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Many–Body Problem 倉澤治樹1997年 4月 , 2001年 4月 , 2004年 4月 , 2019年 4月

目次1 第二量子化 1

1.1 スレーター行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 生成・消滅演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 ハートリー・フォック近似 7

2.1 エネルギー期待値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 ハートリー・フォック方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 フェルミガス模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 交換項の自由粒子近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 ウィックの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 残留相互作用の分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7 密度行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.8 ハートリー・フォック方程式が正確に解ける模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 RPA 31

3.1 タム・ダンコフ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 RPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 プラズマ振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 ゼロ音波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5 RPAの性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6 HF基底状態の安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.7 時間依存 HFと微小振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.8 線形応答としての RPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.9 ベーテ・サルピーター方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.10 Sum Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A スレーター行列式と第二量子化 72

A.1 置換演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A.2 対称化・反対称化演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A.3 スレーター行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

A.4 生成・消滅演算子による状態の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.5 生成・消滅演算子による演算子の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

参考書• A. L. Fetter and J.D. Walecka, Quantum theory of many–body systems ( McGraw–Hill, 1971 )

• P. Ring and P. Schuck, The nuclear many–body problem ( Springer–Verlag, 1980 )

• J. W. Negele and H. Orland, Quantum many–particle systems ( Addison–Wesley, 1988 )

1 第二量子化 1

1 第二量子化粒子 i が状態 |αi⟩ にある N 粒子系の状態を

|α(1)1 α

(2)2 · · ·α

(N)N ⟩ ≡ |α1⟩(1)|α2⟩(2) · · · |αN ⟩(N)

で表わす。上付きの添字 (i) は粒子 i の状態であることを示す。1粒子状態 |αi⟩ の添字 i は 1粒子状態を区別するための添字で, 粒子の番号とは無関係である。|αi⟩ は規格直交系とする:

⟨αi|αj⟩ = δij

1.1 スレーター行列式N 個の同種粒子系では, 個々の粒子は量子力学的には区別できない。簡単のため N = 2 の場合

を考えると, 粒子が状態 |α1⟩ と |α2⟩ にある 2粒子系の状態は, 粒子 1が |α1⟩, 粒子 2が |α2⟩ にある状態 |α(1)

1 α(2)2 ⟩, あるいは粒子 1が |α2⟩, 粒子 2が |α1⟩ にある状態 |α(1)

2 α(2)1 ⟩ とも表せる。一般には

この 2つの線形結合|α1α2⟩ = C1|α(1)

1 α(2)2 ⟩+ C2|α(1)

2 α(2)1 ⟩ (1.1)

になる。同種粒子の非個別性を正しく取り入れるためには, 多粒子系の状態としては次の要請を満たす状態だけが許される:

• フェルミ粒子 ( スピンが半整数の粒子 )の場合, 任意の 2つの粒子の状態を交換すると符号が変わる反対称の状態

• ボーズ粒子 ( スピンが整数の粒子 )の場合, 任意の 2つの粒子の状態を交換しても不変な対称の状態

以下では, フェルミ粒子の多体系だけを考える。(1.1)で粒子 1と粒子 2の状態を交換して符号が変わるものは

|α1α2⟩ = C1

(|α(1)

1 α(2)2 ⟩ − |α

(1)2 α

(2)1 ⟩

)である。C1 は |α1α2⟩ の規格化で決まる。|αi⟩ の規格直交性から

⟨α1α2|α1α2⟩ = |C1|2(⟨α(1)

1 α(2)2 | − ⟨α

(1)2 α

(2)1 |)(|α(1)

1 α(2)2 ⟩ − |α

(1)2 α

(2)1 ⟩

)= 2|C1|2

(⟨α1|α1⟩⟨α2|α2⟩ − ⟨α1|α2⟩⟨α2|α1⟩

)= 2|C1|2 = 1

C1 = 1/√2 ととればよい。規格化された 2フェルミ粒子系の状態は行列式を用いて

|α1α2⟩ =1√2

∣∣∣∣∣∣|α1⟩(1) |α1⟩(2)

|α2⟩(1) |α2⟩(2)

∣∣∣∣∣∣と表せる。一般に N 個のフェルミ粒子系の状態は

|α1α2 · · ·αN ⟩ =1√N !

det(|αi⟩(j)

)=

1√N !

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

|α1⟩(1) |α1⟩(2) · · · |α1⟩(N)

|α2⟩(1) |α2⟩(2) · · · |α2⟩(N)

...

|αN ⟩(1) |αN ⟩(2) · · · |αN ⟩(N)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣である。これをスレーター行列式という。

1 第二量子化 2

• 粒子 iと j の状態を交換するということは, 添字 (i) と (j) を交換する, つまり, スレーター行列式の i列と j 列を入れ換えることであり, 行列式の性質から符号が変わる。

• α1, α2, · · · , αN の中に 1組でも同じものがある場合, この組の行を入れ換えれば符号だけが変わりスレーター行列式は 0になるから, α1, α2, · · · , αN はすべて異なる状態でなければならない。つまり, 2個以上の粒子が同じ 1粒子状態を占めることは許されない ( パウリの原理 )。

1.2 生成・消滅演算子状態 |α⟩ のフェルミ粒子を生成する演算子 a†α が反交換関係

aα , a†α′ ≡ aαa†α′ + a†α′aα = δαα′ (1.2)

aα , aα′ ≡ aαaα′ + aα′aα = 0 (1.3)

a†α , a†α′ ≡ a†αa

†α′ + a†α′a

†α = 0 (1.4)

を満たすとする。Nα ≡ a†αaα の固有値が nα である固有状態を |nα⟩ とする:

Nα |nα⟩ = nα|nα⟩

である。反交換関係を使うと

Nαa†β |nα⟩ =

(a†βNα + δαβa

†β

)|nα⟩ = (nα + δαβ) a

†β |nα⟩ (1.5)

Nαaβ |nα⟩ = (nα − δαβ) aβ |nα⟩ (1.6)

である。a†α は Nα の固有値を 1つだけ増やし, aα は 1つ減らす。したがって, 反交換関係を満たすa†α , aα はそれぞれ生成演算子, 消滅演算子であり, Nα はその固有値が 1粒子状態 |α⟩ にある粒子数を表す演算子と解釈できる。

N2α = a†αaαa

†αaα = a†α

(1− a†αaα

)aα = a†αaα = Nα

であるから, 固有値は n2α = nα より nα = 0 及び nα = 1 だけである。これから反交換関係を設定するとパウリ原理を満たす。(1.6)で nα = 0 とすると

Nαaα|nα = 0 ⟩ = − aα|nα = 0 ⟩

であるから Nα の固有値は − 1 になりそうだが, a2α = 0 であるからNαaα = a†αa2α = 0 , したがって

aα|nα = 0 ⟩ = 0

であり −1 の固有状態は存在しない。全ての Nα の固有値が 0 である規格化された状態を | 0 ⟩ とする。| 0 ⟩ はどの 1粒子状態にも粒子

が存在しないから真空 ( vacuum )と呼ばれる。このとき, 任意の α に対して

aα| 0 ⟩ = 0

である。粒子が N 個ある状態|α1 · · ·αN ⟩a ≡ a†α1

· · · a†αN| 0 ⟩ (1.7)

を考える。この状態は粒子の交換に関してスレーター行列式と同じ性質を持つ。

1 第二量子化 3

• a†α の反交換関係 (1.4)のため, 2粒子の交換に関して符号を変える。例えば, a†α1と a†α3

を交換すると

a†α1a†α2

a†α3= − a†α1

a†α3a†α2

= + a†α3a†α1

a†α2= − a†α3

a†α2a†α1

である。• a†αa†α = 0 であるから, 1つの一粒子状態は 1つの粒子のみが占めることができパウリの原理を満たす。

αi ( i = 1, 2, · · · , N ) が全て異なるとする。

a⟨α1 · · ·αN |α1 · · ·αN ⟩a = ⟨ 0 |aαN· · · aα2

aα1a†α1

a†α2· · · a†αN

| 0 ⟩

= ⟨ 0 |aαN· · · aα2

(1− a†α1

aα1

)a†α2· · · a†αN

| 0 ⟩

aα1は a†α2

, · · · , a†αNとは単に反交換するだけである。したがって 2行目で aα1

を含む項は

aα1a†α2· · · a†αN

| 0 ⟩ = (−1)N−1a†α2· · · a†αN

aα1 | 0 ⟩ = 0

である。これから

a⟨α1 · · ·αN |α1 · · ·αN ⟩a = ⟨ 0 |aαN· · · aα3

aα2a†α2

a†α3· · · a†αN

| 0 ⟩

= ⟨ 0 |aαN· · · aα3

a†α3· · · a†αN

| 0 ⟩...

= ⟨ 0 | 0 ⟩ = 1 (1.8)

となり |α1 · · ·αN ⟩a は規格化されている。一体演算子 f を考える。i番目の粒子の f を fi と書くことにすると, N 粒子系全体では

F =

N∑i=1

fi (1.9)

である。これは生成・消滅演算子を用いた

Fa =∑αβ

fαβ a†α aβ , ただし fαβ ≡ ⟨α| f |β⟩ (1.10)

と同等である。(1.10)は 1粒子状態 |φ⟩

|φ⟩ =∑α

cα|α⟩

における f の期待値⟨φ| f |φ⟩ =

∑αβ

⟨α| f |β⟩c∗αcβ

で, 係数 c∗, c をそれぞれ生成演算子, 消滅演算子で置き換えたものである。さて, (1.9)と (1.10)の同等性を 2粒子系の場合で示そう。2粒子系の 2つの状態

|αβ⟩ = 1√2

(|α(1)β(2)⟩ − |β(1)α(2)⟩

), |α′β′⟩ = 1√

2

(|α′(1)β′(2)⟩ − |β′(1)α′(2)⟩

)に対して

⟨α′β′|F |αβ⟩ = 1

2

(⟨α′(1)β′(2)| − ⟨β′(1)α′(2)|

)(f1 + f2

)(|α(1)β(2)⟩ − |β(1)α(2)⟩

)

1 第二量子化 4

を考える。f1 は粒子 1の状態だけ, f2 は粒子 2の状態だけに作用するから, 例えば

⟨α′(1)β′(2)|f1|α(1)β(2)⟩ = ⟨α′|f |α⟩⟨β′|β⟩

他の項も同様にすると

⟨α′β′|F |αβ⟩ = ⟨α′| f |α⟩⟨β′|β⟩+ ⟨β′| f |β⟩⟨α′|α⟩ − ⟨β′| f |α⟩⟨α′|β⟩ − ⟨α′| f |β⟩⟨β′|α⟩

= fα′αδββ′ + fβ′βδαα′ − fβ′αδβα′ − fα′βδαβ′ (1.11)

となる。次に, 生成・消滅演算子を用いて求める。2粒子系の状態は

|αβ⟩a = a†α a†β | 0 ⟩ , |α′β′⟩a = a†α′ a

†β′ | 0 ⟩

であるから

a⟨α′β′|Fa |αβ⟩a =∑µν

fµν⟨ 0 |aβ′aα′a†µaνa†αa

†β | 0 ⟩

反交換関係を使うと

aνa†αa

†β =

(δνα − a†αaν

)a†β = δναa

†β − δνβa

†α + a†αa

†βaν

これからaνa

†αa

†β | 0 ⟩ =

(δναa

†β − δνβa

†α

)| 0 ⟩

である。このエルミート共役から

⟨ 0 |aβ′aα′a†µ = ⟨ 0 |(δµα′aβ′ − δµβ′aα′

)したがって

a⟨α′β′|Fa |αβ⟩a

= fα′α⟨ 0 | aβ′a†β | 0 ⟩+ fβ′β⟨ 0 | aα′a†α| 0 ⟩ − fβ′α⟨ 0 | aα′a†β | 0 ⟩ − fα′β⟨ 0 | aβ′a†α| 0 ⟩

= fα′αδββ′ + fβ′βδαα′ − fβ′αδβα′ − fα′βδαβ′ (1.12)

(1.11), (1.12) から ⟨α′β′|F |αβ⟩ = a⟨α′β′|Fa |αβ⟩a となる。以上の結果は N 粒子系の場合にも成り立つ。フェルミ粒子の N 粒子系を扱うとき, 次の 2つの形式がある。

1. スレーター行列式で状態を表し, 1体演算子として F =

N∑i=1

fi を使う。

2. 状態と演算子を生成・消滅演算子で表し

|α1 · · ·αN ⟩a = a†α1· · · a†αN

| 0 ⟩ , Fa =∑αβ

fαβ a†αaβ

この場合, 粒子 1, 2 などの区別はそもそもない。

2粒子 i と j に依存する演算子 v(i, j) の場合 ( ただし, v(i, j) = v(j, i) )

V =∑i<j

v(i, j) =1

2

∑i =j

v(i, j)

1 第二量子化 5

に対応する生成・消滅演算子による表現は

V =1

2

∑αβα′β′

⟨αβ|v|α′β′⟩ a†αa†βaβ′aα′ , ⟨αβ|v|α′β′⟩ ≡ ⟨α(1)β(2)| v(1, 2) |α′(1)β′(2)⟩ (1.13)

である。消滅演算子の順序に注意すること。ここで

⟨αβ| v |α′β′⟩ ≡ ⟨αβ| v |α′β′⟩ − ⟨αβ| v |β′α′⟩ (1.14)

とする。⟨αβ| v |β′α′⟩ = −⟨αβ| v |α′β′⟩ であるから ⟨αβ| v |α′β′⟩ は α′, β′ について反対称である。さらに, v(1, 2) は 1 と 2 を入れ替えても変わらないから

⟨βα| v |α′β′⟩ = ⟨αβ| v |β′α′⟩ = − ⟨αβ| v |α′β′⟩

となり, α, β についても反対称である。この反対称化された行列要素を用いると

V =1

4

∑αβα′β′

⟨αβ| v |α′β′⟩ a†αa†βaβ′aα′

になる。

1粒子の任意の波動関数 φ(r) は |α⟩ の波動関数 uα(r) を用いて

φ(r) =∑α

cαuα(r) (1.15)

と展開できる。展開係数 cα は |α⟩ の直交性から

cα =

∫d3r φ(r)u∗α(r) (1.16)

である。なお, (1.16)を (1.15)に代入すると

φ(r) =∑α

uα(r)

∫d3r′ φ(r′)u∗α(r

′) =

∫d3r′ φ(r′)

∑α

uα(r)u∗α(r

′)

であるから ∑α

uα(r)u∗α(r

′) = δ(r − r′) (1.17)

になる。(1.15)で展開係数 cα を消滅演算子 aα で置き換えた演算子 ψ(r)

ψ(r) =∑α

uα(r) aα (1.18)

を考える。ψ(r)は波動関数ではなく演算子であることを明確にするため ˆを付けた。ψ と ψ† の反交換関係は

ψ(r) , ψ†(r′) =∑αα′

uα(r)u∗α′(r′) aα , a†α′ =

∑α

uα(r)u∗α(r

′) = δ(r − r′)

ψ(r) , ψ(r′) = ψ†(r) , ψ†(r′) = 0

を満たす。(1.16)に対応してaα =

∫d3r ψ(r)u∗α(r)

1 第二量子化 6

である。多体系のハミルトニアンを ψ, ψ† で表す。運動エネルギーの部分は

T =1

2m

∑αβ

⟨α|p2|β⟩ a†α aβ =1

2m

∑αβ

⟨α|p2|β⟩∫d3r′ψ†(r′)uα(r

′)

∫d3r′′ψ(r′′)u∗β(r

′′)

である。ところで∑αβ

⟨α|p2|β⟩uα(r′)u∗β(r′′) = − ℏ2∑αβ

∫d3xu∗α(x)∇2

xuβ(x)uα(r′)u∗β(r

′′)

= − ℏ2∫d3x

∑α

u∗α(x)uα(r′)∇2

x

∑β

uβ(x)u∗β(r

′′)

= − ℏ2∫d3x δ(x− r′)∇2

xδ(x− r′′)

= − ℏ2∇2r′δ(r

′ − r′′)

これから

T = − ℏ2

2m

∫d3r′ ψ†(r′)∇2

r′

∫d3r′′ψ(r′′)δ(r′ − r′′) = − ℏ2

2m

∫d3r ψ†(r)∇2ψ(r)

になる。これは 1粒子状態 φ(r) での期待値

− ℏ2

2m

∫d3r φ∗(r)∇2φ(r)

において, 波動関数を演算子 φ → ψ , φ∗ → ψ† で置き換えたものである。2体の相互作用部分も同様にして

H = − ℏ2

2m

∫d3r ψ†(r)∇2ψ(r) +

1

2

∫d3r d3r′ ψ†(r)ψ†(r′)v(r, r′)ψ(r′)ψ(r)

になる。演算子 ψ(r) は普通の波動関数の展開係数 cα を消滅演算子 aα に置き換えたものであり, 量子力

学の波動関数をいわば再度 “量子化”したということになる。このため, 生成・消滅演算子を用いた多体系の扱いを第二量子化 ( second quantization )という。これを場の理論 ( quantum field theory )

と言ってもよい。1粒子状態 a†α| 0 ⟩ に対応する波動関数は uα(x) である。したがって

ψ†(r)| 0 ⟩ =∑α

u∗α(r) a†α | 0 ⟩

に対応する波動関数 φ(x) は

φ(x) =∑α

u∗α(r)uα(x) = δ(x− r)

である。ψ†(r) は点 r に粒子を生成する場である。


2 ハートリー・フォック近似N 個のフェルミオン多体系のハミルトニアンが

H =

N∑i=1

t(i) +1

2

∑i =j

v(i, j) (2.1)

で与えられるとする。ここで, t は運動エネルギーを, v は粒子間の相互作用を表す。適当な 1粒子状態の完全規格直交系を設定し, N粒子系のスレーター行列式 |α1α2 · · ·αN ⟩を考える。α1, α2, · · · ,αN として可能なすべての組み合わせを作れば,スレーター行列式の組はN粒子系の完全系になる。この状態空間内で H の固有状態を展開して固有状態を求めればよいわけだが,それは実際上不可能である。そこで,系の基底状態を単一のスレーター行列式で近似する。このとき,最も最適な 1粒子状態 |α ⟩ を変分法で求める。

2.1 エネルギー期待値基底状態を

| ⟩ ≡ a†1a†2 · · · a

†N | 0 ⟩

とする。ただし, 簡単のため粒子が占めている 1粒子状態を番号 1, 2, · · · , N で表す。また

vαβ α′β′ = ⟨αβ| v |α′β′⟩ = ⟨α(1)β(2)| v(1, 2) |α′(1)β′(2)⟩ − ⟨α(1)β(2)| v(1, 2) |β′(1)α′(2)⟩

tαβ = ⟨α| t |β⟩

と略記する。生成・消滅演算子を用いるとハミルトニアンは

H = T + V , T =∑αα′

tαα′ a†αaα′ , V =1

4

∑αβα′β′

vαβ α′β′ a†αa†βaβ′aα′ (2.2)

である。EHF = ⟨ |H| ⟩ を求める。まず, 運動エネルギー

⟨ |T | ⟩ =∑αα′

tαα′⟨ | a†αaα′ | ⟩

について考える。1粒子状態 |α′⟩が | ⟩において占められていない,つまり, α′ = i ( i = 1, 2, · · · , N )

ならば aα′ は a†i とは反交換するだけであるから

aα′ | ⟩ = aα′a†1a†2 · · · a

†N | 0 ⟩ = (−1)Na†1a

†2 · · · a

†N aα′ | 0 ⟩ = 0

である。次に α′ = i の場合, a†αai | ⟩ は状態 i に粒子がない状態 ai | ⟩ に新たに状態 |α⟩ の粒子を生成する。α = i ならば元の状態 | ⟩ に戻るだけだが, α = i ならば, a†αai | ⟩ と | ⟩ は粒子が占める状態が異なるから ⟨ | a†αai| ⟩ = 0 である。a†i | ⟩ = 0 であるから

⟨ | a†iai| ⟩ = ⟨ | 1− aia†i | ⟩ = 1

以上をまとめると

⟨ | a†αaα′ | ⟩ = δαα′θα , θα =

1 , α = 1, 2, · · · , N のとき0 , その他 (2.3)


と表せる。これから

⟨ |T | ⟩ =N∑i=1

t i i = | ⟩で占有している 1粒子状態 | i ⟩での期待値の和

になる。次に ⟨ |V | ⟩ を求める。T の議論と同様に i, j = 1, 2, · · · , N とするとき α′ = i, β′ = j ならば

aβ′aα′ | ⟩ = 0 であるから

⟨ |V | ⟩ = 1

4

N∑i, j=1

∑αβ

vαβ ij⟨ | a†αa†βajai| ⟩

a†αa†βajai| ⟩ が (符号を除いて)元の状態 | ⟩ に戻るためには, α = i, β = j あるいは α = j, β = i 以

外にはない。したがって

⟨ |V | ⟩ = 1

4

N∑i, j=1

(vij ij⟨ | a†ia

†jajai| ⟩+ vji ij⟨ | a†ja

†iajai| ⟩

)=

1

2

N∑i, j=1

vij ij⟨ | a†ia†jajai| ⟩

ところで

⟨ | a†ia†jajai| ⟩ = ⟨ | a

†i

(1− aja†j

)ai| ⟩ = ⟨ | a†iai| ⟩ − ⟨ | a

†iaj

(δij − aia†j

)| ⟩

⟨ | a†iaj | ⟩ = δij 及び a†j | ⟩ = 0 より

⟨ | a†ia†jajai| ⟩ = 1− δij

になるから⟨ |V | ⟩ = 1

2

N∑i, j=1

vij ij −1

2

∑i

vii ii =1

2

N∑i, j=1

vij ij

したがって H の期待値は

EHF = ⟨ |H | ⟩ =N∑i=1

t i i +1

2

N∑i, j=1

vij ij (2.4)

で与えられる。

2.2 ハートリー・フォック方程式正確な基底状態 |Ψ0 ⟩ のエネルギー固有値を E0 とすると EHF ≥ E0 である。|Ψ0 ⟩ を単一の

スレーター行列式で近似する場合, EHF を最小にするスレーター行列式が最も最適な状態である。EHF を求めるとき, 規格直交性 ⟨ i | j ⟩ = δij を仮定している。したがって, ϵij をラグランジュの未定定数として

E′HF = EHF −

N∑i,j=1

ϵij⟨ i | j ⟩

を最小にする。これはE′

HF = EHF −N∑i=1

ϵi⟨ i | i ⟩

を最小にすればよいことが示せる。ある 1 つの占有している状態 | k ⟩ を微小変化 | k ⟩ + | δϕ ⟩ させたときの E′

HF の変化を δE′HF とすると, 求める条件は δE′

HF = 0 である。ブラの変分とケット


の変分は独立と見なせるから, ブラの変分だけを扱う。ブラ ⟨ k | のみを変分すると, (2.4)においてi = k, j = k 以外は変化しないから

δEHF = ⟨ δϕ | t | k ⟩+ 1

2

N∑j=1

⟨ δϕ j | v | k j ⟩+ 1

2

N∑i=1

⟨ i δϕ | v | i k ⟩ = ⟨δϕ| t |k⟩+N∑i=1

⟨δϕ i | v |k i ⟩

したがって, δE′HF = δEHF + ϵk⟨ δϕ | k ⟩ = 0 は

⟨ δϕ | t | k ⟩+N∑i=1

⟨ δϕ i | v | k i ⟩ = ϵk⟨ δϕ | k ⟩

となる。ここで

⟨α |uHF |β ⟩ =N∑i=1

⟨α i | v |β i ⟩ , つまり uHF(1) ≡N∑i=1

⟨ i(2) | v(1, 2) | i(2) ⟩ (2.5)

とおく。 2番目の式では, 粒子 2について v(1, 2) の期待値をとったもので, 粒子 1については演算子である。上の変分方程式は hHF = t+ uHF を用いると

⟨ δϕ |hHF | k ⟩ = ϵk⟨ δϕ | k ⟩ , したがって hHF| k ⟩ = ϵk| k ⟩ (2.6)

である。求めるべき 1粒子状態は hHF の固有状態であり, 未定乗数 ϵk は hHF の固有値になる。固有値方程式 (2.6)をハートリー・フォック方程式 ( Hartree–Fock equation )という。本来のハミルトニアン (2.1)の固有状態を hHF の 1粒子固有状態のスレーター行列式で近似する。これをハートリー・フォック近似 ( Hartree–Fock approximation )という。この近似における基底状態は, hHF の固有値のうち低い方の N 個の状態から作ったスレーター行列式である。HF近似では, 粒子は一体ポテンシャル uHF 中をあたかも独立に運動している。このポテンシャ

ル (2.5)は 1粒子状態の基底系 |k⟩ が分かっていなければ決まらない。一方, |k⟩ を求めるにはuHF が求まっている必要がある。したがって, 実際に hHF の 1粒子状態を決定するには, 次のような反復法を行うことになる。まず, uHF として適当なポテンシャルを仮定して hHF の固有状態を求める。この固有状態うちエネルギーの低いN 個の状態を用いて uHF を計算し, 再度 hHF の固有状態を求める。固有状態を求めるとき使った uHF と固有状態から求めた uHF が一致するまでこの操作を繰り返す。これを自己無撞着 ( self–consistent )に uHF を決定するという。

粒子状態

空孔状態

フェルミ面

HF近似の基底状態で占められている 1粒子状態のエネルギーの中で最大のものをフェルミエネルギー ( Fermi energy ), HF基底状態をフェルミの海 ( Fermi sea )とも呼ぶ。フェルミエネルギーを ϵF とすると, ϵk < ϵF のとき ak はフェルミの海の中の粒子を消滅させるので, 海の中に空孔 ( hole )を生成することになる。ϵF をエネルギーの基準にすると, この空孔は正エネルギー

− (ϵk − ϵF) > 0

の粒子と見なすことができる。| ⟩ で占有されていない 1粒子状態を粒子状態 ( particle state ), 占有されている 1粒子状態を空孔状態 ( hole state )という。生成演算子 b†k を

b†k =

a†k , ϵk > ϵF のとき ( θk = 0 )

ak , ϵk ≤ ϵF のとき ( θk = 1 )(2.7)


で定義すれば, b†k は粒子または空孔を生成し, 全ての k に対して bk| ⟩ = 0 になる。HF基底状態は粒子も空孔もない状態, 粒子–空孔真空 ( particle–hole vacuum ) である。

以下では, 粒子状態を p, p′, 空孔状態を h, h′ などで表し, 区別しないときはギリシャ文字 α, β

などを使う。

ハートリー・フォック方程式を微分方程式に書き直す。|α⟩の波動関数を ψα(r)とする。ただし,

スピン 1/2であるから ψα(r) は 2成分スピノールである。つまり, 2つの関数を用いて

ψα(r) =

(fα(r)

gα(r)

), ψ†

α(r) =(f∗α(r) g∗α(r)

)と表せる。

hHF|h⟩ = t|h⟩+∑h′

⟨h′(2)| v(1, 2) |h(1)h′(2)⟩ −∑h′

⟨h′(2)| v(1, 2) |h′(1)h(2)⟩

を波動関数で表すと

hHF ψh(r) = t ψh(r) +∑h′

∫d3r′ψ†

h′(r′) v(r, r′)

(ψh(r)ψh′(r′)− ψh′(r)ψh(r

′))

ここで

uH(r) =∑h′

∫d3r′ ψ†

h′(r′) v(r, r′)ψh′(r′) , uF(r, r

′) = −∑h′

ψ†h′(r

′) v(r, r′)ψh′(r)

とするとハートリー・フォック方程式は(− ℏ2

2m∇2 + uH(r)

)ψh(r) +

∫d3r′ uF(r, r

′)ψh(r′) = ϵh ψh(r)

になる。uH(r) は空間の 1点 r だけに依存する局所的 ( local )なポテンシャルであり, 求めようとする状態に共通である。これをハートリーポテンシャルという。一方, 左辺の第 3項をフォック項( Fock term )あるいは交換項 ( exchange term )という。uF は 2点 r, r′ に依存する非局所的なポテンシャルである。• N 体系の状態を反対称化しない単なる 1 粒子状態の積で表した場合には, ハートリーポテンシャルだけになる。フォック項は反対称化の効果である。

• 簡単のため v がスピンに依存しないとすると, ψ† と v は入れ替えてよいから

uH(r) =

∫d3r′ v(r, r′) ρ(r′) , ρ(r) =

∑h

ψ†h(r)ψh(r)

と書ける。ただし ρ(r) は r に粒子を見出す確率であり古典的な密度分布に対応する。したがって, uHはある粒子と他の粒子との相互作用 vを他の粒子について平均化したものである。

• (2.5)よりϵα = ⟨α |hHF |α ⟩ = tαα +

∑h

vαhαh

であるから

EHF = ⟨ |H | ⟩ =∑h

thh +1

2

∑hh′

vhh′ hh′ =∑h

ϵh −1

2

∑hh′

vhh′ hh′ (2.8)

となる。EHF は基底状態で占めている 1粒子状態のエネルギー ϵh の単なる和ではない。


2.3 フェルミガス模型自由なフェルミ粒子の多体系を考える。1粒子状態 ψα(r) は平面波

ψα(r) = C exp(ik·r)χσ , α = k , σ (2.9)

である。ここで χσ ( σ = ± 1/2 )は 2成分スピノール

χ1/2 =

(1

0

), χ−1/2 =

(0

1

), χ†

σχσ′ = δσσ′

である。(2.9)の波動関数は無限に広がっており, 通常の規格化∫d3r ψ†

α(r)ψα(r) = |C|2∫d3r = |C|2 ×∞ = 1

はできない。そこで, 人為的に 1辺 L の有限の立方体を繰り返しつないだものを考え, それぞれの壁のところで周期的境界条件を果たす。よく使われる周期的境界条件は

ψ(x, y, z) = ψ(x+ L, y, z) = ψ(x, y + L, z) = ψ(x, y, z + L)

である。これからexp(ikxL) = exp(ikyL) = exp(ikzL) = 1

したがって, nx, ny, nz を任意整数として

kx =2π

Lnx , ky =

2π

Lny , kz =

2π

Lnz (2.10)

となり k は飛び飛びの値になるが, L → ∞ では連続的になる。規格化を 1つの箱で行うことにすると C = 1/

√V である。ここで V = L3 は箱の体積を表す。

パウリの原理から, 2つのフェルミ粒子が同じ 1粒子状態を占めることはできない。したがって,

N 粒子系の基底状態はエネルギー的に低いN 個の 1粒子状態が占有された状態である。このとき,

占有された状態のうち, 最大の k を kF で表す。kF をフェルミ波数という。占有された 1粒子状態の数は粒子数に等しいから

N =∑nx

∑ny

∑nz

∑σ=±1/2

1 = 2∑nx

∑ny

∑nz

1 (2.11)

である。ただし, 和は

k =(k2x + k2y + k2z

)1/2=

2π

L

(n2x + n2y + n2z

)1/2 ≤ kFの条件を満たす (nx, ny, nz) について行う。この和を k の積分で置き換える。kx は ∆kx = 2π/L

おきに等間隔に並んでいる。したがって∑nx

F (kx) =L

2π

∑kx

∆kx F (kx)L→∞−−−−→ L

2π

∫dkx F (kx)

である。ny, nz についても同様であるから, 離散的な k についての和は積分∑k

F (k) =V

(2π)3

∫d3k F (k) (2.12)


で置き換えてよい。これを (2.11)に適用すると

N =2V

(2π)3

∫k≤kF

d3k =V

3π2k3F

密度 ρ = N/V はρ =

k3F3π2

で与えられる。基底状態のエネルギー E は

E = 2∑k

ℏ2k2

2m= 2

V

(2π)3ℏ2

2m

∫k≤kF

d3k k2 =V

5π2

ℏ2k5F2m

=3

5

ℏ2k2F2m

N

である。1粒子あたりのエネルギー E/N はフェルミエネルギーの 3/5 になる。また, 圧力 P は

P = − ∂E

∂V= − 3

5

ℏ2

2mN

∂

∂V

(3π2N

V

)2/3

=2

5

ℏ2k2F2m

ρ

になる。

問 2.1 ρ(r) は ρ(r) =∑h

ψ†h(r)ψh(r) で定義される。この定義を用いて, ψ が (2.9) のとき ρ =

k3F/(3π2) になることを示せ。

2.4 交換項の自由粒子近似Hartree–Fock 方程式において, Fock 項 (交換ポテンシャル) の扱いは非常に複雑である。この複

雑さを避けるため, 例えば, 原子核構造を扱う場合には, 核子間に働く核力の短距離性を利用して核力をデルタ関数及びその微分で表したりする。ここでは,原子での電子軌道に関して,電子 –電子間のクーロン力

v(r, r′) =e2

|r − r′|

の場合に, 波動関数を平面波で近似し局所的な交換ポテンシャルを求める。なお, 電磁気の単位系としてMKS単位系ではなく, CGS静電単位系を用いる。無次元の微細構造定数 α を用いれば, 単位系に依らず

v(r, r′) =α ℏc|r − r′|

, α =1

137.036

である。平面波 (2.9)を使うと ( ただし C = 1/

√V ), 交換項は

UF = −∑h′

∫d3r′ψ†

h′(r′) v(r, r′)ψh(r

′)ψh′(r)

= − e2

V 3/2

∑k′σ′

(χ†σ′χσ)χσ′

∫d3r′

1

|r − r′|exp

(i(−k′ ·r′ + k·r′ + k′ ·r

))

= − e2

V 3/2exp(ik·r)χσ

∑k′

∫d3r′

1

|r − r′|exp(i(k − k′)·(r′ − r)

)ここで k′ の和は k′ ≤ kF である k′ について行う。(2.12)を用いて和を積分で置き換えると

UF = − e2

(2π)3exp(ik·r)√

Vχσ

∫ kF

0

d3k′∫d3r′

exp(i(r′ − r)·(k − k′))

|r − r′|= uF(k)ψh(r)


ただし

uF(k) = −e2

(2π)3

∫ kF

0

d3k′∫d3r′

exp(i(r′ − r)·(k − k′))

|r − r′|

である。uF(k)が交換ポテンシャルになる。r′ の積分領域は体積 V の箱であるが, 十分大きいとして全空間にする。また, 積分変数を r′ − r に置き換えれば

uF(k) = −e2

(2π)3

∫ kF

0

d3k′ I(k − k′) , ただし I(q) =

∫d3r

exp(ir ·q)r

ここでexp(ir ·q) = − 1

q2∇2 exp(ir ·q) , ∇2 1

r= − 4π δ(r)

を使い部分積分すると

I(q) = − 1

q2

∫d3r

1

r∇2 exp(ir ·q) = − 1

q2

∫d3r exp(ir ·q)∇2 1

r=

4π

q2(2.13)

になるから

uF(k) = −2e2

(2π)2

∫ kF

0

d3k′1

|k − k′|2

である。k と k′ のなす角を θ とし, t = cos θ とすると

uF(k) = −e2

π

∫ kF

0

dk′k′2∫ 1

−1

dt1

k2 + k′2 − 2kk′t

= − e2

π

1

k

∫ kF

0

dk′ k′(log |k′ + k| − log |k′ − k|

)= − e2

π

1

k

[k′2 − k2

2log

∣∣∣∣k′ + k

k′ − k

∣∣∣∣+ kk′]k′=kF

k′=0

= − e2

πkFF (k/kF) (2.14)

ただしF (x) = 1 +

1− x2

2xlog

∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣である。uF は k ,つまり,求めようとする 1粒子状態に依存する。そこで,全ての状態に共通のポテンシャ

ルとして, これを平均したもの

uF = − e2

πkF

∫ kF

0

d3k F (k/kF)∫ kF

0

d3k

= − e2

πkF

∫ 1

0

dxx2F (x)∫ 1

0

dxx2

を用いよう。∫ 1

0

dxx2F (x) =1

3+

1

2

∫ 1

0

dxx(1− x2

)log

1 + x

1− x=

1

3+

1

2

∫ 1

−1

dxx(1− x2

)log (1 + x)

及び ∫dxx

(1− x2

)log (1 + x) = − 1

4

(x2 − 1

)2log (x+ 1) +

1

4

∫dx (x+ 1) (x− 1)

2


より ∫ 1

0

dxx2F (x) =1

2(2.15)

であるからuF = − 3e2

2πkF (2.16)

になる。原子での電子密度は空間的に一様ではなく r の関数であるが, 空間変化が緩やかで空間の各点で

局所的にフェルミ波数 kFが定義できるとする。これを局所密度近似 ( local density approximation )

という。ρ = k3F/(3π2) であるから

uF(r) = −3

2e2(3

πρ(r)

)1/3

になる。ハートリー・フォック方程式は原子核 ( 電荷 +Ze )とのクーロン力を考慮すると(− ℏ2

2m∇2 − Ze2

r+ uH(r) + uF(r)

)ψh(r) = ϵh ψh(r)

ただしuH(r) = e2

∫d3r′

ρ(r′)

|r − r′|, ρ(r) =

∑h

ψ†h(r)ψh(r)

である。これをハートリー・フォック・スレーター方程式という。(2.16)はエネルギー EHF を変分して得られた交換項を平面波で評価した。EHF の交換項, すな

わち1

2

∑hh′

vhh′ hh′ =1

2

∑hh′

⟨h(1)h′(2)| v(1, 2) |h(1)h′(2)⟩ − 1

2

∑hh′

⟨h(1)h′(2)| v(1, 2) |h′(1)h(2)⟩

の右辺第 2項をまず平面波で求めその後で変分すると, 結果は (2.16)とは 3/2 だけ異なり

uF(r) = − e2(3

πρ(r)

)1/3

(2.17)

になる。パラメータ α を導入して

uF(r) = −α e2(3

πρ(r)

)1/3

, α ≈ 1 ∼ 3/2

とし実験を再現するように α を調節する手法を Xα法という。

問 2.2 (2.17)を求める。簡単のため

⟨α(1)β(2)| v(1, 2) |α′(1)β′(2)⟩ = ⟨αβ| v |α′β′⟩

と書く。v は電子–電子間のクーロン力である。(2.13), (2.14), (2.15)を用いてよい。

1. EHF の交換項に現れる行列要素 ⟨kσ,k′σ′| v |k′σ′,kσ⟩ が

⟨kσ,k′σ′| v |k′σ′,kσ⟩ = δσσ′4πe2

V

1

|k − k′|2

になることを示せ。


2. 前問の結果から

Eex ≡ −1

2

∑|k|≤kF

∑|k′|≤kF

∑σσ′

⟨kσ,k′σ′| v |k′σ′,kσ⟩ = − 3

4

(3

π

)1/3

e2 ρ4/3 V

を示せ。3. ρ4/3 V は

ρ4/3 V =

∫d3r ρ4/3

であるが, 密度 ρ が r の関数 ρ(r) の場合にも, 積分表現はよい近似で成り立つとする。占有状態の 1つ |h ⟩ の変分を考える。変分では波動関数 ψh と ψ†

h は独立に扱ってよい。ψ†

h を δψ† だけ変化させたとき, Eex の変化 δEex は

δEex =

∫d3r δψ†(r)uF(r)ψh(r)

と表せる。uF を求めよ。

2.5 ウィックの定理第二量子化により多体問題を扱う場合, ウィックの定理は非常に便利な道具になる。生成演算子と消滅演算子の任意個の積 ABC · · ·Z を考える。すべての消滅演算子がすべての生

成演算子の右にくるように並べ替えた積を考える。この積が最初の AB · · ·Z から奇置換で得られる場合は −1, 偶置換ならば +1 の符号を付ける。これを正規積 ( normal product )といい

: ABC · · ·Z : または N(ABC · · ·Z)

で表す。生成・消滅演算子はどのような真空を考えるかで変わりうる。本来の真空 | 0 ⟩ のときは, すべて

の α に対して aα が消滅演算子である。したがって, 例えば

: a†pa†hah′ap′ : = a†pa

†hah′ap′

である。一方, HF基底状態 | ⟩ を真空として採用した場合, (2.7)で定義した b†, b が生成・消滅演算子になるから

: a†pa†hah′ap′ : = : b†pbhb

†h′bp′ : = − b†pb

†h′bhbp′ = − a†pah′a†hap′

である。一般に, 真空を | vac ⟩, 消滅演算子を c とするとき, 正規積が消滅演算子を 1 つでも含むならば· · · c | vac ⟩ = 0 である。また, 全く含まない場合は ⟨vac| c† · · · = 0 である。いずれにしろ, 正規積の真空期待値は 0 である。縮約 ( contraction ) AB を

AB = : AB : +AB

で定義する。AB と : AB : の差 AB は数であるから, 真空期待値を ⟨ ⟩ で表すことにすると

⟨AB⟩ = ⟨ : AB : ⟩+AB ⟨ vac | vac ⟩ = AB


縮約は真空期待値である。実際

: cα cβ : + ⟨cα cβ⟩ = cα cβ + 0 = cα cβ , : c†α c†β : + ⟨c†α c

†β⟩ = c†α c

†β + 0 = c†α c

†β

: c†α cβ : + ⟨c†α cβ⟩ = c†α cβ + 0 = c†α cβ , : cα c†β : + ⟨cα c†β⟩ = − c

†β cα + δαβ = cα c

†β

である。

ウィックの定理任意の生成・消滅演算子の積 ABC · · ·Z は, 可能な全ての縮約を含む正規積

ABC · · ·Z = : AB · · ·Z : + : ABC · · ·Z : + : ABC · · ·Z : + · · ·

+ : ABCDE · · ·Z : + : ABCDE · · ·Z : + · · ·

+ : ABCDEF G · · ·Z : + · · ·

に展開できる。ただし, 縮約を正規積から取り出すとき, 縮約する 2 つの演算子の間に奇数個の演算子がある場合には − の符号を付ける。例えば

: ABC · · ·Z : = − AC : B · · ·Z : , : ABCD · · ·Z : = AD : BC · · ·Z :

: ABCDE · · ·Z : = −AC : BDE · · ·Z : = −AC BD : E · · ·Z :

である。証明 2つの積の場合は縮約の定義であるから, 3つの積を考える。

ABC = : ABC : + : ABC : + : ABC : + : ABC :

= : ABC : + ⟨AB⟩C − ⟨AC⟩B + ⟨BC⟩A (2.18)

が成り立つことを示す。2つの積に消滅演算子 cα を加える場合,任意に演算子 Aに対して ⟨Acα⟩ =0 であるから

ABcα =(: AB : + ⟨AB⟩

)cα = : ABcα : + ⟨AB⟩ cα

= : ABcα : + ⟨AB⟩ cα − ⟨Acα⟩B + ⟨Bcα⟩A

したがって, (2.18)は成り立つ。c†α を加える場合

Bc†α = : Bc†α : + ⟨Bc†α⟩ = − c†αB + ⟨Bc†α⟩

であるから

ABc†α = −Ac†αB +A⟨Bc†α⟩ = −(− c†αA+ ⟨Ac†α⟩

)B +A⟨Bc†α⟩ = c†αAB − ⟨Ac†α⟩B +A⟨Bc†α⟩

AB = : AB : + ⟨AB⟩ , c†α : AB : = : ABc†α : であるから

ABc†α = : ABc†α : + ⟨AB⟩ c†α − ⟨Ac†α⟩B +A⟨Bc†α⟩

になり (2.18)が成り立つ。以下同様にして, 一般に n個の積の場合もウィックの定理が成り立つことを示せる。


ウィックの定理を使うとき, 最初から同一の正規積にある演算子の縮約は寄与しないので考えない。例えば

A : BC : = A (BC − ⟨BC⟩)

= : ABC : + : ABC : + : ABC : + : ABC : −A⟨BC⟩

= : ABC : + : ABC : + : ABC :

であり, BC は寄与しない。

真空として HF基底状態 | ⟩ を考える。ウィックの定理を使うと

a†αa†βaβ′aα′ = : a†αa

†βaβ′aα′ : + : a†αa

†β aβ′aα′ : + : a†αa

†βaβ′ aα′ : + : a†αa

†βaβ′aα′ :

+ : a†αa†βaβ′ aα′ : + : a†αa


†βaβ′aα′ :

+ : a†αa†β aβ′aα′ : + : a†αa


†βaβ′aα′ :

⟨ |a†αa†β | ⟩ = ⟨ |aαaβ | ⟩ = 0 であるから

a†αa†βaβ′aα′ = : a†αa

†βaβ′aα′ : −⟨ |a†αaβ′ | ⟩ : a†βaα′ : + ⟨ |a†αaα′ | ⟩ : a†βaβ′ :

+ ⟨ |a†βaβ′ | ⟩ : a†αaα′ : −⟨ |a†βaα′ | ⟩ : a†αaβ′ :

+ ⟨ |a†βaβ′ | ⟩⟨ |a†αaα′ | ⟩ − ⟨ |a†βaα′ | ⟩⟨ |a†αaβ′ | ⟩

になる。Vres =

1

4

∑αβα′β′

vαβ α′β′ : a†αa†βaβ′aα′ : (2.19)

とおき, v の反対称性及び (2.3)を使うと1

4

∑αβα′β′

vαβ α′β′ a†αa†βaβ′aα′ =

∑αβα′β′

vαβ α′β′

(⟨ |a†βaβ′ | ⟩ : a†αaα′ : +

1

2⟨ |a†βaβ′ | ⟩⟨ |a†αaα′ | ⟩

)+ Vres

=∑

αβα′β′

vαβ α′β′

(⟨ |a†βaβ′ | ⟩ a†αaα′ − 1

2⟨ |a†βaβ′ | ⟩⟨ |a†αaα′ | ⟩

)+ Vres

=∑αβh

vαhα′h a†αaα′ − 1

2

∑hh′

vhh′ hh′ + Vres

この結果と (2.5)から, ハミルトニアン (2.2)は

H =∑αα′

(tαα′ +

∑h

vαhα′h

)a†αaα′ − 1

2

∑hh′

vhh′ hh′ + Vres

=∑αα′

⟨α|hHF|α′⟩ a†αaα′ − 1

2

∑hh′

vhh′ hh′ + Vres

になる。1粒子状態がハートリー・フォック方程式 (2.6)を満たすならば

H =∑α

ϵαa†αaα −

1

2

∑hh′

vhh′ hh′ + Vres =∑α

ϵα : a†αaα : +Vres + EHF (2.20)

である。(2.7)の b† を使うと∑α

ϵα : a†αaα : =∑p

ϵp : b†pbp : +∑h

ϵh : bhb†h : =

∑p

ϵpb†pbp −

∑h

ϵhb†hbh


であるから ∑α

ϵα : a†αaα : | ⟩ = 0

一方, Vres には : a†pa†p′ahah′ : = b†pb

†p′b

†hb

†h′ という項があるから Vres| ⟩ = 0 である。したがって, Vres

を無視すればH | ⟩ = EHF | ⟩

であり, HF基底状態は H の固有状態になり固有値は (2.8)の EHF である。ハートリー・フォック近似は Vres を無視する近似である。Vres を残留相互作用 ( residual interaction )という。

2.6 残留相互作用の分類残留相互作用 (2.19) における正規積は, HF基底状態を真空とした場合であるから (2.7)で定義し

た b†α が生成演算子になる。これを用いて Vres を表す。vαβ α′β′ の添字を粒子と空孔に分け, 空孔を k個 ( k = 0 ∼ 4 )含む部分にまとめると

Vres = V0 + V1 + V2 + V3 + V4

ただし

Vpp = V0 =1

4

∑vp1p2 p′

1p′2: a†p1

a†p2ap′

2ap′

1: =

1

4

∑vp1p2 p′

1p′2b†p1b†p2bp′

2bp′

1

Vhh = V4 =1

4

∑vh1h2 h′

1h′2: a†h1

a†h2ah′

2ah′

1: =

1

4

∑vh1h2 h′

1h′2b†h′

2b†h′

1bh1

bh2

及び

V1 =1

4

∑(vh1p1 p′

1p′2: a†h1

a†p1ap′

2ap′

1: + vp1h1 p′

1p′2: a†p1

a†h1ap′

2ap′

1:

+ vp1p2 h′1p

′1: a†p1

a†p2ap′

1ah′

1: + vp1p2 p′

1h′1: a†p1

a†p2ah′

1ap′

1:)

=1

2

∑(vp1h1 p′

1p′2: a†p1

a†h1ap′

2ap′

1: + vp′

1p′2 p1h1

: a†p′1a†p′

2ah1

ap1:)

V2 =1

4

∑(vh1h2 p′

1p′2: a†h1

a†h2ap′

2ap′

1: + vh1p1 h′

1p′1: a†h1

a†p1ap′

1ah′

1:

+ vh1p1 p′1h

′1: a†h1

a†p1ah′

1ap′

1: + vp1h1 h′

1p′1: a†p1

a†h1ap′

1ah′

1:

+ vp1h1 p′1h

′1: a†p1

a†h1ah′

1ap′

1: + vp1p2 h′

1h′2: a†p1

a†p2ah′

2ah′

1:)

=∑

vp1h1 h′1p

′1: a†p1

a†h1ap′

1ah′

1:

+1

4

∑(vh1h2 p1p2

: a†h1a†h2

ap2ap1

: + vp1p2 h1h2: a†p1

a†p2ah2

ah1:)

V3 =1

4

∑(vp1h1 h′

1h′2: a†p1

a†h1ah′

2ah′

1: + vh1p1 h′

1h′2: a†h1

a†p1ah′

2ah′

1:

+ vh1h2 p′1h

′1: a†h1

a†h2ah′

1ap′

1: + vh1h2 h′

1p′1: a†h1

a†h2ap′

1ah′

1:)

=1

2

∑(vp1h1 h′

1h′2: a†p1

a†h1ah′

2ah′

1: + vh′

1h′2 p1h1

: a†h′1a†h′

2ah1ap1 :

)


である。V2 を 2つに分割して ( Vph では h1 と h′1 を入れ替え添字 1 を除く )

Vph =∑

vph′ hp′ : a†pa†h′ap′ah : =

∑vph′ hp′ : b†pbh′bp′b†h : =

∑vph′ hp′ b†pb

†hbh′bp′

VV =1

4

∑(vh1h2 p1p2

: a†h1a†h2

ap2ap1

: + vp1p2 h1h2: a†p1

a†p2ah2

ah1:)

=1

4

∑(vh1h2 p1p2

bh1bh2

bp2bp1

+ vp1p2 h1h2b†p1b†p2b†h2

b†h1

)とする。また, V1 と V3 を合わせて

VY = V1 + V3 =1

2

∑(vp1h1 p′

1p′2: a†p1

a†h1ap′

2ap′

1: + vp′

1p′2 p1h1

: a†p′1a†p′

2ah1ap1 :

+ vp1h1 h′1h

′2: a†p1

a†h1ah′

2ah′

1: + vh′

1h′2 p1h1

: a†h′1a†h′

2ah1ap1 :

)=

1

2

∑(vp1h1 p′

1p′2b†p1bh1

bp′2bp′

1+ vp′

1p′2 p1h1

b†p′1b†p′

2b†h1

bp1

+ vp1h1 h′1h

′2b†p1b†h′

2b†h′

1bh1

+ vh′1h

′2 p1h1

b†h1bh′

1bh′

2bp1

)=

1

2

∑(vp1h1 p′

1p′2b†p1bh1

bp′2bp′

1+ vp1h1 h′

1h′2b†p1b†h′

2b†h′

1bh1

+ (h.c.))

