Maksymalizacja
18
Maksymalizacja Maksymalizacja
description
Maksymalizacja. Optymalizacja y = f(x 1 , x 2 , . . . ,x n ) względem g j (x 1 , x 2 , . . . ,x n ) ≤ b j or = b j j = 1, 2, . . ., m. or ≥ b j y = f(x 1 , x 2 , . . . ,x n ) → f-cja celu x 1 , x 2 , . . . ,x n → zmienne (n) - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Maksymalizacja
MaksymalizacjaMaksymalizacja
Optymalizacja y = f(x1, x2, . . . ,xn) względem
gj (x1, x2, . . . ,xn) ≤ bj
or= bj j = 1, 2, . . ., m.
or
≥ bj
y = f(x1, x2, . . . ,xn) → f-cja celu
x1, x2, . . . ,xn → zmienne (n)optymlaizacja → maks. lub min. gi(x1, x2, . . . ,xn) → ograniczenia (m)
Pochodne - powtórzeniePochodne - powtórzenie• y=f(x): FOC:
• SOC: • Stała:• Funkcja potęgowa:• Pochodna sumy:
• Iloczyn:
• Iloraz:
• Reguła łańcucha:
)(' xfdx
dy
)(''2
2
xfdx
yd
axfy )( 0)(' xfbaxxfy )( 1)(' bbaxxf
)()( xgxfy )(')(' xgxfdxdy
)()( xgxfy )(')()()(' xgxfxgxfdxdy
)(
)(
xg
xfy
2)(
)(')()()('
xg
xgxfxgxfdxdy
))(( xgfy )('))((' xgxgfdxdy
Maksymalizacja bez Maksymalizacja bez ograniczeńograniczeń
• Rozwiązanie:• Warunki pierwszego rzędu (FOC): f’(x)=0• Sprawdzić warunki drugiego rzędu (SOC): f’’(x)<0• Lokalne a globalne ekstremum
PrzykładPrzykładProfit = -40 + 140Q – 10Q2
Znajdź Q maksymalizujące zysk
Maksymalizacja-Maksymalizacja-przykładprzykład
Profit = -40 + 140Q – 10Q2
Znajdź Q, które maksymalizuje zysk
140 – 20Q = 0
Q = 7
- 20 < 0
Q* = 7max profit = -40 + 140(7) – 10(7)2
max profit = $450
dQ
dPROFIT
2
2
dQ
PROFITd
PrzykładPrzykład
COST = 15 - .04Q + .00008Q2
Znajdź Q, które minimalizuje koszt.
Minimalizacja-przykładMinimalizacja-przykład
COST = 15 - .04Q + .00008Q2
Znajdź Q, które minimalizuje koszt.
-.04 + .00016Q = 0
Q = 250
.00016 > 0
Minimalny koszt dla Q = 250min koszt(Q=250) = $10
dQ
dCOST
2
2
dQ
COSTd
Ekstrema funkcji wielu Ekstrema funkcji wielu zmiennychzmiennych
0),(g2
2
zxx
yxx
• Max
• FOC:
• SOC:
),( zxgy
),( zxgxy
x ),( zxgz
yz
0),(g zz2
2
zxz
y
0),(),(),(),(22
2
2
2
2
zxzxzxzx xz
yzxy
z
y
x
y
PrzykładPrzykład
2122
2121 681010014060 QQQQQQPROFIT
Znajdź Q1 i Q2, które maksymalizują zysk
PrzykładPrzykładZysk jest funkcją dwóch zmiennych: Q1i Q2
Q1 = 5.77 Q2 = 4.08
0616100 122
QQdQ
dPROFIT
100166
140620
21
21
2122
2121 681010014060 QQQQQQPROFIT
0620140 211
QQdQ
dPROFIT
Warunki drugiego rzęduWarunki drugiego rzędu
202
1
2
dQ
PROFITd 621
2
dQdQ
PROFITd
1622
2
dQ
PROFITd
02
21
2
22
2
21
2
dQdQ
PROFITd
dQ
PROFITd
dQ
PROFITd
(-20)(-16) – (-6)2 > 0
320 – 36 > 0
Mamy maksimum
Maksymalizacja z Maksymalizacja z
ograniczeniemograniczeniem
• Rozwiązanie: Metoda mnozników Lagrange’a• Maks. y = f(x1, x2, x3, …, xn)
• względem g(x1, x2, x3, …, xn) = b
• Zapisz f-cję Lagrange’a:
• FOC:
.),...,,(),...,,(),,...,,( 212121 bxxxgxxxfxxxL nnn
0),...,2,1(),,...,2,1(
0),,...,2,1(
...
0),,...,2,1(1
bxnxxgxnxxL
xnxxL
xnxxL
xn
x
PrzykładPrzykładMaks. zysk =
względem 20Q1 + 40Q2 = 200
2122
2121 681010014060 QQQQQQ
Znajdź Q1 i Q2, które maksymalizują zysk
PrzykładPrzykładMaks. zysk =
Przy warunku: 20Q1 + 40Q2 = 200 Podstawienie 20Q1 = 200 – 40Q2 → Q1 = 10 – 2Q2
Maks. Zysk =
2122
2121 681010014060 QQQQQQ
2222
2)222 )10(68210(10100)210(14060 QQQQQQ
56.5
22.2
1
2
Q
Q
Funkcja Lagrange’aFunkcja Lagrange’a
)2004020(
681010014060L
21
2122
2121PROFIT
QQQQQQ
0)2004020(L
0 40616100L
0 20620140L
.,, :Zmienne
.2004002 :kuprzy warunzysku acjamaksymaliz , L Maks.
2profit
122
profit
211
profit
21
21profit
QQd
d
QQdQ
d
QQdQ
d
21
21
21
21
21
21
21
166100 40
1240280 40
166100 40
620140 20
. się pozbyćaby (2) i (1) ćWykorzysta
0204020 (3)
01040166 )2(
14020620 )1(
.774- 22.2 i 56.5Gdy
22.2
56.5
20040 20 oraz
180434
-
.1661001240280
21
2
1
21
21
2121
Q
Q
QQQQ
