Metodos numericos para la dinamica de gases comprimibles

Jane Arthur

January 27, 2005

Introduccion

Las ecuaciones de la hidrodinamica astrofısica son las ecuaciones de Euler. Estas son un casoespecial de la dinamica de gases nocomprimibles noviscosos y tambien tienen aplicaciones en laaerodinamica, las ondas de detonacion y otras situaciones donde se encuentran ondas de choque.

El campo de dinamica de fluidos computacional en general busca soluciones numericas a las ecua-ciones de Navier-Stokes, las cuales, ademas del caso especial de gases nocomprimibles noviscosos,tambien incluyen la viscosidad y la conduccion termica. Desde los anos 1960 la dinamica de fluidoscomputacional se ha utilizado extensivamente en la industrıa de aviones para bajar los costos dediseno. El costo de correr una simulacion numerica en computadora es mucho menor que el deconstruir un modelo a escala y hacer pruebas en un tunel de vientos. Tambien se usa para prede-cir patrones de clima, que son demasiado grandes para simular en experimentos. En la industrıapetrolera, la dinamica de fluidos computacional se utiliza para modelar el flujo de fluidos en lasreservas petroleras, las cuales no son accesibles a mediciones directas detalladas.

Figure 1: Calculo del flujo de la presion alrededor del transbordador espacial.

En el caso de la dinamica de fluidos astrofısicos, muchos de las condiciones fısicas (es decir, ve-locidades, temperaturas, densidades, tamanos) no son faciles de simular experimentalmente. Ladinamica de fluidos computacional puede proporcionar informacion detallada a un costo bajo paraun rango amplio de parametros y en consecuencia lleva a un entendimiento mas profundo de losprocesos en el flujo.

1

Figure 2: Calculo del estado del clima sobre America del Norte.

En la gran mayorıa de las situaciones astrofısicas las velocidades tıpicas de los flujos y las escalas delongitud son muy grandes y ademas se pueden despreciar los efectos de viscosidad (una excepciones el caso de los discos de acrecion). En las aplicaciones terrestres estas condiciones son equivalentesa tener un flujo de alto numero de Reynolds, donde Re ≡ UL/ν. Estas condiciones se aplican por logeneral en el caso de un flujo supersonico, en donde la velocidad del flujo es mayor que la velocidadde sonido en el gas.

Las ecuaciones de Euler constituyen un sistema nolineal hiperbolico de ecuaciones. Tales sistemaspueden tener descontinuidades en la solucion que se forma, aun de datos iniciales suaves. La soluciona las ecuaciones de Navier Stokes completas para el mismo problema serıa una solucion suave conun gradiente muy empinado en donde cambios rapidos occurren en una region muy delgada debidoa la disipacion viscosa. Para modelar las ecuaciones completas numericamente requerirıa de muchotiempo de computacion y la aproximacion hiperbolica es muy util. Se han desarrollado muchosmetodos para la solucion numerica de los problemas hiperbolicos que son efectivos en muchasaplicaciones como la optica y la teorıa de ondas de agua ademas de la dinamica de gases.

2

¿Que es una ecuacion hiperbolica?

Las ecuaciones diferenciales parciales se pueden clasificar en elıpticas, parabolicas e hiperbolicas.Muchas de las ecuaciones importantes que surgen de situaciones fısicas se encuentran en una deestas clases. Las diferentes clases modelan diferentes tipos de fenomenos, muestran comportamientosdistintos, y requieren de diferentes tecnicas numericas para su solucion.

La clasificacion estandar se da por una ecuacion diferencial parcial lineal de segundo orden en dosvariables independientes, es decir de la forma:

a∂2q

∂x2+ b

∂2q

∂x∂y+ c

∂2q

∂y2+ d

∂q

∂x+ e

∂q

∂y+ fq = g (1)

y la clasificacion depende del signo de b2 − 4ac de la siguiente manera:

b2 − 4ac =

< 0 elıptica ej. ecuacion de Poisson: ∂2q∂x2 + ∂2q

∂y2 = g

= 0 parabolica ej. ecuacion de calor: ∂q∂t

= ∂2q∂x2

> 0 hiperbolica ej. ecuacion de onda: ∂2q∂t2

= ∂2q∂x2

(2)

Las ecuaciones parabolicas e hiperbolicas tıpicamente surgen de los problemas dependientes detiempo, entonces t (y no y) es una de las variables independientes. Las ecuaciones elıpticastıpicamente modelan fenomenos estado estacionarios y de equilibrio en un espacio donde las condi-ciones de frontera se especifican alrededor de todo el dominio.

t = 0 t = t

x

q

x x + ut0 1

1

0

Figure 3: Perfil rectangular advectado a velocidad constante.

Las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden tambien pueden ser hiperbolicas. El ejemplomas sencillo de una ecuacion hiperbolica es la ecuacion de adveccion (o conveccion) con coeficienteconstante:

∂q

∂t+ u

∂q

∂x= 0 (3)

donde u es la velocidad de adveccion constante, t es tiempo, x es la coordenada espacial y q es lavariable que se esta advectando (p.ej. la concentracion de un trazador quımico).

3

La solucion analıtica a esta ecuacion es q(x, t) = q(x − ut, 0). Es decir, cualquier perfil inicial paraq esta advectado con el flujo a la velocidad u sin cambiarse de forma ni amplitud.

Un sistema de m ecuaciones hiperbolicas lineales de primer orden, viz.

∂q

∂t+ A

∂q

∂x= 0 (4)

donde A es una matriz m×m y q es un vector de m elementos, es hiperbolico si A tiene eigenvaloresreales y tiene un conjunto completo de eigenvectores linealmente independientes.

Un sistema de ecuaciones nolineales∂q

∂t+

∂f

∂x= 0 (5)

donde f = f(q), es hiperbolico si la Jacobiana f ′(q) ≡ ∂f∂q

tiene eigenvalores reales y se puede diag-onalizar. Las ecuaciones de dinamica de gases se pueden escribir como tal sistema, con eigenvaloresu − c, u, u + c donde c es la velocidad de sonido en el gas.

Por estudiar los sistemas simples de ecuaciones hiperbolicas podemos darnos una idea de los metodosnumericos que se requieren para resolver los sistemas nolineales de ecuaciones hiperbolicas quesurgen de la hidrodinamica astrofısica.

4

Un problema bien planteado

Las ecuaciones que rigen un problema junto con las condiciones iniciales o de frontera constituyenun problema bien planteado matematicamente si se cumplen las siguientes condiciones:

1. la solucion existe

2. la solucion es unica

3. la solucion depende de manera continua en las condiciones iniciales y de frontera.

La existencia de una solucion no es problema para los sistemas de ecuaciones que provienen delas situaciones fısicas. La causa mas comun de las soluciones no unicas se debe a que las condi-ciones iniciales o de frontera no son apropriadas para el tipo de ecuacion diferencial parcial. Sino hay condiciones de frontera suficientes no habra una solucion unica. El tercer criterio requiereque un cambio pequeno en las condiciones iniciales o de frontera produce un cambio pequeno en lasolucion. Esto es importante porque las condiciones iniciales y de frontera que se meten a un algo-ritmo numerico son por su naturaleza aproximaciones debido a la manera en que una computadorarepresenta un numero de punto flotante.

Para un calculo bien planteado podemos decir de manera analoga

1. la solucion computacional existe

2. la solucion computacional es unica

3. la solucion computacional depende de manera continua en las condiciones iniciales y de fron-tera aproximadas.

5

Metodos numericos en una dimension

Para resolver una ecuacion diferencial parcial numericamente hay que discretizar la ecuacion difer-encial. Consideramos el caso mas sencillo, la ecuacion de adveccion lineal, como ilustracion.

Ecuacion de adveccion lineal

∂q

∂t+ u

∂q

∂x= 0 (6)

donde u es una constante.

Consideramos que la direccion espacial, x, esta repartida en una red o malla de puntos. Es massencillo considerar que la distancia entre puntos de la malla es constante, es decir los puntos sonigualmente espaciados con distancia h = ∆x entre puntos adyacentes. Por ejemplo, podemos dividirel intervalo 0 ≤ x ≤ X en I puntos igualmente espaciados.

PSfrag replacements

tn

tn−1

tn+1

xixi−1 xi+1

Figure 4: Nomenclatura para la discretizacion en el espacio y en el tiempo.

La otra variable independiente, el tiempo t, tambien debe ser discretizado, y escribimos el paso detiempo k = ∆t. En muchos casos el paso de tiempo no va a ser uniforme, aunque en el caso de laecuacion de adveccion lineal si lo es.

En estos apuntes hacemos referencia a los valores de la variable dependiente, Q, en un punto espacialpor un subscripto i, y en un paso de tiempo por un superscripto n, es decir, la solucion numerica ala ecuacion diferencial parcial en el punto x = xi y al tiempo t = tn es

Qni ≈ q(xi, tn) (7)

y al paso de tiempo subsecuente la solucion sera

Qn+1i ≈ q(xi, tn+1) . (8)

6

En un metodo de diferencias finitas discretizamos las derivadas que aparecen en la ecuacion difer-encial parcial para asi obtener un sistema de relaciones algebraicas entre los valores (aproximados)en todos los puntos de la malla.

En el caso de la ecuacion de adveccion lineal, si ya tenemos la solucion numerica Qni en todos los

puntos de la malla i en el paso de tiempo n queremos ahora avanzar esta solucion al siguiente pasode tiempo t = tn+1.

Desarrollamos la solucion Qn+1i en el punto xi y al tiempo tn+1 como una serie de Taylor alrededor

de Qni :

Qn+1i = Qn

i + (tn+1 − tn)∂Q

∂t

∣

∣

∣

∣

∣

n

+ O(∆t2) (9)

donde ∆t = tn+1 − tn. Por lo tanto la derivada temporal se puede escribir como una diferenciahacia adelante mas un error de truncamiento por cortar la serie de Taylor despues de la primeraderivada:

∂Q

∂t=

Qn+1i − Qn

i

∆t+ O(∆t) . (10)

En el caso de la derivada espacial hay muchas posibilidades:

1. Diferencias hacia adelante — consideramos hasta la primera derivada en la serie de Taylorpara Qn

i+1 alrededor de Qni .

∂Q

∂x=

Qni+1 − Qn

i

∆x+ O(∆x) (11)

2. Diferencias hacia atras — consideramos hasta la primera derivada en la serie de Taylor paraQn

i−1 alrededor de Qni .

∂Q

∂x=

Qni − Qn

i−1

∆x+ O(∆x) (12)

3. Diferencias centradas — consideramos hasta la segunda derivada en las series de Taylor paraQn

i+1 y Qni−1 alrededor de Qn

i y las restamos.

∂Q

∂x=

Qni+1 − Qn

i−1

2∆x+ O(∆x2) (13)

Los terminos O(∆t), O(∆x), O(∆x2), representan los terminos descartados en los desarrollos enserie y se conocen como los errores de truncamiento, es decir, son los errores introducidos portruncar las series despues de la primera (o segunda) derivada. El significado de estos terminos esque la forma de diferencias finitas de la derivada es exacta solamente a orden ∆t, ∆x, etc. Podemosver que la formula de diferencias centradas tiene error de truncamiento de orden ∆x2, mientras quelas formulas de diferencias hacia adelante y hacia atras son de orden ∆x. Esto quiere decir que lasdiferencias centradas deben ser mas exactas conforme ∆x → 0.

Entonces, podemos construir tres posibles formas de diferencias finitas de la ecuacion de adveccionlineal en base de la manera en la cual estamos aproximando la derivada espacial. Todas estas formasson explicitas, es decir avanzan la solucion al siguiente paso de tiempo por utilizar los valores en elpaso de tiempo actual.

7

Forma de diferencias hacia adelante:

Qn+1i − Qn

i

∆t+ u

(

Qni+1 − Qn

i

∆x

)

= 0 (14)

nos da el esquema

Qn+1i = Qn

i − u∆t

∆x

(

Qni+1 − Qn

i

)

(15)

Forma de diferencias hacia atras:

Qn+1i − Qn

i

∆t+ u

(

Qni − Qn

i−1

∆x

)

= 0 (16)

nos da el esquema

Qn+1i = Qn

i − u∆t

∆x

(

Qni − Qn

i−1

)

(17)

Forma de diferencias centradas:

Qn+1i − Qn

i

∆t+ u

(

Qni+1 − Qn

i−1

2∆x

)

= 0 (18)

nos da el esquema

Qn+1i = Qn

i − u∆t

2∆x

(

Qni+1 − Qn

i−1

)

(19)

Este ultimo se conoce como el esquema FTCS, es decir forward time centered space por sus siglasen ingles.

La pregunta ahora es ¿cual de estos esquemas es el mas apropriado?

En teorıa la formula de diferencias centradas da resultados mas precisos debido a que es O(∆t, ∆x2),mientras que los otros dos esquemas son O(∆t, ∆x). Requerimos que el esquema sea estable yconverge a la solucion correcta. Por estable queremos decir que los errores en la solucion aproximadadecaen con tiempo, es decir los errores no crecen cuando avanzamos al siguiente paso de tiempo.

