Modelowanie matematyczne dr hab. rapata W Zasady...

Modelowanie matematyczne dr hab. inż. Zbigniew Tarapata Wykład nr 1: Zasady modelowania matematycznego

1

MODELOWANIE MATEMATYCZNE

proces, którego rezultatem, w wyniku przeprowadzenia pewnych

badań poznawczych, jest model matematyczny ustalonego obiektu

rzeczywistego, uwzględniający problem z nim związany i cele

modelowania.

BADANIA POZNAWCZE (działania poznawcze) są

postępowaniem charakterystycznym dla analizy systemowej oraz

badań operacyjnych, i obejmują:

obserwację obiektu rzeczywistego,

konceptualizację (wybór istotnych cech obiektu),

idealizację (określenie związków między głównymi z istotnych

cech obiektu),

konkretyzację (określenie związku między istotnymi cechami

obiektu rozszerzonymi o cechy uboczne),

weryfikację (logiczne i empiryczne sprawdzenie związków

między istotnymi cechami obiektu),

preparację (podjęcie działań praktycznych prowadzących do

zaspokojenia konkretnych potrzeb społecznych).

MODEL

a) „taki dający się pomyśleć lub materialnie zrealizować układ,

który odzwierciedlając lub odtwarzając przedmiot badania,

zdolny jest go zastępować tak, że jego badanie dostarcza nam

nowej informacji o tym przedmiocie” (W. Staff w

„Modelowanie i filozofia”)

b) „reprezentacja badanego zjawiska w postaci innej niż postać, w

jakiej występuje ono w rzeczywistości” (W. Findeisen i J.

Gutenbaum w „Analiza systemowa”)


2

OBIEKT RZECZYWISTY -

fragment rzeczywistości, którym zainteresowany jest człowiek w

konkretnej sytuacji.

BADANIA OPERACYJNE –

„badanie procesów zamierzonych (operacji) i wypracowanie,

opierając się na metodach matematycznych, wniosków i zaleceń

umożliwiających podejmowanie optymalnych decyzji dotyczących

organizacji i kierowania tymi procesami...: („Leksykon wiedzy

wojskowej”)

ANALIZA SYSTEMOWA –

„formalne i jawne badanie wspomagające działanie osób

odpowiedzialnych za decyzje lub linię postępowania w określonej

sytuacji charakteryzującej się niepewnością, polegające na

rozpoznaniu i rozważeniu dostępnych wariantów oraz

porównaniu ich przewidywanych następstw.”

ETAPY BADANIA OPERACYJNEGO:

1. określenie obiektu rzeczywistego i sformułowanie problemu z

nim związanego,

2. określenie potrzeby modelowania formalnego

(matematycznego) i konkretyzacja celu modelowania,

3. budowa modelu formalnego uwzględniającego cel modelu,

4. formułowanie zadań (np. optymalizacyjnych) w języku modelu,

5. rozwiązywanie sformułowanych zadań,

6. analiza otrzymanych rozwiązań lub badanie modelu,

7. opracowanie projektu oddziaływania na obiekt rzeczywisty i

ewentualny udział w jego wdrażaniu.

1 2 3 4 5 6

78

poprawki

obiekt

potrzeba

i cel

modelowania model zadanie rozwiązanie analiza

oddziaływanie


3


4

KONSTRUOWANIE MODELU MATEMATYCZNEGO

(POSTAĆ UPROSZCZONA)

M – liczba cech obiektu

xm – symbol zmiennej, Mm ,1

Xm – zbiór możliwych wartości zmiennej m;

Zbiór cech (zmiennych)

MM11 X,x,,X,xX

Opis związków

I – liczba związków;

Si – symbol związku, Ii ,1 ;

i

iPi2

i1 mmmi x,,x,x X - zbiór określający, które cechy

występują w i – tym związku;

i

iPii mmmi XXXR ...21

- relacja opisująca i – ty związek;

