kierunek FIZYKA, specjalność EKOFIZYKA

Materiały uzupełniające- wykład z akustyki

na I roku fizyki na specjalności ekofizyka

Projekt:

”Unowocześnienie programów, poprawajakości kształcenia oraz otwarcie nowej

specjalności Ekofizyka na kierunku Fizykaw Uniwersytecie Zielonogórskim”

Opracowanie:

dr hab. Mirosław R. Dudek

1

1 Detekcja dźwięku

Nie wszyscy zdają sobie sprawę z faktu, że ucho ludzkie samo dokonujeanalizy Fourierowskiej dźwięku. W trakcie procesu , który nazywamy sły-szeniem drgania błony bębenkowej wywołane przez falę dźwiękową docho-dzącą do ucha zostają przekształcone na sygnały do mózgu. Nie korzystamyprzy tym z pomocy komputera do analizy skomplikowanych wzorów ma-tematycznych a po prostu słuchamy. Ucho ludzkie rozróżnia poszczególnedźwięki działając analogicznie jak przyzmat, który rozkłada światło sło-neczne przez niego przechodzące na kolorowe składowe po drugiej stroniepryzmatu. Początkowa analiza dźwięku przez ucho jest mechaniczna a do-piero potem następuje polepszanie jakości poszczególnych dźwięków kiedysygnały dźwiękowe konwertowane są przez skomplikowaną sieć neuronową.Jeśli różne dźwięki pojawiają się jednocześnie to sami decydujemy, jak jepogrupować. W szczególności, jeśli słyszymy dwa różne tony jednocześniepochodzące od dwóch różnych instrumentów to w przypadku niektórychrelacji harmonicznych pomiędzy częstościami podstawowymi dla tych in-strumentów jak np. 1:1 mamy tendencję do odbierania dźwięku złożonegoz tych dwóch tonów raczej jako jeden - jakby pochodził on od jakieś in-nego ale jednego instrumentu. Podobne wrażenie łączenia tonów będziemymieli przy relacjach pomiędzy dźwiękami 2:1 czy 3:2 (zob. [2]). Dopierokiedy te relacje będą odbiegać od harmonicznych to nasze ucho zaczyna jetraktować jako oddzielne dźwięki. Odbiór dźwięku bardzo zależeć będzieod częstości dźwięku. Jeśli na przykład mamy długie ciągi dźwięków skła-dających się naprzemian z dwóch tonów, A i B, to jeśli różnica pomiędzyczęstotliwościami fA i fB jest mała będziemy odbierać dźwięk złożony jakojeden spójny strumień tonów [2]. Inaczej jest jeśli różnica pomiędzy tymiczęstościami zwiększy się - dźwięk złożony docierający do ucha odbieranybędzie jako dwa różne nie związane ze sobą strumienie.

1.1 Ucho ludzkie jako analogowy analizator Fouriera

Fala dźwiękowa rozchodząca się w powietrzu oznacza zmiany ciśnienia aku-stycznego w powietrzu. Zmiany te docierają kanałem słuchowym poprzezucho zewnętrzne do błony bębenkowej (oddzielającej ucho zewnętrzne odwewnętrznego) i pobudzają ją do drgań. W uchu wewnętrznym drgania tesą wzmacniane i przenoszone mechanicznie poprzez 3 kosteczki słuchowemłoteczek, kowadełko i strzemiączko od błony bębenkowej do błony na

2

Rysunek 1: Fragmenty ucha: kanał słuchowy wejściowy, błona bębenkowa oddzielającaucho zewnętrzne od wewnętrznego, zestaw 3 kosteczek słuchowych przy czym ostatnia znich, strzemiączko, dotyka błony owalnej slimaka.