Estabilidad — metodo de Von Neumann

La estabilidad de un algoritmo o esquema de diferencias finitas se puede estudiar por suponer queen un tiempo inicial los errores en la solucion aproximada, ξ0, se pueden escribir como la suma decomponentes de Fourier, tales que en un punto xj de la malla el error inicial esta dado por

ξ0j =

J−2∑

m=1

ameiθmj j = 2, 3, . . . , J − 1 (20)

en donde i =√−1 y θm = mπ∆x. Aqui estamos utilizando el ındice j para indicar el punto

espacial de la malla para evitar confusiones con i =√−1. Las θm son las longitudes de onda

de los J − 2 diferentes modos de error y suponemos que los errores son periodicos en el intervalox0 ≡ 0 ≤ x ≤ 1 ≡ xJ .

8

En el caso de un algorıtmo lineal, tal como la ecuacion de adveccion que estamos considerando,es suficiente estudiar la propagacion de un solo termino de error, exp(iθmj), y no la suma total.Entonces podemos ignorar el ındice m.

Para poder ver que pasa a los errores conforme avanzamos al siguiente paso de tiempo suponemosque en tiempo tn+1 el termino de error ξn+1

j se relaciona al termino de error en tiempo tn, ξnj , por

ξn+1j = Gξn

j , donde G se conoce como el factor de amplificacion del error. Obviamente, si |G| ≤ 1entonces el error no aumentara pero si |G| > 1 el error en tiempo tn+1 sera mas grande que el erroren el paso tn y por lo tanto el esquema sera inestable.

Investigamos las propiedades de estabilidad de los tres esquemas arriba mencionados para la ecuacionde adveccion lineal por sustituir la formula del error ξn

j para la solucion aproximada Qni :

Esquema de diferencias hacia adelante:

Gξnj = ξn

j − u∆t

∆x

(

ξnj+1 − ξn

j

)

(21)

donde ξnj = Gneiθj , ξn

j+1 = Gneiθ(j+1), ξnj−1 = Gneiθ(j−1), y escribimos u∆t/∆x ≡ C. Por lo tanto

Gn+1eiθj = Gneiθj − C(

Gneiθ(j+1) − Gneiθj)

(22)

es decirG = 1 + C(1 − cos θ) − iC sin θ (23)

del cual vemos que |G| ≤ 1 si 0 ≥ C ≥ −1 , ∀θ.

Esquema de diferencias hacia atras:

Por aplicar el mismo procedimiento obtenemos

G = 1 − C(1 − cos θ) − iC sin θ (24)

del cual vemos que |G| ≤ 1 si 0 ≤ C ≤ 1 , ∀θ.

Esquema de diferencias centradas:

G = 1 − 0.5C(

eiθ − e−iθ)

= 1 − iC sin θ (25)

del cual vemos que |G| ≥ 1 , ∀θ (la parte real no depende de C), entonces este esquema es inestable.

Diferencias UPWIND (contra el viento)

En la seccion anterior vimos que el esquema de diferencias hacia adelante es estable solamentemientras 0 ≥ C ≥ −1, es decir 0 ≥ u∆t/∆x ≥ −1. Puesto que ∆t y ∆x son positivas este requisitosolo se cumple cuando u < 0. De manera similar, el esquema de diferencias hacia atras es establesolo cuando u > 0.

Es decir, si u > 0 (adveccion de derecha a izquierda) debemos utilizar informacion del punto de mallaanterior (el de la izquierda), Qn

i−1, para hacer la derivada espacial, mientras si u < 0 (adveccion dederecha a izquierda) debemos utilizar Qn

i+1 (punto de malla a la derecha). Entonces, en cada casoformamos la derivada espacial por utilizar el valor en el punto de la malla en la direccion opuestaal signo de la velocidad de adveccion. Esto se conoce como upwind differencing (diferencias contrael viento) y la idea se debe a Courant, Isaacson y Rees.

9

Condicion CFL

Ademas de requerir diferencias upwind para la estabilidad de un esquema, tambien necesitamos|C| ≤ 1, es decir, |u|∆t/∆x ≤ 1. Esta condicion se conoce como la condicion Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) (1928) y se aplica generalmente a los esquemas explıcitos para ecuaciones diferencialesparciales hiperbolicas. Fısicamente, esta condicion implica que una partıcula de fluido no puedeviajar mas lejos que la distancia entre puntos de malla adyacentes (∆x) en un paso de tiempo ∆t.

10

Ecuacion de adveccion nolineal

Si la velocidad de adveccion ya no es constante sino depende de q entonces la ecuacion de adveccion

∂q

∂t+ u(q)

∂q

∂x= 0 (26)

ahora no es lineal sino es una ecuacion nolineal. La solucion no sera un perfil que se traslada convelocidad uniforme por la malla. Ahora se deforma conforme evoluciona, y en particular puedenformarse ondas de choque, a traves de las cuales la solucion es descontinua.

PSfrag replacements

q

x

a

bt = 0 t = t1

t = t2

Figure 5: Formacion de una solucion multivaluada de la ecuacion de Burgers no viscosa.

Cuando la velocidad de propagacion del perfil, u, depende de q, entonces los puntos en el perfil quetienen valores de q mas altos (digamos) estan advectado mas rapido y pueden rebasar partes delperfil que tienen valores de q (es decir, u) menores. Para que la ecuacion tenga una solucion unica(y por lo tanto un resultado fısico) es necesario postular una onda de choque, a traves de la cual q(y por lo tanto u(q)) cambia de manera descontinua.

PSfrag replacements

u

x

choque

descontinuidad

Figure 6: Formacion de una onda de choque.

La ecuacion de adveccion nolineal mas sencilla es la ecuacion de Burgers noviscosa en una dimension

∂u

∂t+ u

∂u

∂x= 0 (27)

y el esquema de diferencias finitas “upwind” lo mas sencillo para esta ecuacion serıa

Un+1i = Un

i − ∆t

∆xUn

i

(

Uni − Un

i−1

)

(28)

11

donde Uni ≈ u(xi, tn) y estamos suponiendo que u > 0. Sin embargo, resulta que este esquema

propaga un perfil de onda de choque con la velocidad equivocada.

Por otro lado, si escribimos la ecuacion de Burgers en la forma

∂u

∂t+

∂(12u2)

∂x= 0 (29)

y la discretizamos utilizando un esquema de diferencias “upwind” de la siguiente manera:

Un+1i = Un

i − ∆t

2∆x

[

(Uni )2 − (Un

i−1)2]

(30)

entonces la onda de choque se propaga con la velocidad correcta, s = 12(uL + uR), donde uL, uR son

las velocidades a la izquierda y derecha de la descontinuidad, respectivamente.

Para soluciones suaves los dos esquemas numericos son equivalentes, pero cuando hay problemascon ondas de choque no lo son.

Forma de ley de conservacion

Cuando una solucion tiene descontinuidades, la ecuacion diferencial parcial no es valida puesto quelos gradientes de las cantidades se vuelven infinitos. Sin embargo, la forma integral de la ecuacionsi es valida. Tales formas integrales son la forma fundamental de las leyes de conservacion, y paralos sistemas fısicos surgen de los principios fısicos.

En una dimension espacial una ley de conservacion toma la forma

∂q(x, t)

∂t+

∂f [q(x, t)]

∂x= 0 (31)

donde q(x, t) es la cantidad conservada y f(q) es la funcion de flujo. Por ejemplo, si q(x, t) representala densidad de un gas en un tubo unidimensional (masa por unidad longitud si se habla de unadimension espacial), entonces la masa total de gas en una seccion de tubo entre x1 y x2 en tiempot es ∫ x2

x1

q(x, t)dx ≡ masa en [x1, x2] en tiempo t . (32)

Si las paredes del tubo no permiten la entrada ni salida de gas (es decir, son impermeables) y no secrea ni se destruye masa dentro de la seccion [x1, x2], entonces la masa en esta seccion solamentepuede cambiarse debido al flujo de gas a traves de los puntos terminales x1 y x2.

Sean F1(t) el flujo de gas por x1 (masa por segundo) y F2(t) el flujo de gas por x2. Puesto que lamasa total en la seccion [x1, x2] cambia solamente debido a estos flujos entonces tenemos

tasa de cambio de masa en [x1, x2] = diferencia en flujos en los puntos terminales (33)

es decir,d

dt

∫ x2

x1

q(x, t)dx = F1(t) − F2(t) (34)

En este ejemplo, el flujo de gas es simplemente u(x, t)q(x, t) en un punto dado (x, t), es decir lamasa de gas que fluye por el punto x por unidad de tiempo. Entonces la funcion de flujo en estecaso es f [q(x, t)] = u(x, t)q.

12

En los casos cuando la funcion de flujo se puede determinar directamente del valor de la cantidadconservada, es decir no depende de la posicion ni del tiempo, tenemos que flujo = f(q) y se diceque la ecuacion es autonoma. Esto si es el caso en el ejemplo de la ecuacion de Burgers noviscosa(en donde q ≡ u) y tambien el sistema de ecuaciones de la dinamica de gases (donde las cantidadesconservadas son la masa, el momento y la energıa total).

Para un flujo autonomo general la ley de conservacion se puede escribir

d

dt

∫ x2

x1

q(x, t)dt = f [q(x1, t)] − f [q(x2, t)] = −f [q(x, t)]|x2

x1. (35)

Esta ecuacion debe ser valida en cualquier intervalo [x1, x2] , ∀x1, x2.

Si q y f son funciones suaves podemos escribir

d

dt

∫ x2

x1

q(x, t)dt = −∫ x2

x1

∂

∂xf [q(x, t)]dx (36)

o bien∫ x2

x1

{

∂

∂tq(x, t)dt +

∂

∂xf [q(x, t)]

}

dx = 0 (37)

Puesto que la integral tiene que ser igual a cero para todo x1, x2, entonces el integrando debe seridenticamente igual a cero. Esto nos da la forma diferencial de la ley de conservacion

∂q

∂t+

∂f

∂x= 0 . (38)

Regresando ahora a la ecuacion de Burgers noviscosa, vemos que la ecuacion

∂u

∂t+ u

∂u

∂x= 0 . (39)

no esta en forma de conservacion pero la ecuacion

∂u

∂t+

∂

∂x(1

2u2) = 0 . (40)

si lo es, con f(u) = 12u2.

Los metodos “upwind” para estas dos ecuaciones son (considerando u > 0)

Un+1i = Un

i − ∆t

∆xUn

i

(

Uni − Un

i−1

)

(41)

y

Un+1i = Un

i − ∆t

∆x

(

1

2(Un

i )2 − 1

2(Un

i−1)2)

. (42)

En soluciones suaves ambos metodos son exactos a primer orden y dan resultados comparables.Cuando la solucion tiene una onda de choque el primer metodo produce la velocidad de choqueequivocada.

El metodo noconservativo se puede escribir

Un+1i = Un

i − ∆t

∆x

[

1

2(Un

i )2 − 1

2(Un

i−1)2]

+1

2∆t∆x

(

Uni − Un

i−1

∆x

)2

(43)

13

que corresponde al metodo conservativo mas el termino

1

2∆t∆x

(

Uni − Un

i−1

∆x

)2

(44)

que aproxima la integral temporal de

1

2∆x

(

∂u

∂x

)2

. (45)

Para las soluciones suaves ∂u/∂x esta acotada entonces el efecto de este termino disminuye con-forme ∆x → 0. Sin embargo, para una onda de choque ∂u/∂x crece sin lımite y entonces estetermino nunca se vuelve despreciable, aun cuando ∆x → 0. Por lo tanto estos dos metodos no sonequivalentes y resultan en velocidades de choque distintas.

14

Metodos de volumen finito

Descontinuidades, es decir ondas de choque, causan dificultades computacionales para los esquemasde diferencias finitas puesto que la ecuacion diferencial subyacente no es valida cerca de descon-tinuidades. Un planteamiento alternativo basado en la forma integral de las leyes de conservaciones el de los metodos de volumen finito.

En lugar de aproximaciones puntuales en los puntos de malla, repartimos el dominio espacial enceldas de malla y aproximamos el promedio de celda de q. Esto corresponde a la integral total deq sobre una celda de malla dividida por el volumen de la celda. Los valores promedios en una celdase modifican en cada paso de tiempo por el flujo a traves de los bordes de la celda. El reto principalde este metodo es encontrar buenas funciones de flujo numericas que aproximan las funciones deflujo actuales razonablemente bien basadas solamente en los datos disponibles — es decir los valorespromedios en las celdas.

Nombramos la celda i de la malla Ci = (xi−1/2, xi+1/2), entonces Qni aproxima el valor promedio en

la celda Ci en el tiempo tn:

Qni =

∫ xi+1/2

xi−1/2q(x, tn)dx

∫ xi+1/2

xi−1/2dx

≡ 1

∆x

∫

Ci

q(x, tn)dx . (46)

Si q(x, t) es una funcion suave entonces esta integral concuerda con el valor de q en el punto mediodel intervalo a orden O(∆x2). Por otro lado, si q(x, t) tiene una descontinuidad dentro de celda Ci

entonces por utilizar la idea de volumen finito Qni ∆x aproxima la integral de q en la celda Ci, la

cual solamente cambia debido a los flujos a traves de los bordes de la celda. Por extension, el valortotal de q dentro del dominio computacional entero se conservera.

