krata misesa

2005/6/16page 525

Rozdzia l 11

WYBRANE ZAGADNIENIASTATECZNOSCI PRETOWPROSTYCH I UK LADOWPRETOWYCH

Wprowadzenie

W literaturze spotykane sa rozne definicje statecznosci lub bliskoznacznegopojecia stabilnosci. W odniesieniu do uk ladow mechanicznych mozemy mowic #

albo o statecznosci stanu rownowagi (w sensie spe lnienia odpowiednich rownanstatyki) albo o statecznosci ruchu, np.: o statecznosci lotu obiektu latajacego1 .W obu przypadkach statecznoscia nazywac bedziemy zdolnosc uk ladu mecha- #

nicznego do powracania do stanu pierwotnego po wytraceniu go z tego stanu.Bardzo prosta ilustracja tego zagadnienia moze byc popularny model fizycznykulki ustawionej na zakrzywionej powierzchni. Analizujac zachowanie takiegomodelu, w tablicy 11.1 zdefiniowano statyczne i kinetyczne kryteria rownowagi #

trwa lej2 (statecznej), obojetnej i nietrwa lej (niestatecznej).

1Analizujac problemy statecznosci, w ktorych uwzgledniany jest czynnik czasu (np.: w za-gadnieniach ruchu cia la, przep lywu cieczy, itp.) uzywamy czesto okreslenia stabilnosc za-miast statecznosc.

2W literaturze stan rownowagi trwa lej lub nietrwa lej nazywany jest takze rownowaga

sta la oraz niesta la (chwiejna) [7].

2005/6/16page 526

526 ROZDZIA L 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOSCI ...

Tabela 11.1.

model fizyczny kryterium statyczne kryterium kinetyczne

ft11x1a��

f t11x1a

rownowaga trwa la

pod wp lywem nieskoncze-nie ma lego wychyleniauk lad powroci do postacipierwotnej

po nadaniu ma lej predkoscipoczatkowej uk lad bedziewykonywa l ruch drgajacyokresowy

ft11x1b��

f t11x1b

��

rownowaga obojetna

pod wp lywem nieskoncze-nie ma lego wychyle-nia uk lad pozostaniew po lozeniu wychylonym

po nadaniu ma lej predkoscipoczatkowej uk lad bedzieporusza l sie ruchem jedno-stajnym

ft11x1c��

��

f t11x1crownowaga nietrwa la

pod wp lywem nieskoncze-nie ma lego wychyle-nia uk lad zajmie innepo lozenie (rozne od pier-wotnego)

po nadaniu ma lej predkoscipoczatkowej uk lad bedzieporusza l sie ruchem przy-spieszonym

11.1 Zjawisko utraty statecznosci w uk ladachsprezystych

W zagadnieniach statecznosci konstrukcji sprezystych rodzaj rownowagizalezy najczesciej od parametrow obciazenia, np. od zadawanych si l lub prze-mieszczen. Modelem takiego stanu jest np. kulka ustawiona na zakrzywionejbelce jak na rysunku 11.1. Uwzgledniajac pierwotny promien zakrzywieniabelki R mozna wyznaczyc taka si le P ∗, powyzej ktorej rownowaga kulki jestnietrwa la (niestateczna); dla si ly P < P ∗ rownowaga kulki bedzie trwa la (sta-teczna), natomiast przypadek P = P ∗ oznacza rownowage obojetna.

ff1x1��

��

a) b)

f f1x1P PR

0 P*

P

rownowagarownowagatrwa la nietrwa la

Rysunek 11.1

2005/6/16page 527

11.1 ZJAWISKO UTRATY STATECZNOSCI ... 527

W dalszej czesci tego rozdzia lu, badajac rozne stany rownowagi, bedziemyzawsze stosowac kryterium statyczne. Zauwazmy jednak, ze w definicji tegokryterium mowimy o ”nieskonczenie ma lym” albo ”dowolnie ma lym” wychy-leniu od stanu pierwotnego (zob. tablica 11.1). W ten sposob okreslanyjest pewien stan idealny, ktorego praktycznie nigdy nie obserwujemy w ba-daniach doswiadczalnych. W rzeczywistej konstrukcji, zagrozonej utrata sta-tecznosci, impuls wytracajacy ja ze stanu pierwotnego moze byc ma ly aleskonczonej wielkosci; przy niewielkiej wartosci impulsu zaburzenia uk lad po-zostaje w rownowadze trwa lej. Mowimy wtedy, ze taka konstrukcja jest sta-teczna ”w ma lym”. Przyk ladowo, wysoki klocek ustawiony na sztywnympod lozu — rysunek 11.2a — zostanie wytracony z po lozenia rownowagi do-piero wtedy gdy si la boczna P bedzie wieksza od pewnej skonczonej wartosciP = P2 > P1.

f11x3��

��

��

f 11

x3

P2

P1

Q Q

a) b)

Q

Rysunek 11.2

Uwzgledniajac efekty nieliniowosci geometrycznej oraz odstepstwo od za-sady zesztywnienia przedstawimy ponizej proste modele fizyczne opisujacedwie podstawowe formy utraty statecznosci, tj. bifurkacje i przeskok. W dal-szej kolejnosci zostanie omowione zjawisko wyboczenia pretow prostychi uk ladow pretowych.

11.1.1 Utrata statecznosci ”przez bifurkacje”#

Rozwazmy prosty model uk ladu sprezystego, z lozony z nieodkszta lcalnegopreta zamocowanego w przegubie A, i utrzymywanego w pozycji pionowejprzez sprezyne jak na rysunku 11.3a. Swobodny koniec preta (punkt B) jestobciazony si la skupiona P skierowana wzd luz osi preta. Liniowa charaktery-styke sprezyny opisywac bedziemy nastepujacym rownaniem

Mspr = c · ϕ (11.1)

gdzie Mspr jest momentem jaki nalezy przy lozyc do preta, aby go obrocico kat ϕ, c jest wspo lczynnikiem charakteryzujacym sztywnosc sprezyny.

2005/6/16page 528


ff1x2��

��

f f1x2

b)a)

l

l

A

B

P P

B

A

ϕ

spr.

x

y

Rysunek 11.3

Przyk ladowo, jesli sprezyne wykonamy z drazka skretnego o d lugosci ai srednicy d, jak na rysunku 11.4, sta la c mozna wyznaczyc ze wzoru 6.22

ϕ =Msa

GJoskad c =

GJo

a=

G

a

πd4

32.

gdzie G jest modu lem Kirchhoffa drazka AC.

W po lozeniu idealnie pionowym (ϕ = 0) si la P nie daje momentu wzgledemprzegubu A — rysunek 11.3a — oraz sprezyna nie jest naprezona; reak-cja pionowa w przegubie A jest rowna RA = P . Tym samym wszystkierownania statyki sa spe lnione, a wiec mozemy powiedziec, ze ca ly uk lad jest

ff1x7a��

��

��

f f1x7a

GJol

a

P

CB

ARysunek 11.4

w rownowadze. Dla dowolnej si ly P mozemy wiec napisac

ϕ = ϕ(P ) = 0. (11.2)

Jak dalej zobaczymy rodzaj rownowagi (przy ϕ = 0) zalezny jest m.in. odwspo lczynnika c (zob. rownanie (11.1)) oraz od wartosci si ly P : dla ma lej si lyjest to rownowaga trwa la, dla duzej si ly rownowaga nietrwa la — rysunek 11.5.W szczegolnosci, gdy usunieta zostanie sprezyna (c → 0), wtedy dla dowolnej

2005/6/16page 529


ff1x5��

��

��

��

f f1x5

P

P*

ϕ

rownowagatrwa la

rownowaganietrwa la

Rysunek 11.5

dodatniej3 si ly P rownowaga uk ladu bedzie nietrwa la.Poszukujac innych stanow rownowagi zbadajmy jak rozwazany uk lad za-

chowuje sie w po lozeniu wychylonym o pewien kat ϕ — rysunek 11.3b. Za-pisujac rownanie rownowagi momentow dzia lajacych na ca ly pret (liczonych

ff1x4f f1x4

PKr

~~ ϕsinϕ

ϕ

P

b)0

a)

Kr

ϕ

P

P

Rysunek 11.6

np. wzgledem przegubu A) bedziemy mieli

∑

M(A) = 0 ⇒ P · l sin ϕ = Mspr.

Wykorzystujac dalej (11.1) otrzymujemy

P · l sin ϕ = c · ϕ. (11.3)

Rownanie rownowagi (11.3) posiada dwa rozne rozwiazania: pierwsze zapi-szemy w formie (11.2) — zob. rysunek 11.5. Drugiego rozwiazania poszukamyprzy za lozeniu, ze ϕ 6= 0; dzielac stronami (11.3) przez l sin ϕ dostaniemy

P = P (ϕ) =c

l

ϕ

sin ϕ. (11.4)

3Dodatnia si la P wywo luje sciskanie preta AB.

2005/6/16page 530


Powyzsza zaleznosc funkcyjna si ly P od kata ϕ przedstawiono na ry-sunku 11.6a. Jak latwo zauwazyc wykres P = P (ϕ) nie przechodzi przezpoczatek uk ladu (P = 0, ϕ = 0). Si le odpowiadajaca katowi ϕ → 0 latwoobliczymy4 uwzgledniajac dla ma lych katow nastepujaca zaleznosc

sin ϕ ≈ ϕ. (11.5)

Podstawiajac (11.5) do (11.4) otrzymujemy

P (0) = PKr =c

l·ϕ

ϕ,

PKr =c

l, (11.6)

gdzie PKr jest si la krytyczna wyznaczajaca na wykresie P = P (ϕ) tzw. punkt#

ff1x7

f f1x7

PKr

KrP

P1

a)

ϕ

ϕ

c)b)

ϕ

PP P

ϕ

P

ϕ2

e)d)

ϕ

P

ϕ2

2P

2P

(ϕ)

P2

Rysunek 11.7#

bifurkacji, nazywany inaczej punktem rozdwojenia5 stanu rownowagi — rysu-nek 11.7a. Dla dowolnej si ly P = P1 mniejszej od si ly krytycznej (P1 < PKr)rownowaga preta mozliwa jest jedynie w po lozeniu idealnie pionowym (ϕ = 0)i jest to rownowaga trwa la — rysunek 11.7b. Oznacza to, ze uk lad wytraconyz tego po lozenia (np. krotkotrwa lym impulsem si ly poziomej) powroci dopo lozenia pierwotnego natychmiast gdy zanikna przyczyny zaburzajace stan

4Dla kata ϕ = 0 we wzorze (11.4) otrzymujemy symbol nieoznaczony typu 0

0; si le P =

P (0) mozna tez obliczyc stosujac regu le de l’Hospitala.5Bifurkacja nazywana jest ”rozdwojeniem” pewnego stanu: np. ”bifurkacja rzeki” – jest

to rozdwojenie koryta rzeki.

2005/6/16page 531


rownowagi. Tak wiec przy sile P1 < PKr rownowaga preta w po lozeniu wy-chylonym mozliwa jest tylko wtedy gdy przy lozona zostanie np. dodatkowasi la boczna S — rysunek 11.8. Wyznaczajac zaleznosc tej si ly od kata ϕ,z rownania rownowagi bedziemy mieli

∑

M(A) = 0 ⇒ Sl cos ϕ + Pl sin ϕ − cϕ = 0,

S =1

cos ϕ

(c

lϕ − P sin ϕ

)

= PKr

ϕ

cos ϕ− P tg ϕ,

natomiast dla ma lych katow (ϕ → 0) dostaniemy

S ≈ (PKr − P )ϕ lub ϕ ≈S

PKr − P.

Inaczej bedzie gdy pret obciazony zostanie si la P = P2 wieksza od si lykrytycznej (P2 > PKr); ca ly uk lad moze byc wtedy w rownowadze w dwochroznych po lozeniach:

1) w po lozeniu idealnie pionowym (ϕ = 0) — rysunek 11.7c,2) w po lozeniu wychylonym (ϕ 6= 0) — rysunek 11.7d.

ff1x7k��

��

f f1x7k

P=P <PKr1 P=P <P

Kr1

P=P >PKr2

S

ϕ

ϕ

SP

a) b) c)

ϕ2

S

π/2

Rysunek 11.8

Na rysunku 11.7a sciezke rownowagi trwa lej oznaczono linia ciag la, natomiastsciezke rownowagi nietrwa lej linia przerywana. Rozne przypadki obciazaniai odciazania przedstawiono na rysunkach 11.7b-e. Jezeli po przy lozeniu si lyP2 (takiej ze P2 > PKr ) pret nie wychyli l sie od po lozenia pierwotnego(ϕ = 0, — rysunek 11.7c), wtedy jego rownowaga jest nietrwa la; oznacza to,ze wytracenie preta z tego po lozenia spowoduje, iz nie powroci on do po lozeniapierwotnego, zajmujac inne po lozenie — rysunek 11.7e. W nowym po lozeniu

2005/6/16page 532


(ϕ 6= 0) rownowaga preta jest trwa la, a kat obrotu ϕ = ϕ2 zalezy od si ly P2

i moze byc wyznaczony z rownania przestepnego (11.4).

Utrata statecznosci sprezystych uk ladow pretowych i konstrukcjicienkosciennych

Modelowa charakterystyke ”uogolniona si la – uogolnione przemieszczenie”,podobna do tej z rysunku 11.7, mozna narysowac dla wielu innych elementowkonstrukcyjnych zagrozonych utrata statecznosci przez bifurkacje. Przyk lady

f11x1a1

��

��

��

��

��

��

��

��

��

f 11x1a1

M s

��

��

��

��

a)b)

c)

d)e)

f) g) h)

Rysunek 11.9

takich elementow przedstawiono na rysunku 11.9a-h; sa to nastepujace przy-padki:

a) wyboczenie preta jednostronnie utwierdzonego,

2005/6/16page 533


b) zwichrzenie zginanej belki (wychyleniu z pierwotnej p laszczyzny zginaniamoze towarzyszyc skrecanie),

c) wyboczenie cienkiego pierscienia lub walcowej pow loki pod wp lywemcisnienia zewnetrznego,

d) pofa ldowanie scianek cienkiej rurki pod wp lywem momentu skrecajacego,e) wyboczenie sciskanej osiowo cienkosciennej pow loki,f) wyboczenie sciskanej tarczy (p lyty),g) niesymetryczna forma wyboczenia ramy,h) symetryczna forma wyboczenia ramy.

W dalszej czesci tego rozdzia lu bardziej szczego lowo omowione zostaniezagadnienie wyboczenia preta osiowo sciskanego (rysunek 11.9a) oraz przed-stawiona bedzie dla tego przypadku metoda wyznaczenia si ly krytycznej PKr.

Wp lyw imperfekcji

Wykres P = P (ϕ) przedstawiony na rysunku 11.7 jest sporzadzony dla pretaidealnego, a wiec takiego modelu fizycznego, w ktorym si la jest przy lozonaidealnie osiowo, charakterystyka sprezyny jest idealnie liniowa itd. W rze-czywistych pretach (rzeczywistych konstrukcjach) wystepuja rozne efekty im- #

perfekcji, wywo lane np.: nieosiowym przy lozeniem si ly (rysunek 11.10a,b),wstepnym odchyleniem preta od pozycji pionowej (rysunek 11.10c) czy si lamitarcia w przegubie A.

ff1x9��

��

��b) c) d)

f f1x9

a)A

P

e

B

oα

A

BP

oϕ

A

P

B P

PKr

ee >e

e=0

1

ϕ

2 1

l

Rysunek 11.10

Przyk ladowo, dla ma lego mimosrodu (takiego, ze e ≪ l — rysunek 11.10a),rownanie (11.3) mozemy zapisac nastepujaco

P · (e + l sin ϕ) = c · ϕ,

skad

2005/6/16page 534


P =c

l

ϕ

e + l sin ϕ= PKr

ϕ

e + l sin ϕ.

Na rysunku 11.10d przestawiono krzywe P = P (ϕ) dla roznych wielkoscimimosrodu e. Zwrocmy uwage na to, ze na wykresie nie wystepuje punktbifurkacji, a w okolicy si ly krytycznej (P ≈ PKr) nastepuje nag ly przyrost#

kata ϕ, co moze byc zjawiskiem niekorzystnym, jesli bedziemy mieli na uwa-dze bezpieczenstwo pracy ca lego uk ladu.

Niesymetryczne sciezki rownowagi

Utrate statecznosci przez bifurkacje omowiono dla prostego modelu pretaprzedstawionego na rysunku 11.3 (str. 528). Jest to model, dla ktoregootrzymujemy symetryczna charakterystyke P = P (ϕ) — rysunek 11.7a.W wielu rzeczywistych konstrukcjach obserwujemy niesymetryczne charak-terystyki stanow rownowagi. Przyk ladem moze byc model z lozony z nieod-kszta lcalnego preta AB utrzymywanego w pozycji pionowej przez sprezyne BC,umocowana jak na rysunku 11.11a. W punkcie bifurkacji (P = PKr, ϕ = 0— rysunek 11.11c) si la P = P (ϕ) moze byc funkcja rosnaca lub malejaca,w zaleznosci od znaku kata ϕ.

f11x63��

��

��

a)

f 11x63

c)��

b)

ϕ KrP

A

B

P

ϕ

PP

Rysunek 11.11

11.1.2 Utrata statecznosci ”przez przeskok”

Inna forma utraty statecznosci jest tzw. ”przeskok”, modelowany najczesciej#

uk ladem dwoch idealnie sprezystych pretow lub sprezyn mocowanych prze-gubowo jak na rysunku 11.12a,b. Ten sam efekt moze byc np. modelo-wany jednym pretem zamocowanym w przegubie przesuwnym i nieprzesuw-nym (rysunek 11.12c) lub uk ladem ramowym dwoch zakrzywionych pretow

2005/6/16page 535


o sztywnosci zginania EJg (rysunek 11.12d). Rozwazmy uk lad pretowy z ry-sunku 11.12a, nazywany krata Misesa. Zak ladajac, ze wzrastajaca si la P #

spowoduje sciskanie6 pretow, mozemy wyznaczyc wykres: si la P — prze-mieszczenie δ. Przy ma lych przemieszczeniach δ oraz niewielkim wstepnymnachyleniu pretow (ktorego miara jest kat β) wykres mozna aproksymowacwielomianem stopnia trzeciego — rysunek 11.13a. Jak latwo zauwazyc, takiwykres przecina os przemieszczen (P = 0) w trzech charakterystycznych punk-

ff1x11��

��

��

��

��

��

��

��

��a)

f f1x11

d)c)b)

P

EAβ

h

δ1 2

c c

EJgEA

Rysunek 11.12

tach, ktorym odpowiadaja nastepujace po lozenia rownowagi:

a) δ = 0 — krata nie jest obciazona (poczatek wykresu – N1 = N2 = 0) —rysunek 11.13b,

b) δ = h — prety sa wtedy scisniete i ustawione poziomo — rysunek 11.13c;si ly wewnetrzne w pretach N1, N2 wzajemnie sie rownowaza (sa to si lysciskajace N1 = N2 < 0),

c) δ = 2h — w ”lustrzanym odbiciu” po lozenia wyjsciowego prety saca lkowicie odciazone (N1 = N2 = 0) — rysunek 11.13d.

Przy za lozeniu, ze dla ma lych katow β (wtedy h ≪ c) moga byc stosowanewzory przyblizone:

sin β ≈ β, cos β ≈ 1 −1

2β2,

√

1 + β2 ≈ 1 +1

2β2,

6Dodatkowo zak ladamy tez, ze prety nie ulegna wyboczeniu.

2005/6/16page 536


ff1x12��

��

��

��

��

��

b) c) d)

f f1x12

a)

P=0, P=0, P=0,

1 2

0

P

P

P

δ = 0 δ=

h δ=h

hδ= 2h

δ=2h

δ δδ

kr1

kr2

2hh1 2

Rysunek 11.13

oraz uwzgledniajac prawo Hooke’a (σ = Eε), rownanie P = P (δ) zapisywanejest nastepujaco

P = K δ(δ − h)(δ − 2h) = kδ

h

(

δ

h− 1

)(

δ

h− 2

)

, (11.7)

gdzie wspo lczynnik k zalezny jest od modu lu sprezystosci E, przekroju po-przecznego pretow A oraz wymiarow charakterystycznych kraty nieobciazonejc, h, β (rysunek 11.12 )

k = Kh3 = EAβ3 = EA

(

h

c

)3

.

Silnie nieliniowa charakterystyka kraty Misesa (11.7) posiada maksimumw punkcie gdzie przemieszczenie δ = δ1 oraz si la P = Pkr1 — rysunek 11.13a.W tym punkcie, przy wzrastajacej sile P nastapi ”przeskok” do innego#

po lozenia rownowagi co zaznaczono na rysunku 11.14 linia kropkowana BF.Charakterystyczna nieciag losc wykresu (nieciag losc przemieszczen), wywo lanatu sterowanym przyrostem si ly, rozwazana jest czesto w teorii katastrof.#

Przy obciazeniu si la Po taka, ze 0 < Po < Pkr1, krata Misesa moze przyj-mowac trzy rozne po lozenia rownowagi, jednak nie zawsze jest to rownowagastateczna. Odcinki wykresu P = P (δ) zaznaczone na rysunku 11.14 liniaciag la oznaczaja po lozenia rownowagi trwa lej (statecznej), natomiast na od-cinku BCD, zaznaczonym linia przerywana, uk lad znajduje sie w rownowadze

2005/6/16page 537


ff1x13��

��

f f1x13

PP

D

EF

C

B

A PP

β

β

G

(δ)kr2

1

δ

δ

δ

h

2h

2

kr10

Rysunek 11.14

nietrwa lej (niestatecznej). Przyk ladowo, przy przemieszczeniu δ = h i sileP = 0, gdy prety ustawione sa poziomo (punkt C na odcinku BD), uk ladbedzie w rownowadze nietrwa lej — oznacza to, ze najmniejsze wychyle-nie od tego po lozenia spowoduje ”przeskok” do innego (trwa lego) po lozeniarownowagi, np. do punktu E (P = 0, δ = 2h) lub punktu A (P = 0, δ = 0).

Istotna cecha klasycznego modelu kraty Misesa jest to, ze jesli przy wzra-stajacej sile P nastapi przeskok, wtedy po ca lkowitym odciazeniu (P = 0)krata nie powroci do po lozenia pierwotnego — chociaz jej odkszta lceniaw ca lym procesie deformacji by ly sprezyste. Drugi przeskok moze wystapicdopiero w trakcie obciazenia przeciwzwrotnego (na odcinku DG — rysu-nek 11.14). Przy sprezysto–plastycznych odkszta lceniach pretow przeskoktakze jest mozliwy, jednak tych efektow nie bedziemy tu omawiac.

Obserwowane w rzeczywistych konstrukcjach pretowych lub powierzchnio-wych (p lyty, pow loki) wykresy ”si la P – przemieszczenie charakterystyczne δ”sa najczesciej ”bardziej p laskie” i zawieraja sie w pierwszej cwiartce uk laduP−δ. Model fizyczny takiego uk ladu otrzymamy dodajac do kraty Misesa do-datkowa sprezyne S — jak na rysunku 11.15. Zauwazmy, ze w przeciwienstwiedo typowej kraty Misesa, dla kraty z dodatkowa sprezyna ”przeskok” wystapizarowno przy obciazaniu jak tez przy odciazaniu (gdy si la P maleje do zera).

Omowione tu efekty przeskoku sa charakterystyczne dla procesuobciazania sterowanego si la (si la moze dowolnie zmieniac sie w czasie; wy-

2005/6/16page 538


ff1x14

��

��

��

��

f f1x14 P

D

F

B

C

E

A Pkr2 kr1P

S

(δ)

h

2h

2δ

1δ

δ

Rysunek 11.15

kres P = P (t) jest funkcja ciag la). Przy sterowaniu przemieszczeniowym (gdyznana jest funkcja δ = δ(t)), dla typowej kraty Misesa nie obserwujemy efektuprzeskoku; w takim przypadku przy dowolnym przemieszczeniu δ istnieje jed-noznacznie okreslona si la P = P (δ).

11.1.3 Sprzezenie bifurkacji i przeskoku

W wielu konstrukcjach pretowych i pow lokowych narazonych na utrate sta-tecznosci obserwujemy jednoczesne wystepowanie dwoch omowionych wyzejform utraty statecznosci, tj. bifurkacji i przeskoku. Prostym modelem opi-#

sujacym takie sprzezenie jest nieodkszta lcalny pret zamocowany przegubowow jednym koncu, utrzymywany w pozycji pionowej przez sprezyne S1 i dwiesprezyny S2, po laczone jak w kracie Misesa — rysunek 11.16a. Niesyme-tryczna charakterystyke tego modelu przedstawiono we wspo lrzednych si la P –kat ϕ na rysunku 11.16c. Obciazenie ca lego uk ladu si la P = PKr (punkt bifur-kacji) moze spowodowac przeskok do innego po lozenia rownowagi (okreslonegokatem ϕo). Przed osiagnieciem si ly krytycznej pret znajduje sie w rownowadzetrwa lej.

Opisane tu sprzezenie wystepuje m.in. dla uk ladow sprezystych o niesy-metrycznych sciezkach rownowagi (zob. opis do rysunku 11.11).

2005/6/16page 539

11.2. WYBOCZENIE PRETOW PROSTYCH 539

ff1x15��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

f f1x15

1S

S2

1S

PKr

S2

S2

A

a)

P

B

S2

A ϕ

P

ϕo

b) c)

B

P

ϕ

Rysunek 11.16

11.2 Wyboczenie pretow prostych

Rozwazmy zastosowanie statycznego kryterium rownowagi do badania sta-tecznosci sciskanego preta, o sztywnosci zginania EJg, zamocowanego dwu-przegubowo — rysunek 11.17a. Przy wystarczajaco duzej sile osiowej pretmoze ulec wygieciu w luk zaznaczony na rysunku linia przerywana — takiewygiecie nazywac bedziemy wyboczeniem. Podobnie jak dla rozwazanego #

wczesniej modelu preta idealnie sztywnego (rysunek 11.3, str. 528), takrowniez w tym przypadku mozemy udowodnic, ze istnieje pewna si la krytyczna #

PKr, przy ktorej nastepuje rozdwojenie postaci rownowagi nazywane bifur-kacja (zob. opis do rysunku 11.7, str. 530). Ponizej si ly krytycznej (P < PKr)pret pozostaje prosty, a rownowaga uk ladu jest trwa la. Dla si ly P > PKr

rownowaga jest mozliwa w dwoch po lozeniach: pret moze pozostawac prosty(rownowaga nietrwa la) lub ulec wyboczeniu (rownowaga trwa la). Charakte-rystyke stanow rownowagi analizowac bedziemy na wykresie si la P – maksy-malne przemieszczenie wmax — rysunek 11.17b (szczego lowa analize stanowrownowagi uk ladu sprezystego przedstawiono na rysunku 11.7).

W ogolnej definicji wyboczenia, formu lowanej dla dowolnie zamocowanychpretow lub uk ladow pretowych (ramy, kraty), bardziej zwraca sie uwage nazjawisko utraty statecznosci przez bifurkacje niz na rozk lad przemieszczen poutracie statecznosci.

Metode wyznaczania si ly krytycznej preta osiowo sciskanego poda l w 1877 #

roku L. Euler7, przy nastepujacych za lozeniach upraszczajacych:

7Prace Eulera dotycza szerszej grupy pretow, ktorych statecznosc autor bada l przyroznych sposobach zamocowania i osiowego obciazenia.

2005/6/16page 540


fw189��

��

��

f w189

a)

Kr

x

b)

P

wmax

lx

w(x)

z

w max

P P

Rysunek 11.17

• pret jest idealnie prosty i pryzmatyczny,• materia l preta jest jednorodny, liniowo-sprezysty,• sta la si la dzia la wzd luz osi preta,• skrocenie osi preta na skutek dzia lania si ly sciskajacej N jest pomijalnie

ma le w stosunku do efektow wywo lanych wewnetrznym momentem zgi-najacym Mg(x).

Przy tych za lozeniach rozwazymy rownanie rozniczkowe linii ugiecia belki(7.29), w zastosowaniu do preta, ktory pod dzia laniem si ly osiowej ulega wy-boczeniu — rysunek 11.17a

EJgw′′ = −Mg, (11.8)

gdzie w = w(x) jest funkcja linii ugiecia sciskanego preta, natomiast momentzginajacy Mg = Mg(x) jest zalezny od przemieszczenia8 i moze byc okreslonyjako iloczyn si ly P i funkcji ugiecia w = w(x),

Mg = P · w(x).

