Homologia Basica E. Lima

8/22/2019 Homologia Basica E. Lima

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ConteudoPrefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Prefacio da segunda edicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i i i

Captulo I . Homologia f ormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Complexo de cadeias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Homotopia algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Sequencias e xatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4. Cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125. Limites indutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Captulo II. Cohomologia de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1. O complexo de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Invariancia homotopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. A sequencia de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

4. Cohomologia com suportes compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5. Recobrimentos vs cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6. O Teorema de Jordan-Brouwer topologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7. O Teorema de Dualidade de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8. O grau de uma aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9. Cohomologia de um compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10. A sequencia exata de Cech-Alexander-Spanier . . . . . . . . . . . . . 72

Captulo III. Homologia Simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

1. Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2. O complexo simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3. Primeiros exemplos de homologia simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4. Subdivisao b aricentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5. Aproximacao simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6. Pseudo-variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 19

7. O Teorema dos Pontos Fixos de Lefschetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8. Homologia ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9. Cohomologia simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

10. O anel de cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146


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CONTEUDO

Captulo IV. Homologia Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

1. Primeiras definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

2. Invariancia homoto p i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 5

3. Subdivisao baricentrica em homologia singular . . . . . . . . . . . . . 157

4. Cohomologia singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5. Teorema de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6. Cohomologia em termos da homologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Captulo V. Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 90

Referencias Bibliograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Indice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199


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Prefacio

A Topologia Algebrica pode ser considerada como o estudo de

functores, cada um dos quais vai de uma categoria de espa cos to-

pologicos a uma categoria de natureza algebrica. Um exemplo de

functor desse tipo e o grupo fundamental, visto no livro [GFER],

publicado pelo Projeto Euclides.

O presente livro se ocupa de grupos de homologia. Uma teoria

de homologia e um metodo de associar a cada espaco topologico

de uma certa categoria uma serie de grupos (ou, mais geralmente,

modulos), chamados os grupos de homologia desse espaco, de tal

maneira que espacos homeomorfos tem grupos de homologia isomor-

fos. Diferentemente do grupo fundamental, os grupos de homologia

sao abelianos.

No Captulo I sao apresentadas, de modo abstrato, as nocoes

algebricas e a linguagem homologica adequada, para uso nos tres

captulos seguintes, cada um dos quais dedicado a uma teoria de

homologia referente a um tipo de espaco topologico.

Os Captulos II, III e IV sao basicamente independentes, po-

dendo ser lidos em qualquer ordem, embora o procedimento reco-

mendavel seja seguir a ordem em que sao apresentados.

O Captulo II trata da cohomologia de de Rham, que e baseada

nas formas diferenciais numa variedade. Para simplificar a apre-

sentacao (sem perder a generalidade), as variedades aqui conside-

radas acham-se todas mergulhadas no espaco euclidiano. Isto fazcom que os seus espacos tangentes sejam mais visveis e, principal-

mente, poe a nossa disposicao a vizinhanca tubular, instrumento

conveniente em varias situacoes. Neste captulo sao demonstra-

dos teorema classicos importantes como as dualidades de Poincare


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PREFACIO

e de Alexander, o teorema de separacao de Jordan-Brouwer e ainvariancia topologica dos abertos do espaco euclidiano. E ainda

mostrado como, mediante uma passagem ao limite, pode-se adap-

tar a cohomologia de deRham a conjuntos que nao sao variedades,

como os compactos do espaco euclidiano. Este captulo tambem

comeca a evidenciar a utilidade da sequencia de Mayer-Vietoris,

que sera amplamente empregada no restante do livro.

O Captulo III estuda os grupos de homologia dos poliedros. As

cadeias simpliciais nos levam de volta as ideias seminais de Poincare,

que foram aperfeicoadas, estendidas e aprofundadas sucessivamentepor Emmy Noether, S. Lefschetz, H. Hopf, J. Alexander e outros.

E introduzido o anel de cohomologia e e demonstrado o teorema

dos pontos fixos de Lefschetz.

O Captulo IV se ocupa da homologia singular, cuja abrangencia

inclui qualquer espaco topologico. E completada a tarefa de es-

tabelecer a compatibilidade das tres teorias estudadas no livro,

provando-se que, num espaco triangulavel, os grupos de homologia

simplicial e singular sao isomorfos e dando-se uma demonstracao do

Teorema de de Rham segundo o qual, numa variedade, os grupos

de cohomologia singular sao isomorfos aos grupos de cohomologia

de de Rham. E tambem demonstrado o teorema de Poincare, mos-

trando que o grupo de homologia singular de dimensao 1 e o grupo

fundamental abelianizado.

Este livro foi concebido como um texto introdutorio de Topolo-

gia Algebrica, ao nvel do incio de pos-graduacao.

Agradeco ao professor Cesar Camacho e aos estudantes do IMPA

Jorge Eric e Renato Vianna pelo leitura crtica do manuscrito. A

digitacao ficou a cargo de Wilson Goes, a quem tambem agradeco.

Rio de Janeiro, maio de 2009

Elon Lages Lima


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Prefacio da segunda edicao

Esta edicao traz algumas modificacoes no texto: diversas corre-

coes tipograficas, adicoes visando tornar mais claras certas demons-

tracoes e comentarios complementares e certos topicos. Alem disso,

foi acrescentado um captulo com exerccios. Quero agradecer aos

professores Armando Machado, Henrique Bursztyn e Fernando Codapelas valiosas observacoes crticas.

Rio de Janeiro, marco de 2011

Elon Lages Lima


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Captulo I

Homologia formal

Neste captulo sera feita uma breve apresentacao dos conceitos e

fatos basicos nos quais se fundamentam as diversas maneiras de de-

senvolver a teoria da homologia (e da cohomologia). De certo modo,

os captulos seguintes tratam de casos particulares das nocoes gerais

introduzidas aqui.

1 Complexo de cadeias

Seja A um anel comutativo com unidade. Um complexo de ca-

deias com coeficientes em A e uma sequencia C = (Cp, p) de A-

modulos Cp , p 0, inteiro, e homomorfismos p : Cp Cp1 tais

que p p+1 = 0. Escreve-se

C: Cp+1p+1 Cp

p Cp1 C1

1 C00 0.

Cada elemento x Cp e chamado uma p-cadeia ou uma ca-deia de dimensao p. Se px = 0, diz-se que x e um p-ciclo ou

simplesmente um ciclo.

O conjunto Zp dos p-ciclos e um submodulo de Cp . De fato, Zpe o nucleo do homomorfismo p : Cp Cp1 .

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2 [CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL

Se y = p+1 x, diz-se que a p-cadeia y e o bordo da (p + 1)-cadeia x. O conjunto Bp das p-cadeias que sao bordos de (p + 1)-

cadeias e um submodulo de Cp ; Bp e a imagem do homomorfismo

p+1 : Cp+1 Cp .

Cada homomorfismo p : Cp Cp1 e chamado de operador-

bordo. A menos que seja necessario ser mais explcito, escreve-se

em vez de p , de modo que x = 0 para toda cadeia x Cp .

A relacao fundamental p p+1 = 0 significa que todo bordo e

um ciclo, ou seja, que Bp Zp .

O A-modulo quociente Hp = Hp(C) = Zp/Bp chama-se o grupode homologia p-dimensional do complexo C com coeficientes em A.

Seus elementos sao as classes de homologia

[z] = z+ Bp = {z+ x ; x Cp+1}

dos ciclos z Zp . Se z e z sao ciclos p-dimensionais, tem-se

[z] = [z] se, e somente se, z z = x para algum x Cp+1 . Diz-se

entao que z e z sao ciclos homologos.

Se, para cada p 0, tivermos um submodulo Cp

Cp tal que

Cp+1 C

p entao, pondo

p = p | C

p , a sequencia C = (Cp,

p) e

um complexo de cadeias, chamado um subcomplexo de C.

Considerando, para cada p 0, o A-modulo quociente Cp =

Cp/C

p , existe um unico homomorfismo p : Cp Cp1 que torna

comutativo o diagrama abaixo

Cpp

Cp1

j j

Cp p Cp1 ,onde j e a aplicacao quociente. Por definicao, (jx) = j(x). E

claro que pp+1 = 0, logo a sequencia C = (Cp, p) e um complexo

de cadeias, chamado o quociente de C por C.


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[SEC. 1: COMPLEXO DE CADEIAS 3

Sejam X = (Xp, p) e Y = (Yp, p) complexos de cadeias, cujosoperadores-bordo indicamos com o mesmo smbolo p = . Um

morfismo f: X Y e uma sequencia de homomorfismos fp : Xp

Yp tais que fp(x) = fp+1(x) para todo x Xp . Isto significa que,

no diagrama abaixo, todos os retangulos sao comutativos

Xp+1

Xp

Xp1 X0

fp+1

fp

fp1

f0

Yp+1

Yp

Yp1 Y0

Segue-se das relacoes fp(x) = fp1(x) e fp(x) = fp+1(x)

que, para todo p 0, o homomorfismo fp : Xp Yp transforma p-

ciclos de X em p-ciclos de Y e p-bordos tambem, ou seja, fp(Zp(X))

Zp(Y) e fp(Bp(X)) Bp(Y); logo fp induz, por passagem ao

quociente, um homomorfismo (fp) : Hp(X) Hp(Y), definido por

(fp)[z] = [fp(z)] para toda classe [z] Hp(X) de um ciclo z

Zp(X).

Frequentemente se escreve apenas f : Hp(X) Hp(Y).

O homomorfismo induzido f : Hp(X) Hp(Y) e natural no se-

guinte sentido: se g : Y W e outro morfismo entre complexos de

cadeias, induzindo, para cada p 0 o homomorfismo g: Hp(Y)

Hp(W) entao o morfismo composto gf: X Winduz o homomor-

fismo (gf) : Hp(X) Hp(W) e tem-se (gf) = gf . Evidente-

mente, se id: X X e o morfismo identidade, entao id : Hp(X)

Hp(X) e a aplicacao identidade.

Segue-se imediatamente que se o morfismo f: X Y admite o

morfismo inverso g : Y X entao f : Hp(X) Hp(Y) e invertvel

para todo p 0, sendo (f)1 = g.

Exemplos obvios de morfismos entre complexos de cadeias seobtem a partir de um subcomplexo C C. A aplicacao de inclusao

i : C C e a projecao j : C C/C sao morfismos.

E da maior relevancia ressaltar que, embora i : Cp Cp seja in-

jetivo e j : Cp Cp/Cp seja sobrejetivo, essas propriedades nao sao


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necessariamente herdadas pelos homomorfismos induzidos i: Hp(C) Hp(C) e j : Hp(C) Hp(C/C).

