Mendel zbiór zadań

7/24/2019 Mendel zbir zada

1/38

Bogdan Mendel

Janusz Mendel

Teresa Stolecka

Elbieta Wjtowicz

ZAKRES ROZSZERZONY

ZAKRES ROZSZERZONY

zbir zada 1FIZYKA


2/38

Nabyta przez Ciebie publikacja jest dzieem twrcy i wydawcy. Prosimy o przestrzeganie praw, jakie im przysuguj. Zawartopublikacji moesz udostpni nieodpatnie osobom bliskim lub osobicie znanym, ale nie umieszczaj jej w internecie. Jeli cytujesz jejfragmenty, to nie zmieniaj ich treci i koniecznie zaznacz, czyje to dzieo. Moesz skopiowa cz publikacji jedynie na wasny uytek.

Szanujmy cudz wasno i prawo.Wicej na www.legalnakultura.pl

Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.

ISBN 978-83-267-0873-2

Warszawa 2013

Autorzy: Dorota Jeziorek-Knioa (s. 148 zad. 1, s. 149 zad. 2, s. 150 zad. 35, s. 152 zad. 7, s. 184 przykad,s. 186 zad. 2, s. 187 zad. 4, rozdzia Matura 2015 zad. 118), Artur Ludwikowski (s. 84 zad. 6, s. 111 przykad,

s. 151 zad. 6, s. 188 zad. 7), Bogdan Mendel, Janusz Mendel (rozdziay Klasyka fizyki oraz s. 23, s. 29 (przykad 1),s. 39 i 40 (przykad 1 i 2), s 47 (przykad 1), s. 52 i 52 (przykad 1 i 2), s. 60 (przykad 1), s. 68 i 69 (przykad 1 i 2),

s. 122 (przykad 1), s. 127 (przykad), s. 132 (przykad 2), s. 137 (przykad 1), s. 171 (przykad 1), s. 179 (przykad 2)),Krystyna Pilot (rozdzia Matura 2015 zad. 1519), Teresa Stolecka, Elbieta Wjtowicz (pozostae zadania).

Opracowanie redakcyjne i redakcja merytoryczna: Agnieszka Grzeliska, Marcin Minda.Wsppraca redakcyjna: Dorota Brzozowiec-Dek, Miosz Budzyski, Micha Matraszek, Sylwia Przywska.

Konsultacje merytoryczne: Lidia Sobczak, Grzegorz Wojciechowski.Redakcja jzykowa: Agnieszka Sieczak. Korekta jzykowa: Dorota rutowska.

Korekta techniczna: Zofia Chya.Projekt okadki: Dariusz Szachtsznajder.

Projekt graficzny: Ewa Kaletyn, Dariusz Szachtsznajder, Aleksandra Szpunar, Paulina Tomaszewska, Wojtek Urbanek.Realizacja projektu graficznego: Katarzyna Bielejewska, Artur Polakowski.

Fotoedycja: Beata Chromik, Ewa Szymaska.

Nowa Era Sp. z o.o.

Al. Jerozolimskie 146D, 02-305 Warszawatel.: 22 570 25 80; faks: 22 570 25 81

infolinia: 801 88 10 10 (z telefonw stacjonarnych),58 721 48 00 (z telefonw komrkowych)

www.nowaera.pl, e-mail: [email protected]

Druk i oprawa: Drukarnia POZKAL, Inowrocaw

Zrozumie fizyk

Zbir zada

dla szk ponadgimnazjalnychzakres rozszerzony

cz 1


3/38

Cz 1Jak korzysta ze zbioru zada . . . . . . . . . . . 4

Rozdzia 1. KinematykaNajwaniejsze wiadomoci . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1. Pomiary w fizyce i wzorce pomiarowe . . . 131.2. Wstp do analizy danych pomiarowych . . 151.3. Jak opisa pooenie ciaa . . . . . . . . . . . . 201.4. Ruch prostoliniowy . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5. Ruch prostoliniowy jednostajny

i zmienny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6. Ruch prostoliniowy jednostajnie

zmienny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7. Ruch krzywoliniowy . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.8. Rzut poziomy i rzut ukony . . . . . . . . . . . 521.9. Prdko w rnych ukadach

odniesienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.10. Ruch po okrgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Klasyka fizyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Zadania maturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Rozdzia 2. Ruch i siyNajwaniejsze wiadomoci . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.1. Oddziaywania. Dodawaniei rozkadanie si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.2. Sia jako przyczyna zmian ruchu . . . . . . . 922.3. Sia tarcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.4. Sia dorodkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.5. Siy bezwadnoci . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Klasyka fizyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Zadania maturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Rozdzia 3. Energia i pd

Najwaniejsze wiadomoci . . . . . . . . . . . . . . 1173.1. Praca, moc, energia . . . . . . . . . . . . . . . 1223.2. Zasada zachowania energii . . . . . . . . . . 1273.3. Zasada zachowania pdu . . . . . . . . . . . 1313.4. Zderzenia spryste i niespryste . . . . 137Klasyka fizyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Zadania maturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Rozdzia 4. Brya sztywnaNajwaniejsze wiadomoci . . . . . . . . . . . . . . 1534.1. Ruch postpowy i obrotowy bryy

sztywnej. Moment siy . . . . . . . . . . . . . . 1574.2. rodek cikoci i energia

potencjalna bryy sztywnej. . . . . . . . . . . 162

4.3. Energia kinetyczna w ruchu obrotowym 1654.4. Druga zasada dynamiki w ruchu

obrotowym bryy sztywnej . . . . . . . . . . . 1714.5. Moment pdu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Klasyka fizyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Zadania maturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Matura 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Odpowiedzi i wskazwki do zada. . 208

Dodatek matematyczny

Wektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Miara ukowa kta radiany . . . . . . . . . . . . . 235Funkcje trygonometryczne kta ostrego . . . . 236

TabeleTabela 1. Wielokrotnoci i podwielokrotnocijednostek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237Tabela 2. Jednostki wielkoci fizycznych . . . 237Tabela 3. Wspczynniki tarcia . . . . . . . . . . . 237Tabela 4. Ruch postpowy i obrotowy

zestawienie porwnawcze . . . . . . . . . . . . . 238Tabela 5. Przykady wybranych bryi ich momenty bezwadnoci . . . . . . . . . . . . . 239Tabela 6. Wartoci funkcjitrygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Karta wybranych wzorw . . . . . . . . . . 241

Cz 2Rozdzia 5. Ruch drgajcy

Rozdzia 6. Fale mechaniczneRozdzia 7. TermodynamikaRozdzia 8. Grawitacja

Cz 3Rozdzia 9. Pole elektryczneRozdzia 10. Prd stay

Rozdzia 11. Pole magnetyczneRozdzia 12. Indukcja elektromagnetycznai prd przemienny

Rozdzia 13. Fale elektromagnetyczne

i optykaRozdzia 14. Fizyka atomowa i kwanty

promieniowania elektromagnetycznego

Spis treci


4/38

Uwaga.Kiedy w treci zadania operujemy jedynie wartociami wektorw, okreleniewarto

jest pomijane. Mwimy wwczas o prdkoci, sile, a nie wartoci prdkoci i wartoci siy.W wypadku, gdy rozwizanie zadania wymaga okrelenia pozostaych cech wektora, jest towyranie napisane, np. podaj kierunek wektora prdkoci, okrel zwrot wektora siy.

Jak korzysta ze zbioru zada

Przykad zadania z przykadowymi rozwizaniami krok po kroku

Pytania i zadania zadania problemowe i obliczeniowe

Zadania maturalne zadania typu maturalnego po kadym dziale

Matura 2015 zadania zgodne z informatorem maturalnym 2015

KLASYKA FIZYKI B. Mendel i J. Mendel zadania podsumowujce po kadym dziale

Zadania

zadania z przykadowymirozwizaniami krok po kroku

oznaczenie zadao charakterzedowiadczalnym

karta wybranych wzorwi staych fizycznych

treci wykraczajce pozapodstaw programow

oznaczenie stopnia trudnoci zada

odsyacze do odpowiednichtreci w podrcznikuZrozumie fizyk cz.1

najwaniejsze wzory

najwaniejsze informacjeujte w skrtowy sposb


5/38

1Kinematyka

Najwaniejsze wiadomoci

yZjawisko ruchu

Ruch to odbywajca si w czasie zmiana pooenia ciaa wzgldem przyjtego ukadu

odniesienia.

Aby opisa pooenie ciaa wzgldem wybranego ukadu odniesienia, wprowadzamy zwi-

zany z nim ukad wsprzdnych.

r r t0 0= "" ^ h wektor pooenia pocztkowego

r r t= "" ^ h wektor pooenia kocowego

"

r r r 0D =" "

wektor przemieszczenia

Dt = t t0 przedzia czasu, w ktrym nastpio

przemieszczenie punktu materialnego

Wektorwodzcy to wektor czcy punkt mate-rialny z pocztkiem ukadu wsprzdnych.

Torto linia, ktr zakrela punkt materialny bdcy w ruchu.

Droga Dstodugo toru midzy pooeniem pocztkowym P0i kocowym P.

yPrdko

Prdko rednia vsr

"

l to iloraz wektora przemieszczenia rD"

i czasu Dt, w ktrym to prze-

mieszczenie nastpio:

Warto wektora prdkoci redniej: "v vsr sr=l l .

rednia warto prdkocivsrwl (zwana te szybkoci redni) to iloraz drogiDsi czasu Dt,

w ktrym zostaa ona pokonana:

W ruchu krzywoliniowym przemieszczenie jest mniejsze od dugoci drogi. Oznacza to, e

wartoprdkoci redniejnie jest rwna redniej wartoci prdkoci v vsr srw!

"

l l .

W ruchu prostoliniowym bez zawracania obie te prdkoci s rwne.

drogay

x0

tor

Dr

Ds

r0

P0

P

r


6/38

6 Kinematyka

Prdko chwilowa vch" to iloraz przemieszczenia rD " i czasu Dttrwania ruchu, gdy czas

trwania ruchu jest bliski zeru:

t

rvch D

D=

"

"

, gdy Dt 0.

Jeli czas trwania ruchu jest bardzo krtki, to droga przebyta przez ciao jest rwna wartociprzemieszczenia.

Wektor prdkoci chwilowej w kadej chwili ruchu jest styczny do toru, a wektor prdkociredniej ma taki sam kierunek i zwrot jak wektor przemieszczenia.

y Ruch prostoliniowy jednostajny

W ruchu tym wektor prdkoci jest stay, co oznacza, e nie zmieniaj si jego kierunek,zwrot i warto:

Prdko rednia jest rwna prdkoci chwilowej: ""t

rv v vsr ch

D

D= = =

"

"

l .

Rwnanie ruchu prostoliniowego jednostajnego (rwnanie wektora pooenia punktumaterialnego):

gdzie: r" wektor pooenia kocowego (patrz rysunek), "r0 wektor pooenia pocztkowego,t czas trwania ruchu.

r0

r

v

v

0 x

Jeeli ruch ciaa w przyjtym ukadzie wsprzdnych odbywa si wzdu osix, to rwnanieruchu jednostajnego prostoliniowego przyjmuje posta rwnania wsprzdnej:

Jeeli zwrot wektora prdkoci vx" jest zgodny ze zwrotem osi x, to jego wsprzdna jest

dodatnia, jeeli zwrot jest przeciwny, to jego wsprzdna jest ujemna.

y Przyspieszenie

Przyspieszenie rednie asr

"

l to iloraz zmiany prdkoci vD"i czasu Dt, w ktrym ta zmiana

nastpia:

gdzie: v v v0D =" " " , v" wektor prdkoci kocowej, v0

" wektor prdkoci pocztkowej.

Przyspieszenie chwiloweach"

to iloraz zmiany prdkoci vD"

i czasu trwania ruchu Dt, gdyczas trwania ruchu jest bliski zeru:

at

v

chD

D=

"

" , gdy Dt 0.


