Micha Marzantowicz, Wojciech Wrbel

Podstawy fizyki

Warszawa 2010

Politechnika Warszawska Wydzia Samochodw i Maszyn Roboczych Kierunek "Edukacja techniczno informatyczna" 02-524 Warszawa, ul. Narbutta 84, tel 22 849 43 07, 22 234 83 48 ipbmvr.simr.pw.edu.pl/spin/, e-mail: sto@simr.pw.edu.pl Opiniodawca: prof. dr hab. Wadysaw Bogusz Projekt okadki: Norbert SKUMIA, Stefan TOMASZEK Projekt ukadu graficznego tekstu: Grzegorz LINKIEWICZ Skad tekstu: Janusz BONAROWSKI, Micha MARZANTOWICZ,

Wojciech WRBEL Publikacja bezpatna, przeznaczona jest dla studentw kierunku "Edukacja techniczno informatyczna" Copyright 2010 Politechnika Warszawska Utwr w caoci ani we fragmentach nie moe by powielany ani rozpowszechniany za pomoc urzdze elektronicznych, mechanicznych, kopiujcych, nagrywajcych i innych bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. ISBN 83-89703-56-4 Druk i oprawa: Drukarnia Expol P. Rybiski, J. Dbek Spka Jawna, 87-800 Wocawek, ul. Brzeska 4

Spis treci

Wstp ..................................................................... 7

1. Czym jest fizyka? Wielkoci fizyczne , jednostki i wzorce......................... ...................................... 9

1.1. Czym jest fizyka? ....................................................................... 10 1.2. Jednostki podstawowe ................................................................ 12 1.3. Miano jednostek wielkoci pochodnych..................................... 14 1.4. Rachunek mian, operacje na jednostkach wielkoci fizycznych 15

2. Opis ruchu ........................................................ 21

2.1. Ukad odniesienia i ukad wsprzdnych .................................. 22 2.2. Przemieszczenie i droga ............................................................. 23 2.3. Prdko ..................................................................................... 24 2.4. Przyspieszenie ............................................................................ 26

3. Dynamika......................................................... 31

3.1. Zasady dynamiki Newtona ......................................................... 32 3.2. Zasada zachowania pdu ............................................................ 35

4. Praca i energia.................................................. 41

4.1. Praca ........................................................................................... 42 4.2. Pole si zachowawczych i niezachowawczych........................... 48 4.3. Pole si grawitacyjnych............................................................... 49 4.4. Ruch po okrgu........................................................................... 53 4.5. Energia potencjalna si sprystoci ........................................... 59 4.6. Energia kinetyczna ..................................................................... 60 4.7. Zasada zachowania energii mechanicznej .................................. 62 4.8. Zderzenia .................................................................................... 64

5. Dynamika bryy sztywnej................................. 67

5.1. Brya sztywna ............................................................................. 68

Strona 4444

5.2. Rwnanie ruchu bryy sztywnej........................................ 72 5.3. Zasada zachowania momentu pdu ............................................ 74 5.4. Energia ruchu obrotowego.......................................................... 75

6. Ruch drgajcy................................................... 79

6.1. Drgania harmoniczne.................................................................. 80 6.2. Drgania tumione ........................................................................ 86 6.3. Drgania wymuszone z tumieniem ............................................. 90

7. Stany skupienia materii.................................... 93

7.1. Ciao stae ................................................................................... 94 7.2. Pyny........................................................................................... 95 7.3. Inne stany materii ....................................................................... 95 7.4. Przejcia midzy stanami przemiany fazowe .......................... 97

8. Hydrostatyka i hydrodynamika ...................... 101

8.1. Hydrostatyka............................................................................. 102 8.2. Hydrodynamika ........................................................................ 108

9. Termodynamika.............................................. 117

9.1. Temperatura, zerowa zasada termodynamiki ........................... 118 9.2. Rwnanie stanu gazu doskonaego........................................... 120 9.3. Ciepo i praca termodynamiczna .............................................. 121 9.4. Przemiany termodynamiczne ................................................... 127 9.5. Teoria kinetyczno-molekularna gazw .................................... 134 9.6. Rwnanie stanu gazu rzeczywistego ........................................ 138 9.7. Cykle gazowe ........................................................................... 139 9.8. Entropia .................................................................................... 146 9.9. Waciwoci termiczne materii................................................. 149

10. Elektrostatyka .............................................. 157

10.1. adunek elektryczny............................................................... 158 10.2. Prawo Coulomba .................................................................... 159 10.3. Natenie pola elektrycznego ....................................... 161 10.4. Energia i potencja w polu elektrycznym ............................... 166 10.5. Prawo Gaussa ......................................................................... 168

Strona 5555

10.6. Pojemno elektryczna przewodnika...................................... 174 10.7. Dielektryki.............................................................................. 179

11. Prd elektryczny........................................... 187

11.1. Natenie prdu elektrycznego............................................... 188 11.2. Prawo Ohma ........................................................................... 189 11.3. Praca i moc prdu elektrycznego............................................ 195 11.4. Obwody elektryczne............................................................... 196

Strona 6666

Wstp Niniejsze materiay zostay opracowane w ramach realizacji Programu Rozwojowego Politechniki Warszawskiej wspfinansowanego ze rod-kw PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITA LUDZKI. Przezna-czone s dla studentw pierwszego roku studiw inynierskich kierunku nauczania Edukacja techniczno-informatyczna prowadzonych na Wy-dziale Samochodw i Maszyn Roboczych Politechniki Warszawskiej.

Niniejsze opracowanie przygotowano dla przedmiotu pt. Podstawy fizyki. Jego zawarto merytoryczna w peni odpowiada zakresowi opi-sanemu w sylabusie opracowanym dla tego przedmiotu.

Skrypt stanowi pierwsz cz opracowanych materiaw dydaktycz-nych i dotyczy zagadnie omawianych podczas pierwszego semestru wykadw z ww. przedmiotu. Opracowane zagadnienia podzielone zo-stay na 11 rozdziaw.

Rozdzia 1 wprowadza pojcie wielkoci fizycznych, ich jednostek oraz operacji na tych jednostkach.

Rozdzia 2 zosta powicony opisowi ruchu cia w rnych ukadach wsprzdnych za pomoc takich wielkoci fizycznych jak przemiesz-czenie, prdko czy przyspieszenie.

W rozdziale 3 omwione zostay zasady dynamiki Newtona oraz zasada zachowania pdu.

W rozdziale 4 wprowadzone s pojcia pracy oraz energii. Rozwaane s rne formy energii (energia potencjalna i kinetyczna) oraz zasada za-chowania energii.

Rozdzia 5 dotyczy zagadnie z zakresu dynamiki bryy sztywnej takich jak rwnanie ruchu bryy sztywnej, zasada zachowania momentu pdu czy energia ruchu obrotowego.

Rozdzia 6 zosta powicony zagadnieniom drga, w szczeglnoci drga harmonicznych z uwzgldnieniem wpywu tumienia oraz wymuszenia.

W rozdziale 7 omwione zostay rne stany skupienia materii ciaa stae, pyny oraz inne stany materii.

Strona 8888

W rozdziale 8 przedstawione zostay podstawowe zagadnienia hydrosta-tyki i hydrodynamiki w tym prawo Pascala, Arhimedesa oraz rwnanie Bernouliego.

Rozdzia 9 powicony jest termodynamice. Omwiony zosta gaz do-skonay, jego rwnanie stanu oraz rne przemiany jakim moe podle-ga. Przedstawiono definicj ciepa oraz pracy termodynamicznej, a take opis cykli i silnikw termodynamicznych. Omwiono rwnie podstawowe waciwoci termiczne materii.

W rozdziale 10 omwione zostay takie zagadnienia elektrostatyki jak Coulombowska sia oddziaywania elektrostatycznego, natenie, poten-cja oraz energia pola elektrycznego czy pojemno elektryczna prze-wodnika. Przedstawione zostao prawo Gaussa wraz z przykadami stosowania go do wyznaczania natenia pola elektrycznego. Rozdzia opisuje take waciwoci elektryczne dielektrykw.

Rozdzia 11 dotyczy zagadnie z zakresu przepywu prdu elektryczne-go. Podane zostao prawo Ohma, wyznaczona praca i moc prdu elek-trycznego a take omwione podstawowe waciwoci obwodw elek-trycznych, w tym prawa Kirchhoffa.

1 Czym jest fizyka? Wielkoci fizyczne, jednostki i wzorce

W tym rozdziale:

o Czym jest fizyka? o Jednostki podstawowe o Miano jednostek wielkoci podstawowych o Rachunek mian, operacje na jednostkach wielkoci

fizycznych o Dziaania na wektorach

ROZDZIA 1

Strona 10101010

1.1. Czym jest fizyka?

Fizyka jest podstawow nauk cis wywodzc si z filozofii. lad tego faktu, e fizyka bya dziaem filozofii filozofi przyrody znajdujemy w tytule synnego dziea Izaaka Newtona, stanowicego fundament nowoytnej fizyki: Principia mathematica philosophiae naturalis (1686 r.), co moe by przetumaczone jako Zasady matematyczne filozofii przyrody.

Fizyka jest nauk cisa i empiryczn, czyli opart na dowiadczeniu poniewa:

Uywa wielkoci fizycznych dokadnie zdefiniowanych. W definicji wielkoci fizycznej zawarte s informacje doty-czce jej pomiaru. Wielkoci fizyczn jest kada wielko, ktra daje si mierzy czyli porwnywa ze wzorcem jed-nostki tej wielkoci

Stosuje opis matematyczny zjawisk (matematyka jest jzy-kiem fizyki)

Prawa fizyczne formuuje na podstawie dowiadcze

Przez dowiadczenie (eksperyment) fizyczny rozumiemy zjawisko prze-prowadzone w moliwie uproszczonych i nadajcych si do analizy warunkach laboratoryjnych z eliminacj zjawisk ubocznych zakcaj-cych zjawisko badane. Podstawowym dziaaniem w dowiadczeniach s wanie pomiary wielkoci fizycznych.

Fizyka opiera si na pewnej minimalnej liczbie praw podstawowych o charakterze pewnikw, aksjomatw, ktre w fizyce nazywamy zasada-mi. Czasami mwi si o nich, ze s to prawa pierwsze. Oznacza to, e nie odkryto praw bardziej podstawowych, ktre umoliwiyby wyprowa-dzenie tych zasad. Suszno zasad wynika tylko z dowiadcze i jest uoglnieniem duej liczby eksperymentw. Klasycznymi przykadami zasad s zasady dynamiki Newtona. Natomiast inne szczegowe prawa fizyczne (np. prawo Ohma lub prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya) wyprowadzamy z zasad fizyki za pomoc modeli fizycznych opisywanych zjawisk.

CZYM JEST FIZYKA? WIELKOCI FIZYCZNE , JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 11111111

Istnienie zasad i praw szczegowych powoduje wzajemne powizanie wielkoci fizycznych. Std z kolei wynika, e jest w fizyce pewna liczba podstawowych wielkoci fizycznych, a pozostae wielkoci s wielko-ciami zalenymi, pochodnymi. W tej sytuacji wystarczy, i wzorce jed-nostek fizycznych stworzymy tylko dla wielkoci podstawowych.

Ustalono, e s cztery podstawowe wielkoci fizyczne: dugo, masa, czas i natenie prdu. Stworzono zatem wzorce metra, kilograma, se-kundy i ampera. Taki ukad jednostek nazwano pierwotnie ukadem MKSA od pocztkowych liter nazw wzorcw. Z powodu tradycji i dla wygody dodano jednak nastpnie przejciowo do ukadu jeszcze cztery wielkoci fizyczne mimo, i mona by je okreli przez te pierwsze cztery wielkoci podstawowe. S to: temperatura (w kelwinach), licz-no materii (w molach), jasno rde promieniowania (w kandelach) i kt paski (w radianach). W ten sposb powsta ukad jednostek zoony z omiu wzorcw jednostek wielkoci fizycznych wymienio-nych wyej, nazywany ukadem SI (od fr. Systeme International). Wy-magania postawione wzorcom jednostek dotycz maksymalnej dokad-noci i powszechnoci, uniwersalnoci. Ta druga wasno ma polega na tym, by wzorzec mg by z rwn dokadnoci odtwarzalny we wszystkich laboratoriach na wiecie. Ma to zapewni moliwo porwnywania wynikw dowiadcze rnych laboratoriw a przez to moliwo sprawdzania powtarzalnoci pomiarw, co ma decydujce znaczenie przy tworzeniu praw fizycznych.

Jednostki pochodnych wielkoci fizycznych s tworzone w oparciu o de-finicje tych wielkoci i istniejce zwizki tych wielkoci z wielkociami podstawowymi ustalone prawami fizyki. Jako przykad ustalmy jednost-k i sposb pomiaru prdkoci chwilowej. Powoamy si tu na definicj prdkoci chwilowej, ktra bdzie uzasadniona w dalszej czci skryptu:

t

x0t

= limv

(1.1)

Ta matematyczna definicja wskazuje, e aby wyznaczy prdko chwi-low obiektu trzeba mierzy odcinki przesunicia x tego obiektu odpowiadajce jak najkrtszym odcinkom czasu t (dcym do zera) i dzieli je przez siebie. Jest wic w definicji wskazwka pomiarowa i wiemy ju, e jednostk prdkoci bdzie m/s.

