Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu SpołecznegoPrezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

Projekt „Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! ”

jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków

Europejskiego Funduszu Społecznego

Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

• Nazwa szkoły:

Gimnazjum im. Noblistów Polskich w Koźminku

• ID grupy: 98/44_mf_g2

• Opiekun: p. Edyta Trocha

• Kompetencja: Matematyczno - fizyczna

• Temat projektowy: Liczba pi

Semestr/rok szkolny:

Semestr IV, rok szkolny 2011/2012

1.Katarzyna Janiak2.Kinga Humelt3.Karolina Trzcińska4.Ewelina Murawska5.Kamil Krakus6.Adrian Wesołowski7.Kamil Kapłonek8.Tobiasz Kawecki9.Szymon Wojciechowski10.Józef Muszyński11.Klaudia Antczak12.Aleksandra Pietura13.Kinga Jędrzejak14.Piotr Kostera15.Tomasz Jaśkiewicz

• Nazwa szkoły:

Gimnazjum im. Królowej Jadwigi we Wschowie

• ID grupy: 98/87_MF_G1

• Opiekun: p. Teresa Czapiewska - Jędrzychowska

• Kompetencja: Matematyczno - fizyczna

• Temat projektowy: W świecie liczb

Semestr/rok szkolny: Semestr III, rok szkolny 2010/2011

1.Agnieszka Gąsiorek.2. Nicole Kamińska3. Michał Kroma4. Wojciech Mały5. Agnieszka Marciniak6. Martyna Mielnik7. Natalia Młynarczak8. Aleksandra Rybka9.Oktawia Suda10. Katarzyna Walner11. Jarosław Urbanowicz

„Następnie sporządził odlew okrągłego morza o średnicy

dziesięciu łokci, o wysokości 5 łokci i o obwodzie 30 łokci.”

Biblia Tysiąclecia

π≈3,141592653589793238462643383279502884197169...

Już w czasach zamierzchłych starożytni rachmistrze zauważyli, że wszystkie koła mają ze sobą coś wspólnego, że

ich średnica i obwód pozostają wobec siebie w takim samym stosunku, a liczba ta bliska jest 3. W Starym Testamencie obwód był właśnie

trzykrotnością średnicy, a w jednym z najstarszych tekstów matematycznych-

papirusie Rhinda (XVII w. p. n. e.) wartość ta była przedstawiana jako

(169)2≈3,160493...

Liczbę Pi poznajemy jako pierwszą w szkole – jako iloraz obwodu koła i jego średnicy. „Pi” to również tytuł i inspiracja niekomercyjnego filmu Darrena Aronofskiego. Bohater filmu Max Cohen jest stereotypowym naukowcem. Zamknięty w sobie, poświęcający każdą wolną chwilę matematyce, zaniedbujący doczesną egzystencję, prowadzi niekończącą się walkę z migrenowymi halucynacjami oraz ... liczbami. Jego obsesją jest odnalezienie reguły w chaosie dziesiętnego rozwinięcia liczby Pi.

•W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nieznanych nam z imienia uczonych. • Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby Pi, jest pierwsza. •Tak i mnie i tobie poznawana tu liczba cudna dla ogół przynosi wszystkim pożytek wspaniały π ≈ 3,14159265358979•Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π.

Oto wzory na liczbę pi :• Babilończycy: π≈3• Egipcjanie (ok. 2000 r. p.n.e.):π≈(169)2 ≈3,160493...• Archimedes:π≈227≈3,14• Chiński matematyk Chang Hing :14245≈3,1555...•Klaudiusz Ptolomeusz π≈3+860+3360≈3,1416•hinduski matematyk Ariabhata (V w. n.e.): π≈ 628322000=3,1416

 Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu 3,1415...

Ale dlaczego w przybliżeniu?

Liczba PI" jest liczbą niewymierną

Symbol ten pochodzi od greckich słów: periferia lub perimetron.