とする。(h.c.) はエルミート共役である。以上をまとめると

Vres = Vpp + Vhh + Vph + VV + VY (2.21)

ただし

Vpp =1

4

∑vp1p2 p′

1p′2b†p1b†p2bp′

2bp′

1(2.22)

Vhh =1

4

∑vh1h2 h′

1h′2b†h′

2b†h′

1bh1

bh2(2.23)

Vph =∑

vph′ hp′ b†pb†hbh′bp′ (2.24)

VV =1

4

∑(vh1h2 p1p2

bh1bh2

bp2bp1

+ vp1p2 h1h2b†p1b†p2b†h2

b†h1

)(2.25)

VY =1

2

∑(vp1h1 p′

1p′2b†p1bh1

bp′2bp′

1+ vp1h1 h′

1h′2b†p1b†h′

2b†h′

1bh1

+ (h.c.))

(2.26)

である。Vres の各部分の機能をダイヤグラムで表す。粒子状態を上向きの矢印, 空孔状態を下向きの矢印で表し, v を • で表す。

p′1

p2

p′2

p1

Vpp

h′2

h1

h′1

h2

Vhh

p′

ph

h′

Vph

p1h1 p2 h2

h1 p1 h2p2

VV

p′2

p1

p′1 h1

VYの第 1項

h′2

h1

h′1 p1

VYの第 2項

Vpp は粒子 p′1 , p′2 を消滅させて, 粒子 p1 , p2 を生成する粒子–粒子の散乱である。これをダイヤグ


ラムで書けば図の最左図になる ( 図は下から上に読む )。他の項も同様にして

Vpp : 粒子–粒子散乱 Vhh : 空孔–空孔散乱 Vph : 粒子–空孔散乱VV : 2個の粒子–空孔対の生成・消滅VY : 粒子あるいは空孔散乱に伴う粒子–空孔対の生成・消滅

である。vαβ α′β′ のブラ側にある状態 α, β は • から出て行く方向に, ケット側にある状態 α′, β′ は入って来る方向に矢印を引くことになる。ただし, 粒子状態は上向き, 空孔状態は下向きの矢印である。v は反対象化した行列要素

vαβ α′β′ = ⟨α(1)β(2)| v(1, 2) |α′(1)β′(2)⟩ − ⟨α(1)β(2)| v(1, 2) |β′(1)α′(2)⟩

である。v(1, 2) を 1 2 で表すと, 例えば

Vph =∑

vph′ hp′ b†pb†hbh′bp′

=∑(

⟨p(1)h′(2)| v(1, 2) |h(1)p′(2)⟩ − ⟨p(1)h′(2)| v(1, 2) |p′(1)h(2)⟩)b†pb

†hbh′bp′

において, 第 1項では p , h は粒子 1 , p′ , h′ は粒子 2の状態であり, 第 2項では p , p′ は粒子 1 , h ,

h′ は粒子 2の状態であるから

p′

ph

h′

=

hp

p′ h′

1 2 −

p′

p h

h′

1 2

と表せる。粒子–空孔散乱には, 粒子–空孔対の生成・消滅が起こる第 1項と, 粒子と空孔が散乱する第 2項がある。他の項も v(1, 2) を用いたダイヤグラムで表せる。

基底状態相関 HF基底状態 | ⟩ に対する Vres の効果を摂動論で扱う。全ハミルトニアン H は

H = H0 + Vres , H0 =∑α

ϵαa†αaα −

1

2

∑vhh′ hh′

である。| ⟩ はH0| ⟩ = EHF| ⟩

を満たす。

H0a†α − a†αH0 =

∑β

ϵβ

(a†βaβa

†α − a†αa

†βaβ

)=∑β

ϵβ

(a†βδαβ − a

†βa

†αaβ − a†αa

†βaβ

)= ϵαa

†α

これのエルミート共役をとればH0aα − aαH0 = − ϵαaα

である。したがって

H0a†αaβ =

(ϵαa

†α + a†αH0

)aβ = ϵαa

†αaβ + a†α (−ϵβaβ + aβH0) = (ϵα − ϵβ) a†αaβ + a†αaβH0


これからH0 a

†pah| ⟩ = (ϵp − ϵh + EHF) a

†pah| ⟩

1粒子・1空孔状態 a†pah| ⟩ は H0 の固有状態で固有値は ϵp − ϵh +EHF , つまり, 励起エネルギーはϵp − ϵh である。一般に, n粒子・m空孔状態は H0 の固有状態

H0 a†p1· · · a†pn

ah1 · · · ahm | ⟩ =

(n∑

i=1

ϵpi −m∑i=1

ϵhi + EHF

)a†p1· · · a†pn

ah1 · · · ahm | ⟩

である。摂動展開すると | ⟩ は

|˜⟩ =(1 +

1

EHF −H0Vres + · · ·

)| ⟩

になる。bα| ⟩ = 0 より, Vres で bα を 1つでも含む部分は寄与しない。したがって, VV の第 2項目1

4

∑vp1p2 h1h2

b†p1b†p2b†h2

b†h1=

1

4

∑vp1p2 h1h2

a†p1a†p2

ah2ah1

だけが寄与する。これから

|˜⟩ =(1 +

1

4

∑vp1p2 h1h2

1

EHF −H0a†p1

a†p2ah2

ah1+ · · ·

)| ⟩

になる。(EHF −H0) a

†p1a†p2

ah2ah1| ⟩ = − (ϵp1

+ ϵp2− ϵh1

− ϵh2) a†p1

a†p2ah2

ah1| ⟩

より1

EHF −H0a†p1

a†p2ah2

ah1| ⟩ = − 1

ϵp1+ ϵp2

− ϵh1− ϵh2

a†p1a†p2

ah2ah1| ⟩

であるから

|˜⟩ = | ⟩ − 1

4

∑ vp1p2 h1h2

ϵp1+ ϵp2

− ϵh1− ϵh2

a†p1a†p2

ah2ah1| ⟩+ · · ·

基底状態には 2粒子・2空孔状態が混ざりる。a†hap| ⟩ = 0 であるが a†hap|˜⟩ = 0 である。フェルミ面はぼやける。1粒子・1空孔状態 a†pah| ⟩ は混ざらない。これは |α⟩ が HF方程式(

t+ uHF

)|α⟩ = ϵα|α⟩

を満たすからである。適当なポテンシャル u0 の固有状態 |µ ⟩(t+ u0

)|µ ⟩ = ϵµ|µ ⟩

を考える。|µ ⟩ に対応する生成演算子を c†µ とし

| ⟩ = c†1c†2 · · · c

†N |0⟩

とする。|µ ⟩ が HF方程式を満たさない場合でも

H =∑µµ′

⟨µ |hHF|µ′ ⟩ c†µcµ′ − 1

2

∑hh′

vhh′ hh′ + Vres , Vres =1

4

∑µνµ′ν′

vµν µ′ν′ : c†µc†νcν′cµ′ :

である。∆u = uHF − u0 とすると hHF = t+ u0 +∆u であるから

H =∑α

ϵµ c†µcµ −

1

2

∑hh′

vhh′ hh′ +H ′ , H ′ =∑µµ′

⟨µ |∆u|µ′ ⟩ c†µcµ′ + Vres


H ′ が摂動項になる。

H ′| ⟩ =∑ph

⟨p|∆u|h⟩ c†pch| ⟩+ Vres| ⟩ , | ⟩ = c†1c†2 · · · c

†N |0⟩

であるから ∆u = 0 ならば |˜⟩ には 1粒子・1空孔状態が混ざる。

2.7 密度行列多体系の状態 |Ψ⟩ に対して

ρµν = ⟨µ|ρ|ν⟩ ≡ ⟨Ψ| c†νcµ |Ψ⟩

を密度行列 ( density matrix )という。ここで |µ⟩, |ν⟩ は適当な 1粒子状態の完全系, c† は対応する生成演算子である。一体演算子

F =∑µν

fµν c†µcν

の期待値は⟨Ψ|F |Ψ⟩ =

∑µν

fµν⟨Ψ|c†µcν |Ψ⟩ =∑µν

fµνρνµ = Tr(fρ)

と表せる。Tr は行列の対角要素の和,トレースである。|Ψ⟩ として HF基底状態 | ⟩ を考え

⟨µ| ρ |ν⟩ = ⟨ | c†νcµ | ⟩ , | ⟩ = a†1a†2 · · · a

†N | 0 ⟩

とする。前に述べたように, HF基底系の 1粒子状態を α, β で表し, 特に粒子状態は p, p′ で, 空孔状態は h, h′ で区別する。HF基底系でない一般の基底系の状態は µ, ν で示す。

|µ⟩ =∑α

|α⟩⟨α|µ⟩

よりc†µ =

∑α

⟨α|µ⟩ a†α

である。(2.3)を使うと

⟨µ| ρ |ν⟩ =∑αβ

⟨α|ν⟩⟨µ|β⟩⟨ | a†αaβ | ⟩ =∑h

⟨µ|h⟩⟨h|ν⟩

つまりρ =

∑h

|h⟩⟨h|

と書ける。ρ2 =

∑hh′

|h⟩⟨h|h′⟩⟨h′| =∑hh′

|h⟩ δhh′ ⟨h′| = ρ

を満たす。これは状態 |Ψ⟩ が単一のスレーター行列式で表されるときだけ成り立つ。ρ の固有値は0 か 1 である。実際

ρ |α⟩ =∑h

|h⟩⟨h|α⟩ = θα |α⟩ , θα =

1 , hole states

0 , particle states


であり, HF基底系の 1粒子状態は ρ の固有状態である。ハミルトニアン H を c†, c で表わし, ウィックの定理を使うと

H =∑pq

tµν c†µcν

+∑

µνµ′ν′

vpq p′q′

(1

4: c†µc

†νcν′cµ′ : + ⟨ |c†νcν′ | ⟩ : c†µcµ′ : +

1

2⟨ |c†νcν′ | ⟩⟨ |c†µcµ′ | ⟩

)である。したがって

EHF = ⟨ |H| ⟩ =∑pq

tµν ⟨ |c†µcν | ⟩+1

2

∑µνµ′ν′

vµν µ′ν′⟨ |c†νcν′ | ⟩⟨ |c†µcµ′ | ⟩

=∑µν

tµν ρνµ +1

2

∑µνµ′ν′

vµν µ′ν′ ρν′ν ρµ′µ (2.27)

= Tr ( t ρ ) +1

2Tr1Tr2 ( v ρ(1) ρ(2) ) (2.28)

と書ける。第 2項目の添字 1, 2 は粒子 1, 2 についてそれぞれトレースを取ることを意味する。この表示は 1粒子状態の基底系に依らない。基底として HF基底系を用いると ραβ = θα δαβ から直ちに (2.4)が求まる。HF基底状態をエネルギー (2.28)を最小にする ρを与える状態として定義する。| ⟩を変分すれば

ρ も変化する。そこで ρ が ρ = ρ0 から ρ = ρ0 + δρ になったときの EHF の変化量を求めよう。以下では, 1粒子状態の基底系として ρ0 が対角的になるHF基底系を用いる。まず, ρ0 + δρ もスレーター行列式の密度行列であるから

(ρ0 + δρ)2= ρ0 + δρ

である。δρ の 1次までとると

δρ = ρ0 δρ+ δρ ρ0 , i.e. δραβ = θα δραβ + δραβ θβ = (θα + θβ) δραβ (2.29)

δραβ = 0 であるためには θα + θβ = 1, つまり θα = 1, θβ = 0 または θα = 0, θβ = 1 であり, δρ は粒子–空孔成分 δρph, δρhp 以外は 0 である。

δE = EHF [ ρ0 + δρ ]− EHF [ ρ0 ] =∑αβ

h[ρ0]αβ δρβα + · · · =∑ph

(h[ρ0]ph δρhp + h[ρ0]hp δρph

)+ · · ·

ただしh[ρ]αβ ≡

∂EHF

∂ρβα= tαβ +

∑α′β′

vαα′ ββ′ ρβ′α′

であり, ρ = ρ0 のとき ρβα = θα δαβ であるから

h[ρ0]αβ = tαβ +∑h

vαhβh = ⟨α|hHF |β⟩ (2.30)

任意の δρhp, δρph に対して δE = 0 であるためには, hHF の粒子–空孔成分が

hph = ⟨ p |hHF |h ⟩ = 0 (2.31)

でなければならない。この条件は hHF の粒子–粒子成分と空孔–空孔成分には何の条件も与えないから, これだけでは 1 粒子状態の基底系を一意的に決定できない。そこで, 上の条件を満たす特別な場合である

⟨α|hHF |β⟩ = ϵα δαβ


を要請する。これはハートリー・フォック方程式に他ならない。ところで

⟨α|[hHF , ρ0 ]|β⟩ = ⟨α| (hHF ρ0 − ρ0 hHF) |β⟩ = (θβ − θα) ⟨α|hHF |β⟩

であるから, 条件 (2.31)が成り立てば任意の |α⟩, |β⟩ に対して ⟨α|[hHF , ρ0 ]|β⟩ = 0 である。したがって, (2.31)は

[hHF , ρ0 ] = 0 (2.32)

と同等である。(2.30)において EHF を微分するとき, 相互作用 v が ρ に依存しないことを暗黙に仮定したが, 密

度行列による HF方程式の導出は密度依存型相互作用の場合にも適用できる。v = v[ρ] の場合

hαβ =∂EHF

∂ρβα= tαβ +

∑h

vαhβh +1

2

∑hh′

⟨hh′| ∂v∂ρβα

|hh′⟩

であるから, これを ⟨α|hHF|β⟩ とする hHF を採用すればよい。

1粒子状態の微小変化として以上の議論を扱おう。1粒子状態 |α⟩ が微小変化して

|α⟩+∑β =α

dαβ |β⟩

になったとする。ここで dαβ は微小量である。これに対応する生成演算子は

c†α = a†α +∑β =α

dαβ a†β

であるから, スレーター行列式は d の 1次まで考えると

|Ψ⟩ = c†1 · · · c†N | 0 ⟩ = a†1 · · · a

†N | 0 ⟩+

∑β =1

d1β a†βa

†2 · · · a

†N | 0 ⟩+

∑β =2

d2β a†1a

†βa

†3 · · · a

†N | 0 ⟩+ · · ·

= a†1 · · · a†N | 0 ⟩+

N∑i=1

∑β =i

diβa†1 · · · a

†i−1a

†βa

†i+1 · · · a

†N | 0 ⟩

になる。β = 1, 2, · · · , i− 1, i+ 1, · · · , N の場合

a†1 · · · a†i−1a

†βa

†i+1 · · · a

†N

は (a†β)2 を含むから寄与しない。したがって β は粒子状態について和をとればよい。また ai| 0 ⟩ =

0 より

aia†ia

†i+1 · · · a

†N | 0 ⟩ =

(1− a†iai

)a†i+1 · · · a

†N | 0 ⟩ = a†i+1 · · · a

†N | 0 ⟩

であるから

a†1 · · · a†i−1a

†βa

†i+1 · · · a

†N | 0 ⟩ = a†1 · · · a

†i−1a

†β ai a

†ia

†i+1 · · · a

†N | 0 ⟩

k = i のとき a†k と a†β ai は交換するから

a†1 · · · a†i−1a

†βa

†i+1 · · · a

†N | 0 ⟩ = a†βai a

†1 · · · a

†N | 0 ⟩

である。β は粒子状態, i は空孔状態であるから, それぞれ p, h と書き換えると

|Ψ⟩ = | ⟩+∑ph

dhp a†pah| ⟩ , | ⟩ = a†1 · · · a

†N | 0 ⟩


になる。エネルギー期待値は

⟨Ψ|H|Ψ⟩ = ⟨ |H| ⟩+∑ph

dhp ⟨ |Ha†pah| ⟩+∑ph

d∗hp ⟨ |a†hapH| ⟩

任意の微小変化 dhp に対してエネルギー期待値が停留値になるためには

⟨ |a†hapH| ⟩ = 0

である。この条件は (2.31)に他ならない。

問 2.3 (2.2)の H を ⟨ |a†hapH| ⟩ に代入すると

⟨ |a†hapH| ⟩ =∑αα′

tαα′⟨ |a†hapa†αaα′ | ⟩+ 1

4

∑αβα′β′

vαβ α′β′⟨ |a†hapa†αa

†βaβ′aα′ | ⟩

である。⟨ |a†hapa†αaα′ | ⟩ 及び ⟨ |a†hapa†αaβ′aα′ | ⟩ をウィックの定理を適用して求め

⟨ |a†hapH| ⟩ = tph +∑h′

vph′ hh′ = ⟨ p |hHF |h ⟩

を示せ。

2.8 ハートリー・フォック方程式が正確に解ける模型ハートリー・フォック方程式が解析的に解ける模型を扱う。N 重に縮退した 1粒子状態が 2種類

ある系を考える。それぞれの 1 粒子エネルギーを ± ε/2 とし, 1 粒子状態の生成演算子を c†±m , (

m = 1, 2, · · · , N )で表す。ハミルトニアン H0 は

H0 = εK0 , K0 =1

2

N∑m=1

(c†+mc+m − c†−mc−m

)である。縮退度と同じ粒子数の系だけを扱うことにする。この系に次の相互作用

Hint = −V

2

(K+K+ +K−K−

), K+ =

N∑m=1

c†+mc−m , K− = K†+ =

N∑m=1

c†−mc+m

が作用した場合, ハートリー・フォック近似を行う。K± は 1粒子状態 |+m ⟩ と | −m ⟩ だけを結びつけるから, HF1粒子状態はこの 2つの線形結合であるとして, 生成演算子を

a†0m = D−0 c†−m +D+0 c

†+m , a†1m = D−1 c

†−m +D+1 c

†+m (2.33)

とする。| 0m ⟩ が | 1m ⟩ よりエネルギーが低い状態とすれば, HF基底状態 | ⟩ は

| ⟩ =N∏

m=1

a†0m| 0 ⟩

である。a†, a の反交換関係から

a†0m , a0m = |D−0|2 + |D+0|2 = 1 (2.34)

a†1m , a1m = |D−1|2 + |D+1|2 = 1 (2.35)

a†0m , a1m = D−0D∗−1 +D+0D

∗+1 = 0 (2.36)


D∗−1 = −D+0D

∗+1/D−0 を (2.35)に代入すると(

|D+0|2

|D−0|2+ 1

)|D+1|2 = 1 , これから |D+1| = |D−0| , |D−1| = |D+0|

である。(2.33)を c†−m, c†+m について解くと

c†−m = κ(D+1 a

†0m −D+0 a

†1m

), c†+m = κ

(D−0 a

†1m −D−1 a

†0m

)(2.37)

ただしκ =

1

D+1D−0 −D+0D−1, |κ| = 1

(2.34), (2.35), (2.36)を使えば |κ|−2 = 1 を示せる。

HF方程式 a1m| ⟩ = 0 , a†0m| ⟩ = 0 及び (2.37)より

⟨ |c†+mc+m| ⟩ = |κ|2|D−1|2⟨ |a†0ma0m| ⟩ = |D+0|2 , ⟨ |c†−mc−m| ⟩ = |D+1|2 = |D−0|2

であるから⟨ |K0| ⟩ =

∑m

|D+0|2 − |D−0|2

2=|D+0|2 − |D−0|2

2N

次に, Wickの定理を使うと

⟨ |K+K+| ⟩ =∑mm′

⟨ |c†+mc−mc†+m′c−m′ | ⟩

=∑mm′

(⟨ |c†+mc−m| ⟩⟨ |c†+m′c−m′ | ⟩ − ⟨ |c†+mc−m′ | ⟩⟨ |c†+m′c−m| ⟩

)(2.37)より

⟨ |c†+mc−m′ | ⟩ = −D−1D∗+1δmm′ = q∗δmm′ , q ≡ −D∗

−1D+1 (2.38)

であるから⟨ |K+K+| ⟩ = (q∗)2

(N2 −N

), ⟨ |K−K−| ⟩ = q2

(N2 −N

)したがって

EHF = ⟨ |H| ⟩ = εN

2

(|D+0|2 − |D−0|2

)− V

2

(N2 −N

) (q∗ 2 + q2

)(2.36)に D+1 をかけ |D+1|2 = |D−0|2 を使うと

q = D∗−0D+0

になる。これを EHF に代入すると EHF は D±0 だけで表せる。|D−0|2 + |D+0|2 = 1 の束縛条件を考慮して

E′ = EHF − λN(|D−0|2 + |D+0|2

)の変分を考える。D と D∗ は独立と見なして D∗ で微分すると

∂E′

∂D∗−0

= − εN

2D−0 − V

(N2 −N

)qD+0 − λND−0 = 0

∂E′

∂D∗+0

=εN

2D+0 − V

(N2 −N

)q∗D−0 − λND+0 = 0


これから

M

(D−0

D+0

)=λ

ε

(D−0

D+0

), ただし M =

(−1/2 −χq−χq∗ 1/2

), χ =

V

ε(N − 1) (2.39)

これに D∗−0 をかけ |D−0|2 = |D+1|2 , D∗

−0D+0 = −D+1D∗−1 を使うと

M

(D∗

+1

−D∗−1

)=λ

ε

(D∗

+1

−D∗−1

)

複素共役をとり並べ替えればM

(D−1

D+1

)= − λ

ε

(D−1

D+1

)D±0 が固有値 λ/ε である M の固有ベクトルならば, D±1 は固有値 −λ/ε の固有ベクトルになる。det(M − λ/ε) = 0 から固有値は

λ2 = ε2(1

4+ χ2|q|2

)また

D+0 = − ε χq∗

λ− ε/2D−0

及び |D−0|2 + |D+0|2 = 1 より

|D−0|2 =(λ− ε/2)2

(λ− ε/2)2 + ε2χ2|q|2=

(λ− ε/2)2

(λ− ε/2)2 + λ2 − ε2/4=λ− ε/2

2λ

q が与えられれば λ が決まり D±0 も求まるが, q は q = D∗−0D+0 であるから, q を与えるには D±0

が既知でなければならない。したがって, 自己無撞着に解く必要がある。iterationの n回目の q の値を qn とすると

qn+1 = D∗−0D+0 = − εχq∗n

λn − ε/2|D−0|2 = − εχq∗n

2λn

D±0 はエネルギーの低い方の解であるから λn = − ε√χ2|qn|2 + 1/4 である。これから

qn+1 =χ q∗n√

1 + 4χ2|qn|2(2.40)

になる。自己無撞着に解くとはこの漸化式の極限値 q を求めることである。極限値は

q =χ q∗√

1 + 4χ2|q|2

より

q2 =

0 , 任意の χ

q2χ , χ ≥ 1の場合, ただし qχ =

√χ2 − 1

2χ(2.41)

である。q = 0 の場合λ = − ϵ

2, D−0 = 1 , D+0 = 0

また, q2 = (χ2 − 1)/(4χ2) のとき

λ = − ϵχ

2, D−0 =

√χ+ 1

2χ, D+0 = η

√χ− 1

2χ, η =

+1 , q > 0のとき−1 , q < 0のとき


HF解の安定性 (2.41)の q において

EHF =εN

2

(|D+0|2 − |D−0|2 − χ

(q∗ 2 + q2

))は極値になるが極小とは限らない。|q|2 = |D−0|2|D+0|2 = |D−0|2

(1− |D−0|2

) より|D−0|2 =

1±√1− 4|q|22

であるが, q = 0 のとき |D−0| = 1 であるから

|D−0|2 =1 +

√1− 4|q|22

, |D+0|2 =1−

√1− 4|q|22

したがってEHF = −εN

2

(√1− 4|q|2 + χ

(q∗ 2 + q2

))(2.42)

これを導くとき HF条件 (2.39)は用いていない。Im q = 0 の場合

dEHF

dq= 2εNq

(1√

1− 4q2− χ

),

d2EHF

dq2= 2εN

(1

(1− 4q2)3/2− χ

)

であるから (2.41)を満たす q で EHF は極値になる。しかし

d2EHF

dq2

∣∣∣∣q=0

= 2εN (1− χ)

であるから χ > 1 のとき q = 0 で EHF は極大になる。一方 q2 = (χ2 − 1)/(4χ2) では

d2EHF

dq2= 2εNχ

(χ2 − 1

)であるから χ > 1 の場合極小になる。Im q = 0 の場合 EHF を q の関数として図示すると下図のようになる。細い曲線は極点を結んだ

曲線f(q) = − εN

2

1− 2q2√1− 4q2

である。Re q = 0 とするとd2EHF

dq2= 2εN

(1

(1− 4q2)3/2

+ χ

)|χ| > 1 のとき q = 0 では d2EHF/dq

2 > 0 になり極小であるから q = 0 は鞍部点である。

0.0χ= 0.5 1.0 1.2 1.7

2.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

q

−0.6

−0.5

EHF/(εN

)

Im q = 0


HF解の収束性適当な q0を与えて漸化式 (2.40)を解くと (2.41)に収束するとは限らない。qn =

rneiθn とすると (2.40)より

rn+1 =χ√

1 + 4χ2r2nrn , θn+1 = − θn = (−1)n+1θ0

である。an = 1/r2n で表すと

an+1 =1

χ2an + 4 , つまり an+1 −

4χ2

χ2 − 1=

1

χ2

(an −

4χ2

χ2 − 1

)これから

an −1

q2χ=

1

χ2n

(a0 −

1

q2χ

), qχ =

√χ2 − 1

2χ

したがってr2n = q2χ

χ2n

χ2n − 1 + q2χ/r20

n −→∞ では

r2n −→

0

q2χ, qn −→

0 , χ2 < 1

qχ e(−1)niθ0 , χ2 > 1

χ > 1 の場合, Im q0 = 0 として解くと, |qn| は (2.41)の極限値 qχ に収束するが, qn は qχ eiθ0 と

qχ e−iθ0 の間を行き来し実軸上の点には収束しない。実軸上の点に収束させるには (2.40)の代わり

に, 例えばqn+1 = (1− a) χ q∗n√

1 + 4χ2|qn|2+ a qn , 0 ≤ a < 1 (2.43)

を考える。この漸化式は (2.40)と同じ極限値に収束する。下図に漸化式 (2.40)の qn を実線で, a =

0.3 とした (2.43)の qn を破線で結び図示した。曲線は (2.42)の EHF が一定になる等高線である。実線の振舞いは上の議論から理解できる。(2.43)の qn は (2.41)の極限値に収束する。Hartree-Fock

方程式を数値計算で自己無撞着に解くとき, (2.43)と類似の処方は数値解の収束性を加速したり安定化するため用いることがある。

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Re qn

−0.1

0.0

0.1

Imq n

χ = 2.0


0

1

2

3

4

5

6

7

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Re qn

−0.1

0.0

0.1

Imq n

χ = 0.5

問 2.4 H = H0 +Hint を a†, a の正規積に分解し, HF方程式 (2.39)を求める。

1. (2.38)に注意してWickの定理を適用すると

Hint =V

2

∑c†+mc

†+m′c−mc−m′ + (h.c. )

= : Hint : +εN

2χ(q2 + q∗ 2

)− εχ

∑(q∗c†+mc−m + q c†−mc+m

)になることを示せ。ここで : : は a†, a に関する正規積である。

2. 1.の結果から

H = H0 +Hint = HHF + : Hint : +εN

2χ(q2 + q∗ 2

)とすると HHF は

HHF = ε∑m

( c†−m c†+m )M

(c−m

c+m

)と表せることを示せ。ただし M は (2.39)で定義した行列である。

3. (2.37)は( c†−m c†+m ) = κ ( a†0m a†1m )D , D =

(D+1 −D−1

−D+0 D−0

)と表せる。DD† = D†D = 1 を示せ。上式を HHF に代入すると

HHF = ε∑m

( a†0m a†1m )DMD†

(a0m

a1m

)

である。DMD† が対角化するように行列 D を決める。これから HF方程式 (2.39)が成り立つことを示せ。

3 RPA 31

3 RPA

3.1 タム・ダンコフ方程式多体系の励起状態を考える。基底状態をハートリー・フォックの基底状態とすると, 基本となる

励起は空孔状態 |h ⟩ の粒子が粒子状態 | p ⟩ に遷移する励起である ( パウリ原理のため粒子は他の空孔状態には遷移できない )。この励起状態は HF基底状態に孔が一つあき粒子が一つ加わった状態であるから one–particle one–hole ( 1p1h )状態という。一般には 2p2h, 3p3h, · · · が考えられるが, 低励起エネルギーの状態に限定すれば, 2p2h, 3p3h, · · · 励起は無視してもよかろう。そこで多体系の励起状態 |λ⟩ を

|λ⟩ =∑ph

Xph a†pah| ⟩ (3.1)

とし, H |λ⟩ = E |λ⟩ となるように係数 X と固有値 E を決めたいわけだが, これは正確には成り立たない。そこで条件を弱めよう。(3.1)は, 状態空間を a†pah| ⟩ に制限して, 励起状態 |λ⟩ を展開したものである。したがって, この部分空間内でH |λ⟩ = E |λ⟩ が成り立つことを要請する。つまり

⟨ | a†hapH|λ⟩ = E⟨ | a†hap|λ⟩

である。(3.1)を代入し (2.20)の定数項 EHF を右辺に移項すると∑p′h′

⟨ | a†hapH a†p′ah′ | ⟩Xp′h′ = ℏω∑p′h′

⟨ | a†hapa†p′ah′ | ⟩Xp′h′ , ℏω = E − EHF (3.2)

になる。ここで

H = H0 + Vres , H0 =∑α

ϵα : a†αaα : , Vres =1

4

∑αβα′β′

vαβ α′β′ : a†αa†βaβ′aα′ : (3.3)

である。簡単のため, HF基底状態での期待値 ⟨ | · · · | ⟩ を ⟨· · ·⟩ で表す。

⟨a†αa†β⟩ = ⟨aαaβ⟩ = 0 ( α, βは任意 ), ⟨a†hap⟩ = 0 ( pは粒子, hは空孔状態 )

であるからウィックの定理を使うと

⟨ a†hapa†p′ah′ ⟩ = ⟨ a†hapa

†p′ah′⟩ = ⟨a†hah′⟩ ⟨apa†p′⟩ = δhh′δpp′

正規積の真空期待値は 0 及び正規積中の演算子の縮約は寄与しないから

⟨ a†hap : a†αaα : a†p′ah′ ⟩ = ⟨ a†hap : a†αaα : a†p′ah′ ⟩+ ⟨ a†hap : a†αaα : a†p′ah′ ⟩

= − δhα δpp′ δh′α + δhh′ δpα δp′α = δhh′δpp′

(δαp − δαh

)したがって

⟨ | a†hapH0 a†p′ah′ | ⟩ = δhh′δpp′ ϵph , ϵph = ϵp − ϵh

同様にして

⟨ a†hap : a†αa†βaβ′aα′ : a†p′ah′ ⟩ = ⟨ a†hap : a†αa

†βaβ′aα′ : a†p′ah′ ⟩+ ⟨ a†hap : a†αa

†βaβ′aα′ : a†p′ah′ ⟩

+ ⟨ a†hap : a†αa†βaβ′aα′ : a†p′ah′ ⟩+ ⟨ a†hap : a†αa

†βaβ′aα′ : a†p′ah′ ⟩

=(δαpδβh′ − δαh′δβp

)(δα′hδβ′p′ − δβ′hδα′p′

)(3.4)

3 RPA 32

v の反対称性を考慮すると

⟨ | a†hap Vres a†p′ah′ | ⟩ = vph′ hp′

したがってAph p′h′ = ⟨ | a†hapH a†p′ah′ | ⟩ = ϵph δhh′δpp′ + vph′ hp′ (3.5)

とすると (3.2)は ∑p′h′

Aph p′h′Xp′h′ = ℏωXph (3.6)

になる。これをタム・ダンコフ方程式 ( Tamm–Dancoff equation )という。2つの添字 ph を適当に並べて 1列にすれば, タム・ダンコフ方程式は形式的に AX = ℏωX と書ける。これはエルミート行列 A の固有値問題である。また, タム・ダンコフで取り入れた残留相互作用 vph′ hp′ は Vres の分類 (2.21)において (2.24)の Vph の部分だけである。タム・ダンコフ方程式を摂動論的に考えてみる。Xph と ℏω を v のベキ級数展開して

Xph = X0ph +X1

ph + · · · , ω = ω0 + ω1 + · · ·

としてタム・ダンコフ方程式に代入すると

ϵphX0ph + ϵphX

1ph + · · ·+

∑p′h′

vph′ hp′(X0

p′h′ +X1p′h′ + · · ·

)=(ℏω0 + ℏω1 + · · ·

) (X0

ph +X1ph + · · ·

)両辺の v の各ベキは等しいとすると

ϵphX0ph = ℏω0X0

ph , ϵphX1ph +

∑p′h′

vph′ hp′X0p′h′ = ℏω0X1

ph + ℏω1X0ph

| p ⟩

|h ⟩

である。v の 0次, つまり, Vres を無視すると, 最初の方程式から

ℏω0 = ϵph , X0p′h′ =

1 , p′ = p , h′ = h

0 , その他になる。系の励起状態は純粋な粒子–空孔励起 a†pah| ⟩ である。これを模式的に表せば図のようになる。残留相互作用を取り入れると, 系の励起状態は純粋な粒子–空孔励起ではなくなり, これらの重ね合わせになる。2番目の方程式に X0

p′h′ を代入すると

ϵp′h′X1p′h′ + vp′hh′p = ϵphX

1p′h′ + ℏω1X0

p′h′

p′ = p , h′ = h とすると ℏω1 = vph hp = ⟨ | a†hap Vres a†pah | ⟩ である。エネルギーに対する 1次の補正は, 通常の摂動論から期待されるように, 摂動項 Vres の期待値である。(p′, h′) = (p, h) のときはX0

p′h′ = 0 であるから

X1p′h′ =

vp′hh′p

ϵph − ϵp′h′=

1

ϵph − ϵp′h′⟨ | a†h′ap′ Vres a

†pah | ⟩

したがって, 1次の摂動では

|λ⟩ ≈ a†pah| ⟩+∑p′h′

a†p′ah′ | ⟩ 1

ϵph − ϵp′h′⟨ | a†h′ap′ Vres a

†pah | ⟩

になる。| ph−1 ⟩ = a†pah| ⟩ ,

とする。h が空孔であることを示す目印として −1 を付け, | ph−1 ⟩ が 2粒子状態 | ph ⟩ ではないことを示す。

3 RPA 33

p h

+

p h

h′ p′H0| p′h′−1 ⟩ = ϵp′h′ | p′h′−1 ⟩

であるから

|λ⟩ ≈ | ph−1 ⟩+∑p′h′

| p′h′−1 ⟩⟨ p′h′−1 | 1

ϵph −H0Vres | ph−1 ⟩

これをダイヤグラムで表せば右図のようになる。一般に 1次の摂動論では

|λ⟩ ≈ | ph−1 ⟩+∑n

|n ⟩⟨n | 1

ϵph −H0Vres | ph−1 ⟩

p h

h′′ h′ p′であり, |n ⟩ は 1p1h状態に限らない。例えば, 右図のような 2p2h状態も寄与する。これは Vres の分類 (2.21)において (2.26)の VY の寄与である。この状態のエネルギー分母 ϵph −H0 は ϵph − ϵph′′ − ϵp′h′ になるが, TDAでは 1p1h

状態のエネルギー分母 ϵph − ϵp′h′ に比べて

|ϵph − ϵph′′ − ϵp′h′ | ≫ |ϵph − ϵp′h′ |

であると仮定して 1p1h状態以外の寄与を無視する, つまり∑n

|n ⟩⟨n | ≈∑p′h′

| p′h′−1 ⟩⟨ p′h′−1 |

とする。ただし, この近似内で摂動項 Vres を無限次まで考慮する。TDAは非摂動論的近似である。ダイヤグラムで表せば次の図のようになる。

p h

+

p h

p h

+

p h

+ + + · · · · · ·

簡単な模型相互作用の行列要素が一体のエルミート演算子 f を用いて

vαβ α′β′ = κ fαα′fββ′ , fαβ = ⟨α| f |β⟩ (3.7)

と分離できるとする。κ は結合定数である。∑p′h′

Aph p′h′Xp′h′ = ϵphXph + κ fph∑p′h′

f∗p′h′Xp′h′ = ℏωXph

であるからC ≡ κ

∑p′h′

f∗p′h′ Xp′h′

とすると (3.6)よりXph = C

fphℏω − ϵph

3 RPA 34

ℏω

D(ℏω)

O

1

κ> 0

1

κ< 0

これを C の定義式に代入すると

D(ℏω) =∑ph

|fph|2

ℏω − ϵph=

1

κ(3.8)

であり, これから固有値 ω が求まる。これをグラフィカルに解くには, D(ℏω) を ℏω の関数として描き, この関数と直線 y = 1/κ の交点を求めればよい。その様子を右図に示す。有限系では粒子–空孔 (ph)励起エネルギー ϵph

は, 一様に分布せず局在化する傾向にある ( 殻構造 )。閉殻の原子核では ϵph ∼ ℏω0, 2ℏω0, · · · (

ℏω0 ≈ 41/A1/3 MeV )である。このような場合, ϵph の間に挟まれた解と挟まれない解が得られる。挟まれた解 ℏω はある特定の ϵph に非常に近いから, Xph はこの成分のみが大きくなり近似的に

|λ⟩ ∼ a†pah | ⟩

である。これは相互作用により補正を受けた ph状態である。挟まれない解は, 引力相互作用 κ < 0

の場合には ϵph よりも特に低いところに現れ, 斥力 κ > 0 の場合は高いところに現れる。この励起状態は多数の ph状態の重ね合わせになる。このような状態を集団状態 ( collective state )という。引力の強さが

κ ≤ κTDA =1

D(0)= − 1∑

ph

|fph|2

ϵph

(3.9)

では, 集団運動の励起エネルギーは負になる。これは引力が強すぎるため系が不安定になることを示している。F =

∑fαβa

†αaβ の遷移行列要素は

⟨λ|F | ⟩ =∑ph

∑αβ

X∗

phfαβ⟨ |a†hapa

†αaβ | ⟩ =

∑ph

X∗

phfph = C∗∑ph

|fph|2

ℏω − ϵph=C∗

κ

で与えられる。C は規格化条件

⟨λ|λ⟩ =∑

php′h′

(Xph)∗Xp′h′⟨ |a†hapa

†p′ah′ | ⟩ =

∑ph

∣∣Xph

∣∣2 = 1

から|C|−2 =

∑ph

|fph|2

(ℏω − ϵph)2= − dD(ℏω)

dℏω(3.10)


|⟨λ|F | ⟩|2 =|C|2

κ2=

κ2∑ph

|fph|2

(ℏω − ϵph)2

−1

= −(κ2dD(ℏω)d ℏω

)−1

図の交点における D(ℏω) の接線の傾きが 0 に近いほど遷移行列要素は大きい。これから集団状態への遷移は特に強いことが分かる。粒子–空孔励起エネルギー ϵph が局在化した極限として, すべて ϵ に縮退している場合, TDA方

程式の解は ℏω = ϵ と集団状態の解

ℏω = ϵ+ κ∑ph

|fph|2

3 RPA 35

になる。集団状態の遷移行列要素は

|⟨λ|F | ⟩|2 =

κ2

(ℏω − ϵ)2∑ph

|fph|2−1

=∑ph

|fph|2 =∑ph

|⟨ph−1|F | ⟩|2

であり, 集団状態にすべての遷移行列要素の和が集中する。

3.2 RPA

タム・ダンコフ近似 (TDA)では, HF近似で無視した残留相互作用を励起状態については一部取り入れた。しかし, HF基底状態を採用しているから, 基底状態に対する残留相互作用の影響 ( 基底状態相関 )は考慮していない。基底状態相関を取り入れて TDAを改善した RPA( random phase

approximation, 乱雑位相近似 )を導出する。多体系のハミルトニアン H の正確な基底状態 | gs ⟩ と固有状態 |λ⟩

H | gs ⟩ = E0 | gs ⟩ , H |λ⟩ = E |λ⟩ (3.11)

が分かっているとする。次の性質

|λ⟩ = O†λ | gs ⟩ , Oλ | gs ⟩ = 0

を満たす演算子 O†λ, Oλ を定義できる。形式的には

O†λ = |λ⟩⟨ gs |

である。(3.11)は[H , O†

λ ]| gs ⟩ = (E − E0)O†λ | gs ⟩ = ℏωO†

λ | gs ⟩

と書き直せる。これに任意の状態 ⟨ gs | δO を作用すると

⟨ gs |[δO , [H , O†

λ ]]| gs ⟩ = ℏω ⟨ gs |[ δO , O†

λ ]| gs ⟩ (3.12)

ただし ⟨ gs |O†λ = 0, ⟨ gs |HO†

λ = E0 ⟨ gs |O†λ = 0 を使った。シュレディンガー方程式 (3.11)を近

似的に解く場合, (3.11)を直接扱うのではなく, それと同等な (3.12)から考えた方が見通しがよい。

TDAは基底状態を HF真空 | ⟩ で近似し, O† を ph励起だけに限定する近似である。

O†λ =

∑ph

Xph a†pah , δO† = a†pah (3.13)

を (3.12)に代入すると∑p′h′

⟨ |[a†hap , [H , a†p′ah′ ]

]| ⟩Xp′h′ = ℏω

∑p′h′

⟨ |[ a†hap , a†p′ah′ ]| ⟩Xp′h′ (3.14)

である。定数は交換関係には寄与しないから, 上式の H は EHF を除いた部分 (3.3)である。

a†hapa†p′ah′ = δpp′a†hah′ − a†p′a

†hah′ap = δpp′δhh′ − δpp′ah′a†h − a

†p′a

†hah′ap

⟨ |ah = ⟨ |a†p′ = 0 より⟨ |a†hapa

†p′ah′ = δpp′δhh′⟨ |

3 RPA 36

これから

⟨ |[a†hap , [H , a†p′ah′ ]

]| ⟩ = ⟨ | a†hap [H , a†p′ah′ ]| ⟩

= ⟨ | a†hapH a†p′ah′ | ⟩ − ⟨ | a†hapa†p′ah′ H | ⟩

= ⟨ | a†hapH a†p′ah′ | ⟩ − δpp′δhh′⟨ |H| ⟩

H は正規積のみ含むから ⟨ |H | ⟩ = 0 である。したがって

⟨ |[a†hap , [H , a†p′ah′ ]

]| ⟩ = ⟨ | a†hapH a†p′ah′ | ⟩

は TDAで定義した (3.5)である。これと

⟨ |[ a†hap , a†p′ah′ ]| ⟩ = δhh′ δpp′

より, (3.14)はタム・ダンコフ方程式 (3.6)になる。

(3.12)を使うと TDAを一般化することは容易である。真の基底状態 | gs ⟩ は基底状態相関のためHF真空とは異なろう。したがって, a†hap| ⟩ = 0であるが a†hap| gs ⟩ = 0である。これから (3.13)

を拡張してO†

λ =∑ph

(Xph a

†pah − Yph a

†hap

), δO† = a†pah, a

†hap (3.15)

とする。この近似をRPA( random phase approximation )という。RPAにおける真空 | 0 ⟩ は

Oλ| 0 ⟩ = 0

で定義される。(3.12)は

⟨ 0 |[a†hap , [H , O†

λ ]]| 0 ⟩ = ℏω ⟨ 0 |[ a†hap , O

†λ ]| 0 ⟩

⟨ 0 |[a†pah , [H , O†

λ ]]| 0 ⟩ = ℏω ⟨ 0 |[ a†pah , O

†λ ]| 0 ⟩

(3.16)

となる。RPA 真空は具体的にはまだ分からないから, RPA 真空での期待値を求めることはできない。そこで, RPA 真空は極端には HF 真空とは変わらないとして, 交換関係の RPA 真空期待値をHF真空での期待値で近似する。例えば

⟨ 0 |[ a†hap , a†p′ah′ ]| 0 ⟩ ≈ ⟨ |[ a†hap , a

†p′ah′ ]| ⟩ = δpp′ δhh′ (3.17)

である。(3.16)で | 0 ⟩ を | ⟩ で置き換え (3.15)の O†λ を代入すると∑

p′h′

(⟨ |[a†hap , [H , a†p′ah′ ]

]| ⟩Xp′h′ − ⟨ |

[a†hap , [H , a†h′ap′ ]

]| ⟩Yp′h′

)= ℏωXph

∑p′h′

(⟨ |[a†pah , [H , a†p′ah′ ]

]| ⟩Xp′h′ − ⟨ |

[a†pah , [H , a†h′ap′ ]

]| ⟩Yp′h′

)= ℏωYph

である。ここで

Aph p′h′ ≡ ⟨ |[a†hap , [H , a†p′ah′ ]

]| ⟩ = ⟨ | a†hapH a†p′ah′ | ⟩ (3.18)

Bph p′h′ ≡ − ⟨ |[a†hap , [H , a†h′ap′ ]

]| ⟩ = ⟨ | a†hapa

†h′ap′H | ⟩ (3.19)

3 RPA 37

とする。一般に演算子 P , Q に対して

[P , Q ]† = [Q† , P † ]

であるから

A∗ph p′h′ = ⟨ |

[a†hap , [H , a†p′ah′ ]

]†| ⟩ = ⟨ |

[[ a†h′ap′ , H ] , a†pah

]| ⟩

= ⟨ |[a†pah , [H , a†h′ap′ ]

]| ⟩

同様にしてB∗

ph p′h′ = −⟨ |[a†pah , [H , a†p′ah′ ]

]| ⟩

である。したがって ∑p′h′

(Aph p′h′Xp′h′ +Bph p′h′Yp′h′

)= ℏωXph

∑p′h′

(B∗

ph p′h′Xp′h′ +A∗ph p′h′Yp′h′

)= − ℏω Yph

(3.20)

になる。(3.20)をRPA方程式 ( RPA equation )という。この方程式は行列形式で表わすと(A B

B∗ A∗

)(X

Y

)= ℏω

(X

−Y

)(3.21)

と書ける。ここで A, B は正方行列, X , Y は列ベクトルである。RPA方程式に現れる A, B のうち

Aph p′h′ = ⟨ | a†hapH a†p′ah′ | ⟩ = ϵph δhh′ δpp′ + vph′ hp′ (3.22)

は TDAで現れた (3.5)である。一方, Bph p′h′ は TDAにはない項である。これを v で表す。

⟨ | a†hapa†h′ap′H0| ⟩ =

∑α

ϵα⟨ | a†hapa†h′ap′ : a†αaα : | ⟩ = 0

であるから, B に寄与するのは Vres だけである。(3.4)と同様にすると

⟨ a†hapa†h′ap′ : a†αa

†βaβ′aα′ : ⟩ = ⟨a†hapa

†h′ap′ : a†αa

†βaβ′aα′ : ⟩+ ⟨a†hapa


†βaβ′aα′ : ⟩

+ ⟨a†hapa†h′ap′ : a†αa

†βaβ′aα′ : ⟩+ ⟨a†hapa


†βaβ′aα′ : ⟩

=(δαpδβp′ − δαp′δβp

)(δα′hδβ′h′ − δβ′hδα′h′

)(3.23)

になるからBph p′h′ = ⟨ | a†hapa

†h′ap′Vres | ⟩ = vpp′ hh′ (3.24)

である。Bph p′h′ は Vres の分類 (2.21)において (2.25)の VV の部分であり 2p–2h状態を励起する。逆に B∗

ph p′h′ は

B∗ph p′h′ = ⟨ | a†hapa

†h′ap′Vres | ⟩∗ = ⟨ |Vresa†p′ah′a†pah| ⟩ = v ∗

pp′ hh′ = vhh′ pp′

2p–2h を消滅させる。2p–2h の生成・消滅を取り入れた効果は基底状態にも反映し, Oλ| 0 ⟩ = 0 で定義される RPA真空 | 0 ⟩ は

| 0 ⟩ = | ⟩+ |2p–2h⟩+ |4p–4h⟩+ · · ·

3 RPA 38

という重ね合わせになる。これが基底状態相関である。展開係数 Xph, Yph は ⟨ 0 |O†

λ = 0 を使うと

⟨ 0 |a†hap|λ⟩ = ⟨ 0 |[a†hap , O

†λ

]| 0 ⟩ ≈ ⟨ |

[a†hap , O

†λ

]| ⟩ = Xph

⟨ 0 |a†pah|λ⟩ = ⟨ 0 |[a†pah , O

†λ

]| 0 ⟩ ≈ ⟨ |

[a†pah , O

†λ

]| ⟩ = Yph

(3.25)

であるから X, Y は遷移密度行列 ρλαβ = ⟨ 0 | a†βaα |λ⟩ の粒子–空孔成分である。なお, RPAでは ρλ

の粒子–粒子, 空孔–空孔要素は 0 である。

簡単な模型 TDAと同様に, 相互作用が (3.7) で与えられるとき, RPA方程式 (3.20)は

ϵphXph + κfph∑p′h′

(f∗p′h′Xp′h′ + fp′h′Yp′h′

)= ℏωXph

ϵphYph + κf∗ph∑p′h′


)= − ℏωYph

になる。C = κ

∑p′h′


)(3.26)

とおくとXph =

Cfphℏω − ϵph

, Yph = −Cf∗ph

ℏω + ϵph(3.27)

これを C の定義式に代入すると

DRPA(ℏω) =1

κ, DRPA(x) =

∑ph

2ϵph |fph|2

x2 − ϵ2ph(3.28)

を得る。この方程式を図を用いて解くと次の図のようになる。ℏω を複素数として ℏω = x + iy とおくと

DRPA(x+ iy) =∑ph

2ϵph |fph|2

(x+ iy)2 − ϵ2ph=∑ph

2ϵph |fph|2x2 − y2 − ϵ2ph − 2ixy

(x2 − y2 − ϵ2ph)2 + 4x2y2=

1

κ

になるから xy = 0 である。実数解 ( y = 0 )または純虚数解 (x = 0 )が存在しうる。細い曲線は

DRPA(ix) =∑ph

2ϵph |fph|2

−x2 − ϵ2ph

である。この曲線との交点 ( )は純虚数解 (ℏω)2 = −x2 < 0 を表す。

x

DRPA(x)

O

1

κ> 0

1

κ< 0

3 RPA 39

TDAとの大きな違いは, 引力が強いときの集団状態の励起エネルギーである。(3.9)で示したように, TDAでは κ < κTDA のとき負の励起エネルギーが現れるが, RPAでは

κ < κRPA =1

DRPA(0)= − 1

2∑ph

|fph|2

ϵph

=κTDA

2(3.29)

になると, 集団状態の励起エネルギーは実数ではなく純虚数になる。これも引力に対する HF基底状態の不安定性を表す。粒子–空孔エネルギー ϵph が ϵ に縮退している場合, (3.28)の解は

(ℏωλ)2 = ϵ2

1 + 2κ

ϵ

∑ph

|fph|2

となる。残留相互作用が弱くて ∣∣∣κ∑ph

|fph|2∣∣∣≪ ϵ

のときℏωλ ≈ ϵ+ κ

∑ph

|fph|2

で近似できTDAの結果に一致する。一方, 引力が強くなると ω2λ < 0 であり, 前に述べたように ωλ

は純虚数になる。

3.3 プラズマ振動正負の電荷が等量存在し全体としては電気的に中性である電離気体をプラズマというが, プラズ

マ中での電子の振動運動を RPA で扱う。一様な陽電荷を背景とする電子ガスでは, 系全体として電気的に中性のとき, 電子が一様に分布している状態が基底状態になると考えられるから, 電子の 1

粒子状態は平面波 (2.9)

ψk σ(r) =1√V

exp(ik·r)χσ , χ†σχσ′ = δσσ′ , σ, σ′ = ± 1/2

である。フェルミ波数を kF として, 基底状態では電子は |k| ≤ kF の状態まで占めているとする。(3.15) では全ての可能な粒子空孔の和になっているが, 実際の問題を解く場合, 励起状態がハミ

ルトニアンと交換する物理量 (運動量や角運動量など)の固有状態になるように和に制限をつける。どのような物理量を採用するかは相互作用と扱う系に依存する。無限に広がった系では運動量はよい量子数であるから, 運動量 q の励起状態を考え

k = kF

−q

k|k + q| = kF

O† =∑+

k σ

Xk,σ a†k+q,σak,σ −

∑−

k σ

Yk,σ a†k,σak−q,σ (3.30)

とする。ここで,∑±は |k| ≤ kF , |k±q| > kFである kについ

て和をとる。右図に ∑+ の領域を示す。第 1項目では, 運動量 k の状態を消し k+q を生成するから,結局 (k+q)−k = q

の状態になる。第 2項目についても同様である。(3.20)∑p′h′

vph′ hp′Xp′h′ +∑p′h′

vpp′ hh′Yp′h′ =(ℏω − ϵph

)Xph

∑p′h′

v∗pp′ hh′Xp′h′ +∑p′h′

v∗ph′ hp′Yp′h′ = −(ℏω + ϵph

)Yph

3 RPA 40

において h→ kσ, X の p→ k+q σ , Y の p→ k−q σ 等の置き換えをすれば∑+

k′σ′

Ckσ,k′σ′(q)Xk′σ′ +∑−

k′σ′

Bkσ,k′σ′(q)Yk′σ′ =(ℏω − Ek+q + Ek

)Xkσ (3.31)

∑+

k′σ′

B∗kσ,k′σ′(− q)Xk′σ′ +

∑−

k′σ′

C∗kσ,k′σ′(− q)Yk′σ′ = −

(ℏω + Ek−q − Ek

)Ykσ (3.32)

になる。ただし, m を電子の質量として Ek = ℏ2k2/(2m)

Ckσ,k′σ′(q) = ⟨k+q σ , k′σ′ | v |k σ , k′+q σ′⟩

Bkσ,k′σ′(q) = ⟨k+q σ , k′−q σ′ | v |k σ , k′ σ′⟩

である。v は電子間のクーロン力v(1, 2) =

e2

|r1 − r2|

を反対称化した行列要素を表す。一般に

⟨k1σ1 , k2σ2| v |k′1σ

′1 , k

′2σ

′2⟩ = δσ1σ′

1δσ2σ′

2

e2

V 2

∫d3r1 d

3r2exp(i(k′

1 − k1)·r1 + i(k′2 − k2)·r2

)|r1 − r2|

= δσ1σ′1δσ2σ′

2

e2

V 2

∫d3r2 exp

(i(k′

1 − k1 + k′2 − k2)·r2

)×∫d3r

exp(i(k′

1 − k1)·r)

r

= δσ1σ′1δσ2σ′

2δk1+k2 ,k′

1+k′2

e2

V

1

|k1 − k′1|2

ただし, (2.13)を使った。したがって

Ckσ,k′σ′(q) = ⟨k+q σ , k′σ′ | v |k σ , k′+q σ′⟩ − ⟨k+q σ , k′σ′ | v |k′+q σ′ , k σ ⟩

=4πe2

V

(1

|q|2− δσσ′

|k − k′|2

)Bkσ,k′σ′(q) = ⟨k+q σ , k′−q σ′ | v |k σ , k′ σ′⟩ − ⟨k+q σ , k′−q σ′ | v | k′ σ′,, k σ⟩

=4πe2

V

(1

|q|2− δσσ′

|k − k′ + q|2

)になる。q = |q| が小さいとき |k| ≤ kF, |k ± q| > kF を満たす k は |k| ∼ kF である。したがって,

平均的には |k − k′| ∼ kF であり, C, B の括弧内の第 2項は 1/q2 に比べて無視できる。以下では

Ckσ,k′σ′(q) = Bkσ,k′σ′(q) =v(q)

V, v(q) =

4πe2

q2

とする。(3.31), (3.32)に上式を代入すると(ℏω − Ek+q + Ek

)Xkσ =

v(q)

V

(∑+

k′σ′

Xk′σ′ +∑−

k′σ′

Yk′σ′

)

−(ℏω + Ek−q − Ek

)Ykσ =

v(q)

V

(∑+

k′σ′

Xk′σ′ +∑−

k′σ′

Yk′σ′

)

3 RPA 41

したがってN =

∑+

kσ

Xkσ +∑−

kσ

Ykσ

とおくとXkσ =

v(q)

V

N

ℏω − Ek+q + Ek, Ykσ = − v(q)

V

N

ℏω + Ek−q − Ek

これを N の定義式に代入すると

F (ω, q) =2v(q)

V

∑k

(θk(1− θk+q)

ℏω − Ek+q + Ek− θk(1− θk−q)


)= 1 (3.33)

になる。因子 2 はスピンの自由度 ( σ の和 )であり

θk =

1 , |k| ≤ kF0 , |k| > kF

である。S =

∑k

(θkθk+q

ℏω − Ek+q + Ek− θkθk−q


)の第 2項で k′ = k − q とすると∑

k

θkθk−q

ℏω + Ek−q − Ek=∑k′

θk′+qθk′

ℏω + Ek′ − Ek′+q=∑k

θkθk+q

ℏω − Ek+q + Ek, ∴ S = 0

になるからF (ω, q) =

2v(q)

V

∑k

θk

(1

ℏω − Ek+q + Ek− 1


)(3.34)

である。第 2項で k を −k に置き換え θ−k = θk , E−k = Ek を使うと

F (ω, q) =2v(q)

V

∑k

θk2ℏωk,q

(ℏω)2 − (ℏωk,q)2, ℏωk,q = Ek+q − Ek (3.35)

と表すこともできる。F (ω, q) を ω の関数として図示すると下図のようになる。F (ω, q) は ω =

±ωk,q で発散し, ω →∞ では 1/ω2 に比例する。系の体積 V が有限ならば k は離散的であるからωk,q も離散的な値をとる。破線は

ω = ωk,q =ℏ2m

(2k·q + q2

), ただし |k| ≤ kF , |k + q| > kF (3.36)

である。交点 • の ω が F (ω, q) = 1 の解を与える。

F (ω, q)

1

0ω

3 RPA 42

図から分かるように解には 2種類ある。1つは破線に挟まれた解である。V → ∞ では破線の間隔は無限小になるから, この解は ωk,q になり連続的に分布する。これは粒子・空孔励起である。粒子・空孔励起の ω には |k| ≤ kF であるため上限 ωmax がある。(3.36)より

ωk,q =ℏ2m

(2k·q + q2

)≤ ℏ

2m

(2kq + q2

)≤ ℏ

2m

(2kFq + q2

)= ωmax(q)

である。残りの解は, 前図で 1/ω2 で減少していく曲線との交点である。これは粒子・空孔励起とは別の

種類の励起で集団励起である。プラズマの場合, この励起状態はプラズマ振動と呼ばれ, 粒子・空孔励起よりも高い励起エネルギーに現れる。プラズマ振動の励起エネルギー ω を求めよう。(3.34)にEk = ℏ2k2/2m を代入し k の和を積分で表すと

F (ω, q) =2v(q)

V

V

(2π)3

∫d3k θk

(1

ℏω − ℏ2(2k·q + q2)/2m− 1

ℏω − ℏ2(2k·q − q2)/2m

)(3.37)

=ℏ2q2

4π3mv(q)

∫d3k

θk(ℏω − ℏ2k·q/m

)2 − (ℏ2q2/2m)2q → 0 のとき ω = 0 とすれば

F (ω, q) =q2v(q)

4π3mω2

∫d3k θk

(1 + 2

ℏk·qmω

+ 3

(ℏk·qmω

)2

+ · · ·

)

=q2v(q)

4π3mω2

(4π

3k3F +

4π

5

(ℏqmω

)2

k5F + · · ·

)=q2v(q)

mω2ρ

(1 +

3

5

v2Fω2q2 + · · ·

)(3.38)

ただしρ =

k3F3π2

, vF =ℏkFm

になる。ρは密度, vF はフェルミ速度である。q2v(q) = 4πe2 であるから

F (ω, q) =ω2p

ω2

(1 +

3

5

v2Fω2q2 + · · ·

), ωp =

√4πe2ρ

m

F = 1 よりω ≈ ωp

√1 +

3

5

v2Fω2p

q2 ≈ ωp

(1 +

3

10

v2Fω2p

q2)

(3.39)

になる。ωp をプラズマ振動数という。(3.37)より

F (ω, q) = v(q)(f(ω, q) + f(−ω,− q)

), f(ω, q) =

2

(2π)3

∫d3k

θkℏω − ℏ2(2k·q + q2)/2m

と表せる。k = kFt, k·q = kqs = kFqts とすると

f(ω, q) =2

(2π)32πk3F

m

ℏ2kFq

∫ 1

0

dt t2∫ 1

−1

ds1

x− ts, x =

m

ℏkFq

(ω − ℏq2

2m

)である。|x| ≤ 1 のとき x − ts = 0 になる t, s が存在し被積分関数は発散するため, この発散を回避する必要がある。ここでは |x| > 1 の場合を考える。このとき

f(ω, q) =mk2F

2π2ℏ2q

∫ 1

0

dt t(log |t+ x| − log |t− x|

)=

mk2F4π2ℏ2q

[2xt+

(t2 − x2

)log

∣∣∣∣ t+ x

t− x

∣∣∣∣ ]t=1

t=0

=mk2F

4π2ℏ2qg(x)

3 RPA 43

ただし

g(x) = 2x+(1− x2

)log

∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣ , g(x)x→0−−−→ 4x− 4x3

3, g(x)

|x|→∞−−−−−→ 4

3x+

4

15x3+ · · ·

したがって

F (ω, q) =mk2F

4π2ℏ2qv(q)

(g(x+) + g(x−)

), x± =

m

ℏkFq

(±ω − ℏq2

2m

)(3.40)

になる。ただし |x±| > 1, つまり ω > ωmax(q) の場合に上式は適用できる。(3.40)を用いて F (ω, q) = 1 を数値的に解いた結果を下図に実線で示す。破線は近似解 (3.39)を

表す。電子密度 ρ として金属中での電子密度 ρ ≈ 1023 cm−3 = 100 nm−3 を用いた。

mc2 ≈ 0.5× 106 eV , ℏc ≈ 200 eVnm , α =e2

ℏc≈ 1

137

であるから ωp を概算すると

ℏωp =

√4πα(ℏc)3ρ

mc2≈√

4π × (200)3 × 100

137× 0.5× 106eV = 80

√π

137eV = 12 eV

である。粒子・空孔励起エネルギーの最大値 ωmax に対して ω(q) = ωmax(q) となる q 以上では, プラズマ振動に対応する実数解は存在しない。

ℏωmax(q)

2kFkF

ℏωp

10

20

10 20 30

ℏω(eV)

q (nm−1)

粒子・空孔励起

プラズマ振動は次のような簡単な古典力学的議論でも導ける。電子の平衡状態の密度を ρ0 とする。平衡状態ではプラズマは電気的に中性であるから, 正電荷の粒子の密度 ρB は ρB = ρ0 である。正電荷粒子は電子に比べて重いため, その電荷密度は電子の運動に無関係に常に ρ0 とする。電子の密度が ρ = ρ0 + δρ(r, t) に変化したとすると, ポアソン方程式から

∇·E = 4πe(ρB −

(ρ0 + δρ(r, t)

))= − 4πe δρ(r, t)

の電場 E が発生する。電子ガスの速度場を v(r, t) , 圧力を P (ρ) とすると, 運動方程式は微小量の1次まで考えると

mρ0∂v

∂t= −∇P (ρ0 + δρ)− eρ0E = −κ∇δρ− eρ0E , κ =

∂P

∂ρ

∣∣∣∣ρ=ρ0

3 RPA 44

である。また, 連続の方程式は∂ρ

∂t+∇·ρv =

∂δρ

∂t+ ρ0∇·v = 0

である。したがって∂2δρ

∂t2= − ρ0∇·

∂v

∂t=

κ

m∇2δρ+

eρ0m

∇·E =κ

m∇2δρ− 4πe2ρ0

mδρ (3.41)

になる。長波長 ( q → 0 )では右辺第 1項は第 2項に比べて無視できるから∂2δρ

∂t2= − 4πe2ρ0

mδρ

これから δρ は角振動数 √4πe2ρ0m

で振動する。

3.4 ゼロ音波プラズマ振動では, クーロン相互作用が 1/r という長距離力であるため, 言い換えれば, フーリエ

変換した v(q) が 1/q2 という q = 0 で特異性を持つため, q → 0 で ω は有限な値になる。ここで,

力の到達距離が有限の場合について考えてみよう。この極端な例として

v(1, 2) = f0 δ(r1 − r2)

とすると

⟨k1σ1 , k2σ2| v |k′1σ

′1 , k

′2σ

′2⟩ = f0

δσ1σ′1δσ2σ′

2

V 2

∫d3r e−i(k1+k2−k′

1−k′2)·r

= f0δσ1σ′

1δσ2σ′

2

Vδk1+k2 ,k′

1+k′2

であるからCkσ,k′σ′ = Bkσ,k′σ′ =

f0V

(1− δσσ′

)になる。(3.31), (3.32)より

Nσ =∑+

k

Xkσ +∑−

k

Ykσ

とするとXkσ =

f0V

N+ +N− −Nσ

ℏω − Ek+q + Ek, Ykσ = − f0

V

N+ +N− −Nσ


である。これから

N+ +N− =∑+

kσ

Xkσ +∑−

kσ

Ykσ

= (N+ +N−)f0V

(∑+

k

1

ℏω − Ek+q + Ek−∑−

k

1


)

(3.33)と比較すれば, v(q) = 4πe2/q2 を v(q) = f0/2 で置き換えればよい。したがって, RPAの固有値 ω は (3.40)より

F (ω, q) = f0mk2F

8π2ℏ2q

(g(x+) + g(x−)

)= 1 (3.42)

3 RPA 45

で決まる。q → 0 のとき ω = 0 とすると (3.38)から

F (ω, q) = f0ρq2

2mω2+ · · · → 0

になり F = 1 を満たさない。ω q→0−−−→ 0 である。そこで ω と q の比は有限として q → 0 を考える。

x± =m

ℏkFq

(±ω − ℏq2

2m

)= ±x−∆, x =

mω

ℏkFq=

ω

vFq, ∆ =

q

2kF→ 0

であるから, g(x±) を ±x のまわりでテイラー展開すると ( g(x) は x の奇関数 )

g(x+) + g(x−) = g(x)− g′(x)∆+ g(−x)− g′(−x)∆

= − 2g′(x)∆ = − 8∆

(1− x

2log

∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣)これから (3.42)は

F (x) =x

2log

∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣− 1 =1

F0, F0 =

mkF2π2ℏ2

f0 (3.43)

になる。ところで, 粒子・空孔励起エネルギーの最大値 ωmax は q → 0 のとき

ωmax =ℏ2m

(2kFq + q2

)≈ ℏkFq

m= vFq

x10

1/F0

− 1

F (x)である。実数解 ω として意味があるのは ω > ωmax

を満たす解, つまり x > 1 である。右図から分かるように, f0 > 0 ならば常に x > 1 の解が存在する。この解を x(f0) とすると

ω = vFx(f0) q

であり ω は q に比例する。これは音波と同じ分散関係にあり, 絶対温度 = 0 で存在する音波という意味でゼロ音波 ( zero sound )と呼ばれる。ゼロ音波の速さは vFx(f0) であるが, これはフェルミ速度 vF

より大きい。第一音波 ( first sound )と呼ばれる普通の音波と比較してみる。(3.41)において電荷 e = 0 とす

ると∂2δρ

∂t2=

κ

m∇2δρ

これから音速を c とするとc =

√κ

m

になる。フェルミガスの場合

P =2

5

ℏ2k2F2m

ρ =2

5(3π2)2/3

ℏ2

2mρ5/3

であるからκ =

1

3

ℏ2k2Fm

, したがって c =1√3

ℏkFm

=vF√3< vF

になる。

3 RPA 46

問 3.1 (3.43)の解は近似的に

x ≈

1 + 2e−2/F0 , F0 → +0 のとき√F0/3 , F0 →∞ のとき

で与えられることを示せ。

3.5 RPAの性質複数の RPA解を区別するため, 固有値 ℏω と係数 Xph , Yph に λ を付けて ℏωλ , X

λph , Y

λph とす

る。また, Xλph あるいは Y λ

ph を成分とするベクトルをそれぞれ Xλ あるいは Y λ で表す。簡略化のため

(Xλ Y λ

) の場合 Xλ, Y λ は行ベクトル(Xλ

Y λ

)の場合 Xλ, Y λ は列ベクトル

と約束すれば, Xλ , Y λ が行ベクトルか列ベクトルかは混乱しないので, 表記上では区別しない。1. 一体演算子 F の遷移行列要素は

⟨λ|F | 0 ⟩ = ⟨ 0 |OλF | 0 ⟩ = ⟨ 0 | [Oλ , F ] | 0 ⟩ ≈ ⟨ | [Oλ , F ] | ⟩

である。[ a†α′aβ′ , a†αaβ ] = δαβ′a†α′aβ − δβα′a†αaβ′

より

⟨ | [Oλ , F ] | ⟩ =∑ph

∑αβ

fαβ

(Xλ

ph

∗⟨ |[ a†hap , a†αaβ ]| ⟩ − Y λ

ph

∗⟨ |[ a†pah , a†αaβ ]| ⟩)

=∑ph

(Xλ

ph

∗fph + Y λ

ph

∗fhp

)である。したがって

⟨λ|F | 0 ⟩ ≈ ⟨ | [Oλ , F ] | ⟩ =∑ph

(Xλ

ph

∗fph + Y λ

ph

∗fhp

)=(Xλ∗ Y λ∗

)( ff

)(3.44)

になる。ただしfph ≡ fhp

である。RPAでは一体演算子の空孔–空孔, 粒子–粒子成分は無視されるから, F は

F =∑ph

(fph a

†pah + fhp a

†hap

)(3.45)

と同等である。2. ωλ は実数であると仮定する。(3.21)の複素共役を取ると

A∗Xλ∗ +B∗Y λ∗ = ℏωλXλ∗ , BXλ∗ +AY λ∗ = − ℏωλY

λ∗

であるから (A B

B∗ A∗

)(Y λ∗

Xλ∗

)= − ℏωλ

(Y λ∗

−Xλ∗

)(3.46)

3 RPA 47

になる。O†λ が正の固有値 ωλ を与えるとき

−Oλ =∑ph

(Y λph

∗a†pah −Xλ

ph

∗a†hap

)が負の固有値 − ℏωλ の解になることを示している。

3. 規格直交性 (3.21)から

(Xλ ∗ Y λ ∗ )( A B

B∗ A∗

)(Xρ

Y ρ

)= ℏωρ

(Xλ ∗ Y λ ∗ )( Xρ

−Y ρ

)(3.47)

λ と ρ を入れ換えエルミート共役をとると

(Xλ ∗ Y λ ∗ )(A† B∗†

B† A∗†

)(Xρ

Y ρ

)= ℏωλ

(Xλ ∗ Y λ ∗ )( Xρ

−Y ρ

)(3.48)

ところで

(A†)ph p′h′ = A∗p′h′ ph = (ϵp − ϵh) δhh′ δpp′ + v ∗

p′hh′p = (ϵp − ϵh) δhh′ δpp′ + vh′p p′h = Aph p′h′

(B†)ph p′h′ = B∗p′h′ ph = v ∗

p′p h′h = v ∗pp′ hh′ = B∗

ph p′h′

つまり, A† = A, B† = B∗ であるから (3.48)は

(Xλ ∗ Y λ ∗ )( A B

B∗ A∗

)(Xρ

Y ρ

)= ℏωλ

(Xλ ∗ Y λ ∗ )( Xρ

−Y ρ

)

になる。これと (3.47)より

(ℏωλ − ℏωρ)(Xλ ∗ Y λ ∗ )( Xρ

−Y ρ

)= 0

ωλ = ωρ ならば (Xλ ∗ Y λ ∗ )( Xρ

−Y ρ

)= 0

である。RPAの固有状態は

⟨λ|ρ⟩ = ⟨ 0 |OλO†ρ| 0 ⟩ = ⟨ 0 |

[Oλ , O

†ρ

]| 0 ⟩ ≈ ⟨ |

[Oλ , O

†ρ

]| ⟩

=∑ph

(Xλ

ph

∗Xρ

ph − Yλph

∗Y ρph

)

=(Xλ ∗ Y λ ∗ )( Xρ

−Y ρ

)

したがって, ωλ = ωρ ならば ⟨λ|ρ⟩ = 0 になり直交する。一方, 規格化は ⟨λ|λ⟩ = 1 であるから, 規格直交条件を

⟨ |[Oλ , O

†ρ

]| ⟩ =

(Xλ ∗ Y λ ∗ )( Xρ

−Y ρ

)= δλρ (3.49)

のように決める。

3 RPA 48

次に (3.46)のエルミート共役をとると

(Y λ Xλ

)( A B

B∗ A∗

)= − ℏωλ

(Y λ −Xλ

)であるから

(Y λ −Xλ

)( A B

B∗ A∗

)(Xρ

Y ρ

)= − ℏωλ

(Y λ −Xλ

)(Xρ

Y ρ

)

= − ℏωλ

(Y λ Xλ

)( Xρ

−Y ρ

)

一方 (Y λ Xλ

)( A B

B∗ A∗

)(Xρ

Y ρ

)= ℏωρ

(Y λ Xλ

)( Xρ

−Y ρ

)であるから

(ℏωλ + ℏωρ)(Y λ Xλ

)( Xρ

−Y ρ

)= 0

したがって ℏωλ + ℏωρ = 0 より

(Y λ Xλ

)( Xρ

−Y ρ

)=∑ph

(Y λphX

ρph −X

λphY

ρph

)= 0 (3.50)

になる。これは⟨ | [Oλ , Oρ ] | ⟩ = ⟨ |

[O†

λ , O†ρ

]| ⟩ = 0 (3.51)

を表す。(3.49)と (3.51)から, O と O† は, 期待値ではあるが, ボソンの交換関係を満たす。4. 完備性 O†

λ と Oλ は RPA方程式の解であるが, ωλ = 0 ならば固有値が異なるから独立な解である。このとき, RPA方程式の独立な解 O†

λ と Oλ の個数は a†pah, a†hap の個数に等しい。

したがって RPAでの一体演算子

F =∑ph

(fph a

†pah + fhp a

†hap

)は a†pah, a

†hap の代わりに O†

λ , Oλ で表せる。そこで

F =∑λ

(uλO

†λ − vλOλ

)(3.52)

とする。(3.49), (3.51)から

uλ = ⟨ | [Oλ , F ] | ⟩ , vλ = ⟨ |[O†

λ , F]| ⟩ = −⟨ |

[Oλ , F

† ] | ⟩∗(3.44)を使うと

uλ =(Xλ ∗ Y λ ∗ )( f

f

)(f†)αβ = f∗βα であるから

vλ = −(Xλ Y λ

)( ff

)= −

(Y λ Xλ

)( ff

)

3 RPA 49

(3.52)にO†

λ =∑ph

(Xλ

ph a†pah − Y λ

ph a†hap

)を代入すると

F =∑λ

∑ph

((Xλ

phuλ + Y λph

∗vλ

)a†pah −

(Y λphuλ +Xλ

ph

∗vλ

)a†hap

)であるから

fph =∑λ

(Xλ

phuλ + Y λph

∗vλ

), fhp = −

∑λ

(Y λphuλ +Xλ

ph

∗vλ

)つまり (

f

f

)=∑λ

((Xλ

−Y λ

)uλ +

(Y λ ∗

−Xλ ∗

)vλ

)

=∑λ

((Xλ

−Y λ

)(Xλ ∗ Y λ ∗ )−( Y λ ∗

−Xλ ∗

)(Y λ Xλ

))( ff

)

したがって, 完備性の関係式∑λ

((Xλ

−Y λ

)(Xλ ∗ Y λ ∗ )−( Y λ ∗

−Xλ ∗

)(Y λ Xλ

))=

(1 0

0 1

)= 1 (3.53)

を得る。成分で表せば∑λ

(Xλ

phXλ ∗p′h′ − Y λ ∗

ph Y λp′h′

)= δpp′δhh′ ,

∑λ

(Xλ

phYλ ∗p′h′ − Y λ ∗

ph Xλp′h′

)= 0

になる。これと形式的に似た関係式が規格直交性 (3.49), (3.50)∑ph

(Xλ

ph

∗Xλ′

ph − Y λph

∗Y λ′

ph

)= δλλ′ ,

∑ph

(Y λphX

λ′

ph −XλphY

λ′

ph

)= 0

である。

問 3.2 1. 残留相互作用が分離型 (3.7)の場合 (3.27)より

Xλph =

Cfphℏωλ − ϵph

, Y λph = −

Cf∗phℏωλ + ϵph

である。規格化条件から |C|2 を求めよ。この Xλph, Y

λph を (3.44)に代入して

|⟨λ|F | 0 ⟩|2 =

4κ2ℏωλ

∑ph

ϵph|fph|2((ℏωλ)2 − ϵ2ph

)2

−1

= −(κ2dDRPA(ℏωλ)

dℏωλ

)−1

(3.54)

を示せ。ここで DRPA(ℏωλ) は (3.28)で定義したものである。2. ϵph が ϵ に縮退している場合

|⟨λ|F | 0 ⟩|2 =ϵ

ℏωλ

∑ph

|fph|2

を示せ。

3 RPA 50

3.6 HF基底状態の安定性gph を任意の複素数として

G =∑ph

(gpha

†pah − g∗pha

†hap

), G† = −G

とする。U = eG は U†U = e−GeG = 1 でありユニタリ演算子である。HF基底状態 | ⟩

| ⟩ = a†1 · · · a†N | vac ⟩ , aα| vac ⟩ = 0

に対して

| g ⟩ = U | ⟩ = Ua†1U†Ua†2U

† · · ·Ua†NU†U | vac ⟩ = b†1 · · · b

†NU | vac ⟩ , b†α = Ua†αU

†

を考える。G| vac ⟩ = 0 より

U | vac ⟩ =(1 +G+G2/2! + · · ·

)| vac ⟩ = | vac ⟩ , ∴ | g ⟩ = b†1 · · · b

†N | vac ⟩

になる。反交換関係

bα , b†α′ = U aα , a†α′ U† = δαα′UU† = δαα′ , bα , bα′ = b†α , b†α′ = 0

を満たすから, | g ⟩ も規格化された N 粒子系のスレーター行列式である。| g ⟩ は | ⟩ と直交しない任意のスレーター行列式を表す。| g ⟩ での H の期待値は

⟨ g |H| g ⟩ = ⟨ |e−GHeG| ⟩ = ⟨ |(H +

[H , G

]+

1

2!