III RSRSR ,,,,,, 111 XX

MODEL MATEMATYCZNY

postać modelu użyteczna przy analizie adekwatności modelu do

rzeczywistości

RXA

11~

:f

A~

- zbiór nazw cech i związków;

postać modelu użyteczna do analizy poprawności wewnętrznej

modelu

RX

,


5

POSTULATY POPRAWNOŚCI MODELU

istotność cech

istotność związków

spójność modelu

niesprzeczność modelu

x > y, y > z, z > x

cecha nieistotna

- cechy

- związki

- związek zawiera się w

związku więc jest nieistotny

model

niespójny

model

spójny

?!!!


6

PRZYKŁAD: prosty model ruchu pojazdu

Chcemy formalnie opisać prosty model ruchu pojazdu. Z

fizyki elementarnej wiemy, że przebyta przez pojazd (1) droga jest

wprost proporcjonalna do prędkości pojazdu i czasu jaki z tą

prędkością się poruszał (przy założeniu ruchu jednostajnego). Z

kolei (2) przyspieszenie pojazdu jest wprost proporcjonalne do

prędkości z jaką się pojazd poruszał i odwrotnie proporcjonalne

do czasu.

Mamy więc następujące cechy modelu:

symbol zbiór wartości

1. droga przebyta przez pojazd s 0R

2. prędkość pojazdu v 0R

3. przyspieszenie pojazdu a 0R

4. czas ruchu t R

Mamy:

Rt,,0Ra,,0Rv,,0Rs,X

Związki modelu wyszczególnione są w opisie werbalnym.

oraz:

(1)

zxy:R0Rzy,x,R

ts,v,

2

1

1

X

(2)

z

yx:R0Rzy,x,

tv,a,

2

2

2

R

X

Stąd:

2211 ,2,_z,,1,_z RXRXR

gdzie:

z_1– symbol związku (1), z_2–symbol związku (2).


7

KLASYFIKACJA MODELI MATEMATYCZNYCH

Zbiór cech

X możemy rozbić na trzy podzbiory cech:

IIIIII XXXX

IIIIIIIIXXXX

IIInz

IIIroz

IIIlos

IIIdec

IIIXXXXX

model BADAWCZY (bez decyzji)

IIIdec

IXX

• deterministyczny: III III III

los roz nz X X X

• probabilistyczny: IIIlosXXX

IIInz

IIIroz

• rozmyty: IIIroz

IIInz

IIIlos XXX

• w warunkach nieokreśloności: IIInz

IIIroz

IIIlos XXX

• mieszany

model STRATEGICZNY (co najmniej dwie strony podejmują decyzje)

IIIdec

IXX

• deterministyczny, probabilistyczny, rozmyty, w warunkach

nieokreśloności, mieszany (j/w)

model OPTYMALIZACYJNY (jedna strona podejmuje decyzje)

IIIdec

IXX

• deterministyczny, probabilistyczny, rozmyty, w warunkach

nieokreśloności, mieszany (j/w)

Decydent ma wpływ Decydent zna wartości Decydent nie zna wart.

Wpływają inni

decydenci

Zmienne losowe

o znanych

rozkładach

Zmienne rozmyte

o znanej

„rozmytości”

Zmienne

nieznane


8

MODEL OPTYMALIZACYJNY można zapisać jako:

RXXXXX

;; III

nz

III

roz

III

los

III

inne I

wsk

I

dec XX Xdane – zbiór danych

MODEL OPTYMALIZACYJNY W POSTACI DOGODNEJ

DO SFORMUŁOWANIA ZADANIA OPTYMALIZACYJNEGO

A

AA WA

aaax

aa Exaayxa ,,,,,,,

gdzie:

a, x, y – listy: danych, zmiennych decyzyjnych i wskaźników;

A Ø – zbiór dopuszczalnych zestawów wartości danych;

(a) – zbiór dopuszczalnych zestawów wartości zmiennych

decyzyjnych przy zestawie wartości danych aA;

W(a,x) – zbiór możliwych zestawów wartości wskaźników przy

zestawie wartości zmiennych decyzyjnych x (a), aA;

Ea – funkcja logiczna opisująca osiągnięcie celu głównego:

0

1

1,0:

yE

aE

a

a Y

gdzie:

axxaya :,WY

- jeżeli przy możliwym zestawie wartości

wskaźników y cel został osiągnięty;

- w przeciwnym przypadku.

