Método Gauss-JordanSesión 9

Método de Gauss-Jordan

Este método consiste en eliminar todas las incógnitas de cada ecuación, excepto aquella que se encuentra ubicada en la diagonal principal. Para ilustrar como funciona se resolverá el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Emplear el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema

1 2 1

1 2 3

1 2 3

3 24 2 1

4 15

x x xx x xx x x

Solución

Al representar el sistema anterior en forma matricial se tiene:

3 1 1 21 4 2 11 1 4 15

Solución

Para normalizar el primer renglón y transformar en ceros los elementos de la columna que se encuentran debajo del elemento , se utiliza el mismo procedimiento que se utilizo en eliminación Gaussiana, por lo que se efectúan las siguientes operaciones:

Solución

Al representar el sistema anterior en forma matricial se tiene:

1 1

2 2 1

3 3 1

1 1 / 3 1 / 3 2 / 3/ 31 4 2 11 1 4 15

(1) 1 1 / 3 1 / 3 2 / 30 13 / 3 7 / 3 5 / 3(1)0 2 / 3 13 / 3 43 / 3

R R

R R RR R R

Solución

Para normalizar el segundo renglón y transformar en ceros los elementos que se encuentran arriba y abajo del elemento se hacen las siguientes operaciones:

Solución

2 2

1 1 2

2 2 1

1 1 / 3 1 / 3 2 / 30 13 / 3 7 / 3 5 / 30 2 / 3 13 / 3 43 / 3

1 1 / 3 1 / 3 2 / 3(3 /13)

0 1 7 /13 5 /130 2 / 3 13 / 3 43 / 3

(1 / 3) 1 0 2 /13 7 /130 1 7 /13 5 /13(2 / 3)0 0 61/13 183 /13

R R

R R RR R R

Solución

Para normalizar el tercer renglón y transformar en ceros los elementos de la columna que se encuentra arriba del elemento se efectúan las siguientes operaciones:

Solución

3 3

2 2 3

1 1 3

1 0 2 /13 7 /13 1 0 2 /13 7 /13(13 / 61)

0 1 7 /13 5 /13 0 1 7 /13 5 /130 0 61/13 183 /13 0 0 1 3

(7 /13)(2 /13)

1 0 0 10 1 0 20 0 1 3

R R

R R RR R R

Solución

La matriz anterior contiene la solución del sistema lineal, el ultimo vector , para , la solución del sistema, de esta forma el vector solución es:

1

2

3

123

xx x

x

Solución

Este método tiene la ventaja de proporcionar directamente la solución, sin necesidad de despejar y sustituir hacia atrás, como ocurre con el método de eliminación Gaussiana. La desventaja del método Gauss-Jordan es que el numero de operaciones que se efectúan para llegar a la solución es aproximadamente el doble que el método de eliminación gaussiana.

Implementación del método de Gauss-Jordan mediante el uso de Excel

1. Introducir el sistema anterior a resolver en forma de matriz aumentada y normalizar el elemento , tal como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Normalización del primer renglón de la matriz aumentada de un sistema lineal De ecuaciones

Implementación del método de Gauss-Jordan mediante el uso de Excel

2. Transformar en ceros los elementos de la columna debajo del elemento normalizado de la diagonal principal, tal como se muestra en la figura 2. Cabe aclarar que se hace la misma operación a lo largo de todo el renglón, para no cometer ninguna violación algebraica.

Figura 2. Generación de ceros debajo del primer elemento de la diagonal principal

Implementación del método de Gauss-Jordan mediante el uso de Excel

3. Normalizar el renglón dos y transformar en ceros los elementos de la columna que se encuentra arriba y abajo del elemento normalizado de la diagonal principal. Tal como se muestra en la figura 3.

Figura 3. Normalización del segundo renglón y generación de ceros arriba y abajo del elemento

Implementación del método de Gauss-Jordan mediante el uso de Excel

4. Normalizar el tercer reglón y transformar en ceros los elementos de la columna que se encuentra arriba del elemento , tal como se muestra en la figura 4.

Figura 4. Normalización del tercer renglón y generación de ceros arriba del elemento