ROZDZIA 1

Strona 12121212

1.2. Jednostki podstawowe

Jednostk dugoci jest metr [m]. Metr jest to odlego, jak pokonuje wiato w prni w czasie 1/299 792 458 s.

Jednostk czasu jest sekunda [s]. Sekunda jest definiowana za pomoc tzw. zegara atomowego jako 9 192 631 770 okresw drga okrelonego promieniowania atomu cezu 133Cs w temperaturze 0 K.

Jednostk masy jest kilogram [kg]. Wzorzec kilograma, wykonany ze stopu platynowo-irydowego znajduje si w Sevres pod Paryem. Kopie tego wzorca zostay rozesane do instytutw miar i wag poszczeglnych pastw. Obecnie dy si do opracowania lepszej definicji, opartej na masie atomowej.

Jednostk temperatury jest Kelwin [K]. Jeden kelwin odpowiada 1 / 273.16 temperatury termodynamicznej punktu potrjnego wody punktu, w ktrym wspistniej fazy cieka (woda), staa (ld) i gazowa (para wodna). Temperatura termodynamiczna jest zdefiniowana w odnie-sieniu do tzw. zera absolutnego 0 K, ktra oznacza najnisz temperatur do jakiej moemy si dowolnie zbliy, ale jest nieosigalna. Na po-wszechnie stosowanej skali Celsjusza temperaturze punktu potrjnego wody (273.16 K) odpowiada 0.01C.

W niniejszym skrypcie jako separator dziesitny stosowa bdziemy znak kropki, a nie przecinka.

Jednostk licznoci materii jest jeden mol [mol]. Jest to liczno materii ukadu zawierajcego liczb czsteczek rwn liczbie atomw w masie 12 gramw izotopu wgla 12C. W jednym molu znajduje si ok. 6.0221415(10)1023 czsteczek. Liczba ta jest nazywana sta Avogadra (liczb Avogadra). Poniewa rne czsteczki maj rn mas rwnoczenie z licznoci naley poda rodzaj czsteczek (czsteczki, atomy, jony itp.) lub te zdefiniowa mas molow jako mas jednego mola danej substancji. W opisie materii uywa si rwnie masy atomowej, ktra okrela ile razy masa jednego atomu danego pierwiastka chemicznego jest wiksza od jednostki zdefiniowanej jako 1 / 12 masy izotopu wgla 12C.

Jednostk wiatoci jest kandela [cd] i definiuje si ja jako strumie energii (1 / 683 W/sr) wysyany na sekund w jednostkowy kt prze-strzenny steradian. W definicji kandeli wykorzystuje si zielone wia-

CZYM JEST FIZYKA? WIELKOCI FIZYCZNE , JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 13131313

to monochromatyczne o dugoci 540 nm, dla ktrej to dugoci ludzkie oko charakteryzuje si najwiksz czuoci.

Jednostk natenia prdu elektrycznego jest amper [A]. Prd elektryczny jest uporzdkowanym ruchem nonikw adunku elektrycz-nego. Natenie prdu definiujemy jako stosunek wartoci adunku elek-trycznego, ktry przepywa przez przewodnik w jednostce czasu. Z defi-nicji tej wynika jednostka natenia prdu amper 1A=1C/s (ku-lomb/sekunda). Wzorzec pomiarowy jednego ampera definiujemy w na-stpujcy sposb. Jeeli w dwch rwnolegych, prostoliniowych, nieskoczenie dugich przewodach, umieszczonych w prni w odleg-oci 1 m od siebie bdzie pyn stay prd o nateniu jednego ampera (1A), to spowoduje on wzajemne oddziaywanie przewodw z si rwn 210-7N na kady metr dugoci przewodu.

Jako jednostek uzupeniajcych w ukadach opisywanych wsprzd-nymi ktowymi uywa si:

radiana na oznaczenie kta paskiego [rad]. Kt peny wy-nosi 2 radianw. Warto kta moe by rwnie okrelana w stopniach, ale w dalszej czci tego skryptu jako miar kta przyjmowa bdziemy radiany.

steradiana na oznaczenie kta bryowego [sr]. Kt peny wynosi 4 sr.

ROZDZIA 1

Strona 14141414

1.3. Miano jednostek wielkoci pochodnych

Tabela 1.1. Jednostki wielkoci pochodnych ukadu SI. Wedug rozporzdzenia Rady Ministrw z dnia 30 listopada 2006r w sprawie legalnych jednostek miar

Wszystkie wielkoci fizyczne mog by opisane za pomoc jednostek wielkoci podstawowych. Dla wygody i prostoty zapisu wprowadzone zostay jednak jednostki wielkoci pochodnych. Przykadowo, opisujc siy dziaajce w wybranym ukadzie moglibymy za kadym razem podawa jednostk siy jako kg m/s2, ale prociej i wygodniej jest ozna-czy t jednostk symbolem N (1 Newton). W Tabeli 1 przedstawione s definicje przykadowych jednostek wielkoci pochodnych tzw. mian wielkoci pochodnych

CZYM JEST FIZYKA? WIELKOCI FIZYCZNE , JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 15151515

1.4. Rachunek mian, operacje na jednostkach wielkoci fizycznych

Wielkoci skalarne i wektorowe

Wielkoci fizyczne dzielimy na skalary i wektory. Wielkoci skalarne maj jedynie warto. Przykadem takich wielkoci s energia, masa, czas czy adunek elektryczny. Wielkoci wektorowe oprcz wartoci (moduu) posiadaj rwnie kierunek i zwrot. Przykadem mog by tutaj sia, prdko czy pd. W ukadzie wsprzdnych wektor opisuje-my podajc jego skadowe czyli rzuty tego wektora na osie ukadu

wsprzdnych. Przykadowo ( ) k4j2i33,2,4rrrr

++==v oznacza wek-

tor prdkoci o skadowych: 3x =v w kierunku x czyli wzdu werso-

ra ir

(wektora jednostkowego); 2v y = w kierunku y, wzdu wersora

jr

; 4z =v w kierunku z, wzdu wersora kr

.

Dziaania na wektorach

Podstawowe dziaania na wektorach, jakie bdziemy wykorzystywa to dodawanie, odejmowanie i mnoenie

Mnoenie

W wyniku mnoenia wektora br

przez skalar, bcarr

= , otrzymujemy

wektor ar

, ktrego kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora br

, za jego dugo jest iloczynem dugoci wektora b oraz wielkoci skalarnej

c ; bca = . W przypadku, gdy c < 0 to zwrot wektora ar

jest przeciwny

ni br

. To samo dziaanie moemy wykona na skadowych wektora.

Przykadowo jeli wektor ( )1,3,5b =r

wymnoymy skalarnie przez 3, otrzymujemy

( )3,9,1553k33j13ib3a =++==rrrrr

ROZDZIA 1

Strona 16161616

Rysunek 1.1. Dodawanie wektorw na paszczynie a) i mnoenie wektorowe wektorw b)

Dodawanie i odejmowanie wektorw

Dodawanie wektorw mona przeprowadzi graficznie (rysunek 1.1) lub przez dodanie skadowych okrelajcych wektory w wybranym ukadzie wsprzdnych. Suma dwch wektorw jest rwnie wektorem. Podob-nie jak poprzednio, dziaanie dodawania mona wykona rwnie na skadowych wektorw. Przykadowo, dodajc do siebie wektory

( )10,2,a =r

, ( )1,3,5b =r

i ( )2,3,0c =r

otrzymujemy wektor

[ ] [ ] [ ] ( )1,8,4051k332j210id =+++++++=rrrr

Odejmowanie wektorw przeprowadzamy podobnie jeli wykonujemy

operacj barr

, to do wektora ar

dodajemy wektor br

, czyli wektor

o identycznej dugoci i kierunku co br

, ale o przeciwnym zwrocie.

Odejmowanie nie jest przemienne tzn. dziaanie abrr

daje wektor

o przeciwnym zwrocie ni dziaanie barr

. Przykadowo, odejmujc od

wektora ( )10,2,a =r

wektor ( )1,3,5b =r

otrzymujemy wektor

( )61,1,c =r

, a wykonujc dziaanie abrr

otrzymujemy wektor

( )1,1,6c =r

Iloczyn skalarny wektorw

Iloczyn skalarny bacrr

= jest iloczynem dugoci wektora ar

oraz rzutu

wektora br

na wektor ar

. Iloczyn skalarny moemy zapisa inaczej jako

CZYM JEST FIZYKA? WIELKOCI FIZYCZNE , JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 17171717

cosbabac ==rr

(1.2)

gdzie jest ktem midzy wektorami ar

i br

. Przykadem mnoenia skalarnego jest praca bdca iloczynem przesunicia oraz rzutu siy wywoujcej przesunicie na kierunek tego przesunicia. Iloczyn skalar-ny uzyskuje maksymaln warto gdy wektory s do siebie rwnolege, natomiast dla wektorw prostopadych warto iloczynu skalarnego rwna jest zeru.

Iloczyn wektorowy wektorw

Wynikiem iloczynu wektorowego dwch wektorw ( bacrrr

= ) jest wektor. Dugo tego wektora moemy obliczy ze wzoru

sinabc = (1.3),

gdzie jest ktem midzy wektorami ar

i br

. Kierunek tego wektora jest

prostopady do paszczyzny, w ktrej le wektory ar

oraz br

. Zwrot

wektora cr

okrela regua ruby prawoskrtnej jeli bdziemy krci

rub od wektora ar

do wektora br

po najmniejszym kcie, to kierunek ruchu postpowego ruby wyznacza zwrot wektora bdcego iloczynem

wektorowym bacrrr

= . Przykadem iloczynu wektorowego jest moment

siy FrMrrr

= mnoc wektorowo wektor rr

, okrelajcy pooenie

punktu zaczepienia siy wzgldem osi obrotu, oraz wektor siy Fr

, otrzy-

mujemy wektor momentu siy Mr

prostopady do paszczyzny, w ktrej oba wektory si znajduj.

Iloczyn wektorowy uzyskuje warto maksymaln gdy wektory ar

i br

s do siebie prostopade ( = /2). Gdy wektory s rwnolege ( = 0) ich iloczyn wektorowy jest rwny zeru.

Mnoenie wektorowe nie jest przemienne w wyniku mnoenia wekto-

rowego abrr

dostaniemy wektor o identycznej wartoci i kierunku co

barr

, ale o przeciwnym zwrocie.

Algebraicznie iloczyn dwch wektorw moemy przedstawi w postaci macierzy:

ROZDZIA 1

Strona 18181818

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

rrr

rr= (1.4)

Po przeksztaceniach otrzymujemy:

[ ]xyyxxzzxyzzy baba,baba,bababa +=rr

(1.5)

Rzuty wektorw

Rozkadanie wektorw na skadowe, czyli rzutowanie wektora na wybra-ne osie jest procedur odwrotn do dodawania wektorw pozwalajc wyznaczy skadowe wektora w wybranych kierunkach.

Jeeli rozpatrzymy wektor ar

na paszczynie dwuwymiarowej, tworzcy kt z wyrnion prost, skadowa rwnolega do tej prostej wynosi cosaa =II (dla = 0 warto tej skadowej wynosi aa =II ,

a dla = /2 wynosi 0a =II ) za skadowa prostopada sinaa =

Przykad

Roz si grawitacji dziaajc na ciao znajdujce si na powierzchni rwni o kcie nachylenia na skadow prostopad i rwnoleg do powierzchni rwni.

Sia cikoci ( mgFc = ) skierowana pionowo w d moe by skado-w rwnoleg i prostopad do rwni (Rysunek. 1.2.). Ze wzgldu na podobiestwo trjktw kt tworzcy rwni bdzie rwnie wystpo-wa midzy si cikoci i jej skadowymi. Skadowa siy cikoci rwnolega do powierzchni rwni (sia cigajca ciao) wynosi wic

sinmgFII = , a skadowa prostopada bdca si nacisku ciaa na

rwni cosmgF =

CZYM JEST FIZYKA? WIELKOCI FIZYCZNE , JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 19191919

Rysunek 1.2. Rozoenie siy cikoci dziaajcej na ciao

na powierzchni rwni na skadowe

ROZDZIA 1

Strona 20202020

2 Opis ruchu

W tym rozdziale:

o Ukad odniesienia i ukad wsprzdnych o Przemieszczenie i droga o Prdko o Przyspieszenie

ROZDZIA 2

Strona 22222222

2.1. Ukad odniesienia i ukad wsprzdnych

Opisujc pooenie obiektu musimy okreli ukad odniesienia, czyli po-wiedzie wzgldem jakiego punktu bdziemy opisywa pooenie tego obiektu. Na przykad opisujc pooenie samochodu zaparkowanego na ulicy midzy dwoma skrzyowaniami przyjmujemy rodek jednego ze skrzyowa jako ukad odniesienia. Poza precyzyjnym okreleniem wzgldem jakiego punktu bdziemy opisywa pooenie samochodu istotne jest rwnie zdefiniowanie ukadu wsprzdnych. W zalenoci od tego, w ktr stron bdziemy zwrceni stojc na skrzyowaniu, nasz samochd moe by przed lub za nami, z prawej lub lewej strony. Po zdefiniowaniu okadu odniesienia oraz ukadu wsprzdnych pooenie obiektu okrelamy podajc jego odlego od osi ukadu wsprzdnych. Rozpatrzmy samochd zaparkowany na ulicy, stojcy w odlegoci 20m od skrzyowania. Samochd jest obiektem przestrzennym, ale w przy-padku, gdy nie interesuje nas jak jest on zaparkowany (rwnolegle czy prostopadle) moemy zastpi go punktem materialnym znajdujcym si w rodku samochodu o masie rwnej masie caego samochodu. Jeli interesuje nas jedynie odlego miejsca zaparkowania od skrzyowania mierzona wzdu ulicy (rysunek 2.1 a.), wybrany ukad odniesienia ma tylko jeden wymiar ( x ). Jeeli za pocztek ukadu przyjmiemy rodek skrzyowania, wwczas pooenie samochodu mona opisa: r = 20.

Zamy teraz, e chcemy dokadniej opisa pooenie samochodu (rod-ka masy samochodu) bdzie nas interesowa nie tylko odlego mie-rzona wzdu ulicy, ale rwnie pooenie wzgldem rodka ulicy (czy samochd zaparkowany jest tu przy krawniku czy na rodku jezdni). W takim przypadku wprowadzimy dwuwymiarowy ukad wsprzd-nych. Jeeli przyjmiemy szeroko jezdni rwn 4m oraz ponownie za pocztek ukadu wsprzdnych przyjmiemy rodek skrzyowania, to rodek samochodu zaparkowanego przy chodniku bdzie si znajdowa w odlegoci 3m od osi jezdni (rysunek 2.1a). Wsprzdne zaparkowa-nego samochodu wynosz wic x = 20 i y = 3 a jego pooenie moemy

opisa wektorem 3)(20,=rr

.

Gdybymy natomiast chcieli opisa pooenie rodka masy samochodu z uwzgldnieniem wysokoci wzgldem drogi potrzebna bdzie trzecia wsprzdna z i trjwymiarowy ukad wsprzdnych. Przyjmujc po-

OPIS RUCHU

Strona 23232323

nownie za pocztek ukadu wsprzdnych rodek skrzyowania, zaka-dajc, e ulica jest pozioma oraz e rodek masy samochodu znajduje si p metra nawierzchni ulicy otrzymujemy wektor pooenia rodka ma-sy samochodu: 3,0.5)(20,r =

r.

Rysunek 2.1. Opis pooenia samochodu:

a) z lewej w ukadzie kartezjaskim dwuwymiarowym, b) z prawej w ukadzie biegunowym dwuwymiarowym

Warto zauway, e zdefiniowany w powyszym przykadzie ukad wsprzdnych jest ukadem prostoktnym (osie s wzajemnie prostopa-de). Taki ukad nazywany jest rwnie ukadem kartezjaskim. W pew-nych przypadkach znacznie wygodniejszy ni ukad kartezjaski jest tzw. ukad biegunowy. W ukadzie tym pooenie obiektu wyznacza wsprzdna radialna r oraz kt pod jakim wida obiekt wzgldem wyrnionego kierunku. Gdyby samochd zosta zaparkowany w dziel-nicy o gwiadzistym ukadzie ulic (w Warszawie przykadem takiej za-budowy s Stary oliborz czy okolice gmachu gwnego Politechniki Warszawskiej) jego pooenie mona by okreli podajc odlego od rodka ronda oraz kt (rysunek 2.1 b.).

2.2. Przemieszczenie i droga

Przemieszczenie obiektu rr

definiujemy jako zmian jego pooenia, czyli rnic wektora opisujcego pooenie kocowe kr

r oraz pocztko-

we prr

obiektu:

pk rrrrrr

= (2.1)

ROZDZIA 2

Strona 24242424

Widzimy e tak zdefiniowany wektor zaley jedynie od pocztkowego i kocowego pooenia ciaa, a nie od toru wzdu ktrego ciao si poru-sza. Wektor przemieszczenia nie okrela toru po jakim ciao si prze-mieszcza z pooenia pocztkowego do kocowego. Dlatego w opisie ruchu ciaa czsto wyznaczamy drog przebyt przez ciao, oznaczan symbolem s, ktra jest rwna dugoci toru, po ktrym ciao si porusza. W odrnieniu od wektora przemieszczenia, droga jest wielkoci skalarn.

2.3. Prdko

Kolejnym parametrem, okrelajcym stan ruchu ciaa, jest jego prd-

ko vr

. Prdko redni obiektu mona zdefiniowa na dwa sposoby.

Prdko redni definiujemy jako przemieszczenie obiektu, ktre nastpio na jednostk czasu:

t

rr

r=v (2.2)

Tak wyraona wielko jest wektorem i zawiera informacj o kierunku ruchu obiektu. Warto jednak zauway, e jeli ruch nie odbywa si wzdu prostej, warto wektora redniej prdkoci bdzie znacznie od-biega od rzeczywistej prdkoci obiektu.

Prdko redni mona rwnie definiowa za pomoc drogi pokonanej przez ciao w okrelonym czasie:

t

s=v (2.3)

Wyliczona w ten sposb rednia prdko obiektu jest skalarem i dobrze oddaje warto redniej prdkoci obiektu zarwno w przypadku ruchu prostoliniowego, jak i krzywoliniowego. Nie zawiera jednak informacji o kierunku ruchu.

Dobrym przykadem pozwalajcym zrozumie definicj prdkoci jest ruch windy w pionowym szybie. Zamy, e winda potrzebowaa n sekund, eby przemieci si z parteru na wysoko x [m]. Dla wygody pocztek ukadu wsprzdnych umiecimy na wysokoci rwnej

OPIS RUCHU

Strona 25252525

wysokoci rodka masy windy, a zwrot osi oznaczonej jako x skierujemy do gry. W takim przypadku dugo wektora przemieszcze-nia jest rwna przebytej przez ciao drodze, i niezalenie od wyboru jednej z dwu powyszych definicji otrzymamy identyczn warto prdkoci:

t

xv

= (2.4)

Rysunek 2.2. Wyznaczanie redniej prdkoci ciaa

Na rysunku 2.2 przedstawiony zosta wykres pooenia ciaa w funkcji czasu. Wyznaczajc redni prdko ruchu tego ciaa rysujemy ciciw czc punkt pocztkowy oraz kocowy na tym wykresie a nastpnie wyznaczamy kt nachylenia tej ciciwy. Tangens tego kta nachylenia rwny bdzie co do wartoci stosunkowi dugoci odcinkw x oraz t i definiuje redni prdko ciaa.

Tak uzyskana warto prdkoci redniej nie zawiera jednak penej in-formacji o prdkoci windy pocztkowo winda znajduje si w spo-czynku, nastpnie jej prdko si zwiksza, na odcinku midzy pitrami pozostaje staa, a na najwyszym pitrze prdko zmniejsza si a do zatrzymania windy. Peniejsze dane dotyczce prdkoci w poszcze-glnych stadiach ruchu moemy otrzyma, dzielc wykres na mniejsze odcinki. W ten sposb wyliczamy redni prdko windy w czasie ru-szania z miejsca, redni prdko windy pomidzy pitrami i redni prdko w trakcie hamowania. Podobnie jak poprzednio, warto red-niej prdkoci wyliczonej dla danego odcinka jest rwna tangensowi kta nachylenia krzywej, wyliczonemu dla danego odcinka. Warto zwr-

ROZDZIA 2

Strona 26262626

ci uwag, e dla odcinka midzy pitrami, gdzie prdko jest staa, ob-liczona rednia prdko jest rwna rzeczywistej prdkoci windy.

Zgodnie z rwnaniem 2.3 wyznaczajc prdko redni ciaa rozpatru-jemy drog s jak ciao to pokona w czasie t. Jeeli rozpatrywane odstpy czasowe bd nieskoczenie krtkie, czyli t0 co oznaczamy symbolem dt, wwczas wyznaczona w ten sposb prdko bdzie prdkoci chwilow ciaa. Dla takich infinitezymalnych przedziaw czasowych warto przemieszczenia ciaa oraz droga przebyta przez to ciao s sobie rwne a prdko chwilow moemy zdefiniowa:

d

dlim

0 t

r

t

rv

t

rrr

=

=

(2.5)

Ze wzoru 2.5 wynika, e prdko chwilowa jest rwna pochodnej wek-tora pooenia po czasie liczonej dla danej chwili. Geometryczna inter-pretacja pochodnej to tangens kta nachylenia stycznej do wykresu w danym punkcie. Tak wic, eby wyznaczy prdko chwilow naley na wykresie drogi przebytej w funkcji czasu narysowa styczn do tej krzywej w interesujcym nas punkcie. Im szybciej bdzie si zmieniao pooenie ciaa, tym bardziej stromy bdzie wykres pooenia w funkcji czasu i w efekcie wiksza warto prdkoci chwilowej.

2.4. Przyspieszenie

Przyspieszenie chwilowe ciaa definiujemy jako pochodn prdkoci po czasie. Przyspieszenie opisuje wic tempo zmian prdkoci w danej chwili ruchu i wyraa si w m/s2.

2

2

d

d

d

) ddd(

d

)(d

t

s

t

ts

t

tva === (2.6)

Podobnie jak w przypadku prdkoci chwilowej, przyspieszenie chwilo-we jest rwne tangensowi kta nachylenia krzywej okrelajcej zale-no prdkoci od czasu, obliczonemu dla danej chwili ruchu. Przeanali-zujmy jeszcze raz omawiany wczeniej ruch windy wykrelajc zale-no prdkoci windy od czasu. Kiedy winda rusza z miejsca i jej prdko jednostajnie narasta to styczna do tej krzywej bdzie taka sama w kadym punkcie, a wic otrzymujemy sta, dodatni warto przy-spieszenia. Na odcinku pomidzy pitrami warto prdkoci windy nie

OPIS RUCHU

Strona 27272727

zmienia si, a wic kt nachylenia krzywej prdkoci wzgldem osi czasu wynosi zero warto przyspieszenia jest rwnie zerowa. Kiedy winda hamuje, wykres prdkoci od czasu jest liniowy, a jego nachylenie przyjmuje warto ujemn zatem i przyspieszenie jest ujemne (opnienie).

Wykresy przypieszenia, prdkoci oraz pooenia od czasu dla oma-wianej windy przedstawione s na rysunku 2.3. Droga przebyta przez wind w pocztkowym etapie ruchu jest proporcjonalna do kwadratu czasu i moe by wyraona zalenoci typu s = kt2, gdzie k wyraa pewien stay wspczynnik. Pochodna takiej funkcji jest funkcj liniow co oznacza, e prdko windy ronie liniowo w funkcji czasu. Podczas jednostajnego hamowania droga pokonywana przez wind rwnie bdzie opisana funkcj kwadratow, jednak w tym przypadku dugo odcinkw pokonywanych przez ni w jednostce czasu bdzie malaa z kwadratem czasu. W tym etapie ruchu prdko rwnie bdzie si zmieniaa liniowo, ale tym razem prdko bdzie malaa jednostajnie w czasie. Pomidzy pitrami nachylenie krzywej zalenoci drogi od czasu jest wielkoci sta w kadej chwili czasu zatem rwnie prdko jest staa.

ROZDZIA 2

Strona 28282828

Rysunek 2.3. Wykres zalenoci czasowej pooenia, prdkoci

i przypieszenia poruszajcej si w gr windy

Warto porwna otrzymane zalenoci ze znanymi wzorami opisujcymi ruch jednostajny i jednostajnie przyspieszony. W ruchu prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym przyspieszenie a ma warto sta prdko wyraa si wzorem:

atvv += 0 (2.7)

gdzie 0v prdko pocztkowa obiektu.

Pokonana przez ciao droga s wyraa si natomiast wzorem:

2

2

00

attvss ++= (2.8)

OPIS RUCHU

Strona 29292929

gdzie s0 oznacza drog pocztkow. Jak atwo zauway, wielkoci te s ze sob powizane zalenociami rniczkowymi obliczajc pochodn drogi po czasie otrzymujemy prdko, a obliczajc z kolei pochodn prdkoci otrzymujemy przyspieszenie, ktre jest stae.

ROZDZIA 2

Strona 30303030

3 Dynamika

W tym rozdziale:

o Zasady dynamiki Newtona o Zasada superpozycji o Zasada zachowania pdu

ROZDZIA 3

Strona 32323232

3.1. Zasady dynamiki Newtona

Dynamika zajmuje si przyczynami zmian ruchu. Ilo tego ruchu lub te stan ruchu danego ciaa opisuje pd. Pd ciaa jest proporcjonalny zarwno do prdkoci poruszajcego si ciaa jak i jego masy im szybciej ciao si porusza oraz im wiksz ma mas, tym wiksza ilo ruchu zwizana jest z tym ciaem, czyli tym wikszy jest jego pd. Jednostk pdu jest kg m/s. Pd jest wektorem, skierowanym zgodnie z kierunkiem prdkoci ciaa

vrr

mp = (3.1)

Dynamik ruchu ciaa, czyli przyczyny zmian pdu ciaa wyjaniaj zasady dynamiki Newtona. Zasady dynamiki Newtona s prawami pierwszymi, ktrych nie mona wyprowadzi ani udowodni za pomoc innych praw. Zasady dynamiki Newtona s cisym matematycznym ujciem powszechnych obserwacji dotyczcych poruszajcych si obiektw.

Druga zasada dynamiki Newtona

Nasze rozwaania rozpoczniemy od II zasady dynamiki Newtona.

Wyobramy sobie, e chcemy rozpdzi ciki wzek. Z codziennych dowiadcze wynika, e taki sam efekt moemy osign w wyniku krtkotrwaego, ale bardzo mocnego pchnicia jak i dugotrwaego popy-chania wzka z niewielk si. Mona rwnie powiedzie, e im wik-sza jest warto siy dziaajcej na ciao oraz im duej ona dziaa, czyli im wikszy jest popd tej siy, tym wiksz zmian pdu ona wywoa. Zaleno t moemy zapisa w postaci:

tF dpdvr

= (3.2)

Powyszy wzr mona przeksztaci i zapisa w postaci rniczkowej (dla infinitezymalnie krtkiego przedziau czasowego dt ):

t

pF

d

dr

r= (3.3)

DYNAMIKA

Strona 33333333

Miar siy dziaajcej na ciao jest pochodna jego pdu po czasie.

Powysze sformuowanie oraz rwnanie 3.3 jest wspczesnym zapisem II zasady dynamiki Newtona.

Definicja siy za pomoc pochodnej pdu ciaa po czasie oznacza, e jeeli wykrelimy zaleno pdu ciaa od czasu, to nachylenie stycznej do krzywej obrazujcej zmiany wartoci pdu od czasu bdzie propor-cjonalne do wartoci siy dziaajcej na ciao.

eby dokadniej zrozumie znaczenie II zasady dynamiki Newtona, wy-liczmy teraz warto pochodnej pdu po czasie pamitajc, e pd jest wielkoci zoon, tzn. zaley zarwno od masy jak i prdkoci ciaa:

( )

vt

mm

t

v

t

mvF

d

d

d

d

d

d+== (3.4)

Powysze rwnanie jest tzw. rniczkowym rwnaniem ruchu ciaa. Pierwszy czon tego rwnania jest rwny iloczynowi masy i przypiesze-nia (pochodna prdkoci po czasie). Widzimy zatem, e im wiksza jest masa ciaa, tym trudniej jest mu nada przypieszenie masa jest miar bezwadnoci ciaa. Drugi czon rwnania opisuje przypadki kiedy zmiana pdu nastpuje w wyniku zmiany masy ciaa. Przykadem takiego ukadu, w ktrym zmienia si masa moe by rakieta. Podczas startu z dysz rakiety wyrzucany jest strumie spalin, ktry wywouje jej ruch ale rwnie zmniejsza mas caego obiektu. Dla ukadw ktrych masa nie zmienia si drugi czon rwnania 3.4 wynosi zero i rniczko-we rwnanie ruchu mona zapisa w postaci uproszczonej sia F dziaajca na ciao o masie m nadaje mu przyspieszenie a o kierunku i zwrocie takim samym jak dziaajca sia:

amFrr

= (3.5)

Pierwsza zasada dynamiki Newtona

Rozpatrzmy teraz przypadek, kiedy pd ciaa jest stay, czyli jego prd-ko nie zmienia si w czasie. Wwczas wykres zalenoci pdu od czasu jest lini poziom, czyli kt nachylenia tej krzywej i zarazem tangens kta stycznej do tej krzywej jest w kadym punkcie taki sam i wynosi zero. Oznacza to, e pochodna pdu po czasie w kadej chwili ruchu rwnie wynosi zero. Zgodnie z II zasad dynamiki Newtona

ROZDZIA 3

Strona 34343434

jeeli pochodna pdu po czasie wynosi zero to wypadkowa sia dziaajca na ciao rwnie musi wynosi zero. Ten przypadek zachowa-nia si ciaa pod wpywem zerowej wypadkowej siy opisuje I zasada dynamiki Newtona:

Jeeli na ciao nie dziaa adna sia, albo siy dziaajce rwno-wa si to stan ruchu ciaa nie ulega zmianie: jeli poruszao si prostoliniowo jednostajnie, to bdzie nadal trwao w tym ru-chu a jeli byo w spoczynku to nadal pozostaje w spoczynku.

Zasada ta nazywana jest rwnie zasad bezwadnoci ciao nie jest wadne zmieni stanu swego ruchu jeeli nie dziaa na nie sia.

Trzecia zasada dynamiki Newtona

Wzgldem kadego dziaania (akcji) istnieje rwne mu przeciw-dziaanie (reakcja) skierowane przeciwnie, tj. wzajemne od-dziaywania dwch cia s zawsze rwne sobie i skierowane przeciwnie.

Zgodnie z III zasad dynamiki Newtona jeeli jakie ciao A dziaa na ciao B pewn si, to rwnie ciao B dziaa na ciao A si rwn co do wartoci ale o przeciwnym zwrocie co zapisujemy:

A na BB naA FFrr

= (3.6)

Rozpatrzmy uderzenie rk piki siatkowej. W momencie uderzenia dziaamy na pik si, ktra wywouje jej ruch ale zgodnie z III zasad dynamiki Newtona rwnie pika dziaa na nasz do z t sam si lecz o przeciwnym zwrocie. Gdy odbijamy pik lekko, czyli dziaamy na ni niewielk si rwnie sia reakcji ma niewielk warto, ale przy moc-nym uderzeniu, czyli gdy dziaamy na pik z du si wystpuje rwnie dua sia reakcji, ktr odczuwamy jako ucisk czy nawet bl doni.

Zasada superpozycji

Opisujc ruch cia pod wpywem dziaajcych na nie si naley pamita, e zarwno sia jak i pd s wektorami. Szukajc wic siy wypadkowej z kilku si skadowych dziaajcych na ciao naley doda wektorowo wszystkie siy skadowe. Zmiana pdu bdzie nastpowaa w tym samym kierunku co ta wypadkowa sia. W przypadku gdy rniczkowe

DYNAMIKA

Strona 35353535

rwnania ruchu dla kadego z kierunkw, w ktrych dziaaj siy skadowe, s liniowe moemy skorzysta z zasady superpozycji. Zgod-nie z zasad superpozycji wypadkowe zachowanie ciaa pod wpywem kilku skadowych si moe by opisane jako zoenie ruchw wywoa-nych kad z si z osobna.

Zasad superpozycji wykorzystamy do opisu ruchu ciaa rzuconego z prdkoci pocztkow v0 pod pewnym ktem wzgldem powierz-chni Ziemi (rzut ukony). Jeeli chwilowo zaniedbamy opory powietrza to na takie ciao bdzie dziaaa tylko sia grawitacji skierowana wzdu osi pionowej ( y ). A wic tylko w kierunku pionowym bdziemy obser-wowali zmian ruchu (zmian pdu) ciaa. W kierunku poziomym x natomiast na ciao nie dziaa adna sia a wic pd si nie zmienia i ruch jest jednostajny. Wypadkowy ruch ciaa rzuconego ukonie jest wic zoeniem ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym (pod wpywem przyspieszenia g) oraz jednostajnego w kierunku pozio-mym i moe by opisany krzyw paraboliczn.

3.2. Zasada zachowania pdu

Rozpatrzmy ukad odosobniony, w ktrym na ciaa nie oddziauj adne siy zewntrzne a jedynie siy wzajemnych oddziaywa. Zgodnie z III zasad dynamiki Newtona takie siy wzajemnych oddziaywa midzy kadymi dwoma ciaami ukadu s identyczne co do wartoci, lecz maj przeciwne zwroty. Wypadkowa sia dziaajca na cay ukad jest wwczas zerowa a wic zgodnie z I zasad dynamiki Newtona cakowity pd ukadu nie zmienia si w czasie. Oznacza to, e jeeli w takim ukadzie odosobnionym nastpi zmiana pdu jednego ciaa o p, to pd drugiego ciaa (lub pozostaych cia) musi rwnie ulec zmianie o tak sam warto lecz o przeciwnym zwrocie (-p). W ten sposb dochodzimy do zasady zachowania pdu, ktra moe by zapisana w nastpujcy sposb:

W ukadzie odosobnionym cakowity pd ukadu (suma pdw wszystkich cia) jest wielkoci sta.

0p

const.ppi

i

=

==r

rr

(3.7)

ROZDZIA 3

Strona 36363636

Poniewa pd jest wielkoci wektorow w przypadku zdarze opisywa-nych w wicej ni jednym wymiarze zasada zachowania pdu jest spe-niona niezalenie dla kadego z kierunkw. W trjwymiarowym uka-dzie kartezjaskim zasad zachowania pdu mona wic zapisa:

0p

0p

0p

z

y

x

=

=

=

(3.8)

Przykad 1

Zastosujmy najpierw zasad zachowania pdu dla przykadu jednowy-miarowego. Rozpatrzmy nieruchomy pocisk o masie m, ktry w wyniku wybuchu ulega rozerwaniu na dwie czci o masach 1/3m oraz 2/3m. Wiksza cz porusza si w prawo z prdkoci 0v . Z jak prdkoci

i w ktr stron porusza si bdzie mniejsza cz pocisku?

Poniewa ukad jest odosobniony, to zgodnie z zasad zachowania pdu cakowity pd ukadu nie ulega zmianie. Czyli jeeli pd ukadu przed wystrzaem wynosi zero (pocisk by nieruchomy), to rwnie pd ko-cowy, bdcy sum pdw obu czci pocisku, bdzie rwny zeru. Zasad zachowania pdu w tym przypadku moemy zapisa:

vmvm 31

0320 += (3.9)

02vv = (3.10)

Znak minus w powyszym wyniku oznacza, e wektor prdkoci mniej-szej czci pocisku ma zwrot przeciwny do wektora prdkoci wikszej czci pocisku.

DYNAMIKA

Strona 37373737

Rysunek 3.1. Zderzenie dwch kul

Przykad 2

Zastosujmy teraz zasad zachowania pdu dla ukadu dwuwymiarowego. Rozwamy zderzenie dwch identycznych kul bilardowych o masie m kada. W chwili pocztkowej kula B jest nieruchoma i uderza w ni kula

A poruszajca si wzdu osi x z prdkoci 0v . W jakim kierunku i z jak prdkoci bdzie si poruszaa po zderzeniu kula B, jeeli po zderzeniu kula A porusza si z prdkoci 0 0.5 v wzdu osi y, jak na rysunku 3.1.

Podobnie jak w poprzednim przykadzie, zakadamy e rozwaany ukad jest ukadem odosobnionym, a wic cakowity pd ukadu dwch kul przed i po zderzeniu jest taki sam. W szczeglnoci skadowe pdu cakowitego ukadu w kierunku kadej z osi ukadu odniesienia rwnie nie zmieniaj si. Przed zderzeniem w kierunku osi x cakowity pd ukadu by rwny pdowi kuli A (tylko kula A porusza si w kierunku x a kula B jest nieruchoma), natomiast po zderzeniu tylko prdko kuli B ma pewn skadow wzdu osi x, a wic po zderzeniu pd cakowity ukadu w kierunku osi x jest rwny skadowej pdu kuli B. Zasad zachowania pdu dla kierunku x moemy zatem zapisa:

BXB0A

xkoncowy x poczatkowy

mm

pp

vv =

= (3.11)

ROZDZIA 3

Strona 38383838

W kierunku osi y pd pocztkowy ukadu wynosi zero (adna z kul nie porusza si wzdu osi y), za pd kocowy zwizany jest z kul A poruszajc si w gr w kierunku osi y oraz kul B, ktrej prdko ma skadow o zwrocie przeciwnym ni o y (skadowa w d). Zasad zachowania pdu dla kierunku y moemy wic zapisa:

ByBAyA

ykoncowy y poczatkowy

mm0

pp

vv =

= (3.12)

Uwzgldniajc cosBBx vv = , sinBBy vv = , 0Ay 0.5 vv = oraz

przyjmujc mmm BA == ukad rwna 3.11 oraz 3.12 moemy przeksztaci do postaci:

=

=

sinm0.5m

cosmm

B0

B0

vv

vv (3.13)

a nastpnie wyznaczy prdko kuli B oraz kt pod jakim porusza si bdzie kula B:

==

=

4,tg

22

21

0B

vv (3.14)

Kula B porusza si wic bdzie z prdkoci 22

0B vv = w prawo

i w d, pod ktem /4 wzgldem osi x.

Zasada zachowania pdu jest wykorzystywana i pozwala wyjani dzia-anie midzy innymi silnikw odrzutowych samolotw czy strumienio-wych odzi. W silniku odrzutowym powietrze jest najpierw zasysane do komory silnika, w ktrej ulega kompresji. W skompresowanym powie-trzu nastpuje spalanie benzyny, a gorce spaliny opuszczaj dysz silni-ka z du prdkoci. Pd wyrzucanych spalin wywouje w tym przypad-ku zmian pdu silnika, a przez to caego samolotu. Konstrukcje innego typu, wykorzystujce strumie rozpdzonych jonw (naadowanych cz-stek), uywane s do pozycjonowania satelitw i sond kosmicznych. Silniki oparte na zasadzie odrzutu wykorzystywane s rwnie w nap-dzie skuterw wodnych i nowoczesnych odzi podwodnych. W tym drugim przypadku haas wytwarzany przez ukad napdowy jest niszy ni w tradycyjnym rozwizaniu ze rub napdow. Naley pamita, e

DYNAMIKA

Strona 39393939

rwnie w przypadku rub, migie i wirnikw napdowych wykorzystu-jemy w mniejszym lub wikszym stopniu zjawisko odrzutu.

