Krzywe stożkoweLekcja VI: Parabola

Marek Skarupski

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Czym jest parabola?

Parabola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożkapłaszczyzną pod kątem β = α (gdzie α jest kątem pomiędzy wysokościąstożka a jego tworzącą) tak, aby linia cięcia nie pokrywała się z tworzącąstożka.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Czym jest parabola?

Załóżmy, że mamy pewien punkt F oraz prostą k wzajemnie rozłączne.Parabolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że ichodległość punktu F jest równa odległości od prostej k.

Formalnie:

{P ∈ R2 : |PF | = d(P, k)}

Punkt F nazywamy ognieskiem paraboli, a prostą k kierownicą.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Czym jest parabola?

Załóżmy, że mamy pewien punkt F oraz prostą k wzajemnie rozłączne.Parabolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że ichodległość punktu F jest równa odległości od prostej k. Formalnie:

{P ∈ R2 : |PF | = d(P, k)}

Punkt F nazywamy ognieskiem paraboli, a prostą k kierownicą.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Czym jest parabola?

Załóżmy, że mamy pewien punkt F oraz prostą k wzajemnie rozłączne.Parabolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że ichodległość punktu F jest równa odległości od prostej k. Formalnie:

{P ∈ R2 : |PF | = d(P, k)}

Punkt F nazywamy ognieskiem paraboli, a prostą k kierownicą.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Elementy paraboli

W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przezognisko i prostopadłej do kierownicy.

r - promień wodzący punktu P.Parametr ogniskowy p: odległość ogniska od kierownicy. Wierzchołekparaboli jest oddalony od kierownicy o odległość p2 . Mimośród paraboli:m = 1.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Elementy paraboli

W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przezognisko i prostopadłej do kierownicy. r - promień wodzący punktu P.

Parametr ogniskowy p: odległość ogniska od kierownicy. Wierzchołekparaboli jest oddalony od kierownicy o odległość p2 . Mimośród paraboli:m = 1.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Elementy paraboli

W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przezognisko i prostopadłej do kierownicy. r - promień wodzący punktu P.Parametr ogniskowy p: odległość ogniska od kierownicy. Wierzchołekparaboli jest oddalony od kierownicy o odległość p2 .

Mimośród paraboli:m = 1.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Elementy paraboli

W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przezognisko i prostopadłej do kierownicy. r - promień wodzący punktu P.Parametr ogniskowy p: odległość ogniska od kierownicy. Wierzchołekparaboli jest oddalony od kierownicy o odległość p2 . Mimośród paraboli:m = 1.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Równanie kanoniczne paraboli

Równanie paraboli jest rozważane w dwóch przypadkach: gdy kierownicajest prostopadła do osi OX lub gdy jest równoległa do osi OX . Niechdany będzie wierzchołek paraboli W = (x0, y0). Wtedy równaniekanoniczne paraboli ma postać

(y − y0)2 = 2p(x − x0) (1)

W drugim wypadku dostajemy:

(x − x0)2 = 2p(y − y0). (2)

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Równanie kanoniczne paraboli

Równanie paraboli jest rozważane w dwóch przypadkach: gdy kierownicajest prostopadła do osi OX lub gdy jest równoległa do osi OX . Niechdany będzie wierzchołek paraboli W = (x0, y0). Wtedy równaniekanoniczne paraboli ma postać

(y − y0)2 = 2p(x − x0) (1)

W drugim wypadku dostajemy:

(x − x0)2 = 2p(y − y0). (2)

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Równanie w postaci parametrycznej

Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyćrównania parametryczne paraboli. W pierwszym wypadku są one danejako:

x = x0 + pt2, y = y0 + 2pt (3)

W drugim zaś jako:

x = x0 + 2pt, y = y0 + pt2 (4)

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Równanie w postaci parametrycznej

Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyćrównania parametryczne paraboli. W pierwszym wypadku są one danejako:

x = x0 + pt2, y = y0 + 2pt (3)

W drugim zaś jako:

x = x0 + 2pt, y = y0 + pt2 (4)

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Równanie w postaci biegunowej

Niech środek paraboli będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunoweparaboli ma postać:

ρ =p

1 + cos(φ)(5)

gdzie p jest parametrem ogniskowym.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Równanie w postaci biegunowej

Niech środek paraboli będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunoweparaboli ma postać:

ρ =p

1 + cos(φ)(5)

gdzie p jest parametrem ogniskowym.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Kierownice i ogniska paraboli

Jeśli parabola jest postaci (y − y0)2 = 2p(x − x0) to jej kierownica iwierzchołek dane są:

k : x = x0 −p2, W = (x0, 0)

Jeśli parabola jest postaci (x − x0)2 = 2p(y − y0) to jej kierownica iwierzchołek dane są:

k : y = y0 −p2, W = (0, y0)

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Kierownice i ogniska paraboli

Jeśli parabola jest postaci (y − y0)2 = 2p(x − x0) to jej kierownica iwierzchołek dane są:

k : x = x0 −p2, W = (x0, 0)

Jeśli parabola jest postaci (x − x0)2 = 2p(y − y0) to jej kierownica iwierzchołek dane są:

k : y = y0 −p2, W = (0, y0)

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Równanie stycznej do paraboli

Niech punkt P(x1, y1) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osiOX . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać:

(y1 − y0)(y − y0)(x1 − x0) + (x − x0)

= p

Niech punkt P(x1, y1) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osiOY . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać:

(x1 − x0)(x − x0)(y1 − y0) + (y − y0)

= p

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Równanie stycznej do paraboli

Niech punkt P(x1, y1) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osiOX . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać:

(y1 − y0)(y − y0)(x1 − x0) + (x − x0)

= p

Niech punkt P(x1, y1) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osiOY . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać:

(x1 − x0)(x − x0)(y1 − y0) + (y − y0)

= p

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Kreślenie paraboli

Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt wpołowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek.

KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części.KROK III: Łączymy każdy punkt podziału z wierzchołkiem

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Kreślenie paraboli

Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt wpołowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek.KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części.

KROK III: Łączymy każdy punkt podziału z wierzchołkiem

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Kreślenie paraboli

Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt wpołowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek.KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części.KROK III: Łączymy każdy punkt podziału z wierzchołkiem

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Kreślenie paraboli

Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt wpołowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek.KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części.KROK III: Łączymy każdy punkt podziału z wierzchołkiem

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Kreślenie paraboli

KROK IV: Dzielimy krótszy bok na 2n części i rysujemy pionowe liniepodziału.

KROK V: Punkty przecięcia prostych przechodzących przez punkty o tychsamych numerach to punkty przejścia paraboli.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Kreślenie paraboli

KROK IV: Dzielimy krótszy bok na 2n części i rysujemy pionowe liniepodziału.KROK V: Punkty przecięcia prostych przechodzących przez punkty o tychsamych numerach to punkty przejścia paraboli.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Podziękowania

Dziękuję za uwagę

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola