Pomoc, GeoGebra 3.0Ostatnia modyfikacja: 6 wrzesień, 2007

AutorzyMarkus Hohenwarter, markus@geogebra.org Judith Preiner, judith@geogebra.org

GeoGebra OnlineStrona: www.geogebra.orgPomocy szukaj: http://www.geogebra.org/help/search.html

Spis treściGeoGebra Pomoc 3.0.......................................................................1

Spis treści.........................................................................................2

1. Co to jest GeoGebra?...............................................................5

2. Przykłady..................................................................................6

2.1. Trójkąt z Kątami................................................................62.2. Równanie Liniowe y = m x + b..........................................62.3. Środek Ciężkości Punktów A, B, C...................................72.4. Podział Odcinka AB w Stosunku 7:3.................................82.5. Układ Równań Liniowych Dwóch Zmiennych...................82.6. Styczna do Wykresu Funkcji f(x).......................................92.7. Badanie Funkcji Wielomianowej.....................................102.8. Całki................................................................................10

3. Wprowadzenie do Geometrii...................................................11

3.1. Uwagi Ogólne..................................................................113.1.1. Menu Kontekstowe..................................................113.1.2. Pokaż i Ukryj...........................................................123.1.3. Ślad.........................................................................123.1.4. Powiększalnik..........................................................123.1.5. Stosunek Osi...........................................................123.1.6. Protokół Konstrukcji................................................133.1.7. Pasek Nawigacji......................................................133.1.8. Przedefiniowanie.....................................................133.1.9. Okno Dialogowe Właściwości.................................14

3.2. Tryby...............................................................................143.2.1. Tryby Ogólne...........................................................153.2.2. Punkt.......................................................................173.2.3. Wektor.....................................................................183.2.4. Odcinek...................................................................183.2.5. Półprosta.................................................................183.2.6. Wielokąt..................................................................193.2.7. Prosta......................................................................193.2.8. Krzywa Stożkowa....................................................203.2.9. Łuk i Wycinek Koła..................................................213.2.10. Liczba i Kąt..............................................................223.2.11. Zmienne Boolowskie...............................................23

3.2.12. Miejsce Geometryczne............................................233.2.13. Przekształcenia Geometryczne...............................243.2.14. Tekst.......................................................................253.2.15. Obrazy.....................................................................273.2.16. Właściwości Obrazów.............................................27

4. Wprowadzenie do Algebry......................................................29

4.1. Uwagi Ogólne..................................................................294.1.1. Zmiana Wartości.....................................................294.1.2. Animacja.................................................................29

4.2. Bezpośrednie Wprowadzanie.........................................304.2.1. Liczby i Kąt..............................................................304.2.2. Punkt i Wektor.........................................................314.2.3. Prosta......................................................................314.2.4. Stożkowa.................................................................324.2.5. Funkcja Zmiennej x.................................................324.2.6. Lista Obiektów.........................................................334.2.7. Operacje Arytmetyczne...........................................334.2.8. Zmienne Boolowskie...............................................354.2.9. Operacje Logiczne..................................................35

4.3. Polecenia........................................................................374.3.1. Polecenia Ogólne....................................................374.3.2. Polecenia Boolowskie.............................................374.3.3. Liczba......................................................................384.3.4. Kąt...........................................................................404.3.5. Punkt.......................................................................414.3.6. Wektor.....................................................................434.3.7. Odcinek...................................................................444.3.8. Półprosta.................................................................444.3.9. Wielokąt..................................................................444.3.10. Prosta......................................................................444.3.11. Krzywa Stożkowa....................................................464.3.12. Funkcja....................................................................474.3.13. Krzywa w Postaci Parametrycznej..........................484.3.14. Łuk i Wycinek Koła..................................................484.3.15. Obraz......................................................................494.3.16. Tekst.......................................................................494.3.17. Miejsce Geometryczne............................................504.3.18. Ciąg.........................................................................504.3.19. Przekształcenia Geometryczne...............................51

