Hydrodynamik Kontinuitatsgleichung¨ A2, rho2, v2 A1, rho1 ... · Bernoulli 2.Newton’sches...

Hydrodynamik

Kontinuitatsgleichung

A2, rho2, v2

A1, rho1, v1 Stromröhre

Massenerhaltung: ρ1v1A1︸︷︷︸m1

= ρ2v2A2︸︷︷︸m2

Massenfluss

inkompressibles Fluid: (ρ1 = ρ2 = konst)

Erhaltung des Volumenstroms : v1A1︸︷︷︸

Q1

= v2A2︸︷︷︸

Q2

Volumenstrom

1

Hydrodynamik

BeispielRohrstromung: A = konst

geschlossene Stromrohre

Wasserstrahl

m

��

��

3

m1

m2

geschlossenes Kontrollvolumenm1 = m2 + m3

2

Kontinuit at

WICHTIG: In der 1-dimensionalen Kontinuit atsgleichung ist ~vein Mittelwert der Geschwindigkeit. In Wirklichkeit ist ~v nichtkonstant wegen Reibungseffekten, Wirbeln, . . .!

x

y

h

Realitat~v = ~v(y)

~v ist konstantin der Kontinuitatsgleichung

Der Massenstrom muß der Gleiche sein

−→∫

ρv(y) dy = ρvh

3

Bernoulli

2.Newton’sches Gesetz:Masse × Beschleunigung = Summe der außeren Krafte

m · d~v

dt=∑

Fa

Bewegungsgleichung fur ein infinitesimales Element entlang einerStromlinie

sz

g

ρd~v

dt= −∂p

∂s− ρg

dz

ds− R‘

��

�

Tragheit

Druck

��

�

Gravitation

Reibung

4

Bernoulli

entlang einer Stromlinie: v = v(s, t)

d~v =∂~v

∂tdt +

∂~v

∂sds

−→ d~v

dt=

∂~v

∂t+

ds

dt

∂~v

∂s=

∂~v

∂t+ v

∂~v

∂s

totale

(substantielle)

Beschleunigung

eines Partikels

��

lokale Beschleunigung

konvektive Beschleunigung

5

Beispiel

v(x)

A

v1(t) v2(t)

ρ

DiffusorRohrströmung

v0 = konst

A, ρ = konst

−→ v1(t) = v2(t)

nur lokale Beschleunigung nur konvektive Beschleunigung

6

Beispiel

Annahmen:

• inkompressibel (ρ = konst)

• reibungsfrei (R‘ = 0)

• stationar ∂∂t = 0

• konstante Gravitation (~g = konst)

ρ[∂v∂t + v∂v

∂s

]

= −∂p∂s − ρgdz

ds −R‘

= 0 = 0

f (s) −→ ∂∂s = d

ds

1

2ρ

dv2

ds= − dp

ds− ρg

dz

ds−→ ρ

2v2 + p + ρgz = konst

7

Druckmessung

statischer Druck: p (Index: 1, 2, a, ∞)

��

��

��

��

��

p

p1

Totaldruck (Pitotrohr): p0, p01, p02, pt

p0 = p + 12ρv2 + ρgh

bei konstanter Hohe ∆h = 0

−→ p0 = p + 12ρv2

8

Druckmessung

Potentialdruck: ppot = ρgh

��

��

h

dynamischer Druck: pdyn = 12ρv2

die kinetische Energie wird umgewandelt, wenn die Stromung auf~v = 0 verzogert wird

9

6.4

Aus einem großen Uberdruckbehalter stromt Wasser ins Freie. Zwi-schen den Querschnitten A1 und A2 wird die Druckdifferenz ∆p ge-messen.

A1 = 0, 3 m2, A2 = 0, 1 m2,A3 = 0, 2 m2, h = 1 m,ρ = 103 kg/m3, pa = 105 N/m2,∆p = 0, 64 · 105 N/m2 g = 10 m/s2

Bestimmen Siea) die Geschwindigkeiten v1, v2, v3,b) die Drucke p1, p2, p3 und den Druck p uber dem Wasserspiegel!

