jest ciga :-) ). - kolos.math.uni.lodz.plkolos.math.uni.lodz.pl/~archive/Analiza matematyczna...

1 / Błd! Nieznany argument przełcznika.

To zebranie twierdze i definicji zostało wykonane na podstawie podrcznika akademickiego W. akowskiego i innych, bez zgody autora (i moliwe, e przy jego sprzeciwie, poniewa została wykonana w celu stworzenia wygodnej cigi na egzamin :-) (w kadym razie na pewno pan Henryk Sampławski byłby nie zadowolony, ale pono jest lepy i nie widzi jak si ciga :-) ). Jako elektroniczny skryba pracował:

Marcin Okraszewski [email protected]. http://www.vlo.ids.gda.pl/~okrasz/

Ten ukłon w stron braci w niedoli zajł mi „tylko” 1190 minut. Miłego cigania :-))) Wszyscy s upowanieni do rozpowszechniania tego dokumentu, coby studentom było lej :-))) Szczególne podzikowania

•••• dr Henrykowi Sampławskiemu - bo gdyby nie egzamin, to nie chciałoby mi si tworzy tego dokumentu ;-)

•••• mojemu komputerowi, a wszczególnoci: −−−− klawiaturze - za wytrzymanie wkepywania tylu

znaków. −−−− myszce - za współprac z bardzo topornym

edytorem równa −−−− monitorowi - za wywietlanie tych bzdur −−−− procesorowi - e mimo wielkiego obcienia tekstem

tył wstanie mi jeszcze umila czas muzyk mp3. −−−− dyskowi twardemu - e nie padł i nie zginły

wszystkie dane. •••• moim oczom - ze wytrzymały patrzy na ten kijowy ekran,

chocia pod koniec ju dawały o sobie zna.


Spis treci: RACHUNEK RÓNICZKOWY I CAŁKOWY .................................................................................................3

GRANICA CIGU ............................................................................................................................................................................................3 TWIERDZENIA O CIGACH..............................................................................................................................................................................3 GRANICA FUNKCJI .........................................................................................................................................................................................4 CIGŁO FUNKCJI LICZBOWYCH ..................................................................................................................................................................5 WŁASNOCI FUNKCJI CIGŁYCH ....................................................................................................................................................................5 POCHODNA FUNKCJI ......................................................................................................................................................................................6 RÓNICZKA FUNKCJI .....................................................................................................................................................................................6 OBLICZANIE POCHODNYCH............................................................................................................................................................................6 TWIERDZENIE ROLLE’A .................................................................................................................................................................................6 TWIERDZENIE L’HOSPITALA ..........................................................................................................................................................................7 TWIERDZENIE O PRZYROSTACH .....................................................................................................................................................................7 EKSTREMUM FUNKCJI....................................................................................................................................................................................7 TWIERDZENIE I WZÓR TAYLORA....................................................................................................................................................................7 WYPUKŁO I WKLSŁO WYKRESU FUNKCJI. PUNKT PRZEGICIA..............................................................................................................7

RACHUNEK CAŁKOWY JEDNEJ ZMIENNEJ ..............................................................................................8 WARUNKI R-CAŁKOWALNOCI......................................................................................................................................................................8 WŁASNOCI CAŁKI OZNACZONEJ ...................................................................................................................................................................8 TWIERDZENIA PODSTAWOWE RACHUNKU CAŁKOWEGO.................................................................................................................................9 ZASTOSOWANIE CAŁKI OZNACZONEJ ...........................................................................................................................................................10 CAŁKA NIEWŁACIWA W PRZEDZIALE NIESKOCZONYM .............................................................................................................................10 CAŁKA NIEWŁACIWA FUNKCJI NIEOGRANICZONEJ .....................................................................................................................................11 CAŁKI NIEWŁACIWE ZALENE OD PARAMETRU ..........................................................................................................................................11

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE. ..........................................................................................................12 SZEREG LICZBOWY ......................................................................................................................................................................................12 SZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH .........................................................................................................................................................12 SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH...........................................................................................................................................................13 SZEREGI FUNKCYJNE ...................................................................................................................................................................................13 SZEREGI POTGOWE ....................................................................................................................................................................................15 SZEREG TAYLORA .......................................................................................................................................................................................15 TWIERDZENIA BANACHA .............................................................................................................................................................................16

RACHUNEK RÓNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.............................................................17 ZBIORY W PRZESTRZENI RN .........................................................................................................................................................................17 FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH .......................................................................................................................................................................18 GRANICA I CIGŁO FUNKCJI .....................................................................................................................................................................18 CIGŁO FUNKCJI N ZMIENNYCH. ..............................................................................................................................................................18 POCHODNE CZSTKOWE ..............................................................................................................................................................................19

FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ............................................................................................................20 PŁASZCZYZNA ZESPOLONA OTWARTA I DOMKNITA....................................................................................................................................20 CIGI I SZEREGI LICZBOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH ............................................................................................................................20 FUNKCJA ZESPOLONA ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ ..........................................................................................................................................20 FUNKCJA ZESPOLONA ZMIENNEJ ZESPOLONEJ..............................................................................................................................................20 POCHODNA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ................................................................................................................................................21 FUNKCJA HOLOMORFICZNA .........................................................................................................................................................................21 CIGI I SZEREGI FUNKCJI ZESPOLONYCH......................................................................................................................................................21 FUNKCJE WIELOZNACZNE ............................................................................................................................................................................22 CAŁKA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ ......................................................................................................................................................22 TWIERDZENIE PODSTAWOWE CAUCHY’EGO ................................................................................................................................................22 WZÓR CAŁKOWY CAUCHY’EGO ..................................................................................................................................................................23 SZEREG TAYLORA .......................................................................................................................................................................................23 SZEREG LAURENTA .....................................................................................................................................................................................24 PUNKTY OSOBLIWE ODOSOBNIONE ..............................................................................................................................................................24 RESIDUUM FUNKCJI .....................................................................................................................................................................................24

PRZEKSZTAŁCENIA CAŁKOWE ..................................................................................................................26 WZÓR CAŁKOWY FOURIERA ........................................................................................................................................................................26 PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A....................................................................................................................................................................26 RACHUNEK OPERATOROWY.........................................................................................................................................................................26 WŁASNOCI PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE’A ................................................................................................................................................27


Relacje Def. Produktem kartezjaskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór wszystkich par uporzdkowanych <x, y>, gdzie x ∈ X i y ∈ Y. [<x, y> ∈ XxY] ⇔ [(x ∈ X) ∧ (y ∈ Y)] Def. Relacja binarna w zb. X jest: 1. refleksyjna (zwrotna) jeeli ∀x x ϕ x 2. symetryczna jeeli ∀x, y ∈ X (x ϕ y y ϕ x) 3. tranzytywna (przechodnia) jeeli ∀x, y, z ∈ X ( x ϕ y oraz y ϕ z x ϕ z ) 4. słabo antysymetryczna jeeli ( x ϕ y oraz y ϕ x x = y ) gdy spełnione 1 - 3 to relacja jest relacj równowanoci w X. Def. Relacj (≤) w X, która jest refleksyjna, tranzytywna oraz słabo antysymetryczna nazywamy porzdkiem. Porzdek spójny nazywamy porzdkiem liniowym. Def. (Tw. Dirichleta) Zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B, jeeli istnieje bijekcja f: A → B | A ~ B. Def. Mówimy, e zbiory równoliczne, A i B maj t sam moc. Tw. Jeeli (R, +, *, 0, 1, ≤) jest ciałem uporzdkowanym i ma własnoci kresu, to systemy (R, +, *, 0, 1) i (R, +, *, 0, 1, ≤) s izomorficzne, tzn. istnieje bijekcja f: R → R, który zachowuje wszystkie działania strukturalne. Lemat Adama Kada liczba x ∈ R moe by granic pewnego cigu liczb wymiernych.

Rachunek róniczkowy i całkowy

Granica cigu Def. Liczb g nazywamy granic cigu (an), jeeli dla kadego ε > 0 istnieje taka liczba δ, e dla kadego n > δ spełniona jest nierówno |an - g| < ε. Piszemy przy tym lim an = g. lim an = g ⇔ ∀ε>0 ∃δ ∀n>δ |an - g| < ε Def. Liczb g nazywamy granic cigu (an), jeeli w dowolnym otoczeniu punktu g na osi liczbowej le prawie wszystkie wyrazy tego cigu. Def. Mówimy, e cig (an) jest rozbieny do plus (minus) nieskoczonoci wtwg ∀M ∃δ ∀n>δ an > (<) M i piszemy lim an = +(-)∞

Twierdzenia o cigach Tw. Cig zbieny jest ograniczony. Tw. (Bolzano-Weierstrass) Kady cig ograniczony zawiera podcig zbieny. Tw. (o trzech cigach) Jeeli lim an = lim cn = g, a ponadto istnieje taka liczba δ0, e dla kadego n > δ0 spełniona jest nierówno an ≤ bn ≤ cn, to lim bn = g. Tw. (o zachowaniu nierównoci słabej) Jeeli lim

n na a→∞

= i limn nb b

→∞= oraz istnieje taka

liczba δ0, e dla kadego n > δ0 spełniona jest nierówno an ≤ bn, to a ≤ b. Tw. (Warunek Cauchy’ego zbienoci cigu) Cig (an) jest zbieny wtedy i tylko wtedy, gdy dla kadej liczby ε > 0 istnieje liczba δ taka, e dla kadych dwóch liczb naturalnych r i s wikszych od δ spełniona jest nierówno |ar - as| < ε. (an) zb. ⇔ ∀ε>0 ∃δ ∀r,s>δ |ar - as| < ε Tw. Cig monotoniczny i ograniczony jest zbieny. Tw. (o działaniach arytmetycznych na granicach cigów zbienych) Jeeli cigi (an) i (bn) s zbiene, lim an = a, lim bn = b, to cigi (an ± bn), (an * bn), (an / bn) s take zbiene, przy czym: lim (an ± bn) = a ± b, lim (an * bn) = a * b, lim (an / bn) = a / b (bn i b ≠ 0). Def. Mówimy, e cig (an) punktów przestrzeni metrycznej Xd jest zbieny do elementu g przestrzeni Xd wtwg ∀ε>0 ∃δ ∀n>δ d(<an, g>) < ε.