Exemplo 1. Seja A o anel Z dos inteiros. Consideremos o com-

plexo C no qual C0 e o grupo abeliano livre gerado pelos smbolos

a, b, c (que podemos imaginar como os vertices do triangulo abc),

C1 e o grupo abeliano livre gerado pelos smbolos ab, bc, ca (lados

do triangulo) e C2 e o grupo cclico cujo gerador livre chamamos

de abc. Os grupos Cp com p > 2 sao todos iguais a zero. Os

operadores-bordo 2 : C2 C1, 1 : C1 C0 sao definidos assim:

(abc) = ab + bc + ca

(ab) = b a, (bc) = c b e (ca) = a c.

Obviamente, a = b = c = 0.

Ve-se sem dificuldade que = 0 em todas as dimensoes. Na

verdade, basta verificar que ((abc)) = 0.

E claro que, em dimensao 2, a cadeia nula e o unico ciclo, de

modo que H2(C) = {0}. Vejamos quais sao os ciclos de dimensao

1. Uma cadeia x C1 e da forma x = m ab + n bc + p ca, onde

m,n,p Z. Tem-se

x = (m ab + n bc + p ca) = m b m a + n c n b

+ p a p c = (p m)a + (m n)b + (n p)c.

Portanto x = 0 m = n = p x = m(ab + bc + ca).

Assim, o ciclo z = ab + bc + ca e o gerador de Z1(C). Como se

tem z = (abc), segue-se que Z1(C) = B1(C), portanto o grupo de

homologia H1(C) = Z1(C)/B1(C) e nulo.

Falta calcular H0(C). Toda 0-cadeia e, por definicao, um ciclo.

Portanto Z0(C) e o grupo abeliano livre gerado por a, b e c. Ja vimosque o bordo de uma 1-cadeia generica x = m ab + n bc + p ca

tem a forma y = x = (p m)a + (m n)b + (n p)c. Como

(p m) + (m n) + (n p) = 0, conclumos que se uma 0-cadeia

y = k1 a + k2 b + k3 c e um bordo entao k1 + k2 + k3 = 0. (A soma


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[SEC. 2: HOMOTOPIA ALGEBRICA 5

k1 + k2 + k3 chama-se o ndice da cadeia y.) Ora, mudando brus-camente de notacao, um exerccio elementar mostra que o sistema

de tres equacoes lineares x y = k1 , y z = k2 , z x = k3 tem

solucao se, e somente se, k1 + k2 + k3 = 0. Portanto uma 0-cadeia

e um bordo se, e somente se, seu ndice e zero. (Ou ainda: duas

0-cadeias sao homologas se, e somente se, tem o mesmo ndice.)

Assim, o homomorfismo In : C0 Z, que associa a cada 0-cadeia

seu ndice, tem como nucleo o conjunto B0 das cadeias que sao

bordos. Passando ao quociente, obtemos o isomorfismo C0/B0 Z,

ou seja, H0(C) Z, pois C0 = Z0 .Em suma: os grupos de homologia do complexo C sao H0(C) =

Z, H1(C) = H2(C) = {0}.

Exemplo 2. Com a notacao do Exemplo 1, consideremos o sub-

complexo C C no qual C2 = {0}, C1 = C1 e C

0 = C0 . Entao

H2(C) = {0} e H0(C) = H0(C) Z mas, como 2 = 0, tem-se

B1 = {0}, portanto H1(C) = Z1 Z. Assim, os grupos de ho-

mologia do subcomplexo C C sao isomorfos a Z nas dimensoes

0 e 1 e nulos nas demais dimensoes. Isto nos da um exemplo em

que o homeomorfismo i : H1(C) H1(C), induzido pela inclusaoi : C C, nao e injetivo.

Ainda neste exemplo, no complexo quociente C = C/C tem-se

C2 = C2 , C1 = C0 = {0}. Portanto H1(C) = H0(C) = {0} e

H2(C) e o grupo cclico infinito gerado pela classe de homologia

do 2-ciclo j(abc) C2 , onde j : C2 C2 = C2/C2 e a aplicacao

quociente. Portanto o homomorfismo induzido j : H2(C) H2(C)

nao e sobrejetivo.

2 Homotopia algebrica

Sejam X = (Xp, p) e Y = (Yp, p) complexos de cadeias e

f, g : X Y morfismos entre eles. Uma homotopia algebrica en-

tre f e g e uma sequencia de homomorfismos de A-modulos D =


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Dp : Xp Yp+1 tais que p+1Dp + Dp1p = fp gp , ou simples-mente D + D = f g : Xp Yp para todo p 0.

D

Xp Xp-1

D

Yp+1 Yp

f-g

A principal utilidade deste conceito reside no fato de que se

f, g : X Y sao morfismos algebricamente homotopicos, isto e, seexiste uma homotopia algebrica entre f e g, entao os homomorfis-

mos induzidos por f e g nos grupos de homologia coincidem, ou

seja, tem-se f = g : Hp(X) Hp(Y) para p = 0, 1, 2, . . .

Com efeito, sabendo que Dx + Dx = fp(x) gp(x) para toda

p-cadeia x Cp(X), se z Zp(X) e um p-ciclo tem-se z = 0 logo,

escrevendo y = Dz, resulta da que fp(z) gp(z) = y . Assim,

quando os morfismos f e g sao algebricamente homotopicos, as

imagens fp(z) e gp(z) de todo ciclo z Zp(X) sao ciclos homologos.

Logo,f[z] = [fp(z)] = [gp(z)] = g[z],

portanto f = g .

Nos captulos que se seguem, veremos diversas situacoes nas

quais a nocao de homotopia algebrica revelara sua utilidade.

3 Sequencias exatas

Uma sequencia de homomorfismos de A-modulos

. . . Mp+1fp+1 Mp

fp Mp1 . . .

chama-se exata quando o nucleo de cada homomorfismo fp e igual

a imagem do homomorfismo anterior fp+1 .


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[SEC. 3: SEQUENCIAS EXATAS 7

Uma sequencia exata e, portanto, um complexo de cadeias cujosgrupos de homologia sao iguais a zero em todas as dimensoes.

Numa sequencia exata, o homomorfismo fp e injetivo se, e so-

mente se, fp+1 = 0. Por sua vez, fp+1 e sobrejetivo se, e so-

mente se, fp = 0. Em particular, as sequencias 0 Mf

N

e Mg

N 0 sao exatas se, e somente se, f e injetivo e g e

sobrejetivo. Portanto, a sequencia 0 Mf

N 0 e exata se,

e somente se, f e um isomorfismo entre os A-modulos M e N.

Uma sequencia exata do tipo 0 Mi

Nj

P 0 chama-

se curta. Neste caso, i e injetivo, j e sobrejetivo e j1(0) = i(M).O exemplo tpico de uma sequencia exata curta e aquele em que

M e um submodulo de N, i : M N e a inclusao, P = M/N e o

modulo quociente e j : M P = M/N e a aplicacao quociente.

Um morfismo entre duas sequencias exatas (Mp, fp) e (Np, gp) e

uma sequencia = (p) de homomorfismos p : Mp Np tais que

p1 fp = gp p para todo p 0.

Mpfp

Mp1

p p1Np

gp Np1 ,

Sequencias exatas sao um instrumento de uso cotidiano em To-

pologia Algebrica. No que se segue, ao emprega-las, nos valeremos

principalmente de duas de suas propriedades, que estabeleceremos

agora. Uma delas e o Lema dos Cinco e a outra e a Sequencia Exata

de Homologia associada a uma sequencia exata curta de morfismos

entre complexos de cadeias.

Lema dos Cinco. Num morfismo entre sequencias exatas de A-

modulos,M5

f5 M4

f4 M3

f3 M2

f2 M15 4 3 2 1

N5 g5

N4 g4

N3 g3

N2 g2

N1

,


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se 1, 2, 4 e 5 sao isomorfismos entao 3 tambem e um iso-morfismo.

Demonstracao: Por simplicidade, escreveremos f x em vez de f(x)

e identificaremos, para i = 1, 2, 4 e 5, Mi com Ni e cada x Micom i(x), logo cada isomorfismo i se reduzira a identidade. Isto

conduz ao diagrama comutativo

M

f

4

M3

M2

N3

g

M5

f5

4f3

M1

3g

4

onde as sequencias M5f5

M4f4

M3f3

M2f2

M1 e M5f5

M4g4 N3

g3 M2f2 M1 nao exatas. Devemos provar que

e um isomorfismo. Seja x M3 tal que x = 0. Entao f3x =

g3x = 0 e, por exatidao, existe y M4 com f4y = x. Temos

g4y = f4y = x = 0. Novamente a exatidao nos da z M5 tal

que f5z = y, logo x = f4y = f4f5z = 0. Isto mostra que e

injetiva. Para provar sua sobrejetividade, tomemos y N3. Por

exatidao, f2(g3y) = 0, portanto existe x M3 tal que f3x = g3y,

logo g3x = f3x = g3y, ou seja, g3(y x) = 0. Assim, existe

z M4 com y x = g4z = f4z, donde y = (x + f4z), provando

que e sobrejetiva e completando a demonstracao.

Em seguida, estabeleceremos a existencia da sequencia exata

de homologia associada a uma sequencia exata curta de morfismos

entre complexos de cadeias.

Teorema 1. Seja 0 Ci

Cj

C 0 uma sequencia

exata curta de morfismos entre complexos de cadeias. Existe, para


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cada p > 0, um homomorfismo : Hp(C) Hp1(C) tal que asequencia

Hp(C)

iHp(C)j

Hp(C)

Hp1(C)

iHp1(C)

e exata.

Demonstracao: Primeiro definiremos o homomorfismo : Hp(C)

Hp1(C) e depois verificaremos a exatidao da sequencia.

Dada a classe [z] Hp(C), existe x Cp tal que jx = z.

Como j x = j x = z

= 0, segue-se que existe z

C

p1 tal queiz = x Cp1 . Tem-se z Zp1 . Com efeito, i(z

) = iz =

x = 0; sendo i injetivo, resulta que z = 0. Poe-se entao, por

definicao, [z] = [z].

Cp

Cp-1

Cp

Cp-1

x z

xz

i

j

Devemos verificar que : Hp(C) Hp1(C) esta bem defi-

nido, ou seja, que as escolhas de z na classe [z] e da cadeia x tal

que jx = z nao afetam o valor de [z] Hp1(C). A escolha mais

geral possvel em [z] seria da forma z+w = z+j w = z+j w,

w Cp+1 , consequentemente a escolha mais geral de x Cp seria

da forma x1 = x + w + i(y), y Cp , que daria jx1 = z

+ w .

Neste caso, teramos x1 = iz + iy = i(z + y ). Portanto, com

as novas escolhas, teramos ainda [z + w ] = [z + y ] = [z] =

[z

]. Poupamo-nos (e ao leitor) da verificacao de que e umhomomorfismo de A-modulos.

A prova da exatidao da sequencia de homologia tem tres etapas.

1) Em Hp(C)j

Hp(C) Hp1(C) o nucleo de e igual a

imagem de j.