Zbiór

zmiennych

decyzyjnych

Zbiór wskaźników

(stopnia osiągnięcia celu)


9

SFORMUŁOWANIE ZADANIA OPTYMALIZACYJNEGO

Dla danych

aA

wyznaczyć

x*(a)

tak, aby

1yEa

*xa,y

W

PRZYKŁAD: model optymalizacyjny + zadanie optymalizacji

Niech

a = a1, a2

A = a1, a2 R R : a1 = 1 a2 = 2

Ω(a) = x R : a1 x a2=x R : 1 x 2

W(a,x) = y R : y=-x2+3

21:3:, 2 xxyaxxaya WY

321

1 2xx

yyEa max

-1 1 2 3 4 5x

-1

1

2

3

4

5

f <x>

3- x^2

y(x*)

x*

Ω(a)

Rozwiązanie zadania

optymalizacyjnego dla

powyższego modelu jest

równe x*=1 a wartość funkcji y

dla x* jest równa y(x*)=2.

Gdyby pominąć warunek

x*Ω(a) wówczas

rozwiązaniem byłoby x*=0 i

odpowiadające mu y(x*)=3, ale

wówczas

zaproponowalibyśmy

podjęcie decyzji

niedopuszczalnej

(bo x = 0 Ω(a))!!!!!


10

Zadanie optymalizacyjne sformułowane poprzednio (w ramce)

jest postacią ogólną formułowania zadania optymalizacyjnego.

Najczęściej mamy do czynienia z sytuacją, gdy:

zbiór W(a,x) dla wszystkich aA i x(a) jest

jednoelementowy, a jego elementem jest liczba y;

cel główny zostanie osiągnięty, gdy decyzji odpowiadać

będzie ekstremalna wartość wskaźnika.

W takich przypadkach zadanie optymalizacyjne formułujemy

następująco:

Dla danych:

a A

wyznaczyć:

x*Ω(a) (lub krócej x*Ω)

tak, aby:

xafax

xaf ,, *

extr

gdzie:

*, xaf = (tu występuje określenie

funkcji f, tzw. funkcji celu).

symbol extr oznacza jeden z symboli: sup, inf,

min, max

PRZYKŁAD: (nawiązanie do przykładu poprzedniego)

Zadanie optymalizacyjne dla przykładu poprzedniego

możemy sformułować następująco:

dla danych:

a = a1, a2 A

wyznaczyć:

x*Ω(a) = 1,2

tak, aby:

xafxafax

,,2,1

*

max

gdzie 3, 2 xxaf .


11

PRZYKŁAD MODELU MATEMATYCZNEGO

DLA PROBLEMU PRAKTYCZNEGO

1) Werbalny opis problemu

Pewien zakład produkuje dwa typy wyrobów: typ A i typ B. Na

wyprodukowanie wyrobu typu A potrzeba mA jednostek materiału a

na wyprodukowanie wyrobu typu B potrzeba mB jednostek materiału.

Zakład ma w magazynie M jednostek materiału. Czas potrzebny na

wyprodukowanie wyrobu typu A oszacowano na tA jednostek czasu a

wyrobu typu B - na tB jednostek czasu. Łączny czas jaki zakład może

przeznaczyć na produkcję wynosi T jednostek czasu. Dział

marketingu oszacował również, że popyt na wyrób typu A wyniesie

nie więcej niż pA jednostek natomiast na wyrób typu B - nie mniej niż

pB jednostek. Cenę jednostkową sprzedaży dla wyrobu A oszacowano

na cA natomiast jednostki wyrobu B - na cB. Ponadto koszty produkcji

jednostki wyrobu typu A wynoszą kA natomiast jednostki wyrobu typu

B - kB.

