Środek masy

125. Na rysunku przedstawiono ułożenie czterech ciał o jednakowej masie równej 1kg. Wyznacz położenie środka masy tego układu.

Rozwiązanie:

126. Dwa klocki poruszają się po płaskim stole wzdłuż tej samej prostej. Klocek A ma masę m A

i porusza się z prędkością vA , a klocek B o masie mB porusza się z prędkościa vB w kierunku przeciwnym do ruchu klocka A. Z jaką prędkością przemieszcza się środek masy układu składającego się z obu klocków?

Rozwiązanie:

127. Dwie cienkie jednorodne blachy, jedną w kształcie kwadratu o boku 1m, a drugą w kształcie prostokąta o długości 2m i szerokości 1m, ułożono na stole tak jak to pokazano na rysunku. Wyznacz współrzędne środka masy układu blach.

Rozwiązanie:

128. Środek masy układu pięciu kulek miedzianych porusza się ze stałą prędkością o wartości v=3m/s. Jaką wartość ma suma wektorowa sił zewnętrznych działająca na ten układ, jeżeli masa każdej z kul jest równa 0.2 kg?

Rozwiązanie:

129. Z jednorodnej blachy o grubości 5 mm wycięto dwa kawałki w kształcie trójkąta równobocznego o boku 5 cm. Trójkąty te ułożono tak jak przedstawiono to na rysunku. Wyznaczyć położenie środka masy układu.

Rozwiązanie:

130. Dwaj chłopcy o masach m1 = 77 kg i m2 = 63 kg, stojący na łyżwach na lodowisku w odległości l = 7 m od siebie, trzymają końce napiętej linki równoległej do osi OX. a)  Oblicz współrzędną x środka masy układu chłopców. Przyjmij, że chłopiec o masie m1 znajduje się w początku układu współ-rzędnych, a linka jest nieważka. b) W pewnej chwili lżejszy chłopiec zaczyna ciągnąć za koniec linki. Czy położenie środka masy układu w chwili zderzenia chłopców ulegnie zmianie, gdy pominiemy tarcie? Oblicz, jaką drogę przejedzie ten chłopiec od startu aż do zderzenia ze swoim kolegą. c) Oblicz wartości przyspieszeń chłopców podczas ich ruchu w układzie odniesienia związanym z lodowiskiem, jeśli siła napięcia linki miała stałą wartość równą F = 90 N. d) Oblicz (w układzie lodowiska) maksymalną szybkość każdego z chłopców tuż przed zderzeniem. e) Ile wyniosą wartości przyspieszeń chłopców, jeśli współczynnik tarcia kinetycznego między łyżwami a lodem wynosi fk= 0,04. f) Czy w przypadku występowania tarcia pęd układu chłopców podczas zbliżania się będzie ulegał zmianie? Uzasadnij odpowiedź.

Rozwiązanie:

131. Ciało o masie 2 kg znajduje się początkowo na wierzchołku równi o masie 8 kg, wysokości 2 m i długości poziomej podstawy 6 m mogącej poruszać się po poziomej idealnie gładkiej powierzchni. Wyznaczyć położenie równi w momencie, gdy ciało osiągnie koniec równi.

Rozwiązanie:

132. Sternik o masie 45 kg stoi na pokładzie niezacumowanej żaglówki o masie 450 kg i długości 7 m, nieruchomo spoczywającej na powierzchni jeziora. Sternik rozpoczyna spacer po pokładzie z prędkością 1 m/s w względem żaglówki przechodząc od jej przodu na rufę. Jak daleko względem brzegu przemieści się żaglówka, a jak sternik?

Rozwiązanie:

133. Naturalna cząsteczka wody zawiera atom tlenu 16O8 oraz dwa atomy wodoru, co

Rozwiązanie:

Pęd układu

134. Wyznacz pęd klocka o masie 1 kg poruszającego się z prędkością [m/s].

Rozwiązanie:

0,1 nmO16

H

H

53O

pokazuje rysunek obok. Odległość między atomem tlenu i wodoru wynosi 0,1 nm, a kąt między wiązaniami wodoru z atomem tlenu jest równy 106o. Wyznaczyć położenie środka masy cząsteczki wody umieszczając początek układu odniesienia w środku atomu tlenu i przyjmując za oś OX kierunek linii przerywanej umieszczonej na rysunku. Masa atomu wodoru to 16 u (u = 1.67·10-27 kg – jednostka masy atomowej), a atomu wodoru 2 u.

135. Wyznacz zmianę pędu klocka o masie 1 kg poruszającego się z przyspieszeniem [m/s], jaką uzyskuje on po 10s ruchu.

Rozwiązanie:

136. Piłka po odbiciu od podłogi wzniosła się na wysokość 1 m. Z jaką siłą zadziałała ona na podłogę, jeżeli czas zderzenia wynosił 0.1 s. Masa piłki m = 0.4 kg.

Rozwiązanie:

Zderzenia oraz zasada zachowania pędu

137. Człowiek o masie m1=60 kg , biegnący z prędkością v1=8 km /h , dogania wózek o masie 90

kg, który jedzie z prędkością v2=4 km /h i wskakuje na ten wózek; a) z jaką prędkością będzie poruszał się wózek z człowiekiem? b) Jaka będzie prędkość wózka z człowiekiem w przypadku, gdy człowiek będzie biegł naprzeciw wózka?

Rozwiązanie:

138. Na poziomo poruszający się z prędkością v=10 m /s wózek o masie m1=5 kg spadła pionowo

cegła o masie m2=3 kg . Ile wynosiła po tym prędkość wózka i cegły?

Rozwiązanie:

139. Ołowiany pocisk o masie 0,1 kg lecąc poziomo uderza w stojący wózek z piaskiem o łącznej masie 50 kg i grzęźnie w nim. Po zderzeniu wózek odjeżdża z prędkością 1 m/s. Jaka była prędkość pocisku przed zderzeniem.

Rozwiązanie:

140. W spoczywający na idealnie gładkim stole klocek o masie M=0,5 kg uderza poruszający się

poziomo z prędkością v=500 m /s pocisk o masie m=0 ,01 kg . Przebiwszy klocek pocisk porusza

się dalej ze zmniejszoną prędkością v1=300 m /s . Ile wynosi prędkość u klocka po uderzeniu przez pocisk?

Rozwiązanie:

141. W spoczywający na stole klocek o masie M=0,5 kg uderzył poruszający się poziomo z

prędkością v=500 m /s pocisk o masie m=0 ,01 kg i utkwił w nim na skutek czego klocek zaczął się poruszać. Jaką drogę s przebył klocek do zatrzymania się jeżeli współczynnik tarcia klocka o

podłoże wynosi f =0,2 ?

Rozwiązanie:

142. Granat lecący w pewnej chwili z prędkością v=10 m /s rozerwał się na dwa odłamki. Większy odłamek, którego masa stanowiła w = 60% masy całego granatu, kontynuował lot w pierwotnym

kierunku, lecz ze zwiększoną prędkością v1=25 m /s . Znaleźć kierunek i wartość prędkości mniejszego odłamka.

Rozwiązanie:

143. Pocisk o masie m lecący z prędkością v trafia w nieruchomy wagon naładowany piaskiem i grzęźnie w nim. Obliczyć prędkość u wagonu po tym zdarzeniu. Masa wagonu z piaskiem wynosi M.

Rozwiązanie:

144. Ołowiany pocisk o masie m lecąc poziomo z prędkością v uderza w stojący wózek z piaskiem o łącznej masie M (patrz rysunek obok). Przebiwszy warstwę piasku pocisk porusza się dalej z prędkością u1. Jaka była prędkość u2 wózka tuż po zderzeniu? Ile wynosi efektywny współczynnik tarcia f wózka o podłoże jeżeli po zderzeniu wózek przebył do zatrzymania drogę s?

Rozwiązanie:

145. Od dwustopniowej rakiety o masie M=1200 kg , po osiągnięciu szybkości v=200 m /s ,

oddzielił się pierwszy stopień o masie m=700 kg . Jaką szybkość osiągnął drugi stopień rakiety, jeśli

szybkość pierwszego stopnia zmalała w wyniku tej operacji do v1=150 m /s ?

Rozwiązanie:

146. Masa startowa rakiety (z paliwem) wynosi m1=2 kg . Po wyrzuceniu paliwa o masie m2=0,4 kg rakieta wznosi się pionowo na wysokość h=1000 m . Oblicz prędkość wyrzuconego paliwa.

Rozwiązanie:

147. Granat lecący z prędkością 10 m/s rozerwał się na dwa odłamki o jednakowej masie. Po rozerwaniu jeden z nich na moment zatrzymał się a następnie spadł pionowo w dół. Znaleźć prędkość drugiego odłamka tuż po rozerwaniu.

Rozwiązanie:

148. Piłka o masie m = 100g uderza w ścianę z prędkością v = 5 m/s pod kątem i odbija się od niej doskonale sprężyście. a) Narysuj wektor zmiany pędu piłki p. b) Oblicz wartość wektora zmiany pędu. c) Na podstawie rysunku wykonanego w punkcie a) zadania podaj kierunek i zwrot siły, którą ściana działa na piłkę i którą piłka działa na ścianę.

Rozwiązanie:

149. Łyżwiarz o masie M = 80 kg, stojący na zamarzniętym jeziorze rzuca kamień o masie m = 400g poziomo w kierunku brzegu. W momencie rzutu ręka łyżwiarza znajdowała się na wysokości h = 2 m. Kamień upada na brzeg w odległości s = 15 m od łyżwiarza. Jaka pracę wykonał łyżwiarz?

Rozwiązanie:

150. Dwie kule zawieszone na równoległych niciach tej samej długości stykają się. Kula o  masie M zostaje odchylona od pionu tak, że jej środek ciężkości wznosi się na wysokość h zostaje puszczona swobodnie. Na jaką wysokość wzniesie się ta kula po zderzeniu doskonale niesprężystym z drugą kulą. Masa drugiej kuli wynosi m.

Rozwiązanie:

151. Z działa o masie M następuje wystrzał pocisku o masie m pod kątem α do poziomu. Oblicz prędkość, z jaką działo zostaje odrzucone wstecz, jeżeli prędkość pocisku względem ziemi wynosi v.

Rozwiązanie:

152. Poziomo lecący strumień wody uderza o ścianę i spływa po niej swobodnie. Prędkość strumienia wynosi v, a jego pole przekroju poprzecznego S. Wyznaczyć siłę z jaką ten strumień działa na ścianę.

Rozwiązanie:

153. Piłka o masie m uderza pod kątem α o doskonale gładką ścianę i odbija się od niej doskonale sprężyście. Znaleźć średnią siłę F z jaką ściana działa na piłkę. Prędkość padającej piłki v, a czas zderzenia Δt.

Rozwiązanie:

154. Obliczyć ciśnienie wywierane na ścianę przez strumień cząstek poruszających się z prędkością v. Zderzenie kulek ze ścianą jest doskonale sprężyste. Kąt między strumieniem padającymi prostopadłą do ściany wynosi Koncentracja cząstek w strumieniu jest równa n.

Rozwiązanie:

155. Kulka o masie 0,25 kg lecąca poziomo z prędkością v1 = (14, 0, 0), zderza się centralnie idealnie sprężyście z kulką o masie 0,4 kg lecącej poziomo po tej samej prostej z prędkością v2 = ( 8, 0, 0). Wyznaczyć prędkości (wartości i kierunki) obu kulek po zderzeniu.

Rozwiązanie:

156. Rozwiązać poprzednie zadanie przy założeniu, że zderzenie jest idealnie niesprężyste. Jaka ilość i na co jest tracona początkowa wartość energii kinetycznej kulek? Przy jakich warunkach obie kulki po zderzeniu będą spoczywały?

Rozwiązanie:

157. Spoczywające w początku układu odniesienia jądro atomu nagle rozpada się na 3 części. Znane są następujące dane dotyczące części rozpadu: m1 = 16,7·10-27 kg, v1 = (6·106, 0, 0) m/s, m2 = 8,35·10-

27 kg, v2 = (8·105, 0, 0) m/s oraz m2 = 11,7·10-27 kg. Wyznaczyć wektor v3. Ile wynosi energia kinetyczna uwolniona w tym rozpadzie? Ile potrzeba takich rozpadów w ciągu jednej sekundy, aby wydzielona moc energii kinetycznej była równa 1 megawatowi?

Rozwiązanie:

158. W czasie testów samochodu bada się jego odporność na zderzenia. Samochód o masie 2300 kg i prędkości 15 m/s uderza w podporę mostu. Jaką średnią siłą działa podpora na samochód (a samochód na podporę) w czasie zderzenia trwającego 0,56 s?

Rozwiązanie:

159. (Patrz także zdanie 28) Sternik o masie 45 kg stoi na pokładzie niezacumowanej żaglówki o masie 450 kg i długości 7 m, nieruchomo spoczywającej na powierzchni jeziora. Sternik rozpoczyna spacer po pokładzie z prędkością 1 m/s w względem żaglówki przechodząc od jej przodu na rufę. Z jaką prędkością względem wody porusza się sternik a z jaką żaglówka?

Rozwiązanie:

160. Jednej kuli bilardowej nadano prędkość V kierując ją na 15 innych nieruchomych. W rezultacie zderzeń kul miedzy sobą i z brzegiem masywnego stołu, w pewnym momencie wszystkie kule mają te same prędkości v. Jeśli zaniedbamy ruch obrotowy kul, to ile wynosi stosunek v/V?

Rozwiązanie:

161. Strumień wody z armatki policyjnego samochodu pada na ciało demonstranta. Prędkość wody wynosi 15 m/s. W ciągu sekundy armatka wylewa 10 litrów wody. Woda praktycznie nie odbija się od ciała demonstranta, spływa po nim, a jej gęstość 1000 kg/m3. Obliczyć średnią wartość siły działającej na ciało demonstranta.

Rozwiązanie:

162. Pocisk lecący poziomo z prędkością v rozpada się na dwie równe części, które dalej lecą poziomo. Jedna część porusza się w przeciwną stronę z taka samą prędkością, jak prędkość pocisku przed rozpadem. Jaka jest prędkość pozostałej części?

Rozwiązanie:

163. Stoisz na łyżwach na idealnie gładkiej tafli lodu. Koleżanka/kolega rzuca w Ciebie piłką o masie 0,4 kg, której pozioma prędkość w chwili uderzenia o Twoje ciało o masie 60 kg wynosi 14 m/s. a) Jeśli złapiesz piłkę, to z jaką prędkością będziesz się poruszał? W jakim kierunku? B) Jeśli piłka odbije się od Ciebie i następnie poruszać się będzie w kierunku przeciwnym z poziomą prędkością 8 m/s, to jaka będzie Twoja prędkość?

Rozwiązanie:

164. Ciało A o masie 3 kg zderza się idealnie sprężyście i centralnie z innym nieruchomym ciałem. Ciało A po zderzeniu porusza się w tym samym kierunku ale z prędkością czterokrotnie mniejszą? Jak była masa nieruchomego ciała?

Rozwiązanie:

165. Dwa klocki o masach 2 kg i 5 kg, spoczywające na idealnie gładkiej poziomej powierzchni, łączy ściśnięta sprężyna. Po zwolnieniu sprężyny ciało o mniejszej masie uzyskało prędkość 2 m/s. Jaką prędkość miał drugi klocek?

Rozwiązanie:

166. Neutron zderza się czołowi i idealnie sprężyście ze spoczywającym początkowo jadrem atomu węgla 12C6. Jaką część początkowej energii kinetycznej neutronu jest przekazywana atomowi węgla? Wyznaczyć energię kinetyczną jądra węgla i neutronu po zderzeniu, jeśli początkowa energia neutronu wynosiła 1,6·10-23 J. Przyjąć w obliczeniach, że masa jądra węgla jest 12 razy większa od masy neutronu.

Rozwiązanie:

167. Podczas legendarnego oblężenia przez Szwedów Jasnej Góry kolubryna o masie własnej 500 kg wystrzeliwała pociski o masie 10 kg z prędkością poziomą 150 m/s przesuwając się przy tym o 2 m. Obliczyć prędkość początkową działa oraz średnią siłe działającą na armatę, zakładając, że ruch armaty jest jednostajnie opóźniony.

Rozwiązanie:

168. Kamizelki kuloodporne są szyte z odpowiednio gęsto utkanych tkanin (dlatego są bardzo ciężkie). Uderzająca w kamizelkę kula stopniowo ale błyskawicznie grzęźnie w splotach tkanin. Przypuśćmy, że pocisk o masie 10,2 g wystrzelono w kierunku człowieka ubranego w kamizelkę. Zależność v(t) prędkości kuli w tkaninach kamizelki zadaje równanie v(t) = a bt, gdzie a = 300 m/s , b = 75 m/(mikrosekunda)2 dla 0 ≤ t ≤ 40 s (mikrosekund). Jakie jest opóźnienie pocisku w kamizelce? Obliczyć: a) zmianę pędu i energii pocisku; b) drogę, na której pocisk zatrzymuje się; c) wartość siły działającej na kamizelkę ze strony grzęznącej w niej kuli.

Rozwiązanie:

169. Wyobraź sobie, że pocisk z poprzedniego zadania uderza w Terminatora stojącego na idealnie gładkiej powierzchni, którego masa wraz z kamizelką wynosi 75 kg. Wyznaczyć przyspieszenie Terminatora w czasie uderzenia trwającego 40 s oraz jego prędkość tora po uderzeniu pocisku.

Rozwiązanie:

170. (Kosmiczna proca) Pojazd kosmiczny Voyager 2 o masie m i prędkości v = 12 km/s względem nieruchomego Słońca zbliża się do Jowisza o masie M i prędkości orbitalnej V = 13 km/s. Pojazd okrąża planetę i oddala się od niej w kierunku, z którego nadleciał. Wyznacz prędkość pojazdu względem Słońca po tym manewrze, który można rozpatrywać jako zderzenie idealnie sprężyste, przy warunku M m. Ws-ka: skorzystać ze wzoru na prędkości zderzających się obiektów przed i po zderzeniu i przyjąć, że prędkość Jowisza praktycznie nie ulega zmianie.

Rozwiązanie:

***