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1a) j = 0. De fato, se [z] = j[z] = [jz] com z = 0 entaoz = i 0, logo [z] = [z] = 0.

1b) O nucleo de esta contido na imagem de j . Com efeito,

se 0 = [z] = [z] entao z = w para algum w Cp . Logo,

tomando x Cp tal que jx = z tem-se x = iz = iw = (iw).

Da (x iw) = 0. Assim z = x iw e um ciclo em Cp com

jz = jx jiw = jx, donde j[z] = [z].

2) Em Hp(C) Hp1(C)

i Hp1(C) tem-se nucleo de i =

imagem de .2a) i = 0. De fato, para todo [z] Hp(C) tem-se [z] = [z],

onde z Zp , iz = x e jx = z. Logo i[z

] = i[z] = [iz] =

[x] = 0 Hp1(C). Logo imagem de nucleo de i .

2b) Se 0 = i[z] = [iz], z Zp1 , entao iz

= x, x Cp . Pondo

z = jx, temos [z] = [z]. Logo nucleo de i imagem de .

3) EmHp(C)i Hp(C)

j Hp(C) tem-se nucleo dej = imagem

de i .

3a) Como j i = (j i) = 0 = 0, vemos que imagem de i

nucleo de j .

3b) Se 0 = j[z] = [jz] entao existe x Cp+1 tal que jz =

x . Como j e sobrejetivo, tem-se x = jx para algum x Cp+1 .

Portanto jz = j x = j x, logo j(z x) = 0. Pela exatidao, existe

z Cp tal que z x = iz. Ora, como i e injetora e vale

iz = iz = (z x) = z x = 0 0 = 0,

segue-se que z = 0. Assim z Zp e i[z] = [iz] = [z x] = [z].

Portanto nucleo de j imagem de i .As vezes e conveniente escrever [z

] = [i1j1z]. Eviden-

temente, i1 e j1 nao sao aplicacoes unvocas porem a classe de

homologia [z] esta bem definida por esta formula, como acaba-

mos de ver.


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Ha dois exemplos particularmente importantes de sequenciasexatas de homologia. O primeiro e quando se tem um subcomplexo

C C e se toma C = C/C. Neste caso, i : C C e a aplicacao de

inclusao e j : C C e a aplicacao quociente. A sequencia exata

de homologia associada a sequencia exata curta 0 Ci

Cj

C/C 0 chama-se a sequencia exata do par (C, C) e os grupos de

homologia Hp(C/C) = Hp(C) chamam-se os grupos de homologia

relativa do par (C, C).

O segundo exemplo e o da sequencia de Mayer-Vietoris, que

desempenhara um papel central nos captulos seguintes.Para obter a sequencia de Mayer-Vietoris, parte-se de dois sub-

complexos C, C C, tais que C = C + C, isto e, tem-se Cp =

Cp + C

p para todo p 0. Entao os A-modulos C

p C

p , com o

mesmo operador de C, formam um complexo C C. Tambem as

somas diretas Cp C

p , cujos elementos escreveremos como pares

(x, x) com x Cp e x Cp , munidas do operador : C

p C

p

Cp1 C

p1 , dado por (x, x) = (x, x), formam o complexo

CC, cujos grupos de homologia sao Hp(CC) Hp(C)Hp(C)

como facilmente se verifica.Os morfismos i : C C C C e j : C C C, dados por

i(x) = (x, x) e j(x, y) = x y, compoem a sequencia curta

0 C Ci

C Cj

C 0,

que e exata como se ve imediatamente. Dela resulta a sequencia

exata de homologia

Hp(CC)

iHp(C)Hp(C

)j

Hp(C)

Hp1(CC)

chamada a sequencia de Mayer-Vietoris da decomposicao C = C +C). Nela, usamos a notacao em vez de . Os homomorfismos

ie j sao obvios: i[z] = ([z], [z]) e j([z], [w]) = [z w]. Quanto

a , tem-se [z] = [x] = [y ] onde x y = z, x Cp , y C

p e

x = y .


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A sequencia exata de homologia e natural, no sentido seguinte.Dado um morfismo

0 Xi

Xj

X 0 0 Y

i Y

j Y 0

entre duas sequencias exatas curtas de complexos de cadeias, os

homomorfismos induzidos em homologia por , e determinam

um morfismo entre as sequencias exatas de homologia. Noutraspalavras, o diagrama abaixo e comutativo.

Hp(X)i Hp(X)

j Hp(X)

Hp1(X) Hp(Y)

i Hp(Y)j

Hp(Y) Hp1(Y)

Pelo morfismo entre as duas sequencias curtas, temos i = i

e j = j , donde i = i e j = j . Para

provar que

=

, escreveremos [z

] = [i

1

j

1

z

].Entao

[z] = [i

1j1z] = [i1j1z] = [i1j1z]

= [i1j1z] = [i1j1z] = [z

].

Resulta da a naturalidade da sequencia de Mayer Vietoris: se

X = X +X e Y = Y +Y entao um morfismo : X Y tal que

(X) Y e (X) Y induz um morfismo entre as sequencias

de Mayer-Vietoris de (X,X,X) e (Y,Y,Y).

4 Cohomologia

Um complexo de cocadeias e uma sequencia C = (Cp, p),

p 0, de A-modulos Cp e homomorfismos p : Cp Cp+1 tais


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[SEC. 4: COHOMOLOGIA 13

que p+1 p = 0. Frequentemente escreve-se simplesmente emvez de p :

C00 C1

1 Cp1p1 Cp

p Cp+1 . . . .

Cada elemento u Cp chama-se uma cocadeia de dimensao p,

ou uma p-cocadeia. Se pu = 0, diz-se que u e um p-cociclo. O

conjunto Zp = Zp(C) dos p-cociclos e um submodulo de Cp, nucleo

do homomorfismo p . A imagem Bp do operador p1 tambem e

um submodulo de Cp e a relacao = 0 significa que Bp Zp. O

modulo quociente Hp(C) = Zp/Bp chama-se o grupo de cohomologiade dimensao p do complexo C. Seus elementos sao as classes de

cohomologia [u] = {u + v; v Cp1} dos cociclos u Zp. Tem-se

[u] = [u] se, e somente se, u u = v para algum v Cp1. Neste

caso, diz-se que u e u sao cociclos cohomologos.

As nocoes e os fatos relativos a cohomologia sao analogos aqueles

ja estabelecidos para a homologia, levando-se em conta apenas que

o operador cobordo : Cp1 Cp aumenta a dimensao, enquanto

que o operador bordo : Cp Cp1 diminui. Isto causa pequenas

mudancas.Por exemplo, se X e Y sao complexos de cocadeias, o homomor-

fismo induzido em cohomologia por um morfismo f: X Y entre

complexos de cocadeias e designado por f : Hp(X) Hp(Y) em

vez de f .

Uma homotopia algebrica entre os morfismos f, g : X Y e

uma sequencia de homomorfismos D : Xp Yp1 tais que D +

D = f g. (No caso de cadeias, tnhamos D : Xp Yp+1 .) Nova-

mente, e claro que se f, g : X Y sao algebricamente homotopicos

os homomorfismos induzidos f, g : Hp(X) Hp(Y) sao iguais.

Finalmente, a sequencia exata de cohomologia determinada pela

sequencia exata curta 0 Ci

Cj

C 0 de morfismos entre

complexos de cocadeias tem a forma

Hp(C)i

Hp(C)j

Hp(C)

Hp+1(C) . . . .


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Um importante exemplo de complexo de cocadeias se obtem apartir de um complexo de cadeias C = (Cp, p), formado por A-

modulos. Para cada p 0, pomos Cp = Hom(Cp; A) = modulo

dual de Cp , cujos elementos sao os homomorfismos u : Cp A.

O operador = p : Cp Cp+1 e o adjunto de : Cp+1 Cp ,

ou seja, se u Cp entao u Cp+1 e o homomorfismo (funcional

A-linear) definido por (u)x = u(x) para toda cadeia x Cp+1 .

Isto nos da o complexo de cocadeias C = (Cp, p), cujos grupos

de cohomologia Hp(C) sao chamados os grupos de cohomologia do

complexo de cadeias C.A todo morfismo f: X Y entre complexos de cadeias corres-

ponde o morfismo adjunto f : Y X.

Para cada p 0, fp : Yp Xp e definido por

fp v

x = v fp(x), v Yp, x Xp .

Noutras palavras, fp v = v fp .

O homomorfismo induzido em cohomologia pelo morfismo ori-

ginal f: X Y e f : Hp(Y) Hp(X), f = (f) , ou seja,

f

[v] = [f

v] para todo p-cociclo v Zp

(Y). Se g : Y Z e outromorfismo de cadeias, tem-se (g f) = f g : Hp(Z) Hp(X).

No contexto da cohomologia obtida a partir de um complexo

de cadeias, deve-se observar que, dada a sequencia de A-modulos e

transformacoes A-lineares

. . . Mp+1fp+1 Mp

fp Mp1 . . . ,

se ela e exata, nao se segue geralmente que seja tambem exata a

sequencia dual

Hom(Mp1; A)f

p Hom(Mp; A)

f

p+1 Hom(Mp+1; A) ,

na qual fp e o homomorfismo adjunto de fp .

Um exemplo simples e o da sequencia exata de grupos (Z-

modulos) 0 Zf

Zg

Z2 0, onde Z2 = {0, 1} e o grupo dos


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inteiros modulo 2, f(n) = 2n e g e a pro jecao canonica: g(n) = 0se n e par e g(n) = 1 se n e mpar. A sequencia dual e

0 Hom(Z2;Z)g

Hom(Z;Z)f

Hom(Z;Z) 0.

O grupo Hom(Z2;Z) e zero e Hom(Z;Z) e cclico infinito (iso-

morfo a Z), gerado pelo homomorfismo identidade u : Z Z.

Como f: Z Z e a multiplicacao por 2, o mesmo se da com

f : Hom(Z;Z) Hom(Z;Z), logo f nao e sobrejetivo e a sequen-

cia nao e exata.

De um modo geral, se a sequencia de A-modulos M1 f M2 g

M3 e exata entao g f = 0 de modo que, considerando a sequencia

dual

Hom(M3; A)g

Hom(M2; A)f

Hom(M1; A)

temos f g = (g f) = 0, logo Im(g) N(f). Se quisermos

mostrar que esta sequencia tambem e exata, restara provar que

N(f) Im(g). Para isto, tomamos v Hom(M2; A) tal que

f(v) = 0 e procuramos achar u Hom(M3; A) com g(u) = v.

Nossa hipotese sobre v significa que v(f(x)) = 0 para todo x M1 ,

ou seja, que o homomorfismo v : M2 A se anula sobre a imagem

de f. Pela exatidao da sequencia inicial, essa imagem coincide

com o nucleo de g. Portanto v(y) = 0 para todo y M2 tal

que g(y) = 0. Ou ainda: se y, y M2 sao tais que g(y) = g(y)

entao v(y) = v(y). Ora, estamos em procura de um homomorfismo

u : M3 A tal que u(g(y)) = v(y) para todo y M2 . Acabamos

de ver que esta igualdade define univocamente um homomorfismo

u : Im(g) A. Se este homomorfismo puder ser estendido a todo

o M3 , (nao importa de que modo) teremos g(u) = v.

Assim, o problema de saber se a dual da sequencia exata deA-modulos M1

f M2

g M3 e ainda exata reduz-se a indagar

se um homomorfismo definido no submodulo g(M2) M3 pode ser

estendido a todo o modulo M3 . Nem sempre isto e possvel. Por

exemplo, se P Z e o subgrupo formado pelos inteiros pares, o


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homomorfismo h : P Z, definido por h(2n) = n, nao pode serestendido a todo o grupo Z.

Na sequencia exata M1f

M2g

M3 ha um caso em que todo

homomorfismo h : g(M2) P, definido no submodulo g(M2)

M3 , pode ser estendido a um homomorfismo h : M3 P, definido

em todo o modulo M3 . E quando existe um submodulo N M3tal que M3 = g(M2) N. Entao define-se a extensao simplesmente

fazendo-a assumir o valor zero em cada y N, lembrando que

os elementos de M3 se escrevem de modo unico como x + y com

x g(M2) e y N.Uma sequencia exata M1

f M2

g M3 chama-se separavel

quando existe um submodulo N M2 tal que M2 = f(M1) N.

No caso de uma sequencia exata curta, como

(*) 0 M1f

M2g

M3 0,

dizer que ela e separavel significa que existe um submodulo N

M2 tal que M2 = f(M1) N. Neste caso, a sequencia dada e

equivalente a

(**) 0 M1f

M1 M3g

M3 0,

onde f(x) = (x, 0) e g(x, y) = y, ou seja, existe um isomorfismo

h : M2 M1 M3 que torna comutativo o diagrama

M

f

1

M2

M3 00

M3M1

h

g

gf

.

Com efeito, sendo f: M1 f(M1) um isomorfismo e sabendo

que todo z M2 se escreve, de modo unico, como z = x + y,


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onde x f(M1), isto e, g(x) = 0, e y N, pomos h(z) = h(x +y) = (f1(x), g(y)). O homomorfismo h, assim definido, cumpre

h f = f e g h = g, ou seja, torna comutativo o diagrama acima.

A verificacao de que h e bijetivo recai imediatamente na exatidao

da sequencia (*) dada inicialmente.

Portanto (**) e o modelo padrao de uma sequencia exata curta

separavel.

Lema 1. Se a imagem g(M2) e um m odulo livre (em particular,

se A e um corpo, logo os A-modulos sao espacos vetoriais) entao a

sequencia exata M1 f M2 g M3 e separ avel. Em particular, se

o modulo M3 e livre ent ao a sequencia exata curta

0 M1 M2 M3 0

e separ avel.

Demonstracao: Seja (a)L uma base do A-modulo g(M2). De-

finamos um homomorfismo : g(M2) M2 escolhendo, para cada

L, um elemento (a) M2 tal que g((a)) = a . As-

sim g((z)) = z para todo z g(M2). Seja N a imagem de .

Afirmamos que M2 = f(M1) N. De fato, em primeiro lugar,todo x M2 se escreve como x = (g(x)) + (x (g(x))), com

(g(x)) N e g(x(g(x))) = g(x)g((g(x))) = g(x)g(x) = 0,

logo x (g(x)) f(M1) por exatidao. Em segundo lugar, se

y f(M1)N entao y = f(x), x M1 , e y = (z), z g(M2), logo

z = g((z)) = g(y) = g(f(x)) = 0 e da y = (z) = (0) = 0.

Um importante caso particular deste lema e o

Corolario 1. Seja C B um submodulo. Se o modulo quociente

B/C e livre ent ao C e um somando direto em B, isto e, existe umsubmodulo C B tal que B = C C.

Com efeito, se i : C B e a inclusao e j : B B/C e a proje-

cao natural entao a sequencia 0 Ci

Bj

B/C 0 e

exata.


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Teorema 2. Se M3 e um A-modulo livre (em particular, se A e

um corpo) e a sequencia 0 M1f

M2g

M3 0 e exata,

entao a sequencia dual

0 Hom(M3; A)g

Hom(M2; A)f

Hom(M1; A) 0

e exata.

Demonstracao:

(1) g e injetivo: Seja u : M3 A um homomorfismo tal queg(u) = 0, isto e, u(g(x)) = 0 para todo x M2 . Como g e

sobrejetivo, isto significa que u = 0.

(2) Im(g) = N(f). Sao duas inclusoes a serem verificadas.

A primeira, Im(g) N(f), significa que f g = 0, o que e

claro porque f g = (g f) = 0 pois g f = 0. Para provar

que N(f) Im(g), tomemos um homomorfismo v : M2 A tal

que f(v) = 0, ou seja, v f = 0. Como g e sobrejetivo, podemos

definir o homomorfismo u : M3 A pondo u(g(x)) = v(x) para

todo x M2 . Esta definicao e legtima pois se y M2 e tal queg(y) = g(x) entao g(x y) = 0 e da, pela exatidao da sequencia

inicial, existe z M1 tal que x y = f(z). Como v f = 0, vemos

que v(xy) = v(f(z)) = 0, portanto v(x) = v(y), mostrando assim

que o homomorfismo u : M3 A esta bem definido, sendo claro que

u g = v, isto e, v = g(u).

(3) f e sobrejetivo. Aqui fazemos uso do Lema 1, segundo o

qual a sequencia exata 0 M1f

M2g

M3 0 e separavel,

logo e equivalente a sequencia exata padrao 0 M1 M1

M3 M3 0 e a sobrejetividade de f equivale a dizer que

todo homomorfismo u : M3 A se estende a um homomorfismo

u : M1 M3 A, o que e inteiramente obvio.

Observacao: Se E e um espaco vetorial sobre o corpo K, e praxe

escrever E em vez de Hom(E; K).


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[SEC. 5: LIMITES INDUTIVOS 19

5 Limites indutivos

Uma quase-ordem num conjunto L e uma relacao binaria em

L que e reflexiva ( para todo L) e transitiva (se ,, L

sao tais que e entao ). Uma quase-ordem anti-

simetrica ( e implicam = ) chama-se uma relacao

de ordem.

Diz-se que a quase-ordem e filtrante quando, dados quaisquer

, L, existe L tal que e .

Exemplo 3. Seja L o conjunto dos intervalos abertos da reta que

contem 0 e tem comprimento 1. Dados I, J L, se escrevermos

I J para significar I J, obteremos uma relacao de ordem em L,

a qual nao e filtrante. Se, entretanto, convencionarmos que I J

significa J I, obteremos uma relacao de ordem filtrante em L.

Exemplo 4. Seja V o conjunto das vizinhancas abertas de um

determinado conjunto X Rn. Dados U, V V, escrevendo U V

para significar que X V U, obtemos uma relacao de ordem

filtrante em V. A opcao de escrever U V quando V U traduz

o fato de que V esta mais proxima de X do que U, ou que e uma

melhor aproximacao aberta de X.

Exemplo 5. Seja C o conjunto das coberturas abertas de um

conjunto X Rn. Dadas as coberturas , C, ponhamos

para exprimir que refina , isto e, para cada B existe A

tal que B A. A relacao e uma quase-ordem filtrante em

C. Com efeito, dadas , C, o conjunto das intersecoes A B,

com A e B , e uma cobertura aberta de X que refina e

, ou seja, tem-se e . Note que esta quase-ordem naoe anti-simetrica, ou seja, nao e uma ordem.

Dada uma quase-ordem no conjunto L, um subconjunto L

L diz-se cofinal quando, para todo L, existe L tal que

.


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Exemplo 6. No Exemplo 3, se I J significa I J, os intervaloscom extremos racionais formam um conjunto cofinal. Se I J quer

dizer J I entao os intervalos do tipo (1/n, 1/n) constituem um

conjunto cofinal. No Exemplo 4, se X for compacto, as vizinhancas

abertas de X que tem fecho compacto formam um conjunto cofi-

nal em V. No Exemplo 5, se X e uma superfcie, o conjunto das

coberturas abertas localmente finitas e cofinal em C.

Uma famlia (E)L de A-modulos chama-se um sistema indu-

tivo quando

1o) O conjunto L dos ndices e munido de uma quase-ordemfiltrante.

2o) Para cada par de ndices , L com e dado um

homomorfismo : E E de modo que = id: E E e

= : E E se .

Dado o sistema indutivo (E)L , definimos na reuniao disjuntaL

E uma relacao de equivalencia dizendo que x E e equiva-

lente a y E quando existe L , com e , tal que

(x) = (y). Indicaremos com

x a classe de equivalencia doelemento x E segundo esta relacao. O conjunto E das classes

de equivalenciax dos elementos x E , L, chama-se o limite

indutivo do sistema (E)L . Escreve-se E = limE .

Quando se escreve um elemento de E = lim

E sob a formax,

diz-se que x E representa a classex. Se e y = (x),

entao o elemento y E representa a mesma classe, poisx =

y.

O limite indutivo E = lim

E possui uma estrutura natural de

A-modulo: dados

x =

y E, como L e filtrante, podemos suporque os representantes x, y pertencem ao mesmo modulo E e entao

pomosx +

y = (x + y) e, se a A, a

x = (a x). Nao ha

dificuldade em verificar que estas operacoes estao bem definidas e

fazem de E = lim

E um A-modulo.


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[SEC. 5: LIMITES INDUTIVOS 21

Em particular, a classe x de x E e o zero de A-modulo E,

se, e somente se, existe tal que (x) = 0 E . Noutras

palavras, o elemento neutro da adicao em E = lim

E pode ser

representado pelo elemento neutro 0 E para algum L.

Seja E = lim E . Para cada L, existe um homomorfismo

: E E, definido por (x) =x, x E . Valem as seguintes

propriedades:

a) Se entao = ;

b) E = L (E);c) Se x E e tal que (x) = 0 entao existe L tal que e (x) = 0.

Podemos tambem considerar sistemas indutivos de complexos.

Para fixar ideias, vejamos um sistema indutivo (C)L de comple-

xos de cocadeias. Para cada L, temos um complexo

C : C0 C

1 C

r

d Cr+1

e, quando , um morfismo f : C C tal que f = id: C

C e f = f f : C C quando .O limite indutivo do sistema (C)L e o complexo

C: C0 C1 Crd

Cr+1 ,

onde Cr = lim

Cr e d : Cr Cr+1 e definido por d(

x) = (dx),

com x Cr logo dx Cr+1 .

Escreve-se C = limL

C = lim C .