Zbudować model matematyczny do rozpatrywanego zagadnienia oraz

sformułować na jego podstawie zadanie optymalizacyjne wyznaczenia

ilości produkowanych wyrobów obu typów tak, aby przewidywany

zysk zakładu był jak największy.

2) Cechy wyodrębnione w modelu mA - ilość materiału potrzebna na wyprodukowanie wyrobu typu A;

mB - ilość materiału potrzebna na wyprodukowanie wyrobu typu B;

M - zapas materiału znajdujący się w magazynach zakładu;

tA - ilość czasu potrzebna na wyprodukowanie wyrobu typu A;

tB - ilość czasu potrzebna na wyprodukowanie wyrobu typu B;

T - ilość czasu jaką zakład może przeznaczyć na produkcję;

pA - górna granica zapotrzebowania na wyrób typu A;

pB - dolna granica zapotrzebowania na wyrób typu B;

cA - cena sprzedaży wyrobu typu A;

cB - cena sprzedaży wyrobu typu B;

kA - koszt produkcji wyrobu typu A;

kB - koszt produkcji wyrobu typu B; x1 - zmienna decyzyjna liczby produkowanych wyrobów typu A;

x2 - zmienna decyzyjna liczby produkowanych wyrobów typu B;

y - zysk zakładu odpowiadający produkcji określonej ilości

wyrobów typu A i B;


12

3) Zakres zmienności cech

yR - zysk zakładu (ujemny interpretujemy jako straty);

x1, x2N;

mA , mB , M, tA , tB , T , pA , pB , cA , cB , kA , kB R+

4) Wyodrębnienie związków

• mAx1 + mBx2 <= M

łączna ilość materiału potrzebna na wyprodukowanie x1 sztuk wyrobu A

oraz x2 sztuk wyrobu typu B nie może być większa niż zapas materiału M w

magazynie ;

• tAx1 + tBx2 <= T

suma ilości czasu potrzebnego na wyprodukowanie x1 sztuk wyrobu A i x2

sztuk wyrobu B nie może być większa niż łączny zasób czasu T jaki zakład

może przeznaczyć na produkcję (przy założeniu, że w danej chwili może być

produkowany tylko jeden wyrób);

lub

• max tAx1, tBx2 <= T

czas potrzebny na wyprodukowanie x1 sztuk wyrobu A i x2 sztuk

wyrobu B nie może być większy niż łączny zasób czasu T jaki zakład może

przeznaczyć na produkcję (przy założeniu, że oba wyroby mogą być

produkowane jednocześnie);

• x1 <= pA

ilość sztuk wyprodukowanych wyrobów typu A nie może być większa niż

szacowane zapotrzebowanie na nie na rynku pA;

• x2 >= pB

ilość sztuk wyprodukowanych wyrobów typu B nie może być mniejsza

niż szacowane zapotrzebowanie na nie na rynku pB ;

• y = (cA-kA)x1 + (cB-kB)x2

zysk zakładu z wyprodukowania x1 sztuk wyrobu typu A i x2 sztuk

wyrobu typu B;


13

5) Analiza poprawności modelu

a) istotność cech

Każda z wybranych cech występuje w przynajmniej jednym

związku;

b) istotność związków

Żaden związek nie wynika jednoznacznie z innego, dlatego

wszystkie związki są istotne (w praktyce ten postulat jesteśmy w

stanie sprawdzić dopiero wtedy, gdy znamy konkretne wartości

parametrów z listy danych a);

c) spójność modelu

Wszystkie wyróżnione cechy łączą się ze sobą pośrednio lub

bezpośrednio, np. cecha x1 łączy się w sposób bezpośredni z cechami

mA, tA, pA, cA, kA i pośrednio z pozostałymi cechami.

d) niesprzeczność modelu

Nie występują związki, z których analizy można by dojść do

sprzecznych wniosków (w praktyce ten postulat jesteśmy w stanie

sprawdzić dopiero wtedy, gdy znamy konkretne wartości parametrów

z listy danych a).

