KOMBINATORYKAKOMBINATORYKAKOMBINATORYKAKOMBINATORYKA

mgr Anna Walczyszewska

KombinatorykaKombinatorykaKombinatorykaKombinatoryka

PERMUTACJEWARIACJE Z POWTÓRZENIAMIWARIACJE BEZ POWTORZEŃKOMBINACJEKOMBINACJEZADANIAPROGRAM – ELEMENTY KOMBINATORYKIPROGRAM – ELEMENTY KOMBINATORYKI

KombinatorykąKombinatoryką nazywamy dział matematyki nazywamy dział matematyki zajmujący się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów zajmujący się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami.zasadami.

WyjścieWyjście

PermutacjąPermutacją zbioru n-elementowego nazywamy zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioruzbioru

!nPn !nPn Liczba wszystkich różnych permutacji Liczba wszystkich różnych permutacji zbioru n-elementowego jest równa:zbioru n-elementowego jest równa:

Przykład permutacji zbioru Przykład permutacji zbioru trzy-elementowego B={a, b, c}trzy-elementowego B={a, b, c}

(a, b, c)

(b, a, c) (c, a, b)(b, c, a)

(a, c, b) (c, b, a)

Przykład permutacji Przykład permutacji zbioru trzy-zbioru trzy-elementowegoelementowego

A=

ZADANIA

Wariacją k-wyrazową z powtórzeniamiWariacją k-wyrazową z powtórzeniami zbioru zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg, którego n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg, którego wyrazami są elementy danego zbioruwyrazami są elementy danego zbioru

Liczba wszystkich różnych k-wyrazowych Liczba wszystkich różnych k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest równa:jest równa:

kkn nW kkn nW

Przykłady dwu-wyrazowej wariacji z powtórzeniami zbioru Przykłady dwu-wyrazowej wariacji z powtórzeniami zbioru trzy-elementowegotrzy-elementowego

A= k = 2 , n = 3k = 2 , n = 3B={a, b, c}B={a, b, c}

(a, a)

(b, a)

(c, a)

(b, b)

(c, b)

(a, b)

(c, c)

(b, c)

(a, c)

ZADANIA

Wariacją k-wyrazową bez powtórzeńWariacją k-wyrazową bez powtórzeń zbioru zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg o nie n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg o nie powtarzających się wyrazach, którego wyrazami są elementy powtarzających się wyrazach, którego wyrazami są elementy danego zbioru.danego zbioru.

Liczba wszystkich różnych k-wyrazowych Liczba wszystkich różnych k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest równa:jest równa:

nkgdy

kn

nV kn

!

!

nkgdy

kn

nV kn

!

!

Przykłady dwu-wyrazowej wariacji bez powtórzeń zbioru Przykłady dwu-wyrazowej wariacji bez powtórzeń zbioru trzy-elementowegotrzy-elementowego

A= k = 2 , n = 3k = 2 , n = 3B={a, b, c}B={a, b, c}

(b, a)

(c, a) (c, b)

(a, b)

(b, c)

(a, c)

ZADANIA

KombinacjąKombinacją k-elementową zbioru n – elementowego k-elementową zbioru n – elementowego nazywamy każdy podzbiór k-elementowy tego zbioru. nazywamy każdy podzbiór k-elementowy tego zbioru.

Liczba wszystkich różnych kombinacji Liczba wszystkich różnych kombinacji k-elementowych zbioru n-elementowego jest k-elementowych zbioru n-elementowego jest równa:równa:

nkgdy

knk

nC kn

!!

!

nkgdy

knk

nC kn

!!

!

Przykłady dwu-elementowej kombinacji zbioru trzy- elementowegoPrzykłady dwu-elementowej kombinacji zbioru trzy- elementowego

A= k = 2 , n = 3k = 2 , n = 3B={a, b, c}B={a, b, c}

{a, b}

{b, c}

{a, c}

ZADANIAZADANIA

PRZYKŁADOWE ZADANIA PRZYKŁADOWE ZADANIA PERMUTACJEPERMUTACJE

Zad.1Zad.1 Na ile sposobów można posadzić 7 osób na 7 miejscachNa ile sposobów można posadzić 7 osób na 7 miejscach??

50407654321!77 P

Zad.2Zad.2 Ile liczb róznocyfrowych większych od czterech tysięcy Ile liczb róznocyfrowych większych od czterech tysięcy można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4?można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4?

Skoro mają to być liczby większe od 4000 to na pierwszymmiejscu musi wystąpić cyfra 4. Pozostałe trzy cyfry należy rozłożyć na kolejnych trzech miejscach.

6321!33 P POWRÓT

PRZYKŁADOWE ZADANIA PRZYKŁADOWE ZADANIA WARIACJE Z POWTÓRZENIAMIWARIACJE Z POWTÓRZENIAMI

Zad.1Zad.1 Rzucamy sześciokrotnie moneta. Ile jest możliwych wyników? Rzucamy sześciokrotnie moneta. Ile jest możliwych wyników?

n = 2 ponieważ mamy do wyboru dwie możliwości orła albo reszkęn = 2 ponieważ mamy do wyboru dwie możliwości orła albo reszkęk = 6 ponieważ rzucamy moneta 6 razyk = 6 ponieważ rzucamy moneta 6 razy

642662 W

Zad.2 Zad.2 Pamiętam pierwsze trzy cyfry siedmiocyfrowego numeru telefonu Pamiętam pierwsze trzy cyfry siedmiocyfrowego numeru telefonu znajomego, zapomniałem pozostałe. Pamiętam jednak, że nie było znajomego, zapomniałem pozostałe. Pamiętam jednak, że nie było wśród nich zera ani piątki. Ile jest możliwych numerów telefonicznych wśród nich zera ani piątki. Ile jest możliwych numerów telefonicznych spełniający taki warunek spełniający taki warunek

n = 8 ponieważ tyle cyfr pozostało poza zerem i piątkąn = 8 ponieważ tyle cyfr pozostało poza zerem i piątkąk = 4 ponieważ tyle zostało miejsc w 7-cyfrowym numerze telefonuk = 4 ponieważ tyle zostało miejsc w 7-cyfrowym numerze telefonu

40968448 W POWRÓT

Zad.1Zad.1 Ile można wykonać trójkolorowych chorągiewek z sześciu kolorów. Ile można wykonać trójkolorowych chorągiewek z sześciu kolorów.

Zad.2 Zad.2 Dziesięć samochodów wjechało na parking, na którym było 15 wolnych miejsc. Dziesięć samochodów wjechało na parking, na którym było 15 wolnych miejsc. Na ile sposobów można zaparkować te samochody?Na ile sposobów można zaparkować te samochody?

PRZYKŁADOWE ZADANIA PRZYKŁADOWE ZADANIA WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃWARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ

n = 6 ponieważ tyle mamy kolorówn = 6 ponieważ tyle mamy kolorówk = 3 ponieważ tworzymy chorągiewki z trzech kolorówk = 3 ponieważ tworzymy chorągiewki z trzech kolorów

120654!3

654!3

!3

!6

!36

!636

V

n = 15 ponieważ tyle jest wolnych miejsc na parkingun = 15 ponieważ tyle jest wolnych miejsc na parkinguk = 10 ponieważ tyle jest samochodówk = 10 ponieważ tyle jest samochodów

3603601514131211!10

1514131211!10

!10

!15

!515

!15515

V

POWRÓT

PRZYKŁADOWE ZADANIA PRZYKŁADOWE ZADANIA KOMBINACJEKOMBINACJEPRZYKŁADOWE ZADANIA PRZYKŁADOWE ZADANIA KOMBINACJEKOMBINACJE

Zad.2Zad.2 Na okręgu wybrano sześć punktów. Ile czworokątów wyznaczają te punkty? Na okręgu wybrano sześć punktów. Ile czworokątów wyznaczają te punkty?

n = 6 ponieważ tyle mamy wybrać punkówn = 6 ponieważ tyle mamy wybrać punkówk = 4 ponieważ tworzymy czworokątyk = 4 ponieważ tworzymy czworokąty

15352

65

21!4

65!4

!2!4

!6

!46!4

!636

C

Zad.1 Zad.1 Spotkało się 20 przyjaciół i każdy z każdym wymienił uścisk dłoni. Spotkało się 20 przyjaciół i każdy z każdym wymienił uścisk dłoni. Ile było takich uścisków?Ile było takich uścisków?

n = 20 ponieważ tyle jest graczyn = 20 ponieważ tyle jest graczyk = 2 ponieważ do uścisku dłoni potrzebne są dwie osobyk = 2 ponieważ do uścisku dłoni potrzebne są dwie osoby

19010192

2019

!1821

2019!18

!18!2

!20

!220!2

!20220

C

POWRÓT

ZADANIAZADANIAW turnieju szachowym brało udział 12 zawodników. W turnieju szachowym brało udział 12 zawodników. Każda partia szachów była rozgrywana nie więcej niż 10 Każda partia szachów była rozgrywana nie więcej niż 10 min. Ile godzin potrzeba na cały turniej skoro rozgrywano min. Ile godzin potrzeba na cały turniej skoro rozgrywano go w systemie każdy z każdymgo w systemie każdy z każdym

ROZWIAZANIE

Ilu zawodników brało udział w turnieju szachowym, w Ilu zawodników brało udział w turnieju szachowym, w którym rozegrano 84 partie, jeśli dwaj zawodnicy wycofali którym rozegrano 84 partie, jeśli dwaj zawodnicy wycofali się po rozegraniu 3 partii, a pozostali grali do końca. się po rozegraniu 3 partii, a pozostali grali do końca.

