MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 45, t. 14, rok 2012 – ISSN 1896-771X

58

NEURONOWO-ROZMYTE

SYSTEMY STEROWANIA

MOBILNYM ROBOTEM KOŁOWYM

Zenon Hendzel1a, Magdalena Muszyńska1b

1Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki, Politechnika Rzeszowska

e-mail: azenhen@prz.edu.pl, bmagdaw@prz.edu.pl

Streszczenie Celem niniejszej pracy było zbadanie możliwości zastosowania algorytmów neuronowo-rozmytych w sterowaniu

w czasie rzeczywistym ruchem nadążnym mobilnego robota kołowego w obecności zmiennych warunków pracy

oraz ich ocena dotycząca jakości sterowania.

NEURAL-FUZZY CONTROL SYSTEMS MOBILE ROBOT Summary

The aim of this study was to investigate the possibility of using neuro-fuzzy algorithms for control traffic in real-

time mobile robot in the presence of variable working conditions and their assessment of the quality control.

1. WSTĘP

W niniejszej pracy do rozwiązania problemu sterowania

ruchem mobilnego robota kołowego został opracowany

inteligentny sterownik ruchu nadążnego bazujący na

sieciach neuronowych i układach z logiką rozmytą

zadaniem którego jest kompensacja nieliniowości

i niedokładności modelowania mobilnego robota kołowe-

go. Powstały układ hybrydowy nazywany jest układem

neuronowo-rozmytym. Łączy on zarówno zalety sieci

neuronowych i układów z logiką rozmytą. Układ ten

został zaprojektowany w taki sposób, aby na bieżąco

modyfikować swoje właściwości przy zmieniających się

warunkach pracy mobilnego robota. Obiektem sterowa-

nia jest 2-kołowy mobilny robot. Badania symulacyjne

i weryfikacyjne zostały przeprowadzone dla przypadku,

kiedy wybrany punkt mobilnego robota przemieszcza się

po trajektorii w kształcie pętli. Przeprowadzone badania

są próbą zastosowania w mechanice nowoczesnych

technologii informatycznych rozumianych jako sterowa-

nie w czasie rzeczywistym, uwzględniające parametrycz-

ne i nieparametryczne niedokładności modelowania

nieliniowego obiektu.

2. OPIS RUCHU MOBILNEGO

ROBOTA

Obiektem sterowania jest mobilny robot, którego sche-

mat pokazano na rysunku 1 [2,5]. Podstawowe elementy

robota to rama, koła napędzające, samonastawne koło

podpierające. Koła 1 i 2 napędzane są oddzielnymi

silnikami elektrycznymi, które łącznie z przekładnią

tworzą zespół napędzający dane koło, enkodery, które

mierzą kąt obrotu kół.

Do rozważań przyjęto opis sterowanego obiektu

w postaci równania 1 i 2. Dynamiczne równania ruchu

2-kołowego mobilnego robota można przedstawić

w postaci równania (1) [7]:

( )

( )1 2 3 1 2 4 2 11 1

1 2 1 2 3 4 2 12 2

5 1 1

6 2 2

a a a a a 0 2a

a a a a a 2a 0

a sgn M

a sgn M

+ + − α − α α α + +

− + + − α − αα α

α + =

α

& &&& &

& &&& &

&

&

(1)

gdzie ai to parametry wynikające z geometrii układu,

rozkładu mas oraz oporów ruchu analizowanego układu.

Zenon Hendzel, Magdalena Muszyńska

Rys.1. Schemat mobilnego robota-Pioneer 2DX

Przyjęto współrzędną uogólnioną w postaci kąta obrotu

własnego kół a M1 i M2 to momenty napędzające koła,

które są sygnałami sterowań. W zapisie wektorowo

macierzowym równanie (1) można przedstawić w postaci

zależności (2):

( ) ( )M C F uα + α α + α =&& & & &

gdzie

[ ] [ ]T T T

d 1 2 d 1 2 d 1 2, , , , ,α = α α α = α α α = α α& & & && && &&

3. NEURONOWO-ROZMYTY

KOMPENSATOR NIELINIOWOŚCI

W sterowaniu ruchem nadążnym obiektów nieliniowych

a szczególnie w robotyce, przyjmuje się sygnał sterowań

o strukturze w postaci równania (3) [1,3]:

Dˆu f K s= + − ς

gdzie KDs to struktura regulatora PD,

dodatkowe sterowanie zadaniem, którego będzie ko

pensacja niedokładności, f̂ to ocena nieliniowej funkcji

sterowanego obiektu, która wynika z opisu matematyc

nego i jest przedstawiona za pomocą

Nieliniowa funkcja f(x) dana jest zależnością:

( ) ( ) ( )f x Mv C v F= + α + α& &&

gdzie d dv e v e., = α + Λ = α + Λ& && &&

Oznaczymy błąd sterowania w postaci równania (5):

Zenon Hendzel, Magdalena Muszyńska

59

Pioneer 2DX

Przyjęto współrzędną uogólnioną w postaci kąta obrotu

to momenty napędzające koła,

re są sygnałami sterowań. W zapisie wektorowo-

macierzowym równanie (1) można przedstawić w postaci

(2)

[ ]T T T

d 1 2 d 1 2 d 1 2, , , , ,α = α α α = α α α = α α& & & && && && .

ROZMYTY

KOMPENSATOR NIELINIOWOŚCI

obiektów nieliniowych,

a szczególnie w robotyce, przyjmuje się sygnał sterowań

o strukturze w postaci równania (3) [1,3]:

(3)

s to struktura regulatora PD, natomiast ς to

którego będzie kom-

to ocena nieliniowej funkcji

sterowanego obiektu, która wynika z opisu matematycz-

nego i jest przedstawiona za pomocą równania (4).

Nieliniowa funkcja f(x) dana jest zależnością:

(4)

v e v e.& && &

Oznaczymy błąd sterowania w postaci równania (5):

de = α − α

oraz uogólniony błąd nadążania w postaci zależności (6):

s e e= + Λ&

W tym rozwiązaniu wykorzystuje się własności ruchu

ślizgowego układów o zmiennej strukturze poprzez

przyjęcie uogólnionego błędu sterowania w postaci 6.

Takie ujęcie problematyki sterowania ruchem nadążnym

pozwala na zastąpienie układu niestacjonarnego ukł

dem stacjonarnym i obniża rząd analizowanego układu,

a to oznacza, że pierwotny problem możemy zapisać

w postaci równania (7) w funkcji uogólnionego błędu s:

( )Ms C s f (x) u= − α + −& &

Nieliniowość w postaci równania

mowana układem neuronowo-rozmytym. Ze względu na

eksplozję rozwiązań wynikającą

nych wejściowych funkcję tę zdekomponowano na 6

składowych funkcji podanych w postaci zależności (8)

[6]:

1 1 2 3

2 4 5 6

f (x) g g g

f (x) g g g

= + +

= + +

Każda z tych funkcji posiada dwa sygnały wejściowe

umożliwiło zastosowanie tej struktury w czasie

wistym. W niniejszej pracy do aproksymacji nielini

wych funkcji zastosowano układ neuronowo

Uczeniu w tym układzie podlegają parametry

i przesłanki bazy reguł modelu Sugeno.

j 1 j1 2 j1 jR : IF x A AND x B THEN g w , j 1, 2,..., N= = = =

Stopień spełnienia przesłanki danej reguły przyjęto

w postaci:

j Aj 1 Bj 2(x ) (x )φ = µ ⋅µ

Stosując rozmywanie typu singleton, przyjmując funkcję

przynależności w postaci funkcji Gaussa oraz stopień

spełnienia przesłanek w postaci (10) model rozmyty

zapiszemy w postaci zależności (11).N

k kj j

j 1

g w , k 1...6=

= φ =∑

W procesie adaptacji uczeniu podlegać będą szerokości

i środki funkcji Gaussa interpretowanej jako zbiór

rozmyty opisany zależnością (12):2 2

11 1 11

11

r (x c )

A 1(x ) e

− −µ =

(Uwzględniając (12) stopień spełnienia przesłanki danej

reguły (11) zapiszemy jako: 2 2 2 2

11 1 11 12 2 12r (x c ) r (x c )

1e

− − − −φ =

(5)

oraz uogólniony błąd nadążania w postaci zależności (6):

(6)

wykorzystuje się własności ruchu

układów o zmiennej strukturze poprzez

przyjęcie uogólnionego błędu sterowania w postaci 6.

