WM2_10/1

INFORMACJA!• Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu

Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców. Dla właściwego ich wykorzystania konieczny jest komentarz osoby rozumiejącej treści zawarte w prezentacjach.

• Dla studentów jest to tylko materiał uzupełniający do studiów w bezpośrednim kontakcie z prowadzącymi, a także ułatwiający zrozumienie treści podręczników.

• Przedstawiana wersja jest pierwszą edycją wykładów przeprowadzonych w roku ak. 2009/10 i wymagać może poprawek i uzupełnień. Pobierający te materiały proszeni są o przesyłanie swoich uwag na adres e-mailowy autora: mc@limba.wil.pk.edu.pl.

HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE

WM2_10/3

Hipotezy wytężeniowe

Znajomość stanu naprężenia i deformacji w każdym punkcie konstrukcji (naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia) jest podstawą do wymiarowania jej elementów, t.j. przyjęcia wymiarów zapewniających bezpieczną i funkcjonalną użyteczność całej konstrukcji.

W najprostszym przypadku wytrzymałościowym, tj. w przypadku jednoosiowego rozciągania zadanie to jest stosunkowo proste, gdyż zarówno macierz naprężeń jak i odkształceń są reprezentowane prze z jeden składnik ( lub ), a przemieszczenie w kierunku osi pręta jest równomiernie rozłożone na jego długości.

1 1

Łatwo jest również przeprowadzić doświadczenie w celu wyznaczenia charakterystyk materiałowych: modułu Younga, współczynnika Poissona, granicy sprężystości, wytrzymałości doraźnej i ustalicć wielkość dopuszczalnego naprężenia eksploatacyjnego.

1

1arctgE

RH

Rm

ekspl<<Rm

ekspl<RH

ekspl = 1 =RH /s

ekspl

s-1

współczynnik bezpieczeństwa

?

WM2_10/4

Hipotezy wytężeniowe

W przypadkach bardziej złożonych, w których występuje więcej niż jedna składowa stanu naprężenia (np. w przypadku zginania poprzecznego) pojawia się pytanie w jaki sposób określić stan niebezpieczny (w przypadku wymiarowania w zakresie sprężystym – granicę stosowalności prawa Hooke’a).

zx

zx

xz

xz

xxx

z

x

1

2

2

1

1

2z

x2

1

Czy musza być tu spełnione dwa warunki:

x< H x< H

gdzie H i H byłyby niezależnymi granicami sprężystości na rozciąganie i na ściskanie?

Przejście do układu naprężeń głównych również nie wyjaśnia tej sprawy, gdyż np. suma obu naprężeń głównych może dawać wektor naprężenia o module większym niż RH …

1

2

p |

1

2

Potrzebne jest więc przyjęcie HIPOTEZY, określającej co decyduje o osiągnięciu stanu

niebezpiecznego

WM2_10/5

Hipotezy wytężenioweW najogólniejszym przypadku stanu naprężenia gdy wszystkie składowe stanu naprężenia są nie-zerowe (nie-zerowe są wszystkie trzy naprężenia główne) wytężeniem można nazwa pewną funkcję w przestrzeni 9-wymiarowej przestrzeni składowych macierzy naprężeń (lub w 3-wymiaorwej przestrzeni naprężeń głównych)

)()( ijij fFW

niebezpW

W jednoosiowym stanie naprężenia: )( 00 FW Zażądamy, aby wytężenie w danym stanie przestrzennym było takie same jak w stanie jednoosiowym:

)()( 0 FF ij

Rozwiązanie tego równania ze względu na 0: )(0 ij nazywamy naprężeniem zastępczym wg. przyjętej hipotezy, określającej postać

funkcji F a więc i funkcji

WM2_10/6

Hipotezy – logika rozumowania23

22

21

2 pW

221 ,, f200 W

NR 023

22

21

10 0

N

N

R

R

Niech miarą wytężenia będzie:

TAKA HIPOTEZA NIE JEST ZNANA

ALE ISTNIEJE BARDZO DO NIEJ „PODOBNA”

321 ,,max WmJEST TO HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A

Dla tej hipotezy funkcja f jest nieanalityczna (nieciągłości pochodnych na krawędziach)

NR

0WW

pmW

1

2

3

NR

NR

Stosunek:

określa „odległość” od stanu niebezpiecznego.

wektor, którego składowymi są naprężenia główne

p

Tę odległośc możemy interpretować jako „wytężenie” materiału w danym punkcie.

WM2_10/7

NR1

HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A

321 ,,max Wm

NR2

NR3

NN RR 1

NN RR 2

NN RR 3

NRNR

NRNR

NR

NR

1

2

3

Widać, że jest to materiał o takich samych własnościach wytrzymałościowych we wszystkich kierunkach.

Ponieważ określenie materiał izotropowy jest zarezerwowane dla odkształcalności (w zakresie sprężystym: prawo Hooke’a ma tylko dwie niezależne stałe materiałowe) musimy tu użyć bardziej precyzyjnego określenia: „materiał izotropowy ze względu na wytrzymałość”

WM2_10/8

NR1

HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A

321 ,,max Wm

NR2

NR3

NN RR 1

NN RR 2

NN RR 3NR

NR

NRNR

NR

NR

1

2

3 Materiał o własnościach wytrzymałościowych odpowiadających tej hipotezie można nazwać nie tylko izotropowym (wartości naprężeń niebezpiecznych są takie same dla każdego kierunku) ale i izonomicznym (wartość naprężenia niebezpiecznego jest taka sama przy rozciąganiu jak i przy ściskaniu).

WM2_10/9

HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A

1

1 1

1

NR1

NR2

Wytężenie 100%

Wytężenie 80%

Wytężenie 60%

Wytężenie 40%

Wytężenie 0%

1

1 1 NR1

NR21

WM2_10/10

HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A

scNR

1

2rNR

rNRsc

NR

Materiał o cechach wytrzymałościowych:Izotropowych (takich samych w obu kierunkach)Iznomicznych (własności przy rozciąganiu takie same jak przy ściskaniu)

Materiał o cechach wytrzymałościowych:Izotropowych (takich samych w obu kierunkach)An-iznomicznych (własności przy rozciąganiu inne niż jak przy ściskaniu)

scN

rN RR

scN

rN RR

Materiał niewrażliwy na ściskania. Odpowiada to hipotezie wytężeniowej GALILEUSZA:

321 ,,max Wm

gdzie

aa gdy

a>0

0 gdy

a<0

WM2_10/11

HIPOTEZA COULOMBA-TRESCI-GUESTA

scNR

1

2rNR

rNRsc

NR

rNR1

rNR2

12

0

0T

Jest to przypadek czystego ścinania – np. skręcanie.

Jednoosiowe rozciąganie

Wiele materiałów wykazuje wrażliwość właśnie na ściananie

Ten sześciobok przestawia hipotezę Tresci-Guesta, wg. której miarą wytężenia materiału jest największe naprężenie styczne

1332210 ,,max

321 ,,max Wm

W jednoosiowym stanie naprężenia:

2

max0 oWm

2

,2

,2

max 133221 Wm

WM2_10/12

HIPOTEZA HUBERA-MISESA-HENCKY’EGO

NR

1

2

NR

NRNR DDm fW 2

1

W jednoosiowym stanie naprężenia:

Nieznaczną z punktu widzenia ilościowego, ale znaczącą poprawkę do hipotezy Tresci-Guesta wniosła hipoteza Hubera-Misesa-Hencky’ego

Wg tej hipotezy o wytężeniu decyduje wielkość zgromadzonej energii odkształcenia postaciowego:

AADDvf 2

1

2

1

Po wykorzystaniu prawa Hooke’a można ją wyrazić przez naprężenia:

2132

322

212

6

13

4

1 GG mijijf

20

0 26

1 Gf 213

232

2210

2

1

W przestrzeni naprężeń głównych jest to walec o osi równo nachylonych do osi układu. Jego przecięciem z płaszczyzną jest elipsa pokazana rysunku.03

WM2_10/13

ZESTAWIENIE OMÓWIONYCH HIPOTEZ

NR

1

2

NR

NRNR

NR

1

2

NR

NRNR

NR

1

2

NR

NRNR

Hipoteza

Miara wytężenia

Obraz 3D

Obraz 2D

GCR CTG HMH

Największe . napr. normalne

Największe napr. styczne

Energia odkszt. postaciowego

Sześcian o boku 2R

Graniastosłup o osi równo nachylonej do osi układu

Walec o osi równo nachylonej do osi układu

Naprężenie zastępcze w 2D

210 ,max( 210 21

22

210

Naprężenie dla belek

220 42

1xyxx 22

0 4 xyx 220 3 xyx