Dziś jesteśmy w stanie obliczyć wartość pi do milionów miejsc po przecinku. Rodzi się pytanie: jakiego rodzaju to liczba? Wiemy, że jest bardzo

bliska 227≈3,14 , ale nie ma tu równości. Bliższa jest

wartości 355113≈3,1415929203..., ale nawet ta liczba nie

określa dokładnej wartości.

Ostatecznie w roku 1882 niemiecki matematyk Ferdinand Lindemann rozstrzygnął podstawowy problem

dotyczący liczby i wykazał, że π jest liczbą przestępną czyli taką, która nie

jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach

całkowitych. Liczba pi jest więc liczbą

niewymierną, taką której rozwinięcie dziesiętne zachowuje się "byle jak",nie ma w nim żadnego porządku i nigdy się

nie kończy.

Używany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706 roku przez Wiliama Jonesa, a spopularyzował go

Leonhard Euler używając tego zapisu w dziele Analiza. Swą nazwę zawdzięcza pierwszej literze greckiego

słowa "peryferia". Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego

matematyka Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej przybliżenie z

dokładnością 35 miejsc po przecinku.

„PI W ARYTMETYCE”

Pi można wykorzystać również w arytmetyce. Jeśli liczbę parzystą podzielimy przez nieparzystą, a

później tę samą parzystą przez kolejną nieparzystą, po czym następną parzystą przez tę samą

nieparzystą co poprzednio (czyli 2/1, 2/3, 4/3, 4/5, 6/5, 6/7 itd. ) to po wymnożeniu ich wyników

otrzymujemy połowę Pi - Wielu ludzi pasjonuje się Pi, bo sądzą że można związać z nią zdarzenia

losowe.

MIĘDZYNARODOWY DZIEŃ „PI”

14 marca obchodzony jest międzynarodowy dzień liczby Pi. Datę święta wyznaczono ze względu na

pierwsze cyfry rozszerzenia dziesiętnego PI (3,14)…

WIERSZ O „PI”

Liczba Pi [Fragment Wiersza Wisławy Szymborskiej]Podziwu godna liczba Pi trzy koma jeden cztery jeden. Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe, pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy. Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem osiem dziewięć obliczeniem siedem dziewięć wyobraźnią, a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem…

1 rok świetlny równa się w przybliżeniu π·107·c (km), gdzie c oznacza prędkość światła (w

kilometrach na sekundę). Liczba sekund w roku wynosi 365·24·60·60=31 536 000, co w przybliżeniu

wynosi π·107·c.

OBLICZANIE LICZBY Π METODĄ MONTE-CARLOMetoda Monte-Carlo - jest stosowana do modelowania matematycznego procesów zbyt złożonych , istotną rolę w metodzie MC odgrywa losowanie (wybór przypadkowy) wielkości charakteryzujących proces, przy czym losowanie dokonywane jest zgodnie z rozkładem, który musi być znany.Metodą Monte Carlo można obliczyć pole figury zdefiniowanej nierównością:

Czyli koła o promieniu R i środku w punkcie (0,0).

1. Losuje się n punktów z opisanego na tym kole kwadratu - dla koła o R = 1 współrzędne wierzchołków (-1,-1), (-1,1), (1,1), (1,-1).

2. Po wylosowaniu każdego z tych punktów trzeba sprawdzić, czy jego współrzędne spełniają powyższą nierówność (tj. czy punkt należy do koła).

Wynikiem losowania jest informacja, że z n wszystkich prób k było trafionych, zatem pole koła wynosi :

Gdzie P jest polem kwadratu opisanego na kole.

W statystyce matematycznej igła Buffona jest jednym z najpopularniejszych problemów

prawdopodobieństwa geometrycznego. Problem został sformułowany w 1733 przez Georges'a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon, a w 1777 podał on jego

rozwiązanie. Opisany w problemie eksperyment jest statystyczną symulacją pozwalającą oszacować liczbę π. Otrzymana metoda estymacji liczby π

należy do klasy metod Monte Carlo.