La forma integral de una ley de conservacion general es

d

dt

∫

Ci

q(x, t)dx = f [q(xi−1/2, t)] − f [q(xi+1/2, t)] . (47)

Por integrar en tiempo desde tn hasta tn+1, el siguiente paso de tiempo, obtenemos

∫

Ci

q(x, tn+1)dx −∫

Ci

q(x, tn)dx =∫ tn+1

tnf [q(xi−1/2, t)]dt −

∫ tn+1

tnf [q(xi+1/2, t)]dt (48)

Despejando y dividiendo por el volumen de la celda, ∆x, da

1

∆x

∫

Ci

q(x, tn+1)dx =1

∆x

∫

Ci

q(x, tn)dx− 1

∆x

[∫ tn+1

tnf [q(xi−1/2, t)]dt −

∫ tn+1

tnf [q(xi+1/2, t)]dt

]

(49)

lo cual sugiere un metodo numerico de forma

Qn+1i = Qn

i − ∆t

∆x

(

F ni+1/2 − F n

i−1/2

)

(50)

donde Fi±1/2 son las aproximaciones a los flujos promediados en tiempo a traves de los bordesx = xi±1/2:

Fi±1/2 ' 1

∆t

∫ tn+1

tnf [q(xi±1/2, t)]dt . (51)

15

PSfrag replacements

tn

tn+1

QniQn

i−1 Qni+1

Qn+1i+1

Fni−1/2 Fn

i+1/2

Figure 7: Flujos en las interfaces entre celdas en un metodo de volumen finito.

El reto es encontrar la mejor aproximacion a estos flujos promediados basados en los valores prome-dios Qn

i en cada celda.

En general es razonable suponer que cada flujo en la interfaz entre celdas depende solamente de losvalores promedios de Qn en las celdas a los dos lados:

F ni−1/2 = F(Qn

i−1, Qni )

F ni+1/2 = F(Qn

i , Qni+1)

El metodo numerico especıfico que se obtiene depende de como escogemos la formula F .

Cabe notar que muchos metodos numericos se pueden considerar igualmente como aproximacionesde diferencias finitas y como aproximaciones de volumen finito.

Funcion de flujo F

Una formula sencilla para la funcion de flujo F podrıa ser un promedio aritmetico sencillo

F ni−1/2 = F(Qn

i−1, Qni ) =

1

2

[

f(Qni−1) + f(Qn

i )]

F ni+1/2 = F(Qn

i , Qni+1) =

1

2

[

f(Qni ) + f(Qn

i+1)]

que nos da el algoritmo

Qn+1i = Qn

i − ∆t

2∆x

[

f(Qni+1) − f(Qn

i−1)]

. (52)

Desafortunadamente, este metodo es inestable para problemas hiperbolicos — en el caso cuandof(q) = uq (u constante), la ecuacion subyacente es simplemente la ecuacion de adveccion linealy el metodo numerico aqui se reduce al metodo FTCS que ya vimos es inestable. Para la mismaecuacion de adveccion lineal, si definimos el flujo numerico de la siguiente manera

F ni−1/2 = uQn

i−1

F ni+1/2 = uQn

i

donde u > 0 es constante, entonces recuperamos el metodo “upwind” de primer orden. Si descono-cemos el signo de la velocidad de adveccion, u, podemos utilizar

F ni−1/2 = u−Qn

i + u+Qni−1

donde u+ = max(u, 0) y u− = min(u, 0).

16

Flujo Lax-Friedrichs

Se define el flujo numerico por

F(Qni−1, Q

ni ) =

1

2

[

f(Qni−1) + f(Qn

i )]

− ∆x

2∆t(Qn

i − Qni−1) (53)

que nos da el algoritmo

Qn+1i =

1

2(Qn

i−1 + Qni+1) −

∆t

2∆x

[

f(Qni+1) − f(Qn

i−1)]

. (54)

Este esquema parece mucho al metodo FTCS pero se ha reemplazado Qni por el promedio 1

2(Qn

i−1 +Qn

i+1).

Con esta definicion del flujo numerico parece que estamos modelando una ecuacion diferencial parcialdistinta, es decir

∂q

∂t+

∂f

∂x= β

∂2q

∂x2(55)

con β = 0.5(∆x)2/∆t. Esta es la ecuacion de adveccion-difusion. Si ∆t/∆x esta fijo entonces elcoeficiente de difusion β → 0 conforme ∆x → 0. Por lo tanto la ecuacion de adveccion-difusiontodavıa es consistente con la ecuacion hiperbolica original en el lımite de ∆x pequena. El terminoadicional se puede interpretar como una difusion numerica que amortigua las inestabilidades delmetodo FTCS y lleva a un esquema estable para numero de Courant C < 1. Sin embargo, estemetodo, debido a Lax y Friedrichs, agrega mas difusion que es necesario y esto da origen a resultadosque son muy borrosos.

Metodo Lax-Wendroff

El metodo anterior debido a Lax y Friedrichs es un metodo de primer orden, es decir O(∆t, ∆x).Podemos lograr una exactitud de orden mayor por utilizar mejores aproximaciones a la funcion deflujo. Para la ecuacion de adveccion lineal

∂q

∂t+

∂f

∂x= 0 (56)

donde f(q) = uq y u es constante, entonces definiendo el flujo numerico por

F ni−1/2 =

1

2u(Qn

i−1 + Qni ) − 1

2

∆t

∆xu2(Qn

i − Qni−1) , (57)

y de manera similar F ni+1/2, nos da un metodo estable de segundo orden. Esta definicion del flujo

es basicamenteF n

i−1/2 = flujo promediado + flujo difusivo .

La diferencia entre esta definicion de los flujos y la de Lax y Friedrichs es que el termino difusivoconcuerda exactamente con el termino de la segunda derivada en la expansion en serie de Taylor deq(x, tn+1):

q(x, tn+1) = q(x, tn) + ∆t∂q

∂t

∣

∣

∣

∣

∣

tn

+1

2(∆t)2 ∂2q

∂t2

∣

∣

∣

∣

∣

tn

+ . . .

17

y utilizando la definicion de la operadora a partir de la ecuacion de adveccion lineal

∂q

∂t= −u

∂q

∂x

la expansion se vuelve

q(x, tn+1) = q(x, tn) − u∆t∂q

∂x

∣

∣

∣

∣

∣

x,tn

+1

2u2(∆t)2 ∂2q

∂x2

∣

∣

∣

∣

∣

x,tn

+ . . . .

Por lo tanto el algoritmo numerico es

Qn+1i = Qn

i − ∆t

2∆xu(Qn

i+1 − Qni−1) +

1

2u2(

∆t

∆x

)2

(Qni−1 − 2Qn

i + Qni+1) (58)

la cual es O(∆t2, ∆x2).

Ahora aplicamos el metodo de Lax-Wendroff (es decir, un metodo que requiere que reemplazamosla segunda derivada temporal de la expansion de Taylor con una derivada espacial) a la formaconservativa de la ecuacion de Burgers no viscosa.

∂u

∂t+

∂f

∂x= 0 , (59)

donde f = 12u2. Ya que f es nolineal, es mas complicado reemplazar la segunda derivada temporal

∂2u/∂t2 con una derivada espacial equivalente.

Tomando la derivada temporal de la ecuacion de Burgers noviscosa, obtenemos

∂2u

∂t2= − ∂2f

∂x∂t= − ∂

∂x

(

∂f

∂t

)

, (60)

y ademas,∂f

∂t= A

∂u

∂t= −A

∂f

∂x, (61)

en donde A = ∂f/∂u. Entonces, para la ecuacion de Burgers, A = u. Utilizando las relacionesanteriores, obtenemos

∂2u

∂t2=

∂

∂x

(

A∂f

∂x

)

. (62)

Ahora hay que discretizar ∂(A ∂f/∂x)/∂x. El esquema de Lax Wendroff resulta ser

Un+1i = Un

i − 1

2

∆t

∆x

(

F ni+1 − F n

i−1

)

+ (63)

+1

2

(

∆t

∆x

)2[

Ai+1/2

(

F ni+1 − F n

i

)

− Ai−1/2

(

F ni − F n

i−1

)]

.

Para la ecuacion de Burgers, Ai+1/2 = Ui+1/2 = 12(Ui + Ui+1), etc. Este esquema tiene un error de

truncamiento de O(∆t2, ∆x2) y la condicion de establilidad es |u ∆t/∆x|max ≤ 1.0.

El calculo explicito del Jacobiano A en las posiciones intermedias i − 1/2 y i + 1/2 hace que esteesquema no es muy economico computacionalmente. Un calculo mas economico se obtiene porreemplazarlo con un algoritmo equivalente de dos etapas:

U∗

i+1/2 =1

2

(

Uni + Un

i+1

)

− 1

2

∆t

∆x

(

F ni+1 − F n

i

)

, (64)

18

y

Un+1i = Un

i − ∆t

∆x

(

F ∗

i+1/2 − F ∗

i−1/2

)

. (65)

Este esquema genera una solucion intermedia U ∗i+1/2, (en (n+1/2)∆t nominalmente), la cual permite

la evaluacion de F ∗i+1/2, etc.

Historicamente, este algoritmo de dos pasos ha sido muy exitoso en predecir el comportamiento deflujos compresibles no viscosos.

Este metodo da mejores resultados para soluciones suaves que el metodo “upwind” pero cuandohay descontinuidades produce oscilaciones. La razon es que el termino dominante en el error detruncamiento (del desarrollo en serie de Taylor) es la derivada de tercer orden. Esto es un terminodispersivo.

Disipacion y dispersion numerica

Las soluciones a las ecuaciones hiperbolicas se pueden caracterizar como la superposicion de ondas dediferentes familias (numeros de onda) que se propagan sin perdida de amplitud (no hay disipacion) niseparacion por numero de onda (no hay dispersion). Es importante que cualquier metodo numericopara resolver una ecuacion hiperbolica no introduce disipacion numerica o dispersion numerica.

Un algoritmo numerico es equivalente a la ecuacion diferencial parcial mas el error de truncamiento.Un analisis de los terminos dominantes (es decir, de orden lider) en el error de truncamiento permitededucir las propiedades disipativas y dispersivas del esquema numerico. Los terminos que tienenderivadas pares dan origen a los algoritmos disipativos, mientras que las derivadas impares llevan aalgoritmos dispersivos.

Por esta razon, el metodo “upwind” de primer orden es disipativo mientras que el metodo LaxWendroff de segundo orden es dispersivo.

Metodo de Godunov

Godunov (1959) propuso un metodo para resolver las ecuaciones de Euler nolineales que revolu-cionizo el campo de dinamica de fluidos computacional por evitar muchas de las dificultades quelos metodos anteriores habıan encontrado. El metodo de Godunov se puede aplicar tambien a lasecuaciones hiperbolicas mas sencillas que hemos examinado hasta ahora.

El planteamiento de volumen finito nos lleva al esquema numerico general

Qn+1i = Qn

i − ∆t

∆x(F n

i+1/2 − F ni−1/2) (66)

en donde F ni−1/2, F n

i+1/2 son aproximaciones a los flujos a traves de los bordes de las celdas x = xi−1/2,x = xi+1/2 promediados por el paso de tiempo, p.ej.

F ni−1/2 ' 1

∆t

∫ tn+1

tnf [q(xi−1/2, t)]dt . (67)

19

Si pudieramos resolver la ley de conservacion de manera exacta en el intervalo de tiempo [tn, tn+1]con los datos iniciales qn(x, tn) para dar qn(x, t) para tn ≤ t ≤ tn+1, entonces podrıamos definir elflujo numerico por

F ni−1/2 '

1

∆t

∫ tn+1

tnf [qn(xi−1/2, t)]dt . (68)

lo cual es facil calcular una vez que se conoce qn(xi−1/2, t).

El metodo de Godunov consiste en

1. Utilizar los valores promedios en cada celda Qni para construir una funcion constante por

pedazos qn(x, tn) definido ∀x. Es decir, en la celda i tenemos q(x, tn) = Qni cuando x ∈ Ci

PSfrag replacements

qn(x, tn)x

Qni−2 Qn

i−1 Qni Qn

i+1 Qni+2

Figure 8: Funcion qn(x, tn) constante por pedazos.

2. Utilizar estos datos iniciales constantes por pedazos para encontrar la solucion exacta a laecuacion hiperbolica y evolucionar para obtener qn(x, tn+1) en el tiempo ∆t mas tarde.

3. Calcular el promedio de esta funcion en cada celda para obtener los nuevos valores promediosen cada celda

Qn+1i =

1

∆x

∫

Ci

qn(x, tn+1)dx

y repetir para el siguiente paso de tiempo.

El paso mas complicado es el paso 2, es decir resolver la ecuacion hiperbolica. Sin embargo, puestoque estamos empezando de datos constantes por pedazos podemos tratar cada interfaz entre celdascomo un problema de Riemann, es decir la ley de conservacion junto con los datos iniciales constantespor pedazos con una sola descontinuidad de salto

q0(x) =

{

qL x < 0qR x > 0

(69)

En el caso mas sencillo de la ecuacion de adveccion lineal, resolver el problema de Riemann en lainterfaz entre los estados qL y qR da

q∗(qL, qR) =

{

qL u > 0qR u < 0

donde q∗ representa la solucion exacta al problema de Riemann en la posicion de la interfaz, es decirx/t = 0.

20

Por lo tanto, el flujo numerico es

F (qL, qR) = uq∗(qL, qR) =

{

uqL u ≤ 0uqR u ≥ 0

o bien F (qL, qR) = u+qL + u−qR, donde u+ = max(u, 0), u− = min(u, 0). Esto nos da el metodo“upwind” que ya hemos visto.

En el caso de la ecuacion de adveccion nolineal (la ecuacion de Burgers noviscosa) la solucion alproblema de Riemann depende de la relacion entre uL y uR:

Caso uL > uR y u > 0: Hay una solucion unica

Figure 9: Resolucion del problema de Riemann uL > uR: una onda de choque avanza a la derecha.

u∗(x, t) =

{

uL x < stuR x > st

(70)

donde s = 0.5(uL + uR) es la velocidad del choque.

Caso uL < uR y u > 0: Hay un numero infinito de soluciones.

Figure 10: Resolucion del problema de Riemann uL < uR: una onda de rarefaccion avanza a laderecha.

Una es otra vez una descontinuidad propagandose con velocidad s. En este caso la solucion esinestable a perturbaciones y corresponde a un choque que viola la condicion de entropıa.

Otra posible solucion es una onda de rarefaccion

u∗(x, t) =

uL x < uLtx/t uL ≤ x ≤ uRtuR x > uRt

(71)

21

Esta solucion si es estable a perturbaciones.

Despues de haber resuelto el problema de Riemann, el flujo numerico en la interfaz entre celdas seda por F (uL, uR) = f [u∗(uL, uR)] donde u∗(uL, uR) es la solucion al problema de Riemann entre uL

y uR evaluada en x/t = 0 (es decir, la posicion de la interfaz entre las celdas).

Para las ecuaciones de Euler de la dinamica de gases tambien son posibles las soluciones de ondade choque y onda de rarefaccion pero en una forma mas complicada. Tambien existe una terceraposibilidad — una descontinuidad de contacto — a traves de la cual la presion y velocidad soncontinuas pero la densidad puede variar.

El numero de Courant para este metodo debe ser lo suficiente pequeno para que las ondas que salende la resolucion de los problemas de Riemann en los dos bordes de una celda no puedan alcanzar elborde opuesto dentro de un paso de tiempo.

Figure 11: Cuando C < 0.5 las ondas resultantes de la solucion al problema de Riemann no seinteractuan.

C < 0.5: no hay interaccion de ondas:

C < 1: ondas interactuan: Las ondas interactuan pero las ondas resultantes no llegan a lasinterfaces entre las celdas, entonces los flujos en las interfaces quedan constantes en el paso detiempo.

Figure 12: Cuando C < 1.0 las ondas resultantes de la solucion al problema de Riemann puedeninteractuarse pero no llegan a las interfaces entre las celdas.

El numero de Courant para un esquema para resolver una ecuacion hiperbolica nolineal debe sat-isfacer

C = maxi

∣

∣

∣

∣

ui∆t

∆x

∣

∣

∣

∣

≤ 1 (72)

donde se evalua a traves de la malla entera.

22

Las ecuaciones de Euler para la dinamica de gases

La tecnica general para obtener las ecuaciones de la dinamica de gases es considerar un pequenovolumen de control a traves del cual se mueve el gas, con el requisito de que la masa y la energıase conservan y que la tasa de cambio de los componentes del momento lineal son iguales a loscomponentes correspondientes de la fuerza aplicada.

En una dimension, el volumen de control se reduce a una seccion de lınea y las ecuaciones de ladinamica de gases son

Conservacion de masa: ∂ρ∂t

+ ∂ρu∂x

= 0 (73)

Conservacion de momento: ∂ρu∂t

+ ∂∂x

(p + ρu2) = 0 (74)

Conservacion de energıa: ∂E∂t

+ ∂∂x

u(E + p) = 0 (75)

donde ρ, u, p son la densidad, velocidad y presion del gas y E es la energıa total (interna mascinetica), es decir E = p

γ−1+ 1

2ρu2, suponiendo una ecuacion politropica de estado p = κργ , con

κ constante y γ igual al cociente de calores especıficos a volumen y presion constantes. Para ungas monatomico (p.ej. hidrogeno atomico o ionizado) γ = 5/3, lo cual se usa frecuentemente en loscalculos astrofısicos. Por otro lado, en aplicaciones terrestres se utiliza γ = 1.4, que corresponde aun gas diatomico, p.ej. aire.

Si introducimos el vector

q =

ρρuE

≡

q1

q2

q3

(76)

entonces el sistema nolineal de las ecuaciones de la dinamica de gases en una dimension se puedeescribir en forma de ley de conservacion diferencial de la siguiente manera sencilla:

∂q

∂t+

∂f

∂x= 0 (77)

donde el vector de flujos, f , esta dado por

f =

ρuρu2 + pu(E + p)

≡

q2

q22/q1 + (γ − 1)[q3 − 0.5q2

2/q1]q2[q3 + (γ − 1)(q3 − 0.5q2

2/q1)]/q1

(78)

Hay que recordar que la forma diferencial de la ley de conservacion es valida solamente para solu-ciones suaves. Si existen descontinuidades (es decir, ondas de choque) entonces solamente la formaintegral de la ley de conservacion es valida. Esto nos sugiere que un enfoque de volumen finitopara resolver el sistema de las ecuaciones de Euler en forma de conservacion resultara en la solucionnumerica mas exacta.

Metodo de Godunov para las ecuaciones de Euler

Para aplicar el metodo de Godunov al sistema de ecuaciones de Euler necesitamos determinar lasolucion al problema de Riemann q∗(qL,qR) en cada interfaz entre celdas x/t = 0 y luego evaluarel flujo numerico utilizando estos valores de las variables de estado. Esto es mucho mas complicadopara las ecuaciones de Euler que para la ecuacion de adveccion nolineal.

23

Problema de Riemann para las ecuaciones de Euler

La matriz Jacobiana f ′(q) ≡ ∂f/∂q es

f ′(q) =

0 1 0(γ−3)

2

q22

q21

(3 − γ) q2

q1γ − 1

−γq2q3

q21

+ (γ−1)2

q32

q31

γq3

q1− 3(γ−1)

2

q22

q21

γq2

q1

, (79)

la cual tiene eigenvalores u − c, u, u + c, donde c2 = γp/ρ.

Los eigenvalores representan las direcciones caracterısticas a lo largo de las cuales las variables carac-terısticas se mantienen constantes. En el caso de las ecuaciones de Euler las variables caracterısticasse conocen como los invariantes de Riemann y para un gas politropico son

1-invariantes de Riemann: entropıa,s; u + 2cγ−1

2-invariantes de Riemann: u, p3-invariantes de Riemann: entropıa,s; u − 2c

γ−1

(80)

La entropıa, s = p/ργ es una constante dentro de una onda de rarefaccion pero es descontinua atraves de una onda de choque o una descontinuidad de contacto.

PSfrag replacements

gas a presion alta

onda de rarefaccion

gas enrarecido

desc

ontinu

idad

deco

ntac

to

onda

decho

que

gas nocomprimido

gascompr

imido

x

t

ρL,uL, pL ρR,uR, pR

ρ∗L,u∗, p∗

ρ∗R,u∗, p∗

Figure 13: Estructura tıpica de la solucion a un problema de Riemann.

La solucion a un problema de Riemann para las ecuaciones de Euler tıpicamente consta de unadescontinuidad de contacto y dos ondas nolineales, cada una de las cuales puede ser o una onda dechoque o una onda de rarefaccion dependiendo de los estados qL, qR. En el marco de referencia delgas la descontinuidad de contacto es estacionario y el rango de influencia de las ondas resultantesque viajan a la izquierda y la derecha esta acotado por las velocidades −c y +c.

La velocidad u y presion p son constantes a traves de la descontinuidad de contacto.

Si los datos del problema inicial de Riemann son qL = (ρL, uL, pL) y qR = (ρR, uR, pR), entonces losdos estados constantes nuevos que aparecen en la solucion de Riemann detras de las ondas nolinealesse escriben q∗

L = (ρ∗L, u∗, p∗) y q∗

R = (ρ∗R, u∗, p∗). A traves de la descontinuidad de contacto, la cual

separa estos dos estados uniformes, solamente hay un salto en la densidad.

La solucion al problema de Riemann consta de encontrar los dos estados intermedios q∗L, q∗

R talesque qL y q∗

L estan conectados por una onda nolineal que se mueve a la izquierda en el marco

24

PSfrag replacements

u

p

(pR, uR)

(pL, uL)

(p∗, u∗)

Figure 14: La interseccion de los locus de Hugoniot da el estado intermedio p∗, u∗.

de referencia del gas y qR y q∗R estan conectados por una onda que se mueve hacia la derecha

en el marco de referencia del gas. Los dos estados intermedios q∗L y q∗

R estan separados por unadescontinuidad de contacto. Esta solucion se encuentra por construir los locus de Hugoniot en elplano p−u (puesto que p y u son constantes a traves de una descontinuidad de contacto). Un locusde Hugoniot consta de todos los estados p, u que se pueden alcanzar a partir de los datos inicialespL, uL (o pR, uR) por una onda de choque u onda de rarefaccion que se mueva hacia la izquierda(derecha). La interseccion de los locus de Hugoniot de los estados iniciales pL, uL y pR, uR en elplano p − u da el estado intermedio p∗, u∗. En la practica, este punto de interseccion se encuentrapor iteraciones.

Una vez que se conocen p∗, u∗ es facil encontrar ρ∗L, ρ∗

R dependiendo de si la onda nolineal es unaonda de choque u onda de rarefaccion.

Detras de una onda de choque, las condiciones Rankine-Hugoniot son validas, las cuales se obtienenpor considerar la conservacion de masa, momento y energıa total a traves del choque. Cuando laonda nolineal es una rarefaccion, podemos utilizar el hecho de que la entropıa s = p/ργ es unaconstante dentro de la onda de rarefaccion para calcular la densidad intermedio.

Una vez que tenemos los estados intermedios necesitamos determinar cual estado es valido en laposicion de la interfaz entre las dos celdas para poder evaluar el flujo numerico aqui. Entonces,necesitamos conocer las velocidades espaciales de las ondas que se mueven hacia la izquierda yhacia la derecha y tambien la velocidad de la descontinuidad de contacto. El estado apropriado enla interfaz entre celdas resultante del problema de Riemann sera entonces uno de qL, q∗

L, q∗R, qR.

En los calculos practicos no necesitamos la estructura completa de la solucion al problema deRiemann, solamente las condiciones que resultan en la interfaz x/t = 0. Se ha desarrollado una granvariedad de resolvedores de Riemann aproximados que se pueden emplear para hacer los calculosmas eficientes (es decir, computacionalmente mas baratos).

All Shock Solver: Ignora la posibilidad de ondas de rarefaccion y encuentra una solucion deRiemann basada en la suposicion de dos ondas de choque separadas por una descontinuidad de

25

PSfrag replacements

onda-1

onda-1

onda-1

onda-1

onda-3

onda-3

onda-3

onda-3

onda-2

onda-2

onda-2

onda-2

x

x x

x

tt

t t

ρL,uL, pL

ρL,uL, pL

ρL,uL, pL

ρL,uL, pL

ρR,uR, pR

ρR,uR, pR

ρR,uR, pR

ρR,uR, pR

ρ∗L,u∗, p∗

ρ∗L,u∗, p∗

ρ∗L,u∗, p∗

ρ∗L,u∗, p∗

ρ∗R,u∗, p∗

ρ∗R,u∗, p∗

ρ∗R,u∗, p∗

ρ∗R,u∗, p∗

a) b)

c) d)

Figure 15: Estado intermedio en la posicion de la interfaz entre celdas: a) u−c > 0; b) u > 0,u < c;c) u < 0,|u| < c; d) u + c < 0.

contacto. La desventaja de este metodo es si realmente debe haber ondas de rarefaccion en lasolucion estas no se calcularan de manera adecuada.

Osher Solver: Toma el enfoque opuesto y trata las dos ondas como rarefacciones.

Roe Solver: Determina una solucion de Riemann aproximada al sistema de leyes de conservacionlinealizadas. Puede llevar a choques que violan la condicion de entropıa (los llamados choques derarefaccion).

El metodo de Godunov se puede interpretar como un metodo de reparticion de diferencias de flujos.

