Kwadratura kołaKwadratura koła

Trysekcja kątaTrysekcja kąta

Podwojenie sześcianuPodwojenie sześcianu

Paweł Karlicki

Kl. IIa

Gimnazjum nr 2 w Błoniu

Kwadratura koła

Problemy te miały być rozstrzygnięte wyłącznie sposobem geometrycznym i tylko przy użyciu cyrkla i linijki, na której nie ma żadnej podziałki. Pierwsi tymi problemami zajmowali się Pitagorejczycy, nie osiągnęli jednak sukcesu w ich rozwiązaniu.

Właściwe ich postawienie zawdzięczamy Platonowi i jego szkole, w której mimo wielu wysiłków również nie osiągnięto istotnych rezultatów. Na przestrzeni wieków powstawały rozmaite konstrukcje przybliżone lub dokładne - oparte jednak na dodatkowych środkach pomocniczych.

Długie stulecia zajmowano się tymi zagadnieniami, ani nie mogąc podać prawidłowego ich rozwiązania, ani też nie mogąc dowieść, że są one nierozwiązalne.

Dopiero w wieku XVIII, niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss rozwiązał szereg skomplikowanych zagadnień algebraicznych, nad którymi głowiły się dotychczas bezowocnie całe pokolenia matematyków, a na początku XIX wieku Gauss wykazał niemożliwość rozwiązania problemu delijskiego i trysekcji kąta za pomocą cyrkla i linijki. Kilkadziesiąt lat później udowodniono to samo w stosunku do kwadratury koła.

Kwadratura koła

Problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła, przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki. Jest to jeden z trzech wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej (obok trysekcji kąta i podwojenia sześcianu), sformułowany przez szkołę pitagorejską. Konstrukcja taka jest niewykonalna, co wynika z twierdzenia udowodnionego w roku 1837 przez Pierre Wantzela oraz faktu udowodnionego w 1882 roku przez Lindemanna, iż π jest liczbą przestępną.

Kwadratura koła

Kwadratura koła jest bezpośrednio związana z rektyfikacją okręgu; gdyby jedna z tych konstrukcji była wykonalna, wykonalna byłaby i druga.

Określenie kwadratura koła funkcjonuje również w języku potocznym; oznacza coś niewykonalnego, z góry skazanego na niepowodzenie.

Tak jak niełatwo było udowodnić, że stosunek między bokiem kwadratu i jego przekątną nie może być wyrażony przez liczbę wymierną, tak samo trudno było wykazać, że podobnie rzecz ma się z kołem. Przez setki lat problemem kwadratury koła zajmowali się matematycy, nie mogąc problem rozwiązać, ani też nie mogąc dowieść, że jest to niewykonalne. Niezliczone próby przedstawienia takiej konstrukcji bez wyjątku kończyły się fiaskiem.

Kwadratura koła

Dopiero w drugiej połowie XVIII wieku matematyk Johan Heinrich Lambert ustalił niewymierność liczby π, co oznaczało, że liczby tej nie da się przedstawić pod postacią ułamka. Sto lat póżniej, w 1882 roku, Ferdinand von Lindemann udowodnił, że liczba π jest liczbą przestępną. A żadna liczba przestępna nie może powstać za pomocą linijki i cyrkla.

Kwadratura koła

W ten sposób udowodniono, że jeden z najstarszych problemów matematycznych - kwadratura koła jest niemożliwa. Kwadratura koła stała się synonimem nierozwiązywalnego zadania. Wyrażenie to weszło do języka potocznego dla określenia skazanych na niepowodzenie prób podejmowanych przez kogoś, kto upiera się, by zrealizować coś niemożliwego.

Kwadratura koła

Trysekcja kąta

Jeden z trzech (obok podwojenia sześcianu i kwadratury koła) wielkich problemów matematyki greckiej. Polega on na podziale kąta na trzy równe części jedynie przy użyciu cyrkla i linijki. W roku 1837 Pierre Wantzel udowodnił, że konstrukcja taka w ogólnym przypadku jest niewykonalna.

Trysekcja kąta

Problem ten sięga swoją historią do pitagorejczyków. W związku z konstrukcją wielokątów foremnych interesowali się oni podziałem okręgu na równe części. Podział na 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 równych części udało się im przeprowadzić za pomocą linijki i cyrkla.Natomiast podział okręgu na 7, 9, 11, 13 równych części stwarzał niepokonane trudności.Szczególnie intrygował pitagorejczyków podział na 9 równych części prowadzący do konstrukcji dziewięciokąta foremnego. Aby otrzymać dziewięciokąt foremny, wystarczyłoby tylko odpowiedni kąt środkowy mający 120° podzielić na trzy równe części. Tu więc spotykamy problem trysekcji kąta.

Trysekcja kąta

Podział tego kąta na 3 równe części nastręczał rozwiązującym niepokonane trudności. Niemożliwe jest podanie metody podzielenia cyrklem i linijka dowolnego kąta na trzy równe części. Kąty dzielą się na takie, które da się podzielić na trzy części cyrklem i linijką (np. 90°), oraz na takie, których cyrklem i linijką nie da się podzielić na trzy równe części (np. 120°).

Oczywiście, jeśli użyć odpowiednich narzędzi, to za ich pomocą można dokonać trysekcji dowolnego kąta ( tzw. konstrukcja neusis - tak Dinostarates dokonał trysekcji za pomocą kwadratrysy.

Trysekcja kąta

Posługując się narzędziami teorii Galois można wykazać, że dla danego kąta kąt o mierze jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian

jest rozkładalny w ciele

Trysekcja kąta

Konstrukcja Archimedesa

By dokonać trysekcji kąta ostrego można wykorzystać mniej dokładną konstrukcję Archimedesa. Używa się do niej cyrkla i linijki z zaznaczonymi dwoma punktami X i Y. Najpierw należy nakreślić okrąg o środku O (gdzie O - wierzchołek kąta) i promieniu r = | XY | . Punkty przecięcięcia okręgu z ramionami kąta oznaczyć jako A i B. Następnie poprowadzić prostą OA oraz prostą l za pomocą linijki tak, aby jeden z zaznaczonych na niej punktów X należał do prostej OA, zaś drugi - punkt Y do okręgu i tak by prosta l przechodziła przez punkt B. Wówczas proste OA i l przetną się pod kątem

Podwojenie sześcianu

Podwojenie sześcianu

Podwojenie sześcianu (inaczej nazywany problemem delijskim) – jedno z trzech, obok trysekcji kąta i kwadratury koła, wielkich zagadnień starożytnej matematyki greckiej, polegające na zbudowaniu sześcianu o objętości dwa razy większej niż dany.Legenda mówi, że w czasie zarazy na Delos wyrocznia delfijska przekazała proroctwo Apolla, że choroba ustanie, gdy jego ołtarz w świątyni w Delfach zostanie powiększony dwukrotnie. Zrozumiano to w ten sposób, że należy dwukrotnie powiększyć objętość ołtarza, zachowując jego kształt sześcianu.

Ateńczycy nie mogli zrozumieć, dlaczego nie mogą rozwiązać problemu, który wydawał się tak łatwy. Okazało się, że są bezsilni. Zrozpaczeni postanowili zwrócić się do największych matematyków tych czasów.Archytas z Tarentu zaproponował przecięcie trzech płaszczyzn - stożka, walca i torusa. Menechem posłużył się dwiema stożkowymi: hiperbolą i parabolą.

Podwojenie sześcianu

Hippiasz z Elis rozwiązał problem technicznie. Wszystkie te krzywe, wymyślone przez matematyków, były krzywymi mechanicznymi, nie były krzywymi geometrycznymi. Zastosowane sposoby były podlejszej natury i w dodatku posługiwały się ruchem i szybkością. Nie można było jednak za pomocą ruchomych konstrukcji zbudować świątyni w Delos. Dżuma trwała dalej.

Jeśli Apollon domaga się tej konstrukcji ustami wyroczni, to przecież nie dlatego, że potrzebuje podwójnego ołtarza. To dlatego, że ma za złe Grekom lekceważenie matematyki i ich niechęć do geometrii.

Podwojenie sześcianu

Klasyczne rozwiązanie problemu, przy pomocy cyrkla i linijki nie jest możliwe; problem może jednak być rozwiązany przy pomocy metod nieklasycznych, na przykład konchoidografu i konchoidy Nikomedesa lub cysoidy Dioklesa.

Podwojenie sześcianu

W języku algebry problem podwojenia sześcianu sprowadza się do zbudowania odcinka x spełniającego równanie x3 = 2a3, gdzie a jest dane. Przyjmując a za jednostkę, problem sprowadza się do zbudowania pierwiastka 3 stopnia z liczby 2. Nie jest to jednak możliwe:

jest liczbą algebraiczną stopnia 3, podczas gdy teoria mówi, że dana liczba daje się skonstruować za pomocą cyrklai linijki wtedy i tylko wtedy, gdy jej stopień nad ciałem liczb wymiernych jest naturalną potęgą liczby 2.

Podwojenie sześcianu

Wygląda na to, że Apollo zadowoliłby się dopiero sześcianem o boku długości

3 2 Greccy geometrzy potrafili skonstruować za pomocą cyrkla i linijki odcinki długości 2 i 3 ale żaden z nich nie był w stanie przeprowadzić konstrukcji odcinka o długości 3 2.

Liczbę tą nazywa się liczbą delijską.Udowodnienie nierozwiązalności problemu sprowadza się mniej więcej do takiego rozumowania:

Aby podwoić sześcian o krawędzi a, trzeba znaleźć odcinek długości x, który odpowiada równaniu x3 = 2a3.

Mamy tu do czynienia z równaniem stopnia trzeciego. Jednak geometria koła i linii prostej nie doprowadza do rozwiązania równań stopnia trzeciego.

Zadanie to więc z ograniczeniem, iż ma być wykonane za pomocą cyrkla i linijki jest nierozwiązalne.