Zadanie Buffona o igleFrancuski hrabia Buffon, znany przyrodnik, rysował

równo linie na papierze, potem rzucał igłę i sprawdzał ile razy przecina ona narysowane linie.

Okazało się, że w stosunku liczby przecięć do liczby rzutów też jest zakodowane Pi…

METODA APROKSYMACJI  LICZBY

Aproksymacja to proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym.

Jeśli nieznany jest obwód koła, to w przybliżeniu można go ustalić, obliczając obwód wielokąta wpisanego w okręg i obwód wielokąta opisanego na tym samym okręgu. Obwód koła, równy 2 r, jest zawsze dłuższy niż obwód wielokąta wpisanego, a krótszy niż obwód wielokąta opisanego na tym okręgu

Pierwszym matematykiem, który tę metodę z powodzeniem praktykował, był Archimedes. Do swoich obliczeń wykorzystał on wielokąt o 96 bokach i uzyskał w ten sposób przybliżenie sięgające  dwóch miejsc po przecinku – = 3,14.

Jeszcze dokładniejszy wynik osiągnął chiński matematyk Liu Hui w III w. n.e. Z prawdziwie chińską cierpliwością rozpoczął on od wpisywania w okrąg wielokąta o 192 bokach, aż doszedł do wpisywania wielokąta o 3072 bokach i otrzymał wartość liczby = 3,14159.

Liu Hui

WZORY Z ZASTOSOWANIEM LICZBY

Długość okręgu:l = 2r

r = promień

Pole koła:

P = r2

r = promień

Długość łuku:

Pole wycinka kołowego:

rŁ 2360

2

360rP

WZORY Z ZASTOSOWANIEM LICZBY Objętość kuli:

r = promień

Pole elipsy:

a = ½ długości osi wielkiej

b = ½ długości osi małej

• Pole powierzchni kuli:

• Obwód elipsy:

• a = ½ długości osi wielkiej• b = ½ długości osi małej

3

34 rV

abP

abbaO

23

24 rP

DŁUGOŚĆ OKRĘGU – PRZYKŁAD

r

Policzmy długość okręgu dla r = 3

jll

rl

84,18632

2

POLE KOŁA – PRZYKŁAD

r

Liczymy pole koła dla r = 3

2

2

2

26,289

3

jP

P

rP

POLE WYCINKA KOŁOWEGO – PRZYKŁAD

r

Liczymy pole wycinka kołowego dla r = 3 i α = 90o

2

2

2

71,4412

941

336090360

jP

P

P

rP

OBJĘTOŚĆ KULI – PRZYKŁAD

r

Liczymy objętość kuli dla r = 3

3

3

3

04,11336

2734

33434

jV

V

V

rV

POLE POWIERZCHNI KULI – PRZYKŁAD

Liczymy pole kuli dla r = 3

2

2

2

04,11336

04,1133634

4

jP

PP

rP

r

POLE ELIPSY – PRZYKŁAD

b

a

Dla a = 6,25 i b = 4

5,7825425,6

PP

abP

Wykorzystanie liczby Pi

WalecWalec ma dwie podstawy, które są kołami.

Powierzchnia boczna walca „po rozwinięciu” jestprostokątem

Wysokością walca jest każdy odcinek o końcach należących do obu podstaw i równoległy do odcinka łączącego środki podstaw.

STOŻKI

Oto stożek i jego siatka.

Objętość stożka wynosiV= 1/3 ShS - pole powierzchni podstawy stożkaH - wysokość stożka

KULE

Kulą nazywamy bryłę powstałą z obrotu półkola dokoła prostej zawierającej jego średnicę.

 P = 4πr2 - pole powierzchni kuligdzie:πr2 - pole koła wielkiego Pkw (największego przekroju kuli)r - promień kuli i koła wielkiegoMożesz zapamiętać, że powierzchnia kuli jest równa powierzchni czterech kół wielkich:P = 4Pkw = 4πr2   V = 4/3πr3 - objętość kuli

ROZWIĄZYWALIŚMY ZADANIA:

ZADANIE 1Do garnka o średnicy 24 cm i wysokości 12 cm wody. Oblicz, ile litrów wody nalano do garnka.

r = 12cm h = 12 cm V = ∏ r ² * hV = 144 ∏ cm ³V ~ 452,16cm ³452,16 cm ³ ~ 4,5 l Do garna nalano około 4,5 litra wody.

ZADANIE 2Zakończenie wieży jest stożkiem o promieniu podstawy r = 3,5 m i tworzącej l = 6m. Ile metrów kwadratowych należy kupić na pokrycie zakończenia wieży, jeżeli na skrawki i spojenia trzeba doliczyć 10%?

Pc = Pp + Pb Pp = π r ² Pb = π * r * l

Pp = 12,25 ∏ ~ 38,45 cm ² Pb = 21 ∏ ~ 65,95 Pc = 38,45 + 65, 95 Pc ~ 104,4 + 10 % pc ~ 114,84 m ² Na pokrycie zakończenia wieży należy kupić około 114,84m

².

ZADANIE 3Mama upiekła dwa ciasta: tort w kształcie walca o średnicy 30 cm i wysokości 6 cm oraz babkę w kształcie półkuli o promieniu 12 cm . Z obu ciast wykroiła kawałki równe ich 1/12. Czy otrzymane w ten sposób porcje ciasta mają równe objętości?

Tort: Babka:

V = π r ² * h V= 4/3 π r ³

V = 225 π ~ 706,5 cm ³ V= 4/3 1728 π

V~ 4239 cm ³ V~ 4/3 5425,92 cm ³

1/12 = 353,25 cm ³ V~ 7234,56 cm ³ / 2

V ~ 3617,28 cm ³

1/12 = 301,44 cm ³

Otrzymane porcje ciasta nie mają równych objętości.

ZADANIE 4Namiot indiański (wigwam) ma kształt stożka o średnicy podstawy 8 m i wysokości o 25% krótszej od promienia. Ile metrów sześciennych powietrza znajduje się w namiocie (wynik zaokrąglij do 0,1 m ³) ?

V = 1/3Pp * h Pp = π r ² Pp = 16 π Pp = 50,24 m ² V = 16,7 * 3 V = 50,1 m ³ W namiocie znajduje się 50,1 m ³ powietrza.

ZADANIE 5Ile kul o promieniu 5 cm można pomalować 3 litrami farby, jeśli wiadomo, że 1 litr tej farby wystarcza na pomalowanie 9m ² powierzchni?

Pc= 4 π r ²r= 5cm= 0,05 mr2=0,25mPc= 4*0,25*3,14Pc=3,14m2

Pc kuli to 3,14m2

27 / 3,14= 8,599Trzema litrami farby można pomalować 8 kul.

Dokonywaliśmy również pomiarów brył przestrzennych i obliczaliśmy ich pola powierzchni i objętości.

Wykonujemy doświadczenie zmierzającego do

empirycznego wyznaczenia przybliżonej wartości Pi. Mierzymy średnice płyty kompaktowej, talerza i

obudowę od wentylatora.

ALGORYTMY

Dzięki programowi „Eli” stworzyliśmy algorytm, który obliczał pole i obwód koła.

BIBLIOGRAFIA

http://pl.wikipedia.org/wiki/Pi

http://www.math.edu.pl/liczba-pi

http://www.serwis-matematyczny.pl/static/st_liczby_pi.php

http://swietopi.pl/

http://pl.wikipedia.org/wiki/Pi

http://www.racjonalista.pl/

http://www.matematyka.wroc.pl

POZDRAWIAMY !!!!!!