Obwody elektryczne - podstawowe prawa

Układy sterowania i regulacji

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

2

Obwód elektryczny i jego schemat

Obwodem elektrycznym nazywamy zespół połączonych ze sobą elementów, umożliwiający zamknięty obieg prądu.

Schemat elektryczny jest graficznym odzwierciedleniem obwodu elektrycznego wskazującym sposób połączenia elementów obwodu w postaci umownych symboli graficznych.

W schemacie elektrycznym wyróżniamy:– elementy – część z nich przedstawiono wcześniej,– węzły,– gałęzie,– oczka.

1Struktura obwodu elektrycznego

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

3

Węzły, gałęzie i oczka

Węzłem obwodu nazywamy punkt, w którym schodzą się co najmniej trzy prądy.

Gałęzią obwodu nazywamy taki odcinek łączący dwa węzły, w którym prąd ma taką samą wartość.

Oczkiem obwodu nazywamy połączenie gałęzi tworzące kontur zamknięty mający tę własność, że po usunięciu któregokolwiek elementu kontur przestaje być zamknięty.

6 gałęzi4 węzły3 oczka

elementy

gałąź węzeł oczko

Struktura obwodu

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

4

Obwody nierozgałęzione i rozgałęzione

Obwód jest nierozgałęziony, jeżeli nie ma żadnych węzłów, ma tylko jedno oczko i jedną gałąź.

Obwód o więcej niż jednej gałęzi jest rozgałęziony.

Obwód nierozgałęziony

Obwód rozgałęziony

Struktura obwodu

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

5

Prawa obwodów elektrycznych

Obwodami elektrycznymi prądu stałego rządzą trzy podstawowe prawa:– prawo Ohma − sformułowane w 1826 roku,– pierwsze prawo Kirchhoffa (prądowe),– drugie prawo Kirchhoffa (napięciowe) – obydwa

prawa sformułowane w 1847 roku. Prawa te jednoznacznie określają zależności

między napięciami i prądami w dowolnym obwodzie liniowym prądu stałego.

W przypadku innych obwodów prawa te pozostają w mocy, lecz muszą być sformułowane dodatkowe prawa i zależności.

2Podstawowe prawa

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

6

Prawo Ohma

Natężenie prądu płynącego przez przewodnik w stałej temperaturze jest wprost proporcjonalne do napięcia występującego na przewodniku i odwrotnie proporcjonalne do rezystancji tego przewodnika.

Prawo to ustala związek między trzema wielkościami U, I, R i służy do obliczenia jednej z nich, gdy dwie pozostałe są znane.

R

UI

I R

U

Podstawowe prawa

UI ~

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

7

Przykład – prawo Ohma

Jakie napięcie panuje na zaciskach rezystora o rezystancji R = 5 Ω, jeżeli płynie przez niego prąd I = 3 A?

V 1535 RIUR

UI

Podstawowe prawa

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

8

I prawo Kirchhoffa (prądowe)

Suma algebraiczna prądów w gałęziach schodzących się w węźle jest równa zeru

AlternatywnieSuma prądów wpływających do węzła jest równa sumie prądów z niego wypływających

Prawo to wynika z prawa zachowania ładunku i ciągłości prądu (ładunek przepływa, ale nie „spiętrza się”).

i

iI 0)(

)()( II

I1 I2

I3I4

I5

054321 IIIII

31542 IIIII

Podstawowe prawa

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

9

Przykład – I prawo Kirchhoffa

Obliczyć prąd I4, jeżeli I1 = 2 A, I2 = 3 A, I1 = 1 A.

I1

I2

I3

I4

A 413232144321 IIIIIIII

Podstawowe prawa

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

10

II prawo Kirchhoffa (napięciowe)

Suma algebraiczna wszystkich napięć w oczku jest równa zeru

Przy sumowaniu napięć przyjmujemy pewien kierunek obiegu oczka i napięcia zastrzałkowane zgodnie z tym kierunkiem bierzemy ze znakiem plus, a napięcia zastrzałkowane przeciwnie bierzemy ze znakiem minus.

0),( EU E1

U1

U2

U3

U4

E2

0124321 UEUUUE

Podstawowe prawa

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

11

II prawo Kirchhoffa – c.d.

Zapisując równanie wg drugiego prawa Kirchhoffa, korzystamy często od razu z prawa Ohma, aby wyrazić napięcie na rezystorze przez iloczyn jego rezystancji i prądu.

E1

R1

R2

R3

R4

E2

I1

I2

I3

I4

01123433221 IREIRIRIRE

Podstawowe prawa

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

12

Obwód nierozgałęziony

Obwód nierozgałęziony zawiera tylko jedną gałąź, jedno oczko i żadnych węzłów.

Analiza obwodów nierozgałęzionych jest szczególnie łatwa, gdyż do wyznaczenia mamy tylko jeden prąd.

3Obwody nierozgałęzione

E1

E2

R1 R2

R3

R4

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

13

Analiza obwodu nierozgałęzionego

1. Strzałkujemy dowolnie prąd, który jest jednakowy we wszystkich elementach.

2. Przeciwnie do prądu strzałkujemy napięcia na rezystorach.

3. Układamy równanie wg napięciowego prawa Kirchhoffa.

4. Napięcia na rezystorach wyrażamy za pomocą prawa Ohma.

5. Z otrzymanego równania wyznaczamy prąd.

6. W razie potrzeby obliczamy napięcia i inne wielkości.

E1

E2

R1 R2

R3

R4

I

U1 U2 U3U4

0

4321

423211 IRIRIRIR

UEUUUE

0423211 IREIRIRIRE

214321 )( EERRRRI

4321

21

RRRR

EEI

Obwody nierozgałęzione

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

14

Rezystancja zastępcza

Rezystory w obwodzie elektrycznym mogą być połączone na różne sposoby.

W każdym przypadku istnieje możliwość wyznaczenia tzw. rezystancji zastępczej.

Rezystancja zastępcza grupy rezystorów to rezystancja, która włączona w obwód w miejsce rozpatrywanej grupy nie zmienia rozpływu prądów i rozkładu napięć w pozostałej części obwodu.

Rozróżniamy dwa typowe przypadki:– Połączenie szeregowe,– Połączenie równoległe.

4Połączenia rezystorów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

15

Połączenie szeregowe

Połączeniem szeregowym rezystorów nazywamy takie ich połączenie, w którym przez wszystkie rezystory płynie jeden i ten sam prąd.

Naszym celem jest wyznaczenie rezystancji zastępczej, tj. zastąpienie grupy n szeregowo połączonych rezystorów R1, R2, …, Rn za pomocą jednego tylko rezystora R.

R1

R2

Rn

R

Połączenia rezystorów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

16

Rezystancja zastępcza p. szeregowego

Z prawa koła napięć

Z prawa Ohma dla i-tego rezystora mamy Ui = RiI; uwzględniwszy to w poprzednim wzorze

Rezystancja z definicji wynosi U/I, czyli

Rezystancja zastępcza szeregowego połączenia rezystorów równa się sumie ich rezystancji.

nUUUU 21

IRIRIRU n 21

n

iin RRRRR

121

R1

R2

Rn

U1

U2

Un

U

IA

B

RUI

A

B

Połączenia rezystorów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

17

Połączenie równoległe

Połączeniem równoległym rezystorów nazywamy takie ich połączenie, w którym na zaciskach wszystkich rezystorów występuje jedno i to samo napięcie.

Do zaznaczenia, że rezystory R1, R2, …, Rn połączone są równolegle stosujemy czasem zapis

Naszym celem jest wyznaczenie rezystancji zastępczej, tj. zastąpienie grupy n równolegle połączonych rezystorów R1, R2, …, Rn za pomocą jednego tylko rezystora R.

R1 R2 Rn

R

nRRR |||||| 21

Połączenia rezystorów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

18

Rezystancja zastępcza p. równoległego

Z pierwszego prawa Kirchhoffa

Z prawa Ohma dla i-tego rezystora mamy Ii = U/Ri, stąd ostatni wzór przyjmuje postać

Rezystancja z definicji wynosi U/I, czyli

Odwrotność rezystancji zastępczej równoległego połączenia rezystorów równa się sumie odwrotności ich rezystancji.

nIIII 21

nR

U

R

U

R

UI

21

n

i in RRRRR 121

11111

RUI

A

B

R1 R2 RnU

I1 I2In

A

B

I

Połączenia rezystorów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

19

Połączenie równoległe dwóch rezystorów

W przypadku dwóch rezystorów połączonych równolegle

Po przekształceniu

Pułapka: wzorując się na ostatniej zależności, część studentów zapisze dla trzech rezystorów NIEPOPRAWNIE

R1 R2

21

111

RRR

21

21

RR

RRR

321

321

RRR

RRRR

Połączenia rezystorów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

20

Szeregowo kontra równolegle

Szeregowo RównolegleRezystancja zastępcza

jest większa od każdej jest mniejsza od każdej z wartości R1, R2, …, Rn z wartości R1, R2, …, Rn

Konduktancja zastępcza

Rezystancja w przypadku n jednakowych rezystorów R1

nRRRR 21nRRRR

1111

21

nGGGG

1111

21

nGGGG 21

1nRR n

RR 1

Połączenia rezystorów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

21

Połączenia mieszane

Układ złożony z rezystorów połączonych szeregowo lub równolegle nazywamy układem o połączeniu mieszanym.

Rezystancję zastępczą takiego układu wyznaczamy stosując na przemian wzory dla połączenia szeregowego i równoległego.

Połączenia rezystorów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

22

Redukcja układu połączeń

A B

A B A B

A BA B

1

2 3

4 5

Połączenia rezystorów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

23

Przykład

Wyznaczyć rezystancję zastępczą względem zacisków AB oraz AC. Wartości rezystancji w omach.

A B

C

112

3

1

Połączenia rezystorów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

24

Rezystancja RAB

A B

C

112

3

1 A B2

2

3

1

A B1

3

1 A B2

3

A BRAB

Ω2,15

6

32

323||2

ABR

211

122

222||2

211

Połączenia rezystorów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

25

Rezystancja RAC

A B

C

112

3

1

A C1

4

A CRAC

Ω8,05

4

41

414||1

ACR

211

122

222||2

A2

2

3

1

C

413

Połączenia rezystorów