J. Z. Kamiński 1 Wybrane aspekty ﬁzyki współczesnej 2011/2012

J. Z. Kamiński 1 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

6 Komutatory i równania Heisenberga

6.1 Ćwiczenia

Zadanie 6.1

Przypomnieć definicje iloczynu skalarnego 〈x|y〉 i normy ‖x‖. Wykazać, że iloczyn skalarnymożna wyrazić jedynie przez normę:

〈x|y〉 = 14(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 + i‖x− iy‖2 − i‖x+ iy‖2)

Jaką postać przyjmuje ta równość jeśli iloczyn skalarny w przestrzeni funkcji jest zdefiniowanycałką

〈f |g〉 =∞∫

−∞

dx f ∗(x)g(x)

Zadanie 6.2

Dwie wielkości fizyczne A i B reprezentowane są operatorami hermitowskimi A i B takimi, że

[A, B] = iC

Wykazać, że operator C również jest hermitowski. Dla jakiegokolwiek stanu |ψ〉 zdefiniujmyśrednią i dyspersję wielkości A w tym stanie wzorami

〈A〉 = 〈ψ|A|ψ〉, ∆A =√

〈A2〉 − 〈A〉2

Wykazać tzw. zasadę nieoznaczoności Heisenberga

∆A ·∆B >1

2|〈C〉|.

Zadanie 6.3

Rozważmy swobodną cząstkę o masie m. Operator Hamiltona ma postać

H =1

2mp2

Wiedząc, że w dowolnej chwili czasu operatory położenia x(t) i pędu p(t) spełniają warunkikomutacyjne

[x(t), p(t)] = i~, [x(t), x(t)] = 0, [p(t), p(t)] = 0

wyprowadzić równania Heisenberga, a następnie rozwiązać je z warunkami początkowymi x(0) =x0 i p(0) = p0. Obliczyć komutator [x(t), x0] i wykazać tzw. ’rozpływanie się swobodnej paczkifalowej’.


Zadanie 6.4

Wyznaczyć komutator[p, xn], n = 0,±1,±2, . . .

Przyjmując, że funkcję od operatora V (x) można rozwinąć w szereg Laurenta

V (x) =∞∑

n=−∞

vnxn

wyprowadzić równania Heisenberga dla cząstki o masie m poruszającej się w polu siły poten-cjalnej o potencjale V (x), gdy ruch zadany jest operatorem Hamiltona

H =1

2mp2 + V (x)

Kiedy równania na średnie położenie i pęd pokrywają się z równaniami Newtona?

Zadanie 6.5

Wykazać, żed

dλeλA = AeλA

Niech operatory A i B spełniają warunki

[A, [A, B]] = 0 = [B, [A, B]]

Wykazać, że spełniony jest wzór Cambella-Bakera-Hausdorfa

eλ(A+B) = eλAeλBe−λ2[A,B]/2.

Zadanie 6.6

Niech A i B są dowolnymi operatorami. Zdefiniujmy operator F(λ), zależny od zespolonegoparametru λ, wzorem

F(λ) = eλABe−λA.

Rozwijając funkcje operatorową F(λ) w szereg Taylora względem parametru λ wykazać, że

eλABe−λA = B+ λ[A, B] +λ2

2![A, [A, B]] +

λ3

3![A, [A, [A, B]]] + . . . .

6.2 Zadania obowiązkowe: termin oddania — wykład 21.11.2011

Zadanie 6.7 ❍

Rozważmy oscylator harmoniczny o masie m i częstości ω. Operator Hamiltona ma postać

H =1

2mp2 +

1

2mω2x2


Wiedząc, że w dowolnej chwili czasu operatory położenia x(t) i pędu p(t) spełniają warunkikomutacyjne

[x(t), p(t)] = i~, [x(t), x(t)] = 0, [p(t), p(t)] = 0

wyprowadzić równania Heisenberga, a następnie rozwiązać je z warunkami początkowymi x(0) =x0 i p(0) = p0.

Zadanie 6.8 ✍

Zdefiniujmy dwa operatory niehermitowskie wzorami

a = λx+i

2λ~p, a† = λx− i

2λ~p

Wyznaczyć komutator [a, a†] i wyrazić przez te operatory operator Hamiltona dla oscylatoraharmonicznego

H =1

2mp2 +

1

2mω2x2

Jak należy dobrać parametr λ, aby

H =~ω

2(a†a+ aa†)

Wyznaczyć równania Heisenberga na te operatory i rozwiązać je.

6.3 Zadania dodatkowe

Zadanie 6.9 ❀

Korzystając z wyników zadania 6.6 wykazać, że dla operatorów położenia x i pędu p,

exp(

i

~px0

)

x exp(

− i~px0

)

= x+ x0,

eλx2/2pe−λx

2/2 = p+ i~λx,

Pokazać, że dla dowolnej funkcji analitycznej f(z)

eλAf(B)e−λA = f(B+ λz), gdy [A, B] = z.

Zadanie 6.10 ❀

Wykazać, że dla cząstki swobodnej o masie m operator G = tp − mx, zwany operatoremgalileuszowego pchnięcia, jest stałą ruchu, tzn.

dG

dt=∂G

∂t+1

i~[G, H] = 0 dla H =

1

2mp2.

Wykazać, że

exp(

i

~vG)

p2

2mexp

(

− i~vG)

=p2

2m+ vp+

mv2

2.

Zinterpretować ten wzór, a w szczególności rzeczywistą liczbę v.


Zadanie 6.11 ❀

Zdefiniujmy tzw. operator dylatacji D,

D =1

2~

(

r · p+ p · r)

.

Wykazać, że

eiλDxie−iλD = eλxi oraz eiλDpie

−iλD = e−λpi

dla rzeczywistych λ.

Zadanie 6.12 ❀

Korzystając z wyników zadania 6.6 wyznaczyć ewolucję czasową operatorów położenia i pędudla oscylatora harmonicznego, tj operatory

x(t) = exp(

i

~Ht)

x exp(

− i~Ht)

, p(t) = exp(

i

~Ht)

p exp(

− i~Ht)

gdzie

H =1

2mp2 +

1

2mω2x2

Porównać wyniki z zadaniem 6.7


7 Metody przybliżone

7.1 Ćwiczenia

Zadanie 7.1

Rachunek zaburzeń bez czasu bez zwyrodnienia.Przyjmijmy, że pełny Hamiltonian ma postać

H = H0 + λV

gdzie λ jest bezwymiarowym małym parametrem. Przyjmijmy dalej, że potrafimy rozwiązaćzagadnienie własne dla Hamiltonianu H0,

H0|φn〉 = E(0)n |φn〉

Wykazać, że przybliżone rozwiązanie zagadnienia własnego dla pełnego Hamiltonianu

H|ψn〉 = En|ψn〉

ma postaćEn = E

(0)n + λE

(1)n + λ

2E(2)n + . . .

|ψn〉 = |φn〉+ λ|φ(1)n 〉+ λ2|φ(2)n 〉+ . . .gdzie

E(1)n = 〈φn|V|φn〉

|φ(1)n 〉 =∑

k 6=n

|φk〉〈φk|V|φn〉E(0)n − E(0)k

E(2)n =∑

k 6=n

|〈φk|V|φn〉|2

E(0)n − E(0)k

Zadanie 7.2

Rachunek zaburzeń ze zwyrodnieniem.Przyjmijmy, że stan energetyczny dla hamiltonianu niezaburzonego jest zwyrodniały,

H0|φnk〉 = E(0)n |φnk〉, k = 1, 2, . . . , d

Wykazać, że pierwszą poprawką do energii są wartości własne macierzy Vn postaci(

Vn

)

kk′= 〈φnk|V|φnk′〉

Jak interpretujemy wektory własne tej macierzy?


Zadanie 7.3

Niech Hamiltonian zależy od pewnego rzeczywistego parametru λ. Zatem jego wartości i wektorywłasne również zależą od niego,

H(λ)|ψn(λ)〉 = En(λ)|ψn(λ)〉

Dalej dla prostoty wybierzmy spośród stanów własnych stany związane. Wykazać słusznośćnastępującej równości

dEn(λ)

dλ=⟨

ψn(λ)∣

∣

∣

∣

dH(λ)

dλ

∣

∣

∣

∣

ψn(λ)⟩

będącej treścią tzw. twierdzenia Hellmana-Feynmana.Wybierzmy jako parametr λ masę cząstki m, która występuje tylko w operatorze energii

kinetycznej T. Wykazać, że

〈ψn|T|ψn〉 = −mdEndm

i sprawdzić tę równość na przykładach stanów podstawowych oscylatora harmonicznego i atomuwodoru. Uwaga! w przypadku oscylatora harmonicznego częstość ω zależy od masy.

Przyjmijmy teraz, że w przypadku oscylatora harmonicznego różniczkujemy po masie przyustalonej częstości ω. Wykazać równość średnich wartości energii kinetycznej i potencjalnej.