ROZDZIA 3

Strona 40404040

4 Praca i energia

W tym rozdziale:

o Praca o Pole si zachowawczych i niezachowawczych o Pole si grawitacyjnych, praca i energia w polu si

grawitacyjnych o Ruch po okrgu, ruch planet wok Soca, prawa

Keplera o Energia potencjalna sprystoci o Energia kinetyczna o Zasada zachowania energii mechanicznej o Zderzenia

ROZDZIA 4

Strona 42424242

4.1. Praca

W jzyku potocznym pojcie pracy ma wiele znacze. Mwimy o pracy umysowej (na przykad uczenie si do egzaminw) ale najczciej z po-jciem pracy wie si przemieszczaniem ciaa Jeeli na przykad prze-suwamy meble w pokoju to tym bardziej si zmczymy im dalej przesu-niemy dany mebel. Wiemy rwnie, e bardziej mczce jest przesuwa-nie cikiej kanapy ni lekkiego krzesa oraz, e duo atwiej jest przesu-wa meble po gadkiej pododze ni po dywanie. Tak wic moglibymy powiedzie, e tym bardziej si zmczymy (wykonamy wiksz prac) im trudniej jest nam przesuwa ciao (pokona wiksz si) oraz im dalej to ciao przesuniemy (wiksze przemieszczenie). W ten sposb dochodzimy do fizycznej definicji pracy.

Praca jest rwna iloczynowi przemieszczenia oraz siy, ktra te przemieszczenie wywouje. Praca jest wielkoci skalarn wyra-an w dulach (ang. Joul) [J] i w oglnoci moe by zdefinio-wana jako iloczyn skalarny siy i przesunicia:

cos sFsFW ==rr

(4.1)

gdzie oznacza kt midzy wektorem siy i przesunicia.

Rysunek 4.1. Praca jako iloczyn skalarny siy i przesunicia

Taka definicja pracy uwzgldnia fakt, e prac wykonuje tyko skadowa siy rwnolega do wektora przesunicia. Na przykad jeli przesuwamy skrzyni po pododze na odlego D = 3m, cignc j za uchwyt si F = 20N skierowan pod ktem = 45 do poziomu, to zgodnie z po-wyszym wzorem wykonamy prac W = 42.3J. Zalenie od wartoci si tarcia, wykonana praca moe by w caoci zuyta na pokonanie si tar-cia na tej drodze, bd (jeli podoga jest liska) na nadanie dodatkowo skrzyni przyspieszenia.

PRACA I ENERGIA

Strona 43434343

Definicja pracy przedstawiona w rwnaniu (4.1) suszna jest, jeli za-rwno sia dziaajca na ciao jak i kt midzy t si a przesuniciem maj sta warto. Jeli natomiast warto siy lub kta pomidzy kie-runkiem siy a wektorem przemieszczenia zmienia si podczas ruchu, musimy zastosowa inn procedur obliczania pracy cakowitej. Ponie-wa praca jest wielkoci addytywn, czyli cakowita praca wykonana na okrelonej drodze jest rwna sumie prac wykonanych na poszczeglnych jej odcinkach, to moemy ca drog podzieli na takie odcinki, dla ktrych warto siy i kta midzy si a przemieszczeniem s stae.

nnn222111 coscoscos xF...xFxFW +++= (4.2)

Przykadowo praca wykonana przy przesuwaniu kanapy w pokoju mogaby zosta podzielona na dwie skadowe przesunicia po dywanie oraz po parkiecie.

Opisan procedur obliczania pracy cakowitej mona rwnie przedsta-wi w formie graficznej jako procedur wyznaczania pola pod wykresem

zalenoci siy od przesunicia. Jeeli na pewnym odcinku drogi nx sia

ma sta warto nF to pole pod takim odcinkiem wykresu wynosi

nn xF i jest rwnoznaczne wykonanej pracy.

Jeeli sia zmienia swoj warto lub zwrot w kadej chwili czasu, nie-zbdne jest podzielenie drogi na nieskoczenie wiele bardzo maych kawaeczkw (infinitezymalnie maych), dla ktrych mona przyj sta warto dziaajcej siy. Praca cakowita bdzie sum skadowych prac wyznaczonych dla kadego z takich infinitezymalnych odcinkw. Proce-dura taka odpowiada matematycznej operacji cakowania i moemy j zapisa w postaci:

( ) ( )=

=

=b

a

)( dcos x

x

xxxFW (4.3)

lub w zapisie wektorowym:

( )=

=

=b

a

dx

x

xxFWrr

(4.4)

W powyszym zapisie wprowadzilimy znak caki oznaczonej, ktry oz-nacza, e sumowanie skadowych wartoci pracy przeprowadzane jest od punktu x = a do x = b.

ROZDZIA 4

Strona 44444444

Aby wyjani sposb obliczania caki oznaczonej rozpatrzmy najpierw cak nieoznaczon:

( ) ( )= xxfxg d (4.5)

gdzie jest symbolem cakowania (jest to stylizowana litera s i odpo-wiada sumowaniu), dx zmienn cakowania, f(x) funkcj podcakow za g(x) jest funkcj pierwotn. Operacja cakowania jest operacj odwrotn do rniczkowania i oznacza, e szukamy takiej funkcji g(x), ktrej pochodna po zmiennej x bdzie rwna funkcji podcakowej f(x):

)(d

)(dxf

x

xg= (4.6)

Naley podkreli, e funkcj g(x) bdc wynikiem cakowania znamy z dokadnoci do staej dodanie do funkcji g(x) dowolnej staej C nie zmienia jej pochodnej f(x). Zatem wzr 4.5 naley przepisa w postaci:

( ) ( )=+ xxfxg dC (4.7)

Rozpatrzmy teraz cak oznaczon:

a)(b)()d(Zb

a

==== =

=

xgxgxxf

x

x

(4.8)

gdzie x = a jest doln granic cakowania, za x = b jest grn granic cakowania.

W wyniku obliczania caki oznaczonej w przeciwiestwie do caki nie-oznaczonej otrzymujemy liczb (Z) a nie funkcj (g(x)). W praktyce w celu wyznaczenia wartoci Z takiej caki oznaczonej najpierw znajdu-jemy funkcj g(x), bdc rozwizaniem caki nieoznaczonej z funkcji f(x), a nastpnie od wartoci tej funkcji w grnej granicy cakowania (g(x=b)) odejmujemy warto otrzyman w dolnej granicy cakowania (g(x=a)).

Przykady

Przykad 1: Jak prac naley wykona, by wcign ciao o masie m po gadkiej rwni pochyej o kcie nachylenia na wysoko H? Opory ruchu zaniedbujemy.

PRACA I ENERGIA

Strona 45454545

Rysunek 4.2. Ruch ciaa po rwni pochyej

Zamy, e dziaamy na ciao si F skierowan wzdu powierzchni rwni. Ciar ciaa (mg) skierowany pionowo w d rozkadamy na dwie dwie skadowe: rwnoleg do rwni si cigajc ciao w stron podstawy rwni, Fs, oraz prostopad do rwni si nacisku, FN. Aby wciga ciao, sia F musi rwnoway si zsuwajc Fs :

sinmgF S = (4.9)

Droga, na ktrej wykonujemy prac, jest rwna:

sinHS = (4.10)

Zatem cakowita praca wynosi:

mgHSFW S == (4.11)

Wynik ten jest identyczny, jaki uzyskamy gdybymy podnosili ciao pionowo w gr. Tak wic jeeli zaniedbamy opory ruchu, praca (w polu grawitacyjnym) nie zaley od drogi, po ktrej przesuwamy ciao, a jedy-nie od pooenia punktu pocztkowego i kocowego.

Przykad 2: Jak prac naley wykona, by wcign ciao o masie m po rwni pochyej o kcie nachylenia na wysoko H, jeli wspczynnik tarcia kinetycznego o powierzchni rwni wynosi ?

W tym przypadku wcigajc przedmiot po rwni podobnie jak w po-przednim zadaniu rwnie musimy pokonywa si cigajc ciao ku podstawie rwni, Fs, wykonujc prac rwn W1 = mgH. Poniewa na rwni wystpuje dodatkowo sia tarcia T, do wcignicia ciaa niezbdna bdzie rwnie dodatkowa praca. Sia tarcia jest proporcjonalna do siy

ROZDZIA 4

Strona 46464646

nacisku ciaa na powierzchni FN (wypadkowa wszystkich si dziaaj-cych w kierunku prostopadym do powierzchni) a jej kierunek i zwrot s zawsze przeciwne wektorowi przemieszczenia tarcie przeciwdziaa ruchowi ciaa.

SFT N= (4.12)

Tak wic praca zwizana z pokonaniem siy tarcia wynosi:

SFSTW N2 == (4.13)

gdzie

cosmgFN = (4.14)

Zatem cakowita praca wcignicia ciaa po rwni pochyej o kcie nachylenia na wysoko H jest rwna:

( )

HmgWWW

sincossin21 +=+= (4.15)

Przykad 3: Jak prac naley wykona, by oprni przydomowy kolek-tor ciekowy o gbokoci D = 2m i objtoci V = 6m3 do cysterny? Za-rwno zbiornik kolektora, jak i zbiornik cysterny maj identyczne wy-miary. Przyjmij, e dno zbiornika cysterny znajduje si na identycznej wysokoci, jak grna powierzchnia zbiornika kolektora.

Rysunek 4.3. Przepompowywanie wody z kolektora ciekowego

do cysterny

Problem z pozoru wydaje si prosty naley unie pewn ilo wody na okrelon wysoko. Zauwaamy, e praca do wpompowania pierw-

PRACA I ENERGIA

Strona 47474747

szej porcji wody z powierzchni kolektora jest niewielka dno cysterny znajduje si na identycznej wysokoci co powierzchnia zbiornika. Jed-nak po wpompowaniu do cysterny pierwszej porcji wody, wytworzy ona warstw o wysokoci dh za poziom pynu w zbiorniku obniy si o dh i nastpna porcja musi by uniesiona na wysoko odpowiednio wiksz.

Podzielmy rozwizanie tego zagadnienia na dwa etapy wypompowanie wody ze zbiornika na poziom ziemi (praca W1) oraz wpompowanie wody z poziomu ziemi do cysterny (W2). Bdziemy rozpatrywa jednakowe mae porcje wody warstwy o wysokoci dh. Mas takiej warstwy moemy wyrazi jako dm = Sdh, gdzie jest gstoci wody a S polem przekroju zbiornika (rwnie cysterny) a sia uyta do podniesienia kadej takiej porcji wody ma t sam sta warto. Praca wykonana na podniesienie tej warstwy na wysoko h wynosi dW = Shdh. Przy oprnianiu zbiornika porcj wody pocztkowo bdziemy podnosi na wysoko 0 a na kocu na wysoko D wielkoci te bd granicami cakowania przy wyliczaniu pracy W1.

2

DMg

2

DShhgSW

2D

0

1 === d (4.16),

gdzie przez M moemy oznaczy cakowit mas wody rwn M = V. Prac W2, niezbdn do napenienia cysterny liczymy w identyczny sposb i otrzymamy t sam warto co w przypadku oprniania zbior-nika (W2 = W1). Cakowita praca wykonana przy przepompowaniu wody ze zbiornika do cysterny wynosi zatem:

MgDWWW 1 =+= 2 (4.17)

Warto zwrci uwag, e identyczny wynik uzyskalibymy, traktujc wod jako bry sztywn o rodku masy pooonym w poowie wysoko-ci zbiornika (w praktyce mona to osign np. elujc lub zamraajc wod), ktr podnosimy na wysoko D. Wwczas praca wykonana w obu przypadkach czy mamy do czynienia z ciecz, czy z bry lodu musi by taka sama. Z przykadu tego wynika praktyczna wskazwka, e zamiast rozpatrywa obiekty rozcige przestrzennie moemy zastpo-wa je mas punktow, czyli przyj e caa masa zgromadzona jest w jednym punkcie znajdujcym si w rodku cikoci obiektu.

ROZDZIA 4

Strona 48484848

4.2. Pole si zachowawczych i niezachowawczych

Jeli siy s zachowawcze to praca wykonana podczas prze-mieszczenia obiektu nie zaley od drogi po jakiej przesuwamy ciao a jedynie od pooenia punktu pocztkowego oraz kocowego.

