Miara łukowa kątów

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

MIARA UKOWA KATWNie dosc, ze funkcje trygonometryczne sa trudne same w sobie, to zabawe z trygonometriakomplikuje sie jeszcze bardziej i kaze sie zamiast stopni pisac radiany. Sa jednak ku temupowazne powody i zanim powiemy jak dokadnie sie definiuje radiany, sprbujmy wyjasnicpo co sie je wprowadza.

Historia funkcji trygonometrycznych

Pierwsza obserwacja jest taka, ze definicje funkcji trygonometrycznych w trjkacie prosto-katnym pozwalaja mwic tylko o funkcjach katw ostrych. To jest za mao. Nawet jezelichcemy sie zajmowac tylko trjkatami, to przeciez katy w trjkacie moga byc rozwarte, achcielibysmy miec twierdzenia sinusw czy cosinusw dla dowolnych trjkatw. Jak siejeszcze chwile zastanowimy to w czworokatach, ktre nie sa wypuke, katy moga byc do-wolnie bliskie 360, wiec potrzebujemy miec funkcje trygonometryczne dowolnych katw zprzedziau 0, 360.

Jak sie jeszcze troche pobawimy funkcjami trygonometrycznymi, to odkrywamy rznewzory np.

sin(x+ y) = sin x cos y+ sin y cos x.

Jezeli jednak umiemy liczyc funkcje trygonometryczne tylko w przedziale 0, 360, to ma-my dziwna sytuacje, bo np. dla x = y = 30 wzr jest OK, ale dla x = y = 200 jest zle, bo zlewej strony wychodzimy poza dziedzine sinusa.

Katowi 200 + 200 mozna jednak nadac interpretacje geometryczna jezeli myslimy oramieniu zaczepionym w punkcie O i obracajacym sie najpierw o 200, a potem jeszcze raz o200, to powinno byc jasne, ze jest to to samo, co jeden obrt tego ramienia o 400 360 =40.

O200o

200o

40o

W ten sposb dochodzimy do tego, zeby zdefiniowac

sin 400 = sin 40.

I tak dalej. W ten sposb definiujemy funkcje trygonometryczne dla dowolnych katw.

Liczby zamiast stopni

Powyzsze definicje funkcji trygonometrycznych dowolnych katw maja jednak zasadniczawade: argumenty tych funkcji (to co do nich wstawiamy) nie sa liczbami, tylko sa liczbamiz mianem (sa to wielokrotnosci jednostki 1). Np. nie ma sensu pytac sie czy 30 > 5, alboliczyc (30)2 (mozna za to policzyc 30 30 = 900). To jest duzy problem, bo w ten sposb

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


nie mozemy robic z funkcjami trygonometrycznymi tego, co robimy z innymi funkcjami, naprzykad nie maja sensu wyrazenia postaci

sin(x2)sin(cos(x)).

Pierwsze wyrazenie nie ma sensu, bo nie mozemy mnozyc katw przez siebie, a drugie bodo sinusa mamy wstawiac katy, a nie liczby. Mwiac jeszcze inaczej, chcemy myslec o funkcjijak o maszynce, ktra zamienia liczby na liczby, a nie stopnie na liczby.

Aby rozwiazac ten problem, zamienia sie katy na liczby i to sa wasnie radiany, lub jakktos woli miara ukowa.

Definicja miary ukowej

Jak przyporzadkowac katowi liczbe? pomys jest prosty: bierzemy okrag jednostkowy (opromieniu dugosci 1), umieszczamy wierzchoek kata w srodku okregu i patrzymy jaka jestdugosc uku okregu wycietego przez ten kat.

O 1

1

Poniewaz cay okrag jednostkowy ma dugosc 2pi, to

360 = 2pi180 = pi

90 = 2pi4

=pi

2,

i tak dalej. Dla katw spoza przedziau 0, 360, wygodnie jest myslec o dugosci uku jakizakresla promien okregu obracajacy sie o dany kat. Np. promien po obrocie o 720 dwa razyodjedzie okrag, wiec 720 = 4pi.

Oglnie mamy wzr

1 = 2pi360

=pi

180czyli

n = n180

pi.

Ujemne katy



We wczesniejszej opowiesci o definiowaniu funkcji trygonometrycznych dowolnych katwpozostaa istotna luka: nie powiedzielismy jak definiowac funkcje trygonometryczne katwujemnych. A co to sa katy ujemne? hm, tak naprawde takich nie ma, musimy je dopierowymyslic.

Jaka interpretacje nadac katowi 40? odpowiedz jest prosta, ma to byc taki kat, zeby40 + (40) = 0.

Jak cos takiego zrobic? zaden problem: jezeli myslimy o kacie 40 jako o kacie zakreslonymprzez obracajace sie ramie zaczepione w punkcie O, to definiujemy kat 40 tak samo, aleramie ma sie krecic w druga strone.