6) Klasyfikacja cech

Xdane=mA , mB , M, tA , tB , T , pA , pB , cA , cB , kA , kB- dane znane ;

, 21 xxX I

dec - zmienne decyzyjne;

yX I

wsk - wskaźnik;

Lista danych :

k , k , c , c , p , p , T , t, tM, , m , m BABABABABAa

A = 12

BABABABABA k , k , c , c , p , p , T , t, tM, , m , m R


14

Lista zmiennych decyzyjnych :

21, xxx

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych :

B

A

B

B

px

px

Txtxt

MxmxmNNxx

a

2

1

21A

21A21

:,

)(

Wskaźnik (lista wskaźników jest jednoelementowa):

W ),( xa =f(a,x)=yR : y = (cA-kA)x1 + (cB-kB)x2

)(:)()( 21 axxkcxkcya BBAA Y

Funkcja oceny osiągnięcia celu (może być, ale nie musi w tak formułow. zad.)

przypadku przeciwnym w, 0

x)f(a, maxygdy , 1)(ax

a yE

7) Zadanie optymalizacyjne

Dla danego a A

wyznaczyć x* (a)

tak, aby :

f (a,x*) = max f (a,x)

x(a)

gdzie :

f (a,x) = (cA-kA)x1 + (cB-kB)x2


15

PROBLEMY DOTYCZĄCE KONSTRUOWANIA

MODELI OPTYMALIZACYJNYCH

zapewnienie istnienia x* dla każdego a,

zbiór W(a, x) może być wieloelementowy,

element zbioru W(a, x) może nie być liczbą (a np. zmienną

losową, wektorem, zbiorem itp.),

duża złożoność obliczeniowa skonstruowanego zadania

optymalizacyjnego,

inne.

METODY OPISU FUNKCJI OSIĄGNIĘCIA CELU

Założenie:

W(a, x) – jednoelementowy

w W(a, x)

Przypadki możliwych rodzajów w W(a, x):

liczba,

wektor,

zmienna losowa,

zbiór rozmyty,

zbiór liczbowy,

inne.

Przypadek, gdy w W(a, x) jest liczbą:

p.p. w0

maxgdy 1 awwEa

Y


16

Przypadek, gdy w W(a, x) jest wektorem:

I. pełne przedstawienie skutków (tabele porównań),

II. optymalizacja wielokryterialna,

III. funkcja „ważona”,

IV. wartości dopuszczalne,

V. porządek leksykograficzny (nadawanie kryteriom

priorytetów),

VI. synteza logiczna,

VII. uogólniona synteza logiczna.

Ad. II. (optymalizacja wielokryterialna)

Stosowanie tzw. rozwiązań dominujących, niezdominowanych i

kompromisowych.

Zadanie: Zadanie:

oraz

y

y

1max

2max

oraz

y

y

1max

2max

Y

y1

y2

y* (punkt idealny)A

B

Y

y1

y2

y* (wynik dominuj ¹cy)

Yy *

AB -zbiór wyników

niezdominowanych, bo

BAyyy

yzn

nnYz

,,

,2,1

:~

21

Yyyy *

2

*

1

* , - wynik

dominujący

bo nn zynYz

*

2,1


17

Ad. III. (funkcja „ważona”,)

S

j

jjWw1

gdzie:

Wj – j – ta składowa wektora W;

λj – „waga” j – tej składowej wektora W;

S – liczba składowych wektora W;

Ad. IV. (kryterium wartości dopuszczalnych)

p.p. w0

,1,gdy 1 0 SjWWw

jj

gdzie: 0

jW - pewna ustalona krytyczna wartość j – tej

składowej wektora W.