Takie ujęcie problematyki sterowania ruchem nadążnym

pozwala na zastąpienie układu niestacjonarnego ukła-

dem stacjonarnym i obniża rząd analizowanego układu,

acza, że pierwotny problem możemy zapisać

w postaci równania (7) w funkcji uogólnionego błędu s:

Ms C s f (x) u (7)

Nieliniowość w postaci równania (4) zostanie aproksy-

rozmytym. Ze względu na

eksplozję rozwiązań wynikającą z dużej liczby zmien-

nych wejściowych funkcję tę zdekomponowano na 6

składowych funkcji podanych w postaci zależności (8)

(8)

Każda z tych funkcji posiada dwa sygnały wejściowe, co

umożliwiło zastosowanie tej struktury w czasie rzeczy-

wistym. W niniejszej pracy do aproksymacji nielinio-

wych funkcji zastosowano układ neuronowo-rozmyty [4].

Uczeniu w tym układzie podlegają parametry konkluzji

i przesłanki bazy reguł modelu Sugeno.

j 1 j1 2 j1 jR : IF x A AND x B THEN g w , j 1, 2,..., N= = = =

(9)

Stopień spełnienia przesłanki danej reguły przyjęto

(10)

Stosując rozmywanie typu singleton, przyjmując funkcję

przynależności w postaci funkcji Gaussa oraz stopień

spełnienia przesłanek w postaci (10) model rozmyty

zemy w postaci zależności (11).

g w , k 1...6= φ = (11)

W procesie adaptacji uczeniu podlegać będą szerokości

i środki funkcji Gaussa interpretowanej jako zbiór

rozmyty opisany zależnością (12):

(12)

Uwzględniając (12) stopień spełnienia przesłanki danej

(13)

NEURONOWO-ROZMYTE SYSTEMY STER

Tego typu założenia umożliwiają zapis nieliniowości

mobilnego robota w postaci zależności (14) interpret

wanej jako model neuronowo-rozmyty. Każdą z tych

funkcji gi można zapisać w postaci wagi z indeksem razy

stopień spełnienia przesłanki. Te wielkości będą podl

gać uczeniu w czasie rzeczywistym i można wówczas

powiedzieć, że powstanie układ neuronowo

(1)T (1) (2)T (2) (3)T (3)1

(4)T (4) (5)T (5) (6)T (6)

2

f̂ W W Wf̂

ˆ W W Wf

⋅φ + ⋅φ + ⋅φ= =

⋅φ + ⋅φ + ⋅φ

gdzie

Rys.2. Schemat układu neuronowo-rozmytego

Gdzie adaptowane parametry układu neuronowo

rozmytego wyznacza się na podstawie zależności (17

wraz z sygnałem sterowania odpornego. Wszystkie te

sygnały wynikają z analizy stabilności zamkniętego

układu sterowania.

T T T T

w w ji ji wˆˆ ˆˆ ˆW F s F (A r B c )s F s W= φ − + −

&

k

ji r r jiˆˆ ˆr F AWs F s r= −&

k

ji c c jiˆˆ ˆc F BWs F s c= −&

gdzie jest sygnałem sterowania odpornego i wynosi:

T

D

sK Y

sς = −

Natomiast to macierz

(dostępnych) sygnałów.

ς

f ji jiˆ ˆ ˆY(d , W, r ,c )

ROZMYTE SYSTEMY STEROWANIA MOBILNYM ROBO

60

Tego typu założenia umożliwiają zapis nieliniowości

mobilnego robota w postaci zależności (14) interpreto-

rozmyty. Każdą z tych

można zapisać w postaci wagi z indeksem razy

stopień spełnienia przesłanki. Te wielkości będą podle-

gać uczeniu w czasie rzeczywistym i można wówczas

powiedzieć, że powstanie układ neuronowo-rozmyty.

(1)T (1) (2)T (2) (3)T (3)

(4)T (4) (5)T (5) (6)T (6)

W W W

W W W

⋅φ + ⋅φ + ⋅φ

⋅φ + ⋅φ + ⋅φ (14)

(1)T (1) (1) 1 1

11 12 19W w w w ⋅φ =

W wyniku przyjętej struktury aproksymacji nieliniow

ści robota oraz jej aproksymacji z uwzględnieniem

aspektu linearyzacji w funkcji opisującej zbiory rozmyte

opis układu zamkniętego otrzyman

[ ] T T T T T T

D nr nr ji ji nr ji ji fˆ ˆ ˆMs K C( ) s W A r B c W A r B c d = − + α + φ − − + + + + ς

%& & % %

rozmytego

Gdzie adaptowane parametry układu neuronowo-

rozmytego wyznacza się na podstawie zależności (17-19)

sygnałem sterowania odpornego. Wszystkie te

sygnały wynikają z analizy stabilności zamkniętego

T T T T

w w ji ji wˆ ˆW F s F (A r B c )s F s W= φ − + −

(17)

(18)

(19)

gdzie jest sygnałem sterowania odpornego i wynosi:

(20)

Natomiast to macierz mierzalnych

Zastosowanie przedstawionego adaptacyjnego podejścia

do wyznaczenia parametrów konkluzji i przesłanki

umożliwiło zastąpienie układu

neuronowym, co symbolicznie pokazano na rys. 2, na

którym zademonstrowano tylko realizację nieliniowości

oznaczonej we wcześniejszych rozważaniach przez f

Struktura ta wynika z układu rozmytego.

4. WYNIKI WERYFIKACJI

NEURONOWO-ROZMYTEGO

UKŁADU STEROWANIA

W niniejszej pracy zastosowano pakiet Matlab/Simulink

oraz platformę sprzętową firmy dSPACE do weryfikacji

zaproponowanych rozwiązań sterowania neuronowo

rozmytego na obiekcie rzeczywistym, którym był mobi

ny robot kołowy Pioneer 2DX.

neuronowo-rozmytego sterowania ruchem nadążnym

OWANIA MOBILNYM ROBOTEM KOŁOWYM

(1)

1

(1)

(1)T (1) (1) 1 1 2

11 12 19

(1)

9

W w w w

φ φ φ

KM

(15)

W wyniku przyjętej struktury aproksymacji nieliniowo-

ści robota oraz jej aproksymacji z uwzględnieniem

aspektu linearyzacji w funkcji opisującej zbiory rozmyte

opis układu zamkniętego otrzymano w postaci:

( )T T T T T T

D nr nr ji ji nr ji ji fˆˆ ˆMs K C( ) s W A r B c W A r B c d = − + α + φ − − + + + + ς

& & % %

(16)

Zastosowanie przedstawionego adaptacyjnego podejścia

do wyznaczenia parametrów konkluzji i przesłanki

umożliwiło zastąpienie układu rozmytego układem

neuronowym, co symbolicznie pokazano na rys. 2, na

którym zademonstrowano tylko realizację nieliniowości

oznaczonej we wcześniejszych rozważaniach przez f1.

Struktura ta wynika z układu rozmytego.

4. WYNIKI WERYFIKACJI

ROZMYTEGO

UKŁADU STEROWANIA

W niniejszej pracy zastosowano pakiet Matlab/Simulink

oraz platformę sprzętową firmy dSPACE do weryfikacji

zaproponowanych rozwiązań sterowania neuronowo-

rozmytego na obiekcie rzeczywistym, którym był mobil-

ny robot kołowy Pioneer 2DX. Zadaną trajektorię do

rozmytego sterowania ruchem nadążnym

Zenon Hendzel, Magdalena Muszyńska

61

mobilnego robota przyjęto w kształcie pętli pokazanej

na rys. 3a. Została ona wyznaczona z zadania odwrot-

nego kinematyki. W badaniach weryfikacyjnych rozwa-

żano 5 etapów ruchu: był to rozruch, jazda ze stałą

prędkością, jazda po torze kołowym o promieniu R,

jazda po prostej oraz hamowanie.

a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5

x[m]

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y[m

]

b)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

t[s]0

15

30

45

60

75

90

105

120

135

α1,α

2

[ra

d]

c)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

t[s]0

1

2

3

4

5

6

7

8

α.1,α.

2

[ra

d/s

]

d)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

t[s]-12

-9

-6

-3

0

3

6

9

12

α..1,α..

2

[ra

d/s

2]

Rys. 3. a) zadana trajektoria ruchu punktu b) przemieszczenia

kątowe kół napędzających c) prędkości kątowe kół napędzają-

cych d) przyspieszenia kątowe kół napędzających

Wybrano trajektorię w kształcie pętli ponieważ jest to

typowa realizacja praktycznych rozwiązań. Weryfikacja

ta dotyczyła uczenia konkluzji i przesłanki bazy reguł.

