1

Metody opracowania wzorów do projektowanie regulatorów PID

PID-IND (INDependent algorithm), Matlab: Paraller

PID-ISA (Ideal Standard Algorithm), Matlab: Ideal

sksk

kR di

p

)11( sTsT

KR di

p

RGG

YE

e

11

*RGRGG

YY

z

1*

oRoR

oR

oR

oR

oR

oR

z LLMMLL

MMLL

MMLL

RGRGG

11

PID-(interacting)

''

' 111 di

p sTsT

K

dpdi

pipp TKk

TK

kKk ,,

'

'''

i

dipp T

TTKK

'''dii TTT

''

'''

di

did TT

TTT

idp

p TTK

K /4112

'

idi

i TTT

T /4112

'

idd

d TTT

T /4112

'

dla Ti ≥4Td.

p

dd

i

pipp k

kT

kk

TkK ,,

Kontrolować zmienną procesową oraz zmienną sterującą

u-y* y

+ Re G

2

Metody opracowania wzorów do projektowanie regulatorów PID

Metody doboru nastaw PID

Metody podstawowe:(inżynierskie)

- metody optymalizacyjne(analityczne i symulacyjne)

– na podstawie odpowiedzi skokowej

- na podstawie drgań krytycznych

Metody zaawansowane:

- graphical tunning

- metody algebraicznenp. metoda reduktów

- metody lokalizacji biegunów

3

M.podstawowe – na podstawie odpowiedzi skokowejZasada:• w warunkach równowagi zadać wymuszenie skokowe na obiekt i zarejestrować rekcję• wyznaczyć transmitancję obiektu (postać transmitancji zależy od metody projektowania UR)• zastosować wzory do obliczenia nastaw na podstawie parametrów transmitancji obiektu

4

M.podstawowe – na podstawie odpowiedzi skokowej

PID

PI

TdTiKpRegulator

h(t)

To T

k

tokTT9,0

okTT2,1

oT33,3

oT5,0oT2

1

Tske osT►► 1metoda1metoda ZiegleraZieglera--NicholsaNicholsa (odpowiedzi skokowej)

Uwagi: PID-ISAJeśli To≈0, to ....

Oryginlny artykuł Zieglera i Nicholsa np.: https://engineering.purdue.edu/~zak/ECE680/Ziegler-Nichls_1942.pdf

h(t)

To

T

k

ta

oTa

Tk

Ziegler-Nichols

To/22To1.2/aPID

3To0.9/aPI

1/aPTdTiKp

[Pid controllers; Astrom; Tab4.1]

TkT

a o

(+) Prosty eksperyment(-) Identyfikacja modelu obiektu przy rozwartej pętli regulacji

• Identyfikacja modelu obiektu (przy rozwartej pętli)• Obliczenie nastaw wg tabeli

(Ziegler-Nichols step response)

Ziegler-Nichols

To/22To1.2/aPID

3To0.9/aPI

1/aPTdTiKp

20%0%Przereg.

0.5To

Td

T1.2T

Ti

0.6/a0.35/a0.3/a

Kp

0.47To1.4T0.95/aPID

T0.6/aPI

0.7/aPTdTikp

Chien, Hrones, Reswick

PID

PD

PI

P

TdTiKpReg.

192.019.0

a

113.0124.1

a

135,011

a

118.0135.1

a

oT

2.110.33.3

oT

39.010.35.2

oT

87.0136.027.0

oT

81.0137.037.0

TTT

o

o

Cohen - Coon

h(t)

To

T

k

ta

5

[Pid controllers; Astrom; Tab4.4, Brzózka/Tab4.3]

[Pid controllers; Astrom; Tab4.8], Brzózka/Tab4.4

[Pid controllers; Astrom; Tab4.1]M.podstawowe – na podstawie odpowiedzi skokowej

oTa

Tk

TkT

a o

http://blog.opticontrols.com/archives/383*G.H. Cohen and G.A. Coon,Theoretical Consideration of Retarded Control,Trans. ASME, 75, pp. 827-834, 1953

6

M.podstawowe – na podstawie odpowiedzi skokowej

1. Stałe PV przez okres 0,1 tU2. Skok CV i zapis odpowiedzi skokowej3. Stan ustalenie odpowiedzi4. Obliczenie modelu Strejca G(s)=k/(Ts+1)n (dla 1<=n<=8)5. Obliczenie nastaw i sugestia algorytmu (PI lub PID)6. Wybór algorytmu i akceptacja nastaw przez operatora

►► Auto-tuning w SIPART

nTsk

1

12

41

nn

k

2167

461

nn

k

7

M.podstawowe – na podstawie drgań krytycznych

Zasada:• doprowadzić układ regulacji do niegasnących oscylacji (np. granica stabilności)• wyznaczyć parametry niegasnących oscylacji• zastosować wzory do obliczenia nastaw na podstawie parametrów oscylacji

►► 2 metoda2 metoda ZiegleraZieglera--NicholsaNicholsa (metoda cyklu granicznego)

https://www.ceasiamag.com/2006/12/auto-tuning-control-using-ziegler-nichols/; Halawa/r.9.1

PID

PI

P

Regulator

pkrytK6,0

iT dT

pkrytK45,0

pkrytK5,0

pK

oscT5,0

oscT85,0

oscT12,0

8

M.podstawowe – na podstawie drgań krytycznych

(-) Bardziej złożony eksperyment i konieczność wprowadzenia układu w stan oscylacji (granica stabilności)Na obiekcie przemysłowym na ogół nie jest możliwe

(+) Bez rozwierania pętli regulacji

Modyfikacja Pessena: Kp=0,2Kpkryt; Ti=0,33Tosc; Td=0,5Tosc

Modyfikacja Hanssena-Offereinsa (eliminacja pomiaru Tosc):PI:• ustaw tylko działanie P (Ti=max)• zwiększaj kp do granicy stabilności;• odczytaj Kpkryt → ustaw Kp=0,45 Kpkryt• zmniejszaj Ti do granicy stabilności;• odczytaj Tikryt → ustaw Ti=3Tikryt

PID:• dobierz nastawy dla działania PI• zwiększaj Td (do Tdmax) do maksymalnego tłumienia• ustaw Td=1/3Tdmax oraz Ti=4,5Tdmax• zmniejszaj Kp do uzyskania pożądanego tłumienia

• nastaw działanie proporcjonalne• zwiększaj wzmocnienie, aż odpowiedź na skokowe wymuszenie to oscylacje o stałej amplitudzie• odczytaj okres oscylacji• nastawy wg wzorów dla różnych regulatorów

(Ziegler-Nichols frequency response)

►► 2 metoda2 metoda ZiegleraZieglera--NicholsaNicholsa (metoda cyklu granicznego) - przykłady

9

M.podstawowe – na podstawie drgań krytycznych

oRoR

oRz LLMM

LLG

Przykład 1: Zastosowanie metody (udane)

Halawa/r.9.1

3)1(1

s

GpKR (Np. po uproszczeniu metodą uśrenienia stałej czasowej)

ppoRoR KsssKsLLMM 133)1( 233

Zastosowanie kryterium Hurwitza - układ stabilny gdy:

0pK i dodatnie podwyznaczniki wyznacznika

p

p

K

K

130031013

0)1( 23 WKW p

0)1(92 pKW031 W

→ → 8pK

Wniosek: 8pkrytK

Czy są wówczas oscylacje – czy układ ma bieguny zespolone?