Granica funkcji Def. Zbiór Q(x0; r) = x ∈ X: d(<x0, x>) < r nazywamy otoczeniem punktu x0. Liczb r nazywamy promieniem otoczenia. Def. Zbiór S(x0; r) = Q(x0; r) - x0 nazywamy ssiedztwem punktu x0 ∈ X. Def. Punkt x0 ∈ X nazywamy punktem skupienia zbioru A ⊂ X wtwg do kadego otoczenia Q(x0; r) naley co najmniej jeden róny od x0 punkt x ∈ A. ∀ε>0 ∃x ∈ A x ∈ S(x0; ε). Tw. Punkt x0 przestrzeni metrycznej Xd jest punktem skupienia zbioru A ⊂ X wtwg istnieje cig (xn) o wyrazach nalecych do zbioru A - x0 i taki, e. Def. Punkt X0 przestrzeni metrycznej Xd nazywamy punktem izolowanym zbioru A ⊂ X wtwg x0 ∈ A oraz gdy x0 nie jest punktem skupienia zbioru A. Def. (Heinego) Mówimy, e funkcja f ma w punkcie x0 g granic g i piszemy lim ( )

x xf x g

→=

0

wtwg dla kadego cigu (xn) o wyrazach ze zbioru Df - x0 i zbienego do punktu x0 cig (f(xn)) jest zbieny do punktu g. Def. (Cauchy’ego) Mówimy, e funkcja f ma w punkcie x0 granic g i piszemy lim ( )

x xf x g

→=

0

wtwg ∀ε>0 ∃δ ∀x ∈ Df 0 < dx(<x, x0>) < δ dy(<f(x), g>) < ε. Tw. (o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji) Jeeli lim ( )

x xf x g

→=

0

, lim ( )x x

h x p→

=0

i

x0 jest punktem skupienia Df ∩ Dh, to lim [f(x)±h(x)]=g±p, lim [f(x)*h(x)]=g*p, lim [f(x)/h(x)]=g/p (p ≠ 0) Tw. (o granicy funkcji złoonej). Jeeli lim ( )

x xf x g

→=

0

, przy czym g jest punktem skupienia

zbioru f(X) i g nie naley do zbioru f(X-x0), oraz lim ( )y g

h y p→

= , to [ ]lim ( )x x

h f x p→

=0

.

granice niewłaciwe. Def. (Heinego) Mówimy, e funkcja f posiada w punkcie x0 granic niewłaciw +(-)∞ i piszemy lim ( ) ( )

x xf x

→= + − ∞

0

wtwg dla kadego cigu (xn) o wyrazach ze zbioru Df - x0 i

zbienego do punktu x0 cig (f(xn)) jest zbieny do +(-)∞. Def. (Cauchy) lim ( ) ( )

x xf x

→= + − ∞

0

⇔ ∀M ∃δ ∀x ∈ Df 0 < dx(<x, x0>) < δ f(x) <(>) M.

granice w nieskoczonoci Def. (Heinego) Funkcja f posiada w +[-]∞ granic g / granic niewłaciw -(+)∞, jeeli dla kadego cigu (xn) rozbienego do +[-]∞, cig (f(xn)) jest zbieny do g / rozbieny do -(+)∞. Piszemy wtedy lim ( ) / ( )

[ ]xf x g

→+ − ∞= − + ∞ .

Def. (Cauchy) lim ( )

[ ]xf x g

→+ − ∞= ⇔ ∀ε>0 ∃δ ∀x ∈ Df x >[<] δ (|f(x) - g| < ε)

lim ( ) ( )[ ]x

f x→+ − ∞

= + − ∞ ⇔ ∀M ∃δ ∀x ∈ Df x >[<] δ f(x) <(>) M.

Nieskoczenie małe. Def. Funkcj f(x) nazywamy nieskoczenie mał w danym przejciu granicznym, jeeli lim f(x) = 0. Def. Nieskoczenie małe f(x) i h(x) nazywamy nieskoczenie małymi tego samego rzdu w

danym przejciu granicznym, jeeli istnieje granica właciwa lim( )( )

f xh x

k= ≠ 0 .

Def. Z dwóch nieskoczenie małych f(x) i h(x), f(x) nazywamy nieskoczenie mał wyszego

rzdu w danym przejciu granicznym, jeeli lim( )( )

f xh x

= 0 .


Def. Funkcj f(x) nazywamy nieskoczenie mał rzdu n (n ∈ N), gdy x → x0, jeeli funkcje: f(x) i (x-x0)n s nieskoczenie małymi tego samego rzdu, gdy x → x0. Def. Dwie nieskoczenie małe f(x) i h(x) nazywamy równowanymi w danym przejciu

granicznym i piszemy f(x) ~ h(x), gdy lim( )( )

f xh x

= 1 .

Def. Funkcj f(x) nazywamy nieskoczenie wielk w danym przejciu granicznym, jeeli lim |f(x)| = ∞.

Cigło funkcji liczbowych Def. (Heinego) Mówimy, e funkcja f jest cigła w punkcie x0 wtwg dla kadego cigu (xn) o wyrazach ze zbioru Df i zbienego do punktu x0 cig (f(xn)) jest zbieny do punktu f(x0).’ Tw. Funkcja f jest cigła w punkcie x0 bdcym punktem skupienia dziedziny Df wtwg lim ( ) ( )x x

f x f x→

=0

0

Def. (Cauchy’ego) Mówimy, e funkcja f jest cigła w punkcie x0 wtwg ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x ∈ Df | x - x0| < δ | f(x) - f(x0)| < ε. Def. Mówimy, e funkcja jest cigła wtwg jest cigła w kadym punkcie swej dziedziny. Def. Mówimy, e funkcja jest cigła na zbiorze A ⊂ Df, A ≠ ∅, wtwg f|A jest funkcj cigł. Def. Punkt x0 ∈ Df, w którym funkcja f nie jest cigła nazywamy punktem niecigłoci tej funkcji.

Własnoci funkcji cigłych Tw. 1. (o cigłoci funkcji odwrotnej) Jeeli funkcja f jest cigła i rosnca (malejca) na przedziale A ⊂ R, to f(A) jest przedziałem oraz funkcja f-1 jest cigła i rosnca (albo odpowiednio malejca) na przedziale f(A). Tw. 2. (o cigłoci funkcji złoonej) Jeeli funkcja wewntrzna f jest cigła w punkcie x0 i funkcja zewntrzna h jest cigła w punkcie u0 = f(x0), to funkcja złoona h°f jest cigła w punkcie x0. Tw. 3. (o wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji cigłej). Jeeli istnieje granica właciwa lim ( )

x xf x g

→=

0

i funkcja h jest cigła w punkcie u0 = g, to

[ ]lim ( ) lim ( ) ( )x x x x

h f x h f x h g→ →

=

=

0 0

.

Tw. 4. (o lokalnym zachowaniu znaku) Jeeli funkcja f jest cigła w punkcie x0 oraz f(x0) > 0 albo f(x0) < 0 to istnieje takie otoczenie Q punktu x0, e dla kadego x ∈ Q∩Df spełniona jest nierówno f(x) > 0 albo odpowiednio f(x) < 0. Tw. (Weierstrassa) Jeeli funkcja f jest cigła na przedziale domknitym <a; b>, to 1. f jest ograniczona na przedziale <a; b> 2. istniej takie liczby c1, c2, e f c f x

a x b( ) inf ( )1 =

≤ ≤, f c f x

a x b( ) sup ( )2 =

≤ ≤

Tw. (Cantora) Jeeli funkcja f jest cigła na przedziale domknitym <a; b>, to dla kadego ε > 0 istnieje takie δ > 0, e dla kadych dwóch liczb x1 i x2 z tego przedziału, spełniajcych warunek |x1 - x2| < δ, spełniona jest nierówno |f(x1) - f(x2)| < ε. Def. Funkcja f jest jednostajnie cigła na przedziale X wtwg ∀ε>0 ∀x1∈X ∃δ>0 ∀x2∈X (|x1 - x2|) (|f(x1) - f(x2)| < ε). Tw. (Darboux) Jeeli funkcja f jest cigła na przedziale domknitym <a; b>, f(a) ≠ f(b) oraz liczba q jest zawarta midzy f(a) i f(b), to istnieje taki punkt c ∈ (a; b), e f(c) = q. Def. (war. Lipschitz) Funkcja f: X→ Y spełnia warunek Lipschitza jeeli ∃L>0 ∀x1, x2 ∈ D ρ(f(x1), f(x2)) ≤ L d(x1, x2); L - stała Lipschitza.


Tw. (Cantor, Haine, Dini ?) Funkcja cigła w dziedzinie zwartej jest cigła jednostajnie.

Pochodna funkcji Def. Iloraz rónicowy funkcji f w punkcie x0 i dla przyrostu ∆x zmiennej niezalenej jest to

stosunek f x x f x

x( ) ( )0 0+ −∆

∆

Def. Granic właciw ilorazu rónicowego, gdy ∆x → 0, nazywamy pochodn funkcji f w

punkcie x0 i oznaczamy symbolem f’(x0). f xf x x f x

x

def

x'( ) lim

( ) ( )=

+ −→∆

∆∆0

0 0

Róniczka funkcji Tw. (o przedstawieniu przyrostu funkcji) jeeli dziedzina funkcji f zawiera pewne otoczenie Q punktu x0 oraz istnieje pochodna f’(x0), to dla kadego przyrostu ∆x takiego, e x0 + ∆x ∈ Q, przyrost funkcji) mona przedstawi nastpujco ∆f = f’(x0) ∆x + α∆x, przy czym α → 0, gdy ∆x dy do zera w dowolny sposób. wniosek Jeeli funkcja f ma pochodn w punkcie x0, to jest w tym punkcie cigła. Def. Funkcj f nazywamy róniczkowaln w punkcie x0, jeeli jej przyrost ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) mona dla kadego ∆x dostatecznie bliskiego zeru przedstawi w postaci ∆f = A∆x + o(∆x), gdzie A jest stał, a o(∆x) jest nieskoczenie mał rzdu wyszego ni ∆x, gdy ∆x → 0. Def. Róniczk funkcji f w punkcie x0 i dla przyrostu ∆x zmiennej niezalenej x nazywamy iloczyn f’(x0)∆x. Oznaczamy j symbolem df(x0), bd te krótko df lub dy.

Obliczanie pochodnych Tw. (o pochodnej funkcji odwrotnej). Jeeli funkcja x = g(y) jest cile monotoniczna i posiada funkcj pochodn g’(y) ≠ 0, to funkcja y = f(x) odwrotna do niej posiada funkcj

pochodn f’(x), przy czym f xg y

'( )'( )

=1

, gdzie y = f(x).

Tw. (o pochodnej funkcji złoonej) Jeeli funkcja h ma pochodn w punkcie x, a funkcja f ma pochodn w punkcie u = h(x), to funkcja złoona f°g ma w punkcie x pochodn (f°g)’(x) = f’[h(x)]*f’(x). Def. Pochodn logarytmiczn funkcji f nazywamy pochodn jej logarytmu naturalnego

[ ]ln ( )'( )( )

|f x

f xf x

= .

Tw. (o pochodnej funkcji okrelonej parametrycznie) Jeeli funkcja y - h(x) jest okrelona

parametrycznie x = f(t), y = g(t), t ∈ (a; b), przy czym istniej pochodne dydt

idxdt

, to istniej

take pochodna dydx

dydtdxdt

= .

Twierdzenie Rolle’a Tw. (Rolle’a) Jeeli funkcja f jest cigła na przedziale <a; b>, róniczkowalna na przedziale (a; b) oraz f(a) = f(b), to istnieje taki punkt c ∈ (a; b), e f’(c) = 0.


Twierdzenie l’Hospitala Tw. (de l’Hospitala) Jeeli:

1. dziedziny funkcji fg

ifg'' zawieraj pewne ssiedztwo S punktu x0.

2. lim ( ) lim ( )x x x x

f x h x→ →

= =0 0

0 albo lim ( )x x

h x→

= ±∞0

3. istnieje granica lim'( )'( )x x

f xh x→ 0

(właciwa albo niewłaciwa),

to istnieje take granica lim( )( )x x

f xh x→ 0

, przy czym lim( )( )

lim'( )'( )x x x x

f xh x

f xh x→ →

=0 0

.

Twierdzenie o przyrostach Tw. (o przyrostach, Lagrange’a) Jeeli funkcja f jest cigła na przedziale domknitym o kocach x0 i x, oraz ma pierwsz pochodn wewntrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c lecy midzy x0 i x, e f(x) - f(x0) = f’(c)(x - x0).

Ekstremum funkcji Def. Mówimy, e funkcja f ma w punkcie x0 maksimum (minimum) lokalne, jeeli istnieje taka liczba dodatnia δ, e dla kadego x ∈ S(x0; δ) spełniona jest odpowiednio nierówno f(x) ≤ f(x0) (albo f(x) ≥ f(x0)). Dla nierównoci mocnych otrzymamy maksimum i minimum właciwe Tw. (Fermata) Jeeli funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum i ma w tym punkcie pierwsza pochodn, to f’(x) = 0.

Twierdzenie i wzór Taylora Tw. (Taylora) Jeeli funkcja f ma cigłe pochodne do rzdu (n-1) włcznie na przedziale domknitym, o kocach x0 i x oraz ma pochodn rzdu n wewntrz tego przedziału, to istnieje

taki punkt c, lecy midzy x0 i x, e f x f xf x

kx x

f cn

x xk

k

k

n nn( ) ( )

( )!

( )( )!

( )( ) ( )

− = − + −=

−

00

01

1

0

Wypukło i wklsło wykresu funkcji. Punkt przegicia. Def. Mówimy, e krzywa y = f(x) jest wypukła (wklsła) w punkcie x0, wtwg istnieje taka liczba r1 > 0, e rónica yA - yB = f(x) - f(x0) - f’(x0)(x - x0) jest dodatnia (ujemna) dla kadego x ∈ S(x0, r1).


Rachunek całkowy jednej zmiennej

σ ξn k kk

n

f x== ( )∆

1

Def. Jeeli dla kadego cigu normalnego podziałów przedziału <a; b> cig sum całkowych (σn) jest zbieny do tej samej granicy właciwej, niezalenej od wyboru punktów ξk, to t granic nazywamy całk oznaczon funkcji f na przedziale i oznaczamy symbolem:

f x dx f x dx f xa

b

a

bdef

k kk

n

n

( ) ; ( ) lim ( ) =→ =σ

ξ0 1

∆

Warunki R-całkowalnoci Tw. Jeeli funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <a; b>, to jest funkcj ograniczon na tym przedziale. (war. konieczny, ale nie wystarczajcy) Tw. (o R-całkowalnoci funkcji cigłej). Funkcja cigła na przedziale domknitym jest R-całkowalna na tym przedziale. (war. wystarczajcy, ale nie konieczny) Def. Mówimy, e podzbiór A zbioru R jest miary zero wtedy i tylko wtedy, gdy dla kadego ε > 0 istnieje pokrycie zboru A takim cigiem przedziałów otwartych, którego długo jest mniejsza od ε. Tw. Kady podzbiór przeliczalny zbioru R ma miar zero. Tw. Kady podzbiór zbioru miary zero ma miar zero. Tw. (Lebesgue’a). Funkcja f ograniczona na przedziale <a; b> jest R-całkowalna na tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór punktów niecigłoci funkcji f na przedziale <a; b> jest miary zero. Tw. Funkcja monotoniczna na przedziale <a; b> jest R-całkowalna na tym przedziale.

Własnoci całki oznaczonej Tw. 1. Jeeli funkcje f i h s R-całkowalne na przedziale <a; b>, to: 1) funkcja g+h jest R-całkowalna na przedziale <a; b>, przy czym

[ ( ) ( )] ( ) ( )f x h x dx f x dx h x dxa

b

a

b

a

b

+ = +

2) funkcja Af, gdzie A - dowolna stała, jest R-całkowalna na przedziale <a; b>:

Af x dx A f x dxa

b

a

b

( ) ( ) =

Tw. 2. Jeli funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <a; b>, to: 1) f2 jest R-całkowalna na <a; b> 2) |f| jest R-całkowalna na <a; b> Tw. 3. Jeeli funkcje f i g s R-całkowalne na przedziale <a; b>, to funkcja f*g jest R-całkowalna na tym przedziale. Tw. 4. Jeeli funkcja f jest R-całkowalna na <a; b> i przedział <α; β> ⊂ <a; b>, to funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <α; β>, przy czym:

f x dx f x dx f xf x dla x

dla x a ba

b

( ) ( ) ; ( )( ) ;

; ;* *

α

β α βα β = =

∈< >∈< > − < >

0

Tw. 5. Jeeli funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <a; b> i c ∈ (a; b), to


f x dx f x dx f x dxa

b

a

c

c

b

( ) ( ) ( ) = +

Tw. 6. Jeeli ograniczona funkcja f jest cigła na przedziale <a; b>, z wyjtkiem punktów zbioru A miary zero, i dla kadego x ∈ <a; b>-A funkcja f przyjmuje warto zero, to

f x dxa

b

( )

wniosek: Jeeli dwie ograniczone funkcje f i h, z których jedna jest R-całkowalna na <a; b>, róni si tylko na zbiorze skoczonym, to druga z tych funkcji jest R-całkowalna i

f x dx h x dxa

b

a

b

( ) ( ) =

Tw. 7. Jeeli funkcje f i g s R-całkowalne na przedziale <a; b> i spełniaj warunek:

∀ ∈< > ≤x a b f x g x; ( ) ( ) to f x dx g x dxa

b

a

b

( ) ( ) ≤

wniosek: Jeeli funkcja f jest R-całkowalna na <a; b> i ograniczona na <a; b> z góry liczb

M, z dołu za liczb m, to m b a f x dx M b aa

b

( ) ( ) ( )− ≤ ≤ −

Tw. 8. (tw. całkowe o wartoci redniej). Jeli funkcja f jest cigła na przedziale <a; b>, to

istnieje taki punkt c ∈ <a; b>, e: 1

b af x dx f c

a

b

−= ( ) ( )

Tw. 9. Jeeli f jest funkcj R-całkowalna na przedziale <a; b>, to f x dx f x dxa

b

a

b

( ) ( ) ≤

Twierdzenia podstawowe rachunku całkowego Tw. 1. Jeeli f jest funkcj R-całkowaln na przedziale <α; β>, α za dowolnie ustalon

liczb w tym przedziale, to funkcja F, okrelona wzorem F x f t dt x a bx

( ) ( ) ; ;= ∈< >α

, jest

cigła w przedziale <a; b>. Tw. (pierwsze twierdzenie główne rachunku całkowego). Jeeli funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <a; b> i α ∈ <a; b>, to funkcja F okrelnoa na tym przedziale wzorem:

F x f t dt x a bx

( ) ( ) ; ;= ∈< >α

ma pochodn F’(x) = f(x), czyli:ddx

f t dt f xx

( ) ( )=α

Def. Funkcj F nazywamy funkcj pierwotn funkcji f na przedziale X, jeeli dla kadego x ∈ X spełniony jest warunek F’(x) = f(x) lub dF(x) = f(x)dx. Jeeli przedział X jest jedno- lub obustronnie domknity, to pochodn F’(x) w kadym z nalecych do niego koców rozumiemy jako odpowiedni pochodn jednostronna. Tw. (podstawowe twierdzenie o funkcjach pierwotnych). Jeeli F jest funkcj pierwotn funkcji f na przedziale X, to: 1.funkcja Φ = F + C, gdzie C oznacza dowoln funkcj stał, jest take funkcj pierwotn funkcji f na przedziale X, 2.kad funkcj pierwotn Φ funkcji f na przedziale X mona przedstawi w postaci sumy F + C0, gdzie C0 jest stosownie do Φ i F dobran stała funkcj.


Def. Całk nieoznaczon funkcji f: <a; b> → R nazywamy zbiór wszystkich funkcji

pierwotnych f, co oznaczmy f x dx f( ) ≡ .

Tw. (o istnieniu funkcji pierwotnej). Jeeli funkcja f jest cigła na przedziale X, to posiada na tym przedziale funkcj pierwotn. Tw. (drugie twierdzenie główne rachunku całkowego, tw. Newtona-Leibniza). Jeeli funkcja f jest cigła na przedziale <a; b>, F za jest jakkolwiek funkcj pierwotn funkcji f na tym

przedziale, to f x dx F b F aa

b

( ) ( ) ( ) = −

Tw. Całkowanie przez czci Jeeli funkcje u i v ma w pewnym przedziale cigłe pochodne

u’ i v’, to u x v x dx uv v x u x dx( ) '( ) ( ) '( ) = − na tym przedziale.

Całkowanie przez podstawienie Tw. 1. (o całkowaniu przez podstawienie t = h(x)). Jeeli: 1.funkcja h jest róniczkowalna na przedziale X i przekształca go na przedział T, 2.funkcja g ma na przedziale T funkcj pierwotn G, 3.f = (g°h)*h’ na przedziale X,

to: f x dx G h C( ) = + na przedziale X.

Tw. 2. (o całkowaniu przez podstawienie x = ϕ(t)). Jeeli: 1.funkcja ϕ jest róniczkowalna i rónowartociowa na przedziale T i przekształca go na przedział X, 2.funkcja f ma na przedziale X funkcj pierwotn F,

to prawdziwa jest na tym przedziale równo [ ]f x dx f t t dt( ) [ ( )]* '( ) = −ϕ ϕ ϕ 1

Zastosowanie całki oznaczonej

pole pod wykresem P f x dxa

b

= ( )

objto bryły obrotowej V f x dxz

b

= π 2 ( )

długo łuku ldxdt

dydt

dt=

+

2 2

α

β

Całka niewłaciwa w przedziale nieskoczonym Def. Jeeli funkcja f(z) jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale <a; T> dla kadego

T > a oraz istnieje granica właciwa lim ( )T

a

T

f x dx→∞ , to nazywamy j całk niewłaciw funkcji

f(z) w przedziale od a do plus nieskoczonoci i oznaczamy symbolem f x dxa

( )+∞

.

Jeeli granica istnieje i jest właciwa, to mówimy, e całka niewłaciwa funkcji f(z) w przedziale a do plus nieskoczonoci istnieje lub e jest zbiena. Jeeli granica nie istnieje, albo jest niewłaciwa, to mówimy, e całka niewłaciwa nie istnieje lub e jest zbiena. Analogicznie dla minus nieskoczonoci i przedziału (-∞; +∞) (tu na dwie całki (-∞, 0>, i <0, ∞) ).


Całka niewłaciwa funkcji nieograniczonej funkcja f(x) jest okrelona w przedziale <a, b):

Def. Jeeli istnieje granica właciwa lim ( ) ( )ε

ε

→

−

+ =0

f x dx f x dxa

b

a

b

to nazywamy j całk

niewłaciw funkcji f(z) w przedziale <a; b> (całka niewłaciwa drugiego rodzaju). Def. Całk niewłaciw zbien drugiego rodzaju nazywamy bezwzgldnie zbien, jeeli jest

zbiena całka f x dxa

b

( ) .

Def. Całk zbien nazywamy warunkowo zbien, jeeli całka f x dxa

b

( ) jest rozbiena.

Całki niewłaciwe zalene od parametru

Def. Całk K x t dxa

( , )∞

nazywamy zbien w przedziale T jeeli ∀ε>0 ∀t∈T ∃A0≥a ∀A>A0

K x t dxa

( , )∞

< ε

Def. Całk nazywamy jednostajnie zbien w przedziale T, jeeli ∀ε>0 ∃A0≥a ∀t∈T ∀A>A0

K x t dxa

( , )∞

< ε

Testy zbienoci całki niewłaciwej Tw. (A. Cauchy) Jeeli f: <a; +∞) → C jest lokalnie całkowlna, to równowane s warunki:

1. całka niewłaciwa f x dx( )α

β

jest zbiena

2. f x dx( )α

β

→ 0, α , β → ∞

Tw. (test porównawczy) Jeeli 1. f: <a, +∞) → C jest lokalnie całkowalna

2. g: <a, +∞) → R, g ≥ 0, ga

∞

jest zbiena

3. |f(x)| ≤ g(x) w <a, +∞)

f x dxa

( )∞

jest zbiena (bezwzgldnie) oraz zachodzi oszacowanie f x dx g x dxa a

( ) ( )∞ ∞

≤ .

Tw. (Dirichlet) Jeeli f: <a, +∞) → R jest cigła i ma ograniczon pochodn (tzn. ∀<a, α> ma F górnej granicy całkowania ograniczon) i g: <a; +∞) → R jest klasy C1 oraz g(x) maleje do

zera, x → ∞ to całka niewłaciwa fg jest zbiena oraz zachodzi równo

fg F a g a F x g x dxa a

∞ ∞

= − −( ) '( ) ( ) '( ) .


Szeregi liczbowe i funkcyjne.

Szereg liczbowy

Def. Cig (Sn) sum S an kk

n

==

1

nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem

a nn=

∞

1

Szereg liczbowy nazywamy zbienym, jeeli cig jego sum czciowych jest zbieny do granicy właciwej lim Sn = S, natomiast rozbienym w wypadku przeciwnym. Granic nazywamy sum szeregu. Szereg zbieny ma sum, natomiast szereg rozbieny nie ma sumy.

Piszemy te a Snn=

∞

=1

Def. a b n a bnn

nn

n n=

∞

=

∞

≡ ⇔ ∀ =1 1

Def. Szereg ( )a bn nn

+=

∞

1

nazywamy sum szeregów a nn=

∞

1

i b nn=

∞

1

Warunek konieczny zbieno szeregu. Jeeli szereg a nn=

∞

1

jest zbieny, to lim an = 0

Szeregi o wyrazach nieujemnych Tw. Jeeli cig sum czciowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg ten jest zbieny.

kryteria porównawcze. Jeeli wyrazy cigów a nn=

∞

1

oraz b nn=

∞

1

s nieujemne, a ponadto

istnieje taka liczba naturalna N, e dla kadego n > N jest spełniona nierówno an ≤ bn, to: 1. zbieno drugiego szeregu zapewnia zbieno szeregu pierwszego 2. rozbieno szeregu pierwszego zapewnia rozbieno szeregu drugiego

kryterium Dirichleta (porównawcze w postaci granicznej). Szereg 1

1 nnα

=

∞

jest rozbieny

dla α ≤ 1, natomiast zbieny dla α > 1.

kryterium d’Alemberta. Jeeli istnieje granica (właciwa albo niewłaciwa) gaan

n

= +lim 1 , to

szereg o wyrazach dodatnich a nn=

∞

1

jest zbieny, gdy g < 1, natomiast rozbieny, gdy g > 1.

kryterium pierwiastkowe (Cauchy’ego-Hadamard). Jeeli istnieje granica (właciwa albo

niewłaciwa) g a nn= lim to szereg o wyrazach nieujemnych a n

n=

∞

1

jest zbieny, gdy g < 1,

natomiast zbieny, gdy g > 1. kryterium całkowe Niech m oznacza dowoln liczb naturaln. Jeeli funkcja f(x) jest

nierosnca i nieujemna w przedziale <m; +∞), to całka f x dxm

( )+∞

oraz szereg f nn m

( )=

∞

s

jednoczenie zbiene, albo rozbiene..


Szeregi o wyrazach dowolnych

Def. Szereg ( )− >+

=

∞

1 01

1

nn

nna a nazywamy szeregiem naprzemiennym.

kryterium Leibniza. Jeeli cig (an) jest nierosncy oraz a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an ≥ ... oraz lim an = 0, to szereg naprzemienny jest zbieny. kryterium Dirichleta. ( )a bn n (an i bn dowolne) an monotonicznie maleje do zera oraz

b const n Nkk

n

= ≤ ∀ ∈

1

, to szereg jest zbieny.

Def. Szereg zbieny a nn=

∞

1

nazywamy bezwzgldnie zbienym, jeeli jest zbieny szereg

a nn=

∞

1

Def. Szereg zbieny a nn=

∞

1

nazywamy warunkowo zbienym, jeeli szereg a nn=

∞

1

jest

rozbieny

Tw. Jeeli szereg a nn=

∞

1

jest zbieny, to jest bezwzgldnie zbieny szereg a nn=

∞

1

.

Def. Szereg c nn=

∞

1

o wyrazach c a b n Nn k n kk

n

= ∈+ −= 1

1

nazywamy iloczynem Cauchy’ego

szeregów. a nn=

∞

1

i bnn=

∞

1

.

Tw. (Cauchy’ego-Martensa o iloczynie szeregów). Jeeli szeregi a nn=

∞

1

i bnn=

∞

1

s zbiene,

przy czym co najmniej jeden z nich jest bezwzgldnie zbieny, to ich iloczyn jest zbieny,

przy czym c a bnn

nn

nn=

∞

=

∞

=

∞

=

1 1 1

*

Szeregi funkcyjne

Def. Cig. (Sn(x)) sum S x f xn kk

n

( ) ( )==

1 nazywamy szeregiem funkcyjnym i oznaczamy

symbolem f xnn

( )=

∞

1

.

Def. Szereg funkcyjny nazywamy zbienym w zbiorze X, jeeli cig jego sum czciowych jest zbieny w tym zbiorze S x S xn X

( ) ( )→ natomiast rozbienym w przeciwnym przypadku.

Funkcj graniczn S(x) nazywamy sum szeregu funkcyjnego w zbiorze X i piszemy

f x S xnn X

( ) ( )=

∞

=1

Def. Cig funkcyjny (fn(x)) nazywamy zbienym (punktowo) w zbiorze X do funkcji granicznej f(x) i piszemy

( )lim ( ) ( ) ( ) ( )n n nf x f x x X n f x f x

→∞=

⇔ ∀ε > ∀ ∈ ∃δ ∀ > − <0 δ ε .


Def. (Cauchy) Cig funkcyjny (fn(x)) nazywamy jednostajnie zbienym w zbiorze X do funkcji granicznej f(x) i piszemy

( )f x f x x X n f x f xn

X

n( ) ( ) ( ) ( )→→

⇔ ∀ε > ∃δ ∀ ∈ ∀ > − <0 δ ε

Jeeli cig (Sn(x)) jest jednostajnie zbieny w zbiorze X, to szereg funkcyjny nazywamy jednostajnie zbienym w tym zbiorze. Jeeli szereg funkcyjny jest zbieny w zbiorze X i

zbieny jest szereg f xnn

( )=

∞

1

, to nazywamy go bezwzgldnie zbienym w zbiorze X.

kryterium Weierstrassa. Jeeli istnieje taka liczba naturalna N, e dla kadego n ≥ N i dla

kadego x ∈ X spełniona jest nierówno |fn(x)| ≤ an przy czym szereg liczbowy a nn=

∞

1

jest

zbieny, to szereg funkcyjny f xnn

( )=

∞

1

jest zbieny w zbiorze X jednostajnie i bezwzgldnie.

Tw. (Leibniz) Dany jest cig funkcyjny (fn(x)) na zbiorze D o wartociach R. Jeeli fn(x)

maleje do zera jednostajnie (ew. lokalnie jednostajnie) na D ( ) ( )−∞

10

nnf x jest zbieny

jednostajnie (ew. lok. jedn.) na D. Mona oszacowa |s(x) - sn(x)| ≤ fn+1(x).

Tw. (o całkowaniu szeregu funkcyjnego (wyraz po wyrazie)) Jeeli szereg f xnn

( )=

∞

1

o

wyrazach cigłych w przedziale <a; b> jest w tym przedziale jednostajnie zbieny, to

f x dx f x dxnna

b

na

b

n

( ) ( )=

∞

=

∞

=

1 1

.

Tw. (o róniczkowaniu szeregu funkcyjnego (wyr. po wyr.)) Jeeli wyrazy szeregu funkcyjnego maj cigłe pochodne fn’(x) w przedziale <a; b>, szereg funkcyjny jest zbieny w

tym przedziale, a ponadto szereg f xnn

'( )=

∞

1

jest jednostajnie zbieny w przedziale <a; b>, to

f x f xnn

nn

( ) ( )|

'

=

∞

=

∞

=

1 1

dla kadego x ∈ <a; b>.

Def. Funkcj f ∈ C∞(Ux0, δ) nazywamy analityczn w punkcie x0, jeeli w otoczeniu Ux0, δ

jest ona sum swojego szeregu Taylora. f x a x x

af x

k

kk

k

x

( ) ( )

( )!

( )

= −

=

∞

00

0

|x - x0| < δ

Tw. Jeeli f klasy C∞(Ux0, δ) ma ograniczone pochodne, tzn. ∃M>0 ∀k≥0 ∀x∈Ux0, δ’ < δ |f(k)(x)|

≤ M, to f jest analityczna w x0, czyli f x a x x af x

kkk

k

x

( ) ( ) ,( )!

( )

= − =∞

00

0 x ∈ Ux0, δ.

Tw. (N.H. Abel) Jeeli szereg potgowy a xnn

0

∞

jest zbieny w punkcie x = 0, to jego suma

jest w tym punkcie f cigła: tzn. jeeli szereg ma R = 1 i jest zbieny w co najmniej jednym

punkcie x0, to limx

nn

na x a→

∞ ∞

− =1 0 0

.


Szeregi potgowe

Def. Szereg funkcyjny a x xnn

n

( )−=

∞

00

nazywamy szeregiem potgowym. Liczby a0, a1, ... oraz

liczba x0 s tu dane, natomiast x jest zmienn.

Lemat. (o szeregu potgowym). Jeeli szereg a xnn

n=

∞

0

jest zbieny dla x = ρ ≠ 0, to jest

zbieny (bezwzgldnie) dla kadego x spełniajcego warunek |x| < |ρ|. Def. Promieniem zbienoci szeregu potgowego nazywamy kres górny zbioru wartoci bezwzgldnych wszystkich liczb x (Z), dla których ten szereg jest zbieny. R = sup Z. Tw. (o zbienoci szeregu potgowego) Jeeli promie zbienoci szeregu potgowego R ≠ 0, to dla kadego dodatniego r < R szereg ten jest zbieny bezwzgldnie i jednostajnie w przedziale <-r; +r>. wniosek 1. Szereg potgowy jest zbieny bezwzgldnie i jednostajnie w kadym przediale domknitym <a; b>, połoonym wewntrz przedziału zbienoci. wniosek 2. Szereg potgowy jest zbieny bezwzgldnie w całym wntrzu (-R; +R) przedziału zbienoci. wniosek 3. Suma szeregu potgowego jest funkcj cigł w całym wntrzu (-R; +R) przedziału zbienoci.

Tw. (o promieniu zbienoci). Jeeli istnieje granica limn

n

n

aa→∞

+ =1 λ , to promie zbienoci

szeregu potgowego R = 1 / λ. Tw. (o całkowaniu sz. potgowego) Jeeli x naley do wntrza przedziału zbienoci szeregu

potgowego, to a t dta

ntn

n

n

xn n

n=

∞+

=

∞

=

+00

1

0 1

Tw. (o róniczkowaniu sz. potgowego) Jeeli x naley do wntrza przedziału zbienoci

szeregu potgowego, to ddx

a x na xnn

nn

n

n=

∞−

=

∞

=

0

1

0

.

Szereg Taylora Tw. (Taylora) Jeeli funkcja f ma cigłe pochodne do rzdu (n-1) włcznie na przedziale domknitym o kocach x0 i x oraz ma pochodn rzdu n wewntrz tego przedziału, to istnieje

taki punkt c, lecy midzy x0 i x, e f x f xf x

kx x

f cn

x xk

k

k

n nn( ) ( )

( )!

( )( )!

( )( ) ( )

− = − + −=

−

00

01

1

0 .

Jeeli funkcja ma w pewnym otoczeniu Q punktu x0 wsztstkie pochodne, to dla kadego

x ∈ Q-x0 i kadego n ∈ N f xf x

kx x

f cn

x xk

k

k

n nn( )

( )!

( )( )!

( )( ) ( )

= − + −=

−

00

1

1

0 , gdzie c jest

liczb z wntrza przedziału o kocach x i x0. Jeeli istnieje otoczenie Q0, w którym lim ( )

n nR x→∞

= 0 (Rn(x) - n-ta reszta wzoru Taylora), to

f xf x

nx x

nn

n

( )( )!

( )( )

= −=

∞

00

1

, dla kadego x ∈ Q0.

Lemat. (o reszcie wzoru Taylora) Jeeli istnieje taka liczba M > 0, e dla kadego x ∈ Q0(x0; δ) i dla kadego naturalnego na spełniona jest nierówno |f(n)(x)| ≤ M, to dla kadego x ∈ Q0 spełnione jest lim ( )

n nR x→∞

= 0 .


Twierdzenia Banacha (przestrzenie metryczne) Def. Zbiór X nazywamy przestrzeni metryczn, jeeli kadej parze (a, b) jego elementów jest przyporzdkowana dokładnie jedna liczba nieujemna ρ(a, b) taka, e: 1. ρ(a, b) = 0 ⇔ a = b 2. ρ(a, b) = ρ(b, a) 3. ρ(a, b) ≤ ρ(a, c) + ρ(c, b) Funkcj ρ(a, b), okrelon na zbiorze wszystkich para punktów przestrzeni X, nazywamy metryk tej przestrzeni. Warto funkcji ρ(a, b), czyli warto metryki, nazywamy odległoci punktu a od punktu b; Lemat (Schwarza-Cauchy’ego) Dla kadych dwóch układów (u1, u2, ..., un) i (v1, v2, ..., vn) n

liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówno u v u vk kk

n

kk

n

kk

n

= = =

≤

1

2

2

1

2

1

* .

Nierówno t nazywamy nierównoci Schwarza-Cauchy’ego. Def. (zbieno w sensie metryki) Cig (xn) punktów przestrzeni X nazywamy zbienym w tej przestrzeni, jeeli istnieje taki punkt x ∈ X, e lim ( , )

n nx x→∞

=ρ 0 . Piszemy wówczas

limn nx x

→∞= .

Def. Mówimy, e cig (xn) punktów przestrzeni metrycznej X spełnia warunek Cauchy’ego w sensie metryki ρ(a, b) tej przestrzeni, jeeli dla kadej liczby dodatniej ε istnieje taka liczba δ, e dla kadych dwóch liczba naturalnych r, s spełniajcych warunek min(r,s)>δ, spełniona jest nierówno ρ(xr, xs) < ε. Lemat. Jeeli cig (xn) punktów przestrzeni metrycznej X jest zbieny w tej przestrzeni, to spełnia warunek Cauchy’ego w sensie jej metryki. Def. Cig podstawowy punktów przestrzeni metrycznej X jest to cig spełniajcy warunek Cauchy’ego w sensie metryki tej przestrzeni. Def. Przestrze zupełna jest to przestrze metryczna, w której jest zbieny kady cig podstawowy jej punktów. Tw. (Banacha o punkcie stałym) Jeeli operacja A jest okrelona na punktach przestrzeni metrycznej i zupełnej X, przy czym: 1. jeeli x ∈ X, to A(x) ∈ X, 2. istnieje taka liczba dodatnia α < 1, e dla kadego y ∈ X i dla kadego z ∈ X spełniona jest

nierówno ρ[A(y), A(z)] ≤ α * ρ(y, z) to w przestrzeni X istnieje dokładnie jeden punkt x* spełniajcy równanie x = A(x); punkt x* jest punktem granicznym cigu kolejnych przyblie xn+1 = A (xn) , n = 0, 1, 2, ... , przy czym x0 jest dowolnym punktem przestrzeni X.


Rachunek róniczkowy funkcji wielu zmiennych

Zbiory w przestrzeni Rn Przestrze Rn Zbiór wszystkich uporzdkowanych układów (x1, x2, ..., xn), n liczb rzeczywistych (n ≥ 1), nazywamy przestrzeni n-wymiarow Rn. Układy (x1, x2, ..., xn) nazywamy punktami przestrzeni Rn, liczby x1, x2, ..., xn - współrzdnymi prostoktnymi tych punktów. Odległo dAB punktów A(a1, a2, ..., an) i B(b1, b2, ..., bn) przestrzeni Rn jest okrelona

wzorem: d a b a b a bAB n n= − + − + + −( ) ( ) ... ( )1 12

2 22 2

Otoczenie i ssiedztwo punktu. Niech r oznacza dowoln liczb dodatni. Def. Otoczenie Q(P0; r) punktu P0(a1, a2, ..., an) o promieniu r jest to zbiór wszystkich punktów P(x1, x2, ..., xn), dla których: d rP P0

<

Def. Ssiedztwo S(P0; r) punktu P0(a1, a2, ..., an) o promieniu r jest to zbiór wszystkich punktów P(x1, x2, ..., xn), dla których: 0

0< <d rP P

Def. Zbiór Z ⊂ Rn nazywamy ograniczonym, jeeli istnieje taka liczba r > 0, e Z ⊂ Q(0; r), natomiast nieograniczonym, gdy liczba taka nie istnieje. Def. Zbiór nazywamy skoczonym, jeeli naley do niego dokładnie n ∈ N punktów. Def. Zbiór nazywamy nieskoczonym, jeeli nie jest ani pusty ani skoczony. Zbiory otwarte i domknite. Def. Punkt P ∈ Z nazywamy punktem wewntrznym zbioru Z, jeeli zbiór ten zawiera pewne otoczenie punktu P. Def. Zbiór, którego kady punkt jest punktem wewntrznym, nazywamy zbiorem otwartym. Def. Łuk zwykły w przestrzeni Rn jest to zbiór wszystkich punktów P(x1, x2, ..., xn) o współrzdnych x1 = x1(t), x2 = x2(t), ..., xn = xn(t), gdzie xi(t), i ∈ N, s to funkcje cigłe, okrelone w przedziale <α; β>, przy czym rónym wartociom parametru t ∈ (α; β) odpowiadaj róne punkty P. Łuk zwykły nazywamy otwartym, jeeli nie jest spełniona co najmniej jedna z równoci xi(α) = xi(β), i ∈ N, natomiast zamknitym lub zwykł krzyw zamknit, jeeli kada z tych równoci jest spełniona.

Jeeli funkcje xi(t) majc cigłe pochodne w przedziale <α; β> oraz dxdt

i

i

n

>

=

2

1

0 dla

t ∈ <α; β> to łuk zwykły nazywamy gładkim (regularnym). Jeeli natomiast przedział <α; β> mona podzieli na skoczon liczb podprzedziałów tak, eby w kadym z nich oddzielnie funkcje xi(t) miały cigłe pochodne (na kocach - pochodne jednostronne) oraz spełniony był powyszy warunek , to łuk zwykły nazywamy kawałkami gładkim. Def. Obszar jest to taki zbiór otwarty, którego kade dwa punkty mona połczy łukiem zwykłym (np. łaman) całkowicie w nim zwartym. Def. Punkt P nazywamy punktem skupienia zbioru Z, jeeli w kadym ssiedztwie punktu P znajduje si punkt tego zbioru. Def. Zbiór domknity jest to zbiór, do którego nale wszystkie jego punkty skupienia. (F ⊂ X domknity → dopełnienie jest zbiorem otwartym) Def. Domknicie A- zbioru A to przekrój wszystkich zbiorów domknitych A ⊂ F: A- = ∩ F | A ⊂ F ∧ F - domk. 1. A- jest najmniejszym zbiorem domknitym zawartym w A. 2. A jest domknity ⇔ A = A- 3. x ⊂ A- ⇔ w dowolnym otoczeniu punktu x istniej punkty zbioru A: ∀ε>0 A ∩K(x0, ε)≠0.


Def. Podzbiór A ⊂ X nazywamy gstym w X, jeeli jego domknicie jest identyczne z X, czyli A- = X. Def. Punkt P ∈ Z, który nie jest punktem skupienia zbioru nazywamy Z, nazywamy punktem osobliwym tego zbioru. Def. Punkt P nazywamy punktem brzegowym zbioru Z, jeeli w kadym otoczeniu tego punktu znajduje si zarówno punkt zbioru Z jak i punkt, który do tego zbioru nie naley. Def. Brzeg zbioru Z jest to zbiór wszystkich punktów brzegowych tego zbioru. Zbiory jednospójne i wielospójne. Def. Krzywa Jordana jest to zwykła krzywa zamknita w przestrzeni R2. Krzywa Jordana dzieli płaszczyzn na dwa obszary. Jeden z obszarów jest ograniczony i nazywamy go wntrzem krzywej Jordana. Drugi z tych obszarów jest nieograniczony. Def. Obszar w przestrzeni R2 nazywamy jednospójnym, jeeli naley do niego wntrze kadej lecej w nim krzywej Jordana. Obszar który nie jest jednosójny, nazywamy obszarem wielospójnym. Jeeli brzeg obszaru w przestrzeni R2 składa si z rozłcznych krzywych Jordana, łuków zwykłych otwartych i punktów, to ich łczn liczb n nazywamy rzdem spójnoci i obszar nazywamy n-spójnym.

Funkcje wielu zmiennych Def. Funkcja n zmiennych x1, x2, ..., xn, okrelona w zbiorze Z ⊂ Rn, jest to przyporzdkowanie kademu punktowi P(x1, x2, ..., xn) ∈ Z dokładnie jednej liczby z ∈ R. Piszemy przy tym: z = f (x1, x2, ..., xn) dla (x1, x2, ..., xn) ∈ Z lub z = f (P), P ∈ Z. Def. Funkcj f(P) nazywamy ograniczon w zbiorze Z, jeeli istnieje tak liczba M, e dla kadego P ∈ Z spełniona jest nierówno | f(P) | ≤ M.

Granica i cigło funkcji Granica funkcji n zmiennych. Def. Mówimy, e cig punktów (Pk), k ∈ N, przestrzeni Rn jest zbieny do punku P0 i piszemy Pk → P0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim , lim ( ) ( )

k P P k mk

md m n m N x xk→∞ →∞

= ⇔ ∀ ≤ ≤ ∈ =0

0 1 0

Def. (Heinego) Liczb g nazywamy granic funkcji f(P) w punkcie P0, jeeli dla kadego cigu punktów (Pk), Pk ∈ Z, Pk ≠ P0, zbienego do P0, cig (f(Pk)) jest zbieny do g. Jeeli liczba g jest granic funkcji f(P) w punkcie P0, to piszemy: lim ( )

P Pf P g

→=

0

.

Def. (Cauchy) lim ( ) ( )P P PPf P g P Z d f P g

→= ⇔ ∀ε > ∃δ > ∀ ∈ < < − <

00

0 0 0 δ ε

Cigło funkcji n zmiennych. Def. Funkcja f(P) jest cigła w punkcie P0 ⇔ lim ( ) ( )

P Pf P f P

→=

00

Def. Funkcj f(P) nazywamy cigł w pewnym zbiorze, jeeli jest cigła w kadym punkcie tego zbiour. Tw. (o loklanym zachowaniu znaku). Jeeli funkcja f(P), okrelona w pewnym otoczeniu punktu P0, jest w tym punkcje cigła i f(Po) >(<) 0, to istnieje takie ssiedztwo S punktu P0, e dla kadego punktu P ∈ S jest spełniona nierówno f(P) >(<) 0. Tw. (o ograniczonoci funkcji)l Jeeli funkcja f(P) jest cigła w obszarze domknitym i okraniczonym D , to jest w tym obszarze ograniczona.


Tw. (Weierstrassa, o osiganiu kresów) Jeeli funkcja f(P) jest cigła w obszarze domknitym i ograniczonym D , to istnieje taki punkt P1 ∈ D , e : f(P ) = sup f(P)1

P D∈ oraz istnieje taki punkt

P2 ∈ D , e f(P ) = inf f(P)2P D∈

Tw. (Cantora, o cigłoci jednostajnej) Jeeli funkcja f(P) jest cigła w obszarze domknitym i ograniczonym D , to dla kadej liczby ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0, e dla kadych dwóch punktów P1 ∈ D i P2 ∈ D , których odległo d P P1 2

spełnia warunek: d P P1 2< δ to spełniona

jest nierówno |f(P1) - f(P2)| < ε. Właciwoci funkcji cigłej w obszarze domknitym i ograniczonym D , o której mówi powysze twierdzenie, nazywamy jednostajn cigłoci.

Pochodne czstkowe

Def. Granic właciw lim( ) ( )

∆ ∆xii

f P f Px→

−0

0 nazywamy pochodn czstkow rzdu pierwszego

funkcji f(P) wzgldem zmiennej xi w punkcje P0 i oznaczamy symbolem ∂∂

fx P

0

.

Tw. (Schwarza) Jeeli funkcja f(x1, x2, ..., xn) ma w pewnym obszarze ΩΩΩΩ ⊂ Rn cigłe

pochodne czstkowe mieszane rzdu drugiego ∂

∂ ∂∂

∂ ∂

2 2fx x

orazf

x xi j j i

to w kadym punkcie

tego obszaru ∂

∂ ∂∂

∂ ∂

2 2fx x

fx xi j j i

=


Funkcje zmiennej zespolonej

Płaszczyzna zespolona otwarta i domknita. Def. Płaszczyzna zespolona domknita (płaszczyzna Gaussa) jest to zbiór utworzony ze wszystkich punktów płaszyczyzny zespolonej otwartej oraz z punktu ∞.

Cigi i szeregi liczbowe o wyrazach zespolonych

Def. (granica właciwa) lim z g n z gn n= ⇔ ∀ε > ∃δ ∀ > − <0 δ ε ; g = a + ib ;

z g x a y bn n n− = − + −( ) ( )2 2 ; (lim zn = g) ⇔ (lim xn = a) ∧ (lim yn = b)

Def. (granica niewłaciwa) (lim )z M n z Mn n= ∞ ⇔ ∀ ∃δ ∀ > >δ Def. zn jest ograniczony ⇔ ∃M ∀n |zn| ≤ M

Def. Cig zkk=

∞

1

nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazach zespolonych i oznaczamy

symbolem z x i ykk

kk

kk=

∞

=

∞

=

∞

= +1 1 1

(i jest zbieny wtwg oba szeregi składowe s zbiene).

Def. Szereg zbieny nazywamy bezwzgldnie zbienym, jeeli zbieny jest szereg z kk=

∞

1

.

Tw. Jeeli zbieny jest szereg z kk=

∞

1

to równie jest zbieny szereg zkk=

∞

1

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej z = z(t) dla t ∈ T lub z = x(t) + iy(t).

pochodna: z tzt

xt

iyt

x t iy t'( ) '( ) ( )= = + = +∆∆

∆∆

∆∆

całka oznaczona z t dt x t dt i y t dt( ) ( ) ( )α

β

α

β

α

β

= +

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej Def. Funkcja zespolona f(z) zmiennej zespolonej z okrelona w dziedzinie ΩΩΩΩ jest to przyporzdkowanie kadej liczbie z ∈ ΩΩΩΩ dokładnie jednej liczby zespolonej w. Piszemy przy tym: w = f(z) dla z ∈ ΩΩΩΩ. z = x + iy; w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) granica funkcji zmiennej zespolonej.

Def. (Cauchy) ( ) ( )lim ( ) ( )z z

f z g z z z f z g→

=

⇔ ∀ε > ∃δ > ∀ ∈ < − < − <

0

0 0 0 0Ω δ ε

lim ( ) lim ( , ) lim ( , )z z x x

y yx xy y

f z g u x y a v x y b→ →

→→→

=

⇔ =

∧ =

0 0

000

Def. (Heinego). Liczb g nazywamy granic funkcji f(z) w punkcie z0, jeeli dla kadego cigu zn zbienego do z0, o wyrazach zn ≠ z0 i nalecych do dziedziny ΩΩΩΩ funkcji f(z), cig f(zn) jest zbieny do g.. Def. f(z) jest cigła w punkcie z0 ⇔ lim ( ) ( )

z zf z f z

→=

00


Def. (gr. niewłaciwa) ( ) ( )lim ( ) ( )z z

f z M z z z f z M→

= ∞

⇔ ∀ ∃δ > ∀ ∈ < − < >

0

0 0 0Ω δ

Def. lim ( ) limz z z

f z fz→ →

=

0 0

1

Pochodna funkcji zmiennej zespolonej Def. Granic właciw ilorazu rónicowego gdy ∆z → 0 nazywamy pochodn funkcji f(z) w

punkcie z0 i oznaczamy symbolem f’(z). f zf z z f z

zz'( ) lim

( ) ( )0 0

0 0=+ −

→∆

∆∆

.

f zux

ivx

vy

iuy

'( )0 = + = −∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Tw. Jeeli funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ma w punkcie z0 pochodn f’(z0), to pochodne

czstkowe ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ux

uy

ux

uy

, , , istniej i spełniaj warunki Cauchy’ego-Riemanna

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ux

uy

orazuy

ux

= = −

Tw. (warunek wystarczajcy istnienia pochodnej f’(z0)) Jeeli funkcje u(x, y) i v(x, y) s róniczkowalne w punkcie (x0; y0), a ponadto pochodne czstkowe spełniaj w tym pukcie warunki Cauchy’ego-riemanna, to funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ma pochodn f’(z0).

Funkcja holomorficzna Def. Funkcj f(z) nazywamy holomorficzn w punkcie z0, jeeli ma pochodn f’(z) w pewnym otoczeniu tego punktu. Def. Dwie funkcje harmoniczne u(z, y) i v(x, y) nazywamy sprzonymi ze sob, jeeli spełniaj układ równa Cauchy’ego-Riemanna.

Cigi i szeregi funkcji zespolonych Def. Cig funkcyjny fn(z) okrelony w zbiorze ΩΩΩΩ jest to przyporzdkowanie kadej liczbie naturalnej n dokładnie jednej funkcji fn(z) okrelonej w tym zbiorze.

Def. (zbieno) f z f z z n f z f zn n( ) ( ) ( ) ( )→

⇔ ∀ε > ∀ ∈ ∃δ ∀ > − <Ω

Ω0 δ ε , gdzie f(z)

nazywamy funkcj graniczn.

Def. (zbieno jednostajna) f z f z z n f z f zn n( ) ( ) ( ) ( )→→

⇔ ∀ε > ∃δ ∀ ∈ ∀ > − <Ω

Ω0 δ ε

Tw. (o cigłoci funkcji granicznej). Jeeli f z f zn ( ) ( )→→Ω

oraz ∀n fn(z) ∈ Co(ΩΩΩΩ), to

f(z) ∈ Co(ΩΩΩΩ)

Def. Cig f zkk

n

( )=

1

nazywamy szeregiem funkcyjnym i oznaczamy symbolem f zkk

n

( )=

1

.

Def. Szereg zbieny w zbiorze ΩΩΩΩ nazywamy bezwzgldnie zbienym w tym zborze, jeeli dla

kadego z ∈ ΩΩΩΩ zbieny jest szereg f zkk

( )=

∞

1


Kryterium Weierstrassa. Jeeli dla kadego n ∈ N i dla kadego z ∈ ΩΩΩΩ jest spełniona

nierówno |fn(z)| ≤ an, przy czym szereg liczbowy a nn=

∞

1

jest zbieny, to szereg f zkk

( )=

∞

1

jest

zbieny w zbiorze ΩΩΩΩ jednostajnie i bezwzgldnie. szereg potgowy.

Def. Szereg funkcyjny a z znn

n

( )−=

∞

00

nazywamy szeregiem potgowym. Liczby zespolone a0,

a1, ... oraz liczba z0 s tu dane, natomiast z jest zmienna. Def. Promie zbienoci R szeregu jest to kres górny zbioru X. R = sup |z - z0| z ∈ ΩΩΩΩ

lim !aa

n

n

+ = λ R = 1 / λ .

Tw. (o holomorficznoci sumy szeregu potgowego). Suma S(z) szeregu potgowego

a z znn

n

( )−=

∞

00

jest funkcj holomorficzn wewntrz koła zbienoci (na całej płaszczy nie,

gdy R = ∞), przy czym ddz

a z z na z znn

nn

n

n

( ) ( )− = −=

∞−

=

∞

00

01

0

, a ponadto szereg pochodny ma

taki sam promie zbienoci jak szereg dany (czyli szereg potgowy mona róniczkowa wyraz po wyrazie wewntrz koła zbienoci). Tw. (o zbienoci niemal jednostajnej) Szereg potgowy jest jednostajnie zbieny w kadym zbiorze domknitym i ograniczonym, zawartym wewntrz koła zbienoci. Def. Funkcja całkowita jest to suma szeregu potgowego zbienego na całej płaszczy nie otwartej.

Funkcje wieloznaczne Def. Funkcj f(z) zmiennej zespolonej nazywamy okresow, jeeli istnieje taka liczba zespolona p ≠ 0, e dla kadej liczby z z dziedziny funkcji f liczba z + p take naley do tej dziedziny oraz f(z + p) = f(z). Liczb p nazywamy okresem funkcji f.

Całka funkcji zmiennej zespolonej Def. Jeeli dla kadego normalnego cigu przedziałów przedziału <α, β> cig sum całkowych

f zk kk

n

( )ζ ∆=

1 jest zbieny do tej samej granicy skoczonej, niezalenie od wyborów punktów

ζk, to t granic nazywamy całk funkcji f(z) wzdłu łuku AB i oznaczamy symbolem

f z dz f zAB

def

k kk

n

n

( ) lim ( ) =→ =δ

ζ0 1

∆ (δn oznacza rednic podziału przedziału <α, β> na n czci)

Tw. (o zamianie całki na całk oznaczon). Jeeli funkcja f(z) jest cigła na zwykłym luku gładkim AB: z = z(t), t ∈ <α, β>, skierowanym zgodnie ze wzrostem parametru, to

[ ]f z dz f z t z t dtAB

( ) ( ) '( ) =α

β

Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego Tw. (podstawowe Cauchy’ego) Jeeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym, D, C za jest kawałkami gładk krzyw Jordana lec w tym obszarze, to

f z dzC

( ) = 0


wniosek 1. Jeeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, to całka po kawałkami gładkim łuku ⊂ D nie zaley od kształtu tego łuku, a jedynie od jego pocztku A i koca B. Tw. Jeeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D i z0 ∈ D, to funkcja

φ(z) okrelona w tym obszarze wzorem φ ζ ζ( ) ( )z f dz

z

= 0

ma pochodn φ’(z) = f(z)

Def. Funkcj F(z) nazywamy funkcj pierwotn funkcji f(z) w obszarze D, jeeli dla kadego z ∈ D jest spełniony warunek F’(z) = f(z) Tw. Jeeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, F(z) za jest jakkolwiek jej funkcj pierwotn w tym obszarze, oraz z1 ∈ D i z2 ∈ D, to

f z dz F z F zz

z

( ) ( ) ( )1

2

2 1 = −

wniosek 2. Jeeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze D - D1 , to f z dz f z dzC C

( ) ( )1 2

=

( D1 ⊂ D, ob. jednospójne; C1 i C2 kawałkami gładkie krzywe Jordana, C2 ⊂ D, C1 wewntrz C2 i D1 ley wewntrz C1) wniosek 3. Jeeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D z wyjtkiem

punktów z1, z2, ..., zn, to f z dz f z dzC Kk

n

k

( ) ( ) ==1

(gdzie D - ob. jednospójny; C - kawałkami

gładka krzywa Jordana połoona w obszarze D i zawiera punkty zk (k ∈ N), Kk - okrgi o rodkach zk i wspólnym promieniu ρ tak małym, aby adne okrgi si nie stykały)

Wzór całkowy Cauchy’ego Tw. (o wzorze całkowym Caychy’ego) Jeeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, za C ⊂ D jest kawałkami gładk krzyw Jordana, która zawiera punkt z0 w

swym wntrzu Dc, to f zi

f z dzz zC

( )( )

00

12

=−π

.

Tw. (pochodne wyszych rzdów) Jeeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze D, to ma w tym obszarze pochodn kadego rzdu, przy czym dla kadego naturalnego n i dla kadego

z0 ∈ D f zn

if z dz

z zn

nK

( ) ( )! ( )

( )00

12=

− +π, gdzie K oznacza dowolny okrg o rodku z0 lecy ze

swym wntrzem w obszarze D.

Szereg Taylora Tw. (o rozwiniciu funkcji holomorficznej w szereg potgowy) Jeeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze D, to mona j rozwin wokół kadego punktu z0 ∈ D w szereg

potgowy f z a z znn

n

( ) ( )= −=

∞

00

o współczynnikach af z

nn

n

=( ) ( )

!0 przy czym promie

zbienoci R tego szeregu jest nie mniejszy ni d z zz

= −∈

infΓ 0 , gdzie Γ oznacza brzeg obszaru

D. Def. Pełn funkcj analityczn nazywamy funkcj holomorficzn wraz ze wszystkimi jej przedłueniami analitycznymi. Lemat (o punktach zerowych funkcji holomorficznej) Jeeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze D, to jest w tym obszarze tosamociowo równa zeru albo kady jej punkt zerowy


z0 ∈ D jest odosobniony (tzn. w pewnym jego ssiedztwie nie ma ju innych punktów zerowych funkcji f(z)). wniosek Funkcja holomorficzna w obszarze D i majca w nim punkt zerowy, który nie jest odosobniony jest w tym obszarze tosamociowo równa zeru. Tw. (o identyfikacji funkcji holomoficznych) Jeeli funkcje f(z) i g(z) s holomorficzne w obszarze D i przyjmuj jednakowe wartoci w nieskoczonym cigu zn punktów zn ∈ D, to funkcje te s równe w obszarze D. Tw. (zasada maksimum modułu) Moduł funkcji holomorficznej i rónej od stałej w obszarze D nie osiga maksimum w adnym punkcie tego obszaru. wniosek Jeeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze ograniczonym D i cigła w obszarze domknitym D = D ∪ C, to moduł |f(z)| przyjmuje warto najwiksz, a mianowicie sup ( )

Df z na brzegu C tego obszaru.

Tw. (Liouville’a) Funkcja całkowita i ograniczona jest stała.

Szereg Laurenta Tw. (Laurenta) Jeeli funkcja f(z) jest holomorficzna w piercieniu D: r < |z - z0| < R, r ≥ 0,

R ≤ ∞, to mona j rozwin w tym piercieniu w szereg Laurenta f z a z znn

n

( ) ( )= −=−∞

+∞

0

przy czym ai

f z dzz z

n Zn nK

=−

∈+1

2 01π

( )( )

; , gdzie K ⊂ D jest dowolnym okrgiem o rodku z-0.

Punkty osobliwe odosobnione Def. Jeeli funkcja f(z) nie jest holomorficzna w punkcie z0, jest natomiast holomorficzna w pewnym jego ssiedztwie, to z0 nazywamy punktem osobliwym odosobnionym funkcji f(z). Niech f(z) oznacza funkcj holomorficzn w ssiedztwie S(z0; r) punktu z0. Korzystajc z rozwinicia w szereg Laurenta mamy wówczas dla kadego z ∈ S(z0; r) nastpujc równo

f z a z za

z znn

n

nn

n

( ) ( )( )

= − +−=

∞−

=

∞

00 00

.

Pierwszy szereg nazywa si czci regularn, natomiast drugi - czci osobliw (lub główn) rodzaje punktów osobliwych 1. pozornie osobliwy - cz osobliwa rozwinicia jest równa zero. Istnieje wówczas granica

skoczona f(z) gdy z → z0 i równa si a0. 2. k-krotny punkt biegunowy - cz osobliwa rozwinicia zawiera skoczon liczb

wyrazów. Istnieje taka liczba k>0, e a-k ≠ 0 i dla n > k wsp. a-n = 0. 3. punkt istotnie osobliwy - cz osobliwa rozwinicia zawiera nieskoczenie wiele

wyrazów. Tw. (Sochockiego) Jeeli z0 jest punktem istotnie osobliwym funkcji f(z), to dla kadej liczby zespolonej A istnieje taki cig zn zbieny do z0, e lim f(zn) = A.

Residuum funkcji

Def. Liczb res f zi

f z dzK z r

( ) ( )( ; )

0

12

0

= π nazywamy residuum funkcji f(z) w punkcie z0.

res f(z0) = a-1 wartoci residuum w punktach osobliwych. 1. pozornie osobliwy: res f(z0) = 0


2. k-krotny punkt biegunowy: ( )res f zk

f z z zz z

k k( )

( )!lim ( )( )

( )

0 0

111 0

=−

−→

−

3. istotnie osobliwy: res f(z0) = a-1 Tw. (Cauchy; całkowe o residuach) Jeeli f(z) jest funkcj holomorficzn w obszarze jednospójnym D z wyjtkiem co najwyej punktów zk ∈ D, k ∈ N, C za jest kawałkami gładk krzyw Jordana lec w tym obszarze, dodatnio skierowan i zawierajc punkty z1,

z2, ..., zn w swym wntrzy, to f z dz i res f zC

kk

n

( ) ( ) ==

21

π


Przekształcenia całkowe

Wzór całkowy Fouriera Tw. (tw. Fouriera) Jeeli funkcja f(t) spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta w kadym

przedziale skoczonym (a, b), a ponadto całka niewłaciwa f t dt( )−∞

+∞

jest zbiena, to dla

kadego t prawdziwa jest równo f t d f t d( ) ( ) cos ( )= −−∞

+∞∞

1

0πω τ ω τ τ ,

[ ]f t a t b t d( ) ( ) cos ( ) sin= +∞

ω ω ω ω ω0

, gdzie a f d

b f d

( ) ( ) cos

( ) ( ) sin

ωπ

τ ωτ τ

ωπ

τ ωτ τ

=

=

−∞

+∞

−∞

+∞

1

1

Przekształcenie Laplace’a Def. Oryginał jest to funkcja f(t) o nastpujcych własnociach 1. ∀t>0 f(t) = 0 2. w kadym otwartym przedziale skoczonym spełniony jest pierwszy i drugi warunek

Dirichleta 3. ∃M>0 ∃ρ≥0 ∀t |f(t)\ ≤ Meρt Wzór Laplace’a-Mellina. Jeeli f(t) jest oryginałem, to iloczyn f(t)e-xt, gdzie x > ρ, jest bezwzgldnie całkowalny w przedziale (-∞, ∞), przy czym

f t e dt f t e dt M e dtM

xxt xt x t( ) ( ) ( )−

−∞

+∞−

∞− −

∞

= ≤ =−0 0

ρ

ρ

dla kadego t: f ti

e ds f e dst s

x i

x i

( ) ( )= −+∞

− ∞

+ ∞

1

2 0πτ ττ

Przekształcenie Laplace’a Tw. (o bezwzgldnej zbienoci całki Laplace’a) Jeeli całka Laplace’a jest bezwzgldnie zbiena w punkcje s0 oraz Re s > Re s0, to jest tona take bezwzgldnie zbiena w punkcie s. Tw. (o zbienoci całki Laplace’a) Jeeli całka Laplace’a jest zbiena w punkcie s0, oraz Re s > Re s0, to jest take zbiena w punkcie s. Liniowo przekształce L i L-1. L[A1f1(t) + A2f2(t)] = A1L[f1(t)] + A2L[f2(t)], oraz L [A f (t) + A f (t)] = A L [f (t)] + A L [f (t)] -1

1 1 2 2 1-1

1 2-1

2

Tw. (o holomorficznoci L-transformaty) Transformata f s f t e dtst( ) ( )= −∞

0

oryginału f(t) jest

funkcj holomorficzn w półpłaszczy nie Re s > xz, przy czym df s

dstf t e dtst( )

( )= − −∞

0

.

Rachunek operatorowy Tw. (o L-transformacie pochodnej) Jeeli f(t) jest oryginałem i ma w przedziale (0, +∞) cigł pochodn f’(t), to istnieje L-transformata tej pochodnej, przy czym L f t sf s f[ '( )] ( ) ( )= − +0 .


Tw. (o L-transformacie pochodnej rzdu n) Jeeli funkcja f(t) oraz jej pochodne do rzdu (n-1) włcznie s oryginałami, a ponadto istnieje w przedziale (0, +∞) cigła pochodna f(n)(t), to

istnieje L-transformata tej pochodnej, przy czym L f t s f s s fn n n k k

k

n

[ ( )] ( ) ( )( ) ( )= − +− −

= 1

1

0 .

Tw. (o L-transformacie całki) Jeeli f(t) jest oryginałem, to L f df s

s

t

( )( )

τ τ0

= .

Własnoci przekształcenia Laplace’a

Tw. (o podobiestwie) Jeeli f(t) jest oryginałem oraz a > 0, to L f ata

fsa

[ ( )] =

1.

Z tego wynika L f ctc

ftc

− = 1 1

[ ( )] , c > 0

Tw. (o przesuniciu w argumencie oryginału) Jeeli f(t) jest oryginałem oraz t0 ≥ 0, to

[ ]L f t t t t e f st s( ) ( ) ( )− − = ⋅−0 01 0 .

Tw. (o przesuniciu w argumencie obrazu). Jeeli f(t) jest oryginałem oraz α jest liczb zesplon, to [ ]L e f t f st− = +α α( ) ( ) Tw. (tw. Borela) Jeeli f1(t) i f2(t) s oryginałami to istnieje L-transformata ich splotu, przy czym [ ] [ ] [ ]L f t f t L f t L f t1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )∗ = . Def. s ∈ ∆∆∆∆(s0; α) ⇔ -α < arg(s-s0) < α Tw. (o granicy obrazu w nieskoczonoci) Jeeli f(t) jest oryginałem, to dla kadego sektora ∆∆∆∆(s0; α) takiego, e Re s0 > ρ, jest spełniony warunek lim ( )

( ; )ss s

f s→∞∈

=∆ 0

0α

.

Tw. (o granicy oryginału w nieskoczonoci). Jeeli f(t) jest oryginałem, którego całka Laplace’a istnieje dla Re s > 0, oraz jeeli istnieje granica lim ( )

tf t k

→∞= , to dla kadego sektora

∆∆∆∆(0; α) istnieje take granica lim ( )( ; )

ss

sf s k→∈

=0

0∆ α

.

Tw. (o granicy oryginału w zerze) Jeeli f(t) jest oryginałem, oraz lim ( )t

f t k→ +

=0

, to dla

kadego sektora ∆∆∆∆(s0; α) takiego, e Re s0 > xz istnieje granica lim ( )( ; )

ss s

sf s k→∞∈

=∆ 0 α

jest ciga :-) ). - kolos.math.uni.lodz.plkolos.math.uni.lodz.pl/~archive/Analiza matematyczna...

Documents

Transcript of jest ciga :-) ). - kolos.math.uni.lodz.plkolos.math.uni.lodz.pl/~archive/Analiza matematyczna...