Ź R Ó D Ł O P R A W K W A N T O W Y C H

Jak Czytelnik zapewne pamięta (MT 09/07),Niels Bohr chcąc wyjaśnić, dlaczego fizyka oparta naklasycznych prawach Newtona i Maxwella nie możedobrze tłumaczyć budowy atomu, odwołał się do re-wolucyjnych pomysłów de Broglie’a. Zgodnie z nimikażdemu obiektowi materialnemu towarzyszy pewnahipotetyczna fala (tzw. fala materii), której długość

jest tym większa, im mniejszy jest pęd tego obiektu.I choć fali tej nie możemy bezpośrednio zaobserwo-wać, to w konkretnych eksperymentach możemy zau-ważyć konsekwencje jej istnienia. Otóż jeśli tylko dłu-gość fali materii jest porównywalna z rozmiaramiprzeszkód, z jakimi oddziałuje nasz obiekt (a z takąsytuacją mamy do czynienia w przypadku cząstek su-batomowych), to dynamiką nie rządzą znane nam pra-wa klasycznej fizyki, ale prawa mechaniki kwantowej.A prawa te, jak już wielokrotnie widzieliśmy, są abso-lutnie sprzeczne z naszą makroskopową intuicją.

P O S T U L A T K W A N T O W A N I A B O H R A

Dokładna analiza problemu elektronu krążącegowokół atomowego jądra przekonała nas, że prawidło-wy opis budowy atomu może być oparty tylko na me-chanice kwantowej. Wyliczona przez nas długość falitego elektronu, który pędzi z niebotyczną prędkościąwokół jądra, okazała się bowiem tego samego rzędu

co wielkość całego atomu. Tym samym stało się oczy-wiste, że potrzebne jest nowe prawo przyrody, prawoczysto kwantowe, które będzie determinowało zacho-wanie się elektronu na orbicie okołojądrowej. Jakopierwszy sformułował je Niels Bohr.

Postulat kwantowania Bohra jest bardzo prosty.Mówi on, że elektron krążący wokół jądra może to ro-

j a k t o o d k r y l ieureka

!

ZZaapprrooppoonnoowwaannaa pprrzzeezz NNiieellssaa BBoohhrraa ww 11991133

rrookkuu „„sszzttuucczzkkaa”” wwyywwrraaccaajjąąccaa zznnaacczznnąą cczzęęśśćć

óówwcczzeessnneejj ffiizzyykkii ookkaazzaałłaa ssiięę cczzyymmśś wwiięęcceejj

nniiżż ttyyllkkoo hhiippootteezząą.. HHiissttoorryycczznniiee jjaakkoo ppiieerrwwsszzaa

zzaacczzęęłłaa ddaawwaaćć iilloośścciioowwee wwyynniikkii tteeoorreettyycczznnee

ww ddzziieeddzziinnaacchh ssuubbaattoommoowwyycchh,, kkttóórree ddoosskkoonnaallee

zzggaaddzzaałłyy ssiięę zz wwyynniikkaammii eekkssppeerryymmeennttóóww..

TTyymm ssaammyymm ssttaałłaa ssiięę ppiieerrwwsszzyymm łłąącczznniikkiieemm

ppoommiięęddzzyy ffiizzyykkaammii ddoośśwwiiaaddcczzaallnniikkaammii

aa tteeoorreettyykkaammii pprraaccuujjąąccyymmii nnaadd pprraawwaammii

pprrzzyyrrooddyy oobboowwiiąązzuujjąąccyymmii ww mmiikkrroośśwwiieecciiee..

TEKST TRUDNY �

��

T o m a s z S o w i ń s k i

Tomasz Sowiński

w 2005 roku skoń-

czył z wyróżnieniem

studia na Wydziale

Fizyki Uniwersytetu

Warszawskiego

w zakresie fizyki

teoretycznej. Obec-

nie jest asystentem

w Centrum Fizyki

Teoretycznej PAN.

Z zamiłowania zaj-

muje się populary-

zacją nauki. W roku 2005 był nominowany do nagrody

w konkursie Popularyzator Nauki organizowanym przez

Ministerstwo Nauki i Informatyzacji oraz Polską Agencję

Prasową.

4444

Jak przyroda określarozmiary atomów?

bić tylko na takich orbitach, na których długość fali deBroglie’a mieści się CAŁKOWITĄ liczbę razy. Wszys-tkie inne orbity są zabronione. Postulat ten oczywiś-cie jest sprzeczny z klasycznymi prawami przyro-dy. Te bowiem pozwalają krążyć elektronowi powszystkich orbitach. Postulat ten może spokojniepretendować do miana prawa kwantowego. Jesttak dlatego, że wykorzystuje on własności fali ma-terii de Broglie’a, która jak wspominaliśmy, jestobiektem czysto kwantowym, determinującym za-chowanie się obiektów w mikroświecie. Oczywistejest przecież, że gdyby de Broglie „nie wymyślił” falmaterii, dzięki którym można wytłumaczyć różnekwantowe efekty np. w doświadczeniu Younga, toNiels Bohr nie mógłby wymyślić swojego postulatu.

S T A N Y S T A C J O N A R N E W P R Z Y R O D Z I E

Zanim przejdziemy do analizowania wniosków,jakie płyną z postulatu Bohra, wspomnijmy jeszczeo dodatkowej jego zalecie – łatwości interpretacji.Aby zrozumieć, na czym ta łatwość polega, omówmysobie na marginesie pojęcie tzw. stanu stacjonarnego.Otóż za każdym razem, kiedy myślimy o elektroniekrążącym po orbicie wokół jądra atomowego, buduje-my sobie w myślach obrazek podobny do tego, jakiznamy z opisu naszego Układu Słonecznego. Wyobra-żamy sobie, że elektron nieustannie krąży wokół jąd-ra. W każdej chwili jest on oczywiście w innym miej-scu orbity, ale jeśli odczekamy dostatecznie długo, towróci on do swojego pierwotnego miejsca. Choć elek-tron w atomie wciąż jest w ruchu, to w pewnym sen-sie wygląda ciągle tak samo. Fizycy taki stan układu,w którym jest pewna cykliczność ruchu lub powta-rzalność tej samej sytuacji, nazywają właśnie stanemstacjonarnym.

W otaczającym nas świecie mamy do czynieniabardzo często ze stanami stacjonarnymi. W takim sta-nie jest np. woda płynąca z kranu. Gdy odkręcimy ku-rek na określoną moc i nie będziemy nim regulować,woda na początku zacznie płynąć coraz szybciej. Byćmoże zacznie nawet pryskać na boki bardzo nieregu-larnie. Ale po chwili wszystko się ustabilizuje. Odpewnego momentu woda będzie płynąć w sposób sta-cjonarny. Analogicznie jest, gdy kierowca uruchamiasilnik samochodu. Wszystko nagle zaczyna się trząść,w silniku pojawiają się różne naprężenia i przeciąże-nia. Tłoki poruszają się dość chaotycznie. Ale po pew-nym czasie, kiedy silnik rozpocznie pracę i się nagrze-je do odpowiedniej temperatury, przejdzie w bardzoregularny cykl – stan stacjonarny. Oczywiście będzietak do momentu, aż kierowca zacznie wciskać pedałgazu.

Podobnie jest z elektronem na orbicie wokółjądra. On znajduje się w stanie stacjonarnym. Ciągleporusza się tak samo – krąży ze stałą prędkościąi w tym samym kierunku. Taki przynajmniej mamyKLASYCZNY obrazek tej sytuacji. A jaki jest opiskwantowy stanu stacjonarnego? Właśnie odpowiedźna to pytanie przynosi postulat Bohra. Otóż zgodniez nim stan stacjonarny to taki stan, w którym falamaterii elektronu nie zmienia się w czasie. Zauważmybowiem, że jeśli długość fali mieści się całkowitą licz-bę razy na orbicie wokół jądra, to w pewien sposóbona do siebie „pasuje”. Po obejściu orbity dookoła tra-fia dokładnie „w fazie” w samą siebie. Jest ona w pe-wien sposób stacjonarna – nie zmienia się przy obej-ściu orbity wokół jądra. Gdyby natomiast nie był speł-niony postulat Bohra, to nie mogłaby ona „w siebietrafić” i za każdym okrążeniem byłaby troszkę inaczejusytuowana. Obie te sytuacje przedstawia poniższyrysunek.

Postulat kwantowania Bohra definiuje zatemkwantowy stan stacjonarny elektronu znajdującego

Stan stacjonarny Stan niestacjonarny

4455

się na orbicie w atomie. Każdy inny stan jest zabro-niony, bo opisywałby jakieś zmiany zachodzącew atomie. A z doświadczenia wiemy, że atomy (pozapewnym wyjątkiem, o którym jeszcze opowiemy)zawsze znajdują się w stanach stacjonarnych – zaw-sze mają te same własności.

T E O R E T Y C Z N E R O Z M I A R Y A T O M U

Spróbujmy teraz wyciągnąć z postulatu Bohrajakieś bardziej praktyczne wnioski na temat budowyatomu. Jak pamiętamy (MT 09/07), postulat ten jestcałkowicie równoważny innemu warunkowi, jaki musispełniać moment pędu (iloczyn pędu i promienia orbi-ty) elektronu na orbicie. Warunek ten ma postać

gdzie h- (czytaj: „ha kreślone”) to nowe oznaczenie nawartość stałej Plancka h podzielonej przez 2π, n jestdowolną liczbą naturalną (1, 2, 3...), która numerujekolejne dozwolone orbity w atomie. Liczbę naturalnąn z pewnych powodów, które kiedyś będą jasne, na-zywa się często główną liczbą kwantową.

Bardzo prostym rachunkiem możemy spraw-dzić, jaki jest promień dozwolonych orbit elektrono-wych w atomie. W tym celu musimy wykorzystaćwzór na prędkość elektronu na orbicie o promieniu R,który wyprowadziliśmy poprzednio. Przypomnijmy,że ma on postać

Jak pamiętamy, wzór ten został wyprowadzony przyzałożeniu, że jądro atomowe jest obdarzone ładun-kiem elektrycznym dokładnie o tej samej wartościco elektron, tylko z przeciwnym znakiem. Oznaczato, że wzór dotyczy najprostszego w budowie atomuwodoru. Tym samym wszystkie nasze dalsze rozwa-żania będą dotyczyły właśnie tego atomu. Jeśli terazprzypomnimy sobie dodatkowo, że pęd to nic innegojak iloczyn prędkości v i masy m i wstawimy te zależ-ności do warunku kwantowania Bohra, łatwo otrzy-mamy zależność promienia orbity od głównej liczbykwantowej

Jak widać z powyższego wzoru, promienie kolejnychorbit rosną z kwadratem głównej liczby kwantowej,tzn. promień orbity dla n = 2 jest CZTERY razy więk-szy od orbity z n = 1. Zauważmy, że współczynnik

stojący w wyprowadzonym przez nas wzorze zbudo-wany jest z różnych wielkości fizycznych, które sąuniwersalne! Zarówno stała Plancka h- (od teraz bę-dziemy używali tej samej nazwy „stała Plancka” za-równo dla wielkości h, jak i h-, a w zależności od kon-tekstu Czytelnik bez problemu odczyta, o którą z nichnam chodzi), masa elektronu m, ładunek elementarnye czy stała Coulomba k są pewnymi stałymi przyrodyi w ogóle nie „wiedzą”, że stoją w jakimś wzorze napromień orbity w atomie. Można je zmierzyć w zupeł-nie innych doświadczeniach (wielokrotnie o nich mó-wiliśmy) i wstawić do tego wzoru. Współczynnik tenjest zatem pewną uniwersalną wielkością fizyczną,którą historycznie nazywa się promieniem Bohra, i bę-dziemy ją oznaczać RB. Nazwa wzięła się oczywiściez modelu atomowego zaproponowanego przez Bohra,w którym jak widzimy pojawia się ona w sposób na-turalny. Wstawiając z tablic wartości poszczególnychstałych, łatwo sprawdzić, że ta uniwersalna wielkość,jaką jest promień Bohra, ma wartość

W tym miejscu warto się chwilę zatrzymać, bo jesteś-my w dość kluczowym momencie naszej analizy.Po pierwsze, zauważmy, że nazwa „promień Bohra”zaczyna już teraz mieć pewien sens. Okazuje się bo-wiem, że wielkość RB ma wymiar długości, tzn. że„mierzy się ją” w metrach dokładnie tak samo jak in-ne długości. Po drugie, i co istotniejsze, zauważmy,że wielkość ta jest czysto kwantową wielkością. Jesttak dlatego, że aby wyliczyć jej wartość, niezbędnabyła znajomość stałej Plancka h-, która jak pamiętamy,była fundamentalną wielkością przy opisie pewnychniewytłumaczalnych w sposób klasyczny doświad-czeń (widmo promieniowania ciał, zjawisko fotoelek-tryczne itd.). Promień Bohra jest zatem pewną charak-terystyczną długością świata kwantowego i jak wi-dać, wyprowadziliśmy ją w sposób czysto teoretycz-ny bez odwoływania się do żadnego doświadczenia.Będzie to za chwilę miało kluczowe znaczenie. Tym-czasem wypiszmy teraz promienie kilku kolejnychDOZWOLONYCH orbit dla atomu wodoru.

Główna liczba kwantowa Promień orbityn [10–10 m]

1 0,529

2 2,116

3 4,761

4 8,464

Jak widzimy, najmniejszy promień orbity, jaki jestdopuszczalny przez model atomu Bohra, otrzymuje-my dla n = 1 i jest on równy dokładnie promieniowiBohra RB. Widzimy zatem, że orbita z n = 1 jest

mmke

RB10

2

2

10529,0−

⋅≈=

h

2

2

mke

h

2

2

2

nmke

Rh

=

mR

kev

2

=

hnRp =⋅

j a k t o o d k r y l ieureka

!

4466

nh-

h-2

h-2

h-2

w pewien sposób wyróżniona.Tę orbitę zwykło się nazywaćorbitą stanu podstawowego ato-mu. Jak się bowiem niedługookaże, to właśnie na tej orbicieelektron przebywa w atomienajczęściej. Zauważmy, że wy-liczony przez nas teoretyczniepromień pierwszej orbity atomudoskonale zgadza się z wnioska-mi, jakie płyną z doświadczeńRutherforda. Jak pamiętamy (MT07/07), Rutherford na podstawieek sperymentów swojego studentadoszedł do wniosku, że jedyną możli-wością, jaka nie byłaby sprzeczna z do-świadczeniami, jest przyjęcie, że atomskłada się z bardzo malutkiego i ciężkiego jądrai krążących wokół niego elektronów w odległościrzędu 10–10 m. Gdyby było inaczej, wyniki doświad-czeń prowadziłyby po prostu do sprzeczności. Te-raz, na podstawie modelu atomu opartego o postu-lat kwantowania Bohra, wyprowadziliśmy wzór napromień dozwolonych orbit elektronowych i naj-mniejsza z nich jest właśnie tego rzędu, jaki zasuge-rował Rutherford w swoich rozważaniach. Jest toniewątpliwie duży sukces teorii Bohra.

Z N A L E Z I E N I E B R A K U J Ą C E G O R Ó W N A N I A

Jeśli Czytelnik dobrze pamięta artykuł z po-przedniego miesiąca, zapewne czuje, że przedstawio-ne powyżej wywody mają dużo głębsze znaczenie niżtylko wyliczenie jakichś liczb. Mówiliśmy wtedy, żenie istnieją żadne KLASYCZNE prawa, na podstawiektórych można byłoby wyznaczyć teoretyczne rozmia-

ry atomów. Jeśli klasyczna teoria dopuszczałaby ist-nienie atomów o pewnej wielkości, to musiałaby do-puścić na równych prawach zarówno atomy znaczniemniejsze, jak i znacznie większe (np. o wielkościUkładu Słonecznego). Jak jednak wiemy z doświad-czenia, przyroda wybrała w jakiś dziwny sposób tylkopewne z nich. Teraz już wiemy, dlaczego tak jest! Is-tnieje pewne dodatkowe prawo przyrody, dodatkowe

równanie – postulat kwantowania Bohra. To właśniedzięki niemu zostaje w jednoznaczny sposób wyróż-niona pewna orbita – orbita stanu podstawowego,która determinuje rozmiary atomu i tym samym dajenam możliwość TEORETYCZNEGO wyznaczeniawielkości atomu. Zauważmy, że gdybyśmy nie mielipostulatu Bohra, to zabrakłoby nam po prostu jednegowzoru w naszej analizie. Właśnie tego wzoru, bez któ-rego nie mogły sobie poradzić modele oparte o prawaklasycznej fizyki.

W K O Ń C U D O B R Y M O D E L

Model atomu Bohra oparty o postulat kwanto-wania stał się szybko podstawą fizyki subatomowej.Jest to bowiem pier-wszy historyczniemodel atomu, którypozwolił wyznaczyćjego rozmiary. Od tejpory wiemy, dlacze-go atomy są tak małei tylko tak małe. Toprzyroda, determinu-jąc podstawowe sta-łe takie jak stałaPlancka, ładunek ele-mentarny czy masaelektronu, zdetermi-nowała automatycz-nie, jak duże mająbyć atomy. Bohrowiudało się prostym,ale bardzo nieintui-cyjnym zabiegiemten związek wyłus-kać. Tym samym teo-ria Bohra zaczęła zys-kiwać miano czegośważniejszego niż tyl-ko hipotezy.

Teoretyczne określenie rozmiarów atomu, choćniewątpliwie bardzo ważne, nie było ostatnim sło-wem Bohra w poszukiwaniu praw subatomowych.Postulat kwantowania Bohra determinuje dużo więceji bardziej znaczących własności atomowych, niż sięnam wydaje na pierwszy rzut oka. O następnej z nichopowiemy sobie już za miesiąc! Zapraszam! � 4477

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

/CreateJDFFile false /Description > /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ > /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ]>> setdistillerparams> setpagedevice