Kazimierz DUZINKIEWICZ* Polioptymalizacja i CAD’97Mirosław KWIESIELEWICZ*

WIELOKRYTERIALNE PLANOWANIE ZADAŃ Z ROZMYTYMI KRYTERIAMI

DLA WYBRANEJ KLASY SYTEMOW PRODUKCYJNYCH

1. WprowadzenieW pracy przedstawia się metodę rozwiązania wielokryterialnego zagadnienia planowania zadań dla wybranej klasy systemów produkcyjnych. Zakłada się że jedno lub kilka kryteriów posiada postać rozmytą. Rozważana klasa systemów produkcyjnych charakteryzuje się ciągłymi i okresowo ciągłymi procesami produkcyjnymi. Do klasy tej można zaliczyć zakłady rafineryjne i petrochemiczne oraz zakłady nawozów sztucznych oraz wiele innych systemów produkcyjnych.

System produkcyjny (SP) należący do rozważanej klasy (Rys. 1.) przetwarza M surowców na N produktów w przedziale czasowym [ ]t t Tp0 0, + . Składa się on z K

połączonych ze sobą zespołów produkcyjnych (ZP) ( ZP( ) , , , ,k k K= 1 2 ), z których każdy może pracować w Rk różnych reżimach ( ZP( , ) , , , ,k r

k kk r R= 1 2 ). Na wyjściach

ZP otrzymywane są produkty lub półprodukty, które są przesyłane do innych ZP lub sprzedawane. Surowce, półprodukty i produkty mogą być magazynowane.

i-ty surowiec

j-ty produkt

magazynF(k,r)

oi

J (k,r)oi

ZP (k,r) (l,p)ZP

F J

F

J

F

J

F J

F

J

(l,p)

(l,p)

j

j

(l,p)

(l,p)

oi

oi

j j

(k,r)j

(k,r)j

oi oi

s-ty

......

... ...

......

...

...

...

...

...

...

półprodukty

półprodukty półprodukty

półprodukty

Rys.1. Schemat systemu produkcyjnego

*Politechnika Gdańska, Wydział Elektrotechniki i Automatyki, G.Narutowicza 11/12, 80-952 Gdańsk, E-Mail: KDuzin@.ely.pg.gda.pl, MKwies@.ely.pg.gda.pl

Fig. 1. The scheme of the production system

Rozważa się zagadnie operatywnego sterowania produkcją (z horyzontem czasowym sterowania. Tp od jednego miesiąca do jednego roku), które jest zwykle zagadnieniem nieliniowym, niezdeterminowanym i dynamicznym, trudnym do rozwiąznia metodą bezpośrednią. Dokonując dyskretyzacji na osi czasu, oraz stosując metodę wielohoryzontową [1,2,13], zagadnienie operatywnego sterowanie produkcją, dla danego horyzontu czasowego sterowania Tp , daje się zdekomponować na zagadnienie planowania zadań i zagadnienie harmonogramowania. Niniejsza praca ogranicza się do zagadnień planowania zadań, które mają postać jedno- lub wielokryterialnych zagadnień programowania liniowego. Dopuszcza się występowanie rozmytych wspólczynników w liniowych kryteriach.

Do badań przyjeto przykładowy model planowania zadań skonstruowany w oparciu o rzeczywiste dane z rafinerii nafty.Przyjeto trzy kryteria:• zysk osiągany przez system na końcu horyzontu czasowego sterowania,• funkcję kar za nie respektowanie zamówień na produkty,• funkcję kar za nadmierne gromadzenia w systemie.Założono, że ze względu na wachania cen surowców i produktów współczynniki w równaniu określającym zysk mają postać liczb rozmytych z trójkatną funkcją przynależności.Zbiór rozwiązań dopuszczalnych uwzględnia: • równania bilansu materiałowego, • zdolności produkcyjne ZP w poszczególnych reżimach pracy,• ograniczenia na zdolności magazynowe,• receptury i wymagania jakościowe w procesach komponowań.Wektor zmiennych decyzyjnych składa się między innymi z:• wielkości obciążeń każdego ZP we wszystkich podokresach,• wielkości magazynowania we wszystkich podokresach.

2. Sformułowanie problemuZagadnienie planowania zadań dla założonego horyzontu czasowego sterowania posiada następującą postać [3,4,5]:

( ){ }

~ max ~ , ,, , , ,

*z j kJ JT= =

∈ = = ≥c x

x X X x Ax b x 01

s.t. (2)

gdzie ~c j jest wektorem współczynników j-tego kryterium ( j k= 1, , ) , x jest wektorem zmiennych decyzyjnych, natomiast A oraz b są odpowiednio macierzą lewych stron i wektorem prawych stron zbioru ograniczeń. Wektor ~c j może posiadać współczynniki rozmyte i rzeczywiste.

Zakłada się, że rozmyte współczynniki wektora ~c j mają postać liczb rozmytych z trójkątną funkcją przynależnosci w notacji Dubois i Prade'a [6,7,8]:

( )~ , ,c cji ji ji ji= α β , i n= 1,.., (3)

gdzie c ji jest wartością modalną, natomiast α ji oraz β ji są odpowiednio lewostronnym i prawostronnym rozrzutem liczby rozmytej ~c ji , lub w notacji Laarhovena i Pedrycza [12]:

( )~ , ,c l m uji ji ji ji= , i n= 1,.., , (4)

gdzie m ji jest wartością modalną, natomiast l ji oraz u ji są odpowiednio dolną i górną wartością liczby ~c ji , przy czym c mji ji= , i n= 1,.., . Warto zauważyć, że dla liczb rozmytych z trójkatną funkcją przynależności zachodzą następujące zależności:

l mji ji ji= − α oraz u mji ji ji= + β , i n= 1,.., .

Jeśli położymy α ji = 0 i β ji = 0 lub l m uji ij ji= = , wówczas ~c ji będzie liczbą rzeczywistą (szczególny przypadek liczby rozmytej).

3. Rozwiązanie problemuW celu rozwiązania liniowego zagadnienia wielokryterialnego (1) z rozmytymi

współczynnikami występującymi w jednym, kilku lub wszystkich kryteriach proponuje się jego transformację do postaci wielokryterialnego zagadnienia programowania liniowego, które następnie może być rozwiązane za pomocą dowolnej metody wielokryterialnego programowania liniowego. W niniejszej pracy proponuje się zastosowanie tzw. zmodyfikowanej metody Zimmermann’a [3,4,5,9,10,11], opartej na metodzie rozmytego programowania liniowego wprowadzonej przez Zimmermann'a [14,15]

Transformacja wielokryterialnego zagadnienia programowania liniowego z rozmytymi kryteriami na zagadnienie wielokryterialnego programowania liniowego Załóżmy, że mamy do rozwiązania jednokryterialne liniowe zagadnienie optymalizacyjne z rozmytymi współczynnikami funkcji celu:

( ){ }

~ max ~

, , , ,

*z T=∈ = = ≥

c xx X X x Ax b x 0s. t.

(5)

Wówczas wartość funkcji celu z dla danego wektora zmiennych decyzyjnych x można obliczyć:

~ ~z c xi ii

n=

=∑

1, (6)

co po zastosowaniu arytmetyki liczb rozmytych [6,7,8] oraz notacji Dubois i Prade'a sprowadza się do

z c xi ii

n=

=∑

1

, (7)

δ α β= −=

>=

<

∑ ∑c ci iic

n

i iic

n

i i

10

10

, (8)

γ β α= −=

>=

<

∑ ∑c ci iic

n

i iic

n

i i

10

10

, (9)

gdzie:

( )~ , ,z z= δ γ , (10)

przy spełnionych warunkach

δ γ≥ ≥0 0, . (11)

Stosując notację Laarhoven'a i Pedrycza otrzymamy

z c xi ii

n=

=∑

1

, (12)

d c l c ui iic

n

i iic

n

i i

= +=

>=

<

∑ ∑1

01

0, (13)

g c u c li iic

n

i iic

n

i i

= +=

>=

<

∑ ∑1

01

0, (14)

gdzie:

( )~ , , ,z d z g= (15)

przy spełnionym warunku

d z g≤ ≤ (16)

Bardzo istotnym elementem jest sposób interpretacji maksimum dla liczby rozmytej, pod katem rozwiązania zagadnienia (5). Z punktu widzenia planowania zadań można przyjąć dwa podejścia:1. Należy dobrać w taki sposób rzeczywisty wektor decyzyjny x aby:

• zmaksymalizować wartość modalną z rozmytej funkcji celu,

• zminimalizować lewostronny rozrzut δ rozmytej funkcji celu,• zminimalizować prawostronny rozrzut γ rozmytej funkcji celu.

