MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2016 nr 58, ISSN 1896-771X

44

MODELOWANIE KINEMATYKI PROSTEJ I ODWROTNEJ ŻURAWIA SAMOCHODOWEGO O STRUKTURZE REDUNDANTNEJ Z WYKORZYSTANIEM ŚRODOWISKA MATLAB

Paweł Herbin1a,, Mirosław Pajor1b

1Instytut Technologii Mechanicznej, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie apawel.herbin@zut.edu.pl, bmiroslaw.pajor@zut.edu.pl

Streszczenie Sterowanie żurawiem samochodowym polega na zadawaniu ruchu w poszczególnych parach kinematycznych

konstrukcji nośnej (w tzw. współrzędnych konfiguracyjnych lub napędowych), co wymaga dużej wprawy i do-

świadczenia operatora, ponieważ zadane przemieszczenie w wybranej parze kinematycznej powoduje zwykle złożo-

ny przestrzenny ruch końcówki roboczej dźwigu. Budowa modelu kinematyki prostej oraz odwrotnej umożliwia

opracowanie algorytmów sterowania żurawiem samochodowym w sposób znacznie bardziej intuicyjny. Opracowa-

ne modele można zastosować do sterowania żurawiem we współrzędnych kartezjańskich bądź cylindrycznych. Ma-

nipulacja ładunkiem w przestrzeni kartezjańskiej lub cylindrycznej dla operatora jest znacznie łatwiejsza, jednakże

wymaga jednoczesnego zadawania ruchu w kilku parach kinematycznych. Z uwagi na występowanie redundant-

nych stopni swobody konieczne jest zastosowanie algorytmów tymczasowego ograniczenia ruchu określonych par

kinematycznych. Blokowanie określonych stopni swobody zapewnia jednoznaczność rozwiązania zagadnienia od-

wrotnego kinematyki, a tym samym efektywne sterowanie dźwigiem. Omawiane modele matematyczne oraz bada-

nia symulacyjne opracowanych algorytmów sterowania żurawiem zaimplementowano i zrealizowano w środowisku

Matlab Simulink.

Słowa kluczowe: robot, żuraw przeładunkowy, kinematyka

MODELING DIRECT AND INVERSE KINEMATICS OF LOADING CRANE WITH REDUNDANT DEGREES OF FREEDOM STRUCTURE USING MATLAB

Summary Control of hydraulic car crane consist on inflicting motion of each kinematic pair supporting structure (configura-

tion coordinates or driving coordinates), which requires a lot of the operator’s practice and experience, because the

movement of the selected kinematics pair usually results in a complex movement of hydraulic crane’s working

tip. Development of simple kinematic and inverse kinematics allows to elaborate the loading crane’s operating al-

gorithms in a much more intuitive way. Developed models can be used to perform the movement in Cartesian or

cylindrical coordinates. Handling of cargo in Cartesian or cylindrical coordinates is much easier for the operator,

however it requires moving in a number of kinematic pairs. Due to the presence of redundant degrees of freedom

it is necessary to use algorithms temporarily limiting the movement of specified of kinematic pairs. Selective

blocking degrees of freedom provides to unique solution of the inverse kinematics problem, and hence the effective

control of crane. These mathematical models and simulation studies of designed crane control algorithms were im-

plemented and realized in Matlab Simulink.