O40o

-40o

Jak dodamy do siebie takie katy, to ramie najpierw obraca sie o 40, potem obraca sie oten sam kat w druga strone, czyli w sumie nic sie nie zmienia wychodzi kat 0.

W ten sposb otrzymujemy definicje katw zorientowanych, czyli takich, ktre mogabyc dodatnie lub ujemne. Zauwazmy, ze tak naprawde obu katom 40 i 40 odpowiadaten sam kat niezorientowany, czyli kawaek paszczyzny miedzy ramionami kata.

Rznica miedzy katami zorientowanymi i niezorientowanymi jest dokadnie taka samajak rznica miedzy odcinkami, a wektorami: wektor to odcinek, w ktrym wyrzniono jedenz koncw (poczatek wektora); podobnie kat zorientowany to kat, w ktrym wyrznionojedno z ramion (poczatkowe ramie kata).

No to juz sobie wyjasnilismy, co to sa ujemne katy, ale wciaz nie powiedzielismy jakzdefiniowac sin(40). Aby to zrobic, zauwazmy, ze ramie obrcone o kat 40 laduje do-kadnie w tym samym miejscu co ramie obrcone o 360 40 = 320.

O320o

-40o

Definiujemy wiecsin(40) = sin 320.

Orientacja paszczyzny

Kilka razy mwilismy juz o obracaniu sie promienia/pprostej o kat. Jednak na paszczyz-nie mozemy krecic sie w dwie strony: zgodnie z ruchem wskazwek zegara i przeciwnie.



Aby mwic o katach zorientowanych trzeba sie umwic, ktry obrt ma byc dodatni, a kt-ry ujemny. Ta umowa to tak zwany wybr orientacji paszczyzny. Standardowo umawiamysie, ze obrt przeciwny do ruchu wskazwek zegara jest dodatni, a obrt zgodny z ruchemwskazwek zegara jest ujemny. Oczywiscie to tylko umowa, rwnie dobrze mozna by um-wic sie przeciwnie (czyli wybrac inna orientacje paszczyzny).

Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!TIPS & TRICKS

1

Podanego wzorun = n

180pi

nie warto sie uczyc na pamiec. Wystarczy zapamietac, ze pi = 180 i wyliczac interesujacynas kat z proporcji.

Zamienmy kat 512pi na stopnie.Mamy proporcje

x180

=5

12pi

pi x = 5

12 180 = 75.

2

Tak naprawde w zadaniach szkolnych w kko przewija sie tylko kilka katw:

30 = pi6

, 45 = pi4

, 60 = pi3

, 90 = pi2

.

Jezeli uda nam sie zapamietac te wartosci (co tak czy inaczej sie stanie, jezeli bedziemy roz-wiazywac zadania z trygonometrii), to bez trudu bedziemy wtedy identyfikowac wielokrot-nosci tych katw, np.

120 = 2pi3

, 150 = 5pi6

, 270 = 3pi2

.

3Miare ukowa mozemy rwniez liczyc, jezeli mamy kat umieszczony w okregu o dowolnympromieniu r wtedy wystarczy popatrzec jaka czesc dugosci caego okregu on wycina.



Obliczmy miare kata srodkowego w okregu o promieniu 5, ktry wycina z tegookregu uk dugosci pi.Cay okrag ma dugosc 10pi, zatem dany kat stanowi 110 kata penego, czyli mamiare ukowa

110 2pi = pi

5.

4

Czasami wygodnie jest wyznaczac miare ukowa kata srodkowego patrzac nie na dugoscuku jaki on wycina, ale sprawdzajac jaka czesc pola wycina on z caego koa.

Obliczmy miare ukowa kata srodkowego w okregu o promieniu 3, dla ktregoodpowiadajacy wycinek koowy ma pole 9.Pole caego koa jest rwne 9pi, zatem dany kat stanowi 1pi kata penego, czyli jegomiara ukowa jest rwna

1pi 2pi = 2.

5

Warto pamietac, ze miara kata wpisanego w okrag jest dwa razy mniejsza od miary katasrodkowego opartego na tym samym uku.

Obliczmy miare kata wpisanego w okrag o promieniu 5 opartego na uku dugosci9pi.Cay okrag ma dugosc 10pi, zatem kat srodkowy oparty na danym uku ma miareukowa:

910 2pi = 9

5pi.

Kat wpisany jest dwa razy mniejszy, wiec ma miare 910pi.

6

Nie nalezy zapominac, ze miary katw w radianach to prawdziwe liczby (w koncu o tochodzio!), wiec pi 3, 1415 itd.

Oblicz tg |1 |pi4 1||.Liczymy

tg1 pi

4 1

= tg 1 + (pi4 1

) = tg pi4

= tg 45 = 1.