26

Flux-Vector Splitting

Un enfoque alternativo al metodo de Godunov para obtener los flujos en las interfaces entre lasceldas en un metodo de volumen finito es el metodo de flux-vector splitting.

En este metodo el flujo evaluado con el valor promedio en la celda, f(Qi) esta partido en una parteque viaja a la izquierda, f−i , y una parte que viaja a la derecha, f+

i , donde f(Qi) = f−i + f+i . El flujo

en la interfaz entre celdas Ci−1 y Ci se define como

Fi−1/2 = f+i−1 + f−i (81)

(y se define Fi+1/2 de manera similar) basado en la parte de cada flujo centrado, f(Qi), que seacerca a la interfaz.

PSfrag replacements

Qi−1 Qi Qi+1

f(Qi−1) f(Qi) f(Qi+1)

f−i−1 f+i−1 f−i f+

i f−i+1 f+i+1

Fi−1/2 Fi+1/2

Figure 16: Flujo en la interfaz entre celdas en un metodo de flux-vector splitting.

Esto se conoce como flux-vector splitting puesto que es el vector de flujos, f(Qi), que se parte, enlugar de la diferencia de flujos como en el caso del metodo de Godunov. Nota que para sistemaslineales de coeficientes constantes (ej. un sistema de ecuaciones de adveccion lineales) los dosmetodos son identicos. Sin embargo, para sistemas nolineales, tales como las ecuaciones de Euler,los dos metodos son matematicamente distintos.

Queda definir como se parte el flujo centrado. Hay varias maneras de hacerlo. A continuacion sedescriben dos de los metodos mas robustos.

Flujo Steger-Warming

Este metodo de partir el flujo centrado aprovecha de una propiedad especial de las ecuaciones deEuler, es decir el hecho de que son homogeneas de grado 1 en el caso de un gas politropico. Estoquiere decir que f(αq) = αf(q) para cualquier escalar α. Como consecuencia, es verdad que

f(q) = f ′(q)q . (82)

Para las ecuaciones de Euler, si Ai ≡ f ′(Qi) es la matriz Jacobiana entonces

f(Qi) = AiQi . (83)

y una manera natural de partir el flujo esta dada por

f−i = A−

i Qi

f+i = A+

i Qi

27

donde A−i es la matriz asociada a los eigenvalores negativos de Ai and A+

i es la asociada a loseigenvalores positivos de Ai.

Puesto que se puede escribir Ai = RiΛiR−1i , donde Λi es la matriz diagonal de eigenvalores de Ai

y Ri es la matriz cuyas columnas son los eigenvectores derechas linealmente independientes de Ai

entoncesAi = Ri(Λ

−

i + Λ+i )R−1

i = RiΛ−

i R−1i + RiΛ

+i R−1

i = A−

i + A+i (84)

donde Λ−

i (Λ+i ) son las matrices diagonales cuyos elementos λk son todos negativos (positivos).

Nota que en general ∂f+(Qi)/∂q 6= Ai+ y ∂f−/∂q 6= Ai

− aunque ∂f/∂q = A.

En el caso de un flujo supersonico, |u| > c, todos los eigenvalores (u − c, u, u + c) tienen el mismosigno; o todos son positivos (u > c) o todos son negativos (u < −c). Cuando el flujo es subsonico,|u| < c, algunos de los eigenvalores son positivos y algunos son negativos.

La matriz de eigenvectores derechas es

R =

1 1 1u u + c u − cu2

2u2

2+ uc + c2

γ−1u2

2− uc + c2

γ−1

(85)

Esta manera de partir el vector de flujos no tiene un comportamiento suave en el punto sonico,cuando el numero de Mach, M ≡ u/c, es igual a 1. Esto corresponde al momento cuando lavelocidad caracterıstica, u − c o u + c cambia de signo.

Una particion del flujo que tiene mejor comportamiento en el punto sonico fue construido por VanLeer.

Van Leer Flux-vector splitting

La particion del vector de flujo no es unica. Van Leer construyo un metodo de flux-vector splittingcon las siguientes restricciones deseadas para limitar las posibles opciones. Este metodo de partirel vector de flujos es una construccion matematica que posee ciertas propiedades deseadas:

1. f = f+ + f−

2. f+, f− deben ser funciones contınuas de q con

f+ ≡ f flujo supersonico, u ≥ c (M ≥ 1)f− ≡ f flujo supersonico, u ≤ −c (M ≤ −1)

(86)

Estas dos condiciones tambien estan satisfechas por los flujos partidos de Steger y Warming.

3.df+

dqdebe tener eigenvalores todos ≥ 0

df−

dUdebe tener eigenvalores todos ≤ 0

(87)

Esto no fue considerado por Steger y Warming.

28

4. Los componentes de f+, f− deben reflejar la simetrıa de f con respecto al numero de Machpositivo y negativo.

f+k (M) = ±f−k (−M)

si fk(M) = ±fk(−M)(88)

es decir, el componente-k de f+ tiene el mismo comportamiento con respecto al numero deMach que el componente-k del flujo entero f .

El metodo de Steger y Warming hace esto automaticamente por su simetrıa.

5. La cantidaddf±

dq(89)

debe ser continua. Este requisito no esta satisfecho por el metodo de Steger y Warming, y porlo tanto tiene problemas en los puntos sonicos ±u = c y los puntos de estancamiento u = 0.

6. La cantidaddf±

dq(90)

debe asegurar que uno de sus eigenvalores desaparece para flujos subsonicos, |M | < 1. Esdecir, un flujo subsonico tiene eigenvalores mixtos y por lo tanto los flujos partidos debenfaltar por lo menos un eigenvalor.

Esto restringe las opciones para las funciones de los flujos partidos.

7. Los flujos f , f+, f− se pueden escribir como funciones de M , el numero de Mach. Si f es unpolinomio en M , tambien f+, f− deben ser polinomios en M , del menor grado posible. Estohace unica la particion.

El vector del flujo entero se puede escribir en terminos de ρ, c =√

γp/ρ y M = u/c

f(ρ, c, M) =

ρcM

ρc2(

M2 + 1γ

)

ρc3M(

M2

2+ 1

γ−1

)

. (91)

y el flujo positivo en el caso de eigenvalores mixtos que cumple los criterios de Van Leer (1)–(7) es

f+ =

ρc(

M+12

)2

ρc(

M+12

)2[(γ − 1)u + 2c]/γ

ρc(

M+12

)2[(γ − 1)u + 2c]2/[2(γ2 − 1)]

, 1 ≥ M ≥ 0 (92)

y el flujo negativo sigue def− = f − f+ . (93)

Cuando la velocidad del flujo es supersonica, |M | > 1, entonces no hay necesidad de partir el flujoporque todos los eigenvalores son del mismo signo. Por lo tanto, si M > 1 tenemos f+ = f y f− = 0,mientras que si M < −1 tenemos f− = f y f+ = 0.

Esta manera de partir los flujos evita las descontinuidades en los puntos sonicos y por lo tanto notiene la cantidad de disipacion numerica en estas regiones que tiene el flujo de Steger y Warming.

Otro metodo robusto de partir los flujos es el Marquina flux.

29

Desventajas de Flux-Vector Splitting (cualquier metodo)

Los metodos de Flux-Vector Splitting pueden representar muy bien los choques estacionarios. Sonesquemas bastante robustos y relativamente faciles de programar siguiendo la receta descrita ar-riba. Sin embargo, tienen bastante disipacion numerica en las descontinuidades de contacto: unadescontinuidad de contacto estacionaria puede llegar a extenderse mas y mas con cada paso detiempo.

Numero de Courant para las ecuaciones de Euler

El numero de Courant para esquemas para resolver las ecuaciones de dinamica debe satisfacer

C = maxi

∣

∣

∣

∣

∣

(|u| + c)∆t

∆x

∣

∣

∣

∣

∣

≤ 1 (94)

puesto que las velocidades caracterısticas para este sistema nolineal son u − c, u y u + c.

30

Metodos de orden mayor

Como son descritos en las secciones anteriores, los metodos de Godunov y flux-vector splitting sonexactos solamente a primer orden en el espacio (y en el tiempo), puesto que suponen que los datosson constantes por pedazos en las celdas de la malla. Esto resulta en mucha difusion numerica,dando poca exactitud y resultados borrosos.

Una exactitud de segundo orden en el espacio se puede lograr por suponer una mejor representacionde la solucion, p.ej., lineal por pedazos en vez de constante por pedazos.

Podemos construir una funcion lineal por pedazos de la forma

qn(x, tn) = Qni + σn

i (x − xi) , xi ≤ x ≤ xi+1 (95)

donde xi = punto medio de la celda = 0.5(xi+xi+1) y σni = pendiente en la solucion en la celda Ci.

Esta definicion da el valor de qn en el punto medio de la celda, xi, igual a Qni , el valor promedio en

la celda. Tambien, el valor promedio de qn(x, tn) en la celda Ci es Qni — obtenido por integrar qn

sobre la celda — independientemente del pendiente σni . Esto es muy importante para un metodo

conservativo para las leyes de conservacion.

PSfrag replacements

Qni

x

ii − 1i − 2 i + 1 i + 2

Figure 17: Reconstruccion de la solucion lineal por pedazos.

Seleccion de pendiente

Escoger σni ≡ 0 da una funcion constante por pedazos. Queremos escoger pendientes no nulos de

tal manera que σni aproxima la derivada verdadera ∂q/∂x en la celda Ci.

Tres posibilidades obvias son:

Pendiente centrado: σni =

Qni+1

−Qni−1

2hFromm

Pendiente hacia atras: σni =

Qni −Qn

i−1

hBeam-Warming

Pendiente hacia adelante: σni =

Qni+1

−Qni

hLax-Wendroff

31

Resulta que estas aproximaciones solo son razonables en regiones donde la solucion es suave. Cercade una descontinuidad el utilizar estos pendientes dara origen a oscilaciones en la solucion debidoa super- y subestimaciones en la solucion numerica.

Por ejemplo, si consideramos el caso de adveccion sencilla de un perfil de descontinuidad

Qni =

{

1 i ≤ I/20 i > I/2

y calculamos los pendientes utilizando el metodo hacia adelante, entonces en el perfil despues de

PSfrag replacements

I/2 I/2 + 1

Figure 18: Pendientes sencillos hacia adelante.

un paso ∆t = ∆x/2u vemos que hay una superestimacion en la celda I/2 mientras que en la celdaI/2 + 1 hay una subestimacion.

PSfrag replacements

I/2 I/2 + 1

Figure 19: Super y subestimacion de la solucion advectada.

Los demas pendientes sencillos tienen problemas parecidos.

Debemos prestar atencion a la manera en que se comporta la solucion en la celda Ci al escoger laformula para el pendiente σn

i . Cuando la solucion es suave queremos algo como uno de los pendientessencillos descritos anteriormente. Cerca de una descontinuidad queremos acotar el pendiente porutilizar un valor mas pequeno para asi evitar oscilaciones.

Hoy en dia existen un gran numero de metodos para acotar el pendiente (slope-limiter methods) —la idea inicial fue introducido por Van Leer en su esquema MUSCL.

Pendiente minmod

σni = minmod

(

Qni − Qn

i−1

h,Qn

i+1 − Qni

h

)

(96)

32

donde la funcion minmod esta definida por

minmod(a, b) =

a si |a| < |b| y ab > 0b si |b| < |a| y ab > 00 si ab ≤ 0

(97)

es decir, si a y b tienen el mismo signo entonces este metodo escoge el que tiene el modulo maspequeno, si tienen signos distintos entonces escoge 0.

Este metodo esencialmente compara los pendientes hacia adelante y hacia atras y escoge aquel quetiene magnitud mas chica. Si los dos pendientes tienen signo distinto entonces Qn

i debe ser unmaximo o un mınimo local y por lo tanto se escoge σn

i = 0.

Este acotador de pendientes hace un trabajo razonable de mantener la exactitud en las partes suavesde la solucion y tambien maneja las descontinuidades sin producir oscilaciones. Su desventaja esque tiende a hacer las descontinuidades mas extendidas.

Acotador superbee

Una mejor resolucion de las descontinuidades se puede lograr con acotadores que no reducen elpendiente tan drasticamente como el metodo minmod cerca de una descontinuidad. Tal acotadores el acotador superbee, introducido por Roe:

σni = maxmod

(

σai , σ

bi

)

σai = minmod

[

Qni+1 − Qn

i

∆x, 2

(

Qni − Qn

i−1

∆x

)]

σbi = minmod

[

2

(

Qni+1 − Qn

i

∆x

)

,Qn

i − Qni−1

∆x

]

Cada pendiente hacia un lado es comparado con el doble del pendiente opuesto y se escoge elresultado con el modulo mas grande.

Este acotador produce descontinuidades muy bien definidas pero tambien tiende a hacer mas emp-inado un perfil suave cerca de un punto de inflexion.

Acotador MC

Otro metodo popular es el acotador de diferencias centradas monotonizadas acotador MC, debidoa Van Leer

σni = minmod

[

Qni+1 − Qn

i−1

2∆x, 2

(

Qni − Qn

i−1

∆x

)

, 2

(

Qni+1 − Qn

i

∆x

)]

(98)

que no hace mas empinados los pendientes tanto como el metodo superbee pero si mantiene de-scontinuidades bien definidas.

