Logika rozmyta

Agnieszka Nowak - Brzezińska

Geneza Logiki rozmytej

• Za twórcę teorii zbiorów rozmytych i logiki rozmytej uważa się Lotfiego A. Zadeha, który w

1965 roku opublikował artykuł „Fuzzy Sets” (Information Control 8, 338-353, 1965).

• Tak naprawdę, historia myśli, która doprowadziła do stworzenia tej teorii jest jednak

znacznie dłuższa i warto przedstawić chociaż dwa fakty z tym związane. Pierwszych prób

wyjścia poza dwuwartościową logikę można doszukać się już u Platona stwierdzającego, że

istnieje jakiś dodatkowy obszar pomiędzy prawdą i fałszem.

• W początkowych latach XX wieku, polski uczony - Jan Łukasiewicz zaproponował system

logiki trójwartościowej stanowiącej bazę dla logiki rozmytej.

• Na systemy rozmyte składają się te techniki i metody, któresłużą do obrazowania informacji nieprecyzyjnych,nieokreślonych bądź niekonkretnych. Pozwalają one opisywaćzjawiska o charakterze wieloznacznym, których nie jest wstanie ująć teoria klasyczna i logika dwuwartościowa.

• Charakteryzują się tym, że wiedza jest przetwarzana w postacisymbolicznej i zapisywana w postaci rozmytych reguł.

• Systemy rozmyte znajdują zastosowanie tam, gdzie nieposiadamy wystarczającej wiedzy o modelu matematycznymrządzącym danym zjawiskiem oraz tam gdzie odtworzenietegoż modelu staje się nieopłacalne lub nawet niemożliwe.Tak więc możemy je spotkać w bazach danych, sterowaniuoraz dziedzinach zajmujących się przetwarzaniem językanaturalnego.

Zastosowanie logiki rozmytej (Fuzzy-Logic)

• Logika rozmyta jest stosowana wszędzie tam, gdzie użycieklasycznej logiki stwarza problem ze względu na trudność wzapisie matematycznym procesu lub gdy wyliczenie lubpobranie zmiennych potrzebnych do rozwiązania problemujest niemożliwe.

• Ma szerokie zastosowanie w różnego rodzaju sterownikach.Sterowniki te mogą pracować w urządzeniach takpospolitych jak lodówki czy pralki, jak również mogą byćwykorzystywane do bardziej złożonych zagadnień jakprzetwarzanie obrazu, rozwiązywanie problemu korkówulicznych czy unikanie kolizji.

• Sterowniki wykorzystujące logikę rozmytą są równieżużywane na przykład w połączeniu z sieciami neuronowymi.

Przykłady zastosowań:

• układy sterowania rozrusznika serca

• układ sterowania samochodu• bojler wodny• reaktory i urządzenia chemiczne• urządzenia chłodnicze• urządzenia klimatyzacyjne i

wentylacyjne• urządzenia do spalania śmieci• piec do wytopu szkła• układ sterowania ciśnienia krwi• urządzenia diagnostyki

nowotworowej• system ostrzegawczy chorób

serca• układ sterowania suwnicą lub

dźwigiem

• stacja pomp• przetwarzanie obrazów• urządzenia szybkiego ładowania

akumulatorów• rozpoznawanie słów• terapia diabetyczna, sterowanie

poziomu cukru we krwi• układ energetyczny• urządzenia do obróbki metali• sterowanie bioprocesorów• urządzenia grzewcze• sterowanie silników

elektrycznych• urządzenia i procesy spawalnicze• sterowanie ruchu• biomedycyna• urządzenia do czyszczenia

pomieszczeń• urządzenia do odszlamiania• urządzenia do oczyszczania wody• układy autopilotów samolotów i

okrętów

Intensywny rozwój logiki rozmytej na całym świecie daje się zauważyć zwłaszcza napoczątku lat dziewięćdziesiątych. Logika rozmyta znajduje bardzo szerokie iróżnorodne zastosowania zarówno w elektronice, systemach sterowania jak i wmedycynie czy w różnych gałęziach przemysłu. Poniżej wymienione są niektóreaplikacje obrazujące możliwości wykorzystania logiki rozmytej:

Przykłady c.d.

ABS i tempomaty do samochodów (np. Tokio monorail)KlimatyzatoryFotoCyfrowe przetwarzanie obrazu, takie jak wykrywanie krawędziZmywarkiWindyPralki i inne AGDDźwigimaszynki do goleniaKamery

• W mieście Sendai w Japonii, metro jeststerowane przez rozmyty komputer (Hitachi) -jazda jest tak gładka, że jadący nie musząposiadać pasów

• Nissan - rozmyta automatyczna skrzynia biegów,rozmyty antypoślizgowy układ hamulcowy

• CSK, Hitachi – rozpoznawanie pisma ręcznego

• Sony – rozpoznawanie znaków drukowanych

• Ricoh, Hitachi - Rozpoznawanie głosu

Pralki / zmywarki

• Logika rozmyta to już prawie standardowy element do sprawdzenia obciążenia wagi, czujników brudu i automatycznego ustawiania w kontekście wykorzystania energii, wody i detergentów.

• Samsung, Toshiba itp.Haier ESL-T21Miele WT945 Pralka / SuszarkaAEG LL1610Zanussi ZWF1430W

Logika klasyczna

2 + 2 = 4

Dzień lub noc

Tak lub nie

0 lub 1

Białe lub czarne

Zdrowy lub chory

Zdać egzamin lub nie zdać egzaminu

Zbiór i przynależność do niego

Zbiór i przynależność do niego

Logika rozmyta

• Nie zawsze da się jednoznacznie ustalićgranicę między danymi spełniającymi pewnekryterium a danymi, które tego kryterium niespełniają.

• Dzięki wprowadzeniu funkcji przynależności –zbiory rozmyte pozwalają na określaniestopnia przynależności elementu do zbiorubądź klasy.

Zmienna lingwistyczna

Zbiór rozmyty - definicja

Zbiorem rozmytym nazwiemy zbiór elementów,które w różnym stopniu do niego należą. Zbiórrozmyty A w niepustej przestrzeni X, AXopisywany przez zbiór par:

}:))(,{( XxXXA A

]1,0[);( xxA

gdzie

Jest funkcją przynależności zbioru rozmytego A

Funkcja przynależności

Funkcja ta każdemu elementowi xX przypisujejego stopień przynależności do zbioru rozmytegoA, przy czym można wyróżnić 3 przypadki:

• A(x)=1 – pełna przynależność do zbioru rozmytego A,

• A(x)=0 – element x nie należy do zbioru rozmytego A,

• 0<A(x)<1 – element x częściowo należy do zbioru rozmytego A.

]1,0[: XA

Symboliczny zapis zbioru rozmytego wyrażany jest w postaci:

• Gdy X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów X = {x1,..,xn}

• Lub gdy X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów.

n

i

A

n

nAA

x

x

x

x

x

xA

11

1 )()(...

)(

x

A

x

xA

)(

Podstawowe pojęcia związane ze zbiorami rozmytymi

• Zbiory rozmyte (przykładowo A i B) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy

•

• Zbiór rozmyty A jest podzbiorem zbioru rozmytego B (A B) wtedy itylko wtedy, gdy:

• Nośnikiem (ang.support) zbioru rozmytego A nazywamy klasycznyzbiór złożony z obiektów, dla których funkcja przynależności jestdodatnia:

• Rdzeniem (ang. core) jest zbiór składający się z elementów, dlaktórych funkcja przynależności jest równa 1:

• Każdy zbiór rozmyty jest jednoznacznie opisany przez swoją funkcjęprzynależności.

Core (A) = {x X | }

Typowe funkcje przynależności

1. Trójkątna

2. Trapezowa

3. Gaussowska

4. Uogólniona dzwonowa

5. Sigmoidalna

6. Rozmyty singleton

7. Funkcja typu S

8. Funkcja typu Z

9. Funkcja typu

Trójkątna funkcja przynależności

Trapezowa funkcja przynależności

Sinusoidalna funkcja przynależności

• Musimy być w stanie działać na zbiorachrozmytych i umieć opisywać ich przecięcie, sumę,dopełnienia itp.

• Wszystko po to, abyśmy mogli użyć złożonychopisów lingwistycznych w sposób matematyczny.Np.. pacjent, który jest chory i radosny, należy dozbioru osób chorych ale również do zbioru osóbradosnych. „chory radosny” pacjent powinienzatem należeć do zbioru chorych radosnych osób,który jest przecięciem tych zbiorów.

Operacje na zbiorach rozmytych

Operacje na zbiorach rozmytych

Operacje na zbiorach rozmytych

• Suma zbiorów rozmytych A i B jest zbiorem rozmytym C = A B o funkcji przynależności

dla x X

Przecięcie (iloczyn) dwóch zbiorów rozmytych A i B jest zbiorem rozmytym C = A B o funkcji przynależności

)(),(max)( xmxmxm BAC

)(),(min)( xmxmxm BAC

Logika dwuwartościowa vs. wielowartościowa

Zbiór osób NIE średnich

• A – NOT średnie

• NOT średnie to znaczy, że „niskie OR wysokie”

Czy x jest osobą NIE średniego wzrostu?

• Mierzymy wartość funkcji przynależności obiektu x do zbioru A oznaczającego grupę osób o wzroście nie średnim.

0)(

0)(

1)(

x

x

x

wysokie

średnie

niskie

101)(1)( xxNOT średnieśrednie

101)()()( xxxNOT wysokieniskieśrednie

Zresztą to samo uzyskamy badając dopełnienie tego zbioru osób:

„1” jako wartość funkcji NOT średnie dla naszej osoby „x” oznacza, że:Osoba x na pewno nie jest wzrostu średniego, co jest oczywiście prawdą.

Chory radosny pacjent

• µchory(x) = 0.8

• µradosny(x) = 0.9

Wtedy wartość funkcji przynależności byłaby:

8.09.0,8.0min

)(),(min

)(

pacjentpacjent

pacjent

radosnychory

radosnychoryAND

Pacjent który nie jest chory

• To dopełnienie do zbioru pacjentów chorych, a więc 1 – µchory(pacjent)=1 – 0.8 = 0.2

Bardzo, mniej więcej, trochę…

Gdy stopniujemy zmienne lingwistyczne dodając słowa: bardzo, w jakiśsposób, mniej, bardziej, mniej lub więcej, przez co powstają określenia:bardzo wysoki, nie krótki, blisko średniej musimy użyć odpowiedniego ichprzewartościowania na wartości numeryczne:

Stopniowanie rozmywania pojęć

• Pacjent może być „bardzo stary”.

• Jeśli tak jest to zastosowanie tego słowa do opisu rozmytego intuicyjnie powinno dawać odpowiedni efekt wzmacniający dla funkcji przynależności.

50

50

))50(

251(

0

)( 1

x

x

gdy

gdy

x

xA

• Jeśli jako A* określimy zbiór „bardzo stary”, to ten nowy zbiór można zdefiniować jako:

50

50

))50(

251(

0

)( 1

x

x

gdy

gdy

x

xA

Xx

AA xx 2

* ))(()(

Short

Very Tall

Short Tall

Degree ofMembership

150 210180 190 200

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

160 170

Height, cm

Average

TallVery Short Very Tall

Schemat wnioskowania

Schemat wnioskowania• Rozmywanie (fuzyfikacja) - operacja przekształcająca sygnały wejściowe z

dziedziny ilościowej na wielkości jakościowe reprezentowane przez zbioryrozmyte na podstawie określających je funkcji przynależności.

• Wnioskowanie rozmyte - operacja wyznaczania w dziedzinie jakościowejwartości wyjść na podstawie wejść za pomocą zbioru reguł rozmytych.

• Baza reguł - reprezentuje wiedzę jakościową o systemie w postaci zbiorureguł rozmytych w postaci wyrażeń jeśli-to. W przypadku układu MISOmają one postać:

• Wyostrzanie (defuzyfikacja) - operacja przekształcająca sygnały wyjściowesystemu z dziedziny jakościowej na ilościową.

Krok 1: Fuzzyfikacja

Krok 2: Ustalenie konkluzji dla każdej reguły

Krok 3: Agregacja konkluzji

Krok 4: Defuzzyfikacja

Metoda Mamdani

E.H. Mamdani zaproponował następującą metodę wnioskowania:

• Operacja minimum przy łącznikach „AND” w przesłankach regułoraz jako koniunkcyjną interpretację tych reguł

• Operacja maksimum jako operator agregacji wynikówwnioskowania uzyskanych na podstawie pojedynczych reguł

• Metoda środka ciężkości do wyostrzenia wynikowego zbiorurozmytego

Defuzyfikacja - wyostrzanie

Logika rozmyta sprawia, że w procesie rozmywaniakażda reguła zostaje opatrzona pewną rozmytąwartością i musi potem być powtórniekonwertowana na wartość rzeczywistą.

Przed procesem wyostrzania wszystkie rozmytewartości wyjściowe są zsumowane za pomocąfunkcji max ze zbioru wartości funkcjiprzynależności:

Metoda środka maksimumMetoda SM (środka maksimum) jest prosta obliczeniowo, ale uwzględniatylko wpływ najbardziej zaktywizowanego zbioru i jest mało czuła nazmiany stopnia aktywizacji:

Metoda PM (pierwszego maksimum)

Metoda PM (pierwszego maksimum) przy takim samym stopniuskomplikowania obliczeń jak w SM daje większą czułość na zmianystopnia aktywizacji:

Metoda OM (ostatniego maksimum)

Metoda OM (ostatniego maksimum) ma podobne wady i zalety jakPM, przy czym dodatkowo można zauważyć pewną nieprawidłowość.Rozpatrzmy rysunek poniżej. Przy zmniejszaniu aktywizacji zbioru A3wartość ostra powinna zbliżać się do A2, tymczasem oddala się:

METODA ŚRODKA CIĘŻKOŚCI (SC)Wynikiem jest środek ciężkości figury ograniczonej wykresem funkcjiprzynależności i osią. W defuzyfikacji biorą więc udział wszystkieaktywne reguły, ale wymaga to dużego nakładu obliczeniowego.Ponadto następuje zawężenie zakresu defuzyfikacji, metoda jestnieczuła na aktywizację tylko jednej funkcji przynależności.

U

U

duu

uduu

u

0

Przykład wnioskowania rozmytego

Wiek kierowcy

Wiek kierowcy 𝜇𝑚ł𝑜𝑑𝑦(x) = {

1 𝑥 ≤ 300 𝑥 ≥ 40

40− 𝑥

40−3030 < 𝑥 < 40

𝜇ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖(x) = {

0 𝑥 ≤ 30 𝑙𝑢𝑏 𝑥 ≥ 50𝑥−30

40−3030 < 𝑥 < 40

50−𝑥

50−4040 < 𝑥 < 50

𝜇𝑠𝑡𝑎𝑟𝑦(x) = {

0 𝑥 ≤ 401 𝑥 ≥ 50

𝑥−40

50−4040 < 𝑥 < 50

Moc samochodu

Moc samochodu𝜇𝑚𝑎ł𝑎(x) = {

1 𝑥 ≤ 700 𝑥 ≥ 120

120−𝑥

120−7070 < 𝑥 < 120

𝜇ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖𝑎(x) = {

0 𝑥 ≤ 70 𝑙𝑢𝑏 𝑥 ≥ 170𝑥−70

120−7070 < 𝑥 < 120

170−𝑥

170−120120 < 𝑥 < 170

𝜇𝑑𝑢ż𝑎(x) = {

0 𝑥 ≤ 1201 𝑥 ≥ 170

𝑥−120

170−120120 < 𝑥 < 170

Ryzyko ubezpieczeniowe

Ryzyko ubezpieczeniowe

𝜇𝑛𝑖𝑠𝑘𝑖𝑒(x) = {

1 𝑥 ≤ 50 𝑥 ≥ 10

𝑥−10

5−105 < 𝑥 < 10

𝜇ś𝑟_𝑛𝑖𝑠𝑘𝑖𝑒(x) = {

0 𝑥 ≤ 5 𝑙𝑢𝑏 𝑥 ≥ 15𝑥−5

10−55 < 𝑥 < 10

15−𝑥

15−1010 < 𝑥 < 15

𝜇ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖𝑒(x) = {

0 𝑥 ≤ 10 𝑙𝑢𝑏 𝑥 ≥ 20𝑥−10

15−1010 < 𝑥 < 15

20−𝑥

20−1515 < 𝑥 < 20

𝜇ś𝑟_𝑤𝑦𝑠𝑜𝑘𝑖𝑒(x) = {

0 𝑥 ≤ 15 𝑙𝑢𝑏 𝑥 ≥ 25𝑥−15

20−1515 < 𝑥 < 20

25−𝑥

25−2020 < 𝑥 < 25

𝜇𝑤𝑦𝑠𝑜𝑘𝑖𝑒(x) = {

0 𝑥 ≤ 201 𝑥 ≥ 25

𝑥−20

25−2020 < 𝑥 < 25

Szukamy reguł do uaktywnienia

Szukamy reguł do uaktywnienia

𝜇𝑟𝑦𝑧𝑦𝑘𝑜=𝑤𝑦𝑠𝑜𝑘𝑖𝑒(𝑤𝑖𝑒𝑘 =33,moc samochodu=160) = min 𝜇𝑚ł𝑜𝑑𝑦 33 , 𝜇𝑑𝑢ż𝑎 160 = min 0.7,0.8 = 0.7

𝜇𝑟𝑦𝑧𝑦𝑘𝑜=ś𝑟_𝑤𝑦𝑠𝑜𝑘𝑖𝑒(𝑤𝑖𝑒𝑘 =33,moc samochodu=160) = min 𝜇𝑚ł𝑜𝑑𝑦 33 , 𝜇ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖𝑎 160 = min 0.7,0.2 = 0.2

𝜇𝑟𝑦𝑧𝑦𝑘𝑜=ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖𝑒(𝑤𝑖𝑒𝑘 =33,moc samochodu=160) = min 𝜇ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖 33 , 𝜇ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖𝑎 160 = min 0.3,0.2 = 0.2

𝜇𝑟𝑦𝑧𝑦𝑘𝑜=ś𝑟_𝑤𝑦𝑠𝑜𝑘𝑖𝑒(𝑤𝑖𝑒𝑘 =33,moc samochodu=160) = min 𝜇ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖 33 , 𝜇𝑑𝑢ż𝑎 160 = min 0.3,0.8 = 0.3

Operacja minimum przy łącznikach „AND” wprzesłankach reguł oraz jako koniunkcyjnąinterpretację tych reguł

Agregujemy decyzje reguł

𝜇𝑟𝑦𝑧𝑦𝑘𝑜=𝑤𝑦𝑠𝑜𝑘𝑖𝑒(𝑤𝑖𝑒𝑘 =33,moc samochodu=160) = min 𝜇𝑚ł𝑜𝑑𝑦 33 , 𝜇𝑑𝑢ż𝑎 160 = min 0.7,0.8 = 0.7

𝜇𝑟𝑦𝑧𝑦𝑘𝑜=ś𝑟_𝑤𝑦𝑠𝑜𝑘𝑖𝑒(𝑤𝑖𝑒𝑘 =33,moc samochodu=160) = min 𝜇𝑚ł𝑜𝑑𝑦 33 , 𝜇ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖𝑎 160 = min 0.7,0.2 = 0.2

𝜇𝑟𝑦𝑧𝑦𝑘𝑜=ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖𝑒(𝑤𝑖𝑒𝑘 =33,moc samochodu=160) = min 𝜇ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖 33 , 𝜇ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖𝑎 160 = min 0.3,0.2 = 0.2

𝜇𝑟𝑦𝑧𝑦𝑘𝑜=ś𝑟_𝑤𝑦𝑠𝑜𝑘𝑖𝑒(𝑤𝑖𝑒𝑘 =33,moc samochodu=160) = min 𝜇ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖 33 , 𝜇𝑑𝑢ż𝑎 160 = min 0.3,0.8 = 0.3

Operacja maksimum jako operator agregacjiwyników wnioskowania uzyskanych napodstawie pojedynczych reguł

Agregujemy decyzje reguł

𝜇𝑟𝑦𝑧𝑦𝑘𝑜=ś𝑟_𝑤𝑦𝑠𝑜𝑘𝑖𝑒(𝑤𝑖𝑒𝑘 =33,moc samochodu=160) = min 𝜇𝑚ł𝑜𝑑𝑦 33 , 𝜇ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖𝑎 160 = min 0.7,0.2 = 0.2

𝜇𝑟𝑦𝑧𝑦𝑘𝑜=ś𝑟_𝑤𝑦𝑠𝑜𝑘𝑖𝑒(𝑤𝑖𝑒𝑘 =33,moc samochodu=160) = min 𝜇ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖 33 , 𝜇𝑑𝑢ż𝑎 160 = min 0.3,0.8 = 0.3

Gdy kilka reguł dostarcza różnych wartości decyzji agregujemy decyzje metodą MAX:

Operacja maksimum jako operator agregacji wyników wnioskowania uzyskanych napodstawie pojedynczych reguł

defuzyfikacja

• Metoda środka ciężkości

• Metoda średniego maksimum

• Metoda pierwszego maksimum

• Metoda ostatniego maksimum

Metoda środka ciężkości

• COG = 25

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 5 10 15 20 25 30

średnie średnioWysokie wysokie 0.7 0.3 0.2

Metoda średniego maksimum

• 27,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 5 10 15 20 25 30

średnie średnioWysokie wysokie 0.7 0.3 0.2

Metoda pierwszego maksimum

• 25

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 5 10 15 20 25 30

średnie średnioWysokie wysokie 0.7 0.3 0.2

Metoda ostatniego maksimum

• 30

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 5 10 15 20 25 30

średnie średnioWysokie wysokie 0.7 0.3 0.2

Graficzna reprezentacja zmiennych lingwistycznych w postaci zbiorów rozmytych

Agregacja

Dziękuję za uwagę…