2. Należy dobrać w taki sposób rzeczywisty wektor decyzyjny x aby:• zmaksymalizować wartość modalną z rozmytej funkcji celu,• zminimalizować lewostronny rozrzut δ rozmytej funkcji celu,• zmaksymalizować prawostronny rozrzut γ rozmytej funkcji celu.

W pierwszym przypadku otrzymane rozwiązanie będzie posiadało maksymalną wartość modalną przy możliwie minimalnym stopniu rozmycia, natomiast w drugim maksymalną wartość modalną przy minimalnym rozmyciu lewostronnym i masymalnym rozmyciu prawostronnym. Wybór odpowiedniego podejścia zależy od osoby podejmującej decyzję.

Rozmyte jednokryterialne zagadnienie optymalizacyjne (5) może być zatem przekształcone do odpowiedniego zagadnienia trójkryterialnego, przy czym zbiór rozwiązań dopuszczalnych X musi być uzupełniony o warunki (11)

Stosując notację Laarhoven'a i Pedrycza można sformułować analogiczne zagadnienie trójkryterialne, przy czym zbiór rozwiązań dopuszczalnych X musi być uzupełniony o warunek (16)

Zaproponowane podejście w sposób naturalny może być rozszerzone do przekształcenia liniowego rozmytego zagadnienia wielokryterialnego (2) do postaci liniowego zagadnienia wielokryterialnego

( ){ }

z j kj jT* max , ,, , , ,

= =∈ = = ≥

c yy Y Y y Dy d y 0

1 1

s. t. (17)

Zmodyfikowana metoda Zimmermann’aZmodyfikowana metoda Zimmermann’a składa się z dwóch etapów. W pierwszym etapie należy znaleźć rozwiązania: pozytywne rozwiązanie idealne (PIS) oraz negatywne rozwiązanie idealne (NIS), następujących zagadnień jednokryterialnych odpowiadającym funkcjom celu z z z1 2 3, , [9,10,11]:

z z j kjPIS

jT

jNIS

jT= = =

∈ ∈max , min , , ,c y c yy Y y Y

1 1(18)

Drugi etap polega na zdefiniowaniu funkcji przynależności dla poszczególnych kryteriów zgodnie z podejściem Zimmermann’a [14,15]:

µ zj

j jPIS

j jNIS

jPIS

jNIS j j j

PIS

j jNIS

z zz z

z zz z z

z z

=

>−

−≤ ≤

<

1

0

dla

dla

dla

NIS , (19)

W efekcie otrzymujemy następujące jednokryterialne zagadnienie programowania liniowego odpowiadające zagadnieniu wielokryterialnemu (17):

( )( )

max, , ,

αµ αs.t. zj z j Kj ≥ =

∈1

y Y, (20)

które może być rozwiązane za pomocą dowolnego pakietu programowania liniowego.

6. Uwagi końcowe

W pracy przedstawiono metodę rozwiązania zagadnienia planowania zadań dla zakładów produkcyjnych o ciągłych i okresowo ciągłych procesach produkcyjnych oraz przełączalnej strukturze. Jako model do badań przyjęto model planowania zadań dla rafinerii nafty. Dla założonego horyzontu czasowego sterowania zagadnienie planowania zadań sprowadza się do zagadnienia wielokryterialnego programowania linowego z rozmytymi kryteriami. Przedstawiono metodę rozwiązania tego zagadnienia poprzez sprowadzenie go do wielokryterialnego rzeczywistego zagadnienia programowania liniowego, a następnie do zagadnienia jednokryterialnego programowania liniowego, które może być rozwiązane wykorzystując dowolny pakiet programowania liniowego

Literatura1. Beker Z., Duzinkiewicz K., Milkiewicz F., Porzeziński M, Stolc L., Tkaczyk D.:

Decomposed Computer Aided Operative Production Control for a Class of Production Systems Represented by Petroleum Refinery. Preprints. of 7th IFAC/IFORS/IMACS Symposium on Large Scale Systems: Theory and Applications, 11-13 July 1995, City University, London, UK, 403-408.