Jak latwo zauwazyc dodatni znak momentu jest wynikiem wyginania pretakrzywizna w strone osi odniesienia (dla funkcji przemieszczenia takiej, zew(x) > 0). Rownanie rozniczkowe linii ugiecia (11.8) moze wiec byc zapi-sane nastepujaco

EJgw′′ = −P · w,

8Rezygnujac z zasady zesztywnienia, moment zginajacy Mg(x) obliczamy tu dla pretazdeformowanego (po wyboczeniu).

2005/6/16page 541


albo

w′′ + k2w = 0, (11.9)

gdzie zastosowano oznaczenie

k2 =P

EJg. (11.10)

Rozwiazaniem rownania (11.9) jest funkcja w = w(x) zawierajaca dwie sta leca lkowania C1, C2:

w = C1 sin kx + C2 cos kx, (11.11)

okreslona przy warunkach brzegowych

1) w(0) = 0, 2) w(l) = 0. (11.12)

Pierwszy z tych warunkow daje

w(0) = C1 · 0 + C2 · 1 = 0 skad C2 = 0,

natomiast z drugiego otrzymujemy:

C1 sin kl = 0. (11.13)

Funkcje w = w(x), (11.11), zapiszemy wiec nastepujaco

w = C1 sin kx = C1 sin

√

P

EJgx,

gdzie sta la C1 moze byc interpretowana jako ugiecie maksymalne C1 = wmax

— rysunek 11.17a

w = wmax sin

√

P

EJgx (11.14)

Z rownania (11.13), przy za lozeniu, ze w(x) 6= 0 (a wiec C1 6= 0), mamy:sin kl = 0, czyli:

kl = π, kl = 2π, .... kl = nπ; n = 1, 2, 3, ...

Uwzgledniajac definicje sta lej k (11.10) oraz przyjmujac n = 1, otrzymujemy

2005/6/16page 542


√

P

EJgl = π ⇒ P = PKr =

π2EJg

l2.

Si la opisana tym wzorem jest pierwsza si la krytyczna (n = 1) i nazywana#

jest si la eulerowska (PE). Zak ladajac wczesniej, ze wyboczenie (wygiecie)#

preta nastapi w kierunku osi z, tym samym przyjmujemy, ze wystepujacytu osiowy moment bezw ladnosci przekroju poprzecznego Jg jest momentemminimalnym: Jg = Jgy = Jg min; tak wiec ostatecznie

PKr = PE =π2EJg min

l2. (11.15)

Przyk ladowo, dla preta o przekroju prostokata, o wymiarach a× 2a — rysu-

f11x4

��

��

�� f 11x4a) b) c)

A

B

n=2n=1

w(x)

n=3

x

KrP =P

Kr(1)

l

l/2l/3

l/3

l/3

PKr(2)

PKr(3)

Rysunek 11.18

nek 11.19a, minimalny moment bezw ladnosci okreslimy nastepujaco

Jg min = min

[

a(2a)3

12;

2a(a)3

12

]

= min

[

2

3a4;

1

6a4

]

=1

6a4.

Wyzsze wartosci si ly krytycznej zwiazane sa z inna forma wyboczeniapreta, np.:

PKr(2) =4π2EJg min

l2; n = 2 — rysunek 11.18 b,

PKr(3) =9π2EJg min

l2; n = 3 — rysunek 11.18 c.

2005/6/16page 543


f11x4qb)a)

f 11x4q

c)

z

R2a

a

y3a

a

Jy = 23a4

Jz = 16a4

Jg min = Jz = 16a4

Jy = 34a4

Jz = 116a4

Jg min = Jz = 116a4

Jy = 0, 1098 R4

Jz = 0, 125 R4

Jg min = Jy =, 01098 R4

Rysunek 11.19

W zastosowaniach praktycznych najwieksze znaczenie ma wzor na pierwszasi le krytyczna9 (11.15). Druga i wyzsze si ly krytyczne moga byc brane pod #

uwage jedynie w tym przypadku gdy sciskany osiowo pret zostanie usztyw-niony dodatkowymi podporami lub ciegnami — rysunek 11.20 (ze wzgledu nadodatkowe usztywnienia, zaznaczone na rysunku formy wyboczenia zwiazanesa z rownowaga trwa la sciskanego preta). Si la eulerowska P

Epoliczona

dla preta usztywnionego jest zawsze wyzsza. O takich rozwiazaniach wartopamietac z tego wzgledu, ze kolejna si la krytyczna wzrasta z kwadratemmnoznika n (czterokrotnie, dziewieciokrotnie, itd.):

PKr(2) = 4PKr(1), PKr(3) = 9PKr(1), ...

Mowiac dalej o sile krytycznej bedziemy miec zawsze na uwadze pierwsza si le #

krytyczna: PKr = PE

= PKr(1), a wiec si le eulerowska.

Zauwazmy, ze rozwiazujac rownanie rozniczkowe (11.9) (przy warunkachbrzegowych (11.12)) znaleziona zosta la nie tylko funkcja linii ugiecia

w = w(x) = C1 sin

√

PKr(n)

EJgx

= wmax sin(

nπx

l

)

, (11.16)

9Uwzgledniajac duze przemieszczenia, mozna wykazac, ze dla n = 1 rownowaga pretapo wyboczeniu (pierwsza forma wyboczenia) jest rownowaga trwa la; kazda kolejna forma(n = 2, n = 3 ... ) jest zwiazana z rownowaga nietrwa la.

2005/6/16page 544


f11x4w��

��

��

��

��

��

��

��

��

��c)b)a)

f 11x4wP

��

��

��

��

l/2

l/2

Rysunek 11.20

ale okreslono tez wartosci si ly obciazajacej P = PKr(n), dla ktorej ten opislinii ugiecia moze byc zastosowany. W matematyce, tego rodzaju zagadnienienazywane jest poszukiwaniem wartosci w lasnych PKr(n) i odpowiednich funk-cji w lasnych. Sta la C1 w rownaniu (11.16), ktora mozna interpretowac jakomaksymalne ugiecie przy wyboczeniu (C1 = wmax), nie zosta la wyznaczona,co oznacza, ze przy sile P = PKr ugiecie maksymalne moze byc nieokreslone —rysunek 11.21b. Obciazenie preta si la mniejsza od si ly krytycznej nie spowo-duje jego wyboczenia (w(x) = 0), a rownowaga ca lego uk ladu bedzie trwa la.

f11x4p1��

��

��

��

��

��

f 11x4p1P

Kr

wmax

B’

= 0/

PKr

wmax

P

A

BP

l l

δB

= 0δB

δBx

x x

P

a) b)

C =w1 max

Rysunek 11.21

W zakresie rozwiazan nazywanych ”pokrytycznymi”, tj. dla obciazen#

wywo lujacych wyboczenie (P > PKr, w(x) 6= 0), funkcja P = P (wmax)okreslona rownaniem (11.16) nie odpowiada rozwiazaniu scis lemu10 (rysu-

10Rozwiazanie ”scis le” dobrze opisuje charakterystyke ”si la–przemieszczenie” (rysu-

2005/6/16page 545


nek 11.17b). Otrzymane tu rozwiazanie przyblizone (P = P (wmax) = PKr =const) moze byc uwazane za linearyzacje11 rozwiazania scis lego; poszukujacrozwiazan blizszych rzeczywistemu zachowaniu sie sciskanych pretow nalezyuwzglednic efekt obnizenia gornej podpory na skutek zakrzywienia osi pretaprzy wyboczeniu — rysunek 11.21a (zob. przyk lad 11-3), jak rowniez scis lerownanie rozniczkowe linii ugiecia 7.24:

κ =w′′

[1 + (w′)2]3/2

= −Mg(x)

EJg= −

P · w(x)

EJg. (11.17)

Rozwiazanie tak zapisanego rownania rozniczkowego wyraza sie przez ca lkieliptyczne i nie bedzie tu omawiane.

11.2.1 Ogolny wzor Eulera

Na rysunku 11.22a przedstawiono podstawowa forme wyboczenia (n = 1)preta jednostronnie utwierdzonego, obciazonego si la osiowa P . Si la eulerowskaobliczona dla tego preta12 jest cztery razy mniejsza niz si la krytyczna pretazamocowanego dwuprzegubowo (11.15) i moze byc zapisana nastepujaco

PKr = PE

=π2EJg min

4l2. (11.18)

Wzory (11.15), (11.18) oraz wzory wyprowadzone dla wielu innych pretow

fw192f w192

b)

P

w

P

maxa)

Kr

��

P

z

x

maxw

w(x)

l

Rysunek 11.22

nek 11.21a) wyznaczona eksperymentalnie.11Przy bardzo ma lym przemieszczeniu (wmax ≈ 0), takze dla rozwiazania scis lego mozemy

przyjac: P (wmax) ≈ PKr

= const — zob. rysunek 11.21a.12Wyprowadzenie wzoru (11.18) zamieszczono np. w podreczniku J.Walczaka [8]

2005/6/16page 546


osiowo sciskanych (inaczej obciazonych i zamocowanych) moga byc zapisanepodobnie

PKr = PE

=π2EJg min

(µl)2=

π2EJg min

l2r, (11.19)

gdzie

lr = µl, (11.20)

jest to tzw. d lugosc zredukowana (d lugosc wyboczeniowa), natomiast µ#

jest bezwymiarowym wspo lczynnikiem zaleznym od sposobu zamocowaniapreta (wspo lczynnik d lugosci wyboczeniowej). W tabeli 11.2 podano wartosciwspo lczynnika µ, dla wielu czesto spotykanych sposobow zamocowania preta.Wspo lczynnik ten zalezny jest np. od podatnosci zamocowania koncow preta(zob. np. opis do rysunku 11.28).

11.2.2 Przyblizone obliczanie si ly krytycznej pretowsprezystych

W przypadku analizy wyboczenia pretow niepryzmatycznych lub pretowobciazonych nietypowo (zob. przyk lad 11-6), obliczenie si ly krytycznej (eu-lerowskiej) metoda poszukiwania wartosci w lasnych rownania rozniczkowego(11.8) moze nastreczac wiele trudnosci. W takich przypadkach stosowanesa czesto metody przyblizone, ktorych obszerne omowienie zamieszczono np.w pracy M.Zyczkowskiego [11]. Jedna z najczesciej stosowanych jest dzisiajkomputerowa metoda elementow skonczonych (MES), jednak jest ona na tyle#

rozbudowana, ze jej omowienie wymaga kilku dodatkowych wyk ladow i prze-kracza ramy niniejszego podrecznika. Ponizej przedstawimy dwie prostszemetody przyblizone: metode energetyczna oraz metode roznic skonczonych.

Metoda energetyczna

Rozwazmy ponownie prosty przyk lad dwuprzegubowego preta sciskanego si laosiowa, jak na rysunku 11.17. W dalszych obliczeniach prace si ly zewnetrznejLz wyrazimy przez przemieszczenie gornej podpory δ — rysunek 11.23a. Wy-kres P − δ oraz pole odpowiadajace pracy si ly P (dla ma lych przemieszczen)przestawiono na rysunku 11.23b, a odpowiedni wzor zapiszemy nastepujaco

Lz = PKrδ.

2005/6/16page 547


Tabela 11.2.

ft11x2��

��

��

��

��

��

��

��

��

c)a) d) e)b)

f t11x2

Poz. Opis podparcia preta Wart.µ

teo-ret.

Wartosc µwg. PN-76/B-03200

a) Oba konce preta sa nieprzesuwne i sztywnopo laczone z fundamentem lub z konstrukcjastropowa

0.50 0,50 ÷ 0,65

b) Oba konce preta sa nieprzesuwne, przy czym je-den z nich jest sztywno po laczony z fundamen-tem lub konstrukcja stropowa, a drugi - pod-party przegubowo

0.70 0,70 ÷ 0,80

c) Oba konce preta sa po laczone przegubowo z nie-przesuwnymi podporami

1.00 1,00

d) Jeden koniec preta jest nieprzesuwny i po laczonysztywno z fundamentem lub z konstrukcja stro-powa, a drugi koniec przesuwny i po laczonysztywno z konstrukcja stropowa

1.00 1,00 ÷ 1,40

e) Jeden koniec preta jest nieprzesuwny i po laczonysztywno z fundamentem lub konstrukcja stro-powa, a drugi - swobodny

2.00 2,00

Uwaga: W normie PN-76/B-03200 opisane sa rozne sposoby mocowaniakoncow preta oraz dodatkowe czynniki, ktore nalezy uwzglednic przy dobo-rze wspo lczynnika µ. W nowszej normie PN-90/B-03200, zamiast szacunko-wej wartosci wspo lczynnikow µ, podana jest z lozona metoda wyznaczania tychwspo lczynnikow (z nomogramow uwzgledniajacych podatnosc podpor).

2005/6/16page 548


��

��fwa189

f wa189��

��

��

PKr z

w(x)

dw

dx

P

L

��

��

a)

l

z

x

P

b)

δ

δc)

ds

Rysunek 11.23

Przemieszczenie δ jest wynikiem zakrzywienia osi srodkowej sciskanegopreta, ktore powstaje w wyniku dzia lania momentu zginajacego Mg (nieuwzgledniamy tu skrocenia osi preta wywo lanego naprezeniem σx = −P/A).D lugosc zakrzywionego preta nie ulega zmianie co zapiszemy ca lka po zmien-nej krzywoliniowej s:

l =

l∫

0

ds =

l∫

0

√

dx2 + dw2 =

l−δ∫

0

√

1 +(

dwdx

)2dx.

Przy ma lych przemieszczeniach w = w(x), kwadrat pochodnej(

dwdx

)2jest

bardzo ma ly w stosunku do jednosci, i moze byc zastosowane nastepujaceprzyblizenie

√

1 −(

dwdx

)2≈ 1 −

1

2

(

dw

dx

)2

,

co daje

l =

l−δ∫

0

[

1 − 12

(

dwdx

)2]

dx = l − δ +1

2

l−δ∫

0

(w′)2 dx,

skad

δ =1

2

l−δ∫

0

(w′)2 dx. (11.21)

2005/6/16page 549


Poniewaz przemieszczenie δ jest bardzo ma le w porownaniu do d lugosci preta(δ ≪ l), dlatego najczesciej bedziemy je pomijac w granicy ca lkowania, sto-sujac nastepujace wzory:

δ =1

2

l∫

0

(

dwdx

)2dx, (11.22)

oraz

Lz = 12PKr

l∫

0

(

dwdx

)2dx, (11.23)

Prace si l wewnetrznych (energie deformacji sprezystej) Lw zapiszemy wzo-rem (??)

Lw =1

2

l∫

0

Mg(x) κ(x) dx,

gdzie Mg(x) jest wewnetrzym momentem zginajacym, κ(x) jest krzywizna osisrodkowej wyboczonego preta. Uwzgledniajac dalej znana zaleznosc pomiedzymomentem zginajacym i krzywizna osi srodkowej (zob. wzory (??), (7.29) –tom I)

κ =Mg

EJgalbo w′′ = −

Mg

EJg, (11.24)

prace si l wewnetrznych zapisac mozna dwojako:

a) Lw =1

2

l∫

0

M2g

EJgdx,

b) Lw =1

2

l∫

0

EJg(w′′)2 dx,

(11.25)

gdzie, np: dla preta dwuprzegubowego z rysunku 11.23, mieli bysmy

Mg = PKr · w. (11.26)

2005/6/16page 550


W przypadku gdy znamy rzeczywista funkcje w = w(x) = C sin(nπ xl ),

wyznaczona z rozwiazania scis lego (11.16), praca si l zewnetrznych Lz

i wewnetrznych Lw, okreslone wzorami (11.23), (11.25) beda sobie rowne

Lw = Lz. (11.27)

Jezeli linia ugiecia w = w(x) nie jest znana, mozemy przyjac pewna funkcjeprzyblizona wo = wo(x), tak aby spe lnione by ly wszystkie kinematycznewarunki brzegowe oraz wybrane lub wszystkie warunki statyczne. Przezporownanie pracy si l zewnetrznych i wewnetrznych wyliczymy wtedy przy-blizona wartosc si ly krytycznej P ∗

Kr. Przyk ladowo, przyjmijmy nastepujaca

postac funkcji ugiecia

wo(x) = C

(

x2

l2−

x

l

)

.

Zauwazmy, ze dla takiej funkcji sa automatycznie spe lnione dwa kinematyczne#

warunki brzegowe:

wo(0) = 0, wo(l) = 0,

jednak nie sa spe lnione warunki statyczne (moment zginajacy Mg = −EJw′′

jest na ca lej d lugosci belki sta ly Mg = −2CEJl2

= const). Wykorzystujac dalejrownania (11.23), (11.25), (11.27), otrzymujemy:

P ∗

Kr=

10EJg

l2– rozwiazanie wg. wzoru (11.25)a,

∆ = 1, 42%,

P ∗∗

Kr=

12EJg

l2– rozwiazanie wg. wzoru (11.25)b,

∆ = 21, 7%,

PKr =9, 87EJg

l2– rozwiazanie scis le.

(11.28)

gdzie ∆ jest b ledem rozwiazania przyblizonego. Jak widzimy rozwiazaniekinematycznie dopuszczalne daje oszacowanie si ly krytycznej z nadmiarem(”oszacowanie od gory”). Wyznaczona w ten sposob si la jest pierwsza si lakrytyczna (si la eulerowska: PKr = PKr(1) = PE). Zauwazmy tez, ze bardzoduzy b lad (21,7%) obliczony dla si ly P ∗∗

Krjest wynikiem zastosowania wy lacznie

zwiazkow ”kinematycznych” (11.25)b, a wiec takich, w ktorych przekrojowymoment zginajacy wyliczany jest z rownania rozniczkowego linii ugiecia

Mg = EJw′′,

2005/6/16page 551


a nie z rownania ”statycznego” (11.26). Taki b lad moze byc jeszcze wiekszygdy sciskany pret bedzie obciazony si la pozioma lub reakcja pozioma (zob.opis do rysunkow 11.28, 11.30, 11.39). W wielu jednak przypadkach sk ladowepoziomych si l lub reakcji nie sa znane (np. w zadaniach statycznie niewyzna-czalnych) i wtedy nalezy zastosowac rownanie (11.25)b.

Dok ladnosc rozwiazania przyblizonego moze byc poprawiona jesli przy-blizona funkcja przemieszczenia wo = wo(x) zostanie tak dobrana abyobok wszystkich kinematycznych warunkow brzegowych zosta ly spe lnione wy-brane lub wszystkie warunki statyczne. W przypadku rozwazanego wyzej #

preta zamocowanego dwuprzegubowo — rysunek 11.23a — dobierzemy, np.piecioparametrowa funkcje przemieszczenia

wo = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + a4x4, (11.29)

dla ktorej zarzadamy spe lnienia nastepujacych warunkow:

1) wo(0) = 0,2) wo(l) = 0,

}

– dwa warunki kinematyczne,

3) Mg(0) = EJgw′′

o (0) = 0,4) Mg(l) = EJgw

′′

o (l) = 0,

}

– dwa warunki statyczne.

Moment zginajacy Mg wyrazono tu przez druga pochodna funkcji ugiecia(11.24). Powyzsze warunki spe lnione sa dla nastepujacych parametrowrownania (11.29):

a0 = 0, a1 = a4l3, a2 = 0, a3 = −2a4l

2.

Funkcja ugiecia (11.29) i jej odpowiednie pochodne moga wiec byc zapisanenastepujaco:

wo = a4(l3x − 2lx3 + x4),w′

o = a4(l3 − 6lx2 + 4x3),w′′

o = a4(−12lx3 + 12x4).

Porownujac nastepnie prace si l zewnetrznych i wewnetrznych (11.27), obli-czymy przyblizona wartosc si ly krytycznej

P ∗

Kr=

a4EJg

l∫

0

(−12lx + 12x2)2 dx

a4

l∫

0

(l3 − 6lx2 + 4x3)2 dx

= 9, 88EJg

l2.

2005/6/16page 552


B lad takiego oszacowania si ly krytycznej wynosi tu ∆ ≈ 0.1% (porownajz oszacowaniem przy kinematycznych warunkach brzegowych (11.28)).

Jak widzimy, dok ladnosc metody energetycznej zalezy od tego ile para-metrow zawiera dobrana funkcja aproksymacyjna oraz od tego jakie rownaniazastosowano do obliczenia pracy si l wewnetrznych (11.25). Pamietac jednaktrzeba i o tym aby funkcje aproksymacyjne by ly dobierane z nalezyta troskao dopasowanie ich do rzeczywistego kszta ltu linii ugiecia wyboczonego preta.Na rysunku 11.24 przedstawiono przyk lady takich funkcji dobranych popraw-nie (rysunek 11.24b) i b lednie (rysunek 11.24c,d). Zauwazmy np., ze funkcjaaproksymacyjna

wo = C

(

x4

l4−

x3

l3

)

,

spe lnia 3 warunki brzegowe:

wo(0) = 0, wo(l) = 0, Mg(0) = 0,

jednak jak latwo zauwazyc jest to funkcja, dla ktorej zeruje sie pierwsza po-chodna w dolnym przegubie (w′(0) = 0 — rysunek 11.24c), co nie jest prawdadla preta rzeczywistego (zerowa pochodna dla x = 0 wystepuje dla pretautwierdzonego w dolnym umocowaniu). B lad oszacowania si ly krytycznej dlatej funkcji moze byc rowny nawet kilkadziesiat procent.

Mniejszy b lad oszacowania si ly krytycznej moze byc takze uzyskany przezzastosowanie trygonometrycznych funkcji aproksymacyjnych zamiast funkcjiwielomianowych (zob. przyk lad 11-7).

f wb189

fwb189��

��

��a)

z

xx

(?)w’(0)=0 w(l/2)<0 (?)

d)c)b)

l

P

w(x)

z

Rysunek 11.24

2005/6/16page 553


Metoda roznic skonczonych

Obliczanie przemieszczen zginanych belek metoda roznic skonczonychomowiono wczesniej w rozdziale 7 tomu I (zob. rysunek 7.26, str. 311).W rownaniu rozniczkowym linii ugiecia — np. w rownaniu (11.9) — krzy-wizna belki lub sciskanego preta moze byc zapisana wzorem roznicowym F.4 #

(str. 508)

w′′

n + k2nwn ≈

wn−1 − 2wn + wn+1

h2+ k2

nwn = 0,

a podstawiajac dalej (11.10)

wn−1 − 2wn + wn+1

h2+

P

EnJgnwn = 0, (11.30)

gdzie wn, wn−1, wn+1 oznaczaja przemieszczenia wez lowe w otoczeniu wez lacentralnego n, h krok siatki roznicowej, En, Jgn – sa to odpowiednio: modu lsprezystosci i osiowy moment bezw ladnosci — okreslone w miejscu gdzieprzyjeto weze l centralny. Dzielac pret na n rownych czesci oraz zapisujacrownanie (11.30) w odpowiednich wez lach, otrzymujemy uk lad jednorodnychrownan liniowych z niewiadomymi przemieszczeniami w punktach wez lowych.Cecha charakterystyczna takiego uk ladu jest zerowanie sie kolumny wyrazowwolnych. Aby wykluczyc rozwiazania zerowe, przyrownujemy wyznacznikg lowny uk ladu do zera, otrzymujac w ten sposob warunek, z ktorego wy-znaczymy obciazenia krytyczne (problem wartosci w lasnych).

Przyk ladowo obliczymy si le krytyczna dla poprzednio rozwazanego preta #

dwuprzegubowego — rysunek 11.17. Ca ly pret podzielimy na trzy rowneczesci jak na rysunku 11.25. Zapisujac rownanie roznicowe (11.30) w wez lach2, 3 oraz uwzgledniajac warunki brzegowe (11.12) mamy

{

w1 − 2w2 + w3 + h2k2w2 = 0,w2 − 2w3 + w4 + h2k2w3 = 0,

oraz w1 = 0, w4 = 0 (warunki brzegowe),

skad

{

(h2k2 − 2)w2 + w3 = 0,w2 + (h2k2 − 2)w3 = 0,

(11.31)

gdzie h = l/3. Przyrownujac do zera wyznacznik g lowny uk ladu rownan(11.31), otrzymujemy jedno rownanie

2005/6/16page 554


(h2k2 − 2)2 − 1 = 0,

z ktorego

f11x7��

��

��

(1)

(2)

(3)

(4)

��

��

��

��

��

BP

A

h

h

h

f 11x7

l

Rysunek 11.25

P oKr(1)

=9EJ

l2, P o

Kr(2)=

27EJ

l2. (11.32)

Rozwiazania (11.32) mozna tez otrzymac,podstawiajac do (11.31): w2 = w3 lubw2 = −w3 (takie zaleznosci charakteryzujapierwsza i druga forme utraty statecznosci).Wynika stad, iz si ly P o

kr(1) i P okr(2) sa przy-

blizonymi wartosciami pierwszej i drugiej si lykrytycznej.

Metoda numerycznego ca lkowaniarownania rownowagi daje oszacowanie si lykrytycznej mniejsze od rozwiazania scis lego(11.15) (”oszacowanie od do lu”). Zwiekszeniedok ladnosci uzyskujemy przez zageszczenie siatki roznicowej. W tablicy 11.3dla rozwazanego przyk ladu zestawiono wyniki obliczen si ly krytycznej przypodziale preta na dwie, trzy, cztery i piec czesci (liczbe swobodnych wez lowoznaczac bedziemy przez m). Bardziej gesta siatka roznicowa pozwala wy-znaczyc wyzsze wartosci si ly krytycznej; najwieksza dok ladnosc uzyskujemyzawsze dla pierwszej si ly krytycznej.

Tabela 11.3.

m = 2 m = 3 m = 4 m = 5 rozw. scis lem → ∞

l2

EJ PKr(1) 8 9 9, 4 9, 5 π2 = 9, 87

l2

EJ PKr(2) − 27 32, 0 34, 5 4π2 = 39, 5

l2

EJ PKr(3) − − 54, 6 65, 4 9π2 = 88, 8

l2

EJ PKr(4) − − − 90, 4 16π2 = 158b lad obliczendla pierwszejsi ly krytycznej

−19% −8, 7% −4, 8% −3, 7% −

2005/6/16page 555


11.2.3 Zakres waznosci wzoru Eulera

Wzory Eulera (11.15), (11.18), (11.19) wyprowadzono przy za lozeniu, ze mate- #

ria l sciskanego preta jest liniowo sprezysty (σ = Eε). Obliczajac naprezenie σjako iloraz si ly sciskajacej i przekroju poprzecznego preta, (4.1), dla obciazeniaodpowiadajacego sile krytycznej mozemy napisac13

|σ| = σKr =PKr

A, (11.33)

oraz

σKr =PKr

A6 σprop,

gdzie σprop jest granica proporcjonalnosci (naprezenie σprop wyznacza zakresstosowalnosci prawa Hooke’a). Podstawiajac tu (11.19), otrzymujemy

σKr = σE =π2EJg min

Al2r

6 σprop, (11.34)

gdzie σE nazywane jest naprezeniem eulerowskim. Wprowadzajac dalej ozna- #

czenia:

imin =

√

Jg min

A− minimalny promien bezw ladnosci, (11.35)

λ =lr

imin− smuk losc preta (11.36)

wzor (11.34) zapiszemy nastepujaco #

σKr = σE

=π2E

( lrimin

)26 σprop,

σE

=π2E

λ26 σprop, (11.37)

skad

13Zgodnie z przyjeta wczesniej umowa co do znaku wewnetrznej si ly normalnej, naprezenieσ = σ

Krjest naprezeniem ujemnym, jednak dla przejrzystosci zapisu przyjmowac bedziemy,

ze jest to naprezenie dodatnie.

2005/6/16page 556


λ > π

√

E

σprop

, (11.38)

albo

λ > λgr, (11.39)

gdzie smuk losc graniczna λgr moze byc wyrazona zaleznoscia#

f11x5n

σ (λ)*

σ (λ)E

λ gr=λ t

σ

σprop

σo

f 11x5n

λ

σt

Kr

=

Rysunek 11.26

λgr = π

√

E

σprop

, (11.40)

Wzor Eulera (11.19) moze wiecbyc stosowany tylko wtedy gdysmuk losc preta λ, (11.36), jestwieksza od smuk losci granicznejλgr (zaleznej od sta lych mate-ria lowych E, σprop). Dla wielu mate-ria low konstrukcyjnych λgr bywa przyj-

mowane λgr ≈ 100 (zob. tabela 11.4, str. 559).

11.2.4 Wyboczenie w zakresie niesprezystym

Na rysunku 11.26 przedstawiono wykres zaleznosci naprezenia krytycznego#

σKr, (11.33), od smuk losci λ. Linia ciag la zaznaczono hiperbole Eulera#

σKr = σE

= σE

(λ) opisana wzorem (11.37) (λ > λgr). W przypadku gdysmuk losc preta jest mniejsza od smuk losci granicznej (prety krepe), wzor Eu-#

lera nie moze byc stosowany — wyboczenie jest wtedy nieliniowo sprezyste#

lub niesprezyste (sprezysto–plastyczne). W literaturze podawane sa dla tegozakresu inne zaleznosci σ∗

Kr= σ∗

Kr(λ) (linia przerywana na rysunku 11.26).

Sa to przewaznie po lempiryczne wzory, budowane tak, aby spe lnione by lynastepujace postulaty

a) przy smuk losci λ → 0 (np. gdy l → 0) naprezenie krytyczne σ∗

Krnie

moze przekroczyc granicy plastycznosci σo (lub naprezenia wywo lujacegokruche zniszczenie probki sciskanej σu),

b) styczna do wykresu σ∗

Kr= σ∗

Kr(λ) dla λ = 0 powinna byc pozioma, a wiec

(dσ∗

Kr/dλ)

∣

∣

(λ→0)= 0;

2005/6/16page 557


w ten sposob spe lniamy intuicyjne za lozenie mowiace o tym, ze pretykrotkie i bardzo krotkie (l → 0) nie ulegna wyboczeniu14, a ich znisz-czenie jest zwiazane z uplastycznieniem (np. miekka stal) lub kruchympekaniem (np. materia ly ceramiczne). Dopuszczalna si la obciazajaca (dlapretow bardzo krotkich) moze byc wyznaczona z warunku bezpieczenstwana sciskanie.

c) w miejscu po laczenia hiperboli Eulera σE = σE(λ) i krzywej σ∗

Kr= σ∗

Kr(λ),

pochodna dσKr/dλ powinna byc ciag la. Wspo lrzedne punktu po laczeniadwoch krzywych oznaczono dalej σt, λt.

d) naprezenie punktu przejscia σt (rysunek 11.26) nie moze byc wiekszeod naprezenia na granicy proporcjonalnosci (σt 6 σprop). Ze wzgleduna trudnosci zwiazane z wyznaczeniem granicy proporcjonalnosci, orazuwzgledniajac odpowiedni zapas bezpieczenstwa, naprezenie σt przyjmo-wane jest niekiedy jako pewien u lamek granicy plastycznosci.

W literaturze spotykane sa nastepujace aproksymacje funkcji σ∗

Kr= σ∗

Kr(λ)

(w zakresie deformacji niesprezystych):

σ∗

Kr= σ

TJ=

PKr

A= a1 − b1λ – wzor Tetmajera–Jasinskiego, (11.41)

σ∗

Kr= σ

JO=

PKr

A= a2 − b2λ

2 – wzor Johnsona-Ostenfelda, (11.42)

σ∗

Kr= σ

Y=

PKr

A= a3 − b3λ

2 − c3λ4 − d3λ

6 – wzor Ylinena. (11.43)

Aproksymacje (11.41), (11.42), (11.43) przedstawiono na rysunku 11.27.Uwzgledniajac przes lanki pierwszego postulatu, formu lowane dla λ → 0, (awiec dla pretow bardzo krotkich, gdy l → 0), mozemy napisac

a1 = a2 = a3 = σo.

Zauwazmy, ze dwa postulaty (b), (c) dotyczace pochodnej dσ∗

Kr/dλ nie

moga byc spe lnione we wzorze Tetmajera–Jasinskiego (zob. rysunek 11.27a).Pomimo tego, ten w lasnie wzor, ze wzgledu na bardzo prosta forme, jest czestostosowany w obliczeniach wytrzyma losciowych,

14Przyk ladem takiego elementu jest np. podk ladka pod srube lub nakretke.

2005/6/16page 558


f11x5naσ =

2 2a −b λ*

oσ

σ =σ (λ)E E

*σ =1 1

a −b λσ

λ gr

σo

σ

λ gr

f 11x5na

λ

b)a)

propσ

propσ

σ =a −b λ*2

3

2

6

33 3

4λ λ−c −d

λ

KrKr

Rysunek 11.27

Wspo lczynniki b1, b2 we wzorach (11.41), (11.42) moga byc tak dobie-rane aby odpowiednia funkcja laczy la sie z hiperbola Eulera przy naprezeniuσt = σprop i smuk losci λt = λgr. Granica proporcjonalnosci σprop roznych ma-teria low konstrukcyjnych zawiera sie na ogo l w zakresie σprop = (0, 2÷0, 95)σo.Wyznaczajac sta la b2 we wzorze Johnsona–Ostenfelda z warunku

σJO

(λgr) = σE(λgr),

w punkcie przejscia nie otrzymamy zgodnosci pochodnych. Jak juz wczesniejwspomniano, naprezenie przejscia σt jest jednak czesto dobierane ponizej gra-nicy proporcjonalnosci σprop. W wielu opracowaniach i normach przyjmuje

sie np. dla metali σt = 12σo; przy takim naprezeniu, we wzorze Johnsona–

Ostenfelda spe lniony jest postulat ciag losci pochodnej dσ∗

Kr/dλ w punkcie

po laczenia z hiperbola Eulera.

W przypadku gdy σt 6= σprop, smuk losc graniczna odpowiadajacanaprezeniu σt obliczymy podobnie jak λgr dla naprezenia σprop (11.38)

λt = π

√

E

σt.

W tablicy 11.4, dla wybranych materia low konstrukcyjnych, podanomodu l sprezystosci E oraz naprezenia graniczne15 σprop, σo, ktore moga bycuwzgledniane przy wyznaczaniu smuk losci λgr lub λt oraz wspo lczynnikow wewzorach (11.41), (11.42), (11.43).

15Tablice opracowano na podstawie danych z pracy Arvo Ylinena: A Method of Determi-ning ...

2005/6/16page 559

11.3. UTRATA STATECZNOSCI UK LADOW PRETOWYCH 559

Tabela 11.4.

E σprop σoσprop

σoλgr

Materia l MPa MPa MPa

Drewno sosnowe 12500 16 45 0,36 87,8

Stop magnezowo-aluminiowy 46000 50 100 0,5 95,2

Stal St 37 210000 192 240 0,8 103,8

Stal St52 210000 288 360 0,8 84,8

Beton 25000 50 280 0,18 70,2

11.3 Utrata statecznosci uk ladow pretowych

11.3.1 Prety z podatnymi podporami

Idealnie sztywne zamocowanie sciskanego preta (np. idealnie sztywne utwier-dzenie) rzadko spotykane jest w konstrukcjach rzeczywistych. Bardzo czestotaki pret jest np. czescia z lozonego uk ladu ramowego i wtedy, przy oblicza-niu si ly krytycznej PKr, nalezy uwzglednic podatnosc po laczenia w punktach #

wez lowych lub podatnosc podpor. Przyk ladowo, na rysunku 11.28 przedsta-wiono osiowo sciskany pret AB, dla ktorego w wezle B po wyboczeniu po-jawi sie poprzeczna si la S wynikajaca z oddzia lywania rozciagliwego ciegna16

#

BC lub BD. Zak ladajac, ze ciegna o przekroju poprzecznym A1, wykonane saz materia lu liniowo sprezystego, mozemy napisac: S = c1 ·wB (rysunek 11.28),gdzie wB = w(l) jest poziomym przemieszczeniem wez la B. Wspo lczynnik po-datnosci c1 moze byc wyznaczony ze wzoru na wyd luzenie jednego ciegna(preta)

∆BC = wB =S b

E1A1⇒ c1 =

E1A1

b.

Uwzgledniajac sposob obciazenia i zamocowania preta AB mozemy zapisacjego rownanie rozniczkowe linii ugiecia

EJw′′ = P [wB− w(x)] − S(l − x),

16Okreslenie ”ciegno” stosowac bedziemy do bardzo cienkiego preta, drutu lub nici, a wiecelementow, ktore przenosic moga duze si ly rozciagajace; takie elementy nie moga byc sciskaneani zginane.

2005/6/16page 560


albo

w′′ =P

EJ[w

B− w(x)] −

c1wB

EJ(l − x),

oraz odpowiednie warunki brzegowe:

w(0) = 0, w′(0) = 0, w(l) = wB.

Wprowadzajac takie samo oznaczenie jak (11.10)

fsf1x1��

��

��

��

��

��

�� c

cB

B

��

��

CD

a)A

B

f sf1x1 A

BB’

b) c)

x

E A11

x

y

1 S=1w

w

l

EJ

PE A

1 1

P P

w(x)

b

Rysunek 11.28

k2 =P

EJ,

oraz uwzgledniajac warunki brzegowe, po odpowiednich przekszta lceniachotrzymujemy nastepujace rownanie przestepne

α

klsin(kl) +

[

(kl)2 − α]

cos(kl) = 0, (11.44)

gdzie bezwymiarowy wspo lczynnik α zalezny jest od sta lych materia lowychoraz wymiarow ciegna i sciskanego preta:

α =c1l

3

EJ=

E1

E

A1

J

l3

b.

Rownanie (11.44), przy za lozeniu, ze α 6= 0 oraz cos(kl) 6= 0, moze tez byczapisane w prostszej formie

tg(kl) = kl −1

α(kl)3,

2005/6/16page 561

11.3. UTRATA STATECZNOSCI UK LADOW PRETOWYCH 561

skad dowolna metoda przyblizona obliczymy si le eulerowska, a wiecsi le krytyczna odpowiadajaca utracie statecznosci preta przez bifurkacje.Przyk ladowo, dla α = 1 bedziemy mieli

kl = l

√

P

EJ= 1, 809;

skad

PKr = PE

=EJ

l2(1, 809)2 =

π2EJ

(1, 736 l)2.

Porownujac powyzszy wzor z (11.19), okreslimy wartosc wspo lczynnikad lugosci wyboczeniowej

µ = 1, 736 (dla α = 1).

Ogolne wzory na wspo lczynnik µ, uwzgledniajace wiele typowych przypadkowliniowej podatnosci podpor, podaje M. Zyczkowski [11].

W zakresie wyboczenia niesprezystego (gdy λ < λgr

), dla pretow z pod-

porami podatnymi, moga byc wykorzystywane podobne aproksymacje jak dlainnych przypadkow prostych. Stosujac jednak wzory aproksymacyjne (np.rownanie Tetmajera—Jasinskiego (11.41) lub Johnsona—Ostenfelda (11.42))nalezy wczesniej wyznaczyc si le eulerowska P

Ei wspo lczynnik d lugosci wybo-

czeniowej µ (11.20), a w dalszej kolejnosci smuk losc λ (11.36) (zob. przyk lad11-5).

W normach budowlanych podawana jest szacunkowa wartoscwspo lczynnika d lugosci wyboczeniowej µ (zob. tabela 11.2) lub dok ladniejszametoda wyznaczania d lugosci zredukowanej na podstawie odpowiednichnomogramow (np. w normie PN-90/B-03200).

11.3.2 Ramy, kraty

Analityczne obliczenie si ly krytycznej uk ladow pretowych mozliwe jest jedy- #

nie dla prostych konstrukcji ramowych lub kratowych. W obliczeniach bar-dziej z lozonych zagadnien (rozleg le konstrukcje mostowe, szkielety budynkow,itp.) stosowane sa dzisiaj powszechnie metody komputerowe, a w szczegolnosciMetoda Elementow Skonczonych. Rozwazajac tego rodzaju przypadki nalezy #

miec na uwadze dwa rozne problemy:

a) globalna utrate statecznosci ca lej konstrukcji,

2005/6/16page 562


fs1x12��

f s1x12

a) b) c)

��

��

��

��

��

��

��

P

h

h

l

Rysunek 11.29

b) lokalne zjawisko utraty statecznosci poszczegolnych elementow tej kon-strukcji.

Przyk ladem moze byc kolumna wykonana z dwoch ceownikow po laczonychprostymi wzmocnieniami jak na rysunku 11.29a. Utrata statecznosci moze tubyc zwiazana ze schematem wyboczenia preta jednostronnie utwierdzonego(zob. opis do rysunku 11.22, str. 545), lub tez ze zjawiskiem lokalnego wybo-czenia na odcinku miedzy laczeniami jak na rysunku 11.29c.

W wielu przypadkach obciazenie krytyczne lub dopuszczalne ca lego uk ladupretowego daje sie latwo wyznaczyc przez rozdzielenie tego uk ladu na ele-menty proste. Przyk ladowo, dla uk ladu ramowego z rysunku 11.30a, rozwazycmozemy osobno zginanie belki BD (rysunek 11.30d) oraz sciskanie (wybo-czenie) preta (rysunek 11.30b) AB, dla ktorego w przegubie A uwzglednicnalezy podatnosc sprezystego po laczenia z elementem belkowym AC (zob.przyk lad 11-4). Dopuszczalne obciazenie qdop moze wiec byc okreslonenastepujaco

qdop = min

{

qwb

;qKr

xw

}

,

gdzie qwb

= q(BD)

wbjest obciazeniem dopuszczalnym policzonym dla zgi-

nanej belki BD z warunku bezpieczenstwa, qKr = q(AB)

Krjest obciazeniem

wywo lujacym wyboczenie preta AB, xw – jest to przyjety wspo lczynnik bez-pieczenstwa.

2005/6/16page 563

11.4. KRYTERIA BEZPIECZENSTWA 563

fsf1x2��

A

��

ϕ

cA

��

��

��

��

c

��

ϕ

��

D A

ϕ

��

��

��

M =

e)

c

��

D

A C AϕM =

�� C

a)

d)

c)

f sf1x2

B

A

b)

A

B

B

��

2

l

EJ2

EJ

qP

x

l

q

w

B

P=q b/2.

2

2

o

o

R

bb

b

Rysunek 11.30

11.4 Kryteria bezpieczenstwa

Uwzgledniajac mozliwosc wyboczenia preta osiowo sciskanego, warunek bez- #

pieczenstwa zapisany byc moze podobnie jak dla problemow czystego sciskania

|σ|max =N

A6 kw, (11.45)

gdzie kw = σdop jest naprezeniem dopuszczalnym z uwagi na wyboczenie, #

obliczanym jako iloraz naprezenia krytycznego Kw oraz wspo lczynnika bezpie-czenstwa :

kw =Kw

xw. (11.46)

Wspo lczynnik bezpieczenstwa xw, ktory uwzglednia niedok ladnosci kszta ltu #

preta, podatnosc podpor, nieosiowosc obciazenia i inne parametry imperfekcji— moze byc przyjmowany w przyblizeniu nastepujaco

2005/6/16page 564


xw = 2 .. 4 - zadania statycznexw = 6 .. 10 - zadania dynamiczne.

W przeciwienstwie do prostych przypadkow rozciagania skrecania czyzginania, naprezenie krytyczne Kw nie jest sta la materia lowa i zalezy od#

smuk losci preta λ, i tak:

Kw = Kc, 0 < λ 6 λo, – prety bardzo krotkie – zniszczenie ”materia lowe”,Kw = σ∗

Kr, λo 6 λ 6 λt, - prety krotkie (krepe) - wyboczenie niesprezyste,

Kw = σE, λ > λt, - prety d lugie (smuk le) - wyboczenie sprezyste,

gdzie Kc jest naprezeniem krytycznym przy czystym sciskaniu (np.: Kc = |σo|lub Kc = |σu|), λo oznacza pewna wartosc smuk losci, ponizej ktorej moznaprzyjac, ze nie zachodzi niebezpieczenstwo wyboczenia, a pret ulega znisz-czeniu gdy osiagniete zostanie naprezenie na granicy plastycznosci σo lubnaprezenie σu; dla metali mozna przyjmowac λo ≈ 10 .. 20. Zniszczenie ma-teria lowe (prety bardzo krotkie, λ 6 λo) bywa niekiedy uwzgledniane gdyw zakresie wyboczenia niesprezystego wykorzystywany jest wzor Tetmajera–Jasinskiego (11.41) — rysunek 11.31a. W przypadku gdy stosujemy wzorJohnsona–Ostenfelda (11.42) lub Ylinena (11.43), odrebny opis zniszcze-nia materia lowego jest zbedny (ze wzgledu na zerowanie sie pochodnej

dσ∗

Kr/dλ

∣

∣

∣

(λ→0)) — rysunek 11.31b.

f11x5nbt

σ

λ o

Eσ

λ o

tσ

σTJ

λ

σo

σ

λ t

f 11x5nb

λ

b)a)

λ

t

σo

σ

σ

σ (λ)

(λ)Kr

dop

KrKr

σdop

Rysunek 11.31

Warunek bezpieczenstwa (11.45), uwzgledniajacy mozliwosc wyboczenianiesprezystego, stosowany jest w zasadzie tylko dla prostych przypadkowosiowo sciskanych pretow pryzmatycznych. W bardziej z lozonych zagadnie-niach, np. dla obciazen ciag lych oraz dla d lugich pretow niepryzmatycznych

2005/6/16page 565

11.4. KRYTERIA BEZPIECZENSTWA 565

czy uk ladow pretowych, uogolnienie wzorow (11.41), (11.42), (11.43) mozebyc obarczone duzym b ledem. Obliczenia wykonywane sa wtedy najczesciejw zakresie wyboczenia sprezystego, a obciazenie dopuszczalne wyliczymyjako iloraz obciazenia krytycznego (eulerowskiego) i odpowiednio dobranegowspo lczynnika bezpieczenstwa xw

Pdop =PKr

xwlub qdop =

qKr

xw. (11.47)

Bardziej z lozone metody obliczeniowe (np. stosowane dla sciskanych ele-mentow ram i krat) okreslane sa empirycznie i opisywane w odpowiednichnormach.

11.4.1 Metoda wspo lczynnika zmniejszajacego

Wg Polskiej Normy PN-90/B-03200 (Konstrukcje stalowe, obliczenia statycznei projektowanie), w zakresie wyboczenia sprezystego i niesprezystego, si le do-puszczalna przy wyboczeniu, mozna obliczac ze wzoru

σdop =N

A6 ϕ kc, (11.48)

gdzie kc jest naprezeniem dopuszczalnym przy sciskaniu natomiastwspo lczynnik zmniejszajacy ϕ nazywany jest w normie wspo lczynnikiem nie- #

statecznosci ogolnej (0 < ϕ 6 1). Wspo lczynnik ϕ zalezny jest od smuk losci λ,oraz dodatkowo od parametru imperfekcji n

ϕ = ϕ(λ, n) =(

1 + λ2n)

−1/n, (11.49)

gdzie smuk losc wzgledna #

λ =λ

λp(11.50)

odnoszona jest do smuk losci porownawczej #

λp =π

1, 15

√

E

σprop.

Wystepujacy we wzorze (11.49) uogolniony parametr imperfekcji preta nuzalezniony jest w normie od kszta ltu przekroju poprzecznego, technologii wy-twarzania (spawanie, walcowanie) i obrobki cieplnej (wyzarzanie odprezajace

2005/6/16page 566


Tabela 11.5.

λ = λ/λp 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40

ϕ n = 2.0 1.000 0.999 0.987 0.941 0.842 0.707 0.570 0.454n = 1.2 1.000 0.983 0.916 0.807 0.681 0.561 0.459 0.375

λ = λ/λp 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00

ϕ n = 2.0 0.364 0.295 0.243 0.202 0.171 0.146 0.127 0.110n = 1.2 0.309 0.257 0.216 0.184 0.158 0.137 0.119 0.105

n = 2.0 n = 1.2

ff1xw21��

��

��

��

ff1xw

22

��

��

��

��

��

��

��

��

element rurowy okrag lylub prostokatny beznaprezen spawalniczych

elementy o przekrojupe lnym lub otwartym

po spawaniu). W tablicy 11.5 podano cytowane w normie wybrane wartosciwspo lczynnika ϕ dla dwoch roznych parametrow imperfekcji: n = 2, 0 orazn = 1, 2.

11.5 Przyk lady

PRZYK LAD 11-1(S,SN). Jednostronnie utwierdzony pret o przekrojuprostokata o wymiarach b × h i d lugosci l jest sciskany si la osiowa P — ry-sunek 11.32. Obliczyc si le krytyczna PKr dla dwoch roznych d lugosci pretal = l1 oraz l = l2. Obliczenia wykonac dla danych: b = 10 mm, h = 20 mm,l1 = 20 cm, l2 = 10 cm, E = 2 · 105 MPa, σo = 250 MPa, σ

prop= 195 MPa.

ROZWIAZANIE

Obliczajac si le krytyczna PKr

nalezy wczesniej sprawdzic w jakim zakre-sie pret utraci statecznosc. Wyznaczmy wiec smuk losc pierwszego i drugiegopreta oraz smuk losc graniczna (11.38). Przyjmujac wspo lczynnik wybocze-niowy µ = 2 (wg tablicy 11.2), bedziemy mieli

2005/6/16page 567

11.5. PRZYK LADY 567

fsf2x1

��a) b)

��

��z

y

y

x

P

l

bf sf2x1

h

Rysunek 11.32

λ1 =µl1imin

=2 · 0, 2

0, 0029= 138, 6; λ2 =

µl2imin

=2 · 0, 1

0, 0029= 69, 3;

λgr

= π

√

E

σprop

=

√

2 · 1011

1.95 · 108= 100, 6 ,

gdzie promien bezw ladnosci imin obliczono ze wzoru (11.35):

A = b · h = 0, 01 · 0, 02 = 2 · 10−4 [m2],

Jmin =hb3

12=

0, 01 · (0, 02)3

12= 1, 7 · 10−9 [m4],

imin =

√

Jmin

A=

√

1, 7 · 10−9

2 · 10−4= 0, 0029 [m].

Jak widzimy, tylko smuk losc pierwszego preta λ1 jest wieksza od smuk loscigranicznej λgr, a wiec tylko dla pierwszego preta mozemy zastosowac wzorEulera

PE1

= PKr1

=π2EJmin

l2r=

π2 · 2 · 1011 · 1, 67 · 10−9

(2 · 0, 2)2= 20562 [N]. (11.51)

Si la krytyczna drugiego preta PKr2

moze byc wyznaczona ze wzorow stosowa-nych w zakresie wyboczenia niesprezystego (λ2 < λgr), np. wzoru Tetmajera– Jasinskiego (11.41)

σ = σ∗

Kr=

PKr

A= a − bλ.

2005/6/16page 568


Wspo lczynniki materia lowe a, b dobierzemy tak aby spe lnione by lynastepujace warunki (zob. rysunek 11.27):

σ(0) = σo oraz σ(λgr) = σprop

,

skad

a − b · 0 = σo oraz a − bλgr = σprop

,

a = σo = 250 [MPa] b =σo − σ

prop

λgr= 0, 547 [MPa].

Po odpowiednich podstawieniach otrzymujemy

PKr2

= A(a−bλ2) = 2·10−4(250·106−0, 547·106 ·69, 3) = 42425 [N]. (11.52)

PRZYK LAD 11-2(S,SN). W zadaniu z przyk ladu 11-1 obliczyc dodat-kowo si le dopuszczalna P

dop. Wyniki porownac z si la dopuszczalna obliczona

metoda wspo lczynnika zmniejszajacego (11.50) — wg PN-90/B-03200. Doobliczen przyjac wspo lczynnik bezpieczenstwa xw = 2, 5.

ROZWIAZANIE

Uwzgledniajac przyjety wspo lczynnik bezpieczenstwa, si le dopuszczalnawyznaczymy ze wzoru (11.47)

Pdop

=P

Kr

xw,

gdzie PKr

jest obliczona wczesniej si la krytyczna (11.51) lub (11.52). Tak wiecdla pretow o d lugosciach l1 = 20 cm i l2 = 10 cm bedziemy odpowiednio mieli:

Pdop1

=P

Kr1

xw=

20562

2, 5= 8224,8 [N] - ze wzoru Eulera,

Pdop2

=P

Kr2

xw=

42425

2, 5= 16970, 0 [N] - ze wzoru Tetmajera–Jasinskiego.

(11.53)Si le dopuszczalna Pdop mozna tez obliczyc metoda wspo lczynnika wybo-

czeniowego, a wiec metoda okreslona np. w polskiej normie PN-90/B-03200.

2005/6/16page 569


Dla preta pierwszego (d luzszego) i drugiego (krotszego) zastosujemy wtedyten sam wzor (11.48)

Pdop

A6 ϕkc ⇒ P

dop= ϕkcA, (11.54)

gdzie wspo lczynnik wyboczeniowy (zmniejszajacy) ϕ jest okreslony wzorem(11.49)

ϕ = ϕ(λ, n) =1

(

1 + λ2n)1/n

, (11.55)

Uogolniony parametr imperfekcji n przyjmiemy dla preta o przekroju pe lnegoprostokata: n = 1, 2 (zob. tabela 11.5). Naprezenie dopuszczalne kc obli-czymy jako iloraz granicy plastycznosci σo = 250 MPa i wspo lczynnika bez-pieczenstwa xw = 2, 5

kc =σo

xw=

250

2, 5= 100 [MPa].

Smuk losc wzgledna λ (11.50), wspo lczynnik wyboczeniowy ϕ (11.55) oraz si ladopuszczalna Pdop (11.54) pierwszego i drugiego preta beda wiec odpowiedniorowne:

λ1 =λ1

λp=

138, 6

87, 49= 1, 58; λ2 =

69, 3

87, 49= 0, 79;

ϕ1 = 0, 314; ϕ2 = 0, 686;

Pdop1 = 6 280, 0 [N]; Pdop2 = 13 724, 5 [N].

Znaczne roznice w wartosciach si l dopuszczalnych Pdop1, Pdop2, w sto-sunku to si l obliczonych ze wzoru Eulera czy Tetmajera–Jasinskiego (11.53),wynikaja z niekorzystnego wspo lczynnika imperfekcji n = 1, 2. W przy-padku, gdyby przekroj poprzeczny preta by l pierscieniowy, walcowany, wtedymozna przyjac n = 2 (zob. tabela 11.5), a po odpowiednich przeliczeniach(zak ladajac, ze przekroj A i moment bezw ladnosci Jmin jest taki sam jak dlapreta o przekroju prostokata) mielibysmy:

λ1 = 1, 58; λ2 = 0, 79;

ϕ1 = 0, 37; ϕ2 = 0, 85;

Pdop1 = 7 406, 0 [N]; Pdop2 = 16 944, 0 [N].

2005/6/16page 570


PRZYK LAD 11-3(S). Wyznaczyc pokrytyczna charakterystyke wmax =wmax(P ) preta sciskanego zamocowanego dwuprzegubowo, jak na ry-sunku 11.33. Materia l preta jest liniowo sprezysty. W obliczeniachuwzglednic przemieszczenie gornej podpory δ zwiazane z wygieciem preta (nieuwzgledniamy skrocenia osi preta na skutek sciskania si la P ). Zastosowacuproszczone rownanie rozniczkowe linii ugiecia: EJw

′′

= −Mg.

ff11x19

��

��

��

δ

A

B

x

y

w

wmax

P

lEJ

ff11x19

Rysunek 11.33

fsf2x2dsdx

x

ydw

w(x)

Rysunek 11.34

ROZWIAZANIE

Wyprowadzajac wczesniej wzor na si le krytyczna preta zamocowanegodwuprzegubowo — rysunek 11.17 — analizowano rownanie rozniczkowe liniiugiecia (11.9) (str. 541). W tej samej formie zapiszemy rownanie i odpowied-nie rozwiazanie dla preta z rysunku 11.33:

w′′

+ k2w = 0,

w = w(x) = C1 sin kx + C2 cos kx,

gdzie

k2 =P

EJ. (11.56)

2005/6/16page 571


Sta le ca lkowania C1, C2 nalezy jednak tak dobrac aby uwzglednia ly pionoweprzemieszczenie δBx = δ wez la podpory przesuwnej — rysunek 11.33. Warunkibrzegowe zapiszemy wiec nastepujaco

1. w(0) = 0, ⇒ C2 = 0,2. w(l − δBx) = 0 ⇒ C1 sin[k(l − δ)] = 0.

Z drugiego warunku, przy C1 6= 0 mamy

k(l − δ) = nπ, (11.57)

gdzie przyjmiemy n = 1 (dla pierwszej formy wyboczenia), a wtedy

δ = l −π

k. (11.58)

Podstawiajac tu: δ = 0, otrzymamy wzor na si le krytyczna (Eulerowska)(11.15), natomiast dla zmiennej si ly P bedzie

δ = 0 dla P 6 PKr,

δ = l − π

√

EJ

Pdla P > PKr.

Zak ladajac, ze d lugosc wygietej w luk belki nie zmienia sie (belka nieulega skroceniu na skutek dzia lania sciskajacej si ly wewnetrznej N = −P ),przemieszczenie δ wyliczymy z rownania (11.21)

δ =1

2

l−δ∫

0

(w′)2 dx.

Podstawiajac dalej

w′ =d

dx[C1 sin(kx)] = C1k cos(kx),

dostajemy

δ =1

2

l−δ∫

0

[

C1k cos(kx)]2

dx =1

2C2

1k2

[

1

4ksin(2kx) +

1

2x

]∣

∣

∣

∣

l−δ

0

,

δ =1

2C2

1k

{

1

4sin[2k(l − δ)] +

1

2k(l − δ)

}

.

2005/6/16page 572


Uwzgledniajac (11.58), podstawimy tu: δ = l − π/k oraz (l − δ) = π/k

l −π

k=

1

2C2

1k

[

1

4sin(2π) +

1

2π

]

=1

4C2

1kπ,

skad

C1 = wmax =2

k

√

kl

π− 1.

Majac na uwadze definicje wspo lczynnika k (11.56) oraz wzor na si le krytycznaPKr (11.15), bezwymiarowe ugiecie maksymalne zapiszemy nastepujaco

wmax

l=

2

π

√

PKr

P

√

√

√

√

√

P

PKr

− 1.

Wykres wmax = wmax(P ) przedstawiono na rysunku 11.35a.

f11x5

(1+w )

=0 δ Bx=0

PE

P

maxw

PE

P

C =0

C =0

C =0

a) b)/

/1

1

1 wmax

3/2=

δ

=w

’’

’’

f 11x5

’ 2

w

Bx

Rysunek 11.35

Nalezy tu dodac, ze otrzymane wyniki sa jedynie rozwiazaniem przy-blizonym. W przypadku gdy krzywizne osi preta κ = κ(x) opiszemy scis lymwzorem (11.17), wtedy rozwiazanie odpowiedniego rownania rozniczkowegowyraza sie przez ca lki eliptyczne (takie rozwiazanie omowiono w monografii[4]), a maksymalne ugiecie wmax jest dwukrotnie wieksze (rysunek 11.35a).

PRZYK LAD 11-4(S). Sprezysta rama ABC jest zamocowana dwuprzegu-bowo i obciazona si la P jak na rysunku 11.36. Obliczyc si le krytyczna PKr.Dane: wymiar l, sztywnosc zginana ramion ramy: EJ1, EJ2. Uwaga: za lozyc,ze spe lniony jest warunek λ > λ

gr.

2005/6/16page 573


f11x8a��

f 11x8a

��

EJ

y

x

1EJ

2l

A’

P

B

A

C

Rysunek 11.36

ROZWIAZANIE

Si le krytyczna PKr obliczymy rozdzielajac rame na dwa uk lady belkowejak na rysunku 11.37, tj. na belke sciskana si la osiowa, zamocowana na po-datnej podporze B (rysunek 11.37a), oraz belke dwuprzegubowa obciazonamomentem skupionym Mo (rysunek 11.37b). Po przekroczeniu si ly krytycz-nej, gdy nastapi wyboczenie ca lego uk ladu, kat obrotu na podporze B jesttaki sam dla pierwszej i drugiej belki, ϕ

B= ϕ

B1= ϕ

B2i zalezy od momentu

Mo = P ·fA

, gdzie fA

jest poziomym przemieszczeniem w miejscu przy lozenia

f11x8b��

��

��

f 11x8b

C

l

Bl

o

S

P

a)b)

B

A

M

Rysunek 11.37

si ly P - rysunek 11.38a. Zaleznosc pomiedzy momentem Mo oraz katem ϕB

latwo jest wyprowadzic rozwiazujac rownanie rozniczkowe linii ugiecia belkidwuprzegubowej (rysunek 11.38b). Funkcje linii ugiecia w(x2) i kata ugieciaw′(x2) = ϕ(x2) moga byc zapisane nastepujaco

w2(x2) =1

6

Mo l2

EJ2

(

x32

l3−

x2

l

)

, ϕ2(x2) =1

6

Mo l

EJ2

(

3x2

2

l2− 1

)

.

2005/6/16page 574


Na podporze B, a wiec dla x2 = l, mamy

ϕB

= |ϕ2(l)| =1

3

l

EJ2· Mo = d · Mo,

gdzie d oznacza wspo lczynnik podatnosci

d =l

3EJ2.

f11x8c

��

f 11x8cw(x )

1

M o

Bϕ

P

x1

Af

y

x2

RBa) b)

RC

2w(x ) 2

22

x

y

1

1

Rysunek 11.38

Zapisujac teraz rownanie rownowagi preta AB w po lozeniu wychylonym(rysunek 11.38a) otrzymujemy

EJw′′

= P[

fA− w(x1)

]

,

albo

w′′

+P

EJw =

fA

EJ,

gdzie fA

jest przemieszczeniem poziomym swobodnego konca preta.Rozwiazaniem tego rownania jest funkcja ugiecia

w = w(x1) = C1 sin(kx1) + C2 cos(kx1) + fA,

gdzie k zdefiniujemy tak samo jak (11.10)

k2 =P

EJ1.

Wykorzystujac dalej trzy warunki brzegowe

2005/6/16page 575


a) w(0) = 0, b) w(l) = fA,

c) w′(0) = ϕB

= d · Mo =1

3

l

EJ2· P · f

A,

dostajemy:

C1 =P · f

Al

3EJ2·

1

k, C2 = −f

A,

oraz

tg(kl) =3EJ2k

P l=

3EJ2

l√

PEJ1

.

Zak ladajac np., ze J1 = J2 = J , ostatnie rownanie moze byc sprowadzone dopostaci

kl tg(kl) = 3,

skad dowolna metoda przyblizona wyliczymy si le krytyczna

kl = 1, 192 =π

2, 634⇒ PKr = P

E=

π2EJ

(2, 634l)2. (11.59)

PRZYK LAD 11-5(SN). W zadaniu z przyk ladu 11-4 obliczyc si le kry-tyczna PKr, przy za lozeniu, ze pret jest krotki (λ < λ

gr); zastosowac dowolna

funkcje aproksymacyjna σKr = σ∗

Kr(λ). Dane: jak w przyk ladzie 11-4 oraz

przekroj poprzeczny A1 preta AB, EJ1 = EJ2 = EJ , granica plastycznosciσo, granica proporcjonalnosci σ

prop.

ROZWIAZANIESi le krytyczna krotkiego preta zamocowanego i obciazonego jak

na rysunku 11.36 wyznaczyc mozemy stosujac np. wzor Johnsona–Ostenfelda (11.42)

σKr =PKr

A= a2 − b2λ

2.

Sta le materia lowe a2, b2 wyznaczymy z warunkow:

σKr(0) = 0, oraz σKr(λgr) = σ

prop,

2005/6/16page 576


skad

a2 = σo, b2 =σo − σ

prop

λ2

gr

.

Smuk losc preta oraz smuk losc graniczna okreslaja wzory (11.36) oraz (11.40).Wspo lczynnik d lugosci wyboczeniowej µ, oraz d lugosc zredukowana lr wynikaz wyprowadzonego wczesniej wzoru na si le Eulerowska (11.59)

µ = 2, 634, lr = 2, 634 l.

Tak wiec

λgr

= 2π

√

E

σprop

, λ = lr

√

A1

J,

oraz

PKr = A1

σo − (2, 634 l)2A1

J

σo − σprop

λ2

gr

.

PRZYK LAD 11-6(S). Obliczyc si le krytyczna PKr pryzmatycznego pretazamocowanego dwuprzegubowo i obciazonego si la przy lozona w po lowie jegod lugosci jak na rysunku 11.39a. Dane: d lugosc l, sztywnosc zginana EJ .Obliczenia wykonac w zakresie deformacji sprezystej.

fsf3x4ab

��

��

��

B

A

B

a) b)

C

A

A

f sf3x4ab R w

P

x

yR

R

l/2

l/2

P

1

2

x

x

f

Rysunek 11.39

2005/6/16page 577


ROZWIAZANIENa rysunku 11.39b przedstawiono linie ugiecia preta po wyboczeniu. Za-

znaczone reakcje beda odpowiednio rowne

RAx

= P, RAy

= P ·f

l, R

Bx= P ·

f

l.

Rownanie rozniczkowe linii ugiecia nalezy zapisac w dwoch przedzia lach

EJw”1 = −Mg1, oraz EJw”

2 = −Mg2,

gdzie funkcje momentow zginajacych moga byc okreslone nastepujaco

Mg1 = RBx1 = P f

l x1 dla 0 6 x1 6 l2 ,

Mg2 = RB

( l2 + x2) − P (f − w2) dla 0 6 x2 6 l

2 .

Wprowadzajac dodatkowo oznaczenie k2 = PEJ , otrzymujemy dwa rownania

rozniczkowe:

w”1 = −

k2f

lx1,

w”2 + k2w2 = −

k2f

l

(

x2 −12 l)

,

a po ich przeca lkowaniu dwie funkcje przemieszczenia:

w1 = −k2f

l

x31

6+ C1x1 + C2,

w2 = C3 sin(kx2) + C4 cos(kx2) −f

l

(

x2 −l

2

)

.

Cztery sta le ca lkowania C1..C4 wyznaczymy z nastepujacych warunkow brze-gowych

1. w1(0) = 0 ⇒ C2 = 0,

2. w1( l2 ) = f ⇒ C1 =

2f

l+

k2fl

24,

3. w2(0) = f ⇒ C4 =1

2f,

4. w2( l2 ) = 0 ⇒ C3 = −

12f

tgkl2

.

Si le krytyczna PKr obliczyc mozna z warunku ciag losci kata ugiecia ϕ = w′

na granicy przedzia low (w miejscu przy lozenia si ly skupionej P )

2005/6/16page 578


w′

1( l2 ) = w′

2(0),

−k2f

l

1

2

(

l

2

)2

+ C1 = C3k cos(0) − C4k sin(0) −f

l,

skad

tgkl

2=

3kl2

9 − (kl2 )2

⇒kl

2=

l

2

√

P

EJ= 2, 16,

oraz

P = PKr = 18, 7EJ

l2=

π2EJ

(0, 73 l)2.

Wspo lczynnik d lugosci wyboczeniowej wynosi wiec µ = 0, 73.

PRZYK LAD 11-7(S). W zadaniu z przyk ladu 11-5 obliczyc przyblizonawartosc si ly krytycznej P ∗

Krmetoda energetyczna.

ROZWIAZANIE

fsf2

x3

��

B

��

��

C

A

xf

w

l/2

l/2P

Rysunek 11.40

Metode energetyczna wyznaczania si lykrytycznej opisano na stronach 548 - 552.Funkcje aproksymacyjna wo przyjmiemy jakopo lfale sinusoidy

wo = f sin(

πx

l

)

,

gdzie f jest maksymalnym przemieszczeniem:f = wmax = wo(l/2) — rysunek 11.40. Pracesi l zewnetrznych Lz i wewnetrznych Lw obli-czymy ze wzorow (11.23), (11.25)b:

Lz =1

2P

l∫

l/2

(w′

o)2dx =1

2P

π2

l2f2

l∫

l/2

cos2(

πx

l

)

dx,

Lz =1

2P

π2

l2f2

[

l

4πsin(2π

x

l) +

1

2x

]∣

∣

∣

∣

l

l/2

=π2f2P

8l,

2005/6/16page 579

11.6. ZADANIA 579

Lw =1

2

l∫

l

EJ(w′′

o )2dx =1

2EJf2 π4

l4

l∫

0

sin2(

πx

l

)

dx =

Lw =π4EJf2

4l3.

Porownujac prace si l zewnetrznych i wewnetrznych (11.27), znajdujemy si lekrytyczna

P = P ∗

Kr=

2π2EJ

l2= 19, 7

EJ

l2.

11.6 Zadania

11-1 (S) Nieodkszta lcalny pret AB po laczony jest ze sprezysta belka BCi obciazony osiowa si la P — jak na rysunku 11.41. Obliczyc si le krytycznaPKr (porownaj temat przyk ladu 11-4). Dane: sztywnosc zginania EJ2 belkiBC, wymiar l.

f11x13a��

��

f 11x13a

2EJ

B C

EJ1

l

P

A

8

l

Rysunek 11.41

11-2 (S) Wyznaczyc si le krytyczna w zadaniu 11-1 dla trzech roznychsposobow obciazenia dzwigni AB, przedstawionych na rysunku 11.42. Dane:wymiary a, r, l.

11-3 (S-N) Nieodkszta lcalny pret AB jest obciazony si la osiowa P . Dolnykoniec preta jest przegubowo zamocowany do pod loza i po laczony ze sprezyna

2005/6/16page 580


f11x13b��

��

��

��

��

f 11x13b

A’l

P

P

Q

P

BS

l

a

a) b) c)

a

l

r

A

A

B

Rysunek 11.42

S — rysunek 11.43. Wyznaczyc si le krytyczna PKr oraz zaleznosc kata wy-chylenia preta ϕ od si ly P po utracie statecznosci. Rozwazyc nastepujacecharakterystyki sprezyny:

a) charakterystyka liniowa: M = cϕ, (porownaj zadanie 11-1),

b) charakterystyka potegowa typu: ϕ =M

c+

(

M

c1

)n

; n > 1,

c) charakterystyka potegowa typu: M = cϕ + c2ϕn; n > 1,

gdzie: M jest momentem dzia lajacym na sprezyne, c, c1, c2, n - sta lewspo lczynniki. Narysowac zaleznosc P = P (ϕ). Zadanie rozwiazac dla ma lychkatow wychylenia drazka ϕ.

ff11

x14

��

f f11x14��

��

B

A

EJ

S

l

8

P

Rysunek 11.43

ff11

x15

��

��

��

f f11x15��

�� A

PB Q

Cl

S

Rysunek 11.44

11-4 (S) Nieodkszta lcalny pret o d lugosci l jest zamocowany przegubowow punkcie A — rysunek 11.44 — i obciazony si lami P i Q w punkcie B, przyczym si la Q jest znana i niezalezna od si ly P . Obrot preta w przegubie jest

2005/6/16page 581

11.6. ZADANIA 581

zwiazany z odkszta lceniem liniowej sprezyny S o sztywnosci c (M = cϕ). Przyobciazeniu preta niewielka si la P jest on utrzymywany w rownowadze przezzderzak C. Badajac rownowage uk ladu w po lozeniu wychylonym, wyznaczyccharakterystyke P = P (ϕ), gdzie ϕ oznacza kat wychylenia preta. Przepro-wadzic analize otrzymanych wynikow pod katem oszacowania si ly krytycznejuk ladu PKr.

11-5 (S) Wyznaczyc si le krytyczna PKr uk ladow pretowych, z lozonychz elementow odkszta lcalnych o sztywnosci zginania EJ oraz nieod-kszta lcalnych (E → ∞), przedstawionych na rysunku 11.45.

ff11x161��

��

��

��b)a)

��

��

��

��

��

��

��

��A

B

C D

E

CB

A

D

EJa

a PEJ

EJ 8

l

8

EJ l

P f f11x161

Rysunek 11.45

11-6 (S) Wyznaczyc wartosc si ly krytycznej sprezystych pretowobciazonych jak na rysunku 11.46. Sztywnosc EJ oraz d lugosc l sa dane.

ff11x162��

��

��

��

��

��

a) b)

��

��

��

��

��

��

EJ

PP

EJ

a=l

l

8EJ

l

a=l

f f11x162

Rysunek 11.46

11-7 (S) Wyznaczyc wartosc si ly krytycznej sprezystych pretowobciazonych jak na rysunku 11.47. Sztywnosc EJ oraz wymiary pretow a, lsa dane.

11-8 (S) Rozwiazac zadanie 11-7 metoda roznic skonczonych.

2005/6/16page 582


ff11x171��

��

��

��a)

x

y

b)

A

P

lP

’A’

C

B

A’

f f11x171a

B

P

l

r

��

��

��

CP

A��

��

��

Rysunek 11.47

11-9 (S) Rozwiazac zadanie 11-7 metoda energetyczna.

11-10 (S) Pret AB zamocowany przegubowo i obciazony si la osiowa Ppodtrzymywany jest w srodku przez nieodkszta lcalna belke CD jak na ry-sunku 11.48. Obliczyc wartosc si ly krytycznej PKr, jesli przekroj poprzecznypreta AB jest prostokatem o wymiarach b× h — rysunek 11.48b. Pret wyko-nany jest z materia lu idealnie sprezystego, ktorego modu l Younga jest rownyE.

ff11x20��

��

a)

��

��

��

b)

EJ

l/2

l/2

8

EJ

b

hC

P

B

A

D

C

f f11x20

Rysunek 11.48

11-11 (S) Wyprowadzic rownanie przestepne okreslajace obciazeniekrytyczne PKr, dla preta obciazonego si la skierowana do bieguna — rysu-nek 11.49a, oraz preta obciazonego dwiema si lami jak na rysunku 11.49b.Dane: wymiary c, l oraz sztywnosc zginania pretow EJ .

11-12 (S) Wyznaczyc z warunku statecznosci dopuszczalna si le Pdop, dlapreta obciazonego jak na rysunku 11.50. Dane: wymiary l = 1 m, a = 1 cm,

2005/6/16page 583

11.6. ZADANIA 583

ff1x3��

��

��

�� f f1x3

l

l

P

P

EJc

l

P

EJ

b)a)

Rysunek 11.49

modu l sprezystosci E = 2 · 105 MPa, granica plstycznosci σo = 250 MPA,granica proporcjonalnosci σprop = 200 MPa, wspo lczynnik bezpieczenstwaxw = 3.

11-13 (S) Dobrac z warunku statecznosci wymiar a, dla pretaobciazonego jak na rysunku 11.51. Dane: wymiar l = 150 cm si la P = 100 kN,modu l sprezystosci E = 2 · 105 MPa, granica plstycznosci σo = 200 MPA,granica proporcjonalnosci σprop = 150 MPa, wspo lczynnik bezpieczenstwaxw = 2.

ff1x6f f1x6

��

��

�� b)a)

��

��

a

a

a

5a

5aP

l

Rysunek 11.50

ff1x6b�� b)a)

f f1x6b

��

��

a

5a

5a

a

P

Rysunek 11.51

11-14 (S) Wyznaczyc si le krytyczna PKr pretow zamocowanychi obciazonych jak na rysunku 11.52. Dane: sztywnosc zginania EJ , wymiarpreta l oraz parametr β = a/l.

11-15 (S) Obliczyc metoda roznic skonczonych si le krytyczna PKr pretao liniowo zmiennej srednicy, zamocowanego i obciazonego jak na rysunku11.53. Dane sa: srednice na koncach preta d1, d2, modu l sprezystosci E orazd lugosc preta l.

2005/6/16page 584


ff11x22a��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

a) b) d)c)

B

A A

B C

AA

C

B B

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��f f11x22a

P

l

EJ

P

2EJ

EJ

a

l

P

EJa

a

l

P

EJ

l

Rysunek 11.52

11-16 (S) Pryzmatyczny pret przegubowo zamocowany na swych koncachjest rownomiernie nagrzewany — rysunek 11.54. Przyjmujac, iz podporysa niepodatne, obliczyc krytyczny przyrost temperatury ∆tKr, przy ktorymnastapi utrata statecznosci preta. Pret wykonany jest z materia lu idealniesprezystego; sta le materia lowe nie zaleza od temperatury. Dane: wspo lczynnikrozszerzalnosci liniowej µ, moment bezw ladnosci Jmin oraz wymiary preta.

ff11

x23

��

��

��

A

B

x

f f11x23

P

(x)yEJ

l

Rysunek 11.53

ff11

x24a

��

��

tf

f11x

24a

∆

B

A

l

EJ

Rysunek 11.54

11-17 (S) Dwa prety AB i CB o srednicy d po laczone sa przegu-bowo i obciazone si la P jak na rysunku 11.55. Uwzgledniajac warunek wy-trzyma losci dla preta rozciaganego i statecznosci dla preta sciskanego, dobracsrednice pretow d. Dane: wymiar l, kat α, si la P , modu l sprezystosci E,granica plastycznosci σo, wspo lczynnik bezpieczenstwa xw. Uwaga: Za lozyc,ze wyboczenie preta CB nastapi w zakresie deformacji liniowo sprezystych.

2005/6/16page 585

11.6. ZADANIA 585

11-18 (S) Dwie belki AC oraz DE, o przekroju ko lowym o srednicy d1

po laczone sa lacznikiem BE o srednicy d2 — rysunek 11.56. Swobodny koniecbelki AC obciazono si la skupiona P . Uwzgledniajac warunek bezpieczenstwazginanych belek i warunek utraty statecznosci lacznika, wyznaczyc si le do-puszczalna Pdop. Dane: wymiary l, d1, d2, modu l sprezystosci E, taki sam dlabelek i lacznika, naprezenie dopuszczalne zginanych belek kg, wspo lczynnikbezpieczenstwa xw. Uwaga: w obliczeniach za lozyc, ze wyboczenie lacznikaodbywa sie w zakresie deformacji sprezystych.

fsf3x5��

��A

C Bα

lf sf3x5 P

Rysunek 11.55

ff11x25BA

��

�� C

D

��

��

E

ll

P

l

f f11x25

Rysunek 11.56

11-19 (S) Dla sprezystych ram przedstawionych na rysunkach 11.57, 11.58wyznaczyc obciazenie krytyczne PKr. Dane: wymiar l, sztywnosc zginaniaEJ . Uwaga: dla kazdej ramy nalezy rozwazyc dwie rozne postaci utratystatecznosci.

ff11

x26

��

��

PP

EJ

EJ

3l

f f11x26

l

Rysunek 11.57

ff11x27��

��

A

B C

D

P

3

2l

P

l

f f11x27

EJ

Rysunek 11.58

11-20 (S) Na rysunku 11.59 przedstawiono uk lad pretowy obciazonyrownomiernym obciazeniem ciag lym q. Wyznaczyc wartosc obciazenia do-puszczalnego qdop, uwzgledniajac warunek wytrzyma losci dla belki, sta-

2005/6/16page 586


tecznosci dla preta BC oraz warunek dopuszczalnego przemieszczeniasrodkowego punktu belki. Dane sa: wymiar l, srednica belki d1 = 2d, srednicapreta d2 = d, naprezenie dopuszczalne przy zginaniu kg, krytyczne przemiesz-czenie pionowe punktu D - δKD, modu l sprezystosci E, wspolczynnik bezpie-czenstwa xw.

11-21 (S) Idealnie sztywna belka o ciezarze Q jest podtrzymywana przezpret o przekroju prostokata, jak na rysunku 11.60. Wyznaczyc wymiaryprostokata, jesli dane sa: obciazenie Q, wymiar l, modu l sprezystosci E,wspo lczynnik bezpieczenstwa xw, h/b = 2. Uwaga: za lozyc, ze wyboczeniepreta sciskanego nastapi w zakresie deformacji sprezystych.

ff11x28��

��

q

l l

A

2l

B

C

D

f f11x28

Rysunek 11.59

ff11x29

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

A B

C

l

l l/2

h

bf f11x29

Rysunek 11.60

11.7 Odpowiedzi

11-1 PKr =c

l=

3EJ2

l2, gdzie c =

3EJ2

l.

11-2 Oznaczajac przez c sztywnosc sprezyny S (c = 3EJ2/l — zob. odpowiedz dozad. 11-1), bedziemy mieli:

a) PKr =ac

l(a + l), b) PKr =

c

(l + R),

c) PKr =c

l− Q(l −

a

l) dla Q = const,

PKr =c

(l + αa)dla

P

Q= α = const.

11-3 W kazdym z rozwazanych przypadkow, gdy ϕ → 0, charakterystyki wszystkich

2005/6/16page 587

11.7. ODPOWIEDZI 587

sprezyn daja dM/dϕ → c. Si la krytyczna bedzie wiec w kazdym przypadkurowna PKr = c/l. W zakresie obciazen pokrytycznych zaleznosc kata ϕ od si lyP wyznaczymy nastepujaco:

f22x2f 22x2

PKr P

Kr

ϕϕ ϕ

1<n<2

n=2

n>2b) c)a)

P P P n=2

n>2

1<n<2

Rysunek 11.61

a) dla charakterystyki liniowej warunek rownowagi drazka w po lozeniu wy-chylonym daje

Pϕl = cϕ, ⇒ P = c/l,

co oznacza, ze dla P = PKr = c/l kat ϕ jest nieokreslony — rysunek 11.61a.b) warunek rownowagi przybiera tu postac

ϕ =Pϕl

c+

(

Pϕl

c1

)n

, ⇒ ϕ =

[(

1 −P

PKr

)(

PKrc1

Pc

)n]1/(n−1)

.

c) z warunku rownowagi mamy

Pϕl = cϕ + c2ϕn, skad P = PKr

(

l +c2

cϕn−1

)

.

11-4 Uwzgledniajac duze przemieszczenia otrzymujemy

P =c

l

ϕ

sin ϕ+

Q

tan ϕ.

Przy ma lych przemieszczeniach, gdy sin ϕ ≈ ϕ, mamy

P =c

l+

Q

ϕ.

Na rysunku 11.62 przedstawiono obie charakterystyki, zaznaczone odpowied-nio lina ciag la i przerywana. Jak widac, klasycznie definiowana si la krytyczna

2005/6/16page 588


tutaj nie wystepuje (PKr → ∞), jednak dla dostatecznie duzej i skonczonejsi ly osiowej nawet niewielkie zaburzenie (np. nie osiowe przy lozenie si ly P )moze spowodowac ”wejscie” na krzywa P = P (f) (rysunek 11.62), co z ko-lei wywo la charakterystyczny ”przeskok” zaznaczony punktami M-N. PrzyQ = 0 otrzymujemy wykres z typowym punktem bifurkacji (rozdwojenie po-staci rownowagi) — na rysunku jest to punkt K.

11-5 a)PKr =3EJ

la, b)PKr =

3EJa

l3.

f22x4

f 22x4

ϕ

P

K

M N

Rysunek 11.62

11-16 ∆tKr =µAl2

π2Jmin.

11-17 d > max

{

4

π

√

Pxw

σotgα;

4

√

Pl2xw64

π3E sin α

}

.

11-18 Pdop = min

{

πd31kg

64l;

π3Ed42

128lxw

}

.

2005/6/16page 589

Bibliografia

[1] Gawedzki A.: Podstawy Mechaniki Konstrukcji pretowych, WydawnictwoPolitechniki Poznanskiej 1985.

[2] Eschenauer H., Olhoff N., Schell W.: Applied Structural Mechanics, Fun-damental of Elasticity, Load-Bearing Structures, Structural Optimiza-tion, Including Exercises, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1997.

[3] Lubinski M., Filipowicz A., Zo ltowski W.: Konstrukcje metalowe, Ar-kady, Warszawa 2000.

[4] Ponomariew P.D. i inni: Wspo lczesne metody obliczen wytrzyma loscio-wych w budowie maszyn. PWN, Warszawa 1958.

[5] Skrzypek J.: Plasticity and Creep, Theory, Examples and Problems, Ed.R.B.Hetnarski, Begell House – CRC Press, 1993.

[6] Skrzypek J.: Plastycznosc i pe lzanie. PWN, Warszawa 1986.

[7] Timoshenko S.P., Gere J.M.: Teoria statecznosci sprezystej Arkady, W-wa 1963.

[8] Walczak J.: Wytrzyma losc materia low oraz podstawy teorii sprezystoscii plastycznosci. T I, II. PWN, Warszawa-Krakow 1978.

[9] Zyczkowski M.: Obciazenia z lozone w teorii plastycznosci. PWN, War-szawa 1973.

[10] Zyczkowski M.: Combined loadings in the theory of plasticity, PWN, War-szawa 1978.

[11] Zyczkowski M. (red.): Mechanika techniczna. Wytrzyma losc elementowkonstrukcyjnych, t.IX. PWN, Warszawawa 1988.

2005/6/16page 590

Indeks

bifurkacja, 527, 538

ciegno, 559

d lugosc zredukowana (wybocze-niowa), 546

efekty imperfekcji, 533

hiperbola Eulera, 556

kinematyczne warunki brzegowe,550

kinetyczne kryterium rownowagi,525

krata Misesa, 535kryterium rownowagi trwa lej, 525

metoda elementow skonczonych,546, 561

metoda roznic skonczonych, 553

naprezeniedopuszczalne, 563eulerowskie, 555krytyczne, 555, 556, 563, 564

pokrytyczny stan rownowagi, 544prety

krepe, 564smuk le, 564

promien bezw ladnosci, 555przeskok, 534, 536, 538

punkt bifurkacji, 530

rozdwojenie stanu rownowagi, 530rownowaga trwa la, 525

si laeulerowska, 542, 543krytyczna, 530, 534, 539, 542,

543, 553, 559, 561smuk losc

graniczna, 556porownawcza, 565preta, 555wzgledna, 565

stabilnosc, 525statecznosc, 525statyczne

kryterium rownowagi, 525warunki brzegowe, 551

teoria katastrof, 536

warunekbezpieczenstwa, 563

wspo lczynnik

bezpieczenstwa, 563d lugosci wyboczeniowej, 546niestatecznosci ogolnej, 565zmniejszajacy, 565

wyboczenie, 539wyboczenie niesprezyste, 556wzor Eulera, 555, 556

590

2005/6/16page 591

INDEKS 591

wzor roznicowy, 553

2005/6/16page 592

592 INDEKS

*** 16.06.2005

krata misesa

Documents

Transcript of krata misesa