Klasa III P 15.02.2008 r.
description
Transcript of Klasa III P 15.02.2008 r.
TEMAT:TEMAT:
Rzut równoległy na płaszczyznę.Rzut równoległy na płaszczyznę.
Rzut prostokątny na płaszczyznę.Rzut prostokątny na płaszczyznę.
Kąt między prostą a płaszczyzną.Kąt między prostą a płaszczyzną.
Klasa III P 15.02.2008 r.
Prowadzący: Przemysław Piórkowski
Rzut równoległy na płaszczyznęRzut równoległy na płaszczyznę(układ rzutowania)(układ rzutowania)
k
π
π - płaszczyzna rzutu (rzutnia)
k - prosta przebijająca płaszczyznę, wyznaczająca kierunek rzutu
(π,k) - układ rzutowania
Rzut równoległy na płaszczyznęRzut równoległy na płaszczyznę(układ rzutowania)(układ rzutowania)
k
π
A
A - punkt leżący poza płaszczyzną
A’
Rzut równoległy punktu A na płaszczyznę π w Rzut równoległy punktu A na płaszczyznę π w kierunku prostej kierunku prostej kk
l k
π
A
l - prosta równoległa do k przechodząca przez punkt A (prosta rzutująca)
A’- rzut równoległy punktu A na płaszczyznę π w kierunku prostej k
Wyznaczanie rzutu punkt A nazywamy rzutowaniem punktu A
A co jeśli ...?A co jeśli ...?
k
π
l
AB
A’=B’
Wniosek:
Jeśli punkty A i B leżą na prostej równoległej do kierunku rzutu, to A’=B’
Uwaga. Uwaga.
Rzut równoległy jest przekształceniem jednoznacznym, co oznacza, że każdy punkt ma w danym układzie rzutowania jeden rzut, ale ...
...nie jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznym, to znaczy każdy punkt rzutni jest rzutem nieskończenie wielu punktów.
Zadanie 1.Zadanie 1.
k
π
A
?'
A
A
Rzut równoległy figuryRzut równoległy figury
π
k
Twierdzenia (własności rzutu równoległego)Twierdzenia (własności rzutu równoległego)
π
kl
l’
Twierdzenie 1.
Rzutem równoległym prostej (l) nierównoległej do kierunku rzutu jest prosta (l’).
k
π
Twierdzenie 2.
Rzutem równoległym odcinka jest odcinek do niego równoległy.
A B
B’A’
Twierdzenia (własności rzutu równoległegoTwierdzenia (własności rzutu równoległego))
Twierdzenia (własności rzutu równoległego)Twierdzenia (własności rzutu równoległego)
Twierdzenie 3.
Rzutem równoległym środka odcinka (nierównoległego do kierunku rzutu) jest środek odcinka będącego rzutem.
k
π
AO
B
O’A’
B’
C DA B
B’A’D’C’
k
Twierdzenie 4.
Stosunek długości odcinków równoległych (ale nierównoległych do kierunku rzutu) jest równy stosunkowi długości ich rzutów.
Twierdzenia (własności rzutu równoległego)Twierdzenia (własności rzutu równoległego)
π
k
Zadanie 2.Zadanie 2.
Narysuj rzuty równoległe dwóch odcinków w danym układzie rzutowania, tak aby uzasadnić, iż przekształcenie to nie jest wzajemnie jednoznaczne.
Rozwiązanie:Rozwiązanie:
π
kA B
B’=D’A’=C’
C D
Rzut prostopadły na płaszczyznęRzut prostopadły na płaszczyznę(prosta wyznaczająca kierunek rzutu)(prosta wyznaczająca kierunek rzutu)
π
A
l
k - prosta prostopadła do rzutni
l - prosta rzutująca
A’ - rzut prostokątny punktu A na płaszczyznę π
A’
k
Odległość punktu od płaszczyznyOdległość punktu od płaszczyzny
π
A
A’
d(A,π)
Odległością punktu A od płaszczyzny π nazywamy długość odcinka AA’, gdzie A’ jest rzutem punktu A na płaszczyznę π.
π
A
A’
d(l,π)
l
Odległością prostej l od płaszczyzny π nazywamy długość odcinka AA’,przy czym A jest dowolnym punktem na prostej l, A’ jest rzutem punktu A na płaszczyznę π.
Odległość prostej od płaszczyznyOdległość prostej od płaszczyzny
Zadanie 3.Zadanie 3.
Zdefiniować odległość między dwiema płaszczyznami równoległych
Kąt między prostą i płaszczyznąKąt między prostą i płaszczyzną
π
A
A’ B’
B
α
α - kąt między prostą l a płaszczyzną π
l
l’
l - prosta przebijająca płaszczyznę (nie jest prostopadła do rzutni)
l’- rzut prostej prostokątny prostej l na płaszczyznę π
Zadanie 4.Zadanie 4.
Zdefiniować kąt między prostą a płaszczyzną.
Kątem między prostą l a płaszczyzną π nazywamy
kąt pomiędzy prostą l a jej rzutem prostokątnym l’ na płaszczyznę π
Przykłady.Przykłady.
3*. Odległość punktu A od płaszczyzny π wynosi 6 cm. Z tego punktu poprowadzono do płaszczyzny proste AB i AC (punkty B,C są punktami przebicia z płaszczyzną). Każda z tych prostych tworzy z płaszczyzną kąt 30o. Rzuty tych prostych na płaszczyznę π zawierają między sobą kąt 120o. Oblicz długość odcinka BC
2. Odcinek AB długości 12 cm, którego jeden koniec leży na płaszczyźnie, tworzy z nią kąt 30. Oblicz długość rzutu prostokątnego odcinka na daną płaszczyznę.
1. Przez punkt A poprowadzono prostą przebijającą płaszczyznę π w punkcie B i tworzącą z nią kąt 60o . Wyznacz odległość punkt A o płaszczyzny π, jeśli wiadomo, że |AB|=6 cm.
Pytania podsumowujące.Pytania podsumowujące.
1. Jak definiujemy rzut równoległy na płaszczyznę?
2. Jak definiujemy rzut prostopadły na płaszczyznę?
3. Jak definiujemy kąt między prostą a płaszczyznę?
LiteraturaLiteratura
[1] A. Gliniecka, M. Lewandowska
„Jak rozwiązywać zadania o bryłach - część I”
- Oficyna Wydawniczo - Reklamowa, Bydgoszcz 1995;
[2] K.Kłaczkow, M. Kurczab, E.Świda
„ Matematyka ” - podręcznik dla liceów i techników klasa III.
- Oficyna Edukacyjna, Warszawa 2004;
[3] R. Leitner, W. Żakowski
„ Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie ”
- Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1976;