5. Wydruk i Eksport.....................................................................54

5.1. Drukuj..............................................................................545.1.1. Obszar Roboczy......................................................545.1.2. Protokół Konstrukcji................................................545.1.3. Obszar Roboczy jako Obraz...................................55

5.2. Zapisz Obraz Konstrukcji do Schowka...........................565.3. Protokół Konstrukcji jako Strona Internetowa.................565.4. Dynamiczne Karty Pracy jako Strona Internetowa..........56

6. Opcje.......................................................................................58

6.1. Przyciąganie Punktu.......................................................586.2. Jednostka Kąta...............................................................586.3. Miejsca Dziesiętne..........................................................586.4. Ciągłość..........................................................................586.5. Styl Punktu......................................................................586.6. Styl Kąta Prostego..........................................................596.7. Współrzędne...................................................................596.8. Etykietowanie..................................................................596.9. Rozmiar Czcionki............................................................596.10. Język...........................................................................596.11. Obszar Roboczy..........................................................596.12. Zapisz Ustawienia.......................................................59

7. Narzędzia i Pasek Narzędzi....................................................60

7.1. Narzędzia Zdefiniowane przez Użytkownika..................607.2. Dostosuj Pasek Narzędzi................................................61

8. Interfejs JavaScript.................................................................61

Indeks.............................................................................................62

1. Co to jest GeoGebra?GeoGebra jest dynamicznym oprogramowaniem matematycznym, które łączy geometrię, algebrę i rachunek. Program został stworzony przez Markusa Hohenwarter z Florida Atlantic University do nauki i nauczania matematyki w szkołach.

Z jednej strony, GeoGebra jest dynamicznym systemem geometrii. Możesz przygotować konstrukcje składające się z punktów, wektorów, odcinków, prostych, stożkowych jak również i z funkcji a następnie dynamicznie je zmieniać.

Z drugiej strony, to równania i współrzędne, które mogą być bezpośrednio wprowadzane. Tak więc, GeoGebra ma możliwość, by zająć się zmiennymi dla liczb, wektorów i punktów, znajduje pochodne i całki funkcji, oferuje polecenia takie jak Pierwiastek lub Ekstremum.

Te dwa opisy charakteryzują GeoGebrę: wyrażenie w oknie algebry odpowiada obiektowi w oknie geometrii i vice versa.

2. PrzykładySpójrzmy na kilka przykładów aby poznać możliwości GeoGebry.

2.1. Trójkąt z Kątami Wybierz tryb Nowy punkt z paska narzędzi. Kliknij trzy razy w obszarze roboczym, aby stworzyć trzy wierzchołki trójkąta A, B i C. Następnie, wybierz tryb Wielokąt i kolejno klikaj na punkty A, B i C. Aby zamknąć trójkąt poly1 kliknij ponownie na początkowy punkt A. W oknie algebry wyświetli się pole trójkąta.

Aby zaznaczyć wszystkie kąty trójkąta, wybierz tryb Kąt w pasku narzędzi i kliknij w obszarze trójkąta.

Teraz, wybierz tryb Przesuń i przeciągnij wierzchołki, aby dynamicznie zmodyfikować trójkąt. Jeśli nie potrzebujesz okna algebry i układu współrzędnych, ukryj je używając menu Widok.