10

6.4

Druckbehalter mit Duse

z

12 3

pB h = konst.

gut gerundeter Einlass

Venturiduse

11

6.4

Erhaltung der Gesamtenergie entlang einer Stromlinie (qualitativ)p

p

s

pp

B

1 2

p3 = pa

rho g h

1/2 rho v1**2

1/2 rho v2**2

1/2 rho v3**2

Bernoulli: p0 = pB + ρgh = pi +1

2ρv2

i

12

6.4

Kontinuitat (Massenbilanz): =⇒ = m = ρQ = konst.

ρ = konst =⇒ v1A1 = v2A2 = v3A3 =⇒ A ↓ =⇒ v ↑ =⇒ p ↓

a) gemessen ∆p = p1 − p2 Bernoulli: p1 + ρ2v

21 = p2 + ρ

2v22

=⇒ ∆p = p1 − p2 =ρ

2(v2

2 − v21) > 0

v1 = v2A2

A1→ ∆p =

ρ

2

[

1 −A2

2

A21

]

v22 −→ v2 =

√√√√√

2

ρ

∆p(

1 −(

A2A1

)2) = 12

m

s

v1 = v2A2

A1= 4

m

sv3 = v2

A2

A3= 6

m

s

13

6.4

Die Venturiduse dient zur Massen- und Volumenstrommessun g!

Q = vA = v2A2

Prinzip:

• Messung von ∆p

• Berechnung von v2

• Berechnung von Massen- und Volumenstrom

14

6.4

b) Berechnung der Drucke pB, p1, . . . , p3

p0 stellt die Energie dar, die in kinetische Energie umgewandelt wer-den kann.

p0 = pB + ρgh = p1 +ρ

2v21 = p2 +

ρ

2v22 = p3 +

ρ

2v23

Wenn ein Druck bekannt ist, konnen die anderen mithilfe der Bernoulli-Gleichung berechnet werden.

p3 im Austrittsquerschnitt

Annahme: parallele Stromlinien amscharfkantigen Austritt

��

��

��

��

15

Bewegungsgleichung fur ein Element

��

��

��

��

��

��

��

x z

p(x+dx)dA

��

��

��

��

��

��

p(x)dA

g

Bewegungsgleichung in x-Richtung fur ein mitbewegtes Kontrollvo-lumendAdx (enthalt immer die gleichen Partikel)

16

Bewegungsgleichung fur ein Element

mdudt = xρdAdx = p(x)dA − p(x + dx)dA

−→ xρdAdx = p(x)dA −(

p + ∂p∂xdx

)

dA −→ ρx = −∂p∂x

Annahme: parallele Stromlinien

−→ x = 0 Geschwindigkeit u = dxdt = x

−→ notwendige Bedingung: x = 0 −→ ∂p∂x = 0

=⇒ der Druck im Austrittsquerschnitt ist eine Funktion von y

Stromung in Luft:dp

dy= −ρg

Vern. der pot. Energie von Luft −→ pAustritt = pUmgebung = konst.

17

6.4

p3 = pa

Bemerkung:

Bernoulli: 0 −→ 3

pB + ρgh = pa + 12ρv2

3

−→ v3 =√

2ρ (pB − pa + ρgh)

offener Behalter pB = pa

−→ v3 =√

2gh 6= f (A3) Theorem von Torricelli (15.Okt. 1608 -25.Okt. 1647)

18

erweiterter Bernoulli

A Av1

2

rho = const.

Delta h ~ Delta p

2v

1

Verengung

Theoretischer Volumenstrom: Qth fur reibungsfreie Stromung

1. Bernoulli: p1 +ρ

2v21 = p2 +

ρ

2v22

2. Kontinuitat: v1A1 = v2A2

19

erweiterter Bernoulli

Verhaltnis der Querschnitte: m =A2

A1: −→ Konti v1 = v2m

−→ Bernoulli:p1

ρ+

1

2v22m

2 =p2

ρ+

1

2v22

−→ v22

(

1 − m2)

= 2p1 − p2

ρ= 2

∆p

ρ

−→ v2 =

√

2∆p

ρ(1 − m2)

−→ Qth = A2

√

2∆p

ρ(1 − m2)

20

erweiterter Bernoulli (Forts.)

