II Tutorial z Metod Obliczeniowych

Rozwiązywanie prostych tarcz w płaskim stanie naprężenia przy wykorzystaniu skryptu napisanego w programie Matlab.

Karol DaszkiewiczKoło Naukowe Mechaniki Budowli KoMBo

Dany układ o narzuconej siatce elementów skończonych w PSN:

Numeracja węzłów oraz elementów skończonych

Numeracja węzłów oraz elementów skończonych

- Węzły i elementy można numerować w dowolny sposób

- Dla analizowanego układu istnieje 7!=7*6*5*4*3*2*1=5040 różnych

numeracji węzłów

- Numeracja węzłów i elementów nie ma wpływu na uzyskane w skrypcie

wyniki: przemieszczenia, odkształcenia, naprężenia, siły …

- Numeracja węzłów determinuje numerację stopni swobody w

analizowanym układzie w następujący sposób:

[ Nr stopnia swobody w kierunku x ] = [ nr węzła ]*2 – 1

[ Nr stopnia swobody w kierunku y ] = [ nr węzła ]*2

Numeracja stopni swobody na podstawie numeracji węzłów

Numeracja stopni swobody na podstawie numeracji węzłów

- Numeracja węzłów determinuje numerację stopni swobody w analizowanym

układzie w następujący sposób:

[ Nr stopnia swobody w kierunku x ] = [ nr węzła ]*2 – 1

[ Nr stopnia swobody w kierunku y ] = [ nr węzła ]*2

- Ponieważ numeracja stopni swobody jest obliczana na podstawie wzorów, to nie

musimy jej wprowadzać do programu Matlab, gdyż policzy on ją sobie sam

- Numeracja stopni swobody jest potrzebna przy definiowaniu warunków podparcia

oraz obciążeń

Definiowanie danych wejściowych

- W PSN jednemu węzłowi są przypisane 2 stopnie swobody: translacja na kierunku x, translacja na kierunku y

- Przyjmujemy, że analizowana tarcza ma jednostkową grubość

Określenie współrzędnych węzłów

Zdefiniowanie macierzy [wsp], określającej współrzędne wszystkich węzłów

- Układ globalny przyjmujemy dowolnie- Dla przyjętego układu współrzędnych, w macierzy [wsp] wpisujemy współrzędne

(x,y) kolejnych węzłów w następujący sposób:[ wsp ] = [nr węzła, współrzędna x, współrzędna y]

Zdefiniowanie macierzy [wezly] określającej węzły poszczególnych elementów skończonych

Zdefiniowanie macierzy [wezly] określającej węzły poszczególnych elementów skończonych

- Przy podawaniu kolejnych węzłów dla każdego elementu należy pamiętać, że podajemy je w kolejności przeciwnej do ruchu wskazówek zegara

- Natomiast nie ma znaczenia który węzeł wpiszemy jako pierwszy dla danego elementu

- Dla przyjętej numeracji węzłów, w macierzy [wezly] wpisujemy numery elementów oraz odpowiadające im numery kolejnych węzłów w następujący sposób:[ wezly ] = [nr elementu, węzeł nr 1, węzeł nr 2, węzeł nr 3 ]

Uwzględnienie warunków podparcia układu poprzez definicję macierzy [ bcdof ] oraz [ bcval ]

Uwzględnienie warunków podparcia układu poprzez definicję macierzy [ bcdof ] oraz [ bcval ]

- W macierzy [bcdof] podaje numery zablokowanych stopni swobody - W macierzy [bcval] definiuje odpowiadające zablokowanym stopniom swobody

przemieszczenia- Dla zdecydowanej większości będą one równe zero, jednak w przypadku istnienia

jakiejś imperfekcji, należy jej wartość wpisać w macierzy [bcval]

Definicja wektora obciążeń węzłowych

Etap obliczeń

- Na podstawie wprowadzonych danych skrypt wykonuje obliczenia automatycznie, więc rola użytkownika ogranicza się do ich zdefiniowania

- Pod tym względem program jest podobny do komercyjnych programów metody elementów skończonych

- Jednak w przeciwieństwie do tych programów obliczeń nie wykonuje „czarna skrzynka”, lecz funkcje zdefiniowane przez nas w Matlabie

- Umożliwia to nam prześledzenie w jaki sposób są wykonywane obliczenia oraz łatwą ewentualną ich modyfikację

Obliczenie macierzy konstytutywnej D

Dla elementu w płaskim stanie naprężenia zależność między naprężeniami i odkształceniami wyraża macierz konstytutywna następującej postaci:

W skrypcie macierz konstytutywna dla danych E i v jest definiowana za pomocą funkcji: D_zw_konst(E,v)

Obliczenie macierzy sztywności elementu k

Agregacja globalnej macierzy sztywności K

Uwzględnienie warunków brzegowych przezmodyfikację globalnej macierzy sztywności

Obliczenie przemieszczeń węzłowych

Niewielka wartość obciążenia sprawiła, że w kierunku x decydujący wpływ na uzyskane wartości przemieszczeń miała imperfekcja.

Obliczenie odkształceń i naprężeń we wszystkich elementach

Obliczenie sił elementowych

Obliczenie sił elementowych

- Podane powyżej wartości zostały zaokrąglone do liczb całkowitych- W kolejnych wierszach znajdują się wartości sił elementowych dla kolejnych elementów- Np. w drugim wierszu znajdują się wartości sił elementowych dla drugiego elementu

skończonego - W pierwszej, trzeciej i piątej kolumnie znajdują się siły elementowe działające na kierunku

x, dla węzłów w takiej kolejności jak zostały one zdefiniowane w macierzy [wezly]- Natomiast w drugiej, czwartej i szóstej kolumnie znajdują się siły elementowe działające

na kierunku y, dla węzłów w takiej kolejności jak zostały one zdefiniowane w macierzy [wezly]

Narysowanie sił elementowych i obliczenie reakcji

Narysowanie sił elementowych i obliczenie reakcji

- Przy rysowaniu sił elementowych dla danego węzła należy zwrócić uwagę na znak siły elementowej, który decyduje o zwrocie działania siły

- Jeśli siła elementowa ma wartość ujemną, to działa w kierunku przeciwnym do kierunku przyjętego w węzłowym układzie lokalnym

- W celu weryfikacji uzyskanych sił elementowych należy sprawdzić czy w każdym węźle spełniony jest warunek równowagi dla obu kierunków

- W celu obliczenia reakcji należy zsumować wszystkie siły elementowe działające w danym węźle na kierunku reakcji

- Zarówno dane jak i wyniki należy podać w układzie SI (m,N,Pa)

Dziękuje za uwagę