[ [H , G

], G]+ · · ·

)| ⟩

であるから, ⟨ |H| ⟩ が極小値になる条件は G = 0 のとき

⟨ |[H , G

]| ⟩ = 0 , Dc = ⟨ |

[ [H , G

], G]| ⟩ > 0

である。第 1式が停留値になる条件, 第 2式が極小値になる条件 (安定性の条件 )である。

⟨ |[H , G

]| ⟩ =

∑ph

gph⟨ |[H , a†pah

]| ⟩ −

∑ph

g∗ph⟨ |[H , a†hap

]| ⟩

=∑ph

gph⟨ |Ha†pah| ⟩+∑ph

g∗ph⟨ |a†hapH| ⟩

1粒子状態 |α ⟩ が HF方程式を満たす, つまり hHF|α ⟩ = εα|α ⟩ であれば, 問 2.3より

⟨ |a†hapH| ⟩ = ⟨ p |hHF |h ⟩ = 0

になるから停留値の条件を満たす。

Dc = −⟨ |[G ,[H , G

]]| ⟩

= −∑

php′h′

⟨ |[gpha

†pah − g∗pha

†hap ,

[H , gp′h′a†p′ah′ − g∗p′h′a

†h′ap′

]]| ⟩

=∑

php′h′

gph

(−⟨ |

[a†pah ,

[H , a†p′ah′

]]| ⟩gp′h′ + ⟨ |

[a†pah ,

[H , a†h′ap′

]]| ⟩g∗p′h′

)+∑

php′h′

g∗ph

(⟨ |[a†hap ,

[H , a†p′ah′

]]| ⟩gp′h′ − ⟨ |

[a†hap ,

[H , a†h′ap′

]]| ⟩g∗p′h′

)

3 RPA 51

(3.18), (3.19)より

Aph p′h′ = ⟨ |[a†hap , [H , a†p′ah′ ]

]| ⟩ , A∗

ph p′h′ = ⟨ |[a†pah , [H , a†h′ap′ ]

]| ⟩

Bph p′h′ = − ⟨ |[a†hap , [H , a†h′ap′ ]

]| ⟩ , B∗

ph p′h′ = −⟨ |[a†pah , [H , a†p′ah′ ]

]| ⟩

であるから

Dc = gB∗g + gA∗g∗ + g∗Ag + g∗Bg∗ = ( g∗ g )M

(g

g∗

)> 0 , M ≡

(A B

B∗ A∗

)

が安定性の条件である。ただし,列 (行)ベクトル中の gは gphを成分とする列 (行)ベクトルとする。ところで

Aph p′h′ = ϵph δhh′ δpp′ + vph′ hp′ , Bph p′h′ = vpp′ hh′

であるから

(A†)ph p′h′ = A∗p′h′ ph = ϵphδhh′ δpp′ + v ∗

p′hh′p = ϵphδhh′ δpp′ + vh′p p′h = Aph p′h′

Bph p′h′ = vp′p h′h = Bp′h′ ph , ∴ (B†)ph p′h′ = B∗p′h′ ph = B∗

ph p′h′

つまり, A† = A, B† = B∗ より

M† =

(A† B∗ †

B† A∗ †

)=

(A B

B∗ A∗

)=M

であり M はエルミート行列である。M の固有値を m とすると(A B

B∗ A∗

)(x

y

)= m

(x

y

)

複素共役をとると (mは実数 )(A∗ B∗

B A

)(x∗

y∗

)= m

(x∗

y∗

), ∴

(A B

B∗ A∗

)(y∗

x∗

)= m

(y∗

x∗

)

になるから, M の固有ベクトルとして(x

y

)+

(y∗

x∗

)=

(x+ y∗

(x+ y∗)∗

), または i

(x

y

)− i

(y∗

x∗

)=

(ix− iy∗

(ix− iy∗)∗

)

つまり (g

g∗

), g = x+ y∗ または g = ix− iy∗

を採用できる。この 2つのベクトルが同時に 0になることはない。g = 0 に対して

( g∗ g )

(A B

B∗ A∗

)(g

g∗

)= m ( g∗ g )

(g

g∗

)= 2m

∑ph

|gph|2

したがって, 安定性の条件が成り立つとき, 行列M の固有値はすべて正である。エルミート行列の固有ベクトルは, 縮退があっても規格直交系にできる。また, 任意のベクトルは固有ベクトルで展開できるから cm を係数として(

f

g

)=∑m

cm

(xm

ym

), ∴ ( f∗ g∗ )M

(f

g

)=∑m

m |cm|2

3 RPA 52

になる。行列M の固有値がすべて正ならば M の期待値は常に正であり, g = f∗ とすると安定性の条件になる。RPA方程式は

M

(X

Y

)= ℏω

(X

−Y

)であるから

(X∗ Y ∗ )M

(X

Y

)= ℏωN , N = (X∗ Y ∗ )

(X

−Y

)=∑ph

(|Xph|2 − |Yph|2

)になる。ℏωN と N は実数である。ただし N = 0 の場合 ℏω は実数とは限らない。安定性の条件が成り立つとき ℏωN > 0 になるから ℏω = 0 は実数で N と ℏω は同符号である。Imω = 0 の解が存在するならば N = 0 であり, 安定性の条件は成り立たない。簡単のため µ = ph, µ′ = p′h′ で表す。38ページの分離型相互作用

Aµµ′ = ϵµδµµ′ + κfµf∗µ′ , Bµµ′ = κfµfµ′

の場合, M の固有値方程式は

ϵµxµ + κfµ∑µ′

(f∗µ′xµ′ + fµ′yµ′

)= mxµ , ϵµyµ + κf∗µ

∑µ′

(f∗µ′xµ′ + fµ′yµ′

)= myµ

になるから A = κ∑µ

(f∗µxµ + fµyµ

)とすると

xµ =Afµm− ϵµ

, yµ =Af∗µm− ϵµ

, ∴∑µ

2|fµ|2

m− ϵµ=

1

κ

で固有値mが決まる。κ を κ/2 で置き換えると TDA方程式 (3.8)になる。mが全て正であるためには

κ > 0 , または 1

κ< −

∑ph

2|fph|2

ϵph= DRPA(0) , ∴ κ >

1

DRPA(0)(3.55)

である。(3.29)で示したように, κ < 1/DRPA(0) のとき, RPA方程式には純虚数解 ω∗ = −ω が存在する。この場合, (3.27)より

|Xµ|2 =|Cfµ|2(

ℏω − ϵµ)(ℏω∗ − ϵµ

) =|Cfµ|2(

ℏω∗ + ϵµ)(ℏω + ϵµ

) = |Yµ|2 , ∴ N = 0

である。

問 3.3 分離型相互作用の場合 Dc を C, Cg で表せ。ただし

C =∑ph

(f∗phgph + fphg

∗ph

), Cg = 2

∑ph

ϵph|gph|2

である。また, シュワルツの不等式の証明と同様にして C2 ≤ −DRPA(0)Cg を示せ。以上からDc > 0 になる条件は (3.55)であることを示せ。

3 RPA 53

3.7 時間依存HFと微小振動時間に依存するシュレディンガー方程式

iℏd

dt|ψ(t) ⟩ = H|ψ(t) ⟩

を変分問題に書き直す。

S[ψ ] =

∫ t2

t1

dtL , L = ⟨ψ(t) |H − iℏ ddt|ψ(t) ⟩

とするとき, |ψ(t) ⟩ を任意として, 微小変分 | δψ ⟩ に対して

δS = S[ψ + δψ ]− S[ψ ] = 0 , ただし | δψ(t1) ⟩ = | δψ(t2) ⟩ = 0

を満たす |ψ(t) ⟩ を求めることとシュレディンガー方程式を解くことは同等である。|ψ(t) ⟩ を制限して δS = 0 を要請すると, シュレディンガー方程式の近似解が求まる。以下では |ψ(t) ⟩ として時間依存のスレーター行列式

| g(t) ⟩ = e−iEHFt/ℏeG(t)| ⟩ , G(t) =∑ph

(gph(t)a

†pah − g∗ph(t)a

†hap

)(3.56)

に制限する。g は微小であるとして Gの 3次以上を無視すると ε = ⟨ g |H | g ⟩ = ⟨ |e−GHeG| ⟩ は

ε = ⟨ |H | ⟩+ ⟨ |[H , G

]| ⟩+ 1

2⟨ |[ [H , G

], G]| ⟩

= EHF +1

2

∑µµ′

(g∗µAµµ′gµ′ + g∗µBµµ′g∗µ′ + gµB

∗µµ′gµ′ + gµA

∗µµ′g∗µ′

)ただし, 簡単のため µ = ph, µ′ = p′h′ で表す。

d

dt| g ⟩ = EHF

iℏ| g ⟩+ e−iEHFt/ℏ d

dteG(t)| ⟩ = EHF

iℏ| g ⟩+ e−iEHFt/ℏ

(G+

GG+GG

2

)| ⟩

より

⟨ g | ddt| g ⟩ = EHF

iℏ⟨ g | g ⟩+ ⟨ |

(1−G+

G2

2

)(G+

GG+GG

2

)| ⟩

=EHF

iℏ+ ⟨ |

(G+

1

2

[G , G

])| ⟩ = EHF

iℏ+

1

2⟨ |[G , G

]| ⟩

になる。⟨ |[ a†hap , a†p′ah′ ]| ⟩ = δhh′ δpp′ より

⟨ |[G , G

]| ⟩ =

∑⟨ |[gpha

†pah − g∗pha

†hap , gp′h′a†p′ah′ − g∗p′h′a

†h′ap′

]| ⟩ =

∑µ

(g∗µgµ − gµg∗µ

)したがって

L = ⟨ g |H − iℏ ddt| g ⟩ = ε− EHF −

iℏ2

∑µ

(g∗µgµ − gµg∗µ

)変分をとるとき g∗ と g は独立と見なしてよい。

δL =∑µ

(δgµ

∂ε∂gµ

+ δg∗µ∂ε∂g∗µ

)− iℏ

2

∑µ

(δg∗µ gµ + g∗µ δgµ − δgµ g∗µ − gµ δg∗µ

), δgµ =

d

dtδgµ

3 RPA 54

時間積分において部分積分すれば g∗µ δgµ −→ − g∗µ δgµ , gµ δg∗µ −→ − gµ δg∗µ になるから

δL =∑µ

(δgµ

(∂ε∂gµ

+ iℏg∗µ)+ δg∗µ

(∂ε∂g∗µ− iℏgµ

))

としてよい。δS = 0 より∂ε∂g∗µ

= iℏgµ ,∂ε∂gµ

= − iℏg∗µ (3.57)

を得る。両式は互いに複素共役であるから, 一方だけ解けばよい。A∗µµ′ = Aµ′µ , Bµµ′ = Bµ′µ より

∂ε∂g∗µ

=1

2

∑µ′

(Aµµ′gµ′ +Bµµ′g∗µ′ + g∗µ′Bµ′µ + gµ′A∗

µ′µ

)=∑µ′

(Aµµ′gµ′ +Bµµ′g∗µ′

)したがって ∑

µ′

(Aµµ′gµ′ +Bµµ′g∗µ′

)= iℏ gµ (3.58)

である。単振動解gµ(t) = g0

(Xµe

−iωt + Y ∗µ e

iωt), g0 =実数 = 0

を考えると∑µ′

(Aµµ′Xµ′ +Bµµ′Yµ′

)e−iωt +

∑µ′

(Aµµ′Y ∗

µ′ +Bµµ′X∗µ′

)eiωt = ℏω

(Xµe

−iωt − Y ∗µ e

iωt)

になるから∑µ′

(Aµµ′Xµ′ +Bµµ′Yµ′

)= ℏωXµ ,

∑µ′

(Aµµ′Y ∗

µ′ +Bµµ′X∗µ′

)= − ℏωY ∗

µ

第 2式の複素共役をとると RPA方程式(A B

B∗ A∗

)(X

Y

)= ℏω

(X

−Y

)

が求まる。

G =∑ph

(gpha

†pah − g∗pha

†hap)= g0

(O†e−iωt −Oeiωt

), O† =

∑ph

(Xpha

†pah − Ypha

†hap)

であるから, 時間に依存するスレーター行列式は

| g ⟩ = e−iEHFt/ℏ exp(g0(O†e−iωt −Oeiωt

))| ⟩

になる。g0 が微小のとき, | g ⟩ は時間依存のシュレディンガー方程式を近似的に満たす。O† が励起状態を生成する演算子であり ℏω が励起エネルギーを与えることは, 上の導出方法では

明らかではない。1次元調和振動子と比較して, これを示す。角振動数 Ω の 1次元調和振動子の生成演算子は

c† =

√mΩ

2ℏ

(x− i

mΩp

), p = − iℏ d

dx

であり [c , c†

]= 1 , H = ℏΩ

(c†c+ 1/2

), p = i

√mℏΩ2

(c† − c

)

3 RPA 55

になる。初期状態を ψ(x, 0) としてH の基底状態を平行移動した ψ(x, 0) = φ0(x− x0) とする。

ψ(x, 0) = φ0(x− x0) =∞∑k=0

1

k!(−x0)k

dk

dxkφ0(x) = exp

(−x0

d

dx

)φ0(x) = e−ix0p/ℏφ0(x)

つまりψ(x, 0) = eg0(c

†−c)φ0(x) , g0 = x0

√mΩ

2ℏである。時刻 t では

ψ(x, t) = U(t)ψ(x, 0) = U(t)eg0(c†−c)φ0(x) , U(t) = e−iHt/ℏ , UU† = 1

になる。

UeAU† =∑k

1

k!UAkU† =

∑k

1

k!

(UAU†)k = exp

(UAU†) , ∴ UeA = exp

(UAU†)U

より C(t) = UcU† とすると

ψ(x, t) = eg0(C†−C)Uφ0(x) = e−iE0t/ℏeg0(C

†−C)φ0(x) , E0 = ℏΩ/2

である。iℏ dU/dt = HU = UH より

iℏdC

dt= iℏ

dU

dtcU† + Uc

(− iℏdU

dt

)†= U

[H , c

]U† = − ℏΩUcU† = − ℏΩC

であるから C(t) = eiΩtC(0) = eiΩtc になる。したがって

ψ(x, t) = e−iE0t/ℏ exp(g0(c†e−iΩt − c eiΩt

))φ0(x)

これは任意の g0 について正確な結果であり |g0| ≪ 1 である必要はない。| g ⟩ と比較すると

c† ←→ O† , E0 ←→ EHF , Ω ←→ ω

の対応関係があるから, O† は励起状態の生成演算子, ℏω は励起エネルギーと解釈できる。ただし,

| g ⟩ は微小振動の場合に有効である。Qµ =

√ℏ gµ, Pµ = i

√ℏ g∗µ とすれば, (3.57)は正準方程式

Qµ =∂ε∂Pµ

, Pµ = − ∂ε∂Qµ

になる。時間に依存しない演算子 F の期待値

⟨F ⟩ = ⟨ g |F | g ⟩ = ⟨ |e−GFeG| ⟩

は g = g(t) により時間に依存する。

iℏd

dt⟨F ⟩ =

∑µ

(iℏ gµ

∂⟨F ⟩∂gµ

+ iℏ g∗µ∂⟨F ⟩∂g∗µ

)=∑µ

(∂ε∂g∗µ

∂⟨F ⟩∂gµ

− ∂ε∂gµ

∂⟨F ⟩∂g∗µ

)

Qµ, Pµ で表せば

d

dt⟨F ⟩ =

∑µ

(∂⟨F ⟩∂Qµ

∂ε∂Pµ

− ∂⟨F ⟩∂Pµ

∂ε∂Qµ

)=[⟨F ⟩ , ε

]PB

3 RPA 56

になる。これは解析力学のポアソン括弧である。ε は保存する。時間依存 HFは | ⟩近傍の微小振動に限らず適用できる。時間依存のスレーター行列式を (3.56)

で表すと G3 以上を考慮する必要があり, この形式では複雑になる。時間依存のスレーター行列式| t ⟩ を

| t ⟩ = b†1(t) · · · b†N (t)| vac ⟩

とし, b†α(t) に対応する 1 粒子波動関数 ψα(r, t) を求める。ψα(r, t) は 2 成分スピノールである。(2.4)と同様にすれば

ε = ⟨ t |H | t ⟩ = − ℏ2

2m

∑h

∫d3r ψ†

h(r, t)∇2ψh(r, t)

+1

2

∑hh′

∫d3rd3r′ψ†

h(r, t)ψ†h′(r

′, t) v(r, r′)ψh(r, t)ψh′(r′, t)

であり⟨ t | ∂

∂t| t ⟩ =

∑h

∫d3r ψ†

h(r, t)∂

∂tψh(r, t)

になる。ある 1つの ψ†h(r, t) だけ ψ†

h(r, t) + δψ†h(r, t) に変分すると ( ψ と ψ† は独立と見なす )

δε = − ℏ2

2m

∫d3r δψ†

h(r, t)∇2ψh(r, t)

+∑h′

∫d3rd3r′δψ†

h(r, t)ψ†h′(r

′, t) v(r, r′)ψh(r, t)ψh′(r′, t)

になる。(2.5)と同様に, 任意の 1粒子状態 |ϕα ⟩ に対して

⟨ϕα |uHF[ψ] |ϕβ ⟩ =∑h

⟨ϕα , ψh | v |ϕβ , ψh ⟩

とするとδε = ⟨ δψh|hHF[ψ] |ψh ⟩ , hHF[ψ] = −

ℏ2

2m∇2 + uHF[ψ]

になるからδL = ⟨ δψh|

(hHF[ψ]− iℏ

∂

∂t

)|ψh ⟩

したがって, 時間依存の HF方程式

iℏ∂

∂tψh(r, t) = hHF[ψ]ψh(r, t) (3.59)

を得る。(3.59)から (3.58)を導く。時間に依存しない HF方程式

hHF[φ]φα(r) = ϵαφα(r)

の解 φα(r) を用いてψh(r, t) = e−iϵht/ℏ

(φh(r) +

∑p

gph(t)φp(r)

)(3.60)

とする。|gph| ≪ 1 であるとして gph の 2次以上を無視する。(3.59)は

ϵh

(φh(r) +

∑p′

gp′hφp′(r)

)+ iℏ

∑p′

gp′hφp′(r) = hHF[ψ]

(φh(r) +

∑p′

gp′hφp′(r)

)

3 RPA 57

φ†p をかけ積分すれば

ϵhgph + iℏ gph = ⟨φp |hHF[ψ] |φh ⟩+∑p′

gp′h⟨φp |hHF[φ] |φp′ ⟩ = ⟨φp |hHF[ψ] |φh ⟩+ ϵpgph

になる。g の 2次以上を無視するから, 右辺第 2項では ⟨φp |hHF[ψ] |φp′ ⟩ を ⟨φp |hHF[φ] |φp′ ⟩ で置き換えた。

⟨φp |hHF[ψ] |φh ⟩ = −ℏ2

2m⟨φp |∇2 |φh ⟩+

∑h′

⟨φp , ψh′ | v |φh , ψh′ ⟩

の ψh′ に (3.60)を代入すると

⟨φp |hHF[ψ] |φh ⟩ = −ℏ2

2m⟨φp |∇2 |φh ⟩+

∑h′

⟨φp , φh′ | v |φh , φh′ ⟩

+∑p′h′

(gp′h′⟨φp , φh′ | v |φh , φp′ ⟩+ g∗p′h′⟨φp , φp′ | v |φh , φh′ ⟩

)= ⟨φp |hHF[φ] |φh ⟩+

∑p′h′

(gp′h′vph′ hp′ + g∗p′h′vpp′ hh′

)=∑p′h′


)であるから

iℏgph = ϵphgph +∑p′h′


)=∑p′h′

(Aphp′h′gp′h′ +Bphp′h′g∗p′h′

)になり (3.58)が求まる。

3.8 線形応答としてのRPA

周期的な時間変化をする一体の外場 (エルミート演算子)

g(t) = fe−iωt + f†eiωt , f =時間に依存しない演算子

に対する系の応答を求める。ただし, 外場は非常に弱いとして外場について 1次まで考える ( 線形応答 )。一粒子状態 |α(t)⟩ の時間発展が, 時間に依存するハートリー・フォック方程式 ( time dependent

Hartree–Fock equation, TDHF equation )

iℏ∂

∂t|α(t)⟩ =

(hHF + g(t)

)|α(t)⟩

に従うとする。密度行列ρ(t) =

N∑i=1

| i(t)⟩⟨ i(t)|

の時間変化は

iℏ∂

∂tρ(t) =

N∑i=1

iℏ∂|i(t)⟩∂t⟨i(t)|+

N∑i=1

|i(t)⟩ iℏ∂⟨i(t)|∂t

=

N∑i=1

(hHF + g(t)

)|i(t)⟩⟨i(t)| −

N∑i=1

|i(t)⟩⟨i(t)|(hHF + g(t)

)=[hHF + g(t) , ρ(t)

](3.61)

3 RPA 58

である。g(t) = 0 のときの密度行列を ρ0 とする。HF条件 (2.32)より[h0 , ρ0

]= 0 , ただし h0 ≡ hHF[ρ0] (3.62)

である。外場 g(t) が十分小さい場合, ρ(t) は ρ0 とそれほど変わらないとして

ρ(t) = ρ0 + δρ(t)

と展開する。以下では h0 と ρ0 が対角化になる HF基底

⟨α|h0 |β⟩ = ϵα δαβ , ⟨α| ρ0 |β⟩ = θα δαβ , θα =

1 for hole states

0 for particle states

で考える。(2.29)で示したように, ρ(t)2 = ρ(t) であるから, この基底では δρ の ph成分以外は 0 になる。hHF を ρ = ρ0 のまわりで展開すると

hHF[ρ(t)] = h0 + δh+ · · · (3.63)

ただしδh =

∑αβ

∂hHF

∂ραβ

∣∣∣∣ρ=ρ0

δραβ =∑p′h′

(∂hHF

∂ρp′h′

∣∣∣∣ρ=ρ0

δρp′h′ +∂hHF

∂ρh′p′

∣∣∣∣ρ=ρ0

δρh′p′

)(3.62), (3.63)から (3.61)は

iℏ∂

∂tδρ =

[h0 , δρ

]+[δh+ g , ρ0

]となる。これの ph成分は

iℏ∂

∂tδρph = ϵph δρph + δhph + gph (3.64)

g(t) の時間依存性と同様にして

δρ(t) = ρ1 exp(−iωt) + ρ†1 exp(iωt)

とする。ρ1 はエルミートである必要はない。

δραβ = ρ1αβ exp(−iωt) + ρ∗1βα exp(iωt)

であるから

ϵph δρph + δhph =∑p′h′

(Aph p′h′ ρ1p′h′ +Bph p′h′ ρ1h′p′

)exp(−iωt)

+∑p′h′

(Aph p′h′ ρ∗1h′p′ +Bph p′h′ ρ∗1p′h′

)exp(iωt)

ただしAph p′h′ = ϵph δpp′ δhh′ +

∂(hHF)ph∂ρp′h′

∣∣∣∣ρ=ρ0

, Bph p′h′ =∂(hHF)ph∂ρh′p′

∣∣∣∣ρ=ρ0

(3.65)

である。(3.64)において exp(±iωt) の係数は両辺で一致すべきであるから

ℏω ρ1ph =∑p′h′

(Aph p′h′ ρ1p′h′ +Bph p′h′ ρ1h′p′

)+ fph

− ℏω ρ∗1hp =∑p′h′

(Aph p′h′ ρ∗1h′p′ +Bph p′h′ ρ∗1p′h′

)+ f∗hp

3 RPA 59

つまり [(A B

B∗ A∗

)− ℏω

(1 0

0 −1

)](ρ1

ρ1

)= −

(f

f

)(3.66)

である。外場が無限小の極限では [(

A B

B∗ A∗

)− ℏω

(1 0

0 −1

)](ρ1

ρ1

)= 0

となる。この方程式の解は一般に ρ1 = ρ1 = 0になり,系は何の応答もしない。ところが, ω がRPA

方程式の固有振動数 ωλ に等しい場合, ρ1 = Xλ, ρ1 = Y λ という 0 でない解が存在する。つまり,

ω = ωλ である無限小の外場に対して系は共鳴する。RPAとは微小振動という近似のもとで系の固有振動を求めることである。ここで行った RPA方程式の導出は前に導いた方法よりも一般的である。

(hHF)αβ =∂EHF

∂ρβα

であるからvαα′ ββ′ =

∂(hHF)αβ∂ρβ′α′

∣∣∣∣ρ=ρ0

=∂2EHF

∂ρβα ∂ρβ′α′

∣∣∣∣ρ=ρ0

(3.67)

とすると, (3.65)で与えられる A, B は

Aph, p′h′ = ϵph δpp′ δhh′ + vph′ hp′ , Bph p′h′ = vpp′ hh′

となる。v が ρ に依存しないならば (2.27)から vαα′ ββ′ = vαα′ ββ′ となり, A と B は (3.22), (3.24)

に一致する。一方, v が ρ に依存する場合 vαα′ ββ′ = vαα′ ββ′ であり, RPA方程式においては v ではなく v を用いなければならない。

(3.66)の解 ρ1 を RPAの固有値 ωλ と固有ベクトル Xλ, Y λ で表す。Rαβ, α′β′(ω) を

Rαβ, α′β′(ω) =∑λ

(⟨ 0 |a†βaα|λ⟩⟨λ|a

†α′aβ′ | 0 ⟩

ℏω − ℏωλ + iε−⟨ 0 |a†α′aβ′ |λ⟩⟨λ|a†βaα| 0 ⟩

ℏω + ℏωλ + iε

), ε→ +0 (3.68)

で定義する。ただし, 添字 αβ, α′β′ は ph または hp である。分母の微小量 iε は ω = ±ωλ での処理を規定するが, このように取る理由は時間に依存する摂動で述べる。

gαβ =∑α′β′

Rαβ, α′β′(ω)fα′β′ =∑p′h′

(Rαβ, p′h′(ω)fp′h′ +Rαβ, h′p′(ω)fh′p′

)とすると, (3.25)から

gph =∑λ

Xλph

ℏω − ℏωλ + iε

∑p′h′

(Xλ ∗

p′h′fp′h′ + Y λ ∗p′h′fh′p′

)

−∑λ

Y λ ∗ph


∑p′h′

(Y λp′h′fp′h′ +Xλ

p′h′fh′p′)

(3.69)

=∑λ

(Z1λ

ℏω − ℏωλ + iεXλ

ph −Z2λ

ℏω + ℏωλ + iεY λ ∗ph

)

3 RPA 60

である。ただし

Z1λ =∑ph

(Xλ ∗

ph fph + Y λ ∗ph fhp

)=(Xλ ∗ Y λ ∗ )( f

f

)

Z2λ =∑ph

(Y λphfph +Xλ

phfhp

)=(Y λ Xλ

)( ff

)

同様にしてghp =

∑λ

(Z1λ

ℏω − ℏωλ + iεY λph −

Z2λ

ℏω + ℏωλ + iεXλ ∗

ph

)まとめると (

g

g

)=∑λ

(Z1λ


(Xλ

Y λ

)− Z2λ


(Y λ∗

Xλ∗

))である。RPA方程式より

M =

(A B

B∗ A∗

)− ℏω

(1 0

0 −1

)とおくと

M

(Xλ

Y λ

)= (ℏωλ − ℏω)

(Xλ

−Y λ

), M

(Y λ∗

Xλ∗

)= − (ℏωλ + ℏω)

(Y λ∗

−Xλ∗

)

であるから

M

(g

g

)=∑λ

(Z1λ

ℏω − ℏωλ + iεM

(Xλ

Y λ

)− Z2λ

ℏω + ℏωλ + iεM

(Y λ∗

Xλ∗

))

= −∑λ

[(Xλ

−Y λ

)Z1λ −

(Y λ∗

−Xλ∗

)Z2λ

]

= −∑λ

[(Xλ

−Y λ

)(Xλ ∗ Y λ ∗ )−( Y λ∗

−Xλ∗

)(Y λ Xλ

)]( ff

)= −

(f

f

)

ただし, 最後で完備性 (3.53)を使った。したがって, (3.66)の解 ρ1 は

ρ1αβ = gαβ =∑α′β′

Rαβ, α′β′(ω)fα′β′

で与えられる。これを ωλ と Xλ, Y λ で具体的に表すと, 例えば (3.69)になる。

(3.68) で定義した R は, 一般に時間に依存する摂動論から導出できる。系のハミルトニアンがH + V (t) , ただし

V (t) = eεt(F exp(− iωt) + F † exp(iωt)

), F =

∑αβ

fαβ a†αaβ

で与えられるとする。時刻 t = −∞ で系が H| 0 ⟩ = E0| 0 ⟩ である固有状態 | 0 ⟩ にあるとき, 時刻t における状態 |φ(t)⟩ を求める。t = −∞ のときH の固有状態であるためには t = −∞ では外場は 0 でなけれなばらない。そこで断熱因子 eεt , ( ε→ +0 )を導入した。t が有限では eεt = 1 であり何の変更もないが, t = −∞ では eεt → 0 であるから V → 0 になる。

|φ(t)⟩ = e−iHt/ℏ |ϕ(t)⟩

3 RPA 61

とし, 時間に依存するシュレディンガー方程式

iℏ∂

∂t|φ(t)⟩ =

(H + V (t)

)|φ(t)⟩

に代入するとiℏ

∂

∂t|ϕ(t)⟩ = VI(t)|ϕ(t)⟩ , VI(t) = eiHt/ℏV (t)e−iHt/ℏ

である。t = −∞ では |ϕ(t)⟩ = | 0 ⟩ であるから, 上式を形式的に積分すると

|ϕ(t)⟩ = | 0 ⟩+ 1

iℏ

∫ t

−∞dt1 VI(t1)|ϕ(t1)⟩

右辺の |ϕ(t1)⟩ に上式全体を代入すると

|ϕ(t)⟩ = | 0 ⟩+ 1

iℏ

∫ t

−∞dt1 VI(t1)| 0 ⟩+

1

(iℏ)2

∫ t

−∞dt1

∫ t1

−∞dt2 VI(t1)VI(t2)|ϕ(t2)⟩

この操作を繰り返せば|ϕ(t)⟩ =

(1 + U(t)

)| 0 ⟩

ただし

U(t) =1

iℏ

∫ t

−∞dt1 VI(t1) + · · ·+

1

(iℏ)n

∫ t

−∞dt1 · · ·

∫ tn−1

−∞dtn VI(t1) · · ·VI(tn) + · · ·

になり摂動 V についての展開式を得る。1次の摂動では

U(t)| 0 ⟩ = 1

iℏ

∫ t

−∞dt1 e

iHt1/ℏV (t1)e−iHt1/ℏ| 0 ⟩

=1

iℏ

∫ t

−∞dt1 e

i(H−E0−iε)t1/ℏ(F exp(− iωt1) + F † exp(iωt1)

)| 0 ⟩

= ei(H−E0)t/ℏ(

e−iωt

ℏω − (H − E0) + iεF − eiωt

ℏω +H − E0 − iεF †)| 0 ⟩

であるから

|φ(t)⟩ = e−iHt/ℏ(1 + U(t)

)| 0 ⟩ = e−iE0t/ℏ

(1 +W (t)

)| 0 ⟩

ただしW (t) =

e−iωt

ℏω − (H − E0) + iεF − eiωt

ℏω + (H − E0)− iεF †

になる。密度行列は

⟨φ(t)|a†βaα|φ(t)⟩ = ⟨ 0 |a†βaα| 0 ⟩+ ⟨ 0 |

(a†βaαW +W †a†βaα

)| 0 ⟩

= ⟨ 0 |a†βaα| 0 ⟩+ ρ1αβe−iωt + ρ∗1βαe

iωt

ただしρ1αβ = ⟨ 0 |

(a†βaα

1

ℏω − (H − E0) + iεF − F 1

ℏω + (H − E0) + iεa†βaα

)| 0 ⟩

である。

Rαβ α′β′(ω) = ⟨ 0 |(a†βaα

1

ℏω − (H − E0) + iεa†α′aβ′

− a†α′aβ′1

ℏω + (H − E0) + iεa†βaα

)| 0 ⟩ (3.70)

3 RPA 62

とするとρ1αβ =

∑α′β′

Rαβ α′β′(ω)fα′β′ (3.71)

と表せる。Rαβ α′β′(ω) を応答関数 ( response function )という。H の固有状態 |n ⟩ , ( H|n ⟩ = (E0 + ℏωn)|n ⟩ )で展開すると (3.70)は

Rαβ α′β′(ω) =1

ℏ∑n

(⟨ 0 |a†βaα|n ⟩⟨n |a

†α′aβ′ | 0 ⟩

ω − ωn + iε−⟨ 0 |a†α′aβ′ |n ⟩⟨n |a†βaα| 0 ⟩

ω + ωn + iε

)(3.72)

になる。n = 0 については, 第 1 項と第 2 項がキャンセルするから寄与しない。RPA で定義した(3.68)は, H の固有状態を RPAの固有状態で近似した応答関数である。HFの応答関数は (3.70)において, 基底状態を HF真空 | ⟩ とし

H =∑α

ϵαa†αaα

としたものである。(3.72)は

R0αβ, α′β′(ω) =

∑ph

(⟨ |a†βaα|ph−1⟩⟨ph−1|a†α′aβ′ | ⟩

ℏω − ϵph + iε−⟨ |a†α′aβ′ |ph−1⟩⟨ph−1|a†βaα| ⟩

ℏω + ϵph + iε

)

ただし |ph−1⟩ = a†pah| ⟩ である。⟨ |a†βaα|ph−1⟩ = δαp δβh より

R0αβ, α′β′(ω) = δαα′ δββ′

∑ph

(δαp δβh

ℏω − ϵph + iε− δαh δβp

ℏω + ϵph + iε

)

=δαα′ δββ′

ℏω − ϵαβ + iε

((1− θα)θβ − θα(1− θβ)

)=

δαα′ δββ′


(θβ − θα

)(3.73)

と簡単な構造をしている。実験との比較において, 遷移確率の分布を表す

Sf (ω) =∑n

|⟨n |F | 0 ⟩|2 δ(ℏω − ℏωn) =1

ℏ∑n

|⟨n |F | 0 ⟩|2 δ(ω − ωn) , ω > 0

がよく登場する。ここで | 0 ⟩ は基底状態である。

Rf (ω) = f∗Rf =∑

f∗αβ Rαβ α′β′(ω) fα′β′ =1

ℏ∑n

(⟨ 0 |F †|n ⟩⟨n |F | 0 ⟩

ω − ωn + iε− ⟨ 0 |F |n ⟩⟨n |F

†| 0 ⟩ω + ωn + iε

)

=1

ℏ∑n

(|⟨n |F | 0 ⟩|2

ω − ωn + iε−∣∣⟨n |F †| 0 ⟩

∣∣2ω + ωn + iε

)(3.74)

とすると, ε→ +0 のとき1

x± iε= P

1

x∓ iπδ(x)

であるから

ImRf (ω) = −π

ℏ∑n

(|⟨n |F | 0 ⟩|2 δ(ω − ωn)−

∣∣⟨n |F †| 0 ⟩∣∣2 δ(ω + ωn)

)| 0 ⟩ が基底状態のとき ω > 0 ならば ω + ωn > 0 になり δ(ω + ωn) = 0 である。したがって

Sf (ω) =∑n

|⟨n |F | 0 ⟩|2 δ(ℏω − ℏωn) = −1

πImRf (ω) (3.75)

である。

3 RPA 63

3.9 ベーテ・サルピーター方程式HF近似での応答関数と RPAでの応答関数の関係について考える。RPA方程式及び (3.25)から

ℏωλXλph =

∑p′h′

(Aph p′h′Xλ

p′h′ +Bph p′h′Y λp′h′

)= ϵphX

λph +

∑p′h′

(vph′ hp′Xλ

p′h′ + vpp′ hh′Y λp′h′

)= ϵphX

λph +

∑p′h′

(vph′ hp′⟨ 0 |a†h′ap′ |λ⟩+ vpp′ hh′⟨ 0 |a†p′ah′ |λ⟩

)RPAでは ⟨ 0 |a†pap′ |λ⟩ = ⟨ 0 |a†hah′ |λ⟩ = 0 であるから

ℏωλXλph = ϵphX

λph + ⟨ 0 |

∑α′β′

vpα′ hβ′a†α′aβ′ |λ⟩

したがって⟨ 0 |

∑α′β′

vpα′ hβ′a†α′aβ′ |λ⟩ = (ℏωλ − ϵph) ⟨ 0 |a†hap|λ⟩

同様にして B∗Xλ +A∗Y λ = − ℏωλYλ より

− ⟨ 0 |∑α′β′

vhα′ pβ′a†α′aβ′ |λ⟩ = (ℏωλ − ϵph) ⟨ 0 |a†pah|λ⟩

上の 2式をまとめれば

(θβ − θα) ⟨ 0 |∑α′β′

vαα′ ββ′a†α′aβ′ |λ⟩ = (ℏωλ − ϵαβ) ⟨ 0 |a†βaα|λ⟩

となる。これの複素共役をとり添字を入れ換えれば

(θβ − θα) ⟨λ|∑α′β′

vαα′ ββ′a†α′aβ′ | 0 ⟩ = − (ℏωλ + ϵαβ) ⟨λ|a†βaα| 0 ⟩

である。したがって, (3.68)と (3.73)より∑µν

µ′ν′

R0αβ µν vµν′ νµ′Rµ′ν′ α′β′

=θβ − θα


∑µ′ν′λ

vαν′ βµ′

(⟨ 0 |a†ν′aµ′ |λ⟩⟨λ|a†α′aβ′ | 0 ⟩

ℏω − ℏωλ + iε−⟨ 0 |a†α′aβ′ |λ⟩⟨λ|a†ν′aµ′ | 0 ⟩


)

=1


∑λ

(⟨ 0 |a†βaα|λ⟩⟨λ|a

†α′aβ′ | 0 ⟩ ℏωλ − ϵαβ


+ ⟨ 0 |a†α′aβ′ |λ⟩⟨λ|a†βaα| 0 ⟩ℏωλ + ϵαβ


)

=∑λ

[⟨ 0 |a†βaα|λ⟩⟨λ|a

†α′aβ′ | 0 ⟩

(1

ℏω − ℏωλ + iε− 1


)

− ⟨ 0 |a†α′aβ′ |λ⟩⟨λ|a†βaα| 0 ⟩(

1

ℏω + ℏωλ + iε− 1


)]

= Rαβ α′β′ − Sαβ α′β′


3 RPA 64

ただしSαβ α′β′ =

∑λ

(⟨ 0 |a†βaα|λ⟩⟨λ|a

†α′aβ′ | 0 ⟩ − ⟨ 0 |a†α′aβ′ |λ⟩⟨λ|a†βaα| 0 ⟩

)完備性 (3.53)より

Sph p′h′ =∑λ

(Xλ

phXλ ∗p′h′ − Y λ ∗

ph Y λp′h′

)= δpp′ δhh′ , Sph h′p′ =

∑λ

(Xλ

phYλ ∗p′h′ − Y λ ∗

ph Xλp′h′

)= 0

であり, S の定義から S∗αβ α′β′ = − Sβαβ′α′ となるから Sαβ α′β′ = δαα′ δββ′(θβ − θα) である。これ

からSαβ α′β′

ℏω − ϵαβ + iε= R0

αβ α′β′

結局, R はRαβ α′β′ = R0

αβ α′β′ +∑µν

µ′ν′

R0αβ µν vµν′ νµ′Rµ′ν′ α′β′ (3.76)

を満たす。この方程式をベーテ・サルピーター方程式 ( Bethe–Salpeter equation )という。これを使えば RPA方程式の解を求めずに R を決定できる。Vµν µ′ν′ = vµν′ νµ′ とすると (3.76)は形式的には

R = R0 +R0V R =(1−R0V

)−1

R0

である。ここで R0 , R , V は行列である。RPAの固有値は R の極であるから

det(1−R0(ω)V

)= 0

から求まる。なおR = R0 +R0V R = R0 +R0V R0 +R0V R0V R0 + · · · (3.77)

であり, V についての摂動展開を得る。

簡単な模型以前と同様にvαβ α′β′ = κfαα′fββ′

の場合, ベーテ・サルピーター方程式を解いてRPAの励起エネルギーを求める。この場合 Rαβ α′β′

を直接扱わずに

R0f (ω) =

∑αβ

α′β′

f∗αβ R0αβ α′β′(ω) fα′β′ , Rf (ω) =

∑αβ

α′β′

f∗αβ Rαβ α′β′(ω) fα′β′

を考えると扱いが簡単になる。ベーテ・サルピーター方程式より

Rf (ω) = R0f (ω) + κR0

f (ω)Rf (ω) =R0

f (ω)

1− κR0f (ω)

である。(3.73)から

R0f (ω) =

∑αβ

|fαβ |2θβ − θα

ℏω − ϵαβ + iε=∑ph

|fph|2(

1

ℏω − ϵph + iε− 1

ℏω + ϵph + iε

)(3.78)

ℏω = ± ϵph ならば ε = 0 としてよいから

R0f (ω) =

∑ph

2ϵph |fph|2

(ℏω)2 − ϵ2ph

3 RPA 65

RPA 方程式の固有値は 1 − κR0f (ω) = 0 で決まる。これは (3.28) である。RPA 応答関数の定義

(3.68)よりRf (ω) =

1

ℏ∑λ′>0

(|⟨λ′|F | 0 ⟩|2

ω − ωλ′ + iε− |⟨λ

′|F | 0 ⟩|2

ω + ωλ′ + iε

)となるから

limω→ωλ

(ℏω − ℏωλ)Rf (ω) = |⟨λ|F | 0 ⟩|2

1− κR0f (ωλ) = 0 を満たす ω = ωλ の近傍では

1− κR0f (ω) = −κ

dR0f (ωλ)

dωλ(ω − ωλ) + · · ·

と展開できる。したがって

|⟨λ|F | 0 ⟩|2 = limω→ωλ

(ℏω − ℏωλ)R0f (ω)

−κdR0

f (ωλ)

dωλ(ω − ωλ) + · · ·

= − 1

κ2dR0

f (ωλ)

d ℏωλ

である。これは (3.54)である。

3.10 Sum Rule

F をエルミート演算子とするとき energy weighted sum

S =∑n

ℏωn |⟨n |F | 0 ⟩|2 =∑n

ℏωn ⟨ 0 |F |n ⟩⟨n |F | 0 ⟩

を考える。ただし | 0 ⟩, |n ⟩ は H の正確な基底状態, 励起状態とする:

H| 0 ⟩ = E0 | 0 ⟩ , H|n ⟩ = (E0 + ℏωn) |n ⟩

である。

⟨n |[H , F ]| 0 ⟩ = ⟨n | (HF − FH) | 0 ⟩ = (E0 + ℏωn − E0) ⟨n |F | 0 ⟩ = ℏωn ⟨n |F | 0 ⟩

であるからS =

∑n

⟨ 0 |F |n ⟩⟨n |[H , F ]| 0 ⟩ = ⟨ 0 |F [H , F ]| 0 ⟩

同様に⟨ 0 |[H , F ]|n ⟩ = − ℏωn ⟨ 0 |F |n ⟩

よりS = −

∑n

⟨ 0 |[H , F ]|n ⟩⟨n |F | 0 ⟩ = −⟨ 0 |[H , F ]F | 0 ⟩

したがって

S =1

2

(⟨ 0 |F [H , F ]| 0 ⟩ − ⟨ 0 |[H , F ]F | 0 ⟩

)=

1

2⟨ 0 | [F , [H , F ] ] | 0 ⟩ (3.79)

である。

3 RPA 66

多体系の励起エネルギー ℏωn と ⟨n |F | 0 ⟩ を正確に全て求めることは不可能であるが, これらの和である energy weighted sum (3.79) は比較的容易に求めることができる場合がある。例えば, ハミルトニアン H を

H = T + V , T = − ℏ2

2m

N∑i=1

∇2i , V =

1

2

N∑i,j=1

v(i, j)

とし, F が粒子の位置 ri の関数

F =

N∑i=1

f(ri)

の場合, 相互作用 v(i, j) が運動量に依存しないとすると [V , F ] = 0 であるから

[H , F ] = [T , F ] = − ℏ2

2m

N∑i=1

[∇2i , f(ri) ] = −

ℏ2

2m

N∑i=1

(∇i ·[∇i , f(ri) ] + [∇i , f(ri) ]·∇i

)ところで

∇i f(ri) = (∇if(ri)) + f(ri)∇i

ここで,右辺第 1項の∇i は f(ri)にだけ作用する。これを明確にするため括弧をつけた。これから

[H , F ] = − ℏ2

2m

N∑i=1

(∇i ·(∇if(ri)) + (∇if(ri))·∇i

)更に

[F , [H , F ] ] = − ℏ2

2m

N∑i=1

([ f(ri) ,∇i ]·(∇if(ri)) + (∇if(ri))·[ f(ri) ,∇i ]

)

=ℏ2

m

N∑i=1

(∇if(ri))2=

ℏ2

m

∫d3r (∇f(r))

2N∑i=1

δ(r − ri)

になる。したがって

S =ℏ2

2m

∫d3r ρ(r) (∇f(r))

2, ρ(r) = ⟨ 0 |

N∑i=1

δ(r − ri)| 0 ⟩

を得る。ρ(r) は密度分布であり ∫d3r ρ(r) =粒子数 = N

である。基底状態の密度分布 ρ(r) だけ分かれば energy weighted sum S は求まる。特別な場合として f(r) = z ならば ∇f = ( 0, 0, 1 ) であるから

S =ℏ2

2m

∫d3r ρ(r) =

ℏ2

2mN

になり近似せずに求まる。energy weighted sumは応答関数 Rf を用いると (3.75)より

S =

∫ ∞

0

dω ℏω∑n

|⟨n |F | 0 ⟩|2 δ(ω − ωn) = −ℏ2

π

∫ ∞

0

dω ω ImRf (ω)

と表せる。Rf の定義 (3.74)から F = F † のとき R∗f (ω) = Rf (−ω) であるから

ImRf (ω) = − ImR∗f (ω) = − ImRf (−ω)

3 RPA 67

これからS =

ℏ2

π

∫ ∞

0

dω ω ImRf (−ω) = −ℏ2

π

∫ 0

−∞dω ω ImRf (ω)

したがってS = − ℏ2

2π

∫ ∞

−∞dω ω ImRf (ω) (3.80)

と表せる。

RPAでの energy weighted sum

SRPA ≡∑λ

ℏωλ |⟨λ |F | 0 ⟩|2

を考える。ここで ℏωλ , |λ ⟩ は RPA方程式の解である。このとき

SRPA =1

2⟨ | [F , [H , F ] ] | ⟩ (3.81)

が成り立つ。ただし, | ⟩ は HF基底状態, H は全ハミルトニアンである。

証明 BS方程式 (3.76)から

Rf = R0f + f∗R0V R0f + f∗R0V R0V R0f + · · ·

である。(3.80)を使うと RPAの energy weighted sum SRPA は

SRPA =

∞∑n=0

Sn , Sn = − ℏ2

2π

∫ ∞

−∞dω ω Im

[f∗R0(ω)

(V R0(ω)

)nf]

になる。(3.78)から S0 は

S0 = − ℏ2

2π

∫ ∞

−∞dω ω Im

∑ph

|fph|2(

1

ℏω − ϵph + iε− 1

ℏω + ϵph + iε

)

=ℏ2

2

∫ ∞

−∞dω ω

∑ph

|fph|2(δ(ℏω − ϵph)− δ(ℏω + ϵph)

)=∑ph

ϵph |fph|2 (3.82)

である。(3.73)を S1 に代入すると

S1 = − 1

2πIm∑

f∗αβfα′β′ vαβ′ βα′ (θβ − θα) (θβ′ − θα′) I1 (3.83)

ただし ( x = ℏω )

I1 =

∫ ∞

−∞dx g1(x) , g1(x) =

x

(x− ϵαβ + iε)(x− ϵα′β′ + iε)

一般に, Sn の場合これに対応する積分は

In =

∫ ∞

−∞dx gn(x) , gn(x) =

x

(x− ϵαβ + iε)(x− ϵα′β′ + iε) · · · · · ·︸︷︷︸n+1個

3 RPA 68

ϵαβ − iεK−K

である。図のような複素平面上の経路 C を考えると, gn(x) の極はこの経路内には存在しないから∫

C

dx gn(x) = 0

円周上では x = Keiθ , 0 ≤ θ ≤ π であるから∫ K

−K

dx gn(x) +

∫ π

0

dθ iKeiθgn(Keiθ) = 0

である。K →∞ のとき gn(Keiθ)→ K−ne−inθ になるから∫ K

−K

dx gn(x) + iK1−n

∫ π

0

dθ ei(1−n)θ = 0

K →∞ では左辺第 2項は n ≥ 2 のとき 0 になるから

In =

∫ ∞

−∞dx gn(x) =

− iπ , n = 1

0 , n ≥ 2

したがって n ≥ 2 のとき Sn = 0 になり

SRPA = S0 + S1

である。I1 を (3.83)に代入すると

S1 =1

2Re∑

f∗αβfα′β′ vαβ′ βα′ (θβ − θα) (θβ′ − θα′)

=1

2

∑f∗αβfα′β′ vαβ′ βα′ (θβ − θα) (θβ′ − θα′) (3.84)

以上で SRPA が求まった。次に

1

2⟨ | [F , [H , F ] ] | ⟩ = SHF + Sres

ただしSHF =

1

2⟨ | [F , [HHF , F ] ] | ⟩ , Sres =

1

2⟨ | [F , [Vres , F ] ] | ⟩

を求める。H を HFの 1粒子状態で表すと

H = HHF + Vres , HHF =∑α

ϵαa†αaα , Vres =

1

4

∑αβα′β′

vαβ α′β′ : a†αa†βaβ′aα′ :

定数 − 12

∑hh′ vhh′ hh′ は交換子には寄与しないから無視する。

[HHF , F ] =∑αβ

ϵαβ fαβ a†αaβ , ϵαβ = ϵα − ϵβ

[F , [HHF , F ] ] =∑

fαβ ϵα′β′ fα′β′ [ a†αaβ , a†α′aβ′ ]

=∑

fαβ ϵα′β′ fα′β′

(δβα′a†αaβ′ − δαβ′a†α′aβ

)であるから

SHF =1

2

∑ϵα′β′fαβ fα′β′δβα′δαβ′

(θα − θβ

)=

1

2

∑αβ

ϵβα |fαβ |2(θα − θβ

)

3 RPA 69

θα = 1 , θβ = 0 または θα = 0 , θβ = 1 であるから

SHF =∑ph

ϵph |fph|2 (3.85)

になる。したがってS0 = SHF (3.86)

である。交換子を展開すると

Sres =1

2⟨ |(2FVresF − F 2Vres − VresF 2

)| ⟩

F と Vres はエルミートであるから

⟨ |FVresF | ⟩∗ = ⟨ |FVresF | ⟩ , ⟨ |F 2Vres| ⟩∗ = ⟨ |VresF 2| ⟩

したがってS11 = ⟨ |FVresF | ⟩ , S12 = ⟨ |F 2Vres| ⟩

とするとSres =

1

2

(S11 − S12 + (S11 − S12)

∗)

である。

S11 = ⟨ |F Vres F | ⟩ =1

4

∑fαβfα′β′ vµν µ′ν′⟨ | a†αaβ : a†µa

†νaν′aµ′ : a†α′aβ′ | ⟩

(3.4), (3.23)と同様にすると

⟨ a†αaβ : a†µa†νaν′aµ′ : a†α′aβ′ ⟩ = ⟨ a†αaβ : a†µa

†νaν′aµ′ : a†α′aβ′ ⟩+ ⟨ a†αaβ : a†µa

†νaν′aµ′ : a†α′aβ′ ⟩

+ ⟨ a†αaβ : a†µa†νaν′aµ′ : a†α′aβ′ ⟩+ ⟨ a†αaβ : a†µa

†νaν′aµ′ : a†α′aβ′ ⟩

= ⟨a†αaµ′⟩⟨aν′a†α′⟩(⟨aβa†µ⟩⟨a†νaβ′⟩ − ⟨aβa†ν⟩⟨a†µaβ′⟩

)−(µ′ ↔ ν′

)⟨a†αaβ⟩ = θαδαβ , ⟨aαa†β⟩ = (1− θα)δαβ であるから

⟨ a†αaβ : a†µa†νaν′aµ′ : a†α′aβ′ ⟩ = θα (1− θβ) (1− θα′) θβ′

×(δµ′αδν′α′ − δµ′α′δν′α

)(δµβδνβ′ − δµβ′δνβ

)したがって

S11 =∑

fαβfα′β′ vββ′ αα′ θα (1− θβ) (1− θα′) θβ′

である。

⟨ a†αaβa†α′aβ′ : a†µa

†νaν′aµ′ : ⟩ = ⟨a†αaµ′⟩⟨a†α′aν′⟩

(⟨aβa†µ⟩⟨aβ′a†ν⟩ − ⟨aβa†ν⟩⟨aβ′a†µ⟩

)−(µ′ ↔ ν′

)= θαθα′ (1− θβ) (1− θβ′)

×(δµ′αδν′α′ − δµ′α′δν′α

)(δµβδνβ′ − δµβ′δνβ

)より

S12 =∑

fαβfα′β′ vββ′ αα′ θαθα′ (1− θβ) (1− θβ′)

3 RPA 70

これから

S11 − S12 =∑

fαβfα′β′ vββ′ αα′ θα (1− θβ) (θβ′ − θα′)

=∑

f∗αβfα′β′ vαβ′ βα′ (1− θα) θβ (θβ′ − θα′)

ただし α と β を入れ換え fβα = f∗αβ を使った。複素共役は, α と β , α′ と β′ を入れ換えると

(S11 − S12)∗= −

∑f∗αβfα′β′ vαβ′ βα′ (1− θβ) θα (θβ′ − θα′)

になるから

Sres =1

2

(S11 − S12 + (S11 − S12)

∗)=

1

2

∑f∗αβfα′β′ vαβ′ βα′ (θβ − θα) (θβ′ − θα′) (3.87)

である。(3.84)と比較すると S1 = Sres であるから

SRPA = S0 + S1 = SHF + Sres =1

2⟨ | [F , [H , F ] ] | ⟩

になる。

問 3.4 (3.81)を別の方法で証明する。

1. (3.85)及び (3.87)を ph成分で具体的に表わすと1

2⟨ | [F , [H , F ] ] | ⟩ = 1

2

∑(f∗phAph p′h′fp′h′ − f∗phBph p′h′f∗p′h′ − fphB∗

ph p′h′fp′h′

+ fphA∗ph p′h′f∗p′h′

)=

1

2( f∗ − f )

(A B

B∗ A∗

)(f

−f∗

)

になることを示せ。ただし, A, B はそれぞれ (3.22), (3.24)で定義したものである。なお, F はエルミートであるから fαβ = f∗βα である。

2. (3.44)より

⟨λ|F | 0 ⟩ =(Xλ∗ Y λ∗

)( f

f∗

), ⟨λ|F | 0 ⟩∗ = ( f∗ − f )

(Xλ

−Y λ

)(3.88)

である。これと RPA方程式 (3.21)から

SRPA =∑λ

ℏωλ |⟨λ |F | 0 ⟩|2

=∑λ

( f∗ − f )

(A B

B∗ A∗

)(Xλ

Y λ

)(Xλ∗ Y λ∗

)( f

f∗

)

を示せ。3. (3.88)を適当に並び替え (3.46)を使うと

SRPA = −∑λ

( f∗ − f )

(A B

B∗ A∗

)(Y λ∗

Xλ∗

)(Y λ Xλ

)( f

f∗

)

とも表せることを示せ。

3 RPA 71

4. 以上の結果と完備性 (3.53)から

SRPA =1

2( f∗ − f )

(A B

B∗ A∗

)(f

−f∗

)

を示せ。


A スレーター行列式と第二量子化A.1 置換演算子粒子 i が状態 |αi⟩ にある N 粒子系の状態を

|α(1)1 α

(2)2 · · ·α

(N)N ⟩ ≡ |α1⟩(1)|α2⟩(2) · · · |αN ⟩(N)

で表わす。上付きの添字 (i) は粒子 i の状態であることを示す。置換 p

p =

(1 2 · · · N

p(1) p(2) · · · p(N)

)

に対応する置換演算子 P を粒子 i が占めていた状態 |αi⟩ を粒子 p(i), ( p(i) = 1, 2, · · · , N ) が占めるようにする演算子として定義する, つまり

P |α(1)1 α

(2)2 · · ·α

(N)N ⟩ ≡ |α(p(1))

1 α(p(2))2 · · ·α(p(N))

N ⟩

= |α(1)p−1(1)α

(2)p−1(2) · · ·α

(N)p−1(N)⟩ (A.1)

である。ただし, p−1 は p の逆置換である。つまり, j = p(i) とすると i = p−1(j) である。(A.1)のエルミート共役をとると

⟨α(1)1 α

(2)2 · · ·α

(N)N |P †|β(1)

1 β(2)2 · · ·β

(N)N ⟩ = ⟨α(1)

p−1(1)α(2)p−1(2) · · ·α

(N)p−1(N)|β

(1)1 β

(2)2 · · ·β

(N)N ⟩

=

N∏i=1

⟨αp−1(i)|βi⟩

j = p−1(i) とすると i = p(j) であるから

⟨α(1)1 α

(2)2 · · ·α

(N)N |P †|β(1)

1 β(2)2 · · ·β

(N)N ⟩ =

N∏i=1

⟨αi|βp(i)⟩

ところで

⟨α(1)1 α

(2)2 · · ·α

(N)N |P−1|β(1)

1 β(2)2 · · ·β

(N)N ⟩ = ⟨α(1)

1 α(2)2 · · ·α

(N)N |β(1)

p(1)β(2)p(2) · · ·β

(N)p(N)⟩

=

N∏i=1

⟨αi|βp(i)⟩

したがって, P † = P−1 であり, P はユニタリ演算子である。

一粒子演算子 a の固有値 am に属する固有ケットを |am⟩ とする:

a|am⟩ = am|am⟩

添え字 m は a の固有値を適当に並べて番号付けたものであり, 粒子の番号とは無関係である。粒子 i についての演算子 a を a(i) で表すことにする。

P a(i)P †|a(1)1 a(2)2 · · · a

(N)N ⟩ = P a(i)|a(1)p(1) a

(2)p(2) · · · a

(N)p(N)⟩

右辺では粒子 i の状態は |ap(i)⟩ になるから a(i) の固有値は ap(i) である。したがって

P a(i)P †|a(1)1 a(2)2 · · · a

(N)N ⟩ = ap(i)P |a

(1)p(1) a

(2)p(2) · · · a

(N)p(N)⟩ = ap(i)|a

(1)1 a

(2)2 · · · a

(N)N ⟩


これは |a(1)1 a(2)2 · · · a

(N)N ⟩ に粒子 p(i) の演算子 a(p(i)) が作用したのと同じであるから, 演算子はユ

ニタリ変換 P によりP a(i)P † = a(p(i))

と変換される。この結果を一般化すれば, N 体系の演算子 F (a(1), · · · , a(N)) は

PF (a(1), · · · , a(N))P † = F (a(p(1)), · · · , a(p(N)))

となる。一体演算子F (a(1), · · · , a(N)) =

N∑i=1

a(i)

の場合PFP † =

N∑i=1

a(p(i)) =

N∑i=1

a(i) = F , つまり [P , F ] = 0

である。

A.2 対称化・反対称化演算子任意の置換は互換の積で表せる。積の形は一意には決まらないが, 偶置換 (偶数個の互換の積)か

奇置換 (奇数個の互換の積)かは決まる。置換 p の偶奇性を (−)p で表し

(−)p =

+ 1 p が偶置換− 1 p が奇置換

とする。N 粒子系の状態を |u⟩ とする。N !個のすべての置換演算子 P に対して

P |u⟩ = cp|u⟩ (A.2)

となる状態, つまり任意の置換演算子の固有状態 |u⟩としてどのようなものが存在しうるか考える。最初に, P として互換演算子の場合を扱う。粒子 i と j を交換する互換を Pij で表す。Pij を 2回作用すれば元に戻るから P 2

ij = 1 である。これから Pij の固有値は +1 か −1 であり, cij = ±1 となる。ところで互換 (ij) は互換の積 (1i)(2j)(12)(2j)(1i) と同じであるから

cij = c1ic2jc12c2jc1i = c21jc22jc12 = c12

cp はすべての互換に対しては同じ値 c12 になる。任意の置換は互換の積であるから, これに対するcp は c12 の積になり, 偶置換か奇置換かで偶数乗か奇数乗になる。以上から, 任意の P について(A.2)が成り立つのは, c12 = 1, c12 = −1 に対応して

P |u⟩ = |u⟩ (A.3)

P |u⟩ = (−)p|u⟩ (A.4)

という 2つの場合だけである。|u⟩ が (A.3)を満たすとき N 粒子の置換に関して対称といい, (A.4)

を満たすとき反対称という。次に, 任意の状態から (A.3)あるいは (A.4)を満たす状態を作る演算子を求める。

S =1

N !

∑P

P , A =1

N !

∑P

(−)pP


とする。ある置換演算子 P1 を掛けると

P1S =1

N !

∑P

P1P

2つの置換 P1, P を行った結果はある 1つの置換 P ′ = P1P を行ったことと同じであるから

P1S =1

N !

∑P ′

P ′ = S

同様に

P1A =1

N !

∑P

(−)pP1P =(−)p1

N !

∑P

(−)p+p1P1P =(−)p1

N !

∑P ′

(−)p′P ′ = (−)p1A

P1 を右側から掛けたときも同様であるから

P1S = SP1 = S , P1A = AP1 = (−)p1A (A.5)

となる。P1 について和をとると1

N !

∑P1

P1S = S2 =1

N !

∑P1

S = S

1

N !

∑P1

(−)p1P1A = A2 =1

N !

∑P1

(−)p1(−)p1A = A

したがってS2 = S , A2 = A (A.6)

P † = P−1 であり P と P−1 の偶奇性は同じであるから

A† =1

N !

∑P

(−)pP † =1

N !

∑P

(−)p−1

P−1 = A , S† = S (A.7)

である。N 体系の任意の状態を |α⟩ とするとき

|α⟩S ≡ S|α⟩ , |α⟩A ≡ A|α⟩

を考える。(A.5)から

P |α⟩S = PS|α⟩ = S|α⟩ = |α⟩S , P |α⟩A = PA|α⟩ = (−)pA|α⟩ = (−)p|α⟩A

したがって, |α⟩S は (A.3)を満たす対称な状態であり, |α⟩A は (A.4)を満たす反対称な状態である。この様に, S, A は任意の状態をそれぞれ対称化, 反対称化する演算子である。N 個の同種粒子系では, 個々の粒子は量子力学的には区別できない。このため次の対称化の要請

を導入する:

N 個の同種粒子系の状態は任意の粒子の置換に関して対称かまたは反対称でなければならない。つまり, (A.3)あるいは (A.4)を満たす状態だけが許される。

状態が対称である粒子をボーズ粒子, 反対称である粒子をフェルミ粒子というわけである。反対称な状態は常に存在するとは限らない。|α⟩ で粒子 i と j が同じ 1粒子状態を占めているとする。この場合 i と j を交換しても |α⟩ は不変であるから

Pij |α⟩ = |α⟩


(A.5)より互換 Pij に対しては APij = −Aである。したがって,上の両辺に Aを作用すると A|α⟩ =0 になる。反対称な状態はすべての粒子が異なる 1粒子状態を占めるとき可能になる。これがパウリの排他原理である。フェルミ粒子の多体系の規格化された状態は

|α⟩ = CNA|α(1)1 α

(2)2 · · ·α

(N)N ⟩

とおける。CN は規格化定数である。A†A = A2 = A より

⟨α|α⟩ = |CN |2⟨α(1)1 α

(2)2 · · ·α

(N)N |A|α(1)

1 α(2)2 · · ·α

(N)N ⟩

=|CN |2

N !

∑P

(−)p⟨α(1)1 α

(2)2 · · ·α

(N)N |P |α(1)

1 α(2)2 · · ·α

(N)N ⟩

=|CN |2

N !

∑P

(−)p⟨α(1)p(1)α

(2)p(2) · · ·α

(N)p(N)|α

(1)1 α

(2)2 · · ·α

(N)N ⟩

αi はすべて異なる状態であるから, p(i) = i である恒等置換以外では内積は 0 になる。したがって⟨α|α⟩ = |CN |2/N !。規格化定数は CN =

√N ! とすればよい。規格化された状態は

√N !A|α(1)

1 α(2)2 · · ·α

(N)N ⟩ = 1√

N !

∑P

(−)pP |α1⟩(1)|α2⟩(2) · · · |αN ⟩(N)

=1√N !

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

|α1⟩(1) |α1⟩(2) · · · |α1⟩(N)

|α2⟩(1) |α2⟩(2) · · · |α2⟩(N)

...

|αN ⟩(1) |αN ⟩(2) · · · |αN ⟩(N)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣である。これをスレーター行列式という。なお, 行列 A = (aij) の行列式は

det(aij) ≡∑P

(−)pa1p(1)a2p(2) · · · aNp(N) =∑P

(−)pap(1)1ap(2)2 · · · ap(N)N

で定義される。

A.3 スレーター行列式N 個のフェルミ粒子系のスレーター行列式を

|α1 · · ·αN ⟩A ≡√N !A|α(1)

1 · · ·α(N)N ⟩ , |β1 · · ·βN ⟩A ≡

√N !A|β(1)

1 · · ·β(N)N ⟩

等で表す。ケットに付けた添字 A は反対称化された N 粒子系の状態であることを示す。|α1⟩, |β1⟩などは 1粒子の状態であり, これらは互いに直交しているとする。スレーター行列式の内積は

A⟨α1 · · ·αN |β1 · · ·βN ⟩A =∑P

(−)p⟨α(1)1 · · ·α

(N)N |P |β(1)

1 · · ·β(N)N ⟩

=∑P

(−)p⟨α(1)p(1) · · ·α

(N)p(N)|β

(1)1 · · ·β

(N)N ⟩

=∑P

(−)pN∏i=1

⟨αp(i)|βi⟩


したがって, 行列式の定義から

A⟨α1 · · ·αN |β1 · · ·βN ⟩A = det(dij) , ただし dij ≡ ⟨αi|βj⟩ = δαiβj(A.8)

である。行列 (dij) の余因子を Dij とすると, 余因子展開により

A⟨α1 · · ·αN |β1 · · ·βN ⟩A =

N∑j=1

dijDij

この和は i に依らないから

A⟨α1 · · ·αN |β1 · · ·βN ⟩A =1

N

N∑i,j=1

dijDij =1

N

N∑i,j=1

⟨αi|βj⟩Dij (A.9)

である。一体演算子 F =

N∑i=1

f(i) は任意の置換演算子と交換するから反対称化演算子 A とも交換する。

さらに, A†A = A2 = A = A† であるから

A⟨α1 · · ·αN |F |β1 · · ·βN ⟩A = N ! ⟨α(1)1 · · ·α

(N)N |A†FA|β(1)

1 · · ·β(N)N ⟩

= N ! ⟨α(1)1 · · ·α

(N)N |A†F |β(1)

1 · · ·β(N)N ⟩

=

N∑j=1

∑P

(−)p⟨α(1)1 · · ·α

(N)N |P †f(j)|β(1)

1 · · ·β(N)N ⟩

=

N∑j=1

∑P

(−)p⟨αp(j)| f |βj⟩∏k =j

⟨αp(k)|βk⟩ (A.10)

i = p(j) とおく。i は 1, 2, · · · , N の値をとる。すべての P について和をとることは, i を与えたとき p(j) = i となる置換 P について和をとり, それから i について和をとることと同等であるから

A⟨α1 · · ·αN |F |β1 · · ·βN ⟩A =

N∑i,j=1

⟨αi| f |βj⟩∆ij (A.11)

ただし∆ij ≡

∑P

p(j)=i

(−)p∏k =j

⟨αp(k)|βk⟩

である。ここで f(i) = 1 とした式と (A.9)を比較すれば, ∆ij = Dij であることが分かる。次に

|Ψ⟩ ≡N∑j=1

∑β′

⟨β′| f |βj⟩|β1 · · ·βj−1β′βj+1 · · ·βN ⟩A

を考える。

A⟨α1 · · ·αN |Ψ⟩ =N∑j=1

∑β′

⟨β′| f |βj⟩A⟨α1 · · ·αN |β1 · · ·βj−1β′βj+1 · · ·βN ⟩A

上式では j 列要素は dij = ⟨αi|β′⟩ = δαi β′ であるから, j 列について余因子展開すると

A⟨α1 · · ·αN |β1 · · ·βj−1β′βj+1 · · ·βN ⟩A =

N∑i=1

δαi β′∆ij



A⟨α1 · · ·αN |Ψ⟩ =N∑i=1

N∑j=1

⟨αi| f |βj⟩∆ij

これと (A.11)を比較すると

F |β1 · · ·βN ⟩A =

N∑j=1

∑β′

⟨β′| f |βj⟩|β1 · · ·βj−1β′βj+1 · · ·βN ⟩A (A.12)

である。

A.4 生成・消滅演算子による状態の表現状態 |α⟩ のフェルミ粒子を生成する演算子を a†α とする。 a†α は反交換関係

aα , a†α′ ≡ aαa†α′ + a†α′aα = δαα′ (A.13)

aα , aα′ ≡ aαaα′ + aα′aα = 0 (A.14)

a†α , a†α′ ≡ a†αa

†α′ + a†α′a

†α = 0 (A.15)

を満たす。すべての aα に対してaα| 0 ⟩ = 0

である状態 | 0 ⟩ を真空という。N 粒子系の状態

|α1 · · ·αN ⟩a ≡ a†α1· · · a†αN

| 0 ⟩ =N∏i=1

a†αi| 0 ⟩ (A.16)

を考える。この状態はスレーター行列式と全く同じ性質を持つ。• a†αa†α = 0 であるから, 1つの一粒子状態は 1つの粒子のみが占めることができ, パウリの排他原理を満たす。

• a†α の反交換関係 (A.15)のため α1 · · ·αN を並べかえる置換 p に対して (−)p という符号変化をするから, |α1 · · ·αN ⟩a は反対称化された状態である。

• (A.8)と同じ規格直交性a⟨α1 · · ·αN |β1 · · ·βN ⟩a = det(dij) (A.17)

を満たす。これを帰納法で示す。

aα2aα1a†β1a†β2

= δα1β1aα2a†β2− aα2a

†β1aα1a

†β2

= δα1β1aα2a†β2− δα2β1aα1a

†β2

+ a†β1aα2aα1a

†β2

であるから

a⟨α1α2|β1β2⟩a = ⟨ 0 |aα2aα1a†β1a†β2| 0 ⟩ = δα1β1δα2β2 − δα1β2δα1β2 = det(dij)

したがって, N = 2 のとき (A.17)は成り立つ。次に, N = k のとき (A.17) が成り立つとしてN = k + 1 の場合を考える。反交換関係 (A.13)より

aαa†β1· · · a†βn

= δαβ1a†β2· · · a†βn

− a†β1aαa

†β2· · · a†βn

= δαβ1a†β2· · · a†βn

− δαβ2a†β1

a†β3· · · a†βn

+ a†β1a†β2



aα が a†βnの右側に来るまで続けると


=

n∑i=1

(−)i+1δαβia†β1· · · a†βi−1

a†βi+1· · · a†βn

+ (−)na†β1· · · a†βn

aα (A.18)

となる。これから

a⟨α1 · · ·αk+1|β1 · · ·βk+1⟩a

= ⟨ 0 |aαk+1· · · aα1a

†β1· · · a†βk+1

| 0 ⟩

=

k+1∑i=1

(−)i+1δα1βi⟨ 0 | aαk+1

· · · aα2︸︷︷︸k個

a†β1· · · a†βi−1

a†βi+1· · · a†βk+1︸︷︷︸

k個

| 0 ⟩

k + 1次の行列 D = (dij) の i行, j 列を除いた k 次の行列を Dij とすると, N = k の場合(A.17)が成り立つとしているから

⟨ 0 |aαk+1· · · aα2

a†β1· · · a†βi−1

a†βi+1· · · a†βk+1

| 0 ⟩ = det(D1i)

である。したがって, (−1)i+jdet(Dij) が余因子であることに注意すれば

a⟨α1 · · ·αk+1|β1 · · ·βk+1⟩a =

k+1∑i=1

d1i(−1)i+1det(D1i) = det(dij)

(A.17)は N = k + 1 の場合も成り立つ。以上から, 状態 (A.16)はスレーター行列式と全く同じ性質を持つことがわかる。

A.5 生成・消滅演算子による演算子の表現演算子を a†α , aα を用いて表す。

F ≡∑αβ

⟨α| f |β⟩ a†αaβ (A.19)

とする。(A.18)よりF |β1 · · ·βN ⟩a =

∑αβ

⟨α| f |β⟩ a†αaβ a†β1· · · a†βN

| 0 ⟩

=∑αβ

⟨α| f |β⟩a†αN∑i=1

(−1)i+1δβiβa†β1· · · a†βi−1

a†βi+1· · · a†βN

| 0 ⟩

=

N∑i=1

∑α

⟨α| f |βi⟩a†α(−1)i+1a†β1· · · a†βi−1

a†βi+1· · · a†βN

| 0 ⟩

a†α を a†βi−1の後に移動すると (−1)i−1 の符号が付くが, これは (−1)i+1 とキャンセルするから

F |β1 · · ·βN ⟩a =

N∑i=1

∑α

⟨α| f |βi⟩ a†β1· · · a†βi−1

a†αa†βi+1· · · a†βN

| 0 ⟩ (A.20)

=

N∑i=1

∑α

⟨α| f |βi⟩ |β1 · · ·βi−1αβi+1 · · ·βN ⟩a

これは (A.12)と同じ関係式である。したがって, 一体演算子 F =

N∑i=1

f(i) を生成・消滅演算子で表

すと (A.19)になる。

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