Rysunek 4.4. Praca przemieszczenia ciaa w polu si zachowawczych

Rozwamy dwie drogi midzy punktami A oraz B A1B oraz A2B przedstawione na rysunku 4.4. Jeeli praca przemieszczenia ciaa z pun-ktu A do punktu B po drodze A1B oraz A2B ma tak sam warto, to punkty A i B znajduj si w polu si zachowawczych. Praca przemiesz-czenia ciaa w polu si zachowawczych zaley tylko od pooenia punktu pocztkowego i kocowego. Zatem w przedstawionym przypadku praca wykonana po drodze zamknitej wynosi zero, gdy pooenie kocowe jest tosame z pocztkowym. Przykadem pola si zachowawczych jest pole grawitacyjne. Jeeli pewien przedmiot przesuniemy na wierzchoek idealnie gadkiej rwni pochyej, wykonamy pewn prac przeciwsta-wiajc si sile grawitacji. Przesunicie tego przedmiotu z powrotem do pooenia pocztkowego u podna rwni odbywa si pod wpywem siy grawitacji. Wykonuje ona nad przedmiotem prac rwn co do wartoci pracy wykonanej przez nas. Poniewa w tym przypadku zwrot siy jest przeciwny, rwnie praca ma przeciwny znak. W efekcie cakowita praca na takiej drodze zamknitej (wsunicie i zsunicie po rwni pochyej) jest rwna zeru. Podobnie zerow cakowit prac otrzymamy na przykad dla ruchu wahada zegara, jeeli zaniedbamy opory powietrza oraz opory mechanizmu. Wahado podnoszc si wykonuje

PRACA I ENERGIA

Strona 49494949

prac przeciw siom grawitacji ale podczas obniania to siy grawitacji wykonuj identyczn prac nad wahadem.

Jeli ciao znajduje si w polu si niezachowawczych, to praca wykona-na na drodze zamknitej jest rna od zera. Wszystkie ukady, w ktrych mamy do czynienia z siami oporu, np. siami tarcia, tworz pole si niezachowawczych. W polu si niezachowawczych cz pracy zazwy-czaj rozpraszana jest w postaci ciepa i niemoliwe jest cakowite jej odzyskanie w postaci pracy mechanicznej.

4.3. Pole si grawitacyjnych

Sia grawitacji jest si przycigajc, dziaajc midzy wszystkimi ciaami obdarzonymi mas. Warto siy przycigania grawitacyjnego zaley od masy oddziaujcych cia m1 i m2 oraz odlegoci r midzy nimi:

221

r

mmGF = (4.18)

gdzie: r odlego pomidzy masami; G = 6.674210-11 Nm2kg-2 staa grawitacji

Podkrelajc powszechno siy przycigania grawitacyjnego naley za-znaczy rwnie, e wpyw oddziaywa grawitacyjnych pochodzcych od niektrych obiektw czsto moe by pominity. Na przykad na jabko wiszce na drzewie dziaa nie tylko sia grawitacji pochodzca od Ziemi ale take od drzewa, obserwatora stojcego pod drzewem czy in-nych jabek wiszcych powyej naszego jabka. Poniewa masa wszyst-kich wymienionych obiektw jest wielokrotnie mniejsza ni masa Ziemi, ich wpyw na warto i zwrot wypadkowej siy grawitacji jest znikomo may, dlatego z bardzo dobrym przyblieniem moemy zaniedba te czynniki i rozwaa wycznie wpyw oddziaywania grawitacyjnego Ziemi. Dowodem tego, e na obiekty znajdujce si na Ziemi dziaaj rwnie siy przycigania grawitacyjnego Soca i Ksiyca s m.in. pywy morskie.

Wrmy do przykadu pola si grawitacyjnych wytworzonych przez Ziemi. Warto siy grawitacji w takim polu si jest proporcjonalna do masy ciaa znajdujcego si w tym polu. Aby scharakteryzowa pole si

ROZDZIA 4

Strona 50505050

grawitacyjnych niezalenie od masy ciaa znajdujcego si w tym polu definiujemy natenie pola, czyli stosunek siy dziaajcej na niewielk mas m (nie zaburzajc pola pochodzcego od duej masy M) do wartoci tej masy m:

gr

GM

mr

GMm

m

FE

22==== (4.19)

Zauwamy e warto natenia pola grawitacyjnego pochodzcego od Ziemi wyznaczona na jej powierzchni (w odlegoci RZ od rodka Ziemi) jest rwna przyspieszeniu ziemskiemu g, czyli wartoci przyspieszenia, z jakim porusza si bdzie ciao znajdujce si na powierzchni Ziemi podczas swobodnego spadku:

2Z

Z

R

GMg = (4.20)

Wwczas si oddziaywania grawitacyjnego Ziemi (si cikoci Fc) na ciao o masie m znajdujcej si na powierzchni Ziemi moemy zapisa rwnie w postaci:

mgF =c (4.21)

Praca w polu si grawitacyjnych

W poprzednim rozdziale przekonalimy si, e podniesienie ciaa na wy-soko h wymaga wykonania nad ciaem pracy zwizanej z pokonywa-niem siy grawitacji (Fc = mg) i wynosi Wh = Fch = mgh. Wiemy rw-nie, e ciarek ten upuszczony z tej samej wysoko h moe wykona prac, WC, ktrej warto w ukadzie zachowawczym (nie istniej siy oporu) jest identyczna z prac wydatkowan na jego podniesienie Wh = mgh. Ciarek znajdujc si na wysokoci h posiada zdolno wykonania pracy o wartoci Wh = mgh. Taka zdolno do wykonania pracy w fizyce nazywana jest energi.

Praca i energia s ze sob cile powizane wykonana praca jest magazynowana w postaci energii.

Energia potencjalna si grawitacyjnych

Energi mona nazwa energi potencjaln, jeli zaley w jaw-ny sposb od pooenia w polu si

PRACA I ENERGIA

Strona 51515151

Energia ciarka z poprzedniego przykadu, znajdujcego si na pewnej wysokoci nad Ziemi, spenia t definicj. W pobliu powierzchni Zie-mi dla nieduych zmian wysokoci na ciao dziaa sia przycigania o wartoci mg. Jeeli opisujc takie ciao wprowadzimy poziom odnie-sienia, wzgldem ktrego liczymy wysoko (np. powierzchni Ziemi), to dowolnemu ciau znajdujcemu si na wysokoci h powyej tego poziomu moemy przypisa konkretn warto energii potencjalnej:

mghE = (4.22)

Mapa geograficzna z naniesionymi poziomicami, wyraajcymi wyso-ko punktw wzgldem poziomu morza (punkt odniesienia) moe zo-sta zatem odczytana rwnie jako zapis energii potencjalnej ciaa znaj-dujcego si na powierzchni ziemi.

Czy praca wykonana przeciwko siom tarcia rwnie powoduje wzrost energii potencjalnej? W tym przypadku praca nie jest magazynowana w postaci energii mechanicznej, ale tracona (rozpraszana) w postaci cie-pa. Moemy wwczas mwi jedynie o wzrocie energii wewntrznej ciaa problem ten omwimy dokadniej w rozdziale powiconym termodynamice.

Podobnie jak w przypadku siy oddziaywania grawitacyjnego wzr 4.21 jest prawdziwy jedynie dla obiektw znajdujcych si w pobliu po-wierzchni Ziemi, tak samo zaleno 4.22 opisujca energi potencjaln pola si grawitacyjnych jest prawdziwa jedynie dla niewielkich w porw-naniu z promieniem Ziemi odlegoci od powierzchni Ziemi.

W oglnoci energi potencjaln ciaa moemy zdefiniowa jako prac, jak naley wykona, by umieci ciao w danym punkcie. Zamy, e przemieszczenie ciaa o masie m odbywa si z punktu odlegego o r1 od rodka ciaa o masie M do punktu odlegego o r2, gdzie r2 < r1 Obliczajc prac przesunicia tego ciaa z punktu r1 do r2 korzystamy ze wzoru 4.18 oraz 4.3, w ktrym za warto cosinusa przyjmujemy 1, gdy w rozwa-anym przypadku wektor przemieszczenia z punktu r1 do r2 oraz sia grawitacji maj ten sam kierunek i zwrot:

=2

1

r

r

2r

r

GMmW d (4.23)

Skorzystalimy w tym przypadku z cakowej postaci wzoru na prac, poniewa sia dziaajca na ciao ma zmienn warto zaley od odlegoci od rodka ciaa o masie M. Funkcj pierwotn dla funkcji 1/r2

ROZDZIA 4

Strona 52525252

jest funkcja 1/r. Aby obliczy warto powyszej caki od wartoci funkcji pierwotnej wyznaczonej w grnej granicy odejmujemy warto w dolnej granicy cakowania. Otrzymujemy wzr kocowy na prac przesunicia ciaa o masie m w polu grawitacyjnym ciaa o masie M z punktu odlegego od rodka ciaa M o r1 do punktu odlegego o r2:

=

21 r

1

r

1GMmW (4.24)

Powyszy wzr na prac zaley od dwch zmiennych punktu odniesi-nia (r1) oraz punktu, w ktrym znajduje si ciao (r2). eby unikn pro-blemu definiowania za kadym razem punktu odniesienia, we wszystkich zagadnieniach zwizanych z polem si grawitacyjnych umieszczamy punkt odniesienia w nieskoczonoci. Wwczas pierwszy wyraz we wzorze 4.24 zeruje si (jedno podzielona przez nieskoczo-no wynosi zero) i warto wykonanej pracy zaley wycznie od ko-cowego pooenia ciaa w polu grawitacyjnym. Oznacza to, e energia potencjalna grawitacji ciaa o masie m znajdujcego si w odlegoci r od masy M, bdcej rdem pola grawitacyjnego, wynosi wic:

r

GMmWE P

== (4.25)

Jak pokazalimy powyej ujemny znak energii potencjalnej jest konsek-wencj wyboru punktu odniesienia.

Gdyby energia potencjalna nie bya zdefiniowana ze znakiem minus, energia potencjalna ciaa znajdujcego si w wikszej odlegoci od ma-sy M byaby mniejsza. Poniewa wszystkie ukady d do osignicia minimum energii, wszystkie ciaa oderwayby si od powierzchni Ziemi. Obecno znaku minus powoduje, e ciao, by obniy swoj energi po-tencjaln porusza si w kierunku rodka Ziemi. Wwczas, gdy odlego r od rodka Ziemi maleje energia potencjalna staje si coraz bardziej ujemna, czyli coraz mniejsza.

Dla obiektw znajdujcych si w polu grawitacyjnym definiuje si cz-sto jeszcze jedn wielko fizyczn potencja grawitacyjny. Potencja grawitacyjny jest rwny energii ciaa podzielonej przez jego mas m (traktujemy mas m jako na tyle ma, e nie zakca ona pola). Potencja jest zatem zwizany wycznie z mas M, bdc rdem pola grawitacyjnego:

PRACA I ENERGIA

Strona 53535353

r

GMV g

= (4.26)

Druga prdko kosmiczna

Druga prdko kosmiczna jest to minimalna prdko jak powinno mie ciao, eby mogo opuci pole grawitacyjne Ziemi. W sposb cisy warunek ten speniony bdzie tylko w nieskoczonoci ale w prak-tyce chodzi nam o odlego na tyle du, aby energia potencjalna ciaa (wzr 4.25) bya bliska zeru.

Zamy e rakieta o masie m zostaje wystrzelona z powierzchni Ziemi pionowo do gry z prdkoci v. Na powierzchni Ziemi rakieta ta bdzie miaa wic zarwno energi potencjaln (wzr 4.25) jak i energi kine-tyczn rwn Ek = mv

2. Cakowita energia rakiety na powierzchni Ziemi wynosi zatem:

2

m

r

GMmE

2

c

v+

= (4.27)

eby rakieta moga dolecie do nieskoczonoci jej cakowita energia na powierzchni Ziemi musi by przynajmniej rwna zero (Ec 0). Std otrzymujemy wzr na II prdko kosmiczn:

ZZ

ZII gR

R

GM22==v (4.28),

gdzie RZ jest promieniem, za MZ jest mas Ziemi, z ktrej startuje rakieta. Dla Ziemi warto II prdkoci kosmicznej wynosi 11.2 km/s. Drug prdko kosmiczn mona wyznaczy dla rnych cia niebies-kich i np. dla Ksiyca wynosi ona 2.4 km/s, za dla Jowisza 59.5 km/s.

4.4. Ruch po okrgu

Szczeglnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego jest ruch jednostajny po okrgu, czyli ruch jaki wykonuje ciao poruszajce si w jednej paszczynie ze sta prdkoci bdce jednoczenie w staej odlegoci od wybranego punktu odniesienia. Tor ruchu takiego ciaa jest okrgiem. Opisujc ruch po okrgu korzystnie jest zastosowa biegunowy ukad

ROZDZIA 4

Strona 54545454

wsprzdnych. Przypomnijmy, e w ukadzie biegunowym pooenie ciaa jest opisywane przez jego odlego od pocztku ukadu wsprzd-nych (wsprzdna radialna r) oraz przez pooenie ktowe wzgldem wybranej osi odniesienia (wsprzdna ktowa ). Jeeli w opisie ruchu po okrgu pocztek biegunowego ukadu wsprzdnych umiecimy w rodku okrgu to wsprzdna radialna bdzie staa a zmienia si b-dzie jedynie pooenie ktowe ciaa. Podobnie jak w przypadku ruchu prostoliniowego w ruchu po okrgu prdko jest pochodn drogi ktowej po czasie i nazywana jest prdkoci ktow :

td

d = (4.30)

Prdko ktowa, mierzona w radianach na sekund, jest wektorem, ktrego kierunek zgodny jest z osi, wok ktrej nastpuje obrt, a zwrot wyznacza regua ruby prawoskrtnej lub regua prawej doni (jeeli palce otwartej doni pokazuj zwrot wektora prdkoci liniowej, czyli kierunek obrotu, to kciuk wyznacza kierunek i zwrot wektora prdkoci ktowej).

