Czas słoneczny

Punkty, które leżą na tym samym południku mają taki sam czas słoneczny. Przykładowo Londyn leżący w Wielkiej Brytanii i francuskie miasto Lourdes leżą na tym samym południku. Oznacza to, że czas słoneczny w tych miastach jest taki sam, podczas południa Słońce góruje tam najwyżej.

Przykładowe zadania

1. Oblicz czas słoneczny w Warszawie, jeśli w Londynie jest południe.

Należy wykorzystać tu zależność, że każdy 1º= 4min Do obliczenia potrzebujemy długości geograficznej obu tych

miast. Londyn- 0 º Warszawa- 21º Jeżeli miasta leżą na tej samej półkuli, to długości te do siebie

dodajemy, jeżeli na przeciwnych- odejmujemy. 21º - 0º = 21º Na podstawie tego, że jeden stopień to cztery minuty

obliczamy różnicę czasu: 21º x 4 min = 81 min = 1 godz. 21 min. Teraz możemy już obliczyć która godzina jest w Warszawie: 12.00 + 1 godz. 21 min. = 13 godz. 21 min.

Odp. W Warszawie jest godzina 1321.

2. Oblicz która godzina jest w Nowym Jorku, jeśli w Amsterdamie jest 14 czasu słonecznego?

Amsterdam - 5º E Nowy Jork - 74º W 74º + 5º = 79º 79º x 4 min. = 316 min = 5 godz 16 min 14.00 – 5 godzin i 16 minut = 8. 44

Odp. Jeżeli w Amsterdamie jest 14 czasu słonecznego, to w Nowym Jorku jest 8.44

Czas strefowy

Jest to czas miejscowy południka środkowego strefy. Na przykład południk 0º jest południkiem środkowym strefy czasu uniwersalnego. Strefa czasu uniwersalnego rozciąga się pomiędzy południkiem 7º 30' W a 7º 30'E. Czas w pozostałych strefach określa się w odniesieniu do czasu uniwersalnego. W kierunku wschodnim w każdej kolejnej strefie czasowej dodaje się jedną godzinę /np. U + 1 h/ , a w kierunku zachodnim – odejmuje się 1 godzinę /np. U – 1h/.Południki środkowe stref mają kolejno długość geograficzną 0º , 15º E, 30º E, 45º E, 60º E, 75º E, 90º E, 105º E, 120º E, 135º E, 150º E, 165º E, 180º i 15º W, 30º W, 45º W, 60º W, 75º W, 90º W, 105º W, 120º W, 135º W, 150º W, 165º W.

Przykładowe zadania

1. Która godzina czasu strefowego jest w Pekinie, jeżeli w Londynie jest południe?

Londyn – 12.00 Pekin - 116º E Przechodzimy do obliczeń czasu strefowego w Pekinie: U + 8h = 12.00 + 8h = 20.00

Odp. Podczas gdy w Londynie słońce góruje, w Pekinie jest 20.00 czasu strefowego.

Przykładowe zadanie

W dniu 22 VI żeglarz zaobserwował, że słońce góruje po północnej stronie nieba. Gdy zmierzył wysokość górowania Słońca otrzymał 56 stopni i 33 minuty. W tym czasie radio Londyn podało godzinę 14.00. Oblicz współrzędne geograficzne miejsca, w którym znajdował się żeglarz. W którym kierunku powinien płynąć, aby dotrzeć do najbliższego lądu? Jaki to ląd?

Jeżeli żeglarz widział Słońce po stronie północnej 22 czerwca to musi być on na półkuli południowej bądź na północnej ale tylko do szerokości 23 st 27‘ze wzoru liczymy szerokość miejsca - jest na półkuli południowej 56 st 33' = 90 st - b - 23 st 27'b = 10 st S

w Londynie - czas uniwersalny jest 14, a w miejscu w którym znajduje się żeglaż jest 12 - południe słoneczne

Liczymy różnicę czasu14 - 12 = 2 h = 120 min

Z proporcji wyliczamy różnicę w stopniach1 st - 4 minutyx st - 120 minx = 30 st

W Londynie jest późniejsza godzina, co sugeruje nam że dane miejsce jest na półkuli Zachodniej, więc mamy długość 30 st WWspółrzędne miejsca (10 S, 30 W)

Odp. Żeglarz powinien płynąć na Zachód, a kierując się w tamtym kierunku dotrze do wybrzeży Brazylii

Symetrią osiową względem prostej k nazywamy przekształcenie płaszczyzny, w którym każdemu punktowi A przyporządkowany jest punkt A', leżący na prostej prostopadłej do tej prostej k przechodzącej przez punkt A w tej samej odległości od k co punkt A, ale po drugiej stronie prostej k. Prostą k nazywamy osią symetrii.