2.2. Równanie Liniowe y = m x + bTeraz skoncentrujemy się na znaczeniu m i b w równaniu liniowym y = mx + b wprowadzając różne wartości dla m i b. Aby to zrobić należy wprowadzić w dolnej części okna do pola wprowadzania poniższe linie i nacisnąć klawisz Enter na końcu każdej z nich.

m = 1b = 2y = m x + b

Teraz możemy zmienić m i b używając pola wprowadzania lub bezpośrednio w oknie algebry, klikając prawym klawiszem myszy

(MacOS: Apple + klik) jedną z liczb i wybierając Przedefiniuj. Wypróbuj następujące wartości dla m i b.

m = 2m = -3b = 0b = -1

Również bardzo łatwo możesz zmienić m i b używając

klawisze strzałek (zobacz Animacja) suwaki: kliknij prawym (MacOS: Apple + klik) na m lub b i

wybierz Pokaż/ ukryj obiekt (również zobacz tryb Suwak)

W podobny sposób można badać równania krzywych stożkowych według podziału

elipsy: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 hiperbole: b^2 x^2 – a^2 y^2 = a^2 b^2 lub okręgi: (x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2

2.3. Środek Ciężkości Punktów A, B, C Teraz będziemy konstruować środek ciężkości trzech punktów poprzez wpisanie do pola wprowadzania następujących linii i naciśnięciu klawisza Enter na końcu każdej z nich. Oczywiście do konstrukcji możesz również użyć myszy wykorzystując odpowiednie tryby pracy (zobacz Tryby) z paska narzędzi.

A = (-2, 1)B = (5, 0)C = (0, 5)M_a = Środek [B, C]M_b = Środek [A, C]s_a = Prosta[A, M_a]s_b = Prosta[B, M_b]S = Przetnij [s_a, s_b]

Możesz również wyliczyć środek ciężkości bezpośrednio S1 = (A + B + C) / 3 i porównać oba rezultaty używając polecenia Relacja [S, S1].

Następnie możemy sprawdzić czy S = S1 jest prawdziwe dla

innych położeń A, B i C. Myszką wybieramy tryb Przesuń i przeciągamy punkty.

2.4. Podział Odcinka AB w Stosunku 7:3Jest to łatwe zadanie, ponieważ GeoGebra pozwala nam wykonywać operacje na wektorach. Wpisz w pole wprowadzania następujące linie i naciśnij klawisz Enter po wprowadzeniu każdej z nich.

A = (-2, 1)B = (3, 3)s = Odcinek[A, B]T = A + 7/10 (B - A)

Możemy to też zrobić w następujący sposób A = (-2, 1)B = (3, 3)s = Odcinek [A, B]v = Wektor[A, B]T = A + 7/10 v

Następnie wprowadź liczbę t, np. używając Suwaka i

przedefiniuj punkt T na T = A + t v (zobacz Przedefiniuj). Zmieniając t ty widzisz jak T porusza się wzdłuż linii prostej, która może być teraz przedstawiona w postaci parametrycznej (zobacz Prosta): g: X = T + s v

2.5. Układ Równań Liniowych Dwóch Zmiennych

Dwa równania liniowe ze zmiennymi x i y mogą być zinterpretowane jako dwie proste. Rozwiązaniem algebraicznym jest punkt przecięcia tych prostych. Wpisz w pole wprowadzania następujące linie i naciśnij klawisz Enter po wprowadzeniu każdej z nich.

g: 3x + 4y = 12h: y = 2x - 8S = Przetnij[g, h]

Aby zmienić równanie, kliknij jedno z nich prawym przyciskiem

myszy (MacOS: Apple + klik) i wybierz Przedefiniuj. Używając

myszy przeciągnij proste w trybie Przesuń lub obróć je

używając obrotu względem punktu Obrót o kąt względem punktu.

2.6. Styczna do Wykresu Funkcji f(x) GeoGebra oferuje polecenie stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie x = a. Wpisz w pole wprowadzania następujące linie i naciśnij klawisz Enter po wprowadzeniu każdej z nich.

a = 3f(x) = 2 sin(x)t = Styczna[a, f]

Animując a (zobacz Animacja) styczna ślizga się po wykresie funkcji f.

Tu jest przedstawiony inny sposób otrzymania stycznej do funkcji f w punkcie T.

a = 3f(x) = 2 sin(x)T = (a, f(a))t: X = T + s (1, f'(a))

To daje nam punkt T na wykresie funkcji f, której styczna t ma postać parametryczną.