In der Realitat entstehen Verluste durch Dissipation, Wirbel, . . .−→ Die Reibung muss berucksichtigt werden.

Die Verluste und die Kontraktion werden in derDurchflusszahl α zusammengefasst.

Wirbel, Dissipation

Qreal = αA2

√

2∆p

ρ

α aus Experimenten

Die Stromung in Rohren kann ebenfalls so bestimmt werden.

21

erweiterter Bernoulli (Forts.)

Druckverluste

• durch Rohrreibung (Durchmesser D, Lange L): ∆pv = λLD · 1

2ρv2

• in Einbauten (Krummer, Verengung, . . .): ∆pv = ζ · 12ρv2

Rohrreibungsbeiwert: λ =∆pv12ρv2

· D

L=

Druckverlustdynamischer Druck

· D

L

Verlustbeiwert: ζ =∆pv12ρv2

=Druckverlust

dynamischer Druck

−→ v =1√ζ

√

2∆p

ρ(1 − m2)=⇒ Q = v · A =

1√ζ

A

√

2∆p

ρ(1 − m2)

(Experimente, Standards −→ Katalog)

22

Hydrodynamik: unstetiger Bernoulli

rho

h(t)v

A

A

v

0

1

0

1

1

0

AnnahmeA1

A0≪ 1 −→ v0 ≪ v1

v0 ist vernachlassigbaraber h = h(t) und v1 = v1(t)

unstetiger Bernoulli von “0” nach “1”

pa +ρ

2v20(t) + ρgh(t) = pa +

ρ

2v21(t) +

1∫

0

ρ∂v

∂tds

Annahme v1(t) =√

2gh(t)

Kontinuitatsgleichung: v1(t)A1 = −dh

dtA0

−→ Differentialgleichung fur h(t)

23


LD

v (t)

s

1

“gut gerundeter” Einlass

Annahme:

s < − D√8

: radiale Stromung mit Q = v · 2πs2

s ≥ − D√8

: v = v1

24


Potentialstromung ohne Verluste −→ Bernoulligleichung

L∫

−∞

∂v

∂tds =

−D/√

8∫

−∞

∂v(s)

∂tds +

L∫

−D/√

8

∂v1

∂tds

=−D/

√8∫

−∞∂∂t

(

v1πD2

42πs2

)

ds +L∫

−D/√

8

∂v1∂t ds

=dv1(t)

dt

−D/√

8∫

−∞

D2

8s2ds +

dv1(t)

dt

L∫

−D/√

8

ds

25


=

(D√

8+ L +

D√8

)

· dv1(t)

dt=

(D√

2+ L

)dv1(t)

dt︸︷︷︸

gut gerundeter Einlass

wenn L ≫ D −→L∫

−∞

∂v

∂tds = L · dv1(t)

dt

26

Beispiel: Rohr aus einem grossen Tank

��

��

s

z

h

g

h

L

D

AL

0 1

2 3

4

11

L = 20m ≫ D, L1 = 5m

h = 5m

ρ = 103 kgm3, g = 10m

s2

a) Zu welchem Zeitpunkt nach dem Offnen des Ventils erreicht dieStromung 99 % ihrer Endgeschwindigkeit?

b) Um wieviel unterscheidet sich dann der Druck im Punkt “A” vonseinem Endwert?

27


a) Bernoulli 0 → 4: pa + ρg(h + s) = pa + ρgs +ρ

2v24 + ρ

s4∫

s0

∂v

∂tds

gut gerundeter Einlass:

s4∫

s0

∂v

∂tds = L

dv4

dt

−→ ρgh =ρ

2v24 + Lρ

dv4

dt−→

∫ T

0dt =

0.99ve∫

0

Ldv4

gh − v242

28


Integration

T = 2L

0.99√

2gh∫

0

dv4

2gh − v24

=L√2gh

ln

√2gh + v4√2gh − v4

∣∣∣∣

0.99√

2gh

0= 10.6 s

29

Beispiel (Forts.)

Die beschleunigte Stromung ist abhangig von L,aber v4(t → ∞) ist unabhangig von L.

b)

pa = pA + ρgh1 +ρ

2v24 + ρL1

dv4

dt

t → ∞ : pa = pA,∞ + ρgh1 +ρ

22gh

aus a)dv4

dt=

1

L

(

gh −v24

2

)

=⇒ pA − pA,∞ = ρgh(

1 − 0.992)(

1 − L1

L

)

= 746N

m2

30

Beispiel: beweglicher Kolben

D

L

s g

1

P

pa

h

In einem Rohr bewegt sich ein Kolben sinusformig: s = s0 · sin ωt

pa = 1 bar L = 10m ≫ D h = 2m g = 10ms2

s0 = 0.1m ρ = 103 kgm3 pD = 2500 N

m2

Bei welcher Winkelgeschwindigkeit ω wird am Kolbenboden der Dampf-druck pD erreicht?

31


pa = pP + ρgh +ρ

2v2P + ρ

sP∫

s1

∂v

∂tds

s0 ≪ L −→sP∫

s1

∂v

∂tds = L

dvP

dt

pP = pa − ρgh + ρs0ω2(

L sin ωt − s0

2cos 2ωt

)

pP,min = pD

32


pD = pP,min bei cos ωt = 0 −→ dpP

dt= 0

=⇒ ω =

√

pa − pD − ρgh

ρs0L= 8.8 s−1

33

6.6

Die Klappe am Ende der Ausstromleitung (konstante Breite B) einesgroßen Behalters wird plotzlich geoffnet. Es stellt sich eine verlust-freie Stromung ein.

Gegeben: H, h1, h2, g, L ; L >> h1

34

6.6

Bestimmen Sie

a) die Differentialgleichung fur die Ausstromgeschwindigkeit v3b) - die lokale Beschleunigung

- die konvektive Beschleunigung- die substantielle Beschleunigung

an der Stelle x = L2 zu dem Zeitpunkt, an dem die Ausstromge-

schwindigkeit die Halfte des stationaren Endwertes erreicht hat!

Hinweis: Zur Losung der Aufgabe ist die Berechnung von v(t) nichterforderlich.

35

6.6

Bernoulli von ”0” nach ”3”

pa + ρ g H = p3 +ρ

2v23 +

3∫

0

ρ∂v

∂tds , p3 = pa

Aufspaltung des Integrals1∫

0

ρ∂v

∂tds ≈ 0(h1 << L)

2∫

1

ρ∂v

∂tds , v = v2

h2

h, h = h1 +

h2 − h1

Lx

36

6.6

⇒ ρdv2

dt

2∫

1

h2

h1 +h2 − h1

Lx

dx = ρdv2

dt

h2 L

h2 − h1ln

h2

h1= ρ

dv2

dtL

ρ

3∫

2

∂v

∂tds = ρ L

dv2

dt

in Bernoulli einsetzen

pa + ρ g H = pa + ρ2 v2

3 + ρ dv3dt (L + L)

dv3dt = 1

L + L

(

g H − v232

)

t → ∞ : g H − 12 v2

3e = 0 =⇒ v3e =√

2 g H

37

6.6

lokale Beschleunigung:

bl =∂v

∂t=

dv3

dt

h2

h, b

l (v3=12 v3e, x=L

2 )=

1

L + Lg H

3

4

2 h2

h1 + h2

konvektive Beschleunigung:

v = v2h2h

∂v∂x = −v2h2

1h2

dhdx

bk = v ∂v∂x = − v2

3h2

2h3

dhdx , dh

dx = h2−h1L

bk(v3=

12 v3e, x=L

2 )= 4 g H

Lh2

2 (h1−h2)

(h1+h2)3

38

6.6

substantielle Beschleunigung:

bs = bl + bk =3

2

g H

L + L

h2

h1 + h2+ 4

g H

L

h22 (h1 − h2)

(h1 + h2)3

39

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