7/38

7Najwaniejsze wiadomoci

y Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny

W ruchu tym wektor przyspieszeniajest stay, co oznacza, e nie zmienia si jego kierunek,zwrot i warto:

Przyspieszenie rednie jest rwne przyspieszeniu chwilowemu: a a at

v

sr ch D

D= = =

"

" " "

l .

Rwnanie prdkoci:

gdzie: v" wektor prdkoci kocowej, "v0 wektor prdkoci pocztkowej, t czas trwaniaruchu.

Jeeli ruch ciaa w przyjtym ukadzie wsprzdnych odbywa si wzdu osix, to rwnanieprdkoci przyjmuje posta rwnania wsprzdnej:

Jeeli zwrot wektora przyspieszenia a" jest zgodny ze zwrotem osi x, to jego wsprzdnajest dodatnia, jeeli zwrot jest przeciwny, to jego wsprzdna jest ujemna.

Rwnanie wektora pooenia:

Rozrniamy ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony, kiedy wektory prdkocii przyspieszenia maj taki sam kierunek i zwrot, orazjednostajnie opniony, kiedy wektory

prdkoci i przyspieszenia maj taki sam kierunek, ale przeciwne zwroty.

Tabela 1. Zestawienie ruchw prostoliniowych

Ruch prostoliniowy

Rwnania Wykresy Rwnania Wykresy

jednostajny

prdkoci

const.v ="

wsprzdnej

pooenia

x=x0+ vxt

0t

x x0> 0, vx> 0

x0> 0, vx< 0

x0< 0, vx> 0

x0< 0, vx< 0

wsprzdnej

prdkoci

vx= const.

0t

vxvx> 0

vx< 0

drogis=s0+ vt

0t

s

s0

wektora

pooenia"

r r tv0= +" "

1.

2.

3.

4.

5.


8/38

8 Kinematyka

Ruch prostoliniowy

Rwnania Wykresy Rwnania Wykresy

jedn

ostajniezmienny

prdkociatv v0= +

" " "

wektora pooenia

r r t at

2

1v0 0

2= + +

" " ""

wsprzdnej

prdkoci

vx= v0x+axt

0t

vx v0x> 0, ax> 0

v0x> 0, ax< 0

v0x< 0, ax> 0

v0x< 0, ax< 0

wsprzdnej

pooenia

x x t a t2

1v0x 0x x

2= + +

przysp

ieszony

wartoci

prdkoci

v= v0+at 0t

v

v

0

drogi

s s t at21v0 0 2= + +

0t

s

s0

opniony

wartoci

prdkoci

v= v0at 0t

v

v0 drogi

s s t at2

1v0 0

2= +

0t

s

s0

yPrdko w rnych ukadach odniesienia

Jeeli punkt materialny P przemieszcza si o "rD lw swoim ukadzie odniesienia 0xy i jed-noczenie ukad 0xy przemieszcza si o "ruD wzgldem ukadu 0xy, to przemieszczenie rD

"

punktu P wzgldem ukadu 0xyjest sum wektorow przemieszcze "ruD i"

rD l:

Drur

Dru = uDtr r

Drr

Dr'r

ur

x

x'x'

y

y'

0

0'

P

P

0'

Prdko v" punktu materialnego wzgldem nieruchomego ukadu odniesienia 0xy jest

sum wektorow prdkoci: u"

ukadu ruchomego wzgldem nieruchomego, i

"

vl

punktumaterialnego wzgldem ukadu ruchomego 0xy:

1. 3.

2. 4.

5. 7.

6. 8.


9/38


y Ruch po okrgu

Kt wyraony w mierze ukowej{to iloraz dugoci uku l i jegopromienia R:

R

l{ = .

Jednostk kta w mierze ukowej jest radian.

Kt peny: RR

22

rr{ = = , std ,1

2

36057rad 3.

r= .

Prdko ktowa rednia~rto iloraz kta D{zakrelanego przez promie wodzcy (wyrao-

nego w radianach) i czasu Dt, w ktrym ten kt zosta zakrelony:

Chwilowa prdko ktowa ~ch to iloraz kta D{ zakrelanego przez promie wodzcy(wyraonego w radianach) i czasu Dt, w ktrym ten kt zosta zakrelony, gdy czas trwaniaruchu jest bliski zera:

tch~

{

D

D= , gdy t 0"D .

Przyspieszenie ktowefto iloraz zmiany prdkoci ktowej D~i czasu Dt, w ktrym ta zmia-na nastpia:

y Ruch jednostajny po okrgu

W ruchu tym prdko ktowa jest staa:

rednia prdko ktowa jest rwna chwilowej prdkoci ktowej:

tchsr~ ~ ~

{

D

D= = =l

.

Uwzgldniajc okres Ttrwania jednego penego obiegu ciaa po okrgu lub czstotliwo f

ruchu tego ciaa (liczb penych obiegw wykonanych w jednostce czasu, fT1

= ), prdko

ktowmoemy wyrazi w nastpujcy sposb:

T f

22

rr~ = = .

Wektor prdkoci liniowej(wektory vA"

i vB" na rysunku) w ruchu

jednostajnym po okrgu jest styczny do tego okrgu w kadym

punkcie, a warto prdkoci liniowej jest staa:

B

l

A

{

O

R

vB

r

vA

r

vA

r

Dvr

O

R


10/38

10 Kinematyka

Zwizek midzy prdkoci liniow i ktow:

gdzie Rjest promieniem okrgu, po ktrym porusza si ciao.

Przyspieszenie dorodkowe wynaczamy z zalenoci:

aR

R f R4v

d

22 2 2

r~= = = .

y Ruch jednostajnie zmienny po okrgu

W ruchu tym przyspieszenie ktowe jest stae:

Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego: t t

20 0

2

a a ~ f

= + + , ~= ~0+ ft,

dla ruchu jednostajnie opnionego: t t

20 0

2

a a ~ f

= + , ~= ~0 ft,

gdzie: a kt, o jaki obrci si ciao, a0 kt pocztkowy, ~ kocowa prdko ktowa,

~0 pocztkowa prdko ktowa, t czas ruchu.

Prdko liniowa zmienia kierunek i warto.

Przyspieszenie cakowite:

" "

a a ad s+="

," "

a a ad s2 2

= +"

.

y Spadek swobodny i rzuty przy powierzchni ziemi

Rzutemnazywamy ruch, ktry odbywa si pod wpywem siy grawitacji, z przyspieszeniem

ziemskim g(skierowanym pionowo w d).

Ruch ten opisujemy za pomoc rwnania wektora pooenia i rwnania wektora prdkoci:

r r t t a2

1v0 0

2+ +=

" " ""

i tavv 0= +" " "

.

1.Ruchy w jednym kierunku

Spadek swobodnyto ruch z przyspieszeniemg, bez prdkoci pocztkowej.

Rzut pionowy w dto ruch w kierunku pionowym zgodny ze zwrotem przyspieszenia g,

z prdkoci pocztkow rn od zera.

Rzut pionowy w gr to ruch w kierunku pionowym przeciwny do zwrotu przyspieszeniag,z prdkoci pocztkow rn od zera.

Charakterystyk ruchw w jednym kierunku przedstawiono w tabeli 2.

O

R

R

a

ad

as

a


11/38


Tabela 2.Charakterystyka rzutw w jednym kierunku

RuchSchematyczneprzedstawienie

ruchu

Rwnaniepooenia

Rwnanieprdkoci

Droga przebytaprzez ciao

Czas trwaniaruchu

spadekswobodny

o skierowana do gry

v0= 0

g

H

O

y

y H gt2

1

2= v= gt

przyjmujcy= 0,

otrzymujemy

H gt2

1 2=

t

gH2

=

o skierowana w d

v0= 0 g

H

O

y

y gt2

1 2= v=gt

przyjmujcy= H,

otrzymujemy

H gt21 2

=

tgH2

=

rzutpionowyw

d o skierowana w d

v0 0 g

H

O

y

y t gt2

1v0

2+= v= v0+gt

przyjmujcy= H,

otrzymujemy

Hg2

v v2 2

0=

t

gv v0

=

rzutpionowyw

gr o skierowana do gry

v0

gHmax

O

y

y t gt2

1v0

2= v= v0gt

dlay= Hmax, v= 0,

otrzymujemy

H t gt

gt

2

1v

v

max 0

2

0

=

=

*std

H gtg2

1

2

v

max

2 0

2

= =

tgv0

=

2.Ruchy w dwch wzajemnie prostopadych kierunkach

Rzut poziomyto ruch ciaa wyrzuconego poziomo z prdkoci pocztkow o wartoci v0.Jest to ruch zoony z ruchu jednostajnego w kierunku osixz prdkoci v0i ruchu jednostaj-nie przyspieszonego bez prdkoci pocztkowej, tzn. spadku swobodnego, w kierunku osiy.

Rzut ukonyto ruch ciaa wyrzuconego pod pewnym ktem do poziomu z prdkoci v0.Jest to ruch zoony z ruchu jednostajnego w kierunku osixz prdkoci v0xi ruchu jedno-stajnie zmiennego w kierunku osiyz prdkoci pocztkow v0y. Prdkoci v0xi v0ys ska-dowymi prdkoci v0.

Charakterystyk ruchw w dwch wzajemnie prostopadych kierunkach przedstawionow tabeli 3.


12/38

12 Kinematyka

Tabela 3.Charakterystyka rzutw poziomego i ukonego

RzutSchematyczne

przedstawienie rzutuRwnaniepooenia

Rwnanieprdkoci

Czas trwaniarzutu

Zasig rzutu

poziomy

oyskierowana do gry

v0g

H

O

y

xZ

ox

x= v0t

ox

vx= v0 dlay= 0

H gt2

1 2=

std

tgH2

=

x=Z

Z= v0t

ZgH2

v0=

oy

y H gt2

1

2=

oy

vy= gt

oyskierowana w d

v

0

g

H

O

y

xZ

ox

x= v0t

ox

vx= v0 dlay= H

H gt2

1 2=

std

tgH2

=

x=Z

Z= v0t

ZgH2

v0=oy

y gt2

1 2=

oy

vy=gt

ukon

y v0

g

O

y

a

v0y

v0x xZ

ox

x= v0xt

ox

vx= v0xv0x= v0 cosa

przyjmujc

y= 0,

otrzymujemy

tg

2v0y=

sint

g2v0 a

=

x=Z

Z= v0xt

Z g2v v0x 0y

=

sinZ

g2v0

2a

=oy

y t gt21

v0y2=

oy

vy= v0ygtv0y= v0 sina

y Niepewnoci pomiarowe

Wynik kadego pomiaru jest obarczony niepewnoci pomiarow, co zapisujemy:

gdzie:x warto zmierzona, Dx niepewno pomiarowa.

W przypadku serii pomiarw wynik dowiadczenia zapisujemy:

gdziexrto rednia arytmetyczna uzyskanych wynikw.

Niepewno pomiarow Dxnazywamy niepewnoci bezwzgldn.

Niepewno wzgldnato iloraz niepewnoci bezwzgldnej i wyznaczonej z pomiarw wiel-

koci. Zazwyczaj podajemy j w procentach.

Rne sposoby wyznaczania niepewnoci pomiarowej przedstawione zostay w przykadziena s. 16.


13/38

13

1.1. Pomiary w fizyce i wzorce pomiarowe

Przykad

Max Planck zaproponowa ukad jednostek oparty na czterech jednostkach podstawowych:G staej grawitacji,c prdkoci wiata,h staej Plancka,k staej Boltzmanna,i nazwa go naturalnym ukadem jednostek. Napisa:

[...] z pewnoci zachowaj one znaczenie przez wszystkie czasy i dla wszystkich cywili-zacji, nawet pozaziemskich lub nie stworzonych przez czowieka, tak wic mona nazwa je

jednostkami naturalnymi [...].

Wykonujc niezbdne obliczenia, ustal nazw wielkoci zycznej, ktrej jednostk w ukadzienaturalnym jest:

c

hG

2 3$r

.

Rozwizanie

W tablicach zycznych znajdujemy jednostki wielkoci zycznych w ukadzie SI wystpu-jce we wzorze:

staa Plancka h[J s],

staa grawitacji G kgN m22

$

8 B,prdko wiata c

s

m6 @.

Jednostki te wstawiamy do wzoru:

J s

kg mJ s N m s

c

hG

2s

m

kg

N m

2 3

2 3

3

21

21

3

3

2

2

$

$ $

$

$ $ $ $

r = =

$

; >


14/38

14 Kinematyka

Pytania i zadania

1.1.1. Wzr na pierwsz prdko kosmiczn dla Ziemi ma posta:

R

GMv1 = ,

gdzie: G staa grawitacji,M masa Ziemi,R promie Ziemi. Za pomoc odpowiednichzapisw wyka, e prdko kosmiczn wyraa si w takich samych jednostkach uka-du SI jak kad inn prdko.

1.1.2. Okres drga wahada matematycznego zaley od dugoci wahada li przyspieszeniagrawitacyjnegog. Ktry z przedstawionych niej wzorw opisuje okres drga tego wahada?Odpowied uzasadnij, wykonujc przeliczenia jednostek w jednostkach ukadu SI.

a)T lg2r= b)Tgl

2r= c)T= 2rl2g

1.1.3. Okres drga wahada sprynowego zaley od masy ciarka mi wspczynnika spr-ystoci k (jednostka k m

N=6@ ). Ktry z przedstawionych wzorw opisuje okres drga tego

wahada?Odpowied uzasadnij, wykonujc przeliczenia jednostek w jednostkach ukadu SI.

a)T mk2r= b)T= 2rmk c)Tk

m2r=

1.1.4. W wyniku promieniowania elektromagne-tycznego Soce traci mas. Jej ubytek mona wy-

liczy ze wzoru:M

c

r S t4s

zs

2

2$ $ $r

D D

= ,

gdzie:rZS odlego Ziemi od Soca,

S staa sonecznam

W27 A,

Dt czas emisji promieniowania,

c prdko wiata.

a)Wyka, e jednostk ubytku masy w ukadzie SIjest kilogram.b)Oszacuj, ile masy traci Soce w cigu 1 s. Brakujce dane znajd w dostpnych rdach.

1.1.5. Z pierwszego postulatu Bohra wynika, e elektron w atomie wodoru moe kry poorbitach o promieniach okrelonych wzorem:

r nm e

hn

2

e

2

2

0

$r

f= ,

gdzie: h staa Plancka, f0 przenikalno dielektryczna prni, me masa elektronu,e warto adunku elementarnego, n liczba naturalna 1, 2, 3...

Wyka, e promie orbity, po ktrej kry elektron w atomie wodoru, mona wyraziw metrach.


15/38

15

1.2. Wstp do analizy danych pomiarowych

Przykad

Na lekcji zyki do badania ruchu jednostajnego prostolinio-wego uyto rurki wypenionej ciecz z pcherzykiem po-wietrza (patrz zdjcie), ktr przymocowano do drewnianejlinijki wyskalowanej co 1 cm od 0 do 100 cm tak, e 0 znaj-dowao si przy pcherzyku. Rurk wraz z przymocowando niej linijk przechylono w taki sposb, aby pcherzyk

powietrza porusza si w cieczy ruchem jednostajnym. Do-wiadczenie powtrzono jeszcze cztery razy, za kadym ra-zem ustawiajc rurk pod takim samym ktem do poziomu.

Czas ruchu mierzono za pomoc stopera w telefonie komr-kowym (dokadno pomiaru Dt= 0,5 s), a pooenie pche-rzyka odczytywano z linijki.W tabeli 1. podano wyniki pomiarw czasu, w ktrym pcherzyk z powietrzem pokonywaokrelone odcinki drogi podczas kadej z piciu przeprowadzonych prb.

Tabela 1.

t[s]s[cm]

40 50 60 70 80

t1 9,34 11,84 14,52 16,66 18,52

t2 9,12 11,65 14,44 16,44 18,63

t3 9,43 11,76 14,58 16,87 18,76

t4 9,50 11,90 14,61 16,58 18,45

t5 9,28 11,81 14,65 16,54 18,66

Na podstawie danych dowiadczalnych oblicz prdko redni pcherzyka powietrza i za-pisz wynik wraz z niepewnoci pomiarow.

Rozwizanie

Obliczamy redni czas ruchu pcherzyka powietrza odpowiednio dla drogi 40 cm, 50 cm,

60 cm, 70 cm i 80 cm:t

t t t t t5sr

2 3 4 51 + + +=

+l .

Nastpnie obliczamy prdko na poszczeglnych odcinkach i prdko redni pcherzykapowietrza. Wyniki tych oblicze przedstawiono w tabeli 2.

Tabela 2.

s[cm] 40 50 60 70 80

tr[s] 9,33 11,79 14,56 16,62 18,60

vt

s

sr

s

cm

=l

6 @ 4,29 4,24 4,12 4,21 4,30

vsr scm

l 6 @ v, , , , ,

,5

4 29 4 24 4 12 4 21 4 304 23

scm

scm

scm

scm

scm

s

cm

sr = + + + +

=l

Niepewno pomiarow moemy obliczy na kilka sposobw.

Podrcznik

rozdz. 1.2.


16/38

16 Kinematyka

Metoda 1. Uwzgldnienie niepewnoci maksymalnej wartoci redniej

Dla mierzonej wartocixmaksymaln niepewno pomiarow wyznaczamy z zalenoci:

x x x2

1max minD = ^ h,

gdzie:xminixmaxto odpowiednio najmniejsza i najwiksza zmierzona wartox.W naszym przypadku wartoxjest prdkoci redni, ktrej wartoci w poszczeglnych

prbach zapisalimy w tabeli 2. na s. 15. Odczytujemy szukane wartoci:vmax= 4,30 s

cm , vmin= 4,12 scm ,

std: , , ,2

14 30 4 12 0 09v s

cm

s

cm

s

cmD = =^ h .

Wynik pomiaru zapisujemy w postaci: v= vr!Dv.

Prdko pcherzyka powietrza wraz z niepewnoci maksymaln: v= (4,23!0,09)s

cm .

Uwaga.Niepewno t stosuje si przy niewielkiej liczbie pomiarw.

Metoda 2. Uwzgldnienie bdu pomiaru poredniego

Wykonany przez nas pomiar prdkoci jest pomiarem porednim, czyli takim, ktry zostaobliczony z wykorzystaniem wynikw pomiarw bezporednich. Aby wyznaczy prdko,mierzylimy bezporednio drogs i czas t, odpowiednio z dokadnociami Ds i Dt. Jeeliuwzgldnimy bdy wzgldne poszczeglnych pomiarw bezporednich, otrzymamy bdwzgldny pomiaru poredniego. W przypadku prdkoci, dla ktrej wielkoci mierzone bez-

porednio s zapisywane w liczniku i mianowniku, bd wzgldny wynosi:

s

s

t

t

v

vD D D= + .

Z tego wzoru mona wyznaczy bd bezwzgldny:

s

s

t

tv vD

D D= +a k.

Ze wzoru tego moemy skorzysta dla pomiarw czasu wykonywanych dla konkretnego od-cinka, np.s= 80 cm.

Szacujemy bdy pomiarw bezporednich. Za niepewno pomiaru drogi moemy przyjdokadno pomiaru rwn najmniejszej podziace na linijce, czyli Ds= 1 cm. W przypadku

pomiaru czasu niepewno to Dt= 0,5 s (czas reakcji osoby przy wczaniu i wyczaniu sto-pera: 2 0,2 s, pozostae czynniki mogy spowodowa niepewno: 0,1 s). Zatem niepewnocipomiaru drogi i czasu wynosz odpowiednio:

Ds= 1 cm i Dt= 0,5 s.

Znajc niepewno pomiaru wielkoci skadowych, moemy skorzysta ze wzoru na bdbezwzgldny. Po podstawieniu z tabeli 2. na s. 15 czasu redniego i prdkoci redniej dlas= 80 cm oraz oszacowanych niepewnoci pomiarowych otrzymujemy:

,,,

,4 3080

1

18 60

0 50 17

cm

cm

s

sv

s

cm

s

cm

D = + =a k .

Wyznaczamy bd wzgldny dla redniej prdkoci pcherzyka:

%,,

, ,80

1

18 6

0 50 039 3 9

cm

cm

s

s

v

vD= + = = .


17/38

17Wstp do analizy danych pomiarowych

Dla drogi 80 cm otrzymalimy v= (4,30!0,17)s

cm i bd wzgldny pomiaru wynis 3,9%.

Poniewa pcherzyk porusza si ruchem jednostajnym, prdko otrzymana przy pomiarzeczasu ruchu pcherzyka dla jednego odcinka drogi jest prdkoci ruchu pcherzyka w rurce.

Uwaga.Niepewno t obliczamy, jeeli wielkoci mierzone bezporednio maj jedn ocze-kiwan warto. Posta wzoru na niepewno wielkoci mierzonej porednio zaley od jejzwizku z wielkociami mierzonymi bezporednio, inna jest dla

t

sv = , a inna dla ats

2

1 2= .

Metoda 3. Uwzgldnienie niepewnoci standardowej wartoci redniej

Jeeli wykonalimy co najmniej kilka pomiarw, moemy obliczy niepewno pomiarow,korzystajc ze wzoru:

...

n n

x x x x

1

1

1 sr sr

2

n

2v= + +l l^

^ ^h

h h6 @ ,

gdzie:

n liczba pomiarw,x1,x2, ,xn wyniki poszczeglnych pomiarw (porednich lub bezporednich),xr rednia arytmetyczna pomiarw.

W naszym zadaniu wykonalimy pi niezalenych pomiarw prdkoci redniej, std:

, , , , , , , , , ,5 4

14 2 4 23 4 24 4 23 4 12 4 23 4 21 4 23 4 30 4 239

2 2 2 2 2

s

cm

$

v= + + + +^ ^ ^ ^ ^h h h h h6 @

,0 04 scm

v= .

Wynik pomiaru prdkoci ma posta: v= (4,23 0,04)s

cm .

Uwaga.Niepewno t liczymy przy duej serii pomiarw. Niepewno pomiarowa liczonat metod jest tym mniejsza, im wicej wykonamy pomiarw. Najlepiej stosowa j wtedy,gdy wykonano co najmniej 10 pomiarw.

Wniosek.Ze wzgldu na niewielk liczb przeprowadzonych pomiarw w dowiadczeniunajlepiej jest obliczy maksymaln niepewno pomiarow.

Odpowied:Prdko pcherzyka powietrza wraz z niepewnoci maksymaln:v= (4,23!0,09)

s

cm .

Pytania i zadania

1.2.1. Chopiec chcia wyznaczy czas jednego obrotu karuzeli acuchowej. Gdy karuzelawirowaa ze sta prdkoci, zmierzy kilkakrotnie czas, w jakim wybrane krzeseko karu-zeli wykonao n= 10 okre. Do pomiaru uy stopera w telefonie komrkowym, umoli-wiajcego pomiar z dokadnoci 0,01 s. Wyniki pomiarw przedstawiono w tabeli.

Pomiar 1 2 3 4 5 6 7

t [s] 52,76 48,90 51,03 50,48 49,64 60,21 50,59

a)Odrzu pomiar, ktry jest obarczony bdem grubym. Jak mg powsta ten bd?b)Ustal niepewno pomiaru czasu. Dlaczego nie mona przyj, e t= 0,01 s?c)Oblicz redni czas jednego obrotu karuzeli i zapisz wynik wraz z niepewnoci pomiarow.

D


18/38

18 Kinematyka

1.2.2. Uczniowie przygotowali sio-mierz i drewniany klocek o znanej ma-sie. Nastpnie zoyli zestaw dowiad-czalny, taki jak na rysunku.Uczniowie sprawdzali dowiadczalnie, jaka sia dziaa na klocek w momencie, gdy rusza onz miejsca. Wykonali kilka pomiarw. Oce prawdziwo poniszych stwierdze. Wybierz P,

jeeli zdanie jest prawdziwe lub F, jeeli zdanie jest faszywe. Wstaw znak w odpowiedniemiejsca.

Prawda Fasz

Pomiar siy pozwoli wyznaczy wspczynnik tarcia statycznego.

Warto siy nie zaley od masy klocka.

Zmierzona sia zaley od podoa, na ktrym ley klocek.

Pomiar siy pozwoli wyznaczy wspczynnik tarcia kinetycznego.

1.2.3. Mechaniczna waga kuchenna wskazuje mas z dokadnoci do Dmk= 0,01 kg, a wagaelektroniczna z dokadnoci do Dme= 1 g. Gospodyni odwaya m= 15 dag cukru na obuwagach. Wyznacz bd bezwzgldny i bd wzgldny pomiaru masy przy uyciu wagi me -chanicznej i elektronicznej.

1.2.4. Uczniowie wyznaczali przyspieszenie ziemskie na podstawie swobodnegospadku ciaa. Kilkakrotnie z wysokoci h= 1,5 m puszczali metalow kulk.Do pomiaru czasu uyli komputera ze specjalnym oprogramowaniem umoliwia-

jcym pomiar z dokadnoci do Dt= 0,01 s, sprzonego z czujnikiem ruchu.

Obliczyli redni czas spadku kulki tr = 0,55 s. Wysoko hzmierzyli z dokadnocido Dh= 0,5 cm.a)Oblicz przyspieszenie kulki podczas spadku swobodnego, wiedzc, e: g

t

s22

= ,gdziesto pokonana droga.b)Oblicz bd wzgldny i bd bezwzgldny pomiaru przyspieszenia ziemskiego,korzystajc ze wzoru:

g

g

ss

tt

2D D D

= + .

c)Zapisz wynik dowiadczenia wraz z jego niepewnoci. Porwnaj wynik z wartoci przyspie-

szenia ziemskiego podan w tablicach zycznych.

1.2.5. Uczniowie dowiadczalnie wyznaczali przyspieszenie ziemskie przy uyciu wahadamatematycznego. Mierzyli jego dugo linijk, a okres drga stoperem. Przy kolejnych

pomiarach wyduali wahado o 10 cm. Wyniki dowiadczenia oraz uzyskane t metodwartoci przyspieszenia ziemskiego zanotowali w tabeli.

l[m] 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

T[s] 0,89 1,05 1,27 1,41 1,56 1,72 1,83 1,89 2,02

g sm2: D 9,96 10,73 9,78 9,92 9,72 9,33 9,42 9,94 9,67

a)Oblicz redni warto przyspieszenia grawitacyjnego i niepewno standardow warto-ci redniej, a nastpnie zapisz wynik dowiadczenia wraz z niepewnoci.

D

D

D

D

Fr


19/38

19Wstp do analizy danych pomiarowych

b)Przyspieszenie grawitacyjne uczniowie obliczali ze wzoru:

gT

l42

2r

= .

Niepewno wzgldn dla wahada o dugoci lmona obliczy ze wzoru:

gg

ll TT2D D D

= + .Ustal, przy jakiej dugoci wahada matematycznego wyznaczona warto przyspieszeniagrawitacyjnego obarczona jest najmniejsz wzgldn niepewnoci pomiarow. Oblicz jejwarto, przyjmujc, e niepewno pomiaru dugoci wynosi Dl=!0,5 cm, a niepewno

pomiaru okresu drga DT=!0,01 s.c)Porwnaj otrzymany wynik z wartoci przyspieszenia grawitacyjnego podan w tabli-cach zycznych i oce, czy uzyskana dowiadczalnie warto jest zgodna w granicach bduz wartoci z tablic.d)Wymie przyczyny niepewnoci pomiarowej, ktr obarczona jest ta metoda wyznacza-

nia przyspieszenia grawitacyjnego.

1.2.6. Aby wyznaczy opr R opornika, naley odczytaz woltomierza napicie Una tym oporniku i z amperomierzanatenie Ipyncego przez niego prdu, a nastpnie skorzy-sta z prawa Ohma:

RI

U= .

Po zmontowaniu obwodu takiego jak na rysunku uczniowie ustawili zakres woltomierza na025V, a zakres amperomierza na 0250 mA. Skala kadego z miernikw jest podzielona na100 czci. Podczas dowiadczenia nie zmieniano parametrw obwodu. Po wykonaniu kilkuodczytw ustalono, e redni spadek napicia na oporniku wynosi U= 7,75 V, a rednie na-tenie pyncego przez niego prduI= 142,5 mA.a)Ustal niepewno pomiaru napicia i natenia prdu wynikajc ze wskaza miernikw.b)Oblicz opr i maksymaln niepewno pomiarow wyznaczanego oporu ze wzoru:

R R R

I I

U U

I I

U U

2 2

1

max minD

D

D

D

D= =

+

+a k,

a nastpnie zapisz wynik wraz z jego niepewnoci.

c)Inny zesp uczniw wykona seri pomiarw dla tego samego opornika, w trakcie ktrychustala rne wartoci napicia Ui odczytywa dla nich natenie prduI. Wyniki uczniowiezapisali w tabeli.

Pomiar 1 2 3 4 5 6 7 8

U[ V ] 5,75 6,25 6,75 7,25 7,75 8,25 8,50 9,75

I[mA] 97,5 105 115 130 142,5 150 162,5 182,5

R[X]

Uzupenij tabel o wartoci oporu uzyskane w poszczeglnych pomiarach. UstalRmaxiRmin,

a nastpnie oblicz maksymaln niepewno pomiarow. Oblicz redni warto oporu i za-pisz wynik wraz z jego niepewnoci.d)Przeanalizuj wyniki uzyskane przez oba zespoy i ustal, czy s one porwnywalne w gra-nicach bdu.

D

A

VR


20/38

20

1.3. Jak opisa pooenie ciaa

Przykad 1

Zawodnik podrzuci pik tenisow z wysokoci h0 = 1 m nad podoem.Pika wzniosa si na wysoko h1= 1,8 m ponad podoe, nastpnie spadai po odbiciu od podoa wzniosa si na wysoko h3 = 0,9 m. Narysuj wektor

pooenia piki i oblicz wsprzdn pooenia piki w przyjtym ukadziewsprzdnych:a)gdy znajduje si ona w maksymalnym grnym pooeniu,b)w chwili uderzenia o podoe,c)gdy znajduje si ona na wysokoci h3.Wprowad jednowymiarowy ukad wsprzdnych tak, aby punkt zero na osi

znajdowa si w miejscu wyrzucenia piki, a oybya skierowana do gry.

Rozwizanie

Rysujemy oyskierowan do gry. Zaznaczamy punkt zero odpowiadajcyodlegoci 1 m od podoa. Zaznaczamy na osi pozostae punkty odpowiada-

jce pooeniom piki opisanym w treci zadania:h0 pooenie piki w chwili wyrzucania w gr,h1 maksymalne grne pooenie piki po podrzuceniu jej przez tenisist,h2 pooenie piki w chwili uderzenia o podoe,h3 maksymalne grne pooenie piki po odbiciu od podoa.

Rysujemy wektory pooenia i odczytujemy z osi ich zwrot i warto:"

r1 wektor pooenia piki w maksymalnym grnym pooeniu; wsprzd-na pooenia piki na osi jest dodatnia i wynosiy1= 0,8 m,

"

r2 wektor pooenia piki w chwili uderzenia o podoe; wsprzdna poo-enia piki na osi jest ujemna i wynosiy2= 1,0 m,

"

r3 wektor pooenia piki w maksymalnym pooeniu po odbiciu; wsp-rzdna pooenia piki na osi jest ujemna i wynosiy3= 0,1 m.

Przykad 2Narysuj wektory pooenia piki w sytuacji opisanej w poprzednim przy-kadzie w takim samym jednowymiarowym ukadzie wsprzdnych. Tymrazem jednak przyjmij punkt zero na osi w miejscu zetknicia piki z pod-oem. Oce, ktry z ukadw odniesienia, z przykadu 1. czy przykadu 2.,

jest wygodniejszy do opisu ruchu piki (uatwia wyznaczenie poszczegl-nych wsprzdnych pooenia).

Rozwizanie

Rysujemy oyskierowan do gry i zaznaczamy na niej punkt zero, znajduj-cy si na podou. Zaznaczamy na osi pozostae punkty wskazane w zadaniu:h0 pooenie piki w chwili wyrzucania jej w gr,h1 maksymalne grne pooenie piki po podrzuceniu jej przez tenisist,

Podrcznik

rozdz. 1.3.

0

0,1

1,0

0,8

y[m]

r1r

h1

h0

h3

h2

r3r

r2r

1,0

0,9

0

1,8

y [m]

r1

r

r3r

r2= 0r

h1

h0

h3

h2


21/38

21Jak opisa pooenie ciaa

h2 pooenie piki w chwili uderzenia o podoe,h3 maksymalne grne pooenie piki po odbiciu od podoa.

Rysujemy wektory pooenia i odczytujemy z osi ich zwrot i warto:"

r1 wektor pooenia piki w maksymalnym grnym pooeniu; wsprzdna pooenia pi-ki na osi jest dodatnia i wynosiy1= 1,8 m,

"

r2 wektor pooenia piki; w chwili uderzenia o podoe wynosi on zero, zatem wsp-rzdna pooenia piki na osi toy2= 0 m,

"

r3 wektor pooenia piki w maksymalnym pooeniu po odbiciu; wsprzdna pooeniapiki na osi jest dodatnia i wynosiy3= 0,9 m.

Opis ruchu ciaa (w powyszych przykadach piki) zaley od wyboru ukadu odniesie-nia. Ciao w tych samych chwilach moe mie rne wsprzdne pooenia w zalenoci odukadu odniesienia.

W przypadku rzutu pik atwiej posugiwa si ukadem odniesienia zwizanym z podo-em, poniewa wsprzdne pooenia piki przyjmuj w nim wycznie wartoci dodatnie.Jest to take ukad bardziej intuicyjny, bo to wanie podoe odruchowo przyjmujemy za

punkt odniesienia.

Pytania i zadania

1.3.1. Pik upuszczono na ziemi z wysokoci h1= 1,5 m. Po odbiciu od ziemi wzniosa si

ona na wysoko h2= 1,1 m. Narysuj wektor pooenia piki i oblicz wsprzdn jej pooe-nia w przyjtym ukadzie odniesienia w chwili, gdy pika:a)znajduje si na wysokoci h1,b)uderza o ziemi,c)znajduje si na wysokoci h2.Wprowad jednowymiarowy ukad wsprzdnych, w ktrym punkt zero znajduje siw miejscu, z ktrego pika zostaa upuszczona, a oyjest skierowana do gry.

1.3.2. Rozwi zadanie 1.3.1., wprowadzajc taki jednowymiarowy ukad wsprzdnych,

dla ktrego punkt zero znajduje si w miejscu zetknicia piki z ziemi, a o yjest skierowanado gry.

Uwaga do zada 1.3.3.1.3.5. Wektory naley umieci na osi liczbowej tak, aby pocztekpierwszego z nich znalaz si w punkcie zero tej osi.

1.3.3. Dodawanie wektorw jest przemienne a b b a+ = +" " "

", a odejmowanie wektorw niejest przemienne a b b a !"

" "". Majc dane wektory a"i b

"

(patrz rysunek poniej), ktrychdugoci wynosz odpowiednio a 3 cm=" i b 7 cm=

"

, sprawd gracznie suszno tych

twierdze.

a"

b"


22/38

22 Kinematyka

a)Znajd gracznie wektory: ad b c= + +"

" "

", ae b c= +" " "

", af b c= +"

" "

", ag b c =" " "

".b)Podaj dugoci i wsprzdne otrzymanych wektorw: d

"

, e", f"

, g".

1.3.6. Samochd o dugoci ls= 480 cm pokona prostoliniowy odcinek drogi ld= 30 m mi-dzy dwoma skrzyowaniami. Przyjmij jednowymiarowy ukad wsprzdnych, ktrego po-cztek znajduje si w miejscu, z ktrego ruszy samochd (przd samochodu). O wsprzd-nych jest skierowana w kierunku, w ktrym samochd si porusza.a)Wyznacz wektory pooenia przodu, rodka i tyu samochodu w chwili, gdy przd samo-chodu dotar do drugiego skrzyowania.b)Podaj przykady sytuacji, w ktrych samochd mona traktowa jak punkt materialny.Zinterpretuj wyniki otrzymane w punkcie a, odnoszc si do pojcia punktu materialnego.

1.3.7. Monika rozpocza treningi Back-Wards Running, czyli chodzenia i biegania tyem.Pierwszy trening przebiega w kilku etapach, a po kadym etapie Monika odpoczywaa i wra-caa do miejsca, w ktrym rozpoczynaa trening. Kady z etapw polega na kilku lub kilku-nastu powtrzeniach okrelonej sekwencji krokw. Podstawowe sekwencje krokw w czasiekolejnych czci treningu wyglday nastpujco: cz I 5 krokw do przodu, 4 do tyu,cz II 5 krokw do przodu, 5 do tyu, cz III 5 krokw do przodu, 6 do tyu, cz IV 4 kroki do przodu, 7 do tyu.W jednowymiarowym ukadzie wsprzdnych o pocztku w miejscu rozpoczcia treningu

narysuj wektory pooenia Moniki i oblicz jego wsprzdn w chwili, gdy Monika wykonaa:a)pi sekwencji krokw z I czci treningu,b)dziesi sekwencji krokw z II czci treningu,c)pitnacie sekwencji krokw z IV czci treningu,d)dziesi sekwencji krokw z III czci treningu i pitnacie z IV.Dugo kroku Moniki wynosiax1= 60 cm, gdy porusza si do przodu, i x2= 40 cm przykrokach w ty.

1.3.8. Dane s wektory wspliniowe a", b"

, c", ktrych dugoci wynosz odpowiednio:

a 3 cm="

, b 1 cm="

, c 4 cm="

. Znajd gracznie:a)wektor ad b c= + +

""

"", ktrego warto wynosi d a b c= +

""

"" ,

b)wektor ae b c= +" " "

", ktrego warto wynosi ae b c= + +" " "

" .

a"

b"

c"

a)Znajd gracznie wektory: ac b= +" "

"

, ad b=

""

"

, ae b =

" "

"

.b)Podaj dugoci i wsprzdne otrzymanych wektorw: c", d"

, e".

1.3.5. Dane s wektory a", b"

i c"(patrz rysunek poniej), ktrych dugoci wynosz odpo-

wiednio a 2 cm=" , b 4 cm="

i c 6 cm=" .

1.3.4. Dane s wektory a"i b"

(patrz rysunek poniej), ktrych dugoci wynosz odpowied-nio a 3 cm=" i b 5 cm=

"

.a

"

b"


23/38

23

1.4. Ruch prostoliniowy

Przykad 1

Pasaer autobusu co 10 minut notowa liczby, ktre widzia z okna na mijanych supkach ki -lometrowych. Zapisa nastpujce liczby: 72, 84, 96, 108, 120, 124, 128, 132, 136, 140. Na-rysuj wykres zalenoci pooenia autobusu od czasu jazdy x(t). Oblicz prdkoci rednieautobusu w pierwszych t1= 40 min jazdy i w nastpnych t2= 50 min. Pomi niepewnoci

pomiarowe.

Rozwizanie

Rysujemy ukad wsprzdnych x(t), dobierajc od-powiednie jednostki na osiach. Nastpnie nanosimy

punkty odpowiadajce pooeniom wymienionymw zadaniu (patrz wykres).

Punkty czymy liniami prostymi. Zauwamy, e wy-kres skada si z dwch odcinkw; kady z nich od-

powiada ruchowi z inn sta prdkoci. Aby wyzna-czy te prdkoci, musimy znale przemieszczenieDxw czasie Dtdla obu prostych.

Dla pierwszego odcinka mamy:

Dx1=120 km 72 km = 48 km (patrz odcinek Dx1narysunku),Dt1=40 min 0 min = 40 min (patrz odcinek Dt1na rysunku).

Jeli do wzoru na prdko redni:

vr=t

x

D

D

podstawimy wyznaczone przed chwil dane liczbowe Dx= Dx1i Dt= Dt1, otrzymamy:

,1 2 72vsr1 minkm

h

km= =l .

Podobnie obliczamy prdko redni dla drugiego odcinka:Dx2= 140 km 120 km = 20 km,Dt2=90 min 40 min = 50 min.

Po podstawieniu danych liczbowych do wzoru otrzymamy:

24vsr2 hkm

=l .

Odpowied:rednia prdko autobusu na pierwszym odcinku wynosia 72h

km , a na dru-gim 24

h

km .

Uwaga.Po obliczeniu prdkoci rednich widzimy, e vr1> vr2. Informacj t mona rw-nie odczyta z wykresu. Kt midzy osi ta wykresem x(t) dla przedziau czasu Dt1 jestwikszy ni kt midzy osi ta wykresemx(t) dla nastpnych 50 minut.

Podrcznik

rozdz. 1.4. i 1.5.

x [km]

t [min]

t1

x1

60

0 20 40 60 80

80

100

120

140


24/38

24 Kinematyka

Przykad 2

yworolkarz doskonali swoje umiejtnoci na prostoliniowym odcinku asfaltowej cieki.

W chwili t= 0 znajdowa si w odlegoci x0= 0,8 km od pocztku cieki, ktry przyjto za

pocztek ukadu wsprzdnych. Na wykresie zalenoci wsprzdnej pooenia od czasu x(t)

zaznaczono pocztkowe pooenie rolkarza.a) Narysuj kolejne fragmenty wykresu, wiedzc,

e w nastpujcych po sobie przedziaach czasu:

t1= 3 min, t2= 2 min, t3= 2 min, t4= 2 min, wsp-

rzdne wektora przemieszczenia rolkarza miay warto-

ci:x1= 1,2 km, x2= 0,4 km, x3= 0 km, x4= 0,6 km.

Za, e pooenie rolkarza w poszczeglnych prze-

dziaach czasu jest funkcj liniow czasu.

b)Wyka, e przemieszczenie cakowite jest sum prze-

mieszcze czstkowych:

x= x1+ x2+ x3+ x4.

c)Odczytaj z wykresu wsprzdn kocowego pooenia rolkarza i wyka rachunkowo, e

mona j obliczy ze wzoru:

xk= x0+ x,

gdzie: x0 wsprzdna pooenia pocztkowego, Dx wsprzdna przemieszczenia cako-

witego.

d)Oblicz cakowit drog yworolkarza w cigu 9 minut.

Rozwizanie

a)W chwili pocztkowej wsprzdna pooenia wyno-si x0. Po upywie czasu twsprzdna przemieszczenia

wynosi x. Wsprzdn pooenia kocowego znajdu-

jemy, korzystajc z oglnego wzoru: xk= x0 + Dx. Kady

przedzia czasu Dti (i= 1, 2, 3, 4) traktujemy oddziel-

nie. Poniewa przedziay czasu nastpuj bezporednio

po sobie, koniec jednego jest jednoczenie pocztkiem

nastpnego: x1= x02, x2= x03itd. Pooenie pocztkowe

w pierwszym przedziale czasu podano w treci zadania.

Obliczamy wsprzdne pooenia kocowego dla kolejnych przedziaw czasu.

1. t1= 3 min, x1= 1,2 km, x01= 0,8 km, x1= 0,8 km + 1,2 km = 0,4 km.

2. t2= 2 min, x2= 0,4 km, x02= 0,4 km, x2= 0,4 km + 0,4 km = 0,8 km.

3. t3= 2 min, x3= 0 km, x03= 0,8 km, x3= 0,8 km + 0 km = 0,8 km.

4. t4= 2 min, x4= 0,6 km, x04= 0,8 km, x4= 0,8 km + (0,6 km) = 0,2 km.

Punkty x1, x2, x3, x4nanosimy na ukad wsprzdnych i czymy odcinkami, poniewa z tre-

ci zadania wiemy, e pooenie rolkarza w poszczeglnych przedziaach czasu jest liniow

funkcj czasu.

b)Sum przemieszcze czstkowych wyznaczamy ze wzoru: xs= x1+ x2+ x3+ x4.

Rozpisujemy przemieszczenia czstkowe:

xs= (x1 x0) + (x2 x1) + (x3 x2) + (x4 x3) = x4 x0= x.

0,60,40,2

00,20,40,60,8

0,81,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

x0

10

x[km]

t[min]

1,0

0,60,40,2

00,20,40,60,8

1 2 3 4 7 8 9

1,0

0,81,0

x[km]

t[min]

x1

x2 x3

x4

105 6

x0


25/38

25Ruch prostoliniowy

Odpowied:Wykazalimy, e sumujc wsprzdne przemieszcze czstkowych, otrzymu-jemy wsprzdn przemieszczenia cakowitego.

c) Odczytana z wykresu wsprzdna pooenia kocowego (dla t = 9 min) ma wartoxk= 0,2 km. Wsprzdna pooenia kocowego obliczona ze wzoruxk=x0+ x,gdziex0towsprzdna pooenia pocztkowego, a Dx to wsprzdna przemieszczenia cakowitego,wynosi:

xk= 0,8 km + 1 km = 0,2 km.Odczytujc wsprzdn z wykresu i stosujc wzr, otrzymalimy t sam wartoxk= 0,2 km.

Odpowied:Wykazalimy, e wsprzdn pooenia kocowego moemy odczyta z wy-kresu i obliczy przy uyciu podanego wzoru.

d)Drog obliczamy, dodajc wartoci bezwzgldne przemieszcze czstkowych:s x x x x1 2 3 4D D D D= + + + ,

s= 1,2 km + 0,4 km + 0 km + 0,6 km = 2,2 km.

Odpowied:yworolkarz w cigu 9 minut przeby drog 2,2 km.

Przykad 3

Spychacz pracujcy przy budowie drogi porusza si ruchemprostoliniowym. Na wykresie przedstawiono zalenowsprzdnej prdkoci spychacza od czasu v(t).

a)Korzystajc z wykresu, wyznacz przemieszczenia spy-chacza w kolejnych fazach ruchu.b)Oblicz cakowite przemieszczenie spychacza w ciguDt= 30 min i warto jego prdkoci redniej.c)Oblicz cakowit drog spychacza w cigu Dt i redniwarto jego prdkoci. Porwnaj wartoci prdkoci obli-czone w punktach b i c. Zinterpretuj wynik porwnania.d)Sporzd wykres zalenoci pooenia pojazdu od czasux(t). Za, e w chwili t= 0 spy-chacz znajdowa si w pocztku ukadu wsprzdnych. O czasu wyskaluj jak na wykresie

zalenoci v(t), a wsprzdn pooenia wyra w metrach.

Rozwizanie

a)Przemieszczenia obliczamy ze wzoru: Dx= vxDt.

Podstawiamy dane do wzoru dla poszczeglnych faz ruchu.1. Dt1= 10 min = 600 s, vx1= 0,5 s

m , Dx1 = 0,5 sm 600 s = 300 m.

2. Dt2= 5 min = 300 s, vx2= 1 sm , Dx2 = 1 s

m 300 s = 300 m.3. Dt3= 5 min = 300 s, vx3= 0 s

m , Dx3 = 0 sm 300 s = 0 m.

4. Dt4= 5 min = 300 s, vx4= 2 sm , Dx4 = 2 s

m 300 s = 600 m.

5. Dt5= 5 min = 300 s, vx5= 1s

m

, Dx5 = 1s

m

300 s = 300 m.

Odpowied: Przemieszczenia na poszczeglnych odcinkach wynosiy: Dx1 = 300 m,Dx2 = 300 m, Dx3 = 0 m, Dx4 = 600 m, Dx5 = 300 m.

1

0

1

2

2

5 1510 20 25 30 t[min]

v [ ]ms


26/38

26 Kinematyka

b)Przemieszczenie cakowite spychacza jest sum przemieszcze czstkowych:

Dx= Dx1+ Dx2+ Dx3+ Dx4+ Dx5= 300 m.

Warto prdkoci redniej to iloraz wartoci przemieszczenia cakowitego i czasu, w kt -rym to przemieszczenie nastpio:

t

xv

D

D= .

Wstawiamy dane liczbowe i otrzymujemy: |v| = 0,167s

m .

Odpowied:Cakowite przemieszczenie spychacza wynosi 300 m, a warto jego prdkociredniej 0,167

s

m .

c)Droga ma wartoci dodatni. Obliczamy j, dodajc wartoci bezwzgldne przemieszcze:

s= 300 m + 300 m + 0 m + 600 m + 300 m = 1500 m.

rednia warto prdkoci to iloraz drogi i czasu, w ktrym ta droga zostaa przebyta:

...

...

t t t

s s sv

srw

1 2 n

1 2 n

D D D=

+ + +

+ + +l .

Wstawiamy dane liczbowe: ,0 833vsrw s

m.l .

Z porwnania wartoci vrwz wartoci prdkoci redniej vobliczon w punkcie b wynika,e v< vrw. Wiemy, e spychacz w poszczeglnych fazach ruchu porusza si ruchem jedno-

stajnym prostoliniowym. Z wykresu moemy jednak odczyta, e w poszczeglnych fazachruchu zmienia si znak wsprzdnej prdkoci w funkcji czasu. Oznacza to, e spychaczzawraca, czyli Dx


27/38

27Ruch prostoliniowy

Pytania i zadania

1.4.1.Na wykresie przedstawiono zaleno pooeniaciaa od czasux(t).a)Odczytaj z wykresu, ile wynosz wsprzdna przemiesz-czenia i droga przebyta przez ciao w kolejnych, rwnych

przedziaach czasu wynoszcych 40 s oraz podaj wsp-rzdn pooenia ciaa po czasie: 40 s, 80 s i 120 s.b)Odczytaj z wykresu wsprzdn przemieszczenia orazoblicz na podstawie wykresu drog przebyt przez ciaow cigu t= 120 s ruchu.c)Za, e ciao poruszao si dalej w taki sam sposb, jakw cigu ostatnich 40 s przedstawionych na wykresie zale-noci x(t). Po jakim czasie cakowita droga przebyta przez

ciao zwikszyaby si dwukrotnie w stosunku do drogi ob-liczonej w punkcie b?

1.4.2. Koparka przewozi wykopan ziemi do wywrotki poprostoliniowym odcinku drogi dugocisn= 600 m. Zale-no wsprzdnej prdkoci koparki od czasu vx(t) ilustru-

je wykres na rysunku obok. Sporzd wykres zalenociwsprzdnej pooenia od czasu x(t) dla koparki. Przyj-mij, e wsprzdna pooenia jest rwna zeru w poowie

odcinka drogi. Zachowaj skal czasu z wykresu zalenocivx(t), a wsprzdn pooenia wyra w metrach.

1.4.3.Na stacji kolejowej znajduje si prostoliniowy, rw-nolegy do peronu tor, na ktrym przepina si lokomoty-wy. Pasaer stojcy na peronie przyj, e znak kolejowystojcy przy torze bdzie punktem odniesienia, wzgldemktrego okreli pooenie lokomotywy, a kierunek w pra-wo jako zgodny z kierunkiem osix. Lokomotywa stojca 10 m na prawo od znaku kolejo-wego wykonaa manewr. Kolejne wsprzdne jej przemieszcze wynosiy: x1= 40 m,

x2= 25 m, x3= 5 m. Oblicz wsprzdn cakowitego przemieszczenia lokomotywy, jejpooenie po zakoczeniu manewru i drog, jak w tym czasie pokonaa.

1.4.4. Rowerzysta porusza si po prostym odcinku ciekirowerowej. Na rysunku zaznaczono pooenie rowerzystyw chwili t= 5 s.a)Narysuj kolejne fragmenty wykresu, wiedzc, e w na-stpujcych po sobie przedziaach czasu: t1 = 10 s,t2= 15 s, t3= 5 s, t4 = 10 s, wsprzdne przemiesz-

czenia wynosz odpowiednio: x1 = 120 m, x2= 80 m,x3= 0 m, x4= 120 m. Za, e pooenie rowerzysty w poszczeglnych przedziaach czasujest funkcj liniow czasu.b)Odczytaj z wykresu wsprzdn pooenia kocowego rowerzysty.

0

1

2

3

1

2

3

0,1 0,3 0,5 0,7 t[h]

vx[ ]kmh

20

0

20

40

60

80

100

40

60

80

100

4020 60 80100 t[s]

x[m]

04080

120

4080

120

10 20 30 t[s]

x [m]

40


28/38

28 Kinematyka

1.4.5. Walec drogowy utwardza nawierzchni naprostoliniowym odcinku drogi dugoci x = 500 m.Zaleno pooenia walca od czasux(t) ilustruje wy-kres, na ktrym punkt zero ustalono w poowie odcin-ka drogi.a) Odczytaj z wykresu wsprzdn pooeniai wsprzdn przemieszczenia walca po upywie cza-su: t1= 2 min, t2= 4 min, t3= 6 min, liczc od poczt-ku trwania ruchu.b) Oblicz, ile wynosz wsprzdna przemieszcze-nia i droga przebyta przez walec drogowy po czasiet= 7 min trwania ruchu.c)Oblicz warto prdkoci redniej i redni warto

prdkoci walca po t = 7 min.

1.4.6. Wykres przedstawia zaleno wsprzdnejpooenia od czasu x(t)dla kuracjusza spacerujcegopo ciece w parku zdrojowym, gdzie za punkt zerona osixprzyjto Pijalni Wd Mineralnych Celina.Kuracjusz wyruszy na spacer ciek, ktra na od-cinku ss = 2 km biega prostoliniowo. W chwili po-cztkowej t0 = 0 jego wsprzdna pooenia wynosia

x0= 800 m.

Odczytaj z wykresu:a) po upywie jakiego czasu kuracjusz min pijalni Celina i ile wynosia wtedy jegowsprzdna pooenia.b)w jakim przedziale czasu warto przemieszczenia kuracjusza wynosia zero.

Oblicz:c)cakowite przemieszczenie i warto prdkoci redniej kuracjusza.d)cakowit drog, jak przeszed kuracjusz, i redni warto jego prdkoci.Warto prdkoci redniej i redni warto prdkoci podaj w podstawowych jednostkach

ukadu SI.

1.4.7. Rowerzysta, ktry wyruszy z domu, po przejechanius1= 6 km z prdkoci v1= 21 hkm

zapa gum i wrci do domu, prowadzc rower. Powrt zaj mu t2= 1 h 15 min.a)Ile wynioso jego przemieszczenie cakowite?b)Po jakim czasie od wyjechania z domu rowerzysta wrci do niego z uszkodzonymrowerem?c)Ile wyniosa jego rednia warto prdkoci na caej trasie?d) Po naprawieniu roweru rowerzysta ponownie wyruszy w t sam tras. Do miejsca,

w ktrym zapa gum, dotar po t3= 1h 43 min od chwili przebicia opony. Oblicz redniwarto prdkoci rowerzysty od chwili pierwszego wyruszenia z domu do powrotu w miej-sce, w ktrym uszkodzi dtk.

0

100

200

100

200

21 3 4 5 6 7 t[min]

x [m]

0

400

800

1200

400

800

1200

105 15 20 25 30 35 t[min]

x [m]

40 45


29/38

29

1.5. Ruch prostoliniowy jednostajny i zmienny

Przykad 1

Kierowca przeby odcinek trasy o dugoci l1= 90 km w czasie t1= 45 min. W jakim czasie t2iz jak redni prdkoci v2rkierowca samochodu przejecha nastpny odcinek trasy rajduo dugoci l2= 180 km, jeeli pokona ca tras ze redni prdkoci vr= 90 h

km ?

Rozwizanie

Podstawowy wzr na prdko redni w ruchu prostoliniowym:t

sv

sr=l .

Prdko redni na drugiej czci trasy obliczamy ze wzoru:t

lv2sr

2

2=l .

Nie znamy czasu, w ktrym druga cz trasy zostaa pokonana, ale wiemy, e rednia prd-

ko na caej trasie powinna wynosi vr= 90 hkm

, moemy wic zapisa:

t t

l lv sr

1 2

1 2=

+

+l .

Wyznaczamy z tego wzoru t2i otrzymujemy:

t l l

tv

2sr

1 2

1= +

l

.

Podstawiamy dane liczbowe, otrzymujc: t2= 2,25 h = 2 h 15 min.

Majc czas pokonania przez kierowc drugiego odcinka trasy, moemy obliczy prdko

redni na tym odcinku:

,2 25180

80h

kmv2sr h

km= =l .

Odpowied:Kierowca pokona drugi odcinek trasy w 2 h 15 min ze redni prdkoci 80h

km .

Przykad 2

Podczas treningu terenowego kolarz jedzie pocztkowo po pa-skim odcinku drogi o dugocis, a nastpnie wjeda na wznie-sienie i ponownie jedzie po paskim terenie. Dwa paskie odcinki

trasy o tej samej dugociskolarz pokonuje z tak sam prdko-ci v1 =54 h

km . Odcinek trasy pod gr, ktry jest dwa razy du-szy ni odcinek paski, kolarz pokonuje z prdkoci v2 = 18 h

km .Oblicz redni warto prdkoci kolarza na caej trasie.

Rozwizanie

Korzystamy ze wzoru na redni warto prdkoci:

t t t

s s sv sr

1 2 3

1 2 3=

+ +

+ +l . (1)

Droga cakowita wynosi:s1 +s2 +s3 = 4s.

Poszczeglne czasy obliczamy ze wzoru na drog w ruchu jednostajnym:s= vt, skd t sv

= :

t s

v1

1

= , t s2v

22

= , t sv

31

= .

Podrcznik

rozdz. 1.6., 1.7. i 1.8.


30/38

30 Kinematyka

Drog i wyznaczone czasy wstawiamy do wzoru (1) i otrzymujemy:

( )s s ss

s s

s

s

s

24

2 24

24 2

v

v v v v v

v v

v v

v v

v v

sr

1 2 1 1 2

2 1

1 2

1 2

1 2=+ +

=+

=+

=+l

.

Podstawiamy wartoci liczbowe:

54 18

2 54 1827vsr

h

km

h

km

h

km

h

km

h

km$ $

=+

=l .

Odpowied:rednia warto prdkoci kolarza na caej trasie wynosia 27h

km.

Uwaga.Zauwamy, e do wyliczenia redniej wartoci prdkoci nie bya konieczna znajo-mo dugoci pokonanej drogi.

Przykad 3

Sportowiec trenuje bieg na dystansie 100 m. Naprostoliniowym odcinku bieni zaznaczono start S,punkt kontrolny K i met M. Napisz rwnanie ru-chu sportowca, wiedzc, e biegnie on z prdkoci v", a o wsprzdnych skierowana jestw prawo oraz:a)w chwili pocztkowej sportowiec znajdowa si w punkcie S i bieg w kierunku mety,a pocztek ukadu wsprzdnych te jest w punkcie S,b)w chwili pocztkowej sportowiec znajdowa si w punkcie S i bieg w kierunku mety,a pocztek ukadu wsprzdnych jest w punkcie M,

c)w chwili pocztkowej sportowiec znajdowa si w punkcieM

i bieg w kierunku startu,a pocztek ukadu wsprzdnych jest w punkcie K.

Rozwizanie

Poniewa o ukadu wsprzdnych jest skierowana wzdu toru ruchu sportowca, to rwnanieruchu przyjmuje posta rwnania wsprzdnej:

x= x0+ vxt,gdzie v v

x=

" "

i x0" to wektor pooenia pocztkowego. Dalej rozpatrujemy rwnanie dla wartoci

wskazanych w poszczeglnych punktach zadania.

a) Przyjmujemy pocztek ukadu wsprzdnychw punkcie oznaczajcym miejsce, gdzie sportowiecrozpocz bieg (S), std dugo wektora pooenia

pocztkowego: x0= 0. Zwrot wektora prdkoci jestzgodny ze zwrotem osi xi rwnanie wsprzdnej przyjmuje posta:

x= vt.

Odpowied:Rwnanie wsprzdnej sportowca ma posta x= vt.

b) Przyjmujemy pocztek ukadu wsprzdnychw punkcie Mi rysujemy wektor pooenia pocztko-wego czcy punkty Mi S(gdzie Sjest miejscem,w ktrym sportowiec rozpocz bieg). Z rysunku

x

S K M

S K M

v

x0

x0

S K M

v

x0


31/38

31Ruch prostoliniowy jednostajny i zmienny

odczytujemy, e: x0= 100 m, a zwrot wektora pooenia pocztkowego jest przeciwny do

zwrotu osi x, natomiast zwrot wektora prdkoci jest zgodny z osi x. Std rwnanie wsp-

rzdnej przyjmuje posta:

x= 100 + vt.

Odpowied:Rwnanie wsprzdnej sportowca ma posta x= 100 + vt.

c) Przyjmujemy pocztek ukadu wsprzdnych

w punkcie Ki rysujemy wektor pooenia pocztko-

wego czcy punkty Ki M(gdzie Mjest miejscem,

w ktrym sportowiec rozpocz bieg). Z rysunku

odczytujemy, e: x0= 50 m, a zwrot wektora pooenia pocztkowego jest zgodny ze zwro-

tem osi x, natomiast zwrot wektora prdkoci jest przeciwny do zwrotu osi x. Std rwnanie

wsprzdnej przyjmuje posta:

x= 50 vt.

Odpowied:Rwnanie wsprzdnej sportowca ma posta x= 50 vt.

Przykad 4

Przy prostoliniowym odcinku drogi znajduj si stacja benzynowa i Zajazd Leny, odlege

od siebie o d= 30 km. Po drodze poruszaj si ruchem jednostajnym dwa samochody: ci-

arowy z prdkoci v1 = 90 hkm i osobowy z prdkoci v2 = 120 h

km . W pewnej chwili t0 = 0

samochd ciarowy jadcy w stron stacji benzynowej mija Zajazd Leny. Po upywie cza-

su t1 = 6 min samochd osobowy mija stacj benzynow, jadc w kierunku Zajazdu Lenego.

t0= 0 t1= 0,1 hd= 30 km

v1

v2

t0= 0 t1= 0,1 hd= 30 km

x

x0

S K M

v

x0

a)Wybierz Zajazd Leny jako ukad odniesienia i wprowad jednowymiarowy ukad wsp-

rzdnych.

b)Napisz rwnania wsprzdnej pooenia: samochodu ciarowego oraz osobowego, tzw.

rwnania ruchu.

c)Po jakim czasie i w jakiej odlegoci od Zajazdu Lenego samochody si wymin?

d)Sporzd wykres zalenoci wsprzdnej pooenia od czasu dla obu samochodw.

Z otrzymanych wykresw wyznacz czas i miejsce ich wymijania. Porwnaj wynik z odpo-wiedzi z punktu c.

Rozwizanie

a)Wprowadzamy jednowymiarowy ukad wsprzdnych. Przyjmiemy, e punkt zero osi znajdu-

je si w miejscu Zajazdu Lenego, a oxjest skierowana od Zajazdu Lenego do stacji benzynowej.


32/38

32 Kinematyka

b) Pojazdy poruszaj si ruchem jednostajnym prostoliniowym, dlatego do zapisania ichrwna ruchu posuymy si rwnaniem wsprzdnej pooenia punktu poruszajcego siruchem jednostajnym prostoliniowym:

x=x0+ vxt.

Wsprzdna pooenia pocztkowego samochodu ciarowego jest rwna zerux01= 0, po-niewa w chwili t0 = 0 znajdowa si on na pocztku ukadu wsprzdnych. Wektor jego prd-koci skierowany jest zgodnie z osix, wic wsprzdna prdkoci ciarwki jest dodatnia.

Zapisujemy rwnanie wsprzdnej pooenia samochodu dla dowolnej chwili t:x1= v1t.

W chwili t0 = 0 samochd osobowy znajduje si w odlegoci x02 = d od Zajazdu Lene-go. Wektor pooenia pocztkowego samochodu osobowego jest zgodny ze zwrotem osi x,wic jego wsprzdna pooenia pocztkowego jest dodatnia. Samochd jedzie w kierunku

Zajazdu Lenego, czyli jego wektor prdkoci skierowany jest przeciwnie do zwrotu osix, cooznacza, e jego wsprzdna jest ujemna.

Zapisujemy rwnanie wsprzdnej pooenia samochodu osobowego dla dowolnej chwili:x2=x02 v2(t t1) = d v2(t t1).

Odpowied:Rwnania wsprzdnej pooenia: samochodu ciarowego oraz osobowegomaj posta odpowiednio:x1= v1t ix2= d v2(t t1).

c)W momencie mijania si samochodw ich wsprzdne s rwne, czyli:x1=x2.

Po podstawieniu do tej rwnoci rwna ruchu wyznaczonych w punkcie b, otrzymujemy:v1tm= d v2(tm t1),

gdzie tmjest czasem, po jakim samochody si min, liczc od t0.

Wyznaczamy tm:

t d t

v v

v

m1 2

2 1=

+

+

i podstawiamy dane liczbowe:,

,t90 120

30 120 0 1

0 2

km h

hmh

km

h

km

h

km$

= +

+

= .

Miejsce wyminicia si pojazdw wyznaczamy z rwnania wsprzdnej pooenia dla jed-nego z pojazdw, np. samochodu ciarowego, dla t= tm = 0,2 h. Po podstawieniu danychotrzymujemy:

xm = 90 hkm 0,2 h = 18 km.

T sam warto otrzymamy, korzystajc z rwnania ruchu drugiego pojazdu dla samocho-du osobowego:

xm = 30 km 120 hkm

(0,2 h 0,1 h) = 18 km.

Odpowied:Samochody wymin si po 0,2 h, a wsprzdna ich pooenia bdzie ww-czas rwna 18 km.


33/38


d)W celu sporzdzenia wykresux1(t) ix2(t) przygotowujemy tabel.

t[h] 0 0,1 0,2 0,3 0,4

x1= v1t[km] 0 9 18 27 36

x2= d v2(t t1) [km] 42 30 18 6 6

Zaznaczamy punkty odczytane na podstawie danychz tabeli w ukadzie wsprzdnych i rysujemy wykresy

x1(t) ix2(t).

Czas i miejsce spotkania si samochodw to punktprzecicia tych wykresw. Jego wsprzdne wynosz[0,2 h; 18 km]. Taki sam wynik otrzymalimy w punk-cie c.

Odpowied:Wykresy przecinaj si w punkcie o wsprzdnych [0,2 h; 18 km].

Uwaga. W powyszym przykadzie zaprezentowano dwa sposoby wyznaczania miejscai czasu spotkania dwch pojazdw. Pierwszy sposb to uoenie rwna opisujcych po-oenie samochodw wzgldem ukadu odniesienia. Miejsce spotkania to rwno wsp-rzdnych: obydwa pojazdy s w tej samej odlegoci od pocztku osi, czyli Zajazdu Lenego.Drugi sposb, graczny, polega na sporzdzeniu wykresw zalenoci wsprzdnej pooe-nia samochodw od czasu. Punkt przecicia wykresw okrela czas i miejsce ich wymijania.

Przykad 5

Wskazwkasekundomierza zegarka rcznego ma dugoR= 2 cm.a)Narysuj wektor przemieszczenia koca tej wskazwki po czasie Dt1= 15 s, Dt2= 30 s,Dt3= 45 s i Dt4= 60 s od pocztku ruchu. Jako pocztkowe pooenie wskazwki przyjmijwskazanie godziny 12.

Oblicz w kolejnych przedziaach czasu:b)przemieszczenie koca wskazwki sekundomierza,c)warto prdkoci redniej koca wskazwki sekundomierza,

d)redni warto prdkoci koca wskazwki sekundomierza.Rozwizanie

a)Koniec wskazwki sekundomierza porusza si po okrgu o promieniuR. Na kolejnych ry-sunkach zaznaczono wskazwk oraz wektory przemieszczenia dla koca wskazwki.

1) Dt1= 15 s 2) Dt2= 30 s 3) Dt3= 45 s 4) Dt4= 60 s

0

9

18

27

36

9

0,1 0,2 0,3t[h]

x [km]

0,4

M(tm,xm)

samochdosobowy samochdciarowy

O

Dr1

O

Dr2

O

Dr3

O Dr4 = 0


34/38

34 Kinematyka

b)Obliczamy przemieszczenia koca wskazwki sekundomierza w pozycjach zaznaczonychna poszczeglnych rysunkach. W przypadku pierwszym i trzecim przemieszczenie jest prze-ciwprostoktn trjkta prostoktnego rwnoramiennego o ramieniu R.

1) ,r R 2 2 8 cm1 .D ="

2) r R2 4 cm2D = ="

3) ,r R 2 2 8 cm3 .D ="

4) r 04D ="

Odpowied:Przemieszczenia koca wskazwki sekundomierza w kolejnych przedziaachczasu wynosz odpowiednio: 2,8 cm, 4 cm, 2,8 cm, 0 cm.

c)Warto prdkoci redniej obliczamy, korzystajc z podstawowego wzoru:

"

t

rv

sr

D

D=

"

l .

Obliczamy dla kolejnych pooe koca wskazwki warto prdkoci redniej, podstawia-

jc odpowiednie dane.

1),

,15

2 80 187

s

cmv1sr s

cm.=

"

l 2) ,304

0 133s

cmv2sr s

cm.=

"

l

3),

,45

2 80 062

s

cmv3sr s

cm.=

"

l 4) 600

0s

cmv4sr s

cm= =

"

l

Odpowied: Warto prdkoci redniej koca wskazwki sekundomierza w kolejnychprzedziaach czasu wynosi: 0,187

s

cm , 0,133s

cm , 0,062s

cm , 0s

cm .

d) redni warto prdkoci obliczamy, korzystajc z podstawowego wzoru:

t

svsrw

D

D=l .

Najpierw obliczamy dugo okrgu (tor ruchu), po ktrym porusza si koniec wskazwki:2R 12,56 cm.

Korzystamy z tej wielkoci przy wyznaczaniu drogi Dspokonanej w poszczeglnych odcin-kach czasu.

1) , ,s 41

12 56 3 14cm cm1 $

D = = 2) , ,s1

12 562 6 28cm cm2 $

D = =

3) , ,s4

312 56 9 42cm cm3 $D = = 4) Ds4= 12,56 cm

Znajc pokonan drog, obliczamy redni warto prdkoci.

1),

,15

3 140 209

s

cmv1srw s

cm. =l 2)

,,

30

6 280 209

s

cmv2srw s

cm. =l

3),

,45

9 420 209

s

cmv3srw s

cm. =l 4)

,,

60

12 560 209

s

cmv4srw s

cm. =l

Odpowied: rednia warto prdkoci koca wskazwki sekundomierza w kolejnychprzedziaach czasu wynosi 0,209

s

cm .


35/38


Pytania i zadania

1.5.1. Prdko dwiku w powietrzu to v= 340s

m . Z jak prdkoci (wh

km ) powinien po-

rusza si samolot odrzutowy, aby przekroczy barier dwiku?

1.5.2. Przez pierwsze t1= 30 min sportowiec bieg z prdkoci v1= 2,5 sm , a przez nastp-

ne t2= 30 min z prdkoci v2= 3 sm . Oblicz redni warto jego prdkoci na caej trasie.

1.5.3. Triatlon to wielobj skadajcy si z pywania, kolarstwa i biegu. Czas kocowy obej-

muje rwnie zmian stroju sportowego. Dystans x1= 1,5 km w akwenie zawodnik pokona

w t1= 28 min 56 s, tras rowerow x2= 40 km w t2= 1 h 4 min 54 s, a ostatni etap, bieg na

dystansie x3= 10 km, w t3= 45 min 10 s. Oblicz redni warto jego prdkoci na caej trasie

i porwnaj j ze redni wartoci prdkoci mistrza olimpijskiego z Aten w 2004 r., ktry

uzyska czas tA= 1 h 51 min 4 s. Wyniki podaj w sm

.

1.5.4.Na placu Zamkowym w Warszawie odbywa si koncert transmitowany przez rozgo-

ni radiow. Kto usyszy wczeniej gos piosenkarza: suchacz radiowy mieszkajcy w od-

legoci x1= 500 km od Warszawy czy bezporedni uczestnik koncertu stojcy w odlegoci

x2= 50 m od estrady? Prdko dwiku w powietrzu to vdz= 340 sm , a prdko fal radio-

wych vf= 3 105 s

km . Pomi opnienia powstajce w urzdzeniach elektronicznych.

1.5.5. Kana La Manche mona przeby promem lub pocigiem. Ile czasu trwa pokona-

nie s= 34 km kanau pocigiem, ktry porusza si z prdkoci v1= 160 hkm , a ile promem,

ktry rozwija prdko v2= 9 wzw?Wskazwka. Przelicz wzy na jednostki ukadu SI.

1.5.6. Maa modelarska rakieta ma zosta odpalona za pomoc lontu, ktry pali si powoli

i rwnomiernie z prdkoci v1= 1 scm . Jak co najmniej dugo powinien mie lont, by po

zapaleniu go mona byo szybkim krokiem oddali si na bezpieczn odlego s= 20 m? Za-

, e czowiek porusza si z prdkoci v2= 2,5 sm

.

1.5.7. Z Koobrzegu do portu Nex na Bornholmie

kursuj statki pasaerskie. Statek wyruszy w rejso godzinie 7.00, a przyby na miejsce o 12.00. Jed-

noczenie z Nex do Koobrzegu wypyn jacht

motorowy poruszajcy si ze sta prdkoci

v2= 30 hkm .

Wyspa Bornholm ley w odlegoci l= 100 km na

pnoc od Koobrzegu.

a)Napisz rwnania ruchu dla statku pasaerskiego

i jachtu motorowego w wybranym ukadzie odnie-

sienia.b)Przedstaw gracznie w jednym ukadzie wsprzdnych zaleno x(t) dla obu pywaj-

cych jednostek.

c)W jakiej odlegoci od Koobrzegu jednostki si min? O ktrej godzinie?


36/38

36 Kinematyka

1.5.8. Samochd osobowy poruszajcy si ze sta prdkoci v1 = 70 hkm min znak drogowy

informujcy, e do celu pozostao mu 210 km. T chwil przyjto za czas pocztkowy t0 = 0.Po upywie t1 = 0,5 h ten sam znak drogowy z prdkoci v2 = 140 h

km min jadcy w t samstron motocyklista.

a)W jakiej odlegoci od znaku drogowego motocyklista dogoni samochd? Po jakim czasie?b)Naszkicuj wykres pooenia samochodu i motocyklisty w ukadzie wsprzdnych x(t).Obierz punkt zero na osi w miejscu, w ktrym znajdowa si znak drogowy.

1.5.9.Na wykresie przedstawiono zaleno pooenia odczasux(t) dwch samochodw poruszajcych si po przeciwle-gych pasach drogi szybkiego ruchu.a)U rwnania ruchu poruszajcych si samochodw.b)Zinterpretuj punkt przecicia prostych na wykresie w od-niesieniu do sytuacji na drodze.c) Potwierd swoj interpretacj wykresu obliczeniowo, ko-rzystajc z rwna ruchu. Oblicz, kiedy samochody si min.Podaj wsprzdn pooenia samochodw w chwili mijania. Po-trzebne dane odczytaj z wykresu.

1.5.10. Podczas rajdu rowerowego na prostym odcinku drogi dwaj koledzy ustalili telefo-nicznie, e jadcy przodem Maciek mija wanie supek kilometrowy z napisem 5 km, a po-zostajcy w tyle Jacek mija supek z napisem 3 km. Od tego momentu obaj koledzy jad zesta prdkoci: Maciek v1 = 8 h

km , a Jacek v2= 16 hkm .

Wykonaj polecenia opisane w punktach ac, przyjmujc dwa rne ukady odniesienia: pierw-szy zwizany z pocztkowym pooeniem Jacka, a drugi z pocztkowym pooeniem Maka.a)Zapisz rwnania ruchu rowerzystw.b)Ustal, gdzie i kiedy Jacek dogoni Maka.c)Naszkicuj wykresx(t) dla rowerzystw.d) Porwnaj wyniki otrzymane dla ukadw odniesienia zwizanych z Jackiem i Makiemi zapisz wnioski.

Informacja do zada 1.5.11.1.5.13.Pani Kasia zacza uprawia mar-szobieg. Podczas 30-minutowych treningw stopniowo wyduaa czas

biegu, skracajc czas marszu. Kady z treningw by podzielony natrzy rwne czci. Pani Kasia zacza od treningw, podczas ktrych4 minuty biega i 6 minut maszerowaa. Podczas kadego nastpnegotreningu wyduaa bieg o 1 minut i o t minut zmniejszaa czas cho-du. W czasie ostatniego treningu pani Kasia biega 9 minut i maszero-waa 1 minut. Sensor biegowy przymocowany do jej buta wskazuje

przy chodzeniu prdko vch= 1,25 sm , a przy bieganiu vb= 2,5 s

m .

1.5.11. Po kadym z 10-minutowych odcinkw treningu podczas realizacji pierwszego etapuplanu treningowego kobieta zawracaa.a)Sporzd wykresx(t) ilustrujcy zaleno wsprzdnej pooenia biegaczki od czasu. Przyj-mij, e punkt zero wsprzdnej pooenia to chwila startu t0= 0.b)Oblicz redni warto prdkoci kobiety w czasie treningu.

0

40

80

120

160

200samochd 1

samochd 2

20 60 100 140 t[min]

x [km]

S


37/38


1.5.12. Przebieg jednego z treningw przedsta-wiono na wykresie. Punkt zero wsprzdnej

pooenia przyjto w chwili startu biegaczki dlat0= 0.a)Ktry z treningw przedstawiono na wykresie?b) Ile wynosi cakowite przemieszczenie bie-gaczki w czasie tego treningu?c)Ile wynosz jej cakowita droga i rednia war-to prdkoci?

1.5.13. Ostatni trening to 9 min biegu i 1 minchodu, wykonywane trzykrotnie. Oblicz redni warto prdkoci biegaczki podczas re-alizacji tego treningu. Porwnaj obliczon prdko ze redni wartoci prdkoci kobiety

podczas realizacji caego planu treningu.

1.5.14. Biegacz pokona pierwszy odcinek zaplanowanej trasy z prdkoci v1 = 2,5 sm ,

a drugi odcinek, tej samej dugoci, z prdkoci v2 = 3 sm . Ile wyniosa jego rednia warto

prdkoci na caej trasie? Porwnaj otrzymany wynik z treci zadania 1.5.2. i jego rozwi-zaniem. Wycignij wnioski.

1.5.15. Uczniowie postanowili wykaza prawdziwo wzoru:t

sconst.

D

D= dla

ruchu jednostajnego prostoliniowego. Badali w tym celu ruch pcherzyka po-wietrza w dugiej rurce. Uyli plastikowej rurki o dugoci 1,2 m i rednicy

wewntrznej 8 mm. Dugo pcherzyka powietrza wynosia 4 cm. Czas ruchumierzyli stoperem w telefonie komrkowym.

Na rurce zaznaczyli amastrem jednakowe odcinki Ds= 10 cm. Rurk usta-wili pionowo tak, aby w chwili pocztkowej pcherzyk powietrza znalaz sina dole. Mierzyli przedziay czasu Dt, w ktrych pcherzyk pokonywa kolej-ne jednakowe odcinki. Pomiary wykonali trzykrotnie dla tego samego odcin-ka. Wyniki pomiarw zebrali w tabeli.

Odcinek 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ds[cm] 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Dt1[s] 2,31 2,52 2,45 2,76 2,44 2,57 2,76 2,50 2,57 2,54

Dt2[s] 2,42 2,54 2,70 2,60 2,63 2,61 2,61 2,64 2,60 2,63

Dt3[s] 2,45 2,48 2,57 2,52 2,70 2,62 2,57 2,58 2,59 2,76

Dtr[s]

t

s

sr

s

cm

D

D

l

6 @

a)Oblicz redni czas pokonywania przez pcherzyk powietrza kolejnych odcinkw drogi oraz

ilorazyt

s

srDD

l

. Otrzymane wyniki wpisz do tabeli powyej i wycignij wnioski.

b)Oblicz redni warto prdkoci i maksymaln niepewno pomiarow. Zapisz wynikwraz z niepewnoci pomiarow.

0

200

400

600

800

1000

1200

4 8 12 16 20 24 28 t[min]

x [m]

D


38/38

38 Kinematyka

1.5.16. Uczniowie wykonali dowiadczenie majce na celu wykazanie prawdziwoci wzoru

s= vtdla ruchu jednostajnego prostoliniowego. Badali ruch pcherzyka powietrza w plasti-

kowej rurce o dugoci 1,4 m i rednicy wewntrznej 7 mm. Pcherzyk powietrza mia du-

go 4 cm.

Uczniowie ustawili rurk pionowo i mierzyli stoperem czas pokonywania przez pcherzykpowietrza odcinkw drogi s1, s2, s3itd., z ktrych kady mia dugo wiksz o 10 cm od

poprzedniego, zaznaczonego amastrem na rurce.

Kady pomiar czasu wykonali trzykrotnie.

W tabeli zamiecili czas redni z trzech pomiarw dla kadej drogi.

Droga przebyta przez pcherzykpowietrzas[cm]

10 20 30 40 50 60 70 80

Czas rednitr[s] 2,39 4,9 7,47 10,1 12,69 15,29 17,94 20,51

a)Opierajc si na wynikach uzyskanych przez uczniw, wykonaj wykres zalenoci drogi

od czasu. W tym celu na papierze milimetrowym narysuj i opisz ukad wsprzdnych, za-

znacz punkty pomiarowe wraz z niepewnociami (odpowiednio dla pomiaru drogi s= 1 cm

i dla pomiaru czasu t= 0,5 s).

b)Na otrzymanym wykresie zaznacz dwa punkty A i B w duej odlegoci od siebie i od -

czytaj ich wsprzdne A(tA, sA), B(tB, sB). Na tej podstawie oblicz redni warto prdkoci

pcherzyka powietrza:

t t

s s

vdos

B A

B A=l .

c)Na podstawie wykresu wyznacz maksymaln niepewno pomiaru.

Wskazwka.W celu wyznaczenia maksymalnej niepewnoci pomiaru prdkoci narysuj

dwie proste o skrajnych nachyleniach (patrz fragmenty wykresw na rysunku) tak, aby obej-

moway wszystkie prostokty niepewnoci pomiarowych. Wyznacz ich nachylenie, czyli

prdkoci vmini vmax. Oblicz:

Dv= vdo vmin i Dv= vmax vdo.

Z dwch obliczonych niepewnoci wybierz wiksz. Wynik pomiaru zapisz w postaci

v= (vdo Dv).

D

Mendel zbiór zadań

Documents

Transcript of Mendel zbiór zadań