Ad. V. (porządek leksykograficzny)

W przypadku zadania:

oraz

y

y

1max

2max

y* jest rozwiązaniem zadania przy

kolejności priorytetów dla kryteriów

„najpierw y1, później y2”;

y** jest rozwiązaniem zadania przy

kolejności priorytetów dla kryteriów

„najpierw y2, później y1”;

Ad. VI. (synteza logiczna)

a)

S

j

jWw1

c) w=1-Wj

b)

S

j

jWw1

11 d) mieszane

Y

y1

y2

y**

y*


18

Ad. VII. (uogólniona synteza logiczna)

jj WSj

w

,1

min

jj WSj

w

,1

max

jWw

mieszane


19

Przypadek, gdy w W(a, x) jest zmienną losową:

wartość oczekiwana

p.p. w0

gdy 1 WEaW

WE

WEaY

max

W1

f1(x)

f2(x)

0

W2

E1

E2

Wykres gęstości rozkładu prawdopodobieństwa dla dwóch

zmiennych losowych W1 i W2

Zgodnie z kryterium maksymalizacji wartości oczekiwanej

wybierzemy zmienną losową W1, bo jej wartość oczekiwana E1

jest większa niż wartość oczekiwana E2 dla W2, ale:

• z prawdopodobieństwem 0 zmienna losowa W1 przyjmuje

wartość z dość dużego otoczenia swojej wartości oczekiwanej

E1;

• efekty decyzji z jednakowym prawdopodobieństwem będą

albo bardzo korzystne albo bardzo niekorzystne dla W1;


20

kwantyle (Pr W < wp = p)

p.p. w0

maxgdy 1 pp

a

waW

W

WE Y

wariancja

0

gdy 1 22 WDaW

WD

EaY

min

inne charakterystyki (np. synteza wartości oczekiwanej

i wariancji)


21

Przypadek, gdy w W(a, x) jest zbiorem rozmytym:

Podejście wg Bellmana, Zadeha

aa Y A

, , – nierozmyte zbiory wartości danych, zmiennych

decyzyjnych i wskaźników;

aa Y, – rozmyte zbiory wartości zmiennych decyzyjnych i

wskaźników;

Mechanizm realizacji decyzji nierozmytej:

aaha Y

;

Wskaźnik liczbowy (funkcja przynależności do przecięcia zbiorów

rozmytych zmiennych decyzyjnych i wskaźników):

xhfxgx aa

axo

,minmax*)(

max

gdzie: ga, fa - funkcje przynależności elementów do zbiorów Ω(a), Y(a).

PRZYKŁAD:

Spośród mało licznych grup pracowników chcemy wybrać grupę

dużej wydajności.

Nr grupy 1 2 3 4

Liczność 1 3 2 5 Wydajność ha 30 15 12 7

Przypadek, gdy W W(a, x) jest

zbiorem liczbowym:

x 1 2 3 4

ga (x) 1 9/10 1 1/7

ha (x) 30 15 12 7

fa (ha (x)) 1/3 1/8 0 0

μ(x) 1/3 1/8 0 0

30,15,12,7,4,3,2,1 aa Y

Niech zbiór rozmyty „małych

liczności grup” ma postać:

7

1/5,

2

1/4,

10

9/3,1/2,1/1

a zbiór rozmyty „dużych wydajności”:

1 17 / 0,12 / 0,15 / , 30 /

8 3

.