Keywords: robot, loading crane, kinematics

PAWEŁ HERBIN, MIROSŁAW PAJOR

45

1. WSTĘP

Żurawie przeładunkowe, popularnie nazywane HDS

(hydrauliczny dźwig samochodowy), stanowią dużą

gałąź przemysłu dźwigowego. Bardzo często spotykana

jest integracja pojazdu transportowego z żurawiem

przeładunkowym. Kierowca ciężarówki winien posiadać

stosowne uprawnienia oraz umiejętności obsługi urzą-

dzenia dźwigowego. Sprawne sterowanie samochodowym

żurawiem samochodowym wymaga posiadania dużej

wprawy i doświadczenia operatora. Klasyczny układ

sterowania, który znajduje zastosowanie przy żurawiach

przeładunkowych, to sterowanie za pomocą ruchu po-

szczególnych przegubów ramienia przy użyciu oddziel-

nych manetek (sterowanie we współrzędnych złączo-

wych) [1]. Żurawie przeładunkowe w większości są

strukturami szeregowymi o redundantnej liczbie stopni

swobody [2]. Na rys. 1 przedstawiono przykładowy

żuraw przeładunkowy. Analizowany HDS posiada dzie-

więć stopni swobody, trzy rotacyjne oraz sześć transla-

cyjnych wynikających z zastosowania w konstrukcji

żurawia ramienia teleskopowego. Sterowanie wysuwem

teleskopowego ramienia realizowane jest za pomocą

sprzężonych siłowników. Ruch teleskopowego ramienia

realizowany jest według jednej z trzech strategii:

a. ruch synchroniczny,

b. ruch sekwencyjny,

c. ruch dowolny (losowy).

Rys. 1. Żuraw przeładunkowy Hiab HS 111

Praca według strategii a. polega na wysuwie wszystkich

członów teleskopowych jednocześnie, b. podczas pracy

w danej chwili czasowej wysuwany jest tylko jeden człon

w sekwencyjnej kolejności, c. zależnie od konfiguracji, sił

tarcia wysuwa się losowo wybrany człon. Dla potrzeb

prowadzonych prac rozpatrywano żuraw o układzie

wysuwu sekwencyjnego.

Sterowanie żurawiem przeładunkowym musi uwzględ-

niać konieczność przeniesienia ładunku ponad przeszko-

dą[2][3], m.in. ścianami budynków. Jednym z wielu

problemów spotykanych podczas manipulacji ładunkiem

z wykorzystaniem HDS-ów jest możliwość przekroczenia

strefy bezpiecznej dla manipulacji ładunkiem o danym

ciężarze. Zaprojektowanie systemu zabezpieczeń wymaga

opracowania systemu sterowania umożliwiającego obli-

czenie położenia zawiesia haka względem ciężarówki

[3][4][5]. W niniejszym artykule przedstawiono opis

matematyczny kinematyki prostej oraz sposób rozwiąza-

nia zadania odwrotnego kinematyki. Dla rozpatrywanej

konstrukcji żurawia przeładunkowego zaprezentowano

także wyniki badań symulacyjnych wraz z wizualizacją

opracowaną w programie Matlab.

2. MODEL MATEMATYCZNY ŻURAWIA PRZEŁADUNKOWEGO

2.1 MODEL KINEMATYKI PROSTEJ

ŻURAWIA Model matematyczny kinematyki prostej opracowano

w oparciu o notacje Denavita – Harteneberga [6]. Zbu-

dowano model o dziewięciu stopniach swobody. Na rys.

2 zaprezentowano lokalizację układów współrzędnych

żurawia przeładunkowego w pozycji zerowej.

Rys. 2. Lokalizacja układów współrzędnych według notacji

Denavita-Hartenberga dla żurawia w pozycji zerowej

Dla przedstawionego żurawia zapisano jego parametry

geometryczne zgodnie z notacją D-H (� −długość członu, � −kąt skręcenia członu, � −odsuniecie członu, � −kąt obrotu członu) przedstawione zostały w tabeli 1.

Tabela 1. Parametry Denavita-Hartenberga dla żurawia

Hiab XS 111

� �� (mm)

�� (deg)

�� (mm)

�� (deg)

1 0 0 2089 180

2 263 270 0 180

3 2140 0 -290 270

4 225 0 0 0

5 0 0 0 0

6 0 0 0 0

7 0 0 0 0

8 0 0 0 0

9 0 0 0 0

Na podstawie tabeli 1 opracowano zależność (1) opisują-

cą położenie końcówki żurawia względem jego podstawy:

�� = ∏ ������ (1)

MODELOWANIE KINEMATYKI PROSTEJ I ODWROTNEJ ŻURAWIA SAMOCHODOWEGO (…)

46

gdzie:

��� −macierz przekształceń jednorodnych pomiędzy

poszczególnymi członami.