Rozwiazmy rwnanie |pi sin x| = 2Poniewaz pi > 2 > sin x to mozemy opuscic wartosc bezwzgledna:

pi sin x = 2 sin x = pi 2.To jednak nie jest mozliwe, bo prawa strona jest wieksza od 1, czyli rwnanie jestsprzeczne.

7

Wprawdzie wiekszosc katw, ktre przewijaja sie przez zadania szkolne ma w sobie pi, aleoczywiscie kazda liczba rzeczywista wyznacza dokadnie jeden kat.

Jak wyobrazic sobie kat o mierze

2?Przesuwamy wzduz okregu jednostkowego punkt o

2. Kat jaki zakre-

sli odcinek aczacy ten punkt ze srodkiem okregu to dokadnie kat o mie-rze ukowej

2. Oczywiscie to przesuwanie mozemy sobie tylko wyobrazic

raczej nie uda nam sie tego wykonac tego przy pomocy cyrkla i linijki.

O 21

12

8

Dlaczego zamieniajac miare katw w stopniach na liczby (motywacja do wprowadzeniaradianw) nie moglismy po prostu odrzucic stopni i mwic, ze 360 to 360? Szczerze mwiacmoglismy, ale to jest gorsze niz radiany. Aby to wyjasnic, musimy sobie uswiadomic, cooznaczaja liczby bez miana (bez jednostki). To jest trudny moment i historycznie pozbyciesie jednostek zmienio oblicze matematyki. Ustalamy, ze wiemy co znaczy 1 powiedzmy,ze jest to dugosc jednostkowego odcinka na paszczyznie, np. dugosci 1cm. Jest jasne cow takiej sytuacji oznacza dodawanie i odejmowanie liczb. Kopot zaczyna sie z mnozeniem.Mozemy o nim myslec na trzy sposoby. O 3 5 mozna myslec tak: ze trzy razy bierzemyodcinek dugosci 5 (czyli 3 5 cm), ze 5 razy bierzemy odcinek dugosci 3 (czyli 3 cm 5), lubze liczymy pole prostokata o bokach 3 i 5 (czyli 3 cm 5 cm). Tak sie szczesliwie skada, ze zakazdym razem wychodzi to samo i dlatego piszemy 3 5 = 15 nie przejmujac sie co ten napisoznacza. Dzieki temu ma np. sens dziaanie 2 + 3 5 i nie musimy sie zastanawiac czy toprzypadkiem nie jest dodawanie odcinka do prostokata. Nie ma tez kopotw z interpretacjawyrazenia 3 3 3 3 3, do ktrego jednostki mozemy juz dopisac na wiele sposobw.

No to wracamy do radianw. Ustalilismy juz, ze na paszczyznie jest ustalona jednostka(np. 1 cm). Miara w stopniach zupenie te jednostke ignoruje: 30 oznacza dokadnie to sa-mo, gdy jednostka jest 1 cm i gdy jednostka jest 1 m. W takim razie, zamienienie 30 7 30



jest lekko bez sensu: 30 i 30 (wielokrotnosc jednostki) nie maja ze soba nic wsplnego, np.otrzymana w ten sposb nierwnosc 30 = 30 > 28 nie ma zadnej interpretacji geometrycz-nej, liczby po obu stronach pochodza z zupenie innych swiatw.

Inaczej jest z radianami. Przyporzadkowanie katowi dugosci uku jaki on wycina z okre-gu jednostkowego jak najbardziej uwzglednia przyjeta na paszczyznie jednostke moznapowiedziec, ze jest to mierzenie katw ta sama miarka, ktra mierzymy dugosci odcinkw.

Z pewnoscia powyzszy komentarz nie jest atwy do zrozumienia (szczeglnie przy pierw-szym czytaniu), ale powinien co najmniej zostawic wrazenie, ze sa wazne powody wyzszo-sci radianw nad stopniami.

9Podobnie jak dla katw na paszczyznie, mozna prbowac mierzyc katy bryowe (prze-strzenne) polem powierzchni jaki ma obszar wyciety przez nie ze sfery o promieniu 1. Tujednak sytuacja jest bardziej skomplikowana i taka miara nie jest az tak uzyteczna jak miaraukowa na paszczyznie. Powd jest taki, ze jezeli chcemy, zeby miara jednoznacznie wyzna-czaa kat z dokadnoscia do przesuniecia i obrotu, to musimy sie ograniczyc do okragychkatw jakie tworza stozki. Jednak najciekawsze katy przestrzenne to katy wieloscienne (ta-kie jak otoczenie wierzchoka ostrosupa). Takie katy na og mierzy sie miarami katw pa-skich pomiedzy tworzacymi go pprostymi.


Miara łukowa kątów

Documents

Transcript of Miara łukowa kątów