Pochodna prdkoci ktowej po czasie definiuje przyspieszenie ktowe :

2

2

d

d

d

d

tt

== (4.31)

Przedstawione powyej definicje przyspieszenia i prdkoci ktowych s analogiczne do odpowiednich wielkoci w ruchu prostoliniowym. Poszu-kujc relacji pomidzy wielkociami opisujcymi ruch obrotowy oraz ruch liniowy zaczniemy od wyznaczenia drogi, czyli dugoci uku, prze-bytej przez ciao poruszajce si po okrgu. Wielko ta bdzie zaleaa zarwno od zmiany pooenia ktowego jak i od pooenia radialnego,

czyli odlegoci od osi obrotu rl = . Jeeli zrniczkujemy t zale-no po czasie otrzymamy relacje midzy prdkoci liniow i ktow a po ponownym zrniczkowaniu relacj midzy przyspieszeniem linio-wym i ktowym. Otrzymamy w ten sposb zestaw zalenoci:

=

=

=

ra

r

r

l

v (4.32)

PRACA I ENERGIA

Strona 55555555

Poniewa poruszajce si po okrgu ciao wraca cyklicznie do miejsca startu, prdko ktow mona powiza z czstotliwoci:

Tr

f1

22===

v (4.33)

Jednostk czstotliwoci jest 1Hz (Hertz) = 1s1 co oznacza, e przy cz-stotliwoci 1Hz ciao wykonuje jeden obrt na sekund. Odwrotnoci czstotliwoci jest okres obrotu T, czyli czas jednego penego obrotu, wyraony w sekundach.

Przyspieszenie w ruchu po okrgu

W rozdziale 2.4 wprowadzilimy skadow styczn oraz normaln przy-spieszenia dla ruchu krzywoliniowego. W przypadku jednostajnego ru-chu po okrgu warto prdkoci mierzona wzdu okrgu jest staa a wic skadowa styczna przyspieszenia jest zerowa. Przypieszenie ca-kowite w ruchu po okrgu jest wic rwne skadowej normalnej:

r

aa n

2v

== (4.34)

Skadowa normalna przyspieszenia skierowana jest do rodka krzywizny toru wzdu promienia okrgu i dlatego czsto nazywana jest skadow radialn. Poniewa przyspieszenie normalne skierowane jest do rodka okrgu nazywa si je rwnie przyspieszeniem dorodkowym. Odpowia-dajca mu sia oddziaywania, ktra wywouje ruch ciaa o masie m po okrgu o promieniu r, jest nazywana si dorodkow:

r

mF

2v

= (4.35)

W przypadku obracajcej si karuzeli metalowy prt mocujcy krzeseko dziaa na krzeseko karuzeli si skierowan do rodka, rwn co do war-toci zdefiniowanej powyej sile dorodkowej. Osoba siedzca na krzeseku karuzeli odczuwa bdzie istnienie siy skierowanej wzdu promienia na zewntrz. Si tak, wystpujc w ukadzie zwizanym z ciaem poruszajcym si po okrgu nazywa bdziemy si odrodko-w. Sia ta jest rwna co do wartoci sile dorodkowej ale ma przeciwny zwrot. Warto podkreli, e sia odrodkowa jest si pozorn i w mo-mencie przerwania prta mocujcego krzeseko karuzeli, krzeseko to nie bdzie poruszao si ruchem przyspieszonym wzdu promienia, tylko ruchem jednostajnym prostoliniowym w kierunku wyznaczonym przez

ROZDZIA 4

Strona 56565656

wektor prdkoci w momencie zerwania prta. Ukad odniesienia zwi-zany z takim poruszajcym si po okrgu punktem jest tzw. ukadem nieinercjalnym, w ktrym wystpuj siy bezwadnoci dziaajce na ciao. W hamujcym samochodzie przedmiot znajdujcy si na pce doznaje przyspieszenia wzgldem samochodu przedmiot zachowuje si bezwadnie, czyli zachowuje stan ruchu przed hamowaniem i porusza si w kierunku przodu samochodu. Jeli ten sam samochd porusza si po okrgu (wykonuje gwatowny zakrt), przedmiot rwnie doznaje przy-spieszenia wzgldem samochodu. Przedmiot rwnie tutaj zachowuje si bezwadnie porusza si po linii prostej (wzgldem ukadu spoczynko-wego) i w konsekwencji zmienia pooenie wzgldem samochodu przesuwa si w kierunku boku samochodu. Siedzc w samochodzie od-czuwamy si wypychajc ciao na zewntrz okrgu, po ktrym porusza si pojazd. W obu przypadkach, zarwno hamowania jak i ruchu po okrgu, siy bezwadnoci jakim ulega przedmiot s konsekwencj przy-spieszenia caego pojazdu.

W przypadku pralek i suszarek bbnowych sia odrodkowa wykorzysty-wana jest do usuwania wody z tkanin. W urzdzeniach takich jak wirw-ki wykorzystuje si dodatkowo fakt, e sia odrodkowa zaley nie tylko od prdkoci z jak krc si obiekty we wntrzu bbna wirwki ale rwnie od masy tych obiektw co umoliwia oddzielenie ciszych frakcji od lejszych.

Ruch planet wok Soca

Pierwsza prdko kosmiczna

Przed odkryciem Kopernika w opisie ruchu planet i gwiazd korzystano z tzw. geocentrycznego modelu wiata, w ktrym Ziemia znajdowaa si w centrum wszechwiata, a wszystkie ciaa niebieskie kryy wok niej. W dziele O obrotach cia niebieskich Kopernik zaproponowa model w ktrym planety kr wok Soca po orbitach koowych (mo-del heliocentryczny), co pozwolio stworzy spjny opis wielu zjawisk astronomicznych. Jak ju wiemy z poprzednich rozdziaw aby planeta lub inne ciao niebieskie poruszao si po okrgu, musi na nie dziaa sia dorodkowa. Newton jako pierwszy stwierdzi, e si dorodkow jest sia grawitacji:

r

m

r

GMm2

2

v= (4.36)

PRACA I ENERGIA

Strona 57575757

Gdyby nie istniaa sia grawitacji ciao nie doznaoby przyspieszenia do-rodkowego, nie nastpioby zakrzywienie toru i odleciao by w prze-strze. Gdyby z kolei ciao nie miao prdkoci stycznej na orbicie, spadoby na ciao centralne.

Na podstawie zalenoci 4.36 moemy policzy prdko jak musi mie ciao o masie m aby porusza si po orbicie Ziemi o promieniu rwnym promieniowi Ziemi RZ:

ZZ

ZI gR

R

GM==v (4.37)

Tak zdefiniowana prdko nazywana jest pierwsz prdkoci kosmicz-n. Dla Ziemi pierwsza prdko kosmiczna przyjmuje warto rwn okoo 7.91 km/s. Podobnie jak w przypadku drugiej prdkoci kosmicz-nej rwnie pierwsz prdko kosmiczn mona wyznaczy dla innych cia niebieskich.

W przeciwiestwie do drugiej prdkoci kosmicznej, w przypadku ktrej rozwaalimy prdko skierowan prostopadle w stosunku do powierz-chni ciaa niebieskiego, pierwsza prdko odnosi si do wartoci prd-koci skierowanej rwnolegle do powierzchni ciaa niebieskiego. Jeli satelita bdzie mia mniejsz prdko, spadnie na powierzchni ciaa niebieskiego, jeli wiksz sia grawitacji nie bdzie wystarczajca do nadania satelicie odpowiedniego przyspieszenia dorodkowego i ciao bd znajdzie si na orbicie o wikszym promieniu, bd opuci pole grawitacyjne.

Prawa Keplera

W heliocentrycznym modelu Kopernika planety kr po koowych orbi-tach. Pniejsze dokadniejsze analizy ruchu planet wykonane min. przez Tychona de Brahe i Johannesa Keplera, wykazay, e orbity te s w oglnoci krzywymi eliptycznymi. Szczegowy opis ruchu planet za-wiera model Keplera, opierajcy si na trzech prawach:

1. Planety kr dookoa Soca po orbitach eliptycznych. Soce znajduje si w jednym z ognisk elipsy.

Ukad planeta-Soce z dobrym przyblieniem mona potraktowa jako ukad odosobniony tzn. uwzgldniamy jedynie siy wzajemnego oddzia-ywania zaniedbujc oddziaywania zewntrzne. W takim odosobnionym

ROZDZIA 4

Strona 58585858

ukadzie planeta i Soce porusza si bd wzgldem rodka masy uka-du po orbitach eliptycznych. W ukadzie Ziemia-Soce, gdzie masa Zie-mi jest ponad 3 tysice razy mniejsza ni Soca, z dobrym przyblie-niem mona przyj, e rodek masy takiego ukadu pokrywa si z geo-metrycznym rodkiem Soca a w konsekwencji, e Soce jest nieru-chome a Ziemia porusza si po orbicie koowej.

2. Prdko polowa planety jest jednakowa wektor czcy Soce i planet zakrela jednakowe pola w jednakowych odstpach czasu.

Drugie prawo Keplera wynika bezporednio z zasady zachowania mo-mentu pdu, ktra zostanie omwiona w jednym z kolejnych rozdziaw.

3. Kwadrat czasu obiegu planety dookoa soca jest propor-cjonalny do szecianu dugiej osi elipsy po ktrej porusza si planeta.

Trzecie prawo Keplera wynika bezporednio z faktu, e si dorodkow dziaajcej na planet jest sia grawitacji. Dla uproszczenia oblicze zamy na razie, e planeta porusza si po orbicie koowej. Wwczas przyrwnujc obie siy otrzymujemy zaleno:

o

2

2gF

r

m

r

MmF ===

vG (4.38)

Poniewa prdko planety wie czas penego obrotu (okres T) z du-goci orbity ( Tr2=v ) rwno 4.38 mona zapisa w postaci:

( )2

2

T

r

r

M 2G=

(4.39)

a po przeksztaceniach:

M

rT

322

G

4= (4.40)

PRACA I ENERGIA

Strona 59595959

4.5. Energia potencjalna si sprystoci

W urzdzeniach mechanicznych, ktre wykonuj prac np. obrt wska-zwek zegara w starych zegarach szafkowych, praca ta wykonywana jest kosztem energii dostarczonej z zewntrz. We wspczesnych urzdze-niach, w tym take w zegarach, jako rdo energii najczciej stosuje si baterie elektryczne ale kiedy powszechnie stosowano mechanizmy wykorzystujce energi potencjaln podcignitych ciarkw lub w przenonych zegarkach mechanizm magazynowania energii opiera si na nakrcaniu spryny. Jest to przykad pokazujcy, e energia me-chaniczna moe zosta rwnie zmagazynowana w postaci odksztacenia materiau taki rodzaj energii potencjalnej bdziemy nazywa energi potencjaln si sprystoci wynikajcych z oddziaywa midzy cz-steczkami materiau.

Rozpatrzmy spryn, ktr rozcigniemy (lub ciniemy) o dugo x. Sia jak musimy rozciga t spryn rwnoway si sprystoci spryny, ktra zgodnie z III zasad dynamiki Newtona ma zwrot prze-ciwny do zwrotu siy rozcigajcej. Jej warto zaley od dugoci roz-cignicia x co opisuje prawo Hookea:

xkFrr

= (4.41),

gdzie k jest wspczynnikiem sprystoci. Znak minus w powyszym wzorze oznacza, e sia z jak dziaa spryna ma przeciwny zwrot do wektora x, czyli sia sprystoci przeciwstawia si wyduaniu (lub cis-kaniu) i wskazuje zawsze na pooenie rwnowagowe.

Sia jak musimy dziaa, eby rozcign spryn ma przeciwny zwrot

ni sia sprystoci ( xkFrr

= ). Poniewa warto tej siy zmienia si wraz z wartoci wychylenia z pooenia rwnowagi, to prac wykonan przy rozciganiu spryny o dugo X obliczamy ze wzoru cakowego:

( ) S2

X

0

X

0

EkX2

1xkxxxFW ==== dd (4.41).

Rozcignita spryna wracajc do pooenia rwnowagowego wykona tak sam prac jak wykonalimy podczas jej rozcigania. Moemy

ROZDZIA 4

Strona 60606060

rwnie powiedzie e rozcignita spryna posiada zdolno do wyko-nania pracy. Poniewa wielko tej pracy zaley jawnie od wartoci od-ksztacenia spryny to spenia ona definicj energii potencjalnej i nazy-wana jest energi potencjaln sprystoci ES.

