Paradoksy w matematyce

Natalia Pawłowska kl. II cKinga Zawora kl. II b

Co to jest paradoks?

• Jest to twierdzenie niezgodne z powszechnie przyjętym mniemaniem, rozumowanie, którego elementy są pozornie oczywiste, ale wskutek zawartego w nim błędu logicznego lub nieostrości wyrażeń prowadzące do wniosków sprzecznych ze sobą lub z uprzednio przyjętymi założeniami.

A przynajmniej tak podpowiedziała nam Encyklopedia…

Spis Treści

Wyznaczanie średniej prędkości

• PRĘDKOŚĆ ŚREDNIA jest to iloraz całkowitej drogi jaką przejechał dany obiekt podczas całego czasu trwania jego ruchu.

• Wartość całkowitą prędkości obliczamy ze wzoru

v=s/twięc na początku obliczamy wartość konkretnych szybkości,

a następnie sumujemy je i dzielimy przez ich ilość. Jednym słowem jest to nic innego, jak tylko średnia

arytmetyczna, którą chyba każdy z Was potrafi obliczać.

Spis Treści

Paradoks zagubionej złotówki

• Myślę, że każdy z Was chociaż raz (nawet przypadkowo) napotkał zadanie typu:

3 osoby postanowiły złożyć się na pizze za 30 złoty. Każda osoba dała po 10 złoty. Gdy już ją zakupili i wyszli z pizzerii sprzedawcy przypomniało się o obniżce ceny, był uczciwym człowiekiem więc

postanowił oddać im 5 złoty reszty nie wiedział jednak jak podzielić 5 złoty na 3 osoby więc postanowił dać im po 1 zł a sobie wziąć 2 zł.

Wychodzi na to że każda z osób zapłacił 9 złoty. 9 ∙ 3 = 27 + 2 zł które wziął sprzedawca = 29 zł. Co się stało ze

złotówką?

Nie zastanawiało Was, o co w tym tak naprawdę chodzi?

Spis Treści

Spis Treści

NIC PROSTSZEGO!

Jest to po prostu błąd w zapisie. Prawidłowo powinno to wyglądać w taki sposób:(9 ∙ 3) – 2 + 5 = 27 – 2 + 5 = 25 + 5 = 30 (zł)

Dlaczego? Nie można dodać do całości 2 zł, skoro wcale ich nie dostaliśmy. Jeżeli ubyło nam dwóch złotych to należy je odjąć od całości. Kiedy to zrobimy otrzymujemy 25 zł. Następnie trzeba dodać te 5 zł, które udało nam się teoretycznie „zaoszczędzić” na promocji.

Paradoksy logiczne

• Na czym polegają?

Paradoks kłamcy – pewien człowiek twierdzi: "ja teraz kłamię". Jeśli zadamy sobie pytanie, czy jest on kłamcą czy też twierdzi prawdę dojdziemy niechybnie do sprzeczności. Jeśli kłamie, to stwierdzając "ja teraz kłamię" wypowiada prawdę, a więc nie jest kłamcą. Jeśli natomiast twierdzi prawdę, to znaczy, że kłamie, bo to oznacza wypowiadane przez niego zdanie.

Paradoks golibrody – W pewnym mieście jest golibroda, który goli tych, którzy nie golą się sami. Czy golibroda powinien się sam ogolić?

Paradoks Arystotelesa – „Dlaczego woda, która jest niezbędna do życia jest tania, podczas gdy diamenty są bardzo drogie, choć można się bez nich obejść?".

Spis Treści

• Jakie jest rozwiązanie?

Paradoks kłamcy – rozwiązanie jest dość brutalne i może być dość irracjonalny dla większości ludzi. O co chodzi? Po prostu stwierdza się, że zdania nie powinny wypowiadać się same o sobie. Tego rodzaju wnioskowanie jest nieuprawnione. Prawdziwość zdań (także teorii) jest określana „z zewnątrz", przez „metajęzyk", metateorię.

Paradoks Golibrody – W gruncie rzeczy jest to uproszczona wersja paradoksu Cantora, pokazującego, że nie może istnieć zbiór wszystkich zbiorów.

Paradoks Arystotelesa – Diament jest czymś bardzo rzadko spotykanym na Ziemi w porównaniu do wody, której jest naprawdę dużo. Ludzie już tak mają, że jeśli mają czegoś pod dostatkiem nawet jak jest to niezbędne do życia to od razu traci to dla nich na wartości.

Spis Treści

• David Hilbert -  niemiecki matematyk; zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej.

• Paradoks Hilberta – paradoks opisany przez Davida Hilberta w celu ilustracji trudności w intuicyjnym rozumieniu pojęcia „ilości” elementów zbioru z nieskończoną liczbą elementów. Paradoks ten znany jest też pod nazwą paradoksu Grand Hotelu lub paradoksu hotelu Hilberta.

Hotel Hilberta

Spis Treści

• Wyobraźmy sobie, że jesteśmy portierem w Grand Hotelu, w którym jest nieskończona liczba pokoi. Wszystkie pokoje są już zajęte, gdy przychodzi do nas kolejny klient chcący wynająć pokój. Wydawałoby się, że sytuacja jest bez wyjścia i musimy klienta odprawić z kwitkiem. Na szczęście nasz hotel ma nieskończoną liczbę pokoi więc możemy wykonać sprytny trik:

Klienta z pokoju numer 1 przekwaterujemy do pokoju nr 2, tego z pokoju nr 2 do pokoju nr 3 itd. Ogólnie można powiedzieć że dokonujemy przekwaterowania klientów z pokojów n do pokojów n+1. W ten sposób wszyscy nasi wcześniejsi klienci mają gdzie mieszkać, a my mamy wolny pokój nr 1, do którego możemy zakwaterować naszego nowego gościa. Tak więc mimo że hotel był pełen, znalazło się miejsce dla nowego klienta...

Spis Treści

• W tej prezentacji zajmiemy się tylko jednym paradoksem opracowanym przez Zenona z Elei – ciekawscy zawsze mogą zajrzeć na google i poszukać więcej informacji ;)

• Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala oddalić się żółwiowi o ½ całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do ½ dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do ¾ dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie ¾ dystansu, żółw znowu mu „ucieknie” pokonując 7/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej w nieskończoność.

Wniosek: Achilles nigdy nie dogoni żółwia, mimo że biegnie od niego dwa razy szybciej, gdyż zawsze będzie dzieliła ich zmniejszająca się odległość.

Achilles i żółw

Spis Treści

Spis Treści

• Twórcą tego paradoksu jest Albert Einstein – chyba wszystkim znany niemiecki fizyk, który stworzył teorię względności. Chyba większość kojarzy wzór

E=mc² • Treść tego paradoksu:

„Jeśli ktoś podczas podróży w czasie wstecz zabije własnego dziadka przed poczęciem swojego ojca, to ten ktoś się nie narodzi i nie odbędzie podróży w czasie i nie zabije własnego dziadka, więc się narodzi i zabije własnego dziadka” i tak w nieskończoność.

Paradoks dziadka

Spis Treści

Dziękujemy za uwagę