Se E = limL E , definir um homomorfismo f: E F, comvalores no A-modulo F, equivale a definir, para cada L, um

homomorfismo f : E F de tal modo que valha a relacao f =

f sempre que . Com efeito, dado f, obtem-se f pondo

f = f . Reciprocamente, dados os f , definimos f assim: para


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cada x E existe algum x E tal que (x) = x. Entao pomosf(x) = f(x). A relacao f = f mostra que esta definicao e

legtima, isto e, que a escolha de x nao afeta o valor f(x).

O homomorfismo f: lim E F, definido a partir dos f : E

F, e sobrejetivo se, e somente se, F = f(E) e e injetivo se, e

somente se, f(x) = 0 implica que existe tal que (x) = 0.

Por exemplo, se L L e um subconjunto cofinal, o limite

indutivo E = limL

E e isomorfo a E = limL

E . Para chegar a

esta conclusao, definimos o homomorfismo f: E E pondo, para

cada L, f = : E E. Como se ve sem dificuldade,o homomorfismo f e sobrejetivo e injetivo, logo e um isomorfismo

entre E e E.Um exemplo util de isomorfismo e o seguinte. A partir de um

sistema indutivo (C)L de complexos de cocadeias, obtemos um

complexo C = lim C , o qual possui grupos de cohomologia Hr(C) =

Hr(lim C), r = 0, 1, . . . . Por sua vez, para cada r = 0, 1, 2, . . . ,

os grupos de cohomologia Hr(C), L formam um sistema in-

dutivo, o qual possui o limite lim

Hr(C). Afirmamos que existe

um isomorfismo natural f: lim Hr

(C) Hr

(lim C). Afim dedefinir f, basta considerar, para cada L, o homomorfismo

f : Hr(C) Hr(lim

C), definido por f[z] = [

z], onde z Cr

e um cociclo de dimensao r, [z] Hr(C) e sua classe de coho-

mologia ez = (z) e sua imagem em lim

Cr pelo homomorfismo

natural : Cr lim

Cr . Os homomorfismos f cumprem obvia-

mente a condicao f = f quando , logo determinam

um homomorfismo f: lim

Hr(C) Hr(lim

C). Como se ve sem

dificuldade, f e um isomorfismo.

Assim, o processo de tomar o limite indutivo de complexos co-muta com o de tomar grupo de cohomologia. Resulta da, em par-

ticular, que o limite indutivo de um sistema de sequencias exatas

e ainda uma sequencia exata pois esta e, em ultima analise, um

complexo cujos grupos de cohomologia em dimensao > 0 sao nulos.


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Captulo II

Cohomologia de de Rham

A cohomologia de deRham sera nosso primeiro exemplo de uma

situacao especfica na qual se usam os conceitos gerais expostos no

captulo anterior.

Este assunto e geralmente apresentado no contexto aparente-

mente mais geral de variedades diferenciaveis. (Em vez de su-

perfcies no espaco euclidiano, como faremos aqui.) A opcao que

fizemos permite utilizar, sem mudanca de terminologia ou notacao,as nocoes ja introduzidas e os resultados ja demonstrados em [AR2]

e, principalmente, [AR3], textos que contem os pre-requisitos para

este captulo.

Alem disso, como e bem conhecido, toda variedade diferenciavel

e difeomorfa a uma superfcie contida num espaco euclidiano de di-

mensao suficientemente alta, portanto nao ha perda essencial de

generalidade em nossa exposicao. Uma vantagem adicional das su-

perfcies e a existencia da vizinhanca tubular, cuja utilizacao em

ocasioes oportunas simplifica argumentos e permite demonstracoes

convincentes, como se pode ver nos Captulos 4 e 5 de [AR3].

Advertencia: no que se segue, salvo mencao explcita em con-

trario, superfcies e formas serao sempre supostas diferenciaveis e

diferenciavel significa de classe C.

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24 [CAP. II: COHOMOLOGIA DE DE RHAM

1 O complexo de de Rham

A diferenciacao exterior d : r(M) r+1(M) e uma trans-

formacao linear definida no espaco vetorial r(M), cujos elementos

sao as r-formas na superfcie m-dimensional M. Como dd = 0

para toda r(M), a sequencia

(M) : 0(M)d

1(M) m1(M)d

m(M) 0

e um complexo de cocadeias, chamado o complexo de de Rham da

superfcie M.Lembremos que 0(M) e o conjunto das funcoes diferenciaveis

f: M R e r(M) = 0 se r > m = dim M.

O nucleo Zr(M) de d : r(M) r+1(M) e a imagem Br(M)

de d : r1(M) r(M) sao, respectivamente, o conjunto das r-

formas fechadas e das r-formas exatas. Tem-se Br(M) Zr(M) e

o espaco quociente

Hr(M) = Zr(M)

Br(M)

chama-se o grupo de cohomologia de de Rham da superfcie M emdimensao r (muito embora seja um espaco vetorial). Seus elementos

sao as classes de cohomologia

[] = { + d; r1(M)}

das formas fechadas Zr(M).

Exemplo 1. O caso mais simples da cohomologia de de Rham

e H0(M). Tem-se B0(M) = 0 e Z0(M) e o conjunto das funcoes

diferenciaveis f: M R tais que df = 0. Logo H0(M) = Z0(M) =

conjunto das funcoes localmente constantes, ou seja, constantes em

cada componente conexa de M. Em particular, se M e conexa entao

H0(M) = R. No caso geral, em que M =

L

M e a reuniao de

suas componentes conexas, tem-se H0(M) =

L

R onde R = R


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[SEC. 2: INVARIANCIA HOMOTOPICA 25

para todo L. Explicitamente, cada elemento de H0(M) e umafamlia x = (x)L onde x R para todo L. (Note que L

e enumeravel.) Se M = M1 Mk possui apenas um numero

finito k de componentes conexas entao H0(M) = Rk.

Exemplo 2. Seja M = R2{0}. Sabemos que H0(M) = R pois M

e conexa. Vejamos H1(M). A cada forma fechada = adx + bdy

em M, facamos corresponder o numero () =

S1. A corres-

pondencia : Z1(M) R assim definida e uma transformacao

linear nao-nula, portanto sobrejetiva. Seu nucleo contem B

1

(M)pois a integral de uma forma exata ao longo do caminho fechado

S1 e zero. Logo duas formas cohomologas e tem a mesma

imagem () = (). Entao, por passagem ao quociente, po-

demos definir uma transformacao linear : H1(M) R, pondo

([]) = () para toda Z1(M). Alem de sobrejetiva, e

tambem injetiva. De fato, se ([]) =

S1 = 0, afirmamos que

= 0 para qualquer caminho fechado em M = R2 {0}.

Para ver isto lembremos que, como esta no Captulo 1 de [AR3],

e livremente homotopico em R2 {0} a um caminho do tipo

: [0, 2] S1 R2 {0}, (s) = (cos ks, sen ks), para algumk Z. Sendo assim,

=

= k

S1

= 0. Portanto e exata

em M = R2 {0}, ou seja, [] = 0. Finalmente, tem-se ainda

H2(M) = 0 pois, como veremos logo a seguir, os grupos de coho-

mologia de de Rham sao invariantes homotopicos e M = R2 {0}

tem o mesmo tipo de homotopia da superfcie unidimensional S1,

para a qual, evidentemente, vale H2(S1) = 0.

2 Invariancia homotopica

Como sabemos, uma aplicacao diferenciavel f: M N entre

as superfcies M, N induz, para cada r 0, uma transformacao

linear f : r(N) r(M), que associa a cada r-forma em N o


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seu pullback f r(M), onde

(f)(p)(v1, . . . , vr) = (f(p))(f(p)v1, . . . , f

(p)vr),

para todo p M e quaisquer v1, . . . , vr TpM.

E uma propriedade essencial da diferenciacao exterior sua in-

variancia por mudanca de coordenadas, expressa pela igualdade

f(d) = d(f), em virtude da qual f e um morfismo do com-

plexo de de Rham (N) em (M). Como tal, f induz, para cada

r 0, um homomorfismo

f : Hr(N) Hr(M),

indicado com a mesma notacao f. Quando ha necessidade de ser

mais preciso, escreve-se fr em vez de f. O homomorfismo acima,

definido por f([]) = [f], e natural no sentido de que se tem

(g f) = f g para f: M N e g : N P diferenciaveis.

Em particular, se f: M N e um difeomorfismo e g : N M

e seu inverso entao f : Hr(N) Hr(M) e, para todo r 0, umisomorfismo cujo inverso e g : Hr(M) H(N) pois g f =

(f g) = (idN) = idHr(N) e f g = (g f) = (idM) = idHr(M) .

Esta observacao caracteriza H(M) como um invariante dife-

renciavel. Mais geralmente (porem ainda nao definitivamente, con-

forme o Teorema 1 abaixo), Hr(M) e um invariante do tipo de

homotopia diferenciavel de M.

Isto significa que se f: M N e g : N M sao aplicacoes dife-

renciaveis tais que g f: M M e f g : N N sao ambas dife-

renciavelmente homotopicas as aplicacoes identidades pertinentesentao, para todo r 0, f : Hr(N) Hr(M) e g : Hr(M)

Hr(M) sao isomorfismos, um inverso do outro.

Na verdade, bem mais do que isto pode ser dito. Mostraremos

agora o seguinte:


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[SEC. 2: INVARIANCIA HOMOTOPICA 27

Teorema 1. Uma aplicacao contnua f: M N induz, para cadar 0, um homomorfismo f: Hr(N) Hr(M). Se g : M N

e tambem contnua e homot opica a f (em classe C0) entao g =

f : Hr(N) Hr(M). Consequentemente, seM eN tem o mesmo

tipo de homotopia(em particular, se sao homeomorfas) entao Hr(M)

e Hr(N) sao isomorfos para todo r 0.

Demonstracao: Isto resulta das seguintes observacoes:

A) Pelo Teorema 8, Captulo 4 em [AR3], se as aplicacoes dife-

renciaveis f, g : M N sao homotopicas (homotopia C0

) entaoelas sao diferenciavelmente homotopicas. Logo, pelo Teorema 3

loc. cit., para toda forma fechada Zr(N), existe r1(M)

tal que g f = d, portanto g[] = f[]. Assim, aplicacoes

diferenciaveis que sao C0-homotopicas induzem o mesmo homomor-

fismo em cohomologia.

B) Toda aplicacao contnua f: M N e homotopica a uma

aplicacao diferenciavel.

Com efeito, seja V(N) uma vizinhanca tubular de N Rs.

Definamos a funcao contnua : M R+ pondo, para cada x M, (x) = d(f(x), Rs V(N)). Pelo Teorema de Aproximacao

([AR3], Cap. 4, Teor. 6), existe g : M N diferenciavel tal que

|g(x) f(x)| < (x) para todo x M. Entao, para todo x

M, o segmento de reta [f(x), g(x)] esta contido em V(N). Seja

: V(N) N a projecao natural. A aplicacao H: M[0, 1] N,

dada por H(x, t) = ((1 t)f(x) + tg(x)), e uma homotopia entre

f e a aplicacao diferenciavel g.