Figury symetryczne względem prostej są przystające.

Prosta względem której figura jest symetryczna sama do siebie nazywa się osią symetrii figury. O figurze, która ma oś symetrii mówimy, że jest figurą osiowo symetryczną.

Symetrią względem punktu O zwanego środkiem symetrii nazywamy przekształcenie płaszczyzny, w którym punkt O jest stały, a każdemu innemu punktowi A przyporządkowuje punkt A' taki, że punkt O jest środkiem odcinka AA'. Figury symetryczne względem punktu są przystające.

Punkt, względem którego figura jest symetryczna sama do siebie, nazywa się środkiem symetrii figury.

Procent to setna część jakiejś liczby, oznaczamy go symbolem "%".

Ułamki zwykłe o mianowniku 100 i ułamki dziesiętne z dwoma miejscami po przecinku łatwo możemy zapisać w postaci procentu (%).

 a/100 = a% lub 0,01a = a%1/100 = 0.01 = 1%1 = 100/100 = 100%

 Przykłady:

1/4 = 25/100 = 25% 1/4 = 1/4 . 100% = 25%

2/5 = 40/100 = 40% 2/5 = 2/5 . 100% = 40%

 

Przykłady:25% = 25/100 = 1/4

25% = 0,2560% = 60/100 = 3/5

60% = 0,60

Aby procent zapisać w postaci ułamka należy liczbę procentów podzielić przez 100 (pomnożyć przez 1/100)

Przykładowe zadania:1. W pierwszej klasie gimnazjum jest 32 uczniów. Na lekcji

matematyki 6 1/4% uczniów było nieobecnych. Oblicz, ilu uczniów było nieobecnych.

 obliczenia możemy wykonać tak : 

6 1/4 % = 25/4% = 25/400 = 1/16 - zamieniamy procent na ułamek

1/16 * 32 = 1*32/16 = 2 - obliczamy ułamek danej liczby

 lub tak : 6 1/4% * 32 = 25/4% *32 = = 25/400 * 32 = 25*32/400 = 32/16 = 2 - obliczamy 6 1/4%

liczby 32 

Odp. Na lekcji matematyki dwóch uczniów było nieobecnych.

2. Fabryka obuwia wyprodukowała 6000 par obuwia damskiego

i męskiego, z czego 68% to obuwie damskie. Ile par butów damskich i ile par bytów męskich wyprodukowała ta fabryka?

68% * 6000 = 68 * 6000/100 = 4080 6000 - 4080 = 1920

Odp.: Fabryka wyprodukowała 4080 par butów damskich i 1920 butów męskich.

3. Cena telewizora wynosi 2500 zł. Sklep udzielił kupującemu zniżki 10%. Ile złotych zapłacił kupujący za ten telewizor.

10% * 2500 = 10 * 2500/100 = 250 (zł)

2500 - 250 = 2250 (zł)

Odp.: Kupujący, za telewizor zapłacił 2250 zł.

4. W jednym z Warszawskich kin jest 500 miejsc, a w drugim jest o 15% więcej miejsc. Ile miejsc jest w drugim kinie?

15% * 500 = 15 * 500 / 100 = 75 500 + 75 = 575

Odp.: W drugim kinie jest 575 miejsc.

Liczba m, której p% stanowi k, to m = k.100/p

Przykład: Znajdź liczbę, której 75% stanowi 225. I sposób: 75% = 75/100 = 3/4 - zamieniamy procent na

ułamek 225:3/4 = 225 . 3/4 - znajdujemy liczbę na

podstawie =225 . 4/3 = 300 danego jej ułamka

  II sposób:   Jeżeli 75% stanowi 225 to 1% stanowi 225/75 a 100% stanowi 225/75 . 100 = 225 . 100/75 = 300   Odp.: Liczba, której 75% stanowi 225, jest równa 300.  

Obliczanie, jakim procentem liczby a (a ≠ 0 ) jest liczba b, wykonujemy następująco:

b/a . 100% = b . 100/ a %

Przykładowe zadania 1. W klasie liczącej 30 uczniów pewnego dnia pięciu

uczniów było nieobecnych. Jaki procent wszystkich uczniów stanowili uczniowie nieobecni?

 5:30 = 5/30 = 1/6 - taki ułamek stanowili

uczniowie nieobecni1/6 . 100% = 100/6% = 16 2/3 % - taki procent stanowili

uczniowie nieobecni Odp.: Uczniowie nieobecni stanowili 16 2/3% wszystkich uczniów.

2. Na kursie języka francuskiego liczącym około 90 słuchaczy, było 48 kobiet. Jaki procent słuchaczy stanowiły kobiety ?

48/90 * 100% = 48 * 100 / 90 = 53,3%

Odp.: Kobiety stanowiły 53,3% procent słuchaczy.

3.W klasie jest 27 uczniów, a dziewcząt jest 15. Oblicz jaki prcent liczby uczniów w klasie stanowią

dziewczęta.

27/15 * 100% = 15 * 100 / 27 = 55,6%

Odp.: Dziewczęta w tej klasie stanowią 55,6 %.

4. W gimnazjum sportowym jest 378 uczniów. W czasie ferii zimowych

265 uczniów wyjechało na obóz. Ile procent uczniów było na obozie?

265/378 * 100% = 265 * 100 / 378 = 70%

Odp.: Na obóz wyjechało 70% uczniów.

Przykładowe zadania 1. Oblicz odsetki od kwoty 2000 zł złożonej w banku na okres 6

miesięcy prz 3% oprocentowaniu w stosunku rocznym. Obliczamy odsetki za cały rok : 2000 * 3% * 1 = 2000 * 3 /100 = 60 zł Obliczamy odsetki za 6 miesięcy6 miesięcy = 1/2 roku  60 * 1/2 = 30 zł Odsetki te możemy obliczyć następująco : 2000 * 3% * 1/2 = 2000 * 3 * 1/2 / 100 = 30 zł Odp.: Po 6 miesiącach naliczono 30 zł odsetek. 

2.Oblicz odsetki od kwoty 4000 zł wpłaconej do banku na ok. 6 miesięcy przy

oprocentowaniu 2,5%.

4000 * 2,5% * 0.5 / 100 = 50 (zł)

Odp.: W czasie pół roku odsetki wyniosą 50 zł.

3. Jaki będzie stan konta po okresie umownym, jeżeli wpłacimy do banku 3500 zł

na okres 12 miesięcy, a oprocentowanie wynosi 6% ?

3500 * 6% * 1 / 100 = 210 (zł)

3500 + 210 = 3710 (zł)

Odp.: Stan konta będzie wynosił 3710 zł.

4. Jaką kwotę spłaci kredytobiorca, który pobrał z banku kwotę 270 000 zł kredytu na okres 30 lat przy stopie procentowej 4%?

270000 * 4% * 30 / 100 = 324 000 (zł)

Odp.: kredytobiorca spłaci 324 000 zł.

Przykładowe zadanie

1. Droga na odcinku 3 km wznosi sie o 150m. Oblicz, jaki promil długości drogi stanowi wzniesienie na tym odcinku.

3 km = 3000 m

150 : 3000 = 0.05 %o

Odp.: Wzniesienie na tym odcinku stanowi 0.05 promila długości całej trasy.

Trójkąt:P = ½ a • h (podstawa razy wysokość)

Trapez: P = ½(a+b) • h

(a – jedna podstawa trapezu; b – druga podstawa trapezu; h – wysokość trapezu)

Prostokąt:P = a • b

Romb: P = ½ e • f(e, f – dłuższa i krótsza przekątna rombu)

Równoległobok:P = a • h(a – bok równoległoboku; h- wysokość opuszczona na bok a)

Deltoid:P = ½ e • f

Przykładowe zadania

1.Pan Kowalski ma działkę w kształcie prostokąta o polu 10a.

Jeden bok ogrodzono siatką o długości 50m. Ile siatki trzeba dokupić na pozostałe boki działki?

P=a*b b=P/a A=50m b=1000m/50m=20m P=10a=1000m Ob.=2a+2b= 2*50+2*20=140 140-50=90

Odp. Do ogrodzenia działki potrzeba jeszcze dokupić 90m.

.

2. Pani Ewa chce ułożyć rabatkę w kształcie trójkąta o boku 10m i wysokości 5m. Ile musi kupić trawy, aby obsiać rabatkę wiedząc, że na 1m2 potrzeba 200g nasion?

P= a*h/2 P=10m*5m/2=25m2 25*200=2000

Odp. Potrzeba 2000g nasion

Przekształcanie wzorów jest umiejętnością, która na

pewno przyda nam się w życiu codziennym, a przede wszystkim na

egzaminie gimnazjalnym!

 Ważne!Zasady przekształcania równań: do obu stron równania możemy dodać

lub od obu stron równania możemy odjąć to samo wyrażenie.

obie strony równania możemy pomnożyć bądź podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Pamiętaj!Przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron równania

przez to samo wyrażenie musimy wiedzieć, że wartość tego wyrażenia jest różna od zera lub przyjąć odpowiednie założenie.

Przy przekształcaniu wzorów możemy przenosić dowolne wyrażenie na drugą stronę równości. Oczywiście trzeba pamiętać o zmianie znaku tego wyrażenia na przeciwny.

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Przekształcanie wzorów pól wielokątów

Pole prostokąta P=a*b a=? P=a*b|:b P:b=a a=P:b

Przykładowe zadanie:Pole prostokąta wynosi 48cm2. Długość boku b wynosi 8cm. Ile wynosi długość boku a?P=48cm2 a=?b=8cmP=a*b|:ba=P:ba=48cm2 : 8cma=6cmOdp. Długość boku a wynosi 6cm.

Pole trójkąta P= ½ a*h h=? P= ½ a*h| :½ a P: ½ a=h h=P: ½ a

Przykładowe zadanie: Pole trójkąta równobocznego, którego długość podstawy a wynosi

4cm wynosi 16cm2 . Oblicz wysokość trójkąta.P=16cm2 h=?a=4cmP= ½ a*hP= ½ a*h|: ½ aP: ½ a=hh=P: ½ ah=16cm2 : ½ 4cmh=16cm2 : 2cmh=8cmOdp. Wysokość trójkąta równobocznego wynosi 8cm.

Pole trapezu P= ½(a+b)*h a=? P= ½(a+b)*h|:(½*b*h) P: (½*b*h)=a a= P: (½*b*h)

Przykładowe zadanie:Długość podstawy górnej trapezu wynosi 4cm, a wysokość 5cm. Oblicz długość podstawy dolnej trapezu a, jeżeli pole tego trapezu wynosi 50cm2

P=50cm2 a=?b=4cmh=5cmP= ½(a+b)*hP= ½(a+b)*h|:(½*b*h)P: (½*b*h)=aa= P: (½*b*h)a=50cm2 :(½*4cm*5cm)a=50cm2 :(2cm*5cm)a=50cm2 : 10cmA=5cmOdp. Długość dolnej podstawy trapezu wynosi 5cm.

Pole rombu P= ½e*f e=? P= ½e*f|: ½f P: ½f=e e=P: ½f

Przykładowe zadanie:Długość dłuższej przekątnej rombu f wynosi 6cm, a jego pole 12cm2 .

Oblicz długość krótszej przekątnej e tego rombu.P= 12cm2 e=?f=6cm P= ½e*fP= ½e*f|: ½fP: ½f=ee=P: ½fe= 12cm2 : ½6cme= 12cm2 : 3cme=4cmOdp. Długość krótszej przekątnej tego rombu wynosi 4cm.

Pole równoległoboku P=a*h a=? P=a*h|:h P:h=a a=P:h

Przykładowe zadanie:Pole równoległoboku o wysokości 5cm wynosi 35cm2 . Oblicz długość

boku a tego równoległoboku.P= 35cm2 a=?h= 5cmP=a*hP=a*h|:hP:h=aa=P:ha=35cm2 : 5cma=7cmOdp. Długość boku a tego równoległoboku wynosi 7cm.

Pole deltoidu P= ½e*f f=? P= ½e*f|: ½e P: ½e=f f=P: ½e

Przykładowe zadanie:Pole deltoidu, którego długość krótszej przekątnej e wynosi 8cm, jest równe 88cm2. Oblicz długość dłuższej przekątnej f tego deltoidu.

P= 88cm2 f=?e=8cmP= ½e*fP= ½e*f|: ½eP: ½e=ff=P: ½ef=88cm2: ½ 8cmf=88cm2 : 4cmf= 22cm

Odp. Długość dłuższej przekątnej f tego deltoidu wynosi 22cm

Quiz

1.Oblicz czas słoneczny w Warszawie jeżeli w Moskwie jest południe.

a) W Warszawie jest godzina 4:40b) W Warszawie jest godzina 13:20c) W Warszawie jest godzina 4:44d) W Warszawie jest godzina 13:22

2.Prostokąt ma:

a) 6 osi symetriib) 2 osie symetriic) 4 osie symetriid) żadna z powyższych odpowiedzi

3.Figurą osiowosymetryczną jest:

a) trapez równoramiennyb) kołoc) kwadratd) wszystkie odpowiedzi są prawidłowe

4. 5/20 to:

a) 20%b) 25%c) 15%d) 30%

5. W klasie jest 30 uczniów, z czego 10% stanowią dziewczęta. Ilu chłopców jest w klasie?

a) 15b) 27c) 25d) 20

6. Oblicz pole trapezu, którego podstawa a wynosi 6cm, podstawa b 10cm, a wysokość jest równa 5cm.

a) 40cm2

b) 35 cm2

c) 20 cm2

d) 25 cm2

7. Wyznacz zmienną m ze wzoru E=m*g*h.

a) m= E:(g:h) b) m= E*g*h

c) m= E:(g*h) d) żadna z powyższych odpowiedzi

nie jest poprawna

Odpowiedzi

1.a)2.c)3.d)4.b)5.b)6.a)7.c)

Spis treści Zastosowania matematyki w geografii a) czas słoneczny b) czas strefowy c) obliczanie współrzędnych geograficznych na podstawie górowania słońca Symetrie w otaczającej nas rzeczywistości

a) symetria osiowab) figury osiowosymetrycznec) przykłady figur osiowosymetrycznych w otaczającej nas rzeczywistościd) symetria środkowae) środek symetrii figuryf) przykłady symetrii względem punktu w otaczającej nas rzeczywistości

Procentya) zamiana ułamków na procenty i procentów na ułamkib) obliczanie procentu danej liczbyc) obliczanie liczby z danego jej procentud) obliczanie ile procent jednej liczby stanowi druga liczbae) oprocentowanie oszczędności i kredytów

Promile Pola wielokątów Przekształcanie wzorów

a) przekształcanie wzorów pól wielokątów Quiz

a) poprawne odpowiedzi Bibliografia

Bibliografia

Czasopismo ,,Victor Gimnazjalista’’ ,,Z Pitagorasem przez gimnazjum’’- Stanisław Durydiwka, Stefan Łęski www.wikipedia.pl Pomysły własne

Ilustracje zaczerpnięte zostały z: http://www.profesor.pl/mat/na8/na8_d_danielkiewicz_8.gif ilustracja slajd http://www.matmana6.pl/img/theory_image/filename/71_theory.JPG http://www.math.edu.pl/images/geometria/trapez.gif http://www.math.edu.pl/images/geometria/wl-trojkata.gif http://www.matematyka-konin.yoyo.pl/images/pole-rombu.png http://www.bazywiedzy.com/gfx//rownoleglobok.png http://mobini.pl/upload/files/129/526/639/816/212/957_trawa_g8.JPG http://www.zphjan.com/img/siatki/siatka_slimakowa_rys.gif http://8.s.dziennik.pl/pliki/1629000/1629018.jpg

38

http://img.interia.pl/biznes/nimg/5/m/kredyt_euro_bedzie_tanszy_3852237.jpg http://www.hmpmag.pl/img/kredyt-bankowy.jpg http://papilot1.mykmyk.pl/img/660/0/dzieci-w-szkole12204816.jpg altannik.bialystok.pl http://podroze.zettech.pl/wp-content/uploads/2010/05/1235057156wieza-eiffla..jpg http://oclab.pl/wp-content/uploads/2011/03/polo_optima_gniazdo_2.jpg http://www.fizyka.net.pl/ciekawostki/grafika/snieg3.jpg http://www.szlachetne.com/brylant/3-15.jpg

Prezentację wykonały:1. Martyna Żurawska2. Agata Więckowska3. Dominika Wojciechowska4. Milena Skierkowska5. Aleksandra Żbikowska