Adaptowano rozkład zbiorów rozmytych w przestrzeni

rozważań oraz parametry konkluzji. Stosując algorytm

sterowania (3) i algorytm uczenia wag sieci (17) oraz

parametrów przesłanki (18 i 19), otrzymano wartości

sygnału sterowania całkowitego i kompensacje uzyskaną

podczas uczenia konkluzji i przesłanki bazy reguł mode-

lu neuronowo-rozmytego (rys. 4).

0 5 10 15 20 25 30

-4

0

4

8

0 5 10 15 20 25 30

-4

0

4

8

Rys.4. Sygnały sterowania całkowitego i kompensacyjnego

uzyskane podczas uczenia konkluzji i przesłanki bazy reguł

układu neuronowo-rozmytego

0 5 10 15 20 25 30

-4

0

4

8

0 5 10 15 20 25 30

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Rys.5. Przebieg sygnałów sterowania za pomocą regulatora PD

oraz sygnał sterowania odpornego

1M

2M

M1, M2 [Nm]

t[s] Sterowanie kom.

[Nm]

t[s]

nr2f̂

nr1f̂

Sterowanie PD

[Nm]

t[s]

2

PD

1

PD

t[s]

1

ς

2

ς

NEURONOWO-ROZMYTE SYSTEMY STEROWANIA MOBILNYM ROBOTEM KOŁOWYM

62

0 5 10 15 20 25 30

-4

-2

0

2

4

0 5 10 15 20 25 30

-4

-2

0

2

4

Rys.6. Przebieg błędów nadążania oraz błędów prędkości

nadążania dla koła 1 i koła 2

Rys.7. Przebieg prędkości kątowych kół napędzających podczas

uczenia konkluzji i przesłanki bazy reguł oraz wartości wag

konkluzji bazy reguł układu neuronowo-rozmytego

Rys.8. Przebieg uczenia szerokości i środków funkcji Gaussa

znajdujących się w przesłankach bazy reguł układu neuronowo-

rozmytego.

Analizując przedstawione przebiegi, można zauważyć, iż

zarówno wagi konkluzji bazy reguł jak i szerokości czy

środki znajdujące się w przesłankach bazy reguł adaptu-

ją się do zmiennych warunków pracy robota. W celu

lepszego porównania przeprowadzonych badań na

obiekcie rzeczywistym wyniki badań, tzn. błędy

w postaci pierwiastka błędu średniokwadratowego,

porównano w postaci wykresów słupkowych. I tak na

rys. 11 przedstawiono błędy obrotu własnego kół

w postaci pierwiastek błędu średniokwadratowego dla

koła 1 i 2.

Z przebiegów tych wynika, że zastosowanie konwencjo-

nalnego sterowania za pomocą regulatora PD w zada-

niu nadążania powoduje większe błędy w stosunku do

proponowanych rozwiązań rozmytych i neuronowo-

rozmytych.

t[s]

1e

1e&

t[s]

2e&

2e

Zenon Hendzel, Magdalena Muszyńska

Rys.9. Zestawienie błędu obrotu własnego kół w postaci

pierwiastka błędu średniokwadratowego

Literatura

1. Chen S., Billings A.: Neural networks for nonlinear dynamic system modeling and identification.

1992, Vol. 56, No. 2, p. 319-346.

2. Giergiel M.J., Hendzel Z., Żylski W.: Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów kołowych. Warszawa:

PWN 2002.

3. Hendzel Z.: Robust tracking control of wheeled mobile robot.

s.43.

4. Hendzel Z., Wereszczak M.(Muszyńska):

Warszawa: Ofic. Wyd. Pol. Warsz.2008. „Elektronika” z.166, 463

5. Hendzel Z., Żylski W.: Dynamics and robust control of wheeled mobile robot. In: Proceedings of 3

Symposium on Intelligent Autonomous Vehicles,

6. Hornik K., Stinchcombe M., White H.: Multilayer feedforward networks are universal approximations.

Networks” 1989, Vol. 2, p. 359-366.

7. Żylski W.: Kinematyka i dynamika mobilnych robotów kołowych. Rzeszów:

Pracę wykonano w ramach realizacji projektu badawczego nr N N501 068838 finansowanego ze środków na naukę

w latach 2010-2012.