Uma vez estabelecidas A) e B), o homomorfismo f : Hr(N)

Hr(M), induzido pela aplicacao contnua f: M N, e definidoassim: toma-se uma aplicacao diferenciavel g : M N que seja

homotopica a f e poe-se, por definicao, f = g : Hr(N) Hr(M).

Deve-se observar que o homomorfismo f independe da escolha

de g, em virtude da transitividade da relacao de homotopia: se


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g, h : M N sao diferenciaveis e homotopicas a f entao g h,logo g = h.

Do mesmo modo se mostra que se f: M N e g : N P sao

aplicacoes contnuas entao (g f) = f g e que se f, g : M N

sao homotopicas entao f = g. Em particular, se f: M N e

uma equivalencia homotopica entao f : Hr(N) Hr(M) e um

isomorfismo para todo r 0.

Um caso especial merece destaque: se f: M N e um ho-

meomorfismo entao f e um isomorfismo de Hr(N) sobre Hr(M)para todo r 0. Assim, embora a estrutura diferencial tenha sido

fortemente utilizada na definicao de cohomologia de de Rham, os

grupos Hr(M) sao invariantes topologicos.

Exemplo 3. Podemos agora completar o Exemplo 2. Como S1 e

R2 {0} tem o mesmo tipo de homotopia, vale Hr(R2 {0})

Hr(S1) para todo r 0. Ora, H2(S1) = 0 pois dim S1 = 1. Por

outro lado, da resulta tambem que H1(S1) R pois ja vimos que

H1(R2{0}) R. Mais geralmente, Rn+1{0} e Sn tem o mesmo

tipo de homotopia, seja qual for n > 0. Logo Hn+1(Rn+1{0}) = 0.

Alem disso, e claro que, para todo r > 0, vale Hr(Rn) = 0 pois Rn e

contratil, ou seja, tem o mesmo tipo de homotopia de um ponto.

A cohomologia de de Rham possui ainda uma estrutura multi-

plicativa, induzida pelo produto exterior de formas diferenciais. Se

Zr(M) e Zs(M) sao formas fechadas em M entao o pro-

duto exterior e tambem uma forma fechada, pois d( ) =

d + (1)r d = 0. Alem disso, se r1(M) e

s1(M),

( + d) ( + d) = + d + d + d d

= + d[(1)r + + d]

= + d,


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[SEC. 3: A SEQUENCIA DE MAYER-VIETORIS 29

logo o produto exterior de formas fechadas conserva a relacao deformas cohomologas, ou seja, a aplicacao bilinear

: Hr(M) Hs(M) Hr+s(M),

dada por [] [] = [ ], esta bem definida.

Este produto exterior de classes de cohomologia dota a soma

direta

H(M) = H0(M) H1(M) Hm(M), m = dim M,

de uma estrutura de algebra sobre os reais, usualmente conhecidacomo o anel de cohomologia de de Rham da superfcie M. O ho-

momorfismo f : H(N) H(M), induzido por uma aplicacao

contnua f: M N, respeita essa multiplicacao, ou seja, tem-se

f([] []) = f[] f[].

Quando o espaco vetorial Hr(M) tem dimensao finita, o numero

r = dim Hr(M) chama-se o r-esimo numero de Betti da superfcie

M e a soma alternada (M) = 0 1 + + (1)m m chama-se

a caracterstica de Euler da superfcie M.

3 A sequencia de Mayer-Vietoris

Sejam U, V M abertos na superfcie M, tais que M = U V.

Para cada r 0, consideremos os morfismos : r(M) r(U)

r(V) e : r(U) r(V) r(U V), definidos por () =

(|U, |V) e (, ) = |(U V) |(U V), lembrando que |W

significa a restricao da forma ao conjunto aberto W M. Os

morfismos e dao origem a sequencia curta

0 r(M)

r(U) r(V)

r(U V) 0,

a qual afirmamos ser exata. E obvio que e injetivo e que sua

imagem e igual ao nucleo de . Resta apenas provar que e sobre-

jetivo.


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Para isto, tomamos uma particao diferenciavel da unidade U +V = 1 estritamente subordinada a cobertura M = UV, portanto

supp. U U e supp. V V. Dada qualquer r(U V),

definimos as formas 1 r(U) e 2 r(V) pondo:

1 = V em U V e 1 = 0 em U (U V),

2 = U em U V e 2 = 0 em V (U V).

Tem-se 1|(UV)2|(UV)=V +U=, logo (1, 2)=.

Como vimos no Captulo I, esta sequencia exata curta da origema uma sequencia exata de cohomologia

Hr(M) Hr(U)Hr(V)

Hr(UV)

Hr+1(M) . . .

que chamaremos a sequencia de Mayer-Vietoris associada a decom-

posicao M = U V.

Os homomorfismos e sao definidos por ([]) = ([|U],

[|V]) e ([1], [2]) = [1|(U V) 2|(U V)].

Por sua vez, : Hr(U V) Hr+1(M) e definido assim: dada

r(U V) fechada, como e sobrejetivo, existem formas 1 r(U) e 2 r(V), nao necessariamente fechadas, tais que =

1|(UV)2|(UV). Entao 0 = d = d1|(UV)d2|(UV)

portanto d1 e d2 sao (r+1)-formas em U e em V respectivamente,

as quais sao obviamente fechadas e coincidem em UV logo definem

conjuntamente uma forma fechada em M = U V, cuja classe de

cohomologia e [].

Exemplo 4. Vamos usar a sequencia de Mayer-Vietoris a fim de

calcular os grupos Hr(M) quando M = R2{p, q}, ondep = (1, 0)

e q= (1, 0). Para isso, tomaremos M = U V com U = {(x, y) M; x < 1/2} e V = {(x, y) M; s > 1/2}. Evidentemente,

U e V sao homeomorfos a R2 {0}, logo seus grupos Hr(U) e

Hr(V) ja foram calculados no Exemplo 2. Alem disso, U V =

{(x, y) R2; 1/2 < x < 1/2} tem o mesmo tipo de homotopia


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de um ponto, portanto Hr(U V) = 0 se r > 0 e H0(U V) = R.Como M e conexa, temos H0(M) = R. O calculo de H2(M) se faz

olhando para o trecho

H1(U V) H2(M) H2(U) H2(V), ou seja, 0 H2(M) 0,

da sequencia de Mayer-Vietoris. Da exatidao resulta que H2(M) =

0. Para calcular H1(M), usamos o trecho

H0(U) H0(V)

H0(U V)

H1(M) H1(U)

H1(V)

0,

(lembrando que H1(U V) = 0), que equivale a sequencia exata

RR

R

H1(M) RR 0,

na qual (x, y) = xy, logo nao e identicamente nulo, portanto

e sobrejetivo. Por exatidao, o nucleo de e todo o R, logo e

identicamente nulo e entao e injetivo. Mas e tambem sobreje-

tivo pois a ultima flexa e igual a zero. Assim, : H1

(M) RRe um isomorfismo.

Resumindo: se M e o plano menos dois pontos entao H0(M) =

R, H1(M) = R2 e Hr(M) = 0 se r 2.

A partir da, por invariancia topologica ou por tipo de homo-

topia, se pode calcular a cohomologia de outras superfcies, como

por exemplo aquela obtida do cilindro R S1 retirando-se dele um

disco fechado.

Exemplo 5. Se M e uma superfcie simplesmente conexa entao

H1(M) = 0. Quando M e um aberto do espaco euclidiano, este eo Corolario 4, Captulo 1 em [AR3]. No caso geral, tomamos uma

vizinhanca tubular V M no espaco euclidiano em que M esta

contida. Entao V e tambem simplesmente conexa pois a projecao

: V M e uma equivalencia homotopica. Dada 1(M)


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fechada, sua extensao e uma forma fechada em V, portanto,em virtude do corolario acima mencionado, existe f: V R tal

que df = . Entao, g = f|M e tal que = dg. Assim, toda

1-forma fechada em M e exata, ou seja, H1(M) = 0.

Exemplo 6. Grupos de cohomologia da esfera Sm. Ja os conhe-

cemos quando m = 1: H0(S1) = R, H1(S1) = R e Hr(S1) = 0 se

r > 1. Portanto suporemos m 2, o que nos da logo H1(Sm) = 0.

Usaremos uma decomposicao Sm = U V, onde U e V sao abertos

contrateis e U V tem o mesmo tipo de homotopia de Sm1. Por

exemplo, podemos tomar U = Sm {a} e V = Sm {b}, coma = (0, . . . , 0, 1) e b = (0, . . . , 0, 1), ou entao fixar um numero

(0, 1) e por U = {x = (x1, . . . , xm+1) Sm; xm+1 < },

V = {x = (x1, . . . , xm+1 Sm; xm+1 > }. Assim, teremos

Hr(U) = Hr(V) = 0 se r > 0, H0(U) = H0(V) = R e, como

m 2, H0(U V) = R. Logo, o trecho abaixo da sequencia de

Mayer-Vietoris, com r 2,

Hr1(U) Hr1(V) Hr1(U V) Hr(Sm) Hr(U) Hr(V)

pode ser escrito como

0 Hr1(Sm1) Hr(Sm) 0

e da resulta que Hr(Sm) e isomorfo a Hr1(Sm1). Portanto,

Hm(Sm) Hm1(Sm1) H1(S1) = R (onde o smbolo

significa e isomorfo a). Se, porem, tivermos r < m, da resul-

tara m r + 1 2, logo

Hr(Sm) Hr1(Sm1) H1(Smr+1) = 0.

Resumindo: Hm(Sm) = R para todo m > 0 e Hr(Sm) = 0 s e

0 < r < m.

Como observamos na Secao 2, os grupos de cohomologia de

de Rham de uma superfcie, embora tenham sido definidos por meio


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de instrumentos do Calculo Diferencial, sao invariantes topologicos:todo homeomorfismo h : M N entre duas superfcies induz um

isomorfismo h : Hr(N) Hr(M). Ou seja: superfcies homeo-

morfas tem a mesma cohomologia. Segue-se da que se m = n

entao as esferas Sm e Sn nao sao homeomorfas. Consequentemente,

nao pode haver um homeomorfismo entre espacos euclidianos Rm

e Rn de dimensoes diferentes m e n. De fato, se considerarmos,

mediante a projecao estereografica os espacos Rm = Sm {p} e

Rn = Sn {q} como esferas com um ponto omitido, todo ho-

meomorfismo h : Rm

Rn

se estenderia a um homeomorfismoh : Sm Sn pondo-se h(p) = q e h(x) = h(x) se x = p.

Exemplo 7. Seja T = S1 S1 o toro bidimensional. Por meio da

sequencia de Mayer-Vietoris, vamos determinar as dimensoes dos

espacos vetoriais H1(T) e H2(T). Para isto, tomemos T = U V,

onde U e V sao abertos difeomorfos a cilindros, tais que U V e

a reuniao de dois cilindros disjuntos. Lembrando que cada cilindro

tem o mesmo tipo de homotopia de S1, vemos que a sequencia exata

H0

(U) H0

(V)

A

H0

(U V)B

H1

(T)

C

H1

(U) H1(V)

D H1(U V)

e equivalente a

R2A

R2B

H1(T)C

R2D

R2.

Acima temos A(x, y) = (x y, x y) e D(u, v) = (u v, u v).

Pela exatidao, dimIm(C)=dimN(D) = 1. Usando o Teorema

do Nucleo e da Imagem, vemos que dimN(C) = dimIm(B) =

2 dimN(B) = 2 dimIm(A) = 2 1 = 1. Da resulta quedim H1(T) = dimN(C) + dimIm(C) = 1 + 1 = 2. Para obter a

dimensao de H2(T), usamos a sequencia exata

H1(U) H1(V)E

H1(U V)

H2(T) H2(U) H2(V)


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ou seja, R2 E R2 H2(T) 0. Temos E(x, y) = (x y, x y),

logo dimIm(E) = 1 = dimN() e da dimIm() = 1.

Figura 1.

U

V

U V

U V

T = U V

Mas, pela exatidao da sequencia, e sobrejetivo, portantoIm() = H2(T) e da dim H2(T) = 1.

Uma transformacao linear entre dois espacos vetoriais de di-

mensao 1, ou e um isomorfismo ou e identicamente nula. Re-

sulta desta observacao que a integracao define um isomorfismo

: H2(T) R, dado por ([]) =

T. De fato, a transformacao

linear esta bem definida, pois se [] = [] entao = + d e,

como

Td = 0, temos

T

=

T. Alem disso, nao e iden-

ticamente nula pois a forma elemento de area de T tem integral

diferente de zero. Pelo Exemplo 7, temos dim H2(T) = dimR = 1,logo e um isomorfismo.

Um caso analogo e o da esfera Sm. Novamente a integracao

define um isomorfismo : Hm(Sm) R, onde ([]) =

Sm. Po-

demos mesmo ir um pouco adiante e notar que a proje cao radial


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f: Rm+1{0} Sm, f(x) = x|x| e uma equivalencia homotopica,logo Hm(Rm+1 {0}) tem a mesma dimensao de Hm(Sm), ou seja,

1. Entao : Hm(Rm+1 {0}) R, ([]) =

Sm, e um isomor-

fismo.

Mais geralmente, se B Rm+1 e uma bola fechada de centro

0 entao claramente Rm+1 B tem o mesmo tipo de homotopia de

Rm+1 {0} e a aplicacao : Hm(Rm+1 B) R, ([]) =

S,

e um isomorfismo, se S e qualquer esfera de centro 0 contida em

Rm+1 B (ou seja, de raio maior do que o de B). Nao importa qual

a esfera S que se tome nessas condicoes: em virtude do Teoremade Stokes tem-se

S

=

S pois S e S formam o bordo de uma

capsula esferica do tipo S [0, 1].

Em particular, se m(Rm+1 B) e tal que

S = 0 para

alguma (e portanto qualquer) esfera de centro 0 e raio maior que o

de B entao existe m1(Rm+1 B) tal que = d.

Ainda com auxlio da sequencia de Mayer-Vietoris, mostraremos

a seguir que se a superfcie M e compacta entao, para todo r 0,

o espaco vetorial Hr(M) tem dimensao finita.

Nossa argumentacao se baseara na existencia de coberturas aber-

tas simples em toda superfcie.

Uma cobertura aberta M =

L

A da superfcie M chama-

se simples quando toda intersecao finita A1 Ak , com

1, . . . , k L, e contratil.

Comecamos estabelecendo o

Lema 1. Sejaf: U V um difeomorfismo entre os abertosU, V

Rn. Para todo a U, existe r > 0 tal que a imagem f(B) de

qualquer bola B = B(a; s) com0 < s r, e um aberto convexo.

Demonstracao: Ponhamos g = f1 : V U, b = f(a) e con-

sideremos a funcao : V R definida por (y) = |g(y) a|2 =


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g(y) a, g(y) a. Temos yj (y) = 2g

yj(y), g(y) a e

2

yiyj(y) = 2

2g

yiyj(y), g(y) a

+ 2

g

yi(y),

g

yj(y)

.

Como g(b) = a, vemos que

2

yiyj(b) = 2

g

yi(b),

g

yj(b)

.

Assim, a matriz hessiana de no ponto b e igual a matriz de Gram

dos vetores linearmente independentes gy1

(b), . . . , gyn

(b), logo e po-

sitiva (cfr. [AL], pag. 213). Existe, portanto, uma bola B de centro

b contida em V, tal que a matriz hessiana de e positiva em todos

os pontos de B. Entao a funcao : B R e convexa (cfr. [AR2],

pag. 77). Seja B = B(a; r) U tal que f(B) B. Afirmamos

que f(B) e um conjunto convexo. Com efeito, se y1 = f(x1) e

y2 = f(x2), com x1, x2 B, e 0 t 1 entao, pela convexidade de

em B, temos

|g((1 t)y1+ty2) a|2

= ((1 t)y1+ ty2) (1 t)(y1) + t(y2)= (1 t)|g(y1) a|

2 + t|g(y2) a|2

= (1t)|x1a|2+t|x2a|

2 < (1t)r2+tr2

= r2.

Portanto g((1 t)y1 + ty2) B, logo (1 t)y1 + ty2 f(B) e

f(B) e convexo.

Evidentemente, se 0 < s r entao f(B(a; s)) tambem e con-

vexo.

No teorema abaixo, em que M Rn e uma superfcie m-dimensional, usamos a vizinhanca tubular local V(U). Nela, U =

(U0) e um aberto em M, imagem de uma parametrizacao : U0

M, com U0 Rm aberto. Tem-se n m campos de vetores

v1, . . . , vnm : U Rn, diferenciaveis, tais que, para cada y U,


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{v1(y), . . . , vnm(y)} TyM e uma base ortonormal. A partir da,define-se uma aplicacao : U0 Rnm Rn, pondo (x, 1, . . . ,

nm) = (x) +nmi=1

i vi((x)). Fixado a = (x0) U, podemos

restringir suficientemente o aberto U0 x0 em Rm e o numero > 0

de modo que : U0B(0; ) V(U) Rn seja um difeomorfismo,

com (x, 0) = (x) para todo x U0 . transforma isometrica-

mente cada bola (n m)-dimensional x B(0; ), x U0 , na bola

normal B((x); ) T(x)M. A projecao natural : V(U) U

e definida por = 1

1, onde 1

: U0

B(0; ) U0

e a

projecao sobre o primeiro fator. Temos V(U) = yU

B(y; ) e

(B(y; )) = y. (Veja mais detalhes no Captulo 4 de [AR3].)

Teorema 2. Toda cobertura aberta de uma superfcie m-dimensio-

nal M Rn pode ser refinada por uma cobertura simples.

Demonstracao: Para cada ponto a = (x0) M. tomemos uma

vizinhanca tubular local V(U), com a U e U = (U0) contido

em algum aberto da cobertura dada. Pelo Lema 1, existe uma bola

n-dimensional B U0 B(0; ), com centro (x0, 0), tal que (B)

e convexo. Entao W0 = B (U0 0) e uma bola m-dimensional

aberta, logo e difeomorfa a Rm. Seja W = (W0). Como 1(B) =

W0 , tem-se ((B)) = W. O aberto W M contem a e e -

convexo, no seguinte sentido: para quaisquer y1, y2 W e t

[0, 1], tem-se ((1 t)y1 + ty2) W. (Note que (1 t)y1 + ty2

(B) pois (B) e convexo e y1, y2 (B)). Sabemos que W e

contratil por ser difeomorfo a Rm porem, mais geralmente, e facil

ver que todo conjunto -convexo e contratil. Alem disso, toda

intersecao finita de conjuntos -convexos e ainda um conjunto -convexo. (Observe que se U U = entao V(U) V(U) =

V(U U), onde = min{, }.) Portanto, os conjuntos W assim

obtidos formam uma cobertura simples de M que refina a cobertura

inicialmente dada.


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Em particular, toda superfcie compacta admite uma coberturasimples finita.

Teorema 3. Se a superfcie M e compacta ent ao, para todo r 0,

Hr(M) e um espaco vetorial de dimensao finita.

Demonstracao: Mais geralmente, provaremos que Hr(M) tem

dimensao finita quando M e uma superfcie do tipo finito, isto e,

admite uma cobertura simples finita M = U1 Uk . Isto

sera feito por inducao em k, sendo obvio para k = 1. Supondo o

resultado valido para um dado k > 1, seja M = U1 Uk+1 .Escrevamos V = U1 Uk , de modo que M = V Uk+1 . Pela

hipotese de inducao, Hr(V Uk+1) tem dimensao finita, para todo

r 0, pois VUk+1 = (U1Uk+1)(UkUk+1) e uma cobertura

simples. A sequencia de Mayer-Vietoris associada a decomposicao

M = V Uk+1 contem o trecho exato

Hr1(V Uk+1) Hr(M) Hr(V) Hr(Uk+1),

logo Hr(M) tem dimensao finita, em virtude do Teorema do Nucleo

e da Imagem.

4 Cohomologia com suportes compactos

Dada a superfcie M, para cada r 0, indicaremos com rc(M)

o subespaco vetorial de r(M) cujos elementos sao as r-formas

com suporte compacto. E claro que rc(M) d

rc(M), de modo que os espacos vetoriais rc(M), r 0, consti-

tuem um subcomplexo c (M) de (M), cujos grupos de cohomo-logia re-presentaremos por Hrc (M). Quando M e compacta, tem-se

Hrc (M) = Hr(M).

A fim de dar uma primeira indicacao da diferenca entre Hrc (M)

e Hr(M), consideraremos o caso em que M e a reta real R.


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[SEC. 4: COHOMOLOGIA COM SUPORTES COMPACTOS 39

Exemplo 8. As formas de grau zero em R sao as funcoes dife-renciaveis f: R R. Pertencem a 0c (R) aquelas funcoes f: R

R, de classe C, que se anulam fora de um intervalo [a, b]. Um

exemplo tpico disso e a funcao de Cauchy f: R R, definida por

f(x) = e1/x(x1) se 0 < x < 1 e f(x) = 0 se x 0 ou x 1.

As formas fechadas de grau zero em R sao as constantes, logo a

constante 0 e a unica forma fechada de grau zero com suporte com-

pacto. Assim, H0c (R) = 0. Na verdade, este argumento mostra

que H0c (M) = 0 para toda superfcie conexa nao-compacta M ou,

mais geralmente, para toda superfcie cujas componentes conexassao todas nao-compactas. Vejamos H1c (R). Toda

1c (R) e

fechada. Temos (x) = f(x)dx, onde f: R R tem suporte com-

pacto. Afirmamos que e exata se, e somente se,R

f(x)dx = 0.