Energi potencjaln si sprystoci mona policzy rwnie dla cia sta-ych, poddanych rozciganiu lub ciskaniu. W tym przypadku rol wspczynnika sprystoci, opisujcego wasno materiau, peni modu Younga E. Poszukujc zwizku midzy moduem Younga a sta sprystoci moemy potraktowa badany materia, jakby by zbudowa-ny z punktw (atomw) poczonych maymi sprynkami. Sprynki te obrazuj oddziaywania midzyatomowe a ich staa sprystoci zaley od struktury materiau. Im wikszy bdzie przekrj elementu wykonane-go z danego materiau, czyli im wicej takich sprynek opisuje badany element, tym wikszy bdzie wspczynnik sprystoci dla caego materiau modu Younga, E.

kxLL

EAF ==

0

0 (4.42),

gdzie E jest moduem Younga, A0 przekrojem poprzecznym prbki, L0 dugoci pocztkow (rwnowagow), za L jest zmian dugoci prbki.

4.6. Energia kinetyczna

Energia kinetyczna jest zwizana ze stanem ruchu ciaa. Ciao posiada energi kinetyczn, jeli znajduje si w ruchu w danym ukadzie odnie-sinia. Energi kinetyczn mona rwnie zdefiniowa jako ilo pracy, jak naley wykona eby wprawi ciao w ruch.

Jeeli wic sia F przeprowadzi ciao ze stanu bezruchu (stan A) do prdkoci v (stan B), to wykonana praca wyniesie:

===B

A

B

A

B

A

st

mst

psFW d

d

dd

d

dd

v (4.43)

PRACA I ENERGIA

Strona 61616161

W powyszych przeksztaceniach si F zastpilimy pochodn pdu po czasie. Zaleno t mona dalej przeksztaci otrzymujc zaleno wykonanej pracy od prdkoci v jak osignie ciao:

k

2

0

B

A

E2

mm

t

smW ====

vvvv

v

ddd

d (4.44)

Tak wyznaczona praca wykonana by nada ciau o masie m prdko v definiuje energi kinetyczn ciaa. Energia ta jest wprost proporcjonalna do jego masy m i do kwadratu prdkoci v2. Zaleno energii kinetycz-nej od kwadratu prdkoci jest jedn z gwnych przyczyn (poza siami oporu), dla ktrych tzw. dynamika samochodw (sportowych i nie tylko) jest znacznie lepsza w zakresie niskich prdkoci ni prdkoci wyso-kich. Aby to wyjani obliczmy najpierw prac jak naley wykona, eby rozpdzi samochd o masie m = 1000kg od prdkoci v1 = 0 m/s do v2 = 10 m/s = 36 km/h oraz od v2 = 10 m/s do v3 = 20 m/s=72 km/h. Praca ta rwna jest rnicy energii kinetycznej kocowej oraz pocztkowej i w pierwszym przypadku wynosi W1 = Ek(v2) Ek(v1) = 50000J, za w drugim jest trzykrotnie wiksza i wynosi W2 = Ek(v3) Ek(v2) = 150000J. Tak wic utrzymanie podobnego przy-spieszenia w obu zakresach prdkoci wymagaoby cigego wzrostu mocy, co w praktyce jest trudne do osignicia.

Podczas przyspieszania to silnik pojazdu wykonuje prac rwn energii kinetycznej tego pojazdu. Natomiast gdy pojazd hamuje prac musi wy-kona ukad hamulcowy pojazdu. Poniewa przy dwukrotnie wikszej prdkoci energia kinetyczna jest czterokrotnie wiksza, to rwnie pra-ca wyhamowania jest czterokrotnie wiksza. Praca ta w wikszoci za-mieniana jest w energi ciepln i dlatego elementy ukadu hamulcowego, w szczeglnoci samochodw sportowych powinny by odporne na wy-sokie temperatury oraz tak zaprojektowane, aby jak najwydajniej odda-way ciepo do otoczenia

Warto rwnie zwrci uwag, e furgonetka o masie 2 ton i prdkoci 15 m/s, ktra ma identyczny pd jak samochd osobowy o masie 1 tony i prdkoci 30 m/s, ma dwukrotnie mniejsz energi kinetyczn, czyli zatrzymanie jej wymaga mniejszej pracy, jest atwiejsze.

Pojcie energii kinetycznej moemy odnosi rwnie do mikroskopowe-go opisu waciwoci cia. Nawet jeli pojazd znajduje si w spoczynku, czsteczki skadajce si na niego maj pewn energi kinetyczn cz-steczki gazu znajdujcego si w oponach znajduj si w cigym ruchu,

ROZDZIA 4

Strona 62626262

atomy metalu w karoserii wykonuj drgania wok pooe rwnowago-wych. Energia kinetyczna jest w takim mikroskopowym ujciu zwizana z temperatur ciaa, a dokadniej temperatura jest funkcj redniej energii kinetycznej, o czym bdzie jeszcze mowa w czci powiconej termodynamice.

4.7. Zasada zachowania energii mechanicznej

Podsumowujc rozwaania dotyczce energii wprowadzimy zasad za-chowania energii mechanicznej:

W ukadzie zachowawczym odosobnionym cakowita energia mechaniczna, czyli suma energii potencjalnej, Ep, zarwno grawitacyjnej jak i sprystoci, oraz energii kinetycznej, Ek, ciaa jest wielkoci sta.

const.=+ pk EE (4.45)

Oznacza to, e jeeli zaniedbamy straty energii (pracy wykonanej na rzecz si tarcia itp.), rne formy energii jak posiada ciao mog si zmienia, ale ich suma pozostaje staa. Dobrym przykadem do omwie-nia zasady zachowania energii jest skok na linie bungee. Stojc na mocie na wysokoci h nad rzek (na rysunku 4.4 h = h1 + h2) skoczek posiada energi potencjaln wzgldem poziomu odniesienia znajdujce-go si na poziomie rzeki. Pierwsza faza skoku jest spadkiem swobod-nym, w ktrym skoczek traci energi potencjaln ale nabiera prdkoci, czyli zyskuje energi kinetyczn:

2

mmgh

2v

= (4.46)

Kiedy lina rozwinie si w peni, osiga tzw. dugo swobodn na ry-sunku 4.4. oznaczon jako h1. Od tego momentu lina zaczyna dziaa jak rozcigana spryna. W tej fazie skoku energia potencjalna nadal si zmniejsza, kosztem wzrostu zarwno energii kinetycznej, jak i energii potencjalnej si sprystoci.

PRACA I ENERGIA

Strona 63636363

Rysunek 4.4. Energia skoczka bungee w rnych fazach skoku

W pewnym momencie ruchu, gdy sia napicia liny zrwnoway si grawitacji, prdko ciaa zacznie si zmniejsza, a wic spada rwnie jego energia kinetyczna. W najniszym pooeniu skoczka jego prdko wynosi zero nie posiada on zatem energii kinetycznej. Jego energia potencjalna grawitacji rwnie wynosi zero (skoczek znajduje si w punkcie odniesienia) i caa energia zmagazynowana jest w postaci energii potencjalnej sprystoci. Tak wic pocztkowa energia poten-cjalna grawitacji zostaje w caoci zmagazynowana w energii sprystoci rozcignitej liny. Energia ta moe nastpnie wykona pra-c podniesienia skoczka na wysoko mostu, a wic zgodnie z zasad zachowania energii, skoczek moe wrci do swojego pooenia poczt-kowego na mocie. W rzeczywistoci mamy jednak do czynienia ze stra-tami energii zwizanymi zarwno z oporami powietrza jak i wydziele-niem si ciepa w rozcigajcej si linie (nie jest to idealna spryna) i w efekcie skoczek nie powrci do poziomu mostu.

Uoglnieniem zasady zachowania energii mechanicznej jest oglna zasa-da zachowania energii, ktra mwi, e w ukadzie zachowawczym odo-sobnionym zmiana cakowitej energii ciaa (suma zmian wszystkich rodzajw energii) wynosi zero.

Jeeli na przykad rozpdzony samochd uderzy w przeszkod, to gwa-townie wytraci swoj energi kinetyczn, ktra zamieni si na prac zwizan z odksztaceniem karoserii oraz na wydzielone ciepo.

Zgodnie z zasad zachowania energii w samochodach elektrycznych energia potencjalna adunku elektrycznego zgromadzona w naadowa-

ROZDZIA 4

Strona 64646464

nym akumulatorze zamieniana jest w energi kinetyczn pojazdu. Jeli taki samochd jest wyposaony w hamulce elektromagnetyczne, w trak-cie hamowania moe odzyska znaczn cz energii kinetycznej i zgro-madzi j w postaci energii potencjalnej adunku elektrycznego.

4.8. Zderzenia

Opis zderze cia stanowi wany element dynamiki cia staych ale po-niewa podczas zderzenia dochodzi do przekazywania zarwno pdu, jak i energii, zderzenia odgrywaj rwnie du rol w procesach trans-portu, na przykad ciepa lub adunku elektrycznego.

Podczas zderzenia obowizuje zasada zachowania pdu, czyli pd rodka masy ukadu przed zderzeniem jest identyczny jak po zderzeniu. Jak ju omawialimy wczeniej zasada zachowania pdu w ukadzie dwu-, lub trjwymiarowym obowizuje dla kadego z wyrnionych kierunkw. Przykad zastosowania zasady zachowania pdu dla dwuwymiarowego zderzenia dwch kul bilardowych omwilimy w rozdziale 3.2.

Zasada zachowania energii jako jedna z podstawowych zasad fizyki obo-wizuje zawsze, rwnie podczas zderze. Jednake w praktyce wykorzystujemy j wycznie w przypadku zderze idealnie sprys-tych, w ktrych nie wystpuj straty energii. Zderzeniem bliskim do idealnie sprystego jest uderzenie piki rakiet tenisow w czasie zderzenia oba ciaa odksztacaj si sprycie, zarwno pika, jak i linka nacigu rakiety. Pojcie zderzenia sprystego mona rozszerzy rw-nie na przypadki w ktrych ciaa nie stykaj si ze sob w sposb widoczny dla obserwatora. Gdyby omawiane wczeniej kule bilardowe zostay naadowane elektrycznie lub namagnesowane w odpowiedni sposb, mogoby doj do przekazania pdu i energii bez zetknicia si krawdzi krkw. O charakterze zderzenia (czy jest spryste czy niespryste) decyduje charakter si wzajemnego oddziaywania cia.

Zderzenie spryste jest opisane nastpujcymi rwnaniami:

2K21K12P21P1 vvvv mmmm +=+ (4.47)

rwnanie wyraajce zasad zachowania pdu, oraz

PRACA I ENERGIA

Strona 65656565

2222

22K2

21K1

22P2

21P1 vvvv mmmm +=+ (4.48)

rwnanie wyraajce zasad zachowania energii kinetycznej.

W przypadku zderzenia idealnie niesprystego dochodzi do odksztace-nia plastycznego jednego lub obu cia. Odksztacenie to wie si z roz-praszaniem energii w postaci ciepa. W wyniku niesprystego zderzenia poczone ciaa poruszaj si w jednym kierunku. Rwnania opisujce zderzenie niespryste maj wic posta:

( ) K212P21P1 vvv mmmm +=+ (4.49)

( )

Emmmm

222

2K21

22P2

21P1 +

+=+

vvv (4.50)

gdzie E oznacza straty energii w postaci ciepa. Zderzenie niespryste wykorzystywane jest do wyznaczania prdkoci pociskw za pomoc tzw. wahada balistycznego. Urzdzenie to skada si z masywnego bloku, w ktry wbija si pocisk. Znajc mas pocisku i mas bloku, oraz prdko bloku z pociskiem po trafieniu mona wyliczy prdko pocisku przed uderzeniem w blok. Pomiar stosunkowo niewielkiej prd-koci bloku jest znacznie atwiejszy ni bezporedni pomiar prdkoci rozpdzonego pocisku. W szczeglnoci jeli blok zawiesimy na dwch niciach (rysunek 4.5) moemy oszacowa prdko na podstawie wyso-koci, na ktr uniesie si blok. Obecnie mona wykona taki pomiar technikami fotograficznymi lub za pomoc czujnikw optycznych, jed-nak w XIX wieku wahado balistyczne byo jednym z podstawowych przyrzdw do pomiaru prdkoci pocisku.

Rysunek 4.5. Zasada dziaania wahada balistycznego

Do odksztace plastycznych dochodzi rwnie podczas zderzenia dwch samochodw, a wic zderzenia takie s niespryste. We wsp-czesnych samochodach tzw. strefy zgniotu s odpowiedzialne za rozpra-szanie energii uwolnionej podczas zderzenia. Analizujc rwnania opisujce zderzenie niespryste mona ponadto zauway, e jeli zde-rzeniu ulega lekki samochd osobowy, to straty energii s tym wiksze

ROZDZIA 4

Strona 66666666

im ciszy jest pojazd z ktrym si zderza zatem skutki zderzenia z sa-mochodem ciarowym s znacznie powaniejsze ni skutki kolizji z sa-mochodem osobowym o podobnej masie.

5 Dynamika bryy sztywnej

W tym rozdziale:

o Brya sztywna, moment bezwadnoci, rodek masy o Rwnanie ruchu bryy sztywnej o Zasada zachowania momentu pdu o Energia ruchu obrotowego

ROZDZIA 5

Strona 68686868

5.1. Brya sztywna

Bry sztywn bdziemy nazywa ciao, w ktrym odlegoci midzy po-szczeglnymi punktami ciaa s stae. Siy dziaajce na bry sztywn nie wywouj wic ani deformacji plastycznych, ani