Przy okazji, styczną do funkcji możesz także utworzyć geometrycznie:

Wybierz tryb Nowy Punkt i kliknij na wykresie funkcji f, aby nanieść nowy punkt na wykresie f.

Wybierz tryb Styczne i kliknij kolejno funkcję f i punkt A.

Teraz wybierz tryb Przesuń i przemieszczaj myszą punkt A wzdłuż wykresu funkcji. W ten sposób możesz także obserwować dynamiczne zmiany stycznej.

2.7. Badanie Funkcji WielomianowejZa pomocą GeoGebry możesz badać pierwiastki, lokalne ekstrema, i punkty przegięcia funkcji wielomianowej. Wpisz w pole wprowadzania następujące linie i naciśnij klawisz Enter po wprowadzeniu każdej z nich.

f(x) = x^3 - 3 x^2 + 1R = Pierwiastek[f]E = Ekstremum[f]I = PunktPrzegięcia[f]

Stosując Przesuń możesz przemieścić funkcję f używając myszy. W tej sytuacji, mogą być interesujące pierwsze dwie pochodne funkcji f. Otrzymasz je wpisując w pole wprowadzania następujące linie i naciskając Enter po każdej z nich.

Pochodna[f]Pochodna [f, 2]

2.8. CałkiBy wprowadzić całki, GeoGebra umożliwia wizualizację górnej i dolnej sumy funkcji w postaci prostokątów. Wpisz do pola wprowadzania następujące linie i naciśnij klawisz Enter po każdej z nich.

f(x) = x^2/4 + 2a = 0b = 2n = 5L = DolnaSuma[f, a, b, n]U = GurnaSuma[f, a, b, n]

Modyfikując a, b lub n (zobacz Animacja; zobacz tryb Suwak) widzisz wpływ tych parametrów na górną i dolną sumę. Aby zmienić parametr n kliknij prawym klawiszem myszy (MacOS: Apple + klik) na n i wybierz Właściwości.

Całka ta może być przedstawiona z użyciem polecenia Całka[f, a, b], gdzie funkcja pierwotna F jest utworzona z zastosowaniem F = Całka[f].

3. Wprowadzenie do GeometriiW tym rozdziale powiemy jak tworzyć i modyfikować obiekty w GeoGebrze.

3.1. Uwagi Ogólne W oknie geometrii (po prawej stronie) wyświetlane są graficzne reprezentacje punktów, wektorów, odcinków, wielokątów, funkcji, linii prostych, stożkowych. Kiedy przesuniesz mysz nad jeden z obiektów pojawi się opis i obiekt zostanie podświetlony. Uwaga: Czasami okno geometrii będziemy nazywać obszarem roboczym.

Dostępnych jest kilkanaście trybów, które decydują jak program Geogebra ma reagować na mysz w oknie geometrii (zobacz Tryby). Dla przykładu, klikając w obszarze roboczym możesz utworzyć nowy punkt (zobacz tryb Nowy Punkt), przecięcie obiektów (zobacz tryb Przecięcie dwóch obiektów) lub okrąg (zobacz tryb

Okrąg).

Uwaga: Podwójne kliknięcie na obiekcie w oknie algebry otwiera pole edycji obiektu.

3.1.1. Menu Kontekstowe Klikając prawym przyciskiem myszy na obiekcie można uzyskać dostęp do menu kontekstowego, za pomocą którego można wybrać np. postać algebraiczną (współrzędne biegunowe lub kartezjańskie, równanie jawne lub uwikłane,…). Znajdują się tu również polecenia

takie jak Zmień nazwę, Przedefiniuj lub Usuń.

Wybierając Własności z pojawiającego się menu kontekstowego poprzez okna dialogowe można zmienić np. kolor, rozmiar, grubość, styl prostej, wypełnienie obiektu.