2. Cipkowski W., Kwiesielewicz M., Stolc L.: Multilevel-Multihorizon Control of Production System in Uncertain Conditions. Systems Science. 17 (2) 1991, 79-92.

3. Duzinkiewicz K., Kwiesielewicz M.: Multicriteria Production Planning with Possibilistic Programming. Proc. of 12th International Conference on Systems Science, Vol. II 12-15 September 1995, 296-300.

4. Duzinkiewicz K., Kwiesielewicz M.,: Wielokryterialne planowanie zadań dla systemu rozmytego z zastosowaniem rozmytego programowania liniowego. Materiały XIV Ogólnopolskiej Konferencji 'Polioptymalizacja i Komputerowe Wspomaganie Projektowania KOŁOBRZEG'95', 1996, ss. 69-75

5. Duzinkiewicz K., Kwiesielewicz M.: Production planning for a certain class of production systems using multicriteria linear programming methods. Second World Automation Congress WAC'96, May 27-30, 1996, Montpellier, France, in Intelligent Automation and Control : Recent Trends in Development and Applications, M. Jamshidi, J. Yuh, and P. Dauchez( eds.), Vol. 4, TSI Press Series on Intelligent Automation, Albuquerue, NM, USA, pp. 181-186

6. Dubois D., Prade H.: Operations on fuzzy numbers Int J. Systems Sci. 9 (6), 1978, 613-626.

7. Dubois D., Prade H.: Fuzzy real algebra: Some results. Int. J. Fuzzy Sets and Systems 2, 1979, 327-348.

8. Dubois D., Prade H.: Fuzzy Sets and Systems, Theory and Applications. Academic Press, New York, 1980.

9. Hwang C.L., Yoon K.: Multiple attribute Decision making - Methods and Applications. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg 1981.

10. Karkowski I.: Architectural Synthesis with Possibilistic Programming. Computer Architecture Track of 28th Hawaii International Conference on Systems Science 1994.

11. Lai Y.J., Hwang C.L.: A New Approach to Some Possibilistic Linear Programming Problems. Fuzzy Sets and Systems. 49 1992, 121-132.

12. Laarhoven P.J.M., van, Pedrycz W.: A fuzzy extension of Saaty’s priority theory. Fuzzy Sets and Systems 11, 1983, 229-241.

13. Milkiewicz F.: Control of Production Systems. Large Scale Systems 3, North-Holland 1982, 215-226.

14. Zimmermann H.-J.,: Fuzzy programming and linear programming with several objective functions. Fuzzy Sets and Systems, Vol. 1 1978, 45-55.

15. Zimmermann H.-J.:Fuzzy Set Theory and Its Application. Kluwer Academic Press 1985.

Streszczenie

W pracy rozważa się zagadnienie planowania zadań dla wybranej klasy systemów produkcyjnych w oparciu o model planowania zadań dla rafinerii nafty. Stosując metodę wielohoryzontową zagadnienie planowania zadań dla danego horyzontu czasowego sterowania można sprowadzić do zagadnienia wielokryterialnego programowania liniowego, a uwzględniając niepewność związaną z określeniem współczynników w jednym lub kilku kryteriach do zagadnienia wielokryterialnego programowania liniowego z rozmytymi kryteriami. W celu jego rozwiązania stosuje się transformacje na zagadniene wielokryterialnego programowania liniowego, które następnie rozwiazuje się za pomocą zmodyfikowanej metody Zimmermann’a.

MULTICRITERIA TASKS PLANING WITH FUZZY OBJECTIVES

FOR A CHOSEN CLASS OF PRODUCTION SYSTEMS

SummaryWe consider a production control problem for a chosen class of production systems on an example of a petroleum refinary tasks planning model. Using th multihorizon method a planning problem for a given control time horizon leads to a multicriteria linear programming problem and when assumming that there are uncertainties influencing coefficients of one or more criteria it leads to a multicriteria linear programming problem with fuzzy objectives. In order to solve the later we transform it to a multicriteria linear programming one with crisp objective and next the modified Zimmermann's approach to sove the crisp one.