tzw. okienku owalnym dającym dostęp do ślimaka. Powierzchnia błony bę-benkowej jest około 25 razy większa niż błony okienka owalnego do którejdocierają drgania poprzez strzemiączko [1]. Jest to bardzo ciekawe zjawiskoponieważ drgania przekazywane są od ośrodka gazowego w uchu zewnętrz-nym do ośrodka ciekłego znajdującego się wewnątrz ślimaka. Ponieważ siładziałająca na błonę równa się iloczynowi ciśnienia i pola powierzchni błonyto prawie 25 krotna różnica powierzchni błon oznacza, że na mniejszej znich (owalnej) pojawia się dużo większe ciśnienie. Ciśnienie to jest już wy-starczająco duże do wywołania fali dźwiękowej w wypełnionym płynamiślimaku. Ślimak, jest spiralnym kanałem kostnym wypełnionym płynami.W środku ślimaka jest m.in. błona podstawowa oddzielająca kanały zznajdującymi się w nich płynami. Dopiero drgania tej błony poprzez układrzęsek zamieniane są na impulsy nerwowe. Błona podstawowa porusza sięwskutek zmian ciśnienia generowanych w okienku owalnym. Zmiany ci-śnienia są na tyle duże, że ruchy błony wykrywane są przez system rzęsekwzdłuż błony, które pobudzane są selektywnie w zależności od częstościzmian ciśnienia na wejściu/okienku owalnym.

Błona podstawowa ma charakterystyczny kształt. Jest wąska i sztywnaprzy okienku owalnym i staje się około 5 razy szersza i bardziej elastycznaprzy przeciwnym końcu. Pobudzenie błony np. sinusową oscylacją o zadanejczęstości ω0 wywołuje odpowiedź zlokalizowaną w jakimś położeniu wzdłużbłony odpowiadającym tej częstości drgań.

3

Rysunek 2: Rysunek zrobiony na podstawie rys. 34 w publikacji [1]. Model sprężynkowybłony podstawowej wewnątrz ślimaka. Masy wzłuż stalowj taśmy rosną z lewa na prawom1 < m2 < . . . < m6 < m7 i jednocześnie maleją współczynniki sprężystości sprężynmalejące z lewa na prawo k1 > k2 > . . . > k6 > k7.

1.2 Model mechaniczny błony podstawowej

Podrozdział wg [1].

Model mechaniczny reprezentowany jest przez zestaw kuleczek przymo-cowanych do stalowej wstęgi i jednocześnie do sprężyn łączących kuleczkiz prętami (jak na rysunku). W tym modelu kuleczki o masie m mają masy,które zwiększają się wraz z długością membrany a współczynniki sprę-żystości k odpowiednio maleją. Kuleczki drgają z częstością ω =

√k/m.

Jeśli pobudzimy koniec taśmy stalowej z jakąś zadaną częstością ω0 to naj-pierw zacznie po niej przemieszczać się fala aż w końcu zamieni się onaw falę stojącą. Jeśli ω0 będzie miała częstość bliską częstości rezonansowejω jednej z mas (np. na rysunku masy nr 5) to ta masa zacznie drgać zamplitudą drgań większą niż pozostałe. Dodajmy, że sztywna część błonypodstawowej (ta przy okienku owalnym) ma częstości rezonansowe około20 kHz a przeciwny jej koniec, który jest bardziej elastyczny, ma częstościrezonansowe od 20 do 30 Hz.

4

1.3 Jednowymiarowy oscylator harmoniczny z periodyczną siłąwymuszającą

Rozważmy oscylator harmoniczny, na który poza siłą sprężystą działa siłaperiodyczna w czasie. Równanie ruchu Newtona ma postać:

md2x

dt2= −kx+ Acos(ω0t), (1)

gdzie m jest masą oscylatora, k stałą sprężystości, A amplitudą siły wy-muszającej, ω0 częstością siły wymuszającej. Warunki początkowe, np.

x(t = 0) = 0; v(t = 0) = 1. (2)W przypadku, kiedy nie ma siły wymuszającej (A=0) to oscylator drga zczęstością własną

ω =

√√√√ km. (3)

Ogólne rozwiązanie Równania 1 w przypadku amplitudy oscylacji x mapostać [5]:

x(t) = C1 sin(ωt+ δ) +A

m(ω2 − ω20)cos(ω0t), (4)

gdzie stałe C i δ wyliczamy z warunków początkowych dla oscylatora, tj.dla t = 0. Rozwiązanie x(t) jest złożeniem dwóch drgań oczęstości ω i ω0.Jeśli ω0 ma wartości zbliżające się do wartości ω to oscylacje x(t) zwiekszająsię. Analogicznie jest w modelu ucha z poprzedniego rozdziału.

