Kąty utworzone przez dwie proste przecięte trzeciąprostą

Materiał składa się z sekcji: "Równoległość prostych", "Obliczanie miar kątów przy prostychrównoległych".

Materiał zawiera 13 ilustracji (fotografii, obrazów, rysunków), 12 ćwiczeń, w tym 5interaktywnych.

Filmy - katy przy prostych równoległych, kąty odpowiadające i naprzemianległe, prosterównoległe.

Przykłady i ćwiczenia - wykorzystanie własności kątów utworzonych przez dwie prosteprzecięte trzecią prostą - obliczanie miar kątów, rozpoznawanie prostych równoległych,wskazywanie kątów naprzemianległych i odpowiadających. 

Kąty utworzone przez dwie proste przecięte trzeciąprostą

W przypadku kątów wierzchołkowych i przyległych, przekonaliśmy się, że nie zawsze trzebaużywać kątomierza, aby określić miarę danego kąta.Podobna sytuacja zachodzi, gdy rozważymy kąty przy prostych równoległych przeciętychtrzecią prostą.Przybliżonym modelem takich prostych mogą być rozjazdy na torach kolejowych.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://epodreczniki.pl/b/P109wAeLW

Przykład 2

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://epodreczniki.pl/b/P109wAeLW

Definicja: Kąty odpowiadające i naprzemianległe

Proste i  są przecięte prostą

Kąty: i  , i  i  oraz i  to pary kątów odpowiadających.Kąty i  oraz i  to pary kątów naprzemianległych wewnętrznych.Kąty i  oraz i  to pary kątów naprzemianległych zewnętrznych.

k l c.

α α1  β β1,  γ γ1 δ δ1 

α1 δ β1 γ

β γ1 α δ1

Przykład 3

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://epodreczniki.pl/b/P109wAeLW

Przykład 4

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://epodreczniki.pl/b/P109wAeLW

Przykład 5

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://epodreczniki.pl/b/P109wAeLW

Twierdzenie: Kąty przy prostych równoległych

Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to tak utworzone kątyodpowiadające są równe.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to tak utworzone kątynaprzemianległe wewnętrzne są równe oraz kąty naprzemianległe zewnętrzne sąrówne.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Równoległość prostychPrzykład 6

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://epodreczniki.pl/b/P109wAeLWŹródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Twierdzenie: Dwie proste przecięte trzecią prostą

Jeżeli dwie proste przecięte są trzecią prostą i utworzone w ten sposób kątyodpowiadające są równe, to proste te są równoległe.Jeżeli dwie proste przecięte są trzecią prostą i utworzone w ten sposób kątynaprzemianległe są równe, to proste te są równoległe.

Obliczanie miar kątów przy prostych równoległychPrzykład 7

Proste i  są równoległe. Jeden z kątów wyznaczonych przez te proste ma miarę .Obliczymy miary pozostałych kątów przy prostych i  .

p r 57°

p r

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąt o mierze i kąt to kąty wierzchołkowe – ich miary są równe.

Kąt o mierze i kąt to kąty odpowiadające przy prostych równoległych– ich miary sąrówne.

Kąt i kąt to kąty wierzchołkowe – ich miary są równe.

Kąt o mierze i kąt to kąty przyległe. Suma ich miar jest równa .

Więc Pary kątów przyległych to również:kąt i kąt , kąt i kąt oraz kąt i kąt .Stąd

Odpowiedź:

57° 2

|∡2| = 57°

57° 7

|∡7| = 57°

7 5

 |∡5| = |∡7| = 57°

57° 1 180°

|∡1| +  57° = 180°

|∡1| = 123°

3 2 7 4 6 5

|∡3| = |∡4| = |∡6| = 123°

|∡2| = |∡7| = |∡5| = 57°

|∡1| = |∡3| = |∡4| = |∡6| = 123°

Ćwiczenie 1

Podaj miary kątów przy prostych równoległych.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem h�ps://epodreczniki.pl/b/P109wAeLW

Ćwiczenie 2

Proste i są równoległe. Podaj miary kątów

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

p r α,  β,  γ.

Ćwiczenie 3

Proste i są równoległe oraz proste i są równoległe.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

1. Wypisz wszystkie pary kątów naprzemianległych.

2. Wypisz wszystkie pary kątów odpowiadających.

Ćwiczenie 4

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

HA GB KA LC

Kąty i to para kątów naprzemianległych przy nierównoległych prostych,przeciętych trzecią prostą. Zatem kąt jest dwa razy większy od kąta .

Kąty i to para kątów naprzemianległych przy prostych równoległych przeciętychtrzecią prostą. Zatem kąty te są równe.

Kąty i to para kątów odpowiadających przy prostych równoległych, przeciętychtrzecią prostą. Zatem kąty te są równe.

γ δ

γ δ

μ φ

α β

Ćwiczenie 5

Czy proste i są równoległe? Odpowiedź uzasadnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Proste równoległe i przecina prosta Jeden z kątów utworzonych przez proste i mamiarę Oblicz miary pozostałych kątów utworzonych przez proste i

p r

m s w. w s

22°. w m.

Ćwiczenie 7

Proste i są równoległe.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz wiedząc, że

1. miara kąta jest o większa od miary kąta .

2.

3.

4.

a b

|∡1|

2 20° 1

|∡2| + |∡7| = 200°

|∡7| − |∡5| = 8°

|∡6| = 108°

Ćwiczenie 8

Oblicz miary kątów równoległoboku, korzystając z własności kątów przy prostychrównoległych.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Proste i są równoległe.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

a b

Miara kąta jest równa

Miara kąta jest równa

Miara kąta jest równa

Miara kąta jest równa

6 40°.

5 40°.

4 120°.

1 120°.

Ćwiczenie 10

Uzasadnij, że:

1. dwie proste równoległe do trzeciej prostej są do siebie równoległe

2. dwie proste prostopadłe do tej samej prostej są do siebie równoległe

3. przeciwległe kąty równoległoboku są równe