Zenon Hendzel, Magdalena Muszyńska

63

Rys.9. Zestawienie błędu obrotu własnego kół w postaci

5. WNIOSKI

Skuteczność zaprojektowanego neuronowo

algorytmu sterowania została potwierdzona przez wyn

ki badań weryfikacyjnych na

Potwierdzają one słuszność przyjętej metody sterow

nia. Uzyskane rezultaty wykazują, że zastosowanie

neuronowo-rozmytej kompensacji nieliniowości mobiln

go robota w zadaniu nadążania jest bardziej korzystne

niż stosowanie do tego regulatorów konwencjonalnych

czy też klasycznego sterowania rozmytego. Z analizy

otrzymanych wyników weryfikacji wynika, że zbieżność

błędów nadążania jest szybsza, gdy w sygnale sterow

nia uwzględni się neuronowo

nieliniowości badanego obiektu. Ponadto zapewniona

jest stabilność globalna zamkniętego układu sterowania

w tym sensie, że sygnały są ograniczone. Wyniki weryf

kacji wskazują, że wprowadzając w obiekcie sterowanym

informacje neuronowe i rozmyte do układu sterowania,

zwiększa się dokładność realizacji założonego ruchu.

Zaproponowany sposób sterowania nieliniowym obie

tem, jakim jest mobilny robot kołowy, stanowi narz

dzie wykorzystujące informacje neuronowo

w sposób bardzo efektywny.

Chen S., Billings A.: Neural networks for nonlinear dynamic system modeling and identification.

W.: Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów kołowych. Warszawa:

Hendzel Z.: Robust tracking control of wheeled mobile robot. „Archiwum Budowy Maszyn” 1997, t. XLIV, z.1,

Hendzel Z., Wereszczak M.(Muszyńska): Rozmyto-neuronowy algorytm sterowania mo-bilnym robotem kołowym.

Ofic. Wyd. Pol. Warsz.2008. „Elektronika” z.166, 463-472.

Hendzel Z., Żylski W.: Dynamics and robust control of wheeled mobile robot. In: Proceedings of 3

Symposium on Intelligent Autonomous Vehicles, Madrid, Spain, 1998, Vol.II, p. 465-470.

Hornik K., Stinchcombe M., White H.: Multilayer feedforward networks are universal approximations.

366.

Żylski W.: Kinematyka i dynamika mobilnych robotów kołowych. Rzeszów: Ofic. Wyd. Pol. Rzesz., 1996.

Pracę wykonano w ramach realizacji projektu badawczego nr N N501 068838 finansowanego ze środków na naukę

Skuteczność zaprojektowanego neuronowo-rozmytego

algorytmu sterowania została potwierdzona przez wyni-

ki badań weryfikacyjnych na obiekcie rzeczywistym.

Potwierdzają one słuszność przyjętej metody sterowa-

nia. Uzyskane rezultaty wykazują, że zastosowanie

rozmytej kompensacji nieliniowości mobilne-

go robota w zadaniu nadążania jest bardziej korzystne

ulatorów konwencjonalnych

czy też klasycznego sterowania rozmytego. Z analizy

otrzymanych wyników weryfikacji wynika, że zbieżność

błędów nadążania jest szybsza, gdy w sygnale sterowa-

nia uwzględni się neuronowo-rozmytą aproksymację

biektu. Ponadto zapewniona

jest stabilność globalna zamkniętego układu sterowania

w tym sensie, że sygnały są ograniczone. Wyniki weryfi-

kacji wskazują, że wprowadzając w obiekcie sterowanym

informacje neuronowe i rozmyte do układu sterowania,

dokładność realizacji założonego ruchu.

Zaproponowany sposób sterowania nieliniowym obiek-

tem, jakim jest mobilny robot kołowy, stanowi narzę-

dzie wykorzystujące informacje neuronowo-rozmytą

Chen S., Billings A.: Neural networks for nonlinear dynamic system modeling and identification. “Int. J. Control”

W.: Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów kołowych. Warszawa:

„Archiwum Budowy Maszyn” 1997, t. XLIV, z.1,

bilnym robotem kołowym.

Hendzel Z., Żylski W.: Dynamics and robust control of wheeled mobile robot. In: Proceedings of 3-rd IFAC

470.

Hornik K., Stinchcombe M., White H.: Multilayer feedforward networks are universal approximations. “Neural

Ofic. Wyd. Pol. Rzesz., 1996.

Pracę wykonano w ramach realizacji projektu badawczego nr N N501 068838 finansowanego ze środków na naukę