De fato, em primeiro lugar, se = dg, onde g : R R tem suporte

compacto, entao, tomando [a, b] supp. g, teremosR

f(x)dx =R

dg =b

ag(x)x = g(b) g(a) = 0. Reciprocamente, se tiver-

mosR

=b

af(x)dx = 0 (onde supp. f [a, b]) entao, definindo

g : R R por g(x) =

x

af(t)dt, teremos obviamente g(x) = 0 se

x a e, se for x > b, sera g(x) = ba f(t)dt = R f(t)dt = 0, logog tem suporte compacto. Alem disso, pelo Teorema Fundamen-

tal do Calculo, vale g(x) = f(x) portanto dg = e e exata.

Isto mostra que a transformacao linear A0 : 1c (R) R, definida

por A0 =R

, tem como nucleo o subespaco B1c (R) das formas

exatas com suporte compacto. Como obviamente A0 nao e identi-

camente nula (e portanto e sobrejetiva), segue-se que A0 induz um

isomorfismo A : H1c (R) R, onde A[] =R

.

O exemplo acima ja mostra que a cohomologia com suportes

compactos nao e um invariante do tipo de homotopia, pois umespaco contratil como R tem cohomologia H1c (R) = 0.

Na verdade, uma aplicacao diferenciavel f: M N nao induz,

em geral, um homomorfismo f : Hrc (N) Hrc (M) como no caso

da cohomologia usual pois se e uma forma com suporte compacto


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em N nao e sempre verdade que seu pullback f tambem tenhasuporte compacto. Um exemplo disso ocorre com a aplicacao de

Euler E: R S1, definida por E(t) = (cost, sent). Se = ydx +

xdy 1(S1) e a forma elemento de angulo em S1 entao tem

obviamente suporte compacto mas o mesmo nao se da com E =

dt em R.

Para tratar da cohomologia com suportes compactos, as aplica-

coes adequadas sao as chamadas proprias.

Uma aplicacao contnua f: X Y, entre subconjuntos X

Rm e Y Rn, chama-se propria quando a imagem inversa f1(K)de cada subconjunto compacto K Y e um subconjunto compacto

de X. Equivalentemente, f diz-se propria quando toda sequencia de

pontos xk X sem subsequencia convergente e transformada por

f numa sequencia (f(xk)) que tambem nao possui subsequencia

convergente em Y. Se X e compacto, nao ha sequencia sem sub-

sequencia convergente em X, logo toda aplicacao contnua f: X

Y e propria.

Se a aplicacao diferenciavel f: M N e propria e rc(N)

entao f rc(M) pois supp. f e um subconjunto fechado docompacto f1(supp. ). Portanto f induz um morfismo f : c (N)

c (M), logo um homomorfismo f : Hrc (N) H

rc (M) em cada

dimensao r 0. Se g : N P e outra aplicacao diferenciavel

propria, vale (gf) = fg : Hrc (P) Hrc (M).

No que diz respeito a homotopias, nao e verdade em geral que

duas aplicacoes diferenciaveis proprias e homotopicas induzam o

mesmo homomorfismo na cohomologia com suportes compactos.

Por exemplo, f, g : R R, definidas por f(x) = x e g(x) = x, sao

proprias e homotopicas (pois R e contratil) mas f, g : H1c (R) H1c (R) sao tais que f

[] = [] e g[] = [], logo f = g, ja que

H1c (R) = 0.

Para que se tenha f = g, deve-se supor que as aplicacoes dife-

renciaveis f, g : M N, alem de proprias e homotopicas, sejam


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propriamente homotopicas, isto e, que a homotopia H: M[0, 1] N entre f e g seja uma aplicacao propria.

Com efeito, a prova de que aplicacoes diferenciaveis homotopicas

induzem o mesmo homomorfismo em cohomologia tem por base o

Teorema 2 do Captulo 3 em [AR3], no qual se estabelece uma

homotopia algebrica entre f e g. No final daquela demonstracao

se faz uso do homomorfismo H, induzido pela homotopia H: M

N entre f e g. Neste ponto, e necessario (e suficiente) supor que

H e uma aplicacao propria, ou seja, que f e g sao propriamente

homotopicas.Note-se que se a homotopia H: M [0, 1] N e propria entao,

para cada t [0, 1], a aplicacao Ht : M N, onde Ht(x) = H(x, t),

e propria. Em particular, f = H0 e g = H1 sao proprias. A

recproca e falsa: e possvel que, para todo t [0, 1], Ht seja propria

sem que H: M [0, 1] N o seja.

Exemplo 9. Se 0 r < m entao Hrc (Rm) = 0. Isto e claro quando

r = 0 pois Rm nao e compacto.

Seja 0 < r < m. Dada a forma fechada rc(Rm), pelo

Lema de Poincare existe uma forma r1(Rm) tal que d =

. O suporte de , entretanto, pode nao ser compacto. Devemos

encontrar uma (r 1)-forma com suporte compacto em Rm cuja

diferencial seja igual a .

Vejamos inicialmente o caso r = 1. Entao : Rm R e simples-

mente uma funcao C. Seja B Rm uma bola fechada de centro

0 tal que supp. int. B. Como d = se anula no conjunto

conexo Rm B, a funcao e constante, digamos com (x) = c,

para todo x Rm B. Entao a funcao : Rm R, definida por

(x) = (x) c, se anula em Rm B logo tem suporte compactoe, alem disso, d = d = .

Consideremos, em seguida, o caso em que 1 < r < m. Entao

tomamos bolas fechadas B = B[0; ], B = B[0;2] e C = B[0;3]

tais que supp. int. B, e uma funcao f: Rm [0, 1] de classe


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C, tal que f(B) = 0 e f(Rm C) = 1. Lembremos que d = seanula fora do suporte de , logo a restricao |(Rm B) e fechada.

Como Rm B tem o mesmo tipo de homotopia de Sm1 e o grau de

e r 1 < m 1, vemos que e exata em Rm B, ou seja, existe

r2(Rm B) tal que d = . Entao a forma , de grau r 1

em Rm, definida por = em B e = d(f) em Rm B,

tem suporte compacto, contido em C, pois

x Rm C f(x) = 1 (x) = (x)d(x) = (x)(x) = 0.

Alem disso, em todos os pontos de Rm, tem-se d = d

dd(f ) = d = .

A cohomologia m-dimensional de Rm com suportes compactos

esta contida no

Teorema 4. SejaM uma superfcie m-dimensional conexa e orien-

tada (compacta ou nao). A transformacao linear A : Hmc (M) R,

definida por A[] =

M

, e um isomorfismo.

Demonstracao: Em primeiro lugar, A esta bem definida pois

[] = [] = + d

M

=

M

+

M

d =

M

.

Em segundo lugar, A nao e identicamente nula. Se M e compacta,

basta tomar = elemento de volume para se ter

M = 0. Em

geral, um modo facil de obter mc (M) com

M = 0 consiste

em tomar uma parametrizacao : B(0; 3) U M, uma funcao

: M [0, 1] de classe C com ((x)) = 1 se |x| 1, ((x)) = 0

se 2 |x| 3, (p) = 0 se p / U e por (p) = (p)dx1 dxmpara p U, (p) = 0 quando p M U. Como dimR = 1,

A e sobrejetiva. Resta mostrar que A e injetiva, isto e, que se

mc (M) e tal que

M = 0 entao existe m1c (M) com

= d.


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Consideraremos inicialmente o caso em que M = Rm. PeloLema de Poincare, existe m1(Rm) tal que d = , mas o

suporte de pode nao ser compacto. Tomamos entao uma bola

fechada B, de centro 0, contendo supp. em seu interior. Te-

mosRm

=

B. Seja S = B . Pelo Teorema de Stokes, ve-

se que

S =

B

d =

B =

Rm

= 0. Como foi observado

na Secao 3, resulta da que a restricao de a Rm B e exata:

existe m2(Rm B) tal que d = |(Rm B). A partir

da a demonstracao segue como no Exemplo 9: consideramos bo-

las fechadas B = B[0; ], B

= B[0;2] e C = B[0;3] tais quesupp. int. B e uma funcao f: Rm [0, 1] de classe C, tal que

f(B) = 0 e f(Rm C) = 1. Entao definimos m1(Rm) pondo

= d(f ) em Rm B e = em B. Vemos que tem

suporte compacto, pois se anula fora de C, e d = d = .

Vejamos agora o caso geral, em que M e qualquer superfcie

m-dimensional orientada e conexa.

Tomamos um aberto U0 M difeomorfo a Rm e uma forma

0 mc (M) com supp. 0 U0 e

M

0 = 1. Mostraremos entao

que toda m-forma com suporte compacto em M e cohomologa a

um multiplo constante de 0 . Ou seja, dada arbitrariamente

mc (M), existem k R e m1c (M) tais que = k 0 + d.

Usando particao da unidade, vemos que basta provar isto quando

o suporte de esta contido num aberto U M difeomorfo a Rm,

pois toda mc (M) e soma de formas deste tipo.

Figura 2.

U0

U

W3W2W1


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Como M e conexa, existe uma cadeia de abertos W0 = U0,W1, . . . , W r = U em M, todos difeomorfos a R

m, tais que Wi1

Wi = , i = 1, . . . , r. Para cada um desses valores de i, tomemos

uma forma i mc (M), com suporte contido em Wi1 Wi , tal

que

Mi = 0. Resulta do que vem de ser provado acima que,

escrevendo quando e sao formas cohomologas com su-

porte compacto, existem constantes k1, . . . , kr para as quais valem

as relacoes

1 k1 0, 2 k2 1, . . . , = kr r ,

portanto k 0 onde k = k1 k2 . . . , kr .

Fica assim estabelecido que dim Hmc (M) 1. Mas ja vimos que

a transformacao linear A : Hmc (M) R, definida por A[] =

M,

e sobrejetiva. Logo dim Hmc (M) = 1 e A e um isomorfismo.

Resulta do Teorema 4 que se M e m-dimensional, compacta,

orientada e conexa entao uma forma m(M) tal que M = 0e exata.Uma importante consequencia do Teorema 4 e a

Invariancia da dimensao: Se as superfcies diferenciaveis M e

N sao homeomorfas entao dim. M = dim. N. Em particular, se

U Rm e V Rn sao abertos homeomorfos entao m = n.

Demonstracao: Seja f: M N um homeomorfismo, com dim. M=

m e dim. N = n. Tomemos U M e V = f(U) N aber-

tos contidos em vizinhancas parametrizadas. Entao U e V sao

superfcies orientaveis homeomorfas, de dimensoes m e n respecti-vamente, portanto Hmc (U) R e H

nc (U) R. Se fosse m > n,

teramos Hmc (U) Hmc (V) = 0. Analogamente, se tivessemos

n

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