Zadanie 7.4

W jednowymiarowym Hamiltonianie dokonajmy przeskalowania operatora położenia x → λx.Wykazać, że przeskalowany Hamiltonian ma postać

H(λ) =p2

2mλ2+ V(λx)

Jak zmieni się przeskalowany stan własny |ψn(λ)〉? Czy wartości własne również ulegną zmianie?Wykorzystać ten fakt razem z tw. Hellmana-Feynmana w celu wykazania tzw. twierdzeniawirialnego w mechanice kwantowej

2〈ψn|T|ψn〉 = 〈ψn|xV′(x)|ψn〉

gdzie|ψn〉 = |ψn(λ)〉|λ=1

Uogólnić to twierdzenie na przypadek wielowymiarowy i sprawdzić je dla stanów podstawowychoscylatora harmonicznego i atomu wodoru.

Zadanie 7.5

Wykazać współzmienniczość równania Schrödingera względem transformacji Galileusza, tzn. żedla cząstki swobodnej funkcje falowe różnią się fazą,

ψ′(r′, t) = eiϕ(r,t)ψ(r, t).

Porównać wynik z transformacją energii i pędu z mechaniki klasycznej jeśli

ψ(r, t) = exp(−iEt+ ip · r).


Zadanie 7.6

Wyznaczyć stany związane i prawdopodobieństwo przejścia cząstki o masie m przez potencjał

V (x) = V0δ(x)


Zadanie 7.7 ❀

Wyznaczyć stany związane cząstki o masie m poruszającej się w jednym wymiarze w potencjale

V (x) = −V0(δ(x+ a) + δ(x− a)), V0 > 0.

Zadanie 7.8 ❀

Wyznaczyć prawdopodobieństwo przejścia cząstki o masie m poruszającej się w jednym wymia-rze przez barierę potencjalną

V (x) = V0(δ(x+ a) + δ(x− a)), V0 > 0.

Zadanie 7.9 ❀

Wyznaczyć stany związane cząstki o masie m poruszającej się w jednym wymiarze w potencjaleMorse’a

V (x) = D(e−2αx − 2e−αx), D, α > 0.

Zadanie 7.10 ❀

Rozważyć trójwymiarowy oscylator harmoniczny w stałym polu elektrycznym o Hamiltonianie

H =1

2mp2 +1

2mω2r2 − eE · r.

Wyznaczyć energię stanu podstawowego ściśle i w rachunku zaburzeń aż do drugiego rzędu.W tym celu wypisać jawnie funkcje falowe dwóch pierwszych stanów energetycznych i obliczyćodpowiednie całki Gaussowskie.

Zadanie 7.11 ❀

Rozważyć ten sam oscylator harmoniczny, ale teraz w stałym polu magnetycznym B skiero-wanym w stronę osi z. Posługując się pierwszym rzędem rachunku zaburzeń ze zwyrodnieniemobliczyć poprawkę do energii pierwszego stanu wzbudzonego. Rachunki wykonać w dwóch ce-chowaniach, Landau’a i van Vlecka. Tak jak w zadaniu poprzednim posługiwać się funkcjamifalowymi, a nie operatorami kreacji i anihilacji.


Zadanie 7.12 ❀

Korzystając z tw. Hellmana-Feynmana powiązać średnią wartość energii potencjalnej dla atomuwodoru z energią stanów związanych. Sprawdzić ten związek dla stanu podstawowego.

Zadanie 7.13 ❀

Sprawdzić słuszność tw. wirialnego dla pierwszego stanu wzbudzonego jednowymiarowego oscy-latora harmonicznego.


8 Metody przybliżone cd.

8.1 Ćwiczenia

Zadanie 8.1

Wyznaczyć energie stanów energetycznych elektronu poruszającego się w potencjale Kratzera

V (r) = −2D(

a

r− a2

2r2

)

, D, a > 0.

Zinterpretować widmo jako nałożenie się ruchu wibracyjnego i obrotowego.

Zadanie 8.2

Przeanalizować stany związane, rezonansowe i rozproszeniowe cząstki w fali s w potencjalebańki mydlanej

V (r) = −λδ(r − a).


Zadanie 8.3 ✍

Jednowymiarowy oscylator harmoniczny o Hamiltonianie

H0 =1

2mp2 +

1

2mω2x2

zaburzono potencjałemV = εx4.