2.2 MODEL KINEMATYKI

ODWROTNEJ ŻURAWIA

Żuraw przeładunkowy jest układem redundantnym

o dziewięciu stopniach swobody, który można uprościć

do urządzenia o czterech stopniach swobody (zastąpienie

sześciu stopni wysuwnych jednym stopniem swobody

na podstawie zależności 25). Mimo przeprowadzonego

zabiegu redukcji stopni swobody dla manipulatora o

zadanej strukturze kinematycznej nie otrzymuje się

jednoznacznego rozwiązania. Aby otrzymać jednoznacz-

ne rozwiązanie, należy blokować jeden z trzech stopni

swobody (θ�, θ�, ��). Dla żurawia otrzymano trzy modele kinematyki odwrotnej.

a. model 1 – zablokowany wysuw osi 4 (�� = �����), b. model 2 – zablokowany obrót osi 3 (θ� = �����) c. model 3 – zablokowany obrót osi 2 (θ� = const). Wobec każdego z trzech modeli kąt obrotu kolumny

obliczany jest wg następującego wzoru (2):

θ = arctg %&'(−arctg ) *+,&-.'-*+-/, (2)

gdzie:

1, 2 −współrzędne końcówki żurawia, θ −kąt konfiguracyjny 1 członu. Położenie końcówki dźwigu względem punktu A (rys. 2)

opisano równaniami (3÷5):

13 = 1 cos(θ) + 2 sin(θ) + ��, (3) 23 = −1 sin(7) + 2 cos(7) − ��, (4) 93 = 9 − �, (5)

gdzie:

9 −współrzędna końcówki roboczej żurawia. Obliczenie kolejnych wartości współrzędnych konfigura-

cyjnych dotyczące każdego modelu wykonywane jest za

pomocą odrębnego algorytmu. Współrzędne konfigura-

cyjne dla modelu 1 kinematyki (�� = �����) odwrotnej zostały opisane następującymi wzorami (6÷11):

; = <13� + 23�, (6) > = <��� + ���, (7) θ� = �>���� %@A-.B-C+-D-

�C+D (, (8) θ�� = arctg %CF*F(, (9) θ� = θ�� − θ�, (10)

θ� = arctg % D JKL(M+A)C+.D NOJ(M+A)( + �>��P %@QB (, (11) Wyniki symulacji ruchu członów dźwigu podczas prze-

mieszczania końcówki z punktu R(X=3000 mm, 2=2000 mm, 9=500 mm) do punktu R�(X=6000 mm, Y=-2000 mm Z=4000 mm) po linii prostej przedstawio-

no na rysunkach 3÷4.

Rys. 3. Wizualizacja ruchu żurawia przy stałej wartości

wysuwu ��.

Rys. 4. Wartości zmiennych konfiguracyjnych podczas porusza-

nia się z punktu R do R� dla modelu z zablokowanym wysu-

wem osi 4 (�� = �����) Współrzędne konfiguracyjne dla modelu 2 (θ� = �����) kinematyki odwrotnej zostały opisane następującymi

wzorami (12÷19):

; = <13� + 23� + 93�, (12) > = <��� + ���, (13) S = 2�����(θ�), (14) S� = ��� + ��� + 2�������(θ�) − ;, (15) ∆= S� − 4S, (16) �� = UA.√∆� , (17) θ� = θ� + �>��P %− CF*F(, (18) θ� = arctg % D JKL(M+A)C+.D NOJ(M+A)( + �>��P %@QB (, (19)

PAWEŁ HERBIN, MIROSŁAW PAJOR

47

Wyniki symulacji ruchu członów dźwigu podczas prze-

mieszczania końcówki z punktu R do punktu R� po linii prostej przedstawiono na rysunkach 5÷7.

Rys. 5. Wizualizacja ruchu żurawia przy stałej wartości kąta θ�

Rys. 6. Wartości zmiennych konfiguracyjnych podczas porusza-

nia się z punktu R do R� dla modelu z zablokowanym obrotem

osi 3 (θ� = �����)

Rys. 7. Wartości wysuwu ramienia podczas poruszania się

z punktu Rdo R� dla modelu z zablokowanym obrotem osi 3

(θ� = �����) Dla modelu 3 kinematyki (θ� = �����) odwrotnej wy-znaczono położenie punktu B (rys. 2) (20÷22):

1W = 13 − �� cos(θ�), (20) 2W = 23, (21) 9W = 93 − ��sin(θ�), (22) Następnie przystąpiono do wyznaczenia współrzędnych

konfiguracyjnych (23÷24):

�� = <1W� + 2W� + 9W� − ���, (23) θ� = �>��P %CF*F( − θ� − arctg %XYZY(, (24) Wyniki symulacji ruchu członów dźwigu podczas prze-

mieszczania końcówki z punktu R do punktu R� po linii prostej przedstawiono na rysunkach 8÷10.

Rys. 8. Wizualizacja ruchu żurawia przy stałej wartości kąta θ�

Rys. 9. Wartości zmiennych konfiguracyjnych podczas porusza-

nia się z punktu R do R� dla modelu z zablokowanym obrotem

osi 3 (θ� = �����)

Rys. 10. Wartości wysuwu ramienia podczas poruszania się

z punktu R do R� dla modelu z zablokowanym obrotem osi 3

(θ� = �����) Implementacja opisanych modeli kinematyki odwrotnej

umożliwia przyjmowanie różnych wartości współrzędnej

konfiguracyjnej blokowanej. Prowadzi to do możliwości

realizacji określonej trajektorii ruchu na wiele sposobów.

Rys. 11 ilustruje zmiany konfiguracji żurawia dla róż-

MODELOWANIE KINEMATYKI PROSTEJ I ODWROTNEJ ŻURAWIA SAMOCHODOWEGO (…)

48

nych wartości zmiennej konfiguracyjnej, która jest

blokowana w modelu 2. kinematyki odwrotnej.

Rys. 11. Zmiana konfiguracji żurawia podczas zmiany kąta

konfiguracyjnego θ� przy stałej pozycji końcówki 2.3 MODEL WYSUWU RAMIENIA

Model wysuwu ramienia został opisany według konwen-

cji ruchu sekwencyjnego. Wysuw kolejnych elementów

opisano w sposób iteracyjny równaniem (25):

[� = \ 0�]��� ≤ _��� − _��]�_� < �� < _�_� − _��]��� ≥ _�b , � = 1…6, (25)

gdzie:

[� − wysuw i-tego członu, _� − parametry wykorzystane w modelu zaprezentowane w tabeli 2.

Rys. 12. Ilustracja parametrów teleskopowego ramienia

Tabela 1. Parametry ramienia teleskopowego

i de�óg (hh) _� (hh) 0 0 2706 1 1650 4356

2 1900 6256

3 2000 8256

4 1200 9456

5 2100 11556

6 2100 13656

3. ALGORYTM STEROWANIA

Sterowanie żurawiem przeładunkowym za pomocą

współrzędnych kartezjańskich jest zagadnieniem niejed-

noznacznym z uwagi na redundantne stopnie swobody,

aczkolwiek zastosowanie tymczasowego blokowania

jednej ze współrzędnych konfiguracyjnych umożliwia

efektywne sterowanie żurawiem. W zaproponowanym

podejściu, polegającym na wykorzystaniu naprzemiennie

trzech modeli kinematyki odwrotnej żurawia, wybór

modelu kinematyki odwrotnej urządzenia następuje na

podstawie ograniczeń przestrzeni roboczej oraz zakresów

ruchu poszczególnych przegubów. Przełączenie między

trybami pracy może być realizowane automatycznie lub

wymuszane ręcznie. Równocześnie podczas sterowania

położeniem końcówki roboczej XYZ możliwa jest zmiana

położenia zablokowanego przegubu. Uzyskuje się zatem

możliwość sterowania za pomocą czterech współrzęd-

nych, tj. XYZ, oraz pozycją ograniczonego przegubu.