2 Analiza Fouriera dla dyskretnych danych

Błonę podstawową można w przybliżeniu rozpatrywać jak strunę o długo-ści L. Wtedy długości dozwolonych fal stojących dla takiej struny możnazapisać wzorem:

λn =2Ln, (5)

gdzie n = 1, 2, 3, . . .. Długość fali odpowiadająca n = 1 to długość falipodstawowej. Jeśli związać prędkość fazową fali c0 z częstotliwością fali f

5

c0 = λf =λω

2π(6)

to kolejne częstości będące całkowitymi krotnościami częstości podstawowejf1 nazywamy harmonikami: f1, f2 = 2f1, f3 = 3f1, . . ..

2.1 Transformata Fouriera

W podręcznikach dla studentów można znaleźć definicję szeregu Fourierajako rozwinięcie dowolnej funkcji h(t) periodycznej o okresie T = 2L, tj.

h(t+ T ) = h(t)

w postaci nieskończonej sumy sinusów i cosinusów

h(t) =12a0 +

∞∑k=1

ak cos(kπt

L) +

∞∑k=1

bk sin(kπt

L) (7)

gdzie

a0 =1L

∫ L−Lh(t)dt (8)

ak =1L

∫ L−Lh(x) cos(

kπt

L)dt (9)

bk =1L

∫ L−Lh(x) sin(

kπt

L)dt (10)

gdzie k = 1, 2, 3, . . ..Jako szczególny przykład weźmy h(t)=t na odcinku [−π, π]]. Wtedy

szereg Fouriera bedzie miał postać:

t = 2sin(t)− sin(2t)

2+

sin(3t)3− sin(4t)

4+ . . .

(11)

Jeśli ograniczymy szereg w Równ.(7) do odcinka t ∈ [−T/2, T/2] i weź-miemy granicę z T do nieskończoności to suma (7) staje się całką

h(f) =∫ ∞−∞

h(t)e2πiftdt (12)

gdzie f w naszym przypadku pełni rolę częstotliwości jeśli t ma sens czasu.Jest to tzw. transformata Fouriera funkcji h(t) z domeny czasowej do czę-stotliwościowej. Zwykle dane pomiarów procesu fizycznego są w postaci

6

funkcji czasu h(t) ale też mogą być podane w funkcji częstotliwości h(f).Odpowiednio odwrotna transformata Fouriera ma postać:

h(t) =∫ ∞−∞

h(t)e−2πiftdt (13)

W praktyce mamy do czynienia z pomiarami dyskretnymi w czasie t = k∆t,gdzie k = 0, 1, 2, . . . , N − 1 i mamy skończoną liczbę N danych {hk}N−10 .Wtedy dyskretna transformata Fouriera będzie miała postać (zob. rozdziało transformatach Fouriera w [6]):

h(fn) =∫ ∞−∞

h(t)e2πifntdt ≈ ∆tN−1∑k=0

hke−2πikn/N (14)

gdziefn =

n

N∆t, n = −N/2, . . . , N/2,

a N liczb zespolonych h0, . . . , hN−1 przetransformowane jest na N liczbzespolonychh(f0), . . . , hfN−1.

Dokonując analizy sygnałów zwykle wylicza się tzw. spektrum mocysygnału, S(f), gdzie jest to transformata Fouriera funkcji autokorelacyjnejsygnału w chwili t i t+ τ

〈h(t)h(t+ τ)〉 =∫ ∞0S(f)e2πjftdf. (15)

gdzie τ jest zadanym parametrem korelacji. Spektrum mocy S(f) jest funk-cją w domenie częstotliwości f , przy pomocy której badamy długoczasowezachowania szybkich i wolnych oscylacji. W przypadku, kiedy analizie fo-urierowskiej poddane są np. oscylacje będące wypadkowymi różnego ro-dzaju oscylacji harmonicznych to w spektrum mocy te sygnały zobaczymyw postaci pojedynczych pików jak na rysunkach poniżej Rys. (3),(4).

Załóżmy, że mamy dźwięk złożony z dwóch tonów A i B odpowiadają-cym dwóm częstościom fA i fB, które pojawiają się losowo, czyli

h(t) = sin(2πf), (16)gdzie f = fA lub f = fB z jednakowym prawdopodobieństwem p = 1/2.Jak łatwo zauważyć z Rys. (6) pomimo losowego pojawiania się sygnałówczęstości składowych zostały rozpoznane. Kolejny przypadek to całkowicielosowy sygnał. Można zaobserwować płaskie spektrum mocy

7

0 5 10 15 20t

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

y

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

czestotliwosc, f

0

0,2

0,4

0,6

0,8

S(f

)

f=0.3

Rysunek 3: Na lewym panelu przedstawione są dane w postaci funkcju h(t) = sin(2πft)w przypadku kiedy f = 0.3. Na prawym panelu przedstawione jest spektrum mocy S(f)w funkcji częstości.

8

0 5 10 15 20t

-4

-2

0

2

4

y

0,01 0,1 1

czestotliwosc, f

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

S(f

)

f=0.3, 0.1, 0.8, 1.1

f=0.1f=0.3

f=0.8

f=1.1

Rysunek 4: Na lewym panelu przedstawione są dane w postaci sumy h(t) =∑k=4k=1 sin(2πfkt) w przypadku, kiedy f1 = 0.3, f2 = 0.1, f3 = 0.8, f4 = 1.1. Na pra-

wym panelu przedstawione jest spektrum mocy S(f) w funkcji częstości.

9

0 5 10 15 20t

-1

-0,5

0

0,5

1

y

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

czestotliwosc, f

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

S(f

)

f=0.3

Rysunek 5: Na lewym panelu przedstawione są dane w postaci h(t) = sin(2πft) w przy-padku, kiedy f = f1 = 0.3, f = f2 = 0.1 z jednakowym prawdopodobieństwem. Naprawym panelu przedstawione jest spektrum mocy S(f) w funkcji częstości.

10

0 5 10 15 20t

-1

-0,5

0

0,5

1

y

0,1 1

czestotliwosc, f

0

0,005

0,01

0,015

0,02

S(f

)

Rysunek 6: Na lewym panelu przedstawione są dane w postaci h(t) = sin(2πft) w przy-padku, kiedy f jest losowe z przedziału [0,1]. Na prawym panelu przedstawione jest spek-trum mocy S(f) w funkcji częstości.

11

Rysunek 7: Wizualizacja dźwięku poprzez program Kwave pod linuksem reprezentującegozdanie ’Tego roku jesień jest bardzo piękna’ wypowiedziane przez syntetyzator mowyespeak pod linuksem.

S(f) ∼ const (17)Wynik ten jest taki sam jak dla tzw. białego szumu.

2.2 Syntetyzatory mowy

Jeśli ktoś posługuje się linuksem może bez nakładu pieniędzy na zakupoprogramowania zobaczyć działanie syntetyzatorów mowy. Jednym z prost-szych jest program espeak. Po prostu w terminalu lub konsoli użytkownikapiszemy polecenie, np.

espeak -vpl -w dzwieki.wav

gdzie pl oznacza, że lektor ma mówić po polsku a nazwa dzwieki.wav ozna-cza plik dźwiękowy w formacie wav do którego zapisane zostanie wypisaneprzez nas na klawiaturze zdanie. Litery zostaną zamienione na dźwięki.W naszym przypadku wpiszmy, np. ’Tego roku jesień jest bardzo piękna’a następnie naciśnijmy kombinację klawiszy Ctrl-C. Syntetyzatora espeakmożna też użyć bezpośrednio bez zapisu do pliku i wtedy od razu usłyszymywpisany tekst. Obraz wygenerowanego dźwięku reprezentującego powyższezdanie jest przedstawiony na Rys. 7. Pojedynczą literę T będącą począt-kiem zdania w postaci dźwięku można zobaczyć na kolejnym rysunku Rys.8. Dodajmy, ze program espeak obsługuje kilka języków i dialektów.

12

Rysunek 8: Wygenerowanie dźwięku reprezentującego literę T - fragment poprzedniegorysunku

3 Kryteria hałasu

Wrażliwość ucha zależy silnie od częstości dźwięku. O ile dźwięki o niższychczęstościach rzędu 1 kHz i niskim poziomie ciśnienia akustycznego bliskiego0dB mogą być odbierane przez nasze ucho to np. już dźwięki powyżej 100Hz będą słyszane dopiero przy kilkudziesięciu decybelach. Poniżej naryso-wane zostały krzywe (Rys. (10)) jednakowego poziomu głośności, krzyweFletchera i Munsona. Krzywe te łączą punkty, gdzie dla różnych częstotli-wości f i różnych poziomów ciśnienia akustycznego Lp dźwięki odczuwanesą jednakowo głośno. Pojedyncze dźwięki - tony - ucho odbiera jednakowogłośno przy różnych częstotliwościach f . Taki poziom jednakowej głośnościjest wyrażony w tzw. fonach. Fony określają poziom natężenia konturu wdecybelach dla częstotliwości f = 1 kHz.

Definicje:

• Poziom ciśnienia akustycznego dany jest wzorem [3], [4]:

Lp = 10 log〈p2〉p20

= 20 logpskp0, (18)

gdzie p0 = 2 · 10−5 Pa oznacza ciśnienie odniesienia, psk ma sens ci-śnienia skutecznego

13

Rysunek 9: Krzywe izofoniczne. Są to tzw. krzywe Fletchera i Munsona do określania po-ziomu głośności konturów dla różnych częstotliwości. Reprodukcje oryginałów OrganizacjiNormalizacyjnej ISO można znaleźć np. [7]. Tutaj, przedstawiony jest wyłącznie schematideowy.

psk =√〈p2〉. (19)

Człowiek rozróżnia dźwięki dla których wartości Lp różnią się co naj-mniej o 1 dB.

• 1 fon równa się 1 dB poziomu natężenia dźwięku Lp przy częstościf = 1kHz.

Krzywe z rys. (10) są takie jak je opublikował Fletcher i Munson w 1933roku. Trzy lata później te krzywe zostały użyte jako pierwszy standard

14

Rysunek 10: Audiogram pacjenta z uszkodzonym słuchem prawego ucha. Na audiogramiezapisywane są progi słyszenia tonów (Lp,f). Częstotliwość mierzona jest w Hz a głośnośćw dB. Pacjent odsłuchuje poprzez słuchawki podany ton i przyciskiem potwierdza czysłyszy dźwięk.

15

100 1000 10000czestotliwosc (Hz)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

pozi

om

cis

nie

nia

akust

ycz

neg

o, L

p (

dB

)

NC15

NC20

NC25

NC30

NC35

NC40

NC45

NC50

NC55

NC60

NC65

NC70

Rysunek 11: Kontury NC dla pasm oktawowych dla tabeli z rys. 12

16

USA dla określania norm poziomu głośności przez Amerykańskie Towa-rzystwo Akustyczne (Acoustical Society of America). Tak zwany standardA-ważonych poziomów głośności dotyczy konturu głośności opartego nakrzywej odpowiadającej 40 Fonom. Reprezentuje on odpowiedź ucha ludz-kiego na niskie poziomy głośności dźwięku, głównie poniżej 60 dB. Wadątego flitru jest to że stosuje się on do pojedynczych tonów - ton określa para(Lp, f). Już w przypadku dźwięku generowanego w sposób losowy okazujesię, że hałas pochodzący od źródła losowego odbierany jest głośniej niżpojedynczy ton przy tym samym poziomie ciśnienia akustycznego.

Niskie i wysokie częstości najczęściej odbierane są przez nas jako bar-dziej nieprzyjemne w odniesienu do częstości pośrednich. Dlatego z powo-dów czysto praktycznych konieczne jest określenie akceptowalnego stan-dardu poziomu szumów akceptowalnych np. w biurze hałas pochodzący odwyposażenia klimatyzacji, w domu, bibliotece, szumy o określonej porzednia itd.

Na temat kryteriów dla określenia progu hałasu wg obowiązującychnorm stosuje się metodę NC (noise criterion) w USA lub NR (noise ratingcurves) w Europie. Przykłady wyliczania takich progów można znaleźć teżw internecie, np. algorytm wyliczania progów hałasu wg norm amerykań-skich bardzo ładnie jest opisany na stronie [8], gdzie współczynniki hałasuokreślane są poprzez pasma oktawowe dla częstości od 63 Hz do 8kHz. Ob-szar słyszalności podzielony jest umownie na kilka przylegających do siebiepasm częstotliwości. Każde z nich ograniczone jest od dołu tzw. dolną czę-stotliwością f1 a od góry górną częstotliwością f2. Zwykle podaje się takiepasma przy pomocy tzw. częstotliwości środkowej, zdefiniowanej jako

f =√f1f2. (20)

Dla pasm oktawowych mamy zależność f2 = 2f1.

Tabela norm NC hałasu dla częstości środkowych pasm oktawowych mapostać jak w poniższej tabeli Rys.12 (zob. [8] ).Skorzystajmy z przykładu (zob. [8] ale wybierzmy trochę inne dane. Za-łóżmy że interesuje nas dopuszczalny poziom hałasu w bibliotece. W biurzenormy hałasu reprezentują krzywe NC25-NC30. Dla porównania w miesz-kaniach NC25-NC35, w bibliotece NC35-NC40 a w restauracji NC40-NC45.W studiu nagrań NC15-NC20. Jeśli teraz np. dokonujemy pomiarów na-tężenia poziomu dźwięku w bibiotece dla różnych częstotliwości dźwięku i

17

Normahałasu

Częstość środkowa dla pasm oktawowych (w jednostkach Hz)

63 125 250 500 1000 2000 4000 8000

Natężenie poziomu dźwięku Lp (w jednostkach dB)

NC15 47 36 29 22 17 14 12 11

NC20 51 40 33 26 22 19 17 16

NC25 54 44 37 31 27 24 22 21

NC30 57 48 41 35 31 29 28 27

NC35 60 52 45 40 36 34 33 32

NC40 64 56 50 45 41 39 38 37

NC45 67 60 54 49 46 44 43 42

NC50 71 64 58 54 51 49 48 47

NC55 74 67 62 58 56 54 53 52

NC60 77 71 67 63 61 59 58 57

NC65 80 75 71 68 66 64 63 62

Rysunek 12: Kryteria hałasu NC wg pasm oktawowych - dane liczbowe są przykładowe isą wzięte z [8]

18

100 1000 10000czestotliwosc (Hz)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

po

zio

m c

isn

ien

ia a

ku

sty

czn

ego

, L

p

(

dB

)

NC15

NC20

NC25

NC30

NC35

NC40

NC45

NC50

NC55

NC60

NC65

NC70

Rysunek 13: Kontury NC dla pasm oktawowych i przykładowa krzywa repreentująca danepomiarowe (krzywa przerywana) hałasu w pomieszczeniu.

19

otrzymujemy:

1. 62.5 Hz – 30 dB

2. 125 Hz – 55 dB

3. 250 Hz – 50 dB

4. 500 Hz – 40 dB

5. 1000 Hz – 45 Hz

6. 2000 Hz – 38 Hz

7. 4000 Hz – 35 Hz

8. 8000 Hz – 30 Hz

Z rys. 13 widać że w tym przypadku dane pomiarowe wskazują poziomhałasu NC45. Czyli normy dla biblioteki zostały przekroczone. Zawsze wy-bieramy najniższą krzywą, której takie doświadczalne krzywe hałasu nieprzetną.

4 Przydatne dodatki

4.1 Równanie falowe rozwiązane przy pomocy transformatyFouriera

Załóżmy, że mamy następujące jednowymiarowe równanie falowe dla pro-pagacji ciśnienia akustycznego

∂2p(x, t)∂x2

=1c2∂2p(x, t)∂t2

(21)

gdzie c jest prędkością dźwięku. Niech równanie spełnia warunki brzegowe:

p(x, 0) = f(x);∂p

∂t(x, 0) = g(x). (22)

Zawsze możemy zapisać transformatę Fouriera dla p(x, t):

p(k, t) =∫ ∞−∞

p(x, t)e−2πikxdx. (23)

Odwrotna transformata od p(k, t) do p(x, t) ma postać:

p(x, t) =∫ ∞−∞

p(k, t)e2πikxdk. (24)

20

Po podstawieniu w równaniu (21) za p(x, t) jej transformaty Fouriera zrównania (24) otrzymujemy :

∂2

∂x2

∫ ∞−∞

p(k, t)e2πikxdk =1c2∂2

∂t2∫ ∞−∞

p(k, t)e2πikxdk. (25)

Stąd:(2πik)2

∫ ∞−∞

p(k, t)e2πikxdk =1c2∂2

∂t2∫ ∞−∞

p(k, t)e2πikxdk, (26)

i rozwiązujemy równanie względem p(k, t):

(2πik)2p(k, t) =1c2∂2

∂t2p(k, t). (27)

W następnym podrozdziale jest krótka dyskusja nt rozwiązywania rów-nań różniczkowych przy pomocy pakietu xmaxima pod linuksem. Możnaskorzystać z tego pakietu również w naszym przypadku. Otrzymamy na-stępującą postać rozwiązania tego równania różniczkowego:

p(k, t) = A(k)e2πikct + B(k)e−2πikct (28)Stosując odwrotną transformatę Fouriera otrzymujemy:

p(x, t) =∫ ∞−∞

p(k, t)e2πikxdk = (29)

=∫ ∞−∞

(A(k)e2πikct + B(k)e−2πikct)e2πikxdk = (30)

=∫ ∞−∞

A(k)e2πik(x+ct) +∫ ∞−∞

B(k)e2πik(x−ct) = (31)

= p1(x+ ct) + p2(x− ct). (32)czyli rozwiązaniem tego równania jest fala biegnąca w lewo p1(x+ ct) i falabiegnąca w prawo p2(x− ct).

21

Rysunek 14: Wygląd strony roboczej w pakiecie xmaxima pod linuksem.

4.2 Równania różniczkowe w pakiecie xmaxima pod linuksem

Pakiet xmaxima pod linuksem jest jednym z wielu umozliwiającym oblicze-nia zarówno numeryczne i symboliczne. Przyjrzyjmy się paru przykładom.Jako pierwszy weźmy równanie różniczkowe z poprzedniego rozdziału.

d2p

dt2= w2p, (33)

gdzie w naszym przypadku w = 2πikc. Polecenie w pakiecie xmaxima doznalezienia rozwiązania ma postać:

ode2(′diff(p, t, 2)− w2 = 0, p, t). (34)

22

Rysunek 15: Wygląd powitalnego interfejsu pod programem xmgrace. Strona domowahttp://plasma-gate.weizmann.ac.il/Grace/

Na Rys.14 pokazujemy wygląd strony z zapisem wykonanych poleceń. Wdolnej części ekranu maximy jest zestaw pomocniczych poleceń. Zauważmy,ze program maxima pyta się czy wartość w jest zerowa czy niezerowa. Wodpowiedzi należy napisać zero; lub nonzero; ze średnikiem na końcu. Wnaszym przypadku wybieramy opcję nonzero;

4.3 Pakiet grace - wykresy 2D, analizy danych

W każdej obecnej dystrybucji linuksa można zainstalować wiele pakietówgraficznych do rysowania wykresów czy nawet analizy danych pomiaro-wych. Bardzo wygodny, i intuicyjnie prosty, jest pakiet grace. Jako pro-gram występuje on pod nazwą xmgrace. Pozwala on w środowisku graficz-nym wczytać dane do wykresu dwuwymiarowego, dokonać różnego rodzaju

23

operacji na wykresach jak wyliczenie średniej, znajdowanie korelacji po-między wykresami czy różnego rodzaju analizy Fourierowskie. Rysunki zpierwszego rozdziału otrzymane zostały właśnie przy pomocy xmgrace.

Dane do zrobienia wykresu można wpisać “ręcznie” podając współ-rzędną x i y każdego punktu wykresu. Można też zadać wzór analitycznyfunkcji, której wykres chcemy narysować. Najczęściej dane mamy juz wpliku tekstowym. W tym przypadku, klikamy myszą na ’Data’ w górnymmenu (zob. rys. 15) a następnie w ściągalnym menu, które pojawi się naekranie klikamy na ’Import’ i wybieramy rodzaj danych, np. ASCII. Pojawinam się zawartość katalogów i po prostu musimy wybrać interesujący nasplik z danymi.

Literatura

[1] http://www.physics2000.com/PDF/Text/Ch 16 FOURIER ANALYSIS,%20 NORMAL MODES AND SOUND.pdf

[2] Diana Deutsch, Hearing music in ensembles, Physics Today February2010, 40-45

[3] Rufin Makarewicz, Dźwięk w środowisku. Ośrodek Wydawnictw Na-ukowych Poznań 1994

[4] Rufin Makarewicz, Dźwięki i fale, Wydawnictwo Naukowe UAM, 2009

[5] Grzegorz Białkowski, Mechanika klasyczna, PWN, Warszawa 1975.

[6] William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vettering, Brian P.Flannery, Numerical Recipes in C, Cambridge University Press 1992

[7] Egbert Boeker, Rienk van Grondelle, Fizyka Środowiska, Wydawnic-twa PWN, Warszawa 2002.

[8] http://www.engineeringtoolbox.com/nc-noise-criterion-d 725.html

24