3.1.2. Pokaż i UkryjObiekty geometryczne można wyświetlać (pokaż) lub nie (ukryj).

Użyj trybu Pokaż / ukryj obiekt lub Menu kontekstowego aby zmienić aktualny stan. Ikona po lewej stronie każdego obiektu w oknie algebry informuje o aktualnym stanie ( “pokaż” lub “ukryj”).

Uwaga: Możesz również użyć trybu Pole wyboru pokaż / ukryj obiekty, aby wywołać polecenie pokaż i ukryj dla jednego lub kilku obiektów.

3.1.3. Ślad Obiekty geometryczne, gdy są przesuwane, mogą zostawiać na ekranie ślad. Użyj Menu kontekstowe, aby włączyć lub wyłączyć ślad.

Uwaga: Wybranie z paska menu Widok pozycji Odśwież powoduje skasowanie wszystkich śladów.

3.1.4. Powiększalnik Po kliknięciu prawym klawiszem myszy (MacOS: Apple + klik) w obszarze roboczym z pojawiającego się menu kontekstowego masz możliwość wybrania powiększenia (zobacz również Powiększ) lub pomniejszenia (zobacz również tryb Pomniejsz).

Uwaga: Szczególne powiększenie okna uzyskuje się klikając prawym przyciskiem myszy (MacOS: Apple + klik) w obszarze roboczym i przeciągając mysz.

3.1.5. Stosunek Osi Kliknięcie prawym przyciskiem myszy (MacOS: Apple + klik) w obszarze roboczym i wybranie Właściwości daje możliwość wybrania z menu kontekstowego

zmiana stosunku między jednostkami osi OX i OY pokaż / ukryj poszczególne osie modyfikacja parametrów osi (np. znacznik, kolor, styl)

3.1.6. Protokół Konstrukcji Interaktywny protokół konstrukcji (menu Widok, Protokół Konstrukcji) jest tabelą pokazującą wszystkie kroki konstrukcji. W dolnej części okna znajduje się pasek nawigacji, za pomocą którego można krok po kroku prześledzić całą konstrukcję. Możliwe jest wstawienie dodatkowego elementu konstrukcji i zmiana kolejności. Więcej informacji znajdziesz w pomocy protokołu konstrukcji (Protokół Konstrukcji, menu Pomoc).

Uwaga: Używając kolumny Punkt zatrzymania z menu Widok możesz zdefiniować pewne kroki konstrukcji jako punkty zatrzymania grupujące pewne obiekty. Kiedy sterujesz konstrukcją poprzez przyciski nawigacji, zgrupowane obiekty pojawiają się w tym samym czasie.

3.1.7. Pasek Nawigacji GeoGebra oferuje pasek nawigacji do zarządzania kolejnymi etapami przygotowanej konstrukcji. Aby wyświetlić pasek nawigacji w dolnej części okna geometrii, wybierz z menu Widok Pasek nawigacji etapów konstrukcji.

3.1.8. Przedefiniowanie Obiekt może zostać przedefiniowany z zastosowaniem Menu Kontekstowe. To jest przydatne do wprowadzania zmian w twojej konstrukcji. Ty także możesz otworzyć okno Przedefiniować wybierając Przesuń i podwójnie klikając na obiekcie zależnym w oknie algebry.

Przykład: Aby umieścić wolny (niezależny) punkt A na prostej h, wybierz Przedefiniuj dla punktu A i wpisz do pola dialogowego Punkt[h]. Aby usunąć punkt z prostej i uczynić go ponownie wolnym, przedefiniuj wprowadzając dowolne współrzędne.

Inny przykład jest konwersją prostej h przechodzącej przez dwa punkty A i B do odcinka. Wybierz Przedefiniuj i wprowadź do pola dialogowego Odcinek[A, B]. To również działa w drugą stronę.

Przedefiniowanie jest bardzo dobