Metoda naprężenia nominalnegozwmik.imir.agh.edu.pl/dydaktyka/dla_studentow/imir/IK... ·...
Transcript of Metoda naprężenia nominalnegozwmik.imir.agh.edu.pl/dydaktyka/dla_studentow/imir/IK... ·...
1
Integralność konstrukcji
Wykład Nr 4
Metoda naprężenia nominalnego
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji
http://zwmik.imir.agh.edu.pl/dydaktyka/dla_studentow/imir/imir.html
2
4.1. NAPRĘŻENIA NOMINALNE (lub średnie) - S i NAPRĘŻENIA LOKALNE -
a) rozciąganie pręta pryz-matycznego: y = S; b) zginanie pręta pryzma-tycznego:
y = S, gdy S < Re,
y max < S, gdy S >Re;
c) rozciąganie elementu z karbem: y S
y max = kt S, gdy kt S Re;
y < kt S, gdy kt S >Re.
Rys 4.1. Przykłady rozkładu naprężeń nominalnych S i lokalnych y w przekrojach wzdłuż osi x.
3
4.2. WYKRES WÖHLERA (tzw. KRZYWA S-N) MATERIAŁU
Rys 4.2. Krzywa S-N dla gładkich próbek ze stali A517 przy zginaniu obrotowym, z naprężeniem średnim m = 0.
4
4.2. WYKRES WÖHLERA (tzw. KRZYWA S-N) MATERIAŁU
Pojęcia podstawowe:
a) Wytrzymałość zmęczeniowa trwała materiału największa amplituda
naprężenia a przy której nie dochodzi do zniszczenia próbki.
Wytrzymałość zmęczeniową trwałą wyznacza się ją z krzywej S - N dla próbek gładkich,
jako:
asymptotę Z = a, przy Nf (stale zwykłej jakości i niskostopowe)
W tym przypadku jest to największa amplituda naprężenia, przy której nie nastąpi
zniszczenie zmęczeniowe próbki.
wartość Z = a przy Nf = 107 lub 108 cykli, gdy brak asymptoty (np. stopy Al, Cu)
Wytrzymałość zmęczeniowa trwała jest stałą materiałową, ale zależy od sposobu obciążenia,
np. przy zginaniu jest o 10-15 % wyższa niż przy rozciąganiu.
Stale: rozciąganie przy R = -1 Z 0.5 Rm (wartość niższa w stalach o wysokiej
wytrzymałości)
5
4.2. WYKRES WÖHLERA (tzw. KRZYWA S-N) MATERIAŁU
Pojęcia podstawowe:
b) Wytrzymałość zmęczeniowa ograniczona największa amplituda naprężenia a,
przy której nie nastąpi zniszczenie próbki przed upływem danej liczbie cykli Nf
(np. Nf =105).
c) Zmęczenie wysokocyklowe naprężenia są na tyle niskie ze można pominąć
odkształcenia plastyczne
d) Zmęczenie niskocyklowe typowo w zakresie 102-104 cykli, znaczne
odkształcenia plastyczne.
Czynniki wpływające na wytrzymałość zmęczeniową:
obecność karbu,
naprężenia średnie m,
środowisko ,
Mikrostruktura,
naprężenia resztkowe (w związku z wpływem naprężenia średniego cyklu m).
6
4.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU
Jeżeli krzywa Wöhlera (S-N) może być we współrzędnych podwójnie logarytmicznych
aproksymowana linią prostą, to do jej opisu używa się zależności a versus Nf w formie:
a) równania: a = A Nf B (4.1 a)
Rys. 4.3a Ilustracja opisu matematycznego krzywej Wöhlera wg równania (4.1a)
7
4.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU
Jeżeli krzywa Wöhlera (S-N) może być we współrzędnych podwójnie logarytmicznych
aproksymowana linią prostą, to do jej opisu używa się zależności a versus Nf w formie:
a) równania: a = A Nf B (4.1 a)
b) równania Basquina: a = f’ (2Nf)b (4.1 b)
Rys. 4.3b Ilustracja opisu matematycznego krzywej Wöhlera wg równania (4.1b)
8
4.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU
(4.1 a) (4.1 b)
Stałe materiałowe A, B lub f’, b wyznacza się z dopasowania do równania (4.1 a)
lub (4.1 b) danych z badań na próbkach gładkich.
Przy dużych odkształceniach plastycznych należy używać naprężenia rzeczywistego
Ponieważ 2Nf jest liczbą nawrotów obciążenia (1 cykl=2 nawroty), to f’ można
interpretować jako wartość a, przy której następuje zniszczenie próbki po jednym
nawrocie (półcyklu), tj. przy 2Nf = 1 (Nf = 0.5).
~a
9
4.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU
(4.1 b)
Komentarz do równania Basquina (4.1b):
Gdyby własności materiału przy obciążeniu cyklicznie zmiennym były takie, jak przy
obciążeniu monotonicznym, to naprężenie f’ byłoby równe rzeczywistemu naprężeniu
niszczącemu ( ), - por. rys. 2.4 i rów. (2.10) - gdyż próbę monotonicznego rozciągania
można traktować jako jeden nawrót obciążenia zmęczeniowego. Jednak f’ różni się nieco
od , gdyż f’ wyznacza się przez ekstrapolację do Nf = 0.5 prostej dopasowanej do
punktów (a, Nf) otrzymanych z badań zmęczeniowych, gdy wartości materiału uległy
zmianie na skutek cyklicznego umocnienia lub osłabienia (por. p. 3.3). Podobnie jak ,
naprężenie f’ jest zawsze wyższe od niszczącego naprężenia inżynierskiego i od Rm , przy
czym różnica ta jest mniejsza dla metali o wyższej wytrzymałości, które wykazują małe
odkształcenia plastyczne. Wartości b dla różnych metali są na ogół zbliżone.
~ f
~ f
~ f
10
4.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU
(4.1 a)
(4.1 b)
a = A Nf B
a = f’ (2Nf)b
Tabela 4.1 Parametry materiałowe występujące w równaniach (4.1a) i (4.1b)
Materiał Re Rm
a = f’(2Nf)
b=ANfB
f’ A b=B
MPa MPa MPa MPa -----
stale
AISI 1015 normalizowana
227 415 976 886 -0.14
Man-Ten walcowana na gorąco
322 557 1089 1006 -0.115
RQC-100 hart. i odpuszczana
683 758 938 897 -0.0648
AISI 4142 hart. i odpuszczana
1584 1757 1937 1837 -0.0762
AISI 4340 lotnicza
1103 1172 1758 1643 -0.0977
metale nieżelazne
Al 2024-T4 303 476 900 839 -0.102
Ti-6Al-4V przesycony i starzony
1185 1233 2030 1889 -0.104
11
4.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝑹𝒎= 𝟏
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝑹𝒎
𝟐
= 𝟏
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝝈𝒇′ = 𝟏
ai mi
i=1 n
RainFlow
= f(t)
t
=
zr
Reguła P-M
𝑩𝒇 𝑵𝒊𝑵𝒇𝒊= 𝟏
Bf
kfi, kfmi
kt, , , 𝒌𝒇 = 𝟏 +
𝒌𝒕 − 𝟏
𝟏 + 𝜶 𝝆
𝒌𝒇 = 𝟏 +𝒌𝒕 − 𝟏
𝟏 + 𝜷 𝝆
Ni
ai , mi
ari
Nfi
ar
Nf
R=-1
12
4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (m lub Sm)
4.4.1. Prezentacja wyników badań zmęczeniowych materiału (tzn. na próbkach
gładkich) przy niezerowych naprężeniach średnich (m = Sm)
Gdy m 0 to wyniki badań zmęczeniowych materiału przedstawia się według jednej z
poniższych trzech koncepcji.
a) R = const
Rys. 4.4 Krzywe S-N materiału przy stałym współczynniku asymetrii cyklu ( R = const.)
Gdyby prezentowane tu wyniki
przedstawiać jako dane a vs Nf, to
najwyżej leżałaby krzywa R=-1 a
najniżej krzywa R=0.
Np. dla Nf =104:
R 0 -0.5 -1
a (MPa) 410 530 570
13
4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (m lub Sm)
4.4.1. Prezentacja wyników badań zmęczeniowych materiału (tzn. na próbkach
gładkich) przy niezerowych naprężeniach średnich (m = Sm)
Gdy m 0 to wyniki badań zmęczeniowych materiału przedstawia się według jednej z
poniższych trzech koncepcji.
b) m = const
Rys. 4.5 Krzywe S-N materiału przy
stałym naprężeniu średnim m = const)
14
4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (m lub Sm)
4.4.1. Prezentacja wyników badań zmęczeniowych materiału (tzn. na próbkach
gładkich) przy niezerowych naprężeniach średnich (m = Sm)
Gdy m 0 to wyniki badań zmęczeniowych materiału przedstawia się według jednej z
poniższych trzech koncepcji.
c) Nf = const
Rys. 4.6 Wykresy stałej wartości (Nf=const)
Uwaga: wykresy Nf=const na rys. 4.6
otrzymano z wykresów m = const z rys. 4.5
(por. te same oznaczenia punktów na obu
rysunkach).
15
4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (m lub Sm)
4.4.2. Znormalizowany wykres a /ar
Jeżeli każdą z krzywych Nf=const (rys. 4.6) przedstawi się w formie
znormalizowanego wykresu a/ar versus m, gdzie ar - wytrzymałość zmęczeniowa
przy m = 0 (R = -1) dla danego Nf, to wszystkie takie wykresy mają następujące
dwa wspólne punkty:
(a/ar = 1; m = 0)
oraz
(a/ar = 0; m = Rm).
Rys. 4.7 wskazuje, że występuje
tendencja do konsolidacji punktów
(a/ar; m) dla różnych Nf w pojedynczą
krzywą.
Rys. 4.7 Znormalizowany wykres
amplitudy w funkcji naprężenia średniego
otrzymany z wykresów na rys. 4.5
16
4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (m lub Sm)
4.4.3. Matematyczny opis zależności a/ar versus m
Aproksymacja linii a/ar versus m:
a) równanie Goodmana (prosta): (4.2)
b) Równanie Gerbera (parabola): (4.3)
c) Równanie Morrowa (prosta): (4.4)
1m
m
ar
a
R
0przy ,1
2
m
m
m
ar
a
R
1
f
m
ar
a
f’ amplituda niszcząca po 1 nawrocie obciążenia (2Nf = 1),
por. równanie (4.1b) i rys. 4.3b
17
4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (m lub Sm)
4.4.3. Matematyczny opis zależności a/ar versus m
a) równanie Goodmana (prosta): (4.2)
b) Równanie Gerbera (parabola): (4.3)
c) Równanie Morrowa (prosta): (4.4)
1m
m
ar
a
R
0przy ,1
2
m
m
m
ar
a
R
1
f
m
ar
a
Równanie (4.2) - najlepsze wyniki dla materiałów o niskiej ciągliwości.
Równanie (4.3) - najlepsze wyniki dla materiałów o wysokiej ciągliwości (wydłużenie
procentowe w próbie rozciągania > 5 %, por p. 2.1). Przewiduje ono, niezgodnie z
doświadczeniami, niekorzystny wpływ m<0 na wytrzymałość zmęczeniową. Założenie
zachowawcze: przy m 0 - linia punktowana pozioma.
Równanie (4.4) - lepsza zgodność z eksperymentem w porównaniu z (4.2). Dobra
aproksymecja wyników dla wszystkich materiałów ciągliwych.
Metale kruche (żeliwo): równanie (4.2) prowadzi do wyników niezachowawczych (punkty
doświadczalne leżą pod prostą Goodmana). Stosuje się do nich specjalne równania.
18
4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (m lub Sm)
4.4.4. Wyznaczenie trwałości przy niezerowym naprężeniu średnim m
Podstawowa idea:
Dla danego materiału (scharakteryzowanego przez Rm lub f) trwałość
zmęczeniowa przy dowolnej kombinacji amplitudy a i niezerowego naprężenia
średniego m jest taka sama, jak przy amplitudzie ar i m=0.
Takie podejście jest dogodne, gdy dysponujemy tylko krzywą Wöhlera dla m = 0,
a chcemy wyznaczyć trwałość Nf (lub wytrzymałość zmęczeniową a) przy m 0.
Wtedy:
Nf (a, m0) = Nf (ar, m=0)
19
4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (m lub Sm)
4.4.4. Wyznaczenie trwałości przy niezerowym naprężeniu średnim m
Nf (a, m0) = Nf (ar, m=0)
Z równania Goodmana (4.2) można wyznaczyć ar jako: (4.5)
Trwałość przy (a, m0) można wyznaczyć podstawiając do równania Basquina (4.1b):
prawą stronę równania (4.5) zamiast ar, otrzymując:
(4.6)
Z równania Morrowa (4.4) mamy: (4.7)
Uwzględniając (4.7) i równanie Basquina (4.1b) otrzymamy zależność:
(4.8)
również określaną jako: równanie Morrowa
m
m
aar
R
1
ar = f (2Nf)b
bff
m
ma N
R21
f
m
aar
1
a = (f - m) (2Nf)b
20
4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (m lub Sm)
4.4.4. Wyznaczenie trwałości przy niezerowym naprężeniu średnim m
Np. przy tej samej amplitudzie a
m/Rm ar/a
(wg. 4.5)
0.2 1.25
0.5 2
m
ma
ar
R
1
1
(4.5)
21
4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (m lub Sm)
i=1 n
RainFlow
= f(t)
t
=
zr
Reguła P-M
𝑩𝒇 𝑵𝒊𝑵𝒇𝒊= 𝟏
Bf
kfi, kfmi
kt, , , 𝒌𝒇 = 𝟏 +
𝒌𝒕 − 𝟏
𝟏 + 𝜶 𝝆
𝒌𝒇 = 𝟏 +𝒌𝒕 − 𝟏
𝟏 + 𝜷 𝝆
Ni
ai , mi
ari
Nfi
ar
Nf
R=-1
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝑹𝒎= 𝟏
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝑹𝒎
𝟐
= 𝟏
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝝈𝒇′ = 𝟏
ai mi
22
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
Rzeczywiste przebiegi obciążeń w czasie (tzw. historie obciążenie - czas)
spotykane w warunkach eksploatacyjnych mają zazwyczaj charakter
zmiennoamplitudowy.
Rys. 4.8 Siła w lewym kulistym przegubie zawieszenia samochodu w czasie przejazdu przez
tory kolejowe
Przykłady :
23
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
Rys. 4.9 Maksymalne naprężenia zginające w połączeniu skrzydła z kadłubem w czasie
jednego lotu samolotu o nieruchomych skrzydłach; a ) historia rzeczywista, b ) historia
uproszczona
Przykłady obciążeń eksploatacyjnych:
24
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
Rys. 4.10 Zapis naprężeń w drążku kierowniczym samochodu: a) rzeczywista historia
obciążenia; b) fragment historii obciążenia w czasie jazdy po nierównościach; c) obciążenie
w czasie manewrowania
Przykłady obciążeń eksploatacyjnych:
25
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
4.5.1. Reguła Palmgrena - Minera
Założenia: Jeżeli amplituda a,i powtarza się przez Ni cykli, a liczba cykli do
zniszczenia określona z krzywej S-N przy tej amplitudzie wynosi Nf,i, to część
trwałości zużytej przy a,i wynosi Ni/Nf,i. Zniszczenie nastąpi, gdy:
1,
if
i
N
N(4.9a)
tzn. trwałość przewidywana wynosi: iMPf NN , (4.9b)
26
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
4.5.1. Reguła Palmgrena - Minera
1,
if
i
N
N(4.9a) iMPf NN , (4.9b)
Rys. 4.10 Schemat objaśniający wykorzystanie reguły P - M do przewidywania trwałości
materiału przy zmiennych amplitudach naprężeń dla przypadku: m = 0 (R = -1)
27
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
4.5.1. Reguła Palmgrena - Minera
1,
if
i
N
N(4.9a) iMPf NN , (4.9b)
Jeżeli jedna i ta sama sekwencja obciążenia, którą wtedy można nazwać okresem, jest
powtarzana wiele razy, np. lot samolotu, to:
1
1,
okresif
if
N
NB (4.10) gdzie: Bf - liczba powtórzeń okresu
okresif
i
N
N
1,
uszkodzenie zmęczeniowe w 1 okresie
Jeżeli w jakichś cyklach historii obciążenie czas występują niezerowe naprężenia średnie, to
Nf,i trzeba wyznaczyć np. z równań (4.6) lub (4.8).
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
4.5.2. Efekty interakcji obciążeń
Zjawisko to polega na tym, że w zmiennoamplitudowej historii obciążenia uszkodzenie
zmęczeniowe Di spowodowane danym cyklem i (a,i, m,i) może być inne, niż przy obciążeniu
stałoamplitudowym, tzn.:
if
iN
D,
1
(4.11)
gdzie: Nf, i trwałość przy obciążeniu stałoamplitudowym o
parametrach a,i, m,i
W zależności od historii obciążenia (spektrum obciążenia), materiału, poziomu średniego
naprężenia spektrum i geometrii elementu może być:
if
iN
D,
1
if
iN
D,
1
niekorzystny efekt interakcji
korzystny efekt interakcji
(4.12a)
(4.12b)
28
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
4.5.2. Efekty interakcji obciążeń
Ponieważ reguła Palmgrena - Minera nie uwzględnia efektu interakcji obciążeń, w bardzo
wielu przypadkach może dawać wyniki wysoce niezgodne z doświadczeniem, zarówno
nadmiernie zachowawcze, jak i niezachowawcze. Może być:
1
100100
N
N rzeczywiste
f P M
f
,
Sposoby uwzględniania efektu interakcji obciążeń:
1) nieliniowe reguły kumulacji uszkodzeń
2) względna reguła P M
3) uwzględnienie amplitud poniżej trwałej wytrzymałości zmęczeniowej
29
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
Ad. 2 Względna reguła Palmgrena-Minera (Schütz, 1972)
Założenie: jeżeli dwie historie obciążenia są dostatecznie podobne, to odchylenia od reguły
P - M mają te same kierunki i względne wartości.
Jeżeli dla jednego spektrum znamy gdzie to odpowiednio
trwałości rzeczywiste i obliczone z reguły P-M, to dla drugiego spektrum które jest
„podobne” będzie:
obl fekspf NN , ekspfN obl fN
obl obl "" fekspffekspf NNNN
a stąd:
obl obl "" fekspffekspf NNNN (4.13)
Wada: brak ogólnego kryterium „podobieństwa” spektrum.
30
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
Ad. 2 Względna reguła Palmgrena-Minera (Schütz, 1972)
Praktyczne zastosowanie: a) historia eksploatacyjna inna niż projektowa (zmiana zadań urządzenia, inne niż
przewidziano warunki eksploatacji),
b) spektrum eksploatacyjne nie zostało ocenione prawidłowo,
c) nie jest możliwe przeprowadzenie w laboratorium badań symulujących pełną historię
obciążenia w eksploatacji, np.: w przypadku spektrum obciążenia o długim „ogonie”
małych amplitud ze względów czasowych trzeba pominąć znaczną liczbę „małych” cykli
Rys. 4.11 Ilustracja konieczności
pominięcia „małych” cykli w
badaniach laboratoryjnych
31
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
Rys. 4.11 Ilustracja konieczności
pominięcia „małych” cykli w
badaniach laboratoryjnych
N - liczba przekroczeń danego poziomu amplitudy a
liczba cykli uwzględniona w badaniach laboratoryjnych: 107
liczba cykli przewidywana w eksploatacji: 109
liczba cykli pominiętych w badaniach laboratoryjnych Npom = 109-107 cykli = 9.9x108 cykli
Zysk na czasie badań przy założeniu częstości obciążenia 20 Hz:
109 cykli = 578 dni; 108 cykli = 58 dni; 107 cykli = 6 dni
Widma lotnicze: pominięcie cykli o amplitudach poniżej 0.5Z - wzrost trwałości o 10 - 30 %.
„Małe” cykle w realistycznych, nieregularnych historiach obciążenia mogą się okazać
szkodliwe, gdy w materiale istnieją już mikrouszkodzenia zmęczeniowe (także pasma
poślizgów) spowodowane przez poprzedzające cykle.
32
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
Ad. 3 uwzględnienie amplitud poniżej trwałej wytrzymałości zmęczeniowej
1
23
107
a
Z
(log)Nf
Rys. 4.12 Różne propozycje modyfikacji krzywej S-N do
obliczeń trwałości przy obciążeniach zmienno-
amplitudowych, 1 - obciążenie stałoamplitudowe (krzywe
Wöhlera)
Modyfikacja krzywej S-N wg linii 2 lub 3.
Poprawa ocen trwałości przy zmiennych amplitudach przy użyciu linii 2 lub 3
jest możliwe tylko przy niekorzystnych efektach interakcji (por. równanie
4.12a). przy korzystnych efektach interakcji (por. równanie 4.12b) użycie linii
2 lub 3 spowoduje pogorszenie ocen Nf.
33
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
34
i=1 n
RainFlow
= f(t)
t
=
zr
kfi, kfmi
kt, , , 𝒌𝒇 = 𝟏 +
𝒌𝒕 − 𝟏
𝟏 + 𝜶 𝝆
𝒌𝒇 = 𝟏 +𝒌𝒕 − 𝟏
𝟏 + 𝜷 𝝆
Ni
ai , mi
ari
Nfi
ar
Nf
R=-1
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝑹𝒎= 𝟏
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝑹𝒎
𝟐
= 𝟏
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝝈𝒇′ = 𝟏
ai mi
Reguła P-M
𝑩𝒇 𝑵𝒊𝑵𝒇𝒊= 𝟏
Bf
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
4.5.3. Zliczanie cykli – metoda Rainflow
W przypadku nieregularnych historii obciążenia (por. np. rys. 4.8- 4.10) nie jest jasne, jakie
wydarzenie uznać za cykl obciążenia. W licznych metodach liczenia cykli, które
zaproponowano, wysunięto rozmaite propozycje. Obecnie za najbardziej racjonalne metody
liczenia cykli uważa się techniki typu Rainflow (pierwsza propozycja - T. Endo, Japonia,
1968). W metodzie Rainflow zawsze uwzględnia się zakres między najwyższym maksimum i
najniższym minimum.
Rys.4.13 Podstawowe wydarzenia obciążenia nieregularnego
35
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
4.5.3. Zliczanie cykli – metoda Rainflow
Rys. 4.13 Podstawowe wydarzenia obciążenia nieregularnego
Rys. 4.14 Warunek naliczania cyklu metodą Rainflow
36
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
4.5.3. Zliczanie cykli – metoda Rainflow
Rys. 4.15 Przykład naliczania cykli metodą
Rainflow
37
4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE
38
kfi, kfmi
kt, , , 𝒌𝒇 = 𝟏 +
𝒌𝒕 − 𝟏
𝟏 + 𝜶 𝝆
𝒌𝒇 = 𝟏 +𝒌𝒕 − 𝟏
𝟏 + 𝜷 𝝆 ai , mi
ari
Nfi
ar
Nf
R=-1
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝑹𝒎= 𝟏
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝑹𝒎
𝟐
= 𝟏
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝝈𝒇′ = 𝟏
ai mi
Reguła P-M
𝑩𝒇 𝑵𝒊𝑵𝒇𝒊= 𝟏
Bf
i=1 n
RainFlow
= f(t)
t
=
zr
Ni
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
39
Pęknięcia zmęczeniowe i w rezultacie zniszczenie elementów konstrukcyjnych
zostają z reguły zainicjowane w karbach (nieciągłości geometryczne, jak otwory,
odsadzenia, rowki itp.). Przyczyna - spiętrzenie naprężeń spowodowane karbem,
którego miarą jest współczynnik koncentracji naprężeń kt (por p.6
„Przypomnienie” i rys.4.1c)
kt zależy od: geometrii elementu, sposobu obciążenia
kt nie zależy od: wielkości obciążenia, materiału, wielkości elementu
Uwaga: definicja naprężenia nominalnego S może się opierać na przekroju netto
lub brutto, a jej wybór wpływa na wartość kt.
W przykładzie z rys. 4.1c może więc być:
tdw
PS
lub
tw
PS
Wartości kt można znaleźć w różnych poradnikach.
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
40
Rys. 4.15. Przykłady zmienności kt dla różnych
karbów w zależności od geometrii
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
41
4.6.1. Wpływ karbu przy obciążeniach statycznych.
Rys.4.16 Element z karbem a) i rozkład naprężeń dla różnych przypadków: b) odkształcenie
liniowo - sprężyste; c) lokalne płynięcie w materiale ciągliwym; d) płynięcie całego przekroju
w materiale ciągliwym; e) naprężenie niszczące dla próbki z materiału kruchego
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
42
4.6.1. Wpływ karbu przy obciążeniach statycznych.
Rys.4.16
Materiały ciągliwe (rys. 4.16 b-d): stan naprężenia w przekroju karbu przed
zniszczeniem (rys. 4.16d) jest taki, jak w próbce gładkiej o przekroju An. Stąd zniszczenie
próbki z karbem, gdy:
S = naprężenie niszczące w próbce gładkiej o przekroju An, tj.:
S = Re (płynięcie przekroju netto), S = Rm (utrata spójności)
Materiały kruche (rys.4.16e): utrata spójności, gdy:
max Rm czyli
t
m
k
RS
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
43
4.6.2. Wpływ karbu przy obciążeniach zmęczeniowych - współczynnik działania
karbu.
Gdyby o wytrzymałości zmęczeniowej decydowało naprężenie na dnie karbu,
to byłoby: t
fa
fak
NS
N
(4.14)
gdzie:
a(Nf) - wytrzymałość zmęczeniowa próbki gładkiej
Sa(Nf) - wytrzymałość zmęczeniowa próbki z karbem wyrażona w naprężeniach nominalnych
a i Sa - przy tej samej trwałości Nf
Doświadczenie wskazuje, że:
t
fa
fak
NS
N
(4.15)
Współczynnik działania karbu kf (polskie oznaczenie k), definicja:
ar
arf
Sk
(4.16)
gdzie ar i Sar odnoszą się do R = - 1 i długiej trwałości (Nf = 106 107 cykli)
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
44
4.6.2. Wpływ karbu przy obciążeniach zmęczeniowych - współczynnik działania
karbu.
Rys. 4.17 Wpływ karbu przy zginaniu
obrotowym na krzywą S - N, stopu
aluminium oraz porównanie wytrzymałości
zmęczeniowej zredukowanej przy użyciu kt
i kf
Wnioski z rys. 4.17:
krzywa - - - wg równania (4.14) leży pod
eksperymentalną krzywą S-N próbki z
karbem dla wszystkich trwałości
krzywa wg równania (4.16) leży pod
eksperymentalną krzywą S-N próbki z
karbem dla niskich trwałości. Oznacza to, że
stosunek wytrzymałości zmęczeniowej próbki
gładkiej do wytrzymałości zmęczeniowej
próbki z karbem zależy od trwałości:
(4.17)
ff
far
far
f kNfNS
Nk
)(
)(
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
45
4.6.2. Wpływ karbu przy obciążeniach zmęczeniowych - współczynnik działania
karbu.
Współczynnik wrażliwości na karb (definicja):
10 1
1
q
k
kq
t
f
(4.18)
Wartości graniczne q:
q=1, kf = kt (najwyższy możliwy wpływ karbu na wytrzymałość zmęczeniową)
q=0, kf =1 (karb nie wpływa na wytrzymałość zmęczeniową)
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
46
4.6.3. Przyczyny efektu kf < kt - interpretacja jakościowa
(4.19)
1) Gradient naprężeń w karbie (por. rys. 4.18)
Rozkład naprężeń w przekroju karbu y(x) przy założeniu materiału idealnie liniowo - sprężystego; gradient naprężeń - miara spadku naprężeń ze wzrostem odległości x punktu od karbu
a) uszkodzenie zmęczeniowe w pewnej małej, skończonej objętości materiału
Rys. 4.18 Interpretacja wytrzymałości
zmęczeniowej jako średniego
naprężenia w skończonej odległości
od wierzchołka karbu
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
47
4.6.3. Przyczyny efektu kf < kt - interpretacja jakościowa
1) Gradient naprężeń w karbie
a) uszkodzenie zmęczeniowe w pewnej małej, skończonej objętości materiału
(4.19)
kf wg (4.19) będzie tym bardziej różnić się od kt
im większy gradient naprężeń, a więc im mniejszy
promień karbu . Trend zgodny z doświadczeniem,
jak pokazuje rys. 4.19.
kśrednia amplituda naprężenia między x i x
Sf
at
0 k
Rys. 4.19 Współczynniki działania karbu dla
różnych promieni karbu wyznaczone doświadczalnie
z równania (4.16) dla stali miękkiej przy zginaniu
obrotowym
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
48
4.6.3. Przyczyny efektu kf < kt - interpretacja jakościowa
1) Gradient naprężeń w karbie
b) teoria najsłabszego ogniwa
Przy ustalonej wartości max region wysokich naprężeń koniecznych do inicjacji
uszkodzenia w miejscu defektu mikrostrukturalnego jest tym mniejszy, im wyższy
gradient dy /dx.
Argument statystyczny: im mniejsza objętość materiału poddanego działaniu
wysokich naprężeń, tym niższe prawdopodobieństwo, że znajdzie się tam defekt
mikrostruktury, w którym nastąpi inicjacja pęknięcia (por. p. 1.2).
Stąd współczynnik kf będzie niższy przy większym gradiencie naprężeń, a więc
mniejszym promieniu .
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
49
4.6.3. Przyczyny efektu kf < kt - interpretacja jakościowa
1) Gradient naprężeń w karbie
c) obecność pęknięcia (por. rys. 4.20)
Wierzchołek pęknięcia o długości l w próbce
gładkiej znajduje się w strefie wyższych
naprężeń, niż wierzchołek takiego samego
pęknięcia w próbce z karbem.
Potwierdzenie: obecność tzw. pęknięć
niepropagujących w próbkach z ostrymi karbami
poddanych zmęczeniu wysokocyklowemu
(Nf=106-107 cykli) przy amplitudach poniżej
wytrzymałości zmęczeniowej.
Rys. 4.20 Próbka gładka i próbka z karbem przy tych samych
naprężeniach lokalnych w miejscu zainicjowania pęknięcia (l = 0)
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
50
4.6.3. Przyczyny efektu kf < kt - interpretacja jakościowa
2) Odkształcenia plastyczne w karbie
Dotyczy zmęczenia niskocyklowego we wszystkich materiałach i zmęczenia
wysokocyklowego w materiałach o bardzo wysokiej ciągliwości:
W strefie plastycznej karbu a< kt Sa, stąd musi być kf < kt
Rys. 4.21 Efekt odwróconego płynięcia w niewielkim obszarze w pobliżu karbu przy
amplitudzie naprężeń Sa
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
51
4.6.4. Empiryczne oszacowanie kf
Najczęściej używane równania empiryczne:
a) Równanie Petersona: k
kf
t
11
1
(4.20)
- stała materiałowa (zależna od sposobu obciążenia):
zginanie, rozciąganie:
mm - stopy Al
mm - stale niskowęglowe
normalizowane
mm - stale hartowane i temperowane
051
0 25
0 064
.
.
.
wyżarzane lub
skręcanie: skr 0.6
Stale o podwyższonej i wysokiej wytrzymałości:
MPa 550R mm2070
025.0 m
8.1
mR
MPa (4.21)
- promień dna karbu
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
52
4.6.4. Empiryczne oszacowanie kf
a) Równanie Petersona:
kk
ft
11
1
(4.20)
mm2070
025.0
8.1
mR
MPa
(4.21)
dla Rm 550MPa
Rys. 4.22 Współczynnik wrażliwości na karb q
(a) i wartości stałej (b) dla stali wg równania
Petersona (4.20).
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
53
4.6.4. Empiryczne oszacowanie kf
b) Równanie Neubera:
(4.22)
(4.23)
Rys. 4.23 Współczynnik wrażliwości na karb q
(a) i wartości stałej dla stali (b) wg równania
Neubera
1
11 t
f
kk
- stała materiałowa (zależna od sposobu
obciążenia)
- promień dna karbu
mmMPaRm
586
134log
dla Rm 1520 MPa (stale)
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
54
4.6.4. Empiryczne oszacowanie kf
b) Równanie Neubera:
(4.22)
1
11 t
f
kk
a) Równanie Petersona:
1
11 t
f
kk
(4.20)
Równania (4.20) i (4.22) nadają się do przybliżonego oszacowania kf dla karbów
konstrukcyjnych (stosunkowo łagodnych).
Jeżeli karb jest głęboki i ostry, to lepszym podejściem jest mechanika pękania.
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
55
4.6.4. Empiryczne oszacowanie kf
Wnioski z rys. 4.22a) i 4.23a):
dla danego materiału: q rośnie z ;
dla danej klasy materiałów: q rośnie z Rm;
rozbieżność między kf i kt jest największa dla materiałów o dużej ciągliwości i ostrym
karbie (por. też rys. 4.19).
Rys. 4.22 a) Rys. 4.23 a)
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
56
4.6.5. Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach
Generalnie, stosunek wytrzymałości próbki gładkiej ar do wytrzymałości próbki z karbem Sar
zależy od trwałości, por. równanie (4.17) i rys. 4.17:
ff
far
far
f kNfNS
Nk
)(
)((4.17)
Rys. 4.17 Wpływ karbu przy zginaniu obrotowym na krzywą
S-N, stopu aluminium oraz porównanie wytrzymałości
zmęczeniowej zredukowanej przy użyciu kt i kf.
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
57
4.6.5. Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach
A) Metale o dużej ciągliwości:
Wpływ odwróconego płynięcia (por. rys. 4.21) jest
tym większy, im wyższe naprężenia, a więc im
niższa trwałość.
Stąd kf zmienia się od kf = kf (duże trwałości) do
kf 1 (małe trwałości).
Rys. 4.24 Wyniki badań metalu ciągliwego
ilustrujące zależność wpływu karbu od trwałości.
Punkty z wykresu S - N (rys. a) zostały użyte do
otrzymania kf = a /Sa (rys. b)
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
58
4.6.5. Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach
A) Metale o dużej ciągliwości:
Gdyby o wytrzymałości zmęczeniowej elementu konstrukcyjnego decydowała tylko
amplituda naprężenia na dnie karbu a, to:
Rys. 4.25. Wyjaśnienie trendów widocznych na rys. 4.24 przy pomocy koncepcji odwróconego
płynięcia dla materiału sprężysto - idealnie plastycznego.
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
59
4.6.5. Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach
A) Metale o dużej ciągliwości:
Rys. 4.25a):
brak uplastycznienia (kt Sa Re), a,A=kt Sa,
stąd kf = kt (4.24)
por. zakres (a) wykresu na rys. 4.25d
Rys. 4.25d):
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
60
4.6.5. Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach
A) Metale o dużej ciągliwości:
Rys. 4.25b)
odwrócone płynięcie tylko w otoczeniu karbu
(kt Sa Re)
a,A=Re, stąd kf =Re/ Sa (4.25)
por. zakres (b) wykresu na rys. 4.25d
Rys. 4.25d):
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
61
4.6.5. Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach
A) Metale o dużej ciągliwości:
Rys. 4.25c):
odwrócone płynięcie w całym przekroju netto
(Sa Re) – por. rys. 4.16d.
Jednorodny stan naprężenia w przekroju
karbu, podobnie jak w próbce gładkiej
a=Sa, stąd kf 1 (4.26)
por. zakres (c) wykresu na rys. 4.25d)
Rys. 4.25d):
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
62
4.6.5. Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach
A) Metale o dużej ciągliwości:
Rys. 4.25 d)
Wniosek:
Linia kf (Sa) z rys. 4.25d) dobrze przybliża w sensie jakościowym trend w wartościach kf
[Nf(Sa)] z rys. 4.24b). Różnica między poziomem kf =kf i wartością kt (przy długich
trwałościach) wskazuje jednak na dodatkowy wpływ innych niż odwrócone płynięcie
czynników na kf (por. p. 4.6.3).
Rys. 4.24 b)
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
63
4.6.5. Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach
B) Metale o niskiej ciągliwości (quasi kruche):
Ponieważ zniszczenie w metalach kruchych nie jest poprzedzone makroskopowymi
odkształceniami plastycznymi (por. rys. 4.16e):
kf kf ( kt) (4.27)
nawet przy niskich trwałościach.
Rys. 4.26 Krzywa oparta na danych
doświadczalnych przy Nf=103 ilustrująca
słuszność założeń (4.26) i (4.27) dla
metali odpowiednio ciągliwych (niska
Rm) i kruchych (wysoka Rm)
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
64
kfi, kfmi
ari
Nfi
ar
Nf
R=-1
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝑹𝒎= 𝟏
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝑹𝒎
𝟐
= 𝟏
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝝈𝒇′ = 𝟏
ai mi
Reguła P-M
𝑩𝒇 𝑵𝒊𝑵𝒇𝒊= 𝟏
Bf
i=1 n
RainFlow
= f(t)
t
=
zr
Ni
kt, , ,
ai
𝒌𝒇 = 𝟏 +𝒌𝒕 − 𝟏
𝟏 + 𝜶 𝝆
𝒌𝒇 = 𝟏 +𝒌𝒕 − 𝟏
𝟏 + 𝜷 𝝆
ari=kfiai
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
65
4.6.6. Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, Sm0
A) Metale quasi kruche:
Zakładamy, że ekstremalne wartości naprężeń nominalnych Smax, Smin nie wywołują
uplastycznienia w karbie, tzn.:
kt |Smax| < Re i kt |Smin| < Re
wówczas:
a = kt Sa , m = kt Sm (4.28)
Wpływ lokalnego naprężenia średniego m na trwałość można wówczas ocenić np. z
równania Goodmana (4.2):
mm
aar
R
1
Podstawiając (4.28) do (4.2) otrzymamy: mmt
atar
RSk
Sk
1 (4.29)
gdzie:
ar - amplituda cyklu wahadłowego w próbce gładkiej przy której trwałość jest taka sama,
jak w elemencie z karbem o współczynniku koncentracji naprężeń kt przy amplitudzie
naprężenia nominalnego Sa i nominalnym naprężeniu średnim Sm
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
66
4.6.6. Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, Sm0
A) Metale quasi kruche:
Rys. 4.27 Ilustracja procedury uwzględnienia
wpływu karbu przy Sm 0 dla materiału kruchego
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
67
4.6.6. Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, Sm0
A) Metale quasi kruche:
mmt
atar
RSk
Sk
1
Dyskusja równania (4.29):
1) W równaniu (4.29) często stosuje się kf zamiast kt bo dla materiału kruchego:
kf kt kf , zgodnie z równaniem (4.27).
2) Przypadki szczególne:
(4.30a)
mmtarat RSkSk 1
Sm można przy Sa=0 traktować jako wytrzymałość statyczną próbki z karbem o
współczynniku koncentracji naprężeń kt zgodnie z obserwacją, że dla materiałów
kruchych wytrzymałość statyczna próbek z karbem jest zredukowana przez kt (por.
rys. 4.16e).
fartar kk /S lub /S to0=Sgdy aam a)
fmtm kRkR /S lub /S to0Sgdy mma (4.30b) b)
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
68
4.6.6. Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, Sm0
A) Metale quasi kruche:
Wykres równania (4.29) ilustrujący równania (4.30) jest oznaczony jako linia
„kruche” na rys. 4.28.
(4.32)
(4.29) Rys. 4.28 Przybliżone wykresy wpływu
naprężenia średniego na wytrzymałość
zmęczeniową próbek gładkich i próbek z karbem
w przypadkach metali kruchych i ciągliwych.
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
69
4.6.6. Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, Sm0
B) Materiały ciągliwe:
Ponieważ wytrzymałość statyczna próbek z karbem jest taka sama jak próbek gładkich
(por rys.4.16d), to gdy:
Sa = 0 Sm = Rm (4.31)
Wytrzymałość zmęczeniowa Sa próbki z karbem jest zredukowana w stosunku do
wytrzymałości próbki gładkiej przez kf (Nf), por. równania (4.17) tzn. Sa = a / kf .
Stąd równanie Goodmana w formie:
mm
af
arRS
Sk
1
(4.32)
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
70
4.6.6. Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, Sm0
B) Materiały ciągliwe:
Stąd równanie Goodmana w formie:
mm
af
arRS
Sk
1
(4.32)
Na wykresie (rys. 4.28) ilustrującym
równanie (4.32) przyjęto kf = kf, co jest
założeniem zachowawczym, bo kf < kf .
(4.32)
(4.29)
Rys. 4.28 Przybliżone wykresy wpływu
naprężenia średniego na wytrzymałość
zmęczeniową próbek gładkich i próbek z
karbem w przypadkach metali kruchych i
ciągliwych.
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
71
4.6.6. Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, Sm0
C) Koncepcja uogólniona:
Równania (4.29) i (4.32) (przy czym w (4.29) załóżmy kf zamiast kt) mogą być
przedstawione wspólnie w formie:
mmfm
af
arRSk
Sk
1
a) gdy dana jest krzywa S - N dla próbki gładkiej przy
R = -1:
b) gdy dana jest krzywa S - N w naprężeniach nominal-
nych dla próbki z karbem przy R = -1: mmfm
aar
RSk
SS
1
(4.33a)
(4.33b)
gdzie: kfm - współczynnik działania karbu dla naprężeń
średnich, który wynosi:
kfm = m / Sm (4.34)
materiały kruche: kfm = kf kf
materiały ciągliwe (w uproszczeniu): kfm = 1
(4.35a)
(4.35b)
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
72
4.6.6. Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, Sm0
C) Koncepcja uogólniona:
Dokładne określanie współczynnika działania karbu dla naprężeń średnich (kfm)
w przypadku materiałów ciągliwych:
gdy: kt Smax< Re i kt Smin < Re (rys.4.29a) kfm = kt (4.36)
Rys. 4.29. Próbka z karbem z materiału sprężysto - idealnie plastycznego przy obciążeniu
cyklicznym z niezerowym nominalnym naprężeniem średnim: a) brak płynięcia;
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
73
4.6.6. Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, Sm0
C) Koncepcja uogólniona:
Dokładne określanie współczynnika działania karbu dla naprężeń średnich (kfm)
w przypadku materiałów ciągliwych:
gdy: kt Smax > Re i kt S < 2Re (rys.4.29b)
- brak odwróconego płynięcia:
stąd:
max ateatm SkRSk
(4.37)
m
atefm
S
SkRk
Rys. 4.29. Próbka z karbem z materiału sprężysto - idealnie plastycznego przy obciążeniu
cyklicznym z niezerowym nominalnym naprężeniem średnim: b) płynięcie tylko przy
obciążeniu Smax
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
74
4.6.6. Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, Sm0
C) Koncepcja uogólniona:
Dokładne określanie współczynnika działania karbu dla naprężeń średnich (kfm)
w przypadku materiałów ciągliwych:
gdy: kt Smax> Re i kt Smin>Re (rys.4.29c)
- odwrócone płynięcie, wówczas dla materiału idealnie sprężysto-plastycznego:
max = Re i min = -Re m = 0 kfm = 0 (4.38)
Rys. 4.29. Próbka z karbem z materiału sprężysto - idealnie plastycznego przy obciążeniu
cyklicznym z niezerowym nominalnym naprężeniem średnim: c) odwrócone płynięcie
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
75
4.6.6. Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, Sm0
C) Koncepcja uogólniona:
Dokładne określanie współczynnika działania karbu dla naprężeń średnich (kfm)
w przypadku materiałów ciągliwych:
Uwagi:
kfm obliczone wg (4.37) mieści się w zakresie pomiędzy minimalną wartością
kfm = 0 wg (4.38) i maksymalną wartością kfm = kt wg (4.36).
Ogólnie odwrócone płynięcie ma miejsce, gdy:
et RSSk 2minmax
et RRSk 21max Rk
RS
t
e
1
2max
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
76
4.6.6. Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, Sm0
C) Koncepcja uogólniona:
Rys. 4.29. Próbka z karbem z materiału sprężysto - idealnie plastycznego przy obciążeniu
cyklicznym z niezerowym nominalnym naprężeniem średnim: a) brak płynięcia; b) płynięcie
tylko przy obciążeniu Smax; c) odwrócone płynięcie; d) zależność współczynnika działania
karbu dla naprężeń średnich, kfm, od Smax wg równań (4.35) - (4.37)
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
77
4.6.6. Przykłady przybliżonej konstrukcji krzywej S-N dla elementów z karbami (R = -1)
a) Metoda Collinsa (1981, tylko metale ciągliwe)
Rys. 4.30 Konstrukcja wykresu Collinsa
Założenie: ar(106) = Zrc;
gdzie: Zrc wytrzymałość zmęczeniowa trwała próbki gładkiej przy R = -1
4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY
78
4.6.6. Przykłady przybliżonej konstrukcji krzywej S-N dla elementów z karbami (R = -1)
b) Metoda Juvinalla (1991, materiały ciągliwe i kruche).
Odcinek między Nf = 1 i Nf = 103 tylko dla materiałów ciągliwych.
Rys. 4.31 Konstrukcja wykresu Juvinalla
Założenia:
1) kf= kf (założenie zachowawcze). Inni autorzy:
kf=kf dla materiałów kruchych
kf=1 dla materiałów ciągliwych.
2) NZ = 106 (stale, żeliwa)
NZ= 5108 (stopy Al).
3) m, m - współczynniki zależne od: sposobu obciążenia, materiału, wielkości elementu, stanu powierzchni.
Reguła P-M
𝑩𝒇 𝑵𝒊𝑵𝒇𝒊= 𝟏
t
1
,
2,
3
zr= f(t)
Bannantine & Socie
Koncepcje wieloosiowego zmęczenia
Crossland Dang Van
Wang-Brown etc….
4.7. UOGÓLNIONA PROCEDURA OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH
79
ari
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝑹𝒎= 𝟏
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝑹𝒎
𝟐
= 𝟏
𝒌𝒇𝝈𝒂
𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎
𝝈𝒇′ = 𝟏
ai mi
i=1 n
RainFlow
= f(t)
t
=
zr
Nfi
Bf
kfi, kfmi
kt, , ,
ar
Nf
R=-1
𝒌𝒇 = 𝟏 +𝒌𝒕 − 𝟏
𝟏 + 𝜶 𝝆
𝒌𝒇 = 𝟏 +𝒌𝒕 − 𝟏
𝟏 + 𝜷 𝝆
Ni
ai , mi