l,158,178 !->51 adrag,51,,,,,,110,,,,, !->a16 ASBA,87,16,SEPO,delete,delete adrag,216,,,,,,79,,,,, !->16 ASBA,27,16,SEPO,delete,delete nummrg,all l,73,40 !->51 adrag,51,,,,,,53,,,,, !->16 ASBA,33,16,SEPO,delete,keep ASBA,97,16,SEPO,delete,delete l,80,14 !->51 l,85,17 !->87 adrag,51,,,,,,79,,,,, !->16 adrag,87,,,,,,79,,,,, !->38 ASBA,33,16,SEPO,delete,delete ASBA,40,38,SEPO,delete,delete nummrg,all adrag,249,,,,,,53,,,,, !->16 ASBA,41,38,SEPO,delete,keep ASBA,99,38,SEPO,delete,keep ASBA,91,38,SEPO,delete,delete nummrg,all l,89,116 !->87 adrag,87,,,,,,140,,,,, !->38 ASBA,41,38,SEPO,delete,delete adele,90 ASKIN,138,158, !->a38 ASKIN,226,229, !->a41 nummrg,all adrag,161,,,,,,99,,,,, !->53 ASBA,44,53,SEPO,delete,keep ASBA,98,53,SEPO,delete,keep ASBA,86,53,SEPO,delete,delete nummrg,all adrag,186,,,,,,161,,,,, !->53 ASBA,50,53,SEPO,delete,keep ASBA,56,53,SEPO,delete,keep ASBA,55,53,SEPO,delete,delete nummrg,all adrag,121,,,,,,110,,,,, !->53 ASBA,22,53,SEPO,delete,delete nummrg,all l,180,113 !->106 adrag,106,,,,,,240,,,,, !->22 ASBA,62,22,SEPO,delete,delete nummrg,all l,106,127 !->106 adrag,106,,,,,,107,,,,, !->22 ASBA,61,22,SEPO,delete,delete nummrg,all l,25,35 !->106 asbl,49,106,sepo,delete,delete aadd,22,48 !->49 nummrg,all adele,49,,,1 al,57,143,254,109,88,96,115 !->22 adele,61,,,1 al,112,115,49,55,109,183,177 adele,36,,,1 nummrg,all al,143,126,137,63,213,252, !->36 ! pokrycie siatka e.s.----------------------------------------------- et,1,shell63 mp,ex,1,2.1e11 mp,nuxy,1,0.3 es2=0.8082999E-02 esglob=0.2475887E-01 es3=0.5995652E-02

112

l,179,20 !->53 adrag,42,,,,,,53,,,,, !->14 LESIZE,9,es5 LESIZE,8,es5 LESIZE,62,es5 LESIZE,7,es6 LESIZE,70,es6 LESIZE,71,es6 LESIZE,39,es8 LESIZE,44,es8 LESIZE,43,es8 LESIZE,41,es8 LESIZE,134,es8 LESIZE,129,es8 LESIZE,242,es8 LESIZE,261,es8 LESIZE,23,es8 LESIZE,112,es2 LESIZE,153,es2 LESIZE,57,es2 LESIZE,54,es2 LESIZE,42,es2 LESIZE,172,es2 LESIZE,151,es2 LESIZE,146,es2 LESIZE,167,es2 LESIZE,149,es2 LESIZE,141,es2 LESIZE,159,es2 LESIZE,150,es2 LESIZE,229,es2 LESIZE,158,es2 LESIZE,138,es2 LESIZE,226,es2 LESIZE,152,es3 LESIZE,174,es3 LESIZE,181,es3 LESIZE,171,es3 LESIZE,164,es3 LESIZE,160,es3 LESIZE,192,es3 LESIZE,173,es3 LESIZE,131,es3 LESIZE,132,es3 LESIZE,16,es3 LESIZE,162,es3 LESIZE,49,es4 LESIZE,55,es4 LESIZE,96,es4 LESIZE,88,es4 LESIZE,155,es4 LESIZE,185,es4 LESIZE,128,es4 LESIZE,130,es4 LESIZE,139,es4 LESIZE,133,es4 LESIZE,17,es6 LESIZE,36,es6 LESIZE,32,es6 LESIZE,25,es6 LESIZE,114,es6 LESIZE,111,es6 LESIZE,113,es6 LESIZE,105,es2 LESIZE,50,es2 LESIZE,89,es2 LESIZE,56,es2 LESIZE,25,es6 LESIZE,17,es6 !LESIZE,6,es6 LESIZE,32,es6 amesh,84 amesh,41 r,1,g3 r,2,g4

es4=0.1751145E-02 es5=0.7382994E-02 es6=0.1961193E-02 es8=0.9596300E-02 r,8,(g4*4) r,9,(g4*4.5) esize,es-glob real,3 eshape,0 !esize,8/wdl amesh,63 amesh,22 amesh,8 amesh,30 amesh,27 amesh,48 real,6 amesh,15 amesh,19 amesh,20 amesh,17 esize,0,0 amesh,26 amesh,25 amesh,24 amesh,23 real,8 amesh,74 amesh,76 amesh,75 amesh,70 real,3 amesh,11 amesh,21 amesh,39 amesh,43 amesh,47 amesh,46 real,5 amesh,28 amesh,31 amesh,29 real,5 amesh,7 real,5 amesh,5 real,2 amesh,3 amesh,6 real,3 amesh,13 real,1 eshape,0 amesh,12 real,3 eshape,0 amesh,14 amesh,18 real,8 amesh,32 real,9 amesh,100 amesh,2 real,3 amesh,62 real,7 amesh,3 real,9 amesh,44 amesh,54 amesh,85 amesh,57 D,29001,UX,0.0 D,29001,UY,0.0 D,29001,UZ,0.0