Stąd rozmyty zbiór dopuszczalnych

decyzji jest następujący:

7

1/4,1/3,

10

9/2,1/1

max = 1/3. Odpowiada to decyzji nr 1


22

Przypadek, gdy w W(a, x) jest zbiorem liczbowym:

kryterium pesymisty (Walda):

p.p. w0

,gdy 1 xaW

WEax

a

minmax

sytuacja

decyzja zapyta

nie

zapyta

1. uczyć się 10 -10

2. nie uczyć

się -5 0

kryterium optymisty:

p.p. w0

,maxmaxmaxgdy 1 xaW

ax

W

WEa

Decyzja:

uczyć się, bo:

max max10, -10 , max-5, 0 = max 10, 0 = 10

odpowiada decyzji nr 1

kryterium Hurwicza:

α – współczynnik optymizmu

p.p. w0

,min1,maxmax

min1maxgdy 1

xaWxaWax

WW

WEa

Można pokazać, że dla danych z powyższej tabeli:

nie uczyć się < 3

1qr < uczyć się

Decyzja:

nie uczyć się bo:

max min10,-10; min-5,0 =

= max-10, -5= -5

odpowiada

decyzji nr 2


23

kryterium żalu (Savage’a)

Rozumowanie decydenta:

Gdybym znał b, to podjąłbym decyzję x*, taką że:

baxwax

baxw ,,,,*

max

ale ponieważ nie znałem b i podjąłem decyzję x, więc mój „żal”

z tego powodu wynosi:

baxwbaxwbaxsw ,,,,,, *

Dla ws stosuje się kryterium pesymisty.

10

0

-10

10

-5

15

0

0

wskaźnik

decyzja

dane sytuacja

w ( x, a, b )

Ponieważ interesuje nas to, aby żal był

jak najmniejszy, więc naszą decyzją

będzie decyzja nr 1, tzn. uczyć się, bo

max 0, 10 < max 15, 0.


24

PRZYKŁAD

Podejmujemy decyzję, czy iść do kina, teatru, czy muzeum.

Możemy trafić na dobry film lub spektakl, albo też słaby. Nie

wiemy tylko, czy muzeum jest otwarte.

„Żal” odpowiadający powyższym sytuacjom przedstawiają

tabelki:

Muzeum zamknięte Muzeum otwarte

dobry słaby dobry słaby

Film 20 4 Film 20 4

Spektakl 13 10 Spektakl 13 10

Wystawa 0 0 Wystawa 12 12

max 20 10 max 20 12

max Jeżeli muzeum jest zamknięte,

to idziemy do kina, w p.p. – do

teatru ?!!!!

max

0 6 6 0 8 8

7 0 7 7 2 7

20 10 20 8 0 8


25

MODELE SYMULACYJNE

„pozwalają na drodze opisów matematycznych „naśladować”

zachowanie się obiektu obserwowanego z punktu widzenia

określonego problemu”

są to modele badawcze z czasem, w którym zbiór zmiennych X

(tzw. opisowych) dzieli się na 3 rozłączne podzbiory:

• zmiennych wejściowych (ich wartości są ustalone niezależnie

od zachowania się obiektu rzeczywistego); Xwe;

• zmiennych stanu (ich wartości opisują wybrane cechy obiektu

zmieniające się w czasie); Xst, Xwy;

• podzbiór jednoelementowy opisujący czas:

stwystwe

stwe Tt,

XXXX

XXX

Zbiory dopuszczalnych zestawów wartości, odpowiednio:

zmiennych wejściowych weX , zmiennych stanu stX oraz

zmiennych wyjściowych wyX , mogą być funkcjami czasu

określonymi w zbiorze R

.

W modelach symulacyjnych definiuje się dwie funkcje:

• przejścia stanu δ,

• wyjściową λ.

TTT stWest XXX:

Wartość δ(x, y, t, h) jest zestawem wartości zmiennych stanu

chwili t+h.

TT wywest XXX:

Wartość λ(x, y, t) jest zestawem wartości zmiennych wyjściowych

w chwili t.

Modelowanie matematyczne dr hab. rapata W Zasady...

Documents

Transcript of Modelowanie matematyczne dr hab. rapata W Zasady...