1 円に内接する四角形ABCDがあり，AD = 5，BC = 10，対角線 BD =p91，ÎBAD = 120±

である．

(1) AB = であり，三角形ABDの面積は S1 =

p3

2である．

(2) 三角形 BCDの面積が S2 =45p32であれば，DC = である．

(3) この円の半径はp273 である．

(4) この円の中心を Oとしたとき，三角形 BODの面積は S3 =91p3 である．

（東北工業大学 2013）

2 次の問いに答えよ．

(1) 先生 2人と生徒 4人の合計 6人が円形のテーブルに向かって座るとき，先生 2人が隣り合うよ

うな座り方は全部で 通りある．

(2) 赤球と白球が 3個ずつ入っている袋から同時に 3個の球を取りだすとき，赤球 2個，白球 1個

である確率は20

である．

(3) 2つのベクトルを¡!a = (

p3; 7)，

¡!b = (¡

p3; 1)とし，tは実数とする．

¡!a + t

¡!b の大きさ

は t = ¡ のとき最小となり，最小値はp3である．

(4) nを自然数とする．初項が¡2，公差が 112の等差数列の初項から第 n項までの和を Snとおく

とき，S24 = ¡ である．

（東北工業大学 2012）

3 3個のさいころを同時に投げるとする．次の問いに答えよ．

(1) 出る目の和が 5になる確率を求めよ．

(2) 出る目の和が 10になる確率を求めよ．

(3) 出る目の和が 5の倍数になる確率を求めよ．

（秋田大学 2015）

4 f(x) = log2(x+ 1) + log2(x¡ 2)¡ 2，g(x) = x(x¡ 2) とする．次の問いに答えよ．

(1) 方程式 f(x) = 0を解け．

(2) 関数 y = g(x)のグラフの概形をかけ．

(3) 曲線 y = f(x)と x軸との交点の座標を (a; 0)とする．このとき，曲線 y = g(x) (¡1 5

x 5 a)と x軸，および 2直線 x = ¡1，x = aで囲まれた図形の面積を求めよ．

（秋田大学 2016）

5 次の問いに答えよ．

(1) a3 + b3 + c3 ¡ 3abcを因数分解せよ．

(2) 整数 a; b; cに対して，a+ b+ cと abcが 3の倍数のとき，a3 + b3 + c3は 9の倍数である

ことを示せ．

(3) 実数 a; b; cが a+ b+ c = 6， 1a +1b +

1c =

13を満たすとき，a3+ b3+ c3+ 3abcの

値を求めよ．

（秋田大学 2015）

6 連立不等式x = 0，y = 0，3x+y 5 8，x+3y 5 9が表す領域をAとする．次の問いに答えよ．

(1) 直線 3x+ y = 8と直線 x+ 3y = 9の交点の座標を求めよ．また，領域Aを図示し，その面

積を求めよ．

(2) 領域Aにおいて， 34x+yの最大値と最小値を求めよ．また，そのときの x; yの値を求めよ．

(3) 不等式 y = 83x2が表す領域と領域Aの共通部分を領域Bとする．領域Bの面積を求めよ．

(4) 不等式 y 5 axが表す領域と領域Aの共通部分を領域 Cとする．領域 Cの面積が領域Bの面

積と等しくなる実数 aの値を求めよ．

（秋田大学 2015）

7 条件 a1 = 0，an+1 = 4an + 3 (n = 1; 2; 3; Ý)によって定められる数列 fangがある．関数

fn(x)と g(x)が

fn(x) = anx2 + an + 1

g(x) = x3 + 3x2 ¡ 9x+ 4

で定義されるとき，次の問いに答えよ．

(1) 数列 fangの一般項を求めよ．また，nP

k=1akを求めよ．

(2) 関数 y = f2(x)¡ g(x) のグラフをかけ．また，¡3 5 x 5 3の範囲で yの値の最大値とそ

のときの xの値を求めよ．

（秋田大学 2014）

8 次の問いに答えよ．

(1) 2次方程式 x2 ¡ 2ax+ 2a+ 3 = 0が異なる 2つの実数解をもち，その 2つの実数解がともに

1以上 5以下であるように，定数 aの値の範囲を定めよ．

(2) 多項式 4x4 + 7x2 + 16を因数分解せよ．

（秋田大学 2013）

9 四面体OABCにおいて，AB = BC = CA，OA = 1，OB = OC =p2，ÎAOB = ÎAOC =

90±，ÎBOC = µとする．点Dを BCの中点とし，¡!OA =

¡!a，¡!OB =

¡!b ，¡!OC =

¡!c とする．次

の問いに答えよ．

(1) 点 Pを AD上の点とし，AP : PD = t : (1¡ t)とするとき，¡!a ;¡!b ;¡!c ; tを用いて

¡!OPを

表せ．

(2) 点 Pを AD上の動点とする．OPの長さが最小となるとき，¡!a ;¡!b ;¡!c ; µを用いて

¡!OPを

表せ．

(3) 点Qを以下の1～3を満たすように定める．このとき¡!a ;¡!b ;¡!c ; µを用いて

¡!OQを表せ．

1 四面体OABCの体積と四面体QABCの体積は等しい

2 QA = QB = QC

3 線分OQは 3点A，B，Cが定める平面と交点をもたない．

（秋田大学 2015）

10 次の問いに答えよ．

(1) 0 5 µ 5 ¼2とする．sinµ = 3

4のとき，cosµと tanµの値を求めよ．また，sin 8µの値を

求めよ．

(2) t = cosµとおく．関数 y = ¡ 89sin2

µ2¡49sin2 µ+ 1

2を tの関数として表せ．

(3) (2)の関数 yの 0 5 µ < 2¼における最大値と最小値を求めよ．また，そのときの µの値を求

めよ．

（秋田大学 2014）

11 次の問いに答えよ．

(1) 実数 x; yについて，

4x2 + 12y2 ¡ 12xy+ 4x¡ 18y+ 7

の最小値，およびそのときの x; yの値を求めよ．

(2) aを負の実数とする．

4x2 + 12y2 ¡ 12xy+ 4x¡ 18y+ 7 = a

を満たす x; yが隣り合う整数のとき，aの最大値，およびそのときの x; yの値を求めよ．

（秋田大学 2012）

12 f(x) =B

2x¡ x2; g(x) = xf(x)とする．次の問いに答えよ．

(1) f(x)の定義域を求めよ．

(2) g(x)の最大値と最小値を求めよ．

(3) xy平面上の曲線 y = f(x)と曲線 y = g(x)で囲まれた図形の面積を求めよ．

（秋田大学 2012）