Podejście takie jest wymagane, aby osiągnąć konfigura-

cję umożliwiającą ominiecie przeszkody. Na rys. 13

zaprezentowano algorytm programu kinematyki odwrot-

nej. W zaprezentowanym algorytmie część A odpowiada

za pracę w trybie ręcznego przełączania modeli kinema-

tyki odwrotnej, a część B za pracę w trybie automatycz-

nym. Wybór modelu w trybie automatycznym jest

dokonywany również wtedy, gdy w wyniku wybranego

przez użytkownika algorytmu kinematyki odwrotnej

urządzenie znalazłoby się poza zakresem ruchu przegu-

bów. Opracowany algorytm wykorzystuje funkcje �i>(Θ) odpowiedzialną za sprawdzenie poprawności

danego rozwiązania pod kątem zasięgów żurawia przeła-

dunkowego.

Rys. 13. Algorytm przełączania modeli kinematyki odwrotnej

Z (mm)

PAWEŁ HERBIN, MIROSŁAW PAJOR

49

4. SYMULACJA

Z uwagi na specyfikę pracy żurawia symulator jego

pracy powinien zawierać:

a) model kinematyki prostej,

b) model kinematyki odwrotnej,

c) jakobian prędkości żurawia samochodowego,

d) model dynamiki,

e) układ sterowania żurawiem,

f) interfejs zadawania przemieszczenia,

g) wizualizację

W ramach niniejszego artykułu przedstawiono opraco-

wane elementy a, b, e, f, g. Symulator opracowano w

programie Matlab Simulink. Na podstawie modelu CAD

wykonano wizualizację z wykorzystaniem VRML. Opra-

cowanie wizualizacji w języku VRML uproszczono dzięki

możliwości eksportu modelu CAD do VRML. W ramach

eksportu nie zostają jednak przeniesione więzy pomiędzy

kolejnymi członami. Ustawiono zatem kolejne człony w

modelu CAD zgodnie z przyporządkowanymi im ukła-

dami współrzędnych. Do animacji modelu geometrycz-

nego wykorzystano macierze przekształceń jednorodnych

[6] stosowane również w modelu kinematyki prostej. W

opracowanym symulatorze zaimplementowano modele

kinematyki prostej, odwrotnej, wizualizację oraz stero-

wanie ruchem żurawia na podstawie sygnałów pocho-

dzących z manipulatora 3D SpacePilot Pro. Proces

budowy symulatora zaprezentowano formie schematu

blokowego na rys. 14.

Rys. 14. Proces tworzenia symulatora żurawia przeładunkowego

W wyniku przeprowadzonych prac otrzymano algorytm

przełączania trybów kinematyki odwrotnej oraz ograni-

czeń ruchu poszczególnych przegubów żurawia (zakresy

ruchu). Na rys. 15 przedstawiono żurawia przeładunko-

wego w 3 pozycjach osiągniętych podczas ruchu zadane-

go przez manipulator 3d.

Rys. 15. Przebieg symulacji ruchu wg zadanej trajektorii

Dla zaprezentowanego ruchu przebiegi zmiennych

kątowych oraz wysuw osi czwartej zostały przedstawio-

ne na rysunkach 16 oraz 17.

Rys. 16. Zmienna konfiguracyjna �� podczas ruchu zaprezen-towanego na rys. 14

Rys. 17. Zmienne konfiguracyjne θ, θ�, θ� podczas ruchu zaprezentowanego na rys. 14

5. PODSUMOWANIE

W artykule opisano metodykę modelowania kinematyki

prostej i odwrotnej żurawia przeładunkowego o redun-

dantnej strukturze. Otrzymane zależności umożliwiają

sterowanie w układzie kartezjańskim końcówką roboczą

żurawia niezależnie od konfiguracji. Zastosowanie kine-

matyki odwrotnej do sterowania żurawiem przeładun-

0 5 10 15 20 25 30 352500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

d4 (

mm

)

czas (s)

MODELOWANIE KINEMATYKI PROSTEJ I

kowym dopuszcza ograniczenie ruchu żurawia w ok

ślonym kierunku względem ciężarówki.

