Metody inteligencji obliczeniowej w algorytmach regulacji ... · Piotr Tatjewski: Metody...

Instytut Automatykii InformatykiStosowanej

Piotr Tatjewski: Metody inteligencji obliczeniowej w algorytmach regulacji predykcyjnejReferat na Seminarium „Sztuczna inteligencja w AiR”, 22.04.2005

Metody inteligencji obliczeniowej

w algorytmach regulacji predykcyjnej

Piotr TatjewskiPolitechnika Warszawska,Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej


Piotr Tatjewski: Metody inteligencji obliczeniowej w algorytmach regulacji predykcyjnejReferat na Seminarium „Sztuczna inteligencja w AiR”, Zielona Góra, 22.04.2005

Program prezentacjiZasada regulacji predykcyjnej, znaczenie i klasyfikacja algorytmów MPC Regulacja predykcyjna z modelem liniowymRegulacja predykcyjna z modelem nieliniowymInteligencja obliczeniowa w algorytmach predykcyjnych (nieliniowych)Algorytmy predykcyjne z modelem rozmytym Takagi-Sugeno(algorytmy analityczne, algorytmy z linearyzacjami)Algorytmy predykcyjne numeryczne z modelem neuronowym procesu/predyktora

algorytmy z linearyzacjamialgorytmy z nieliniową optymalizacją

Algorytmy z neuronową aproksymacją optymalizatora, regulatoraPodsumowanie



Zasada regulacji predykcyjnej

predykcja y k|k-( 1)

k k+1 k+N czask–1 k+Nu

pomiar y k( )d k( )

predykcja y k+p|k( )

k+2

y zad

horyzont predykcji

horyzont sterowania

k+3

y

sterowanie u(k+p|k)u

∆u k+ k( 1| )

k k+1 k+N czask–1 k+Nuk+2 k+3

u k k u(k)( | ) = ∆ ∆

y zad



Zasada regulacji predykcyjnej (c.d.)

Wyznaczanie wartości sterowań z zadania optymalizacji:

Npkdnkykykynkuku

kkukpkufkpky

f

kpkukpkukpkuNNpkNkukpku

NpUkpkuNpYkpky

kpkukpkykpkyJ

AB

p

p

uu

u

N

p

N

p

zad

Npkpku

u

u

,...,1)),(),(),...,1(),(),(),...,1(,

),|(),...,|1(()|(

: (procesu)obiektu modelu podstawie na predykcja czymprzy

))|1()|()|((,1,,),|1()|(

,1,,0,)|( ,,,1,)|(:ogr.przy

,}||)|(||||)|()|(||{min1

0

2

1

2

1,...,0),|(

=−−−−

−+=+

−+−+=+∆−=−+=+

−=∈+=∈+

+∆++−+= ∑∑−

==−=+∆

K

K

K

ΛΨ



Przyczyny powodzenia regulacji predykcyjnej:

Dzięki predykcji (przewidywaniu, w oparciu o model) technika skuteczna dla obiektów o trudnej dynamice,

W istocie jedyna technika regulacji uwzględniająca ograniczenia sterowań i wyjść, w sposób naturalny i bezpośredni,

Dzięki bezpośredniemu wykorzystaniu modelu technika skuteczna dla regulacji wielowymiarowej, uwzględniająca w sposób bezpośredni interakcje,

Technika zdefiniowana w dziedzinie czasu, stąd intuicyjnie zrozumiała, stosunkowo łatwa do wyjaśnienia operatorom procesów technologicznych



Klasyfikacja algorytmów regulacji predykcyjnej

Algorytmy MPC

LINIOWE(z modelem liniowym)

NIELINIOWE(z modelem nieliniowym)

ANALITYCZNE prawo regulacji

NUMERYCZNE - z zad. optym.

QP (LP) z ogr.

NIELINIOWEz niewypukłym

zadaniem optymalizacji

SUBOPTYMALNEZ ZAD. OPTYM.

uproszczonym(do QP)

SUBOPTYMALNEROZMYTE –

lokalne prawa reg.w strukturze TS



Regulacja predykcyjna z modelem liniowym

Predykcja na podstawie LINIOWEGO modelu obiektu:

Np

kpkykpky

nkykynkukuky

kpkukkukku

kdnkykykynkuku

kkukpkufkpky

TA

TB

T

AB

p

,...,1

,)|()|(

)]()1([)]()1([)(

)]|1()|1()|([

))(),(),...,1(),(),(),...,1(,

),|(),...,|1(()|(

0

=

++

++∆=

−−+−−++

+−+∆+∆∆=

−−−−

−+=+

LL

L

pp

p

HG

M

-- p - ty element trajektorii wymuszonej

-- p - ty element trajektorii swobodnej



Algorytmy analityczne (w wersji analitycznej)

Jeśli pominąć ograniczenia nierównościowe, to zadanie optymalizacji regulatora dla modelu liniowego:

Npnkykynkukuky

kpkukkukkukpky

kpkukpkykpkyJ

TA

TB

T

N

p

N

p

zad

Npkpku

u

u

,...1,)]()1([)]()1([)(

)]|1()|1()|([)|(gdzie

,}||)|(||||)|()|(||{min1

0

2

1

2

1,...,0),|(

=−−+−−++

+−+∆+∆∆=+

+∆++−+= ∑∑−

==−=+∆

LL

L

pp

p

ΛΨ

HG

M

ma rozwiązanie analityczne, ogólnie postaci:

TA

T

TB

Tzade

nkyky

nkukukykykkkuku

)]()([

)]()1([))()(()|(ˆ)(ˆ

−+

+−−+−=∆=∆

L

L

y

u

k

k



Algorytm analityczny DMC (Dynamic Matrix Control)

Algorytm DMC - model obiektu w postaci dyskretnej odpowiedzi skokowej.Prawo regulacji:

gdzie)]1()1([))()(()(ˆ

−=+−∆−∆+−=∆

Dnnkukukykykku

B

TB

Tzade Luk

długość dyskretnej odpowiedzi skokowej

OBIEKTu k( )

y k( )

d k( )ke

∑−

=∆

1

1

D

ju j u k-j( )k

u k( )∆+

+_ _

+

+1

1-zy k( )zad

-1



Algorytm analityczny GPC (Generalized Predictive Control)Algorytm GPC - model typu ARX (równanie różnicowe):

TA

T

TB

Tzade

nkyky

nkukukykykku

)]()1([

)]()1([))()(()(ˆ

−∆−∆+

+−∆−∆+−=∆

L

L

y

u

k

k

)()1()()(01

kdjkubjkyaky BA n

j jn

j j +−−+−−= ∑∑ ==

Prawo regulacji:

y k( )zad

+ _ ek OBIEKT

∑=

∆1

n

ju jk

_ _

∑=1j

yjk

B

nA∆ +

_y k( )∆ z -1z -1

+ u k( )y k( )

v k( )

u k-j( )

u k( )∆

y k-j( )

11-z-1



Zasady efektywnej implementacji, przy ograniczeniachStruktura NIEPOPRAWNA implementacji regulatora analitycznego DMC :

OBIEKT+ _ _

+

++

REGULATOR DMC

y zad

y

du∆

eu u

∑−

=∆

1

1

D

ju k-j( )

11-z-1

u j

k

k

Struktura POPRAWNA (zmieniono: sprzężenia od sterowań ograniczonych mode-lowo lub rzeczywistych ; dodano: układ ograniczenia całkowania (anti-wind-up)):

+

_

OBIEKT+ _ _

+

++

REGULATOR DMC

uu∆e

z -1

+

+

z -1

z -1 +_

intuyzad

y

d

∑−

=∆

1

1

D

ju k-j( )

u∆

11-z-1k

k u j



Prosty przykład: obiekt o odp. skokowej {0 0 0.2 0.5 0.6 0.62}

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4y

(−−

−),

yz

ad.(

− −

−)

DMC bez ogr., lambda= 0.01, D= 6, N= 6, Nu= 3, N1= 3, umax= 2, Dumax= 10

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

uint

(−

− −

),

u (−

−−

)

Przebieg wyjścia:

W strukturze niepoprawnej

Ze sprzężeniem od sygnału rzeczywistego ograniczonego

Dodatkowo z pętląanti-wind-up(nierozróżnialny z przebiegiem w algorytmie numerycznym !)

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y (−

−−),

yz

ad.(

− −

−)

DMC analit. z ogr, lambda= 0.01, D= 6, N= 6, Nu= 3, N1= 3, umax= 2, Dumax= 10, alfa= 0

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

uint

(−

− −)

, u

(−−

−)

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y (−

−−

),

yzad

.(−

− −

)

DMC analit. z ogr, lambda= 0.01, D= 6, N= 6, Nu= 3, N1= 3, umax= 2, Dumax= 10, alfa= 1

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

uint

(−

− −

),

u (−

−−

)



Efektywna regulacja predykcyjna z modelem liniowym:Algorytmu analityczny (prawo regulacji), zalecany w przypadkach:

bez ograniczeń sterowań/wyjść,z ograniczeniami sterowań, szczególnie dla obiektów o b. szybkiej dynamice i przy prostszych sterownikach – ale implementacja musi byćodpowiednia dla występowania ograniczeń. Wówczas jakość regulacji bliska optymalnej (jak w alg. numerycznym)

Algorytm numeryczny, rozwiązujący w każdym kroku zadanie QP z ograniczeniami (na całym horyzoncie predykcji):

dla obiektów o nie bardzo szybkiej dynamice i z ograniczeniami sterowańi/lub wyjść, potrzebny bardziej zaawansowany sterownik (rozwiązywanie w każdym kroku algorytmu zadania QP z ograniczeniami)



Regulacja predykcyjna z modelem nieliniowymWyznaczanie wartości sterowań z nieliniowego zadania optymalizacji:

,1,,),|1()|( ,1,,0,)|(

,,,1,)|(:ogr.przy

,}||)|(||||)|()|(||{min1

0

2

1

2

1,...,0),|(

−=−+=+−=∈+

=∈+

+∆++−+= ∑∑−

==−=+∆

NNpkNkukpkuNpUkpkuNpYkpky

kpkukpkykpkyJ

uu

u

N

p

N

p

zad

Npkpku

u

u

K

K

K

ΛΨ

przy czym predykcja na podstawie nieliniowego modelu procesu:

Npkdnkykykynkuku

kkukpkufkpky

AB

p

,...,1)),(),(),...,1(),(),(),...,1(,

),|(),...,|1(()|(

=−−−−

−+=+

Prowadzi to do nieliniowego i niewypukłego (multimodalnego) zadania optymalizacji – nie ma dla takich zadań ogólnych procedur optymalizacjiniezawodnych, dających rozwiązanie w ograniczonym, przewidzianym czasie



Inteligencja obliczeniowa w algorytmach predykcyjnych (nieliniowych)

Algorytmy analityczne rozmyte w strukturze Takagi-Sugeno

Algorytmy z linearyzacjami (MPC-NSL i MPC-NPL) z modelem procesu

nieliniowym rozmytym Takagi-Sugenow postaci sieci neuronowej

Algorytmy z optymalizacją nieliniową i sieciami neuronowymineuronowe modelowanie procesu/predyktoraneuronowe modelowanie optymalizatora - procedury optymalizacji z ograniczeniami, rozłącznie (osobny predyktor – też z reguły siećneuronowa) lub łącznie z modelem procesu



Algorytmy rozmyte w strukturze Takagi-Sugeno –efektywne analityczne realizacje nieliniowe (subopt.)

Struktura regulatora rozmyta projektowana na podstawie modelu obiektu rozmytego typu Takagi-Sugeno. Przykład regulatora FDMC:

OBIEKTy k( )zad

+ +_ u k( ) y k( )e k( ) u k( )∆DMC 2

DMC r

DMC 1 w (k)1

w (k)r

w (k)2

u k( )1

u k( )r

u k( )2

++

Wnioskowanierozmyte

∆

∆

∆

u k( )y k( )

... ...

11-z-1

DMC i – algorytm liniowy analityczny DMC dla i-tego punktu (obszaru) pracy(uzupełnienie struktury przy ograniczeniach sterowania – jak dla alg. liniowego)



Algorytmy nieliniowe numeryczne regulacji predykcyjnej (z optymalizacją w każdym kroku)

NSL – algorytmy Nieliniowe z Sukcesywnymi Linearyzacjami

NPL – algorytmy z NieliniowąPredykcją i Linearyzacją

NO – algorytmy z NieliniowąOptymalizacją (predykcja i optymalizacja traktowane łącznie, optymalizacja niekwadratowa(niewypukła))

Algorytmy dwufazowe („dual-mode”)

. . .

Model procesu rozmyty typu TS o takiej samej strukturze liniowych następników (model FTS-CLC):natychmiastowa linearyzacjanatychmiastowe wyznaczanie operatorów liniowych dla algorytmów

Sieci neuronowe jako szybkie modele:procesupredyktoraoptymalizatora regulatora



Regulacja predykcyjna z modelem FTS-CLCModel rozmyty procesu z r regułami o takiej samej strukturze następnika:

∑∑==

−+−=+m

j

in

j

ii jkubjkyakypoprzednik10

i )()()1(THENIF:R

może być traktowany jako liniowy o zmiennych współczynnikach:

aktywacji)poziomy )(()()(,)()(gdzie

)()()()()1()()1(101

−⋅=⋅=

−⋅+−⋅=+⋅=+ ∑∑∑===

kwbkwkbakwka

jkukbjkykakykwky

iiiiiii

m

j

in

j

iir

i

i

stąd:• natychmiastowa linearyzacja, co więcej:• natychmiastowe wyznaczanie operatorów liniowych (macierzy)

dla predykcji odpowiedzi swobodnej (algorytm NSL)i dla predykcji odpowiedzi wymuszanej (algorytmy NSL i NPL)- wzory jak dla algorytmów liniowych (współczynniki zależne od chwili k)



NPL – prosta i efektywna nieliniowa regulacja predykcyjna w wersji numerycznej

Algorytm realizuje w każdym kroku: nieliniową predykcję (NP) trajektorii swobodnej (tzn. przy założeniu ∆u(k+p|k)=0, p=0,,…,Nu-1) orazlinearyzację (L) modelu dla potrzeb optymalizacji (względem ∆u(k+p|k), p=0,,…,Nu-1) i optymalizację QP (Quadratic Programming)

OBIEKT

z -1z -1

lokalnego

modelu liniowego ( ) M kGeneracja

Optymalizacjaz modelem

liniowym (QP)0

REGULATOR

M( )k

zad u k( )y k( )

d k( )

u k-( 1)

u k( )∆

( )k0

11-z-1

y k( )

Y

Predykcja nieliniowa Y (k)

gdzie Y0(k) = [y0(k+1|k) y0(k+2|k) . . . y0(k+N|k) ] – trajektoria swobodna



NPL – prosta i efektywna nieliniowa regulacja predykcyjna w wersji numerycznej (c.d.)



pomiar y k( )


k+2

y zad

Horyzont predykcji

horyzont sterowania

k+3

y

sterowanie U k+p|k( )u

∆u k+ k( 1| )


u k k u(k)( | ) = ∆ ∆

Trajektoria swobodna Y k( ) - NIELINIOWA ( u( 0 0,...,N-1)Predykcja przyy k+p|k)= , p=∆

d k( )

∆y k+ |k( 1 ) - element liczonej na modelu ZLINEARYZOWANYM

trajektorii wymuszanej,

0

Sterowanie przy ∆u k+p|k = p= ,...,N-( ) 0, 0,1 1

y k+p|k( ) = ∆+ y k+p|k( )y k+p|k( )0



Modele w postaci sieci neuronowych dla algorytmów z bieżącą optymalizacją

Nieliniowe modele dynamiczne procesów technologicznych, konstruowane przez specjalistów branżowych to z reguły modele symulacyjne, złożone, o cechach numerycznych niekorzystnych dla zastosowań optymalizacyjnych.

Efektywny sposób postępowania: Traktując model symulacyjny jako źródło danych o procesie, skonstruowanie dla celów optymalizacji bieżącej modelu znacznie prostszego i o dobrych cechach numerycznych (gładkość, szybkość liczenia wartości i pochodnych), np. w postaci sztucznej sieci neuronowej.

Uwaga: model uproszczony powinien być konstruowany tak, aby możliwe było dostrajanie on-line (do danych rzeczywistych)



Modele w postaci sieci neuronowych dla nieliniowych algorytmów predykcyjnych

Połączenie zasady regulacji predykcyjnej oraz modeli neuronowych dziedzicząc zalety obu rozwiązań dobrze sięuzupełnia.

Struktury algorytmów:Algorytm MPC-NPL z modelem neuronowym procesu Algorytm MPC-NO (z nieliniową optymalizacją) z modelem neuronowym procesu dla predykcji (i optymalizacji)Algorytmy z neuronową aproksymacją optymalizatora

i predyktoraAlgorytmy z neuronową aproksymacją regulatora



Model neuronowy procesu (MISO)

))(,),1(),(,

),(,),(,),(()(,

,1,1

1,1

mmm

NmN

NmN

mmmm

nakykynbku

kunbkukugky

−−−

−−−=

K

KKK ττ

∑∑==

+=+=mm K

i

mi

mmK

i

mi

mmm kziwwkviwwky

122

122 ))(()()0()()()0()( ϕ

M)(1 kvm

)(kvmK

1

1

)0,(1mm Kw

)0,1(1mw

)0(2mw

)1(2mw

)(2mm Kw

)(kym

M

)1,(1mm Kw

)1,1(1mw

)1( −kym

)( mm naky −

)( , NmN nbku −

)( 1,1

mku τ−

ϕ

ϕ

M +M



Algorytm NPL z neuronowym modelem procesu –wyznaczanie nieliniowej trajektorii swobodnej

∑∑

∑ ∑

∑ ∑

+==

= +=

= =

+−+++−++

++−+−++

++−+−++=+

m

my

my

nmu

nmun

nmun

na

pNjm

mmpN

jm

mm

N

n

N

pNj

nmn

nmm

N

n

pN

j

nmn

nmmmmi

pjkyjSiwkpjkyjSiw

pjkujRiw

kpjkujRiwiwkpkz

1)(1

)(

1

01

1 1)(

,,1

1

)(

1

,0,11

0,

ˆ

ˆ

,

,

,

)(),()|(),(

)1(),(

)|1(),()0,()|(

τ

τ

)]1|()([))|(()()0()|(1

0,22

0 −−+++=+ ∑=

kkykykpkziwwkpky mm

K

i

mi

mmm

m

ϕ

gdzie

),1min()(),0),,1max(min()( ˆ,,, mm

ynm

unmnm

un nappNNppN −=+−= τ



Algorytm NPL z neuronowym modelem procesu –model zlinearyzowany (typu ARX)

)(),()(),( 11 kuzkkyzk −− = BA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

+++=

−−

−−

−

naMna

M

nana

zkazka

zkazkazk

)()(10

0)()(1),(

11

1111

1

KK

MOM

KK

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

++++=

−−−−

−−−−

−

nbNMnb

NMnbMnb

M

nbNnb

Nnbnb

zkbzkbzkbzkb

zkbzkbzkbzkbzk

)()()()(

)()()()(),(

,1,1

1,11,1

,11,11

1,111,11

1

KKK

MOM

KKK

B



Algorytm NPL z neuronowym modelem procesu –współczynniki modelu zlinearyzowanego

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=+−= ∑

=

nanal

nallSiwkdzkzdiwka

m

mK

i

mm

mmi

mmim

ml

m

,,1dla0

,,1dla),())(()))((()()( 1

12

K

Kxxϕ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=+−+

−=

= ∑=

nbnbl

nbllRiwkdzkzdiw

l

kbnm

nmnmK

i

nmnmm

mmi

mmim

nm

nml

m

,,1dla0

,,dla)1,())(()))((()(

1,,1dla0

)(,

,,

1

,,12

,

,

K

K

K

ττϕτ

xx

∑∑ =

−

=

=⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==

N

i

imu

mn

i

imu

nm NSNnNn

R1

,1

1

,, ,,,2dla

1dla0K

1,,, +−= nmnmnmu nbN τ

gdzie



Algorytm NO z neuronowym modelem procesuSzybkie liczenie wyjść procesu dla zadanych wartości sterowań (w porównaniu do bezpośredniego wykorzystania „symulatora” procesu)Celowe modelowanie siecią neuronową bezpośrednio predyktoraGładkość modelu, analityczne liczenie pochodnychCechy algorytmu MPC-NO zależne od skuteczności i efektywności procedury optymalizacji nieliniowejAdaptacja (aktualizacja) aproksymatora neuronowego do zmian w procesie

poprzez model „symulatora”bezpośrednio (dane we/wy z procesu)



Przykład - wysokociśnieniowa kolumna destylacyjna etylen-etan

R

wyparka

V

chłodnica

surowiec

destylat

LC

zbiornik cieczywyczerpanej

zbiornik orosienia

LC

algorytmregulacji

predykcyjnej zzadCC

CCz

P



Przykład – c.d.

Wyniki symulacji algorytmu liniowego zaprojektowanego dla punktu pracy:a) 100 ppm b) 850 ppm



Przykład – c.d.Wyniki symulacji algorytmów NPL (kolor niebieski) i NO (kolor czerwony) przy ogr. szybkości zmian sterowania ∆rmax=0,03:



Algorytmy z neuronową aproksymacjąoptymalizatora / regulatora

Algorytmy z neuronową aproksymacją predyktora i optymalizatora:

OBIEKTy k( )zad +

+

u k( )y k( )

d k( )u k( )∆ 1

1-z I-1

NN OPTYMALIZATOR

NN PREDYKTOR

REGULATOR

Algorytmy z neuronową aproksymacją całego regulatora:

OBIEKTy k( )zad +

+

u k( )y k( )

d k( )u k( )∆ 1

1-z I-1

REGULATOR MPCw postaci

SIECI NEURONOWEJ



PodsumowanieOdpowiednio dobry (i efektywny) model procesu – warunek konieczny sukcesu przy wdrażaniu regulacji predykcyjnej (MPC – Model-basedPredictive Control)

Proste i efektywne zastosowanie regulatorów analitycznych (liniowych) dla procesu nieliniowego: regulator predykcyjny rozmyty Takagi-Sugeno

Model rozmyty Takagi-Sugeno (typu CLC) procesu dobrą podstawą dla ważnych aplikacyjnie algorytmów z linearyzacjami

Model neuronowy procesu wygodny dla algorytmów z linearyzacjami

Model neuronowy predyktora często konieczny dla skutecznej realizacji algorytmu z nieliniową optymalizacją

Możliwe efektywne realizacje: algorytmu predykcyjnego z neuronowymi predyktorem i optymalizatorem

algorytmu predykcyjnego modelowanego jako sieć neuronowa



Dziękuję za uwagę

Metody inteligencji obliczeniowej w algorytmach regulacji ... · Piotr Tatjewski: Metody...

Documents

Transcript of Metody inteligencji obliczeniowej w algorytmach regulacji ... · Piotr Tatjewski: Metody...