33

Acotador van Albada

Un acotador popular toma el promedio cesgado de los pendientes hacia adelante y hacia atras enel caso de que los signos son iguales:

σai =

Qni+1 − Qn

i

∆x

σbi =

Qni − Qn

i−1

∆x

σni =

σai σ

bi

[

σai + σb

i

]

(σai )

2 + (σbi )

2

En el caso de las ecuaciones de Euler, los pendientes se calculan para las variables primitivas, esdecir ρ, u, y p, en vez de las variables conservadas, puesto que en un metodo Godunov son losvalores de ρ, u y p en cada lado de la interfaz entre celdas vecinas que constituye el problema deRiemann a resolverse.

Variacion total

¿Que tanto debemos acotar el pendiente?

Queremos una receta que nos permite utilizar un pendiente sencillo (p.ej. Lax-Wendroff) cuandosea posible pero que garantiza que no produzca oscilaciones nofısicas donde hay descontinuidades.Necesitamos una manera de medir las oscilaciones en una solucion. Introducimos la idea de lavariacion total de una funcion:

TV (Q) = Σ∞

i=−∞|Qi − Qi−1| (99)

Podemos intentar evitar oscilaciones por requerir que el metodo no aumenta la variacion total:

TV (Qn+1) ≤ TV (Qn) . (100)

Si un metodo es TVD entonces los datos que son inicialmente monotonicos deben mantenersemonotonicos en pasos de tiempo subsecuentes.

Una descontinuidad podrıa hacerse mas extendida pero no puede llevarse a producir oscilaciones enun esquema TVD (total variation diminishing).

PPM

Uno de los metodos de diferencias mejor conocidos de orden alto en espacio es el metodo piecewiseparabolic (PPM) debido a Woodward y Colella. Este metodo utiliza una reconstruccion cuadraticapor pedazos de la solucion con acotadores apropriados y por lo tanto es O(∆x3).

34

Segundo orden en el tiempo

La discusion anterior nos da exactitud de segundo orden en el espacio pero los metodos que hemosinvestigado son solamente de primer orden en el tiempo y emplean una diferencia sencilla haciaadelante. Hay varios enfoques para lograr segundo orden de exactitud en la diferencia temporal.

Ecuaciones de evolucion para los promedios en las celdas

Sea Qi(t) una aproximacion discreta al promedio de celda de q en celda Ci en tiempo t:

Qi(t) ' qi(t) ≡1

∆x

∫ xi+1/2

xi−1/2

q(x, t)dx (101)

El promedio de celda qi(t) evoluciona segun la ley de conservacion en su forma integral

q′i(t) = − 1

∆x

[

f(q(xi+1/2, t)) − f(q(xi−1/2, t))]

(102)

Sea Fi−1/2(Q(t)) una aproximacion a f(q(xi−1/2, t)) que se obtiene de los datos discretos Q(t) =Qi(t).

Ahora reemplazamos los flujos verdaderos f por las aproximaciones Fi±1/2(Q(t)) y el promedio decelda exacta, q, por Qi(t) en la ley de conservacion. El resultado es un sistema de ecuacionesdiferenciales ordinarias para los Qi(t):

Q′

i(t) = − 1

∆x

[

Fi+1/2(Q(t)) − Fi−1/2(Q(t))]

= Li(Q(t)) (103)

lo cual esta discretizado en el espacio pero no en el tiempo. Esta ecuacion es el i-esima en unsistema acoplado de ecuaciones, puesto que cada flujo Fi±1/2(t) depende de dos o mas de los Qi(t).

Ahora discretizamos esta ecuacion en el tiempo. Un metodo sencillo es el metodo de Euler:

Qn+1i = Qn

i + ∆tLi(Qn) = Qn

i − ∆t

∆x

[

Fi+1/2(Qn) − Fi−1/2(Q

n)]

(104)

lo cual es la forma que ya conocemos del metodo conservativo. Es de primer orden.

Para lograr una exactitud de orden mayor debemos:

1. utilizar un metodo de mayor orden espacial, p.ej. lineal por pedazos

2. reemplazar el paso de tiempo tipo Euler con un metodo de orden mayor.

Una ventaja de esta manera de ver las cosas es que la exactitud espacial y temporal son desacopla-das. Para lograr una exactitud de segundo orden en el tiempo podemos utilizar un metodo comoel metodo de dos pasos explicitos tipo Runge-Kutta para el conjunto de ecuaciones diferencialesordinarias:

Q∗

i = Qni − ∆t

2∆x

[

Fi+1/2(Qn) − Fi−1/2(Q

n)]

= Qni +

1

2∆tLi(Q

n)

Qn+1i = Qn

i − ∆t∆x

[

Fi+1/2(Q∗) − Fi−1/2(Q

∗)]

= Qni + ∆tLi(Q

∗)

35

donde el primer paso es sobre la mitad del paso de tiempo ∆t/2 y el segundo es sobre el paso entero∆t.

Hay que tomar cuidado con el metodo de multipasos en el tiempo — hay que asegurar que el metodoes TVD.

El metodo Runge-Kutta que acabamos de describir no necesariamente cumple este criterio pero unmetodo tipo Runge-Kutta

Q∗ = Qn + ∆tL(Qn)

Q∗∗ = Q∗ + ∆tL(Q∗)

Qn+1 =1

2(Qn + Q∗∗)

si lo es.

En ambos casos habra que resolver dos juegos de problemas de Riemann, que es un gasto computa-cional alto al menos que se utiliza un metodo aproximado para resolverlos.

36

Condiciones de frontera

Los metodos que hemos descrito para obtener Qn+1i de Qn

i suponen que tenemos los valores en lasceldas vecinas Qn

i+1 y Qni−1 (y quizas Qn

i+2, Qni−2 si es un esquema de segundo orden), para calcular

F ni−1/2 y F n

i+1/2.

En la practica hacemos el calculo en un conjunto finito de celdas de malla con un dominio acotado ypor lo tanto en la primera y la ultima celda no tenemos la informacion acerca de las celdas vecinas.En cambio, tenemos un conjunto de condiciones de frontera fısicas que se debe emplear en actualizarlos valores en estas celdas.

Un enfoque es desarrollar formulas especiales para usarse cerca de las fronteras, que dependen tantodel tipo de condiciones de fronteras especificadas como del metodo numerico que estamos empleando.Sin embargo, por lo general es mucho mas facil pensar en extender el dominio computacional paraincluir algunas celdas adicionales a cada lado — llamadas celdas fantasmas — cuyos valores se fijanal inicio de cada paso de tiempo en alguna manera que depende de las condiciones de frontera peroluego estas celdas no estan integradas.

PSfrag replacements

Qn−1 Qn

0 Qn1 Qn

2 QnI Qn

I+1 QnI+2

x = 0 x = I∆x

Figure 20: Celdas fantasmas en las fronteras del dominio computacional.

Estos valores proporcionan los valores de celdas vecinas que se necesitan para actualizar las celdasdentro del dominio computacional. La formula numerica es entonces la misma para actualizar cadacelda 1 ≤ i ≤ I y no hay necesidad de desarrollar un metodo acotador de pendiente especial paralos datos de frontera.

Las condiciones de frontera deben emplearse en decidir como fijar los valores de las celdas fantasmaspero por lo general esto es independiente del metodo numerico utilizado. Los esquemas de primerorden necesitan solamente una celda fantasma a cada lado del dominio computacional puesto quetienen un patron de tres puntos, mientras que los esquemas de segundo orden, que suponen dis-tribuciones lineales de los datos dentro de cada celda, requieren dos celdas fantasmas a cada ladopuesto que su patron es de cinco puntos.

Condiciones de frontera periodicas

Para actualizar Q1 necesitamos los valores Q0 a la izquierda y Q2 a la derecha (para un patron de3 puntos). Por el requisito de periodicidad tenemos Q0 = QI , el valor en la ultima celda.

Empleando la idea de celda fantasma ponemos Qn0 = Qn

I y QnI+1 = Qn

1 antes de calcular los flujos yactualizar los valores de las celdas dentro del dominio computacional 1 ≤ i ≤ I para poder utilizarel mismo esquema numerico en todas partes.

37

Si tenemos un patron de cinco puntos (p.ej. esquema de segundo orden) necesitamos dos celdasfantasmas a cada frontera:

Qn−1 = Qn

I−1 ; Qn0 = Qn

I ; QnI+1 = Qn

1 ; QnI+2 = Qn

2 (105)

que fijamos al inicio de cada paso de tiempo.

Condicion de frontera de flujo hacia afuera (salida)

En muchas ocasiones, sobre todo en la astrofısica, tenemos fronteras computacionales artificialesdebido a que solamente podemos resolver el problema en un dominio acotado. En tales fronterasfrecuentemente no queremos que un senal llegue al dominio computacional desde afuera, mientrasque cualquiera onda que viaja hacia afuera debe permitirse salir del dominio sin generar reflexionesespurias en la frontera artificial. Entonces necesitamos condiciones de frontera no reflejantes.

En tales fronteras podemos fijar los valores de las celdas fantasmas por extrapolacion desde lasolucion dentro del dominio computacional. El enfoque mas sencillo es la extrapolacion a ordencero, es decir extrapolacion por una funcion constante. Por ejemplo, fijamos los valores de lasceldas fantasmas por

Qn−1 = Qn

1 ; Qn0 = Qn

1 ; QnI+1 = Qn

I ; QnI+2 = Qn

I (106)

al inicio de cada paso de tiempo.

Esta idea es particularmente poderosa cuando se utiliza un metodo tipo Godunov basado en resolverel problema de Riemann — si no hay un salto en los valores en la frontera entonces no habra ondasen la solucion al problema de Riemann y en particular no habra ondas que viajan hacia adentro deldominio computacional.

Paredes solidas y simetrıa

Suponemos que x = 0 es una lınea de simetrıa o una pared solida. Si el flujo es inicialmente simetricaalrededor de x = 0 entonces ρ y p son funciones pares mientras que la velocidad u es una funcionimpar. Los valores en las celdas fantasmas (que estaran por otro lado de la lınea de simetrıa) sonentonces

ρ0

u0

p0

=

ρ1

−u1

p1

y

ρ−1

u−1

p−1

=

ρ2

−u2

p2

(107)

Esto da una velocidad u = 0 en x = 0, que tambien corresponde a una pared solida.

38

Terminos fuentes

Muchas de las “leyes de conservacion” utilizadas en simulaciones astrofısicas involucran terminosfuentes, p.ej. entre otros hay

1. Fuerzas externas como la gravedad. Dan un termino fuente en las ecuaciones de momento yenergıa.

2. Transferencia de calor radiativa. Transfiere energıa en escalas de tiempo mas rapidas que lasescalas dinamicas. Dan terminos fuentes en la ecuacion de energıa.

3. Flujo reactivo o ionizacion. Hay que tener una ecuacion de continuidad para cada especie.Las ecuaciones modelan la adveccion con el flujo pero tambien estan acopladas a traves dealgunos terminos fuentes debido al hecho de que cada especie no se conserva individualmente.

4. Terminos fuentes geometricos que surgen en un problema no cartesiano, por ejemplo en ge-ometrıa esferica o cilındrica.

Hay dos maneras basicas de tratar los terminos fuentes:

1. Metodos no partidos — una sola formula de diferencias finitas esta desarrollada para avanzarla ecuacion entera por un paso de tiempo.

2. Metodos de paso fraccional (partidos) — el problema esta partido en pedazos que correspondena los diferentes procesos, y un metodo numerico apropriado a cada pedazo individual estaaplicado independientemente.

Ecuacion de adveccion-reaccion

Como un ejemplo sencillo de una ecuacion con termino fuente tenemos la ecuacion de adveccion-reaccion que podrıa representar, por ejemplo, el transporte de un material radioactivo que se estadecayendo a una tasa λ a lo largo de un tubo con velocidad constante u:

∂q

∂t+ u

∂q

∂x= −λq (108)

con datos iniciales q(x, 0) = q0(x). Esta ecuacion tiene solucion exacta

q(x, t) = e−λtq0(x − ut)

Metodo no partido

Una extension al metodo “upwind” (suponiendo u > 0) serıa

Qn+1i = Qn

i − u∆t

∆x

(

Qni − Qn

i−1

)

− ∆tλQni (109)

Este esquema es exacto a primer orden y estable para 0 < u∆t/∆x < 1.

39

Metodo de paso fraccional

Dividimos la ecuacion original en dos subproblemas que pueden resolverse independientemente, p.ej.

Problema A: ∂q∂t

+ u ∂q∂x

= 0

Problema B: ∂q∂t

= −λq

y aplicamos dos metodos numericos alternando.

Paso A: Q∗i = Qn

i − u∆t

∆x

(

Qni − Qn

i−1

)

Paso B: Qn+1i = Q∗

i − ∆tλQ∗

i

Parece que hemos avanzado la solucion por 2∆t pero esto no es el caso puesto que en cada pasosolamente utilizamos algunos de los terminos de la ecuacion diferencial parcial, es decir sustituyendopor Q∗

i en la ecuacion anterior obtenemos

Qn+1i =

[

Qni − u∆t

∆x

(

Qni − Qn

i−1

)

]

− ∆tλ[

Qni − u∆t

∆x

(

Qni − Qn

i−1

)

]

= Qni − u∆t

∆x

(

Qni − Qn

i−1

)

− ∆tλQni +

u∆t2

∆xλ(

Qni − Qn

i−1

)

Los primeros tres terminos concuerdan con el metodo no partido. El ultimo termino es O(∆t2) peroel esquema total es de primer orden.

Descripcion general de los metodos de paso fraccional

Consideramos una ecuacion diferencial parcial general

∂q

∂t= (A + B)q (110)

donde A y B son operadores diferenciales distintos, p.ej. A = −u∂/∂x y B = λ(x). Suponemospor simplicidad que A, B no dependen explicitamente del tiempo t. Entonces, tomando la derivadatemporal de la ecuacion diferencial general obtenemos

∂2q

∂t2= (A + B)

∂q

∂t= (A + B)2q (111)

y en general∂mq

∂tm= (A + B)mq (112)

Por lo tanto la solucion en tiempo ∆t se puede escribir como una serie de Taylor:

q(x, ∆t) = q(x, 0) + ∆t(A + B)q(x, 0) +∆t2

2(A + B)2q(x, 0) + · · ·

= q(x, 0)

[

I + ∆t(A + B) +∆t2

2(A + B)2 + · · ·

]

es decir, q(x, ∆t) = q(x, 0)e∆t(A+B)

40

Con el metodo de paso fraccional calculamos

q∗(x, ∆t) = e∆tAq(x, 0) luego q∗∗(x, ∆t) = e∆tBq∗(x, ∆t) = e∆tBe∆tAq(x, 0)

El error de particion es entonces

q(x, ∆t) − q∗∗(x, ∆t) =(

e∆t(A+B) − e∆tBe∆tA)

q(x, 0) =1

2∆t2(AB − BA)q(x, 0) + O(∆t3)

El error de particion solo es igual a cero en el caso especial cuando los operadores A y B conmutan.

Esta particion da un metodo exacto a primer orden y se conoce como particion de Godunov. Unaligera modificacion da un metodo exacto a segundo orden:

Primero resolver ∂q∂t

= Aq sobre medio paso de tiempo,∆t

2luego resolver ∂q

∂t= Bq sobre paso de tiempo completo, ∆t

finalmente resolver ∂q∂t

= Aq sobre medio paso de tiempo,∆t

2

Esta idea se conoce como particion de Strang por su autor. Con este metodo estamos aproximandoel operador de solucion e∆t(A+B) por e∆t/2Ae∆tBe∆t/2A.

En realidad la particion de Godunov, de primer orden, no esta tan mala — corresponde a evaluar lasolucion en el tiempo ligeramente equivocado. Aunque esto implica que el resultado formalmente esexacto solamente a primer orden relativo a la solucion exacta en este tiempo particular, la calidadde la solucion no esta degradada.

En la practica, la particion de Godunov es frecuentemente mucho mas facil implementar que la deStrang, especialmente cuando se toman en cuenta las condiciones de frontera y pasos de tiempo nouniformes.

41

Problemas multidimensionales

Un sistema nolineal de leyes de conservacion en dos dimensiones

∂q

∂t+

∂f

∂x+

∂g

∂y= 0 (113)

es hiperbolica si ambas matrices Jacobianas f ′(q), g′(q) tienen un conjunto completo de eigenvaloresreales. Hay la extension obvia a un numero mayor de dimensiones.

La manera mas sencilla de extender los metodos de volumen finito en una dimension a mas di-mensiones es por utilizar particion dimensional. Es decir, aplicar el metodo de paso fraccional alproblema multidimensional por partirlo en subproblemas de una dimension cada uno.

Por ejemplo, un problema lineal en dos dimensiones:

∂q

∂t+ a

∂q

∂x+ b

∂q

∂y= 0 (114)

puede ser repartido en

calculo en direccion x: ∂q∂t

+ a ∂q∂x

= 0 ; dando Qnij =⇒ Q∗

ij

calculo en direccion y: ∂q∂t

+ b ∂q∂y

= 0 ; dando Q∗

ij =⇒ Qn+1ij

El calculo en direccion x empieza con los valores promedios en las celdas, Qnij, en tiempo tn y

resuelve los problemas unidimensionales ∂q∂t

+ a ∂q∂x

= 0 a lo largo de cada renglon con j (ındice deceldas en direccion y) fijo, asi actualizando Qn

ij a Q∗ij.

En los calculos en direccion y se utiliza estos Q∗ij como los datos iniciales para resolver el problema

unidimensional ∂q∂t

+ b ∂q∂y

= 0 a lo largo de cada columna con i fijo, dando como resultado Qn+1ij .

Metodos de volumen finito multidimensionales

Podemos basar un metodo directamente en la forma integral multidimensional de la ley de conser-vacion.

Los valores promedios en las celdas se actualizan debido a los flujos que pasan a traves de todas lasfronteras de la celda, y estos flujos se calculan basados en los valores promedios actuales en vez deprimero actualizar por calculos en una direccion espacial y luego otra.

En dos dimensiones espaciales tendrıamos

∫

t

∫

y

∫

x

{

∂q

∂t+

∂f

∂x+

∂g

∂y

}

dxdydt = 0 (115)

Integrando entre tn y tn+1, xi−1/2 y xi+1/2, yj−1/2 y yj+1/2 obtenemos

∆x∆y(

Qn+1ij − Qn

ij

)

+ ∆t∆y(

Fni+1/2,j − Fn

i−1/2,j

)

+ ∆t∆x(

Gni,j+1/2 − Gn

i,j−1/2

)

= 0 (116)

42

que da el esquema numerico

Qn+1ij = Qn

ij −∆t

∆x

(

Fni+1/2,j − Fn

i−1/2,j

)

− ∆t

∆y

(

Gni,j+1/2 − Gn

i,j−1/2

)

(117)

El metodo de Godunov mas sencillo consta en resolver los problemas de Riemann unidimensionalesperpendiculares a cada frontera de la celda Cij para asi calcular los flujos ahi.

Para lograr una exactitud de segundo orden se debe utilizar la idea de una distribucion lineal de losdatos en cada celda y por lo tanto calcular los pendientes en las direcciones normales a los bordesde las celdas. Tambien deben entrarse los terminos cruzados.

Ecuaciones de Euler en dos dimensiones

En geometrıa cartesiana las ecuaciones de Euler bidimensionales son

∂q

∂t+

∂f

∂x+

∂g

∂y= 0 (118)

donde

q =

ρρuρvE

, f =

ρup + ρu2

ρuvu(E + p)

, g =

ρvρuvp + ρv2

v(E + p)

(119)

y el caso de tres dimensiones es parecido.

Geometrıas no cartesianas, simetrıa y reduccion de dimension

Las ecuaciones hidrodinamicas, en forma de conservacion, se pueden escribir en coordenadas nocartesianas. Aqui consideramos solamente geometrıa cilındrica y esferica.

Coordenadas cilındricas

El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma vectorial

∂q

∂t+

1

r

∂

∂r(rR) +

1

r

∂Φ

∂φ+

∂Z

∂z= S , (120)

en donde

q =

ρρur

ρuφ

ρuz

E

, R =

ρur

p + ρu2r

ρuruφ

ρuruz

ur(E + p)

, Φ =

ρuφ

ρuφur

p + ρu2φ

ρuφuz

uφ(E + p)

, Z =

ρuz

ρuzur

ρuzuφ

p + ρu2z

uz(E + p)

, S =

0(ρu2

φ+p)

r

−ρuφur

r

00

.

(121)

43

y S es un vector de terminos fuente geometricos.

Los terminos fuente geometricos son obligatorios. Si hay simetrıa en φ (que es frecuentemente elcaso) este sistema de ecuaciones se reduce a

∂q

∂t+

1

r

∂

∂r(rR) +

∂Z

∂z= S , (122)

en donde

q =

ρρur

ρuz

E

, R =

ρur

p + ρu2r

ρuruz

ur(E + p)

, Z =

ρuz

ρuzur

p + ρu2z

uz(E + p)

, y S =

0pr

00

. (123)

Esto reduce la complejidad del problema. Tal simetrıa es util en modelar, p.ej. estructuras endensidades plano-paralelas debido a fuentes puntuales.

El problematico de trabajar en esta geometrıa es justamente como tratar los terminos geometricosp/r para r chico, ya que cualquier error se va a magnificar.

Coordenadas esfericas

El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma vectorial

∂q

∂t+

1

r2

∂

∂r(r2R) +

1

r2 sin θ

∂

∂θ(r sin θΘ) +

1

r sin θ

∂Φ

∂φ= S , (124)

en donde

q =

ρρur

ρuθ

ρuφ

E

, R =

ρur

p + ρu2r

ρuruθ

ρuruφ

ur(E + p)

, Θ =

ρuθ

ρuθur

p + ρu2θ

ρuθuφ

uθ(E + p)

, (125)

Φ =

ρuφ

ρuφur

ρuφuθ

p + ρu2φ

ρuφuz

uφ(E + p)

, S =

01r(2p + ρ(u2

θ + u2φ))

cot θr

(p + ρu2φ) − ρuθur

r

−ρr(uruφ + uθuφ + uθuφ cot θ)

0

. (126)

En muchos calculos hay simetrıa en θ y φ y, por lo tanto, el sistema de ecuaciones se reduce a unsistema unidimensional.

∂q

∂t+

1

r2

∂

∂r(r2R) = S , (127)

en donde

q =

ρρur

E

, R =

ρur

p + ρu2r

ur(E + p)

,S =

02pr

0

. (128)

44

Otra vez, los terminos fuentes geometricos en 1/r2 causan problemas cerca de r = 0.

Tales sistemas reducidos son muy utiles para probar y validar los codigos numericos multidimension-ales. Una solucion a alta resolucion al problema esfericamente simetrico unidimensional se puedecalcular en una malla fina y luego puede utilizarse a probar las soluciones calculadas con un metodomultidimensional.

Condiciones de frontera

Para estas geometrıas en coordenadas no cartesianas hay que tomar un poquito mas de cuidadoen las condiciones de frontera. En el caso cilındrico las condiciones de frontera para la direccion zpueden ser o entrada/salida o reflejante. Tambien la condicion de frontera para r = rmax puedeser cualquiera de estas dos. Sin embargo, la condicion que hay que aplicarse en r = 0 es que lavelocidad radial ur aqui debe ser igual a cero. Es decir, no hay flujo a traves del eje de simetrıa.En el caso esferico la condicion en r = rmax puede ser cualquiera, pero la velocidad radial tieneque desaparecerse en r = 0 para que no haya flujos a traves del origen.

La extension de esquemas de primer orden a esquemas de segundo orden por medio de suponerdistribuciones lineales de las variables primitivas a traves de cada celda causa muchisimos problemasen el sentido de que hay que tomar el valor central de la variable en el centro de masa de cada celda,y los terminos fuentes geometricos hay que considerar aparte.

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Problemas de prueba

Para probar un esquema numerico, es muy util tener soluciones exactas a algunos problemas paraası poder comparar los resultados numericos y ver las fortelezas y debilidades del esquema. Enla practica, no existen muchos problemas cuyas ecuaciones gobernantes son las ecuaciones de ladinamica de gases y que tienen soluciones exactas analıticas. Los resultados pueden compararsecon los experimentos de laboratorio pero hay que tomar en cuenta que la viscosidad juega unpapel importante en los sistemas fısicos verdaderos, particularmente cerca de las capas lımites. Acontinuacion estan listados algunos de los problemas de prueba mas populares.

Problema del tubo de choque

Este problema demuestra que tan bien un metodo numerico resuelve un problema de Riemann. ElPSfrag replacements

ρ0 = 1.0

u0 = 0.0

p0 = 1.0

ρ1 = 0.125

u1 = 0.0

p1 = 0.1

Figure 21: Estado inicial de un problema de tubo de choque.

problema consta de un tubo de choque virtual en donde tenemos dos regiones de gas en estadode reposo (es decir, velocidad cero) separados por un “membrano”. La presion y densidad en losdos lados son diferentes, pero constantes a traves de cada region. En tiempo t = 0 se rompe elmembrano. De inmediato, se forman dos ondas que viajan con una cierta (calculable) velocidadseparadas por una descontinuidad de contacto: una onda viaja hacia el gas en cada uno de los doslados.

Para condiciones iniciales uniformes hay una solucion exacta al problema del tubo de choque. Lostipos de onda que se producen y las velocidades de estas ondas, junto con el estado resuelto delflujo (es decir las presiones, velocidades y densidades en las zonas uniformes detras de cada onda)se pueden calcular analıticamente para todos tiempos t > 0.

El proposito es ver que tan bien el esquema reproduce la solucion analıtica una vez que las ondashan travesado varias celdas de la malla desde la posicion del membrano original. Las condicionesiniciales que normalmente se toman son

ρL

uL

pL

=

0.1250.00.1

y

ρR

uR

pR

=

1.00.01.0

(129)

Este conjunto de condiciones iniciales produce una onda de choque que viaja hacia la izquierda, yuna onda de rarefaccion que viaja hacia la derecha. La solucion numerica debe

1. reproducir las velocidades de propagacion de las ondas.

2. tener un perfil de choque bien definido.

46

3. no tener oscilaciones poschoque.

4. tener una descontinuidad de contacto bien definida.

5. tener una estructura bien definida para las diferentes regiones del flujo.

Dos ondas de choque interactuantes

Este es un problema mucho mas dificil que el tubo de choque porque demuestra la relacion queexiste entre la precision de la solucion global del flujo y que tan bien resueltas (es decir, delgadas)son las descontinuidades en la malla.

En el marco Lagrangiano esto no es un problema dificil, pero para un esquema unidimensionalEuleriano presenta un reto dificil.PSfrag replacements

ρ0 = 1.0

u0 = 0.0

p0 = 1000

x0 = 0.1

ρ1 = 1.0

u1 = 0.0

p1 = 0.01

x1 = 0.8

ρ2 = 1

u2 = 0.0

p2 = 100

x2 = 0.1

Figure 22: Estado inicial para el problema de choques interactuantes.

La condicion inicial consta de tres estados uniformes de un gas politropico (es decir, tiene una γdada y p = κργ) en reposo separados por dos membranos, ubicados entre dos paredes reflejantes.Este problema de prueba se conoce como el problema de onda de explosion de Woodward y Colellapuesto que las condiciones iniciales: 0 < x < 0.1 ⇒ (ρL, uL, pL) = (1.0, 0.0, 1000); 0.1 < x <0.9 ⇒ (ρc, uc, pc) = (1.0, 0.0, 0.01); 0.9 < x < 1.0 ⇒ (ρR, uR, pR) = (1.0, 0.0, 100) dan origena descontinuidades de contacto y dos ondas de choque fuertes que viajan hacia adentro. Estoschoques se colisionan y ondas de choque reflejadas viajan hacia afuera. Tambien estan producidasondas de rarefaccion que viajan hacia afuera y se reflejan de las paredes en la frontera antes deinteractuarse con las demas ondas. Se hace una comparacion de soluciones tradicionalmente en eltiempo t = 0.038, cuando la solucion consta de descontinuidades de contacto cerca de x = 0.6, 0.76y 0.8, y ondas de choque cerca de x = 0.65 y x = 0.87.

Tunel de viento de numero de Mach 3 con un escalon

Este es un problema en dos dimensiones cartesianas. No tiene solucion analıtica ni tampoco resul-tados experimentales para compararse, pero de todos modos, es un problema de prueba muy utilpuesto que se puede utilizar para comparar como varıan los resultados con resolucion de la malla(es decir, numero de celdas) y como los resultados varıan entre los diferentes esquemas numericos.

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El problema consta de un flujo uniforme en un tunel de vientos que tiene un escalon. El flujo tienenumero de Mach de 3 y el gas tiene una γ de 1.4 (p.ej., aire). Las dimensiones del tunel y delescalon son:

PSfrag replacements

1.0

3.00.6

0.2

ρ = 1.4 u = 3.0p = 1.0 γ = 1.4

escalon solido

Figure 23: Estado inicial para el problema de un escalon en un tunel de vientos de numero de Mach= 3.

y las condiciones de frontera son

1. frontera izquierda — condicion de entrada.

2. frontera derecha — condicion de salida.

3. paredes superior e inferior — condiciones reflejantes.

4. paredes del escalon — condiciones reflejantes.

Se forma una onda de choque reflejada delante del escalon, choques que rebotan de las fronterasreflejantes, un punto triple de choque con una descontinuidad de contacto asociada. Es un patronmuy complicado. La dificultad con este problema es modelar el flujo alrededor de la esquina delescalon. Esta esquina es el centro de un abanico de rarefaccion y por lo tanto es un punto singulardel flujo. La sensibilidad de los varios esquemas al tratamiento del flujo cerca de la esquina delescalon es lo interesante de este problema.

Varios problemas numericos pueden manifestarse, desde capas lımites arriba del escalon, choquesen el lugar equivocado, hasta inestabilidades de Kelvin Helmholtz espurias a lo largo de la lınea dela descontinuidad de contacto.

Doble reflexion de un choque fuerte

La inspiracion de este problema de prueba fue algunos estudios experimentales de las reflexiones dechoques planos de rampas inclinadas. En el ambito experimental se puede crear el flujo por enviarun choque por un tubo que contiene una rampa. Un patron complicado de la reflexion del choqueen la rampa ocurre. Se desarrolla un flujo autosimilar que se puede parameterizar por el numerode Mach del choque incidente y el angulo al cual encuentra la superficie reflejante de la rampa.

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PSfrag replacements

M = 10

choque

gas uniforme

poschoque

rampa

gas uniforme en reposo

θ = 30◦γ = 1.4

escalon solido

Figure 24: Problema de un choque de M = 10 en una rampa de inclinacion 30◦.

El problema de prueba se trata de un choque de numero de Mach 10 en el aire (γ = 1.4) que hace unangulo de 60◦ con una pared reflejante (es decir, la rampa tiene una inclinacion de 30◦ con respectoal horizontal). En la practica, esta dificil representar una rampa inclinada en una malla de celdascuadradas, entonces lo que normalmente se hace es poner la rampa como la pared inferior y enviarel choque a un angulo de 60◦. Se forman dos puntos triples de Mach y dos descontinuidades de

PSfrag replacements

M = 10

flujo poschoque

estado inicial

siempre en

reposo

y = 0

y = 1

x = 0 x = 1/6 x = 4

velocidad conocida

gas uniforme en reposo

θ = 60◦

γ = 1.4solid step

Figure 25: Problema de un choque de M = 10 en una rampa de inclinacion 30◦, version computa-cional.

contacto. Tambien se forma un chorro de fluido que viaja paralelo a la pared inferior. Curiosamente,en las fotos de la version experimental de este problema, no se forman estos chorros debido a efectosde capas lımites junto a la superficie de la rampa.

Explosion Taylor-Sedov

En geometrıas no cartesianas un problema de prueba que se emplea frecuentemente es el de la ondade explosion Taylor-Sedov, que tiene una solucion autosimilar.

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Mallas adaptativas

Las soluciones al sistema de ecuaciones de la dinamica de gases son en mayor parte suaves sobreregiones grandes de sus dominios pero contienen capas lımites o regiones internas con gradientesempinados, choques o descontinuidades, en donde es dificil aproximar la solucion por una solucionnumerica. Es deseable resolver estas caracterısticas del flujo con una resolucion adecuada. Es decir,tener celdas con una ∆x lo suficientemente pequena para que los choques y descontinuidades en lamalla tengan una representacion bastante precisa, tanto en su delgadez espacial como en los saltosde las variables hidrodinamicas y la velocidad de propagacion. Sin embargo, tal resolucion no esnecesaria en las partes del espacio computacional donde hay un flujo tranquilo sin descontinuidades.En estas regiones una malla gruesa es suficiente. Por lo tanto, es muy ineficiente computacional-mente, tanto en terminos de tiempo de iteracion en una malla fina como en terminos de la memoriarequerida, representar toda la solucion en una sola malla fina. La idea de las mallas adaptativas eshacer los calculos en una malla fina donde hay descontinuidades que resolverse, y utilizar una mallagruesa en las otras regiones del flujo.

Puesto que las descontinuidades se mueven en el espacio con el tiempo, un esquema de malla adap-tativa tiene que ajustarse dinamicamente a los requisitos de la solucion como se va evolucionando.Esta estrategia puede reducir por mucho el esfuerzo computacional requerido. Un calculo que enuna malla fina podrıa tardar varios dias puede reducirse a cuestion de minutos si se hiciera enuna malla adaptativa. Por esta razon, mucho vale la pena desarrollar algun algoritmo de mallaadaptativa, aunque cueste mucho trabajo hacerlo.

Estructura de las mallas

Se utiliza una estructura jerarquica de mallas embebidas. La malla del fondo es una malla gruesaque cubre todo el dominio computacional. En niveles mas altos tenemos parches de mallas finasque no necesariamente cubren todo el dominio computacional. Los tamanos y ubicaciones de estosparches cambian con la evolucion del flujo segun las necesidades de resolucion local. Normalmentese toman mallas con espaciamento succesivo ∆x, ∆x/2, ∆x/4 etc.

Para poder hacer el calculo en las mallas finas, hay que interpolar la parte de la solucion de interesde la malla gruesa a las mallas finas, un nivel a la vez. Esta interpolacion no debe comprometerla precision de la solucion, sı debe preservar la monotonicidad y ademas, debe ser conservativa, esdecir

Jn∑

j=1

V nj Qn

j =Jn+1∑

j=1

V n+1j

[

In+1n Qn

j

]

, (130)

en donde V nj es el volumen de la celda en malla nivel n y In+1

n es la funcion que interpola entre lamalla gruesa, n, y la siguiente mas fina, n + 1. (Notese que n no representa el paso de tiempo enesta discusion sino indica el nivel de la malla.)

Procedimiento

Como que las celdas son mas pequenas en las mallas finas, el paso de tiempo, que tiene que cumplirlas condiciones de estabilidad en estas mallas, tambien es mas pequena. Cada paso de tiempo en

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la malla mas gruesa equivale a dos pasos de tiempo en los parches del siguiente nivel y equivalea cuatro pasos de tiempo del siguiente nivel. En la practica, se evalua el paso de tiempo en lamalla mas fina y se usa multiples de este paso en las mallas gruesas. Una vez que se ha obtenido lasolucion nueva en los parches finos, se hace una interpolacion hacia las mallas gruesas para obtenerla solucion nueva en todas partes de la malla mas gruesa.

Hay que utilizar algun criterio para poder decidir cuando vale la pena refinar la malla. Se puedeutilizar criterios fısicos, como el siguiente que encuentra descontinuidades de contacto

|ρr − ρl|ρr + ρl

>|pr − pl|pr + pl

con |pr − pl| > error de redondeo . (131)

La ultima condicion es para evitar que se identifiquen regiones tranquilas del flujo pl = pr.

Tambien se puede utilizar criterios basados en alguna medicion del error local de truncamiento ycomo se amortiguan los varios modos de error segun la resolucion de la malla. Sin embargo, cercade las descontinuidades, este metodo no funciona muy bien, sobre todo si se ha refinado la mallamuchas veces.

Dificultades

El mayor problema en desarrollar un esquema de malla adaptativa es saber las condiciones defrontera adecuadas para cada parche de malla refinada. Esto requiere mantener una lista de losvecinos de las celdas fronterizas en la siguiente malla mas gruesa y el problema se vuelve uno deorganizar la manera en que se guarden y accesen los datos de las varias mallas.

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Codigos hidrodinamicos en la astrofısica

Algunos de los codigos mas utilizados en el campo son

1. ZEUS (Mike Norman, Dave Clarke, Jim Stone)http://cosmos.ucsd.edu/lca-www/software/index.html

2. VH1 (John Blondin)http://wonka.physics.ncsu.edu/pub/VH-1/index.html

3. yguazu (Alejandro Raga)

4. µ-Cobra (Sam Falle)

Referencias

1. “Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems”, R. J. Leveque, Cambridge UniversityPress.

2. “Computational Methods for Astrophysical Fluid Flow”, R.J. Leveque, D. Mihalas, E. A.Dorfi, E. Muller, Springer-Verlag.

3. “Computational Techniques for Fluid Dynamics”, C.A.J. Fletcher, Vols 1 y 2, Springer-Verlag.

4. “Flux Vector Splitting of the Inviscid Gasdynamic Equations with Application to Finite-Difference Methods”, J.L. Steger & R.F. Warming 1981, Journal of Computational Physics40, 263–293

5. “A Survey of Several Finite Difference Methods for Systems of Nonlinear Hyperbolic Conser-vation Laws”, G.A. Sod 1978, Journal of Computational Physics 27, 1–31

6. “Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme V. A Second-Order Sequel to Go-dunov’s Method”, B. van Leer 1979, Journal of Computational Physics 32, 101–136

7. “Flux-Vector Splitting for the Euler Equations”, B. van Leer 1982, ICASE report 82-30

8. “The Numerical Simulation of Two-Dimensional Fluid Flow with Strong Shocks”, P. Wood-ward & P. Colella 1984, Journal of Computational Physics 54, 115–173

9. A parallel Adaptive Grid Algorithm for computational Shock Hydrodynamics”, J.J. Quirk1994, ICASE report

10. “A Cartesian Grid Approach with Hierarchical Refinement for Compressible Flows”, J.J.Quirk 1994, ICASE report.

11. “A contribution to the great Riemann solver debate”, J.J. Quirk 1994, Journal of NumericalMethods in Fluids, 18, 555–574

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