niezwykle istotne, ponieważ żurawie przeład

muszą spełniać odpowiednie normy bezpieczeństwa

W pracy pokazano, jak można zamodelować kinematykę

prostą i odwrotną wraz z wizualizacją wykorzystując

zaawansowane metody wizualizacji w programie Matlab

Dzięki zaprezentowanemu podejściu możliwe jest łatwe

modyfikowanie układu oraz rozbudowa modelu o kolejne

moduły takie jak model dynamiki i modele hydrauliczne

siłowników żurawia. Opracowane modele mogą posłużyć

konstruktorom do opracowania odpowiedniego

Literatura

1. Skrzymowski W.: Żurawie przeładunkowe

2. Mettin U., La Hera P. M., Morales

and time-independent motion control for a kinematically redundant hydraulic manipulator.

ics 2009, p. 1-6..

3. Westerberg S., Manchester I. R., Mettin U

of a hydraulic forestry crane. In: Robotics and Automation 2008

4. La Hera P. M., Morales D. O.: Modeling dynamics of an electro

study of a forestry forwarder crane.

5. Morales D. O., Westerberg S., La Hera

of automation in the forestry logging

botics” 2014, No. 31, p. 343-363.

6. Craig J. J.: Introduction to robotics:

Ten artykuł dostępny jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów.

Treść licencji jest dostępna na stronie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl/

MODELOWANIE KINEMATYKI PROSTEJ I ODWROTNEJ ŻURAWIA SAMOCHODOWEGO

50

ograniczenie ruchu żurawia w okre-

ślonym kierunku względem ciężarówki. Staje się to

ponieważ żurawie przeładunkowe

muszą spełniać odpowiednie normy bezpieczeństwa [1].

jak można zamodelować kinematykę

prostą i odwrotną wraz z wizualizacją wykorzystując

zaawansowane metody wizualizacji w programie Matlab.

Dzięki zaprezentowanemu podejściu możliwe jest łatwe

modyfikowanie układu oraz rozbudowa modelu o kolejne

moduły takie jak model dynamiki i modele hydrauliczne

Opracowane modele mogą posłużyć

konstruktorom do opracowania odpowiedniego układu

sterowania uwzględniającego możliwość ruchu we wspó

rzędnych kartezjańskich lub cylindrycznych

Prace realizowane były w ramach projektu

PBS3/A6/28/2015 finansowanego przez NCBiR.

Skrzymowski W.: Żurawie przeładunkowe: budowa i eksploatacja. Krosno: Kabe, 2006. ISBN 83 8938 72 63

, Morales D. O., Shiriaev A. S., Freidovich L. B., Westerberg S.

independent motion control for a kinematically redundant hydraulic manipulator.

R., Mettin U., La Hera P. M., Shiriaev A.: Virtual environment

Robotics and Automation 2008, p. 4049-4054.

Modeling dynamics of an electro-hydraulic servo actuated manipulator:

In: World Automation Congress (WAC) 2012, p. 1-6.

La Hera P. X., Mettin U., Freidovich L., Shiriaev A

ogging process with crane trajectory planning and control.

obotics: mechanics and control. Pearson: Prentice Hall, 2005. ISBN

Ten artykuł dostępny jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów.

Treść licencji jest dostępna na stronie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl/

ODWROTNEJ ŻURAWIA SAMOCHODOWEGO (…)

sterowania uwzględniającego możliwość ruchu we współ-

rzędnych kartezjańskich lub cylindrycznych.

Prace realizowane były w ramach projektu

PBS3/A6/28/2015 finansowanego przez NCBiR.

ISBN 83 8938 72 63

S..: Trajectory planning

independent motion control for a kinematically redundant hydraulic manipulator. In: Advanced Robot-

nvironment teleoperation

actuated manipulator: a case

A.: Increasing the level

ontrol. “Journal of Field Ro-

. ISBN 02-015-4361-3.

Ten artykuł dostępny jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

Treść licencji jest dostępna na stronie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl/