Kryptologia

Szyfrowanie i deszyfrowanie

Kod RSA

Kryptologia Kod RSA

Rozdziały:

✗Istota szyfru RSA

✗Algorytm szyfrowania i deszyfrowania

✗Dowód poprawności

Kryptologia Kod RSA

Istota szyfru RSA

Istota szyfru RSA

Kryptologia Kod RSA

Istota szyfru RSA

Kryptologia✗ Nauka zajmująca się szyfrowaniem – kryptografia

oraz deszyfrowaniem - kryptoanaliza

Kod RSA✗ Nazwa szyfru pochodzi od nazwisk jego twórców.

✗ Aby zaszyfrować wiadomość wystarczy znajomość

klucza jawnego, lecz do odszyfrowania niezbędny

jest klucz prywatny.

✗ Trudność złamania kodu opiera się na trudności

rozłożenia bardzo dużych liczb naturalnych na

czynniki pierwsze.

Kryptologia Kod RSA

Istota szyfru RSA

Operacje i funkcjepojawiające się w algorytmie kodu

✗ Funkcja modulo

✗ Funkcja Eulera

✗ Twierdzenie Eulera

Kryptologia Kod RSA

Istota szyfru RSA

FUNKCJA MODULO

✗ Operacja zwracająca resztę z dzielenia liczby a przez n.

a mod n=x

np.: 5 mod 2=1

9 mod 3=0

13 mod 5=3

8 mod 10=8

Kryptologia Kod RSA

Istota szyfru RSA

FUNKCJA EULERA

✗ Funkcja Eulera φ wyznacza ilość liczb wzgęldnie pierwszych

z daną liczbą, mniejszych od niej.

✗ Rozpatrujemy zbiór liczb naturalnych (wraz z zerem)

np.: φ(8)=4

✗ Jeżeli n jest liczbą pierwszą, to φ(n)=n-1

✗ Słaba multiplikatywność

φ(an)= φ(a) · φ(n)

Kryptologia Kod RSA

Istota szyfru RSA

TWIERDZENIE EULERA

Jeżeli a jest liczbą całkowitą, a n naturalną, to

aφ(n) mod n=1

Kryptologia Kod RSA

Algorytm szyfrowania i d…

Algorytm szyfrowania i deszyfrowania

Kryptologia Kod RSA

Algorytm szyfrowania i d…

Wybór kluczy✗ Wybieramy liczby pierwsze p,q (jak największe i

TAJNE!)

✗ Obliczamy n=pq

✗ Obliczamy t=(p-1)(q-1)

✗ Losowo wybieramy e takie, że NWD(e,t)=1

✗ Znajdujemy d takie, że: ed mod t=1 (d zostaje

tajne!)

ed=kt+1, k – liczba naturalna

[e, n] – klucz jawny

[d, n] – klucz prywatny

Kryptologia Kod RSA

Algorytm szyfrowania i d…

Szyfrowanie wiadomości✗ Szyfrowana jest wiadomość LICZBOWA m

✗ m<n

✗ Otrzymujemy zaszyfrowaną wiadomość c

me mod n=c

Kryptologia Kod RSA

Algorytm szyfrowania i d…

Deszyfrowanie wiadomości✗ Zaszyfrowana wiadomość c jest z powrotem zamieniana na

wiadomość m

cd mod n=m

Kryptologia Kod RSA

Algorytm szyfrowania i d…

Potęgowanie modulo

cd mod n=m

dd xncx

xncx

xncx

x nc

d

mod

mod

mod

mod

razy

1

32

21

1

Kryptologia Kod RSA

Dowód poprawności

Dowód poprawności

Kryptologia Kod RSA

Dowód poprawnosci

Tw.: cd mod n=m

(me mod n)d mod n=m

(me)d mod n=mkt+1 mod n=m(mk((p-1)(q-1))) mod n=

=m(mk(φ(p)φ(q))) mod n=m(mk(φ(pq))) mod n=

=m(mk(φ(n))) mod n=m((mφ(n))k)mod n=

=m(1k) mod n=m mod n=m

C.N.D.

Kryptologia Kod RSA

KONIECprezentacji