Stosując rachunek zaburzeń wyznaczyć poprawki do energii dwóch stanów o najniższych ener-giach.

Zadanie 8.4 ❍

Cząstka o masie m porusza się w jednowymiarowej studni potencjału

V (x) =

0 dla |x| < a

∞ dla |x| > a

Wyznaczyć jej energie i unormowane funkcje falowe.Uwzględnienie poprawek relatywistycznych polega na dopisaniu do Hamiltonianu członu

H′= − p4

8m3c2

Wyznaczyć w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń poprawkę do energii stanu podstawowego.



Zadanie 8.5 ❀

Stosując przybliżenie Borna wyznaczyć przekrój czynny na rozpraszanie na potencjale składa-jącym się z dwóch centrów oddalonych od siebie o wektor a, tj.,

V (r) = V0(r) + V0(r + a).

Jaką postać ma różniczkowy przekrój czynny gdy

V0(r) = V0 exp(−r2/λ2).

Zadanie 8.6 ❀

Znaleźć wariacyjnie stany podstawowe cząstki o masie m poruszającej się w potencjale oscyla-tora harmonicznego mω2r2/2 lub w potencjale kulombowskim −α/r. W obu przypadkach jakofunkcje próbne wybrać

ψ1(r) = N1 exp(−βr2) lub ψ2(r) = N2 exp(−γr)

i porównać wyniki. W obliczeniach posłużyć się funkcją Γ Eulera.

Zadanie 8.7 ❀

Cząstka o masie m porusza się w jednym wymiarze w potencjale V (x) = λx4. Znaleźć waria-cyjnie energię stanu podstawowego wybierając jako funkcję próbną

ψ(x) = N exp(−(αx)4/2),

gdzie N jest stałą normującą. Odpowiednie całki wyrazić poprzez funkcję Γ Eulera.

Zadanie 8.8 ❀

Electron o masie m, znajdujący się tuż nad powierzchnią ciekłego helu (równanie powierzchniz = 0), jest przyciągany przez jego dielektryczny obraz siłą o potencjale [C. C. Grimes i T. R.Brown, Phys. Rev. Lett. 32, 280 (1974)]

V (z) =

∞, z < 0

−αz, z > 0

Przyjmując, że elektron nie porusza się w kierunku równoległym do powierzchni z = 0, wy-znaczyć wariacyjnie jego energię stanu podstawowego wybierając jako nieunormowaną funkcjępróbną

ψ(z) =

0, z < 0

ze−λz, z > 0

Czy otrzymany wynik jest wynikiem ścisłym?


Zadanie 8.9 ❀

Electron o masie m porusza się w potencjale

V (x) =

∞, x < 012mω2x2, x > 0

Wyznaczyć wariacyjnie energię stanu podstawowego wybierając jako nieunormowaną funkcjępróbną

ψ(x) =

0, x < 0

xe−λx2

, x > 0

Czy otrzymany wynik jest wynikiem ścisłym?

Zadanie 8.10 ❀

Cząstka o masie m porusza się w nieskończonej studni potencjału

V (x) =

λδ(x), |x| < a

∞, |x| > a

Wyznaczyć unormowaną funkcję falową i energię stanu podstawowego.

Zadanie 8.11 ❀

Nieunormowany stan związany cząstki o masie m opisany jest funkcją falową

ψ(x) =sin(λx)

x,

gdzie λ jest stałą. Wiadomo, że funkcja falowa spełnia równanie

− ~2

2m

d2

dx2ψ(x) + (V (x)− E)ψ(x) = 0.

Wyznaczyć energię E tego stanu jeśli wiadomo, że potencjał V (x) zeruje się dla x = 0.

Zadanie 8.12 ❀

Cząstka o masie m porusza się w potencjale

V (x) =1

2mω2x2 + λx6.

Traktując λx6 jako zaburzenie wyznaczyć energię stanu podstawowego w pierwszym rzędzierachunku zaburzeń.

Zadanie 8.13 ❀

Cząstka o masie m porusza się w nieskończonej studni potencjału

V (x) =

0, 0 < x < a

∞, x < 0 oraz x > a

Wyznaczyć unormowaną funkcję falową i energię stanu podstawowego oraz średnie położenie〈x〉 i dyspersję położenia. Określić gęstość prawdopodobieństwa pędu w tym stanie.


Zadanie 8.14 ❀

Cząstka o masie m porusza się w potencjale

V (x) =1

2mω2x2 + λ|x|5.

Traktując λ|x|5 jako zaburzenie wyznaczyć energię stanu podstawowego w pierwszym rzędzierachunku zaburzeń.


9 Mechanika kwantowa wielu cząstek

9.1 Ćwiczenia

Zadanie 9.1

Posługując się rachunkiem zaburzeń wyznaczyć oddziaływanie van der Waalsa miedzy dwomaatomami wodoru (L. I. Schiff, Mechanika kwantowa, strony 232-234).

Zadanie 9.2

Rozważyć dwuelektronowy atom helopodobny o Hamiltonianie

H = − ~2

2m∆1 −

Z~cα

r1− ~

2

2m∆2 −

Z~cα

r2+

~cα

|r1 − r2|,

gdzie Z jest ładunkiem jądra, c prędkością światła, a α stałą struktury subtelnej. Wyznaczyćwariacyjnie energię stanu podstawowego wybierając jako funkcję próbną

ψ(r1, r2) = N exp(−Z(r1 + r2)),

gdzie N jest unormowaniem a Z parametrem wariacyjnym. Do wyznaczenia całki z potencjałemoddziaływania elektronów posłużyć się wzorem

1

|r1 − r2|=4π

r>

∑

ℓm

1

2ℓ+ 1

(

r<r>

)ℓ

Y ∗ℓm(θ1, ϕ1)Yℓm(θ2, ϕ2).

Zadanie 9.3

Macierz gęstości dla mieszaniny stanów, w której stan czysty |ψi〉 występuje z prawdopodobień-stwem pi ma postać

ρ =∑

i

pi|ψi〉〈ψi|,

gdzie |ψi〉 są jakimikolwiek stanami unormowanymi do 1, ale niekoniecznie ortogonalnymi dosiebie. Wykazać, że

Trρ =∑

i

pi.


Zadanie 9.4 ❀

Niech a† i a są operatorami kreacji i anihilacji. Zdefiniujmy trzy operatory,

T1 =1

4

(

a†a† + aa)

, T2 =1

4i

(

a†a† − aa)

, T3 =1

4

(

a†a+ aa†)

.

Wykazać słuszność relacji komutacyjnych

[T1, T2] = −iT3, [T3, T1] = iT2, [T2, T3] = iT1.


Zadanie 9.5 ❀

Niech operatory a†i i ai, i = 1, 2 tworzą dwa zestawy operatorów kreacji i anihilacji, spełniają-

cych warunki komutacyjne,

[ai, a†j] = δij, [a

†i , a†j] = 0, [ai, aj] = 0.

Zdefiniujmy dwa zestawy nowych oparatorów kreacji i anihilacji b†

i i bi, i = 1, 2, spełniającychte same warunki komutacyjne tak, aby

(

a1a†2

)

=

(

u vv u

)

b1

b†

2

.

Jaki związek muszą spełniać liczby rzeczywiste u i v? Zastosować tę transformację, zwanątransformacją Bogoliubowa, w celu wyznaczenia energii własnych hamiltonianu,

H = E0(a†1a1 + a†2a2) +

3

5E0(a

†1a†2 + a1a2),

dobierając odpowiednio parametry u i v.

Zadanie 9.6 ❀

Niech operatory a†i i ai, i = 1, 2 tworzą dwa zestawy operatorów kreacji i anihilacji, spełniają-

cych warunki komutacyjne,

[ai, a†j] = δij, [a

†i , a†j] = 0, [ai, aj] = 0.

Zdefiniujmy cztery hermitowskie operatory wzorami

J1 =~

2

(

a†2a1 + a†1a2)

, J2 =i~

2

(

a†2a1 − a†1a2)

,

J3 =~

2

(

a†1a1 − a†2a2)

, S =~

2

(

a†1a1 + a†2a2)

.

Wykazać, poprzez sprawdzenie odpowiednich związków komutacyjnych, że trzy operatory Ji,i = 1, 2, 3, są operatorami momentu pędu. Sprawdzić, że

J2= J2

1 + J2

2 + J2

3 = S(S+ ~).

Dla dociekliwych: Zdefiniujmy następnie stan |0〉 tak jak dla oscylatora harmonicznego,

tzn. ai|0〉 = 0 dla i = 1, 2. Wykazać, że [J2, J3] = 0, a unormowane stany własne operatorów J

2

i J3 są postaci,

|j,m〉 = 1√

(j +m)!(j −m)!

(

a†1

)j+m(

a†2

)j−m|0〉.

Jaką postać mają operatory J± podnoszące i opuszczające liczbę kwantową m? Wykazać, że takjak trzeba,

J+|j, j〉 = 0 oraz J−|j,−j〉 = 0.Opisana tu procedura nazywana jest przedstawieniem Jordana-Schwingera operatorów mo-mentu pędu, lub też bozonizacją operatorów momentu pędu.


10 Równania Pauliego i relatywistycznej mechaniki kwan-

towej. Stany koherentne.

10.1 Ćwiczenia

Zadanie 10.1

Równanie Pauliego (wykład) dla elektronu ma postać

i~∂tψ =[

1

2m

(

σ · (−i~∇− eA))2+ eφ

]

ψ, ψ =

(

ψ+ψ−

)

,

gdzie σ są tzw. macierzami Pauliego. Wykazać, że

σiσj = δij + iεijkσk, eiσ·a = cos(|a|) + iσ · a|a| sin(|a|)

Korzystając z pierwszej z tych tożsamości wykazać, że równanie Pauliego możemy zapisać wpostaci

i~∂tψ =[

1

2m

(

−i~∇− eA)2+ eφ− µB · σ

]

ψ, ψ =

(

ψ+ψ−

)

,

gdzie

B =∇×A, µ =|e|~2m

Zadanie 10.2

Ruch neutronu w polu magnetycznym możemy opisać równaniem Pauliego

i~∂tψ =[

− ~2

2mN∆− µB · σ

]

ψ

gdzie w przybliżeniu

µ = −1.9 |e|~2mN

,

a mN jest masą neutronu. Przyjmijmy, że pole magnetyczne zależy jedynie od czasu i ma postać

B(t) = (b cosωt,−b sinωt,B).

Rozwiązania równania Pauliego szukać w postać

ψ(r, t) = exp(

− i~(Ept− p · r)

)

χ(t), Ep =p2

2mN, χ(t) =

(

χ+(t)χ−(t)

)

.

Jakie równanie spełnia χ(t)? Rozwiązać to równanie i przedyskutować przypadek rezonansu.


Zadanie 10.3

Stan koherentny |α〉 definiujemy jako stan własny operatora anihilacji (wykład),

a|α〉 = α|α〉, α ∈ C.

Wyznaczyć jego rozkład w bazie Foka (przypomnieć co to jest) i wykazać ich zupełność, ale nieortogonalność. Wykazać, że dla stanów koherentnych w zasadzie nieoznaczoności Heisenbergajest równość.

Wyznaczyć ewolucję czasową stanu koherentnego pod wpływem Hamiltonianu oscylatoraharmonicznego

H = ~ω(

a†a+1

2

)

a następnie średnie położenie i pęd. Wykazać, że są to rozwiązania zagadnienia klasycznego.


Zadanie 10.4 ✍

Relatywistyczne równanie Kleina-Gordona dla cząstki bezspinowej w polu elektromagnetycz-nym o potencjałach φ i A ma postać (wykład)

−(

∂t +ie

~φ)2ψ =

m2c4

~2ψ − c2

(

∇− ie~A)2ψ.

Niech cząstka porusza się w polu kulombowskim

φ(r) =Ze

4πε0r, A = 0.

Odseparować zmienną czasową podstawieniem

ψ(r, t) = exp(−iEt/~)ψ(r)

a następnie wyznaczyć energie stanów związanych E. Przedyskutować wynik w granicy niere-latywistycznej uwzględniając wyrazy (mc2)1, (mc2)0 i (mc2)−1. Posłużyć się metodą omówionąprzy okazji potencjału Kratzera 8.1. Jak duże może być Z aby energie były rzeczywiste?

Zadanie 10.5 ❍

Dla równania Schrödingera w polu magnetycznym

i~∂tψ =[

1

2m

(

−i~∇− eA)2+ eφ

]

ψ

również zachowane jest prawdopodobieństwo. Tzn. jeśli zdefiniujemy gęstość prawdopodobień-stwa jako ρ = |ψ|2, to istnieje takie j (gęstość prądu prawdopodobieństwa) takie, że

∂tρ+∇ · j = 0.

Jaką postać ma j?



Zadanie 10.6 ❀

Dla równania Pauliego określić gęstość prądu prawdopodobieństwa j tak, aby spełnione byłoprawo zachowania

∂tρ+∇ · j = 0,w którym ρ = ψ†ψ.

Zadanie 10.7 ❀

Rozważmy dwa dowolne operatory a− i a+ spełniające warunek komutacyjny [a−, a+] = 1.Wykazać, że dla dowolnej funkcji f(z), dla której istnieje rozwinięcie w szereg Laurenta,

f(z) =∞∑

n=−∞

cn(z − z0)n,

gdzie z0 jest pewną liczbą zespoloną, zachodzi równość

[a−, f(a+)] =df(z)

dz

∣

∣

∣

∣

z=a+

.

Zadanie 10.8 ❀

Operator przesunięcia D(α) definiujemy wzorem

D(α) = eαa†−α∗a = eαa

†

e−α∗ae−|α|

2/2,

Wykazać, że stan koherentny jest przesuniętym stan próżni

|α〉 = D(α)|0〉 = e−|α|2/2eαa†e−α∗a|0〉 = e−|α|2/2eαa†|0〉.

Zadanie 10.9 ❀

Transformacją Bogoliubova nazywamy liniowe przekształcenie operatorów kreacji i anihilacji a†

i a,

b†= aa† + ba+ c, b = da† + ea+ f.

Jakie warunki muszą spełniać zespolone stałe a, b, c, d, e, f , aby b†i b były również operatorami

kreacji i anihilacji? Od ilu niezależnych zmiennych rzeczywistych zależy taka transformacja?


11 Stany koherentne i ściśnięte. Macierz gęstości.

11.1 Ćwiczenia

Zadanie 11.1

W zadaniu 6.11 wprowadziliśmy operator dylatacji D. Wyrazić go poprzez operatory kreacji ianihilacji dla każdej ze współrzędnych kartezjańskich.

Ograniczamy się następnie do przypadku jednowymiarowego. Wprowadźmy operator ściska-nia

S(λ) = eiλD

Wyznaczyć przetransformowane operatory kreacji i anihilacji

a†λ =S(λ)a

†S†(λ)

aλ =S(λ)aS†(λ),

i zdefiniujmy nowy stan próżni (nazywany próżnią ściśniętą) wzorem

aλ|λ; 0〉 = 0.

wyznaczyć w tym stanie średnie położenie i pęd oraz ich dyspersję. Jaką ma postać ten stan wreprezentacji położeniowej.

Zadanie 11.2

Zbiór wszystkich operatorów liniowych działających w skończenie wymiarowej przestrzeni Hil-berta H jest również przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem

〈A|B〉 = TrA†B.

Niech w d-wymiarowej przestrzeni Hilberta zbiór wektorów |n〉, n = 1, . . . d tworzy bazę orto-gonalną. Wykazać, że zbiór operatorów |n〉〈m| jest bazą ortogonalną w zbiorze operatorów.

Wybierzmy przestrzeń dwuwymiarową. Wykazać, że macierze Pauliego wraz z macierzą jed-nostkową tworzą bazę ortogonalną w przestrzeni operatorów. Oznacza to, że każdy operatormożna przedstawić w postaci liniowej kombinacji

A = αI+ β · σ

Niech operator ρ działający w dwuwymiarowej przestrzeni Hilberta spełnia warunki

ρ† = ρ, Trρ = 1.

Jakie ograniczenia nakłada to na w ogólności zespolone liczby α i β? Przyjmijmy ponadto, żeTrρ2 = 1. Do jakich dalszych ograniczeń to prowadzi?

Niech ρ1 i ρ2 będą dwoma takimi operatorami spełniającymi powyższe warunki. Wykazać,że

Tr(ρ1ρ2) =1

2(1 + β1 · β2)


Zadanie 11.3

Wprowadzić i omówić właściwości operatora gęstości i wyprowadzić równanie Schrödinger dlaniego

˙ρ =1

i~[H, ρ]

Wyprowadzić równanie ruchu dla wektora β (zadanie 11.2), gdy hamiltonian ma postać

H = −µB(t) · σ

Omówić to równanie.


Zadanie 11.4 ❀

Wyznaczyć wektory i wartości własne hamiltonianu (B jest dowolnym wektorem stałym wczasie i przestrzeni)

H = −µB · σOznaczmy je odpowiednio symbolami |0〉 i |1〉 (wektory własne) oraz E0 i E1 (wartości własne).Zdefiniujmy następnie operator gęstości

ρ =1

Z (e−βE0|0〉〈0|+ e−βE1|1〉〈1|)

Wyznaczyć Z i średnie〈σ〉 = Tr(σρ)


12 Operacje kwantowe. Gęstość stanów.

12.1 Ćwiczenia

Zadanie 12.1

Wykazać, że w trójwymiarowej przestrzeni o objętości V ilość stanów kwantowych o pędach codo modułu nie większych niż p wynosi

N(p) =∫ p

0g(p)dp = (2s+ 1)

V

6π2~3p3

gdzie s jest spinem cząstki, a g(p) gęstością stanów

g(p) = (2s+ 1)V p2

2π2~3

Wyrazić N(p) i g(p) poprzez energię E = p2/2m.Uogólnić powyższe wzory na przypadki dwu- i jedno-wymiarowe.

Zadanie 12.2

Operacja kontrolowanego zaprzeczenia

Rozważmy dwie dwuwymiarowe przestrzenie Hilberta H1 i H2. Oznaczmy wektory bazytych przestrzeni jako |vi〉, |wj〉, i, j = 1, 2. Iloczynem tensorowym tych przestrzeni nazywamyprzestrzeńH =H1⊗H2 rozpiętą na wektorach |vi〉⊗|wj〉. W przestrzeni tej działają operatory,

które w ogólności mogą być dowolną kombinacją liniową operatorów postaci A ⊗ B, którychdziałanie na wektory bazy zdefiniowane jest związkiem

(A⊗ B)(|vi〉 ⊗ |wj〉) = (A|vi〉)⊗ (B|wj〉)

Uwaga: wektor |vi〉 ⊗ |wj〉 będziemy zapisywali w postaci |viwj〉 (ale kolejność jest tu istotna,tj. na ogół |viwj〉 6= |wjvi〉.

Dla wygody dwa wektory bazy (|vi〉 lub |wj〉) będziemy oznaczali symbolami |0〉 i |1〉. Zatembazę w H tworzą cztery wektory |00〉, |01〉, |10〉 i |11〉 (nazwijmy ją bazą kanoniczną).

W każdej przestrzeni Hi działa operacja Hadamarda H (nie mylić z Hamiltonianem) zdefi-niowana wzorami

H|0〉 = 1√2(|0〉+ |1〉), H|1〉 = 1√

2(|0〉 − |1〉)

Wykazać, że HH†= I = H

2np. posługując się reprezentacją macierzową.

Zdefiniujmy operację kontrolowanego zaprzeczenia UCNOT wzorem

UCNOT(|a〉 ⊗ |b〉) = |a⊕ b〉 ⊗ |b〉

gdzie symbol ⊕ oznacza dodawanie modulo 2. Napisać jej reprezentację macierzową.Zdefiniujmy nową operację V wzorem

V = (H⊗ I)UCNOT(H⊗ I)

Wykazać, żeUCNOT = (H⊗ I)V(H⊗ I)


Podać postać macierzową V w bazie kanonicznej, a następnie sprawdzić, że

V =1

2(I⊗ I+ I⊗ σz + σz ⊗ I− σz ⊗ σz)

gdzie σz jest z-ową macierzą Pauliego, dla której wektory bazy kanonicznej są wektorami wła-snymi, σz|0〉 = |0〉, σz|1〉 = −|1〉. Zdefiniujmy operację

R = I⊗ σz + σz ⊗ I− σz ⊗ σz

i określmy jej reprezentację macierzową. Wykazać, że

V = eiβeiαR

gdzie α = π/4, β = −π/4.Powiązać operację V, a pośrednio również UCNOT, z ewolucją czasową. W tym celu rozważmy

tzw. Hamiltonian Isinga oddziałujących dwóch spinów między sobą i z polem magnetycznym,

HIsing = B(I⊗ σz + σz ⊗ I) + Jσz ⊗ σz

Wykazać, że operacja V pokrywa się, z dokładnością do globalnej fazy, z ewolucją czasowąukładu dwóch spinów

U(t) = exp(

− i~HIsing · t

)

pod warunkiem, że B = −J i 4Jt = π~.

Zadanie 12.3

Jeśli starczy czasu, omówić protokół teleportacji qubitu.


Zadanie 12.4 ✍

Wykazać, że

UCNOT(I⊗ H)|00〉 = 1√2(|00〉+ |11〉).

Jak działa powyższa operacja na pozostałe stany bazy kanonicznej?

Zadanie 12.5 ❍

Określić stan powstały w wyniku działania operacji

σx ⊗ σx + σy ⊗ σy + σz ⊗ σz

na stan bazy |00〉.


J. Z. Kamiński 1 Wybrane aspekty ﬁzyki współczesnej 2011/2012

Documents

Transcript of J. Z. Kamiński 1 Wybrane aspekty ﬁzyki współczesnej 2011/2012