(granica stabilności)

Z badań symulacyjnych: 64,3,8 oscpkryt TKWykres odp. skokowej

Potwierdzenie analityczne

u-y* y

+ Re G

►► 2 metoda2 metoda ZiegleraZieglera--NicholsaNicholsa (metoda cyklu granicznego) - przykłady

10

M.podstawowe – na podstawie drgań krytycznych

oRoR

oRz LLMM

LLG

Przykład 2: Zastosowanie metody (zawodne)

Halawa/r.9.1

sess

G 2,0

)13)(1250(1

pKR

Z badań symulacyjnych: 5,1280 oscpkryt TKWykres odp. skokowej

PI - niestabilne, PID – stabilne (p.Halawa/r.9.1)

Gdy eksperyment na obiekcie nie jest możliwy:- identyfikacja modelu i eksperyment symulacyjny- modyfikacja Äströma-Hägglunda

u-y* y

+ Re G

[1] http://www.processcontrolstuff.net/wp-content/uploads/2015/02/relay_autot-2.pdf[2] http://lup.lub.lu.se/luur/download?func=downloadFile&recordOId=8847786&fileOId=8859378

Karl Äström, Tore Hägglund, 1984, Institute of Technology Lund (Szwecja)+ bez rozwierania pętli/+ konieczność wprowadzania układu w stan oscylacji, ale łatwiejsze niż w mtodzie pierwotnej

oscosc TadA ),/(4 • wyznacz amplitudę i okres oscylacji:• nastawy PID ZN na podstawie oscylacji i okresu wg [1] wg [2]

11

[PID controllers; Astrom; Rys.6.4]

Tosc/3Tosc/20.2Aoscbez przeregulowania

Tosc/3Tosc/20.33Aoscmałe przeregulowanie

Tosc/8Tosc/20.6Aoscorginalne

TdTiKp

►► 2 metoda Zieglera-Nicholsa – modyfikacja Äströma-Hägglunda• przełącz na sterowanie dwupołożeniowe

Kp=0.35Aosc

Ti=0.77Tosc

Td=0.19Tosc

M.podstawowe – na podstawie drgań krytycznych

[Äström K.J.,The Department of Automatic Control at Lund University[Hägglund T.,The Department of Automatic Control at Lund University]

12

Odchylenie od wartości zadanej jest mniejsze

przy każdym kolejnym cyklu w stosunku 4: 1

(Quarter-amplitude damping,

quarter amplitude decay, QAD)

http://blog.opticontrols.com/archives/1066, http://blog.opticontrols.com/archives/39

sisotool(obiekt_lti)SISO Design (obiekt LTI) – około ver2015

Robust response timeClassical Design Formulas:

– Approximate MIGO frequency response– Approximate MIGO step response– Chien-Hrones-Reswick– Skogestad IMC– Ziegler-Nichols frequency response– Ziegler-Nichols step response 13

sisotool(obiekt_lti)SISO Design (obiekt LTI) – około ver2010

Robust response timeClassical Design Formulas:

– Approximate MIGO frequency response– Approximate MIGO step response– Chien-Hrones-Reswick– Skogestad IMC– Ziegler-Nichols frequency response– Ziegler-Nichols step response

14

15

M.zaawansowne – na podstawie położenia biegunów

[Advanced PID,Astrom/6.4-6.5]

u-y* y

+ Re G

Zasady:• przeliczyć cel (wskaźnik) regulacji na położenie (lokalizację) biegunów układu zamkniętego• wyznaczyć prosty model obiektu i założyć określony regulator (PI, PID)• wyznaczyć równanie charakterystyczne transmitancji układu zamkniętego

• dobrać parametry regulatora tak by uzyskac określone bieguny układu zamkniętego

oo

o

o

oz LM

LG

GG

10 oo LM

GR

GRo MM

LLRGG ,

Dowolny regulator, dowolny modelDla PI / PID - proste (uproszczone) modele

Idea: zapewnić określone położenie (lokalizację) biegunów zamkniętego układu regulacji

16

M.zaawansowne – na podstawie położenia biegunów

[]

h(t)

t

A11

tp

0,9

0,1tr tu

Δ)()()(2)( 22 tutxtxtx nnn

rjs 2,1

tteth r

rr

t sincos1)(

Przeregulowanie A1 0)( th

0sinsin)(2

tteth rrr

r

t

0sin tr pr t21

nrpt→ →

sincos1)( /

rp

retx → 1/ 11)( Aetx r

p

21//1

eeA r

Przeliczenie bezpośrednich wskaźników jakości na położenie biegunów

A1

ωn

tp

ξ ξ

→

h(t)

t

A11

tp

0,9

0,1tr tu

Δ

Im

Reωn

Im

Re

sin-1ξ Im

Re

σ Im

Re

rr t

8.1 )( 1A

ut6.4

A1 , tr , tu

III-3 /3 M.zaawansowne – na podstawie położenia biegunówPrzeliczenie bezpośrednich wskaźników jakości na położenie biegunów

Orientacyjnie (z wykresu A1=f(ξ))

A1= 5% → ξ=0.7A1 =15% → ξ=0.5A1 =35% → ξ=0.3

rr t

8.1

)( 1A

ut6.4

Zadanewskaźniki:

A1, tr, tu

→

►► Np. metoda linii pierwiastkowych (Matlab: Root Locus)

18

M.zaawansowne – na podstawie położenia biegunów

►► Lambda Tuning (metoda lokalizacji biegunów Dahlina)

[Advanced Pid ; Astrom/6.4-6.5]

1

0

TskeG

sT

sTsT

KsT

KRi

ip

ip

1)11(

PI:PI:

sTsTk

KesT

ksT

sTKG p

sT

i

ipo

)1(1

1 00

0)()1( 00 kKkTKTssTsTkK ppp

Założenia dla PI: Ti=T, 010 Te sT

Wymagana stała czasowa UR: Tz =λ

0

1kTKTkK

T p

p

z

)( 0TTkTK

zp , Ti=T

PID:PID:

Założenia dla PI: T’i=T,T’d=T0/2

''

' 111 di

p sTsT

KR

2/12/1

0

00

sTsT

e sT

sTsT

kKG po2/1 0'

0)2/( '0

' kKkTKTs pp

)2/( 0

'

TTkTK

zp

Wymagana stała czasowa UR: Tz =λ

, T’i=T, T’d=T0/2

)2/(2/

0

0

TTkTT

Kz

p

2/0TTTi 0

0

2 TTTT

Td

PID ISA:PID ISA:

Model obiektu postaci:

[Dahlin E.B., Designing and tuning digital controllers, Instruments and Control Systems, 42 (1968), June, pp.77-83]

19

M.zawansowane – metody lokalizacji biegunów

Halawa/r.9.4

1. Wyznaczenie transmitancji układu zamkniętego (Gz)- mianownik Gz jest funkcją parametrów obiektu i regulatora2. Porówać mianownik Mz do jednego z wielomianów 4 stopnia (wybór)3. Układamy układ równań:

– porównanie współczynników, poczynając od współ. przy najniższych potęgach s (najbardziejznaczące)

- ilość równań zależy od ilości niewiadomych:- niewiadowe: parametry regulatora i biegun α- wartość współczynnika odległości k zakładamy, np. k=10

4. Rozwiązanie układu równań (r.nieliniowe)

012

23

34)( asasasassM z

Przypadek 3: Trzy pierwiastki sobie równe (-α), a czwarty znacznie oddalony

Przypadek 2: Dwa pierwiastki sobie równe (-α), i dwa pozostałe sobie równe ale znacznie oddalone

Przypadek 1: Jeden pierwiastek znaczący (-α), a trzy pozostałe sobie równe ale znacznie oddalone (-kα, k>1 )

►► Metoda lokalizacji biegunów Halawy

4332223431 )3()1(3)13())(( kskkskkskskssM

423222234222 )()14()1(2)()( kskkskkskskssM

43223433 )31()3(3)3()()( kskskskskssM

Przykład dla układu zamkniętego rzędu 4:

[Janusz Halawa, prof PWr ]