113

r,3,g5 r,4,g6 r,5,(g4*8) r,6,(g4*2) r,7,(g4*1.5) amesh,all ACLEAR,9 ACLEAR,10 ACLEAR,13 ACLEAR,12 ET,2,MASS21,,,2 R,200,0.001 n,29001,0,0,0 n,29002,0,b10,0 csys,12 ! activate cs 12 n,29003,0,0,0 csys,0 ! activate cs 0 n,29004,l9,b9,(h1-g1+h7) n,29005,(l9+l14),(b9+b15+(b16/2)),(h1-g1-h9) type,2 real,200 EN,29001,29001, EN,29002,29002, EN,29003,29003, EN,29004,29004, EN,29005,29005, allsel, lsel,s,line,,157 lsel,a,line,,180 lsel,a,line,,210 lsel,a,line,,196 lsel,a,line,,145 nsll,,1 nsel,a,node,,29001, cerig,29001,all,all, allsel, lsel,s,line,,208 lsel,a,line,,209 lsel,a,line,,207 lsel,a,line,,101 lsel,a,line,,102 lsel,a,line,,148 nsll,,1 nsel,a,node,,29002, cerig,29002,all,all, allsel, lsel,s,line,,58 lsel,a,line,,59 nsll,,1 nsel,a,node,,29003, cerig,29003,all,all, allsel, lsel,s,line,,43 lsel,a,line,,44 lsel,a,line,,39 lsel,a,line,,41 nsll,,1 nsel,a,node,,29004, cerig,29004,all,all, allsel, lsel,s,line,,82 lsel,a,line,,80 lsel,a,line,,81 lsel,a,line,,76 nsll,,1 nsel,a,node,,29005, cerig,29005,all,all, allsel, ! warunki brzegowe ---------------------------------------------------

D,29001,ROTX,0.0 D,29001,ROTZ,0.0 D,29001,ROTy,0.0 D,29002,UX,0.0 D,29002,UZ,0.0 amesh,83 amesh,51 real,2 eshape,0 eshape,0 amesh,80 D,29002,ROTX,0.0 D,29002,ROTZ,0.0 D,29002,ROTy,0.0 finish ! wcztanie skrytptu analizy zmeczeniowej /INPUT,dang-van-w2,txt, !============================================

Uwaga: słowa po znaku ”!” są komentarzem (można je usunąć).

114

Parametryczna optymalizacja konstrukcji pracujących przy obciążeniach wysokocyklowych

Streszczenie

W pracy przedstawiono wyniki badań na optymalizacją konstrukcji pracujących przy obciążeniach wysokocyklowych. Praca wymagała działań w trzech dziedzinach: zmęczenia materiału (ze specjalnym uwzględnieniem wieloosiowych kryteriów zmęczenia wysokocyklowego), parametrycznej optymalizacji konstrukcji oraz zastosowania metody elementów skończonych.

W ramach pracy dokonano implementacji numerycznej kilku kryteriów zmęczeniowych oraz wyboru najbardziej dogodnego do optymalizacji. Zasadnicze badania optymalizacji zmęczeniowej poprzedził test metod optymalizacji konstrukcji oraz przygotowanie narzędzi poprawy efektywności procesu optymalizacyjnego. Ten ostatni etap obejmował: przygotowanie narzędzi programowych do optymalizacji opartej na algorytmach ewolucyjnych, skrócenie czasu obliczeniowego przez technikę obliczeń równoległych oraz preselekcje zmiennych decyzyjnych w oparciu o badanie wrażliwości funkcji celu na zmianę wartości tych zmiennych. Pracę ilustrują dwa przykłady optymalizacji części mechanicznych pracujących w warunkach obciążenia wysokocyklowego. Jak wynika z przykładów obliczeniowych zaproponowana metodyka optymalizacji zmęczeniowej pozwoliła skutecznie obniżyć masę badanych konstrukcji przy zachowaniu wytrzymałości zmęczeniowej na założonym poziomie.

Narzędzia oraz sama metodyka optymalizacji zmęczeniowej zaprezentowane w pracy mają charakter uniwersalny i mogą być zastosowane do dowolnego przypadku konstrukcji narażonej na obciążenia wysokocyklowe.

115

Parametrical optimization of structures working in high-cycle load conditions

Summary

Investigations on optimization of structures working in high-cycle load conditions were carried out and presented in the dissertation. The whole work consisted of three principle areas: the fatigue of material (with special regard to the multiaxial criterions of high-cycle fatigue), the parametrical optimization of structures and application of the final element method.

The investigations and numerical implementation of several high cycle criterions were made and the most convenient for optimization criterion was selected. The main process of fatigue optimization was preceded by tests of methods of structural optimization and preparation of tools for efficiency improvement of optimization algorithm. This stage includes preparation of software tools for optimization based on evolutionary algorithms and shortening of computation time by means of the parallel computing technique. Additionally, the decision variables were preselected by investigation of sensitivity of the objective function on small increase of these variables. The work was illustrated by two examples of optimization of mechanical parts working in high-cycle load conditions. As observed in the computational examples, the proposed methodology of optimization permitted effectively to lower the mass of the studied structures with maintaining their durability on established level.

The tools and fatigue optimization methodology presented in the dissertation have universal character and can be applied to any case of structure subjected to high-cycle loads.

116