ROZWIAZANIE

NastępneNastępne

ROZWIĄZANIEROZWIĄZANIEROZWIĄZANIEROZWIĄZANIE

66611!1021

1211!10

!212!2

!12212

C

n = 12 ponieważ tylu zawodników bierze udział w turnieju n = 12 ponieważ tylu zawodników bierze udział w turnieju k = 2 ponieważ do rozegrania jednej partii potrzeba 2 zawodnikówk = 2 ponieważ do rozegrania jednej partii potrzeba 2 zawodników

W całym turnieju rozegrano 66 partii szachowych. Każda z nich trwała nie W całym turnieju rozegrano 66 partii szachowych. Każda z nich trwała nie więcej niż 10 minut, więc cały turniej trwał 660 minut. Po przeliczeniu więcej niż 10 minut, więc cały turniej trwał 660 minut. Po przeliczeniu minut na godziny otrzymujemy odpowiedź: minut na godziny otrzymujemy odpowiedź:

Na cały turniej szachowy potrzeba maksymalnie 11 godzinNa cały turniej szachowy potrzeba maksymalnie 11 godzin

POWRÓT

ROZWIĄZANIEROZWIĄZANIEROZWIĄZANIEROZWIĄZANIE

84622 nC

01505

0156632

15623

2/782

23

684!421

23!4

846!22!2

!2

2

2

nn

nnn

nn

nn

n

nnn

n

n

152

30

12

255

102

20

12

255

25625

60025

150145

150,5,1

2

1

2

n

n

cba

Odp. W turnieju szachowym brało udział 15 graczy. POWRÓT

n- ilość graczy w turnieju n- ilość graczy w turnieju n-2 – ilość graczy po rezygnacji dwóchn-2 – ilość graczy po rezygnacji dwóch6 – ilość partii rozegranych przez dwóch zawodników, którzy się wycofali 6 – ilość partii rozegranych przez dwóch zawodników, którzy się wycofali 84 – ilość partii rozegranych w całym turnieju84 – ilość partii rozegranych w całym turnieju

)32( partie

Nn

ZADANIAZADANIA

ROZWIAZANIEROZWIAZANIE

ROZWIAZANIEROZWIAZANIE

Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których tylko Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których tylko pierwsza i ostatnia cyfra jest takie samepierwsza i ostatnia cyfra jest takie same

Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których żadna cyfra się nie powtarzażadna cyfra się nie powtarza

Strona głównaStrona główna

ROZWIĄZANIEROZWIĄZANIEROZWIĄZANIEROZWIĄZANIE

Wszystkich cyfr jest 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Wszystkich cyfr jest 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Ponieważ mają to być liczby czterocyfrowe więc na Ponieważ mają to być liczby czterocyfrowe więc na pierwszym i ostatnim miejscu nie może wystąpić cyfra zero. pierwszym i ostatnim miejscu nie może wystąpić cyfra zero. W takim razie na pierwszym i ostatnim miejscy może W takim razie na pierwszym i ostatnim miejscy może wystąpić jedna z pozostałych dziewięciu cyfr. Dwa wystąpić jedna z pozostałych dziewięciu cyfr. Dwa środkowe miejsca należy wypełnić nie powtarzającymi się środkowe miejsca należy wypełnić nie powtarzającymi się cyframi.cyframi.

648989!7

98!79

!7

!99

!29

!999 2

10

V

Odp. Takich cyfr jest 648 POWRÓT

ROZWIĄZANIEROZWIĄZANIEROZWIĄZANIEROZWIĄZANIEWszystkich cyfr jest 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Wszystkich cyfr jest 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Skoro to maja być liczby czterocyfrowe to na pierwszym Skoro to maja być liczby czterocyfrowe to na pierwszym miejscu nie może wystąpić cyfra zeromiejscu nie może wystąpić cyfra zero

410V

- liczba wszystkich czterowyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru 10 elementowego – wszystkie liczby czterocyfrowe razem z zerem na początku

39V

- liczba wszystkich trzywyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru 9 elementowego – wszystkie liczby czterocyfrowe z zerem na początku

45369987!6

9987!6

!6

9!9

!6

110!9

!6

!9!10

!6

!9

!6

!10

!39

!9

!410

!1039

410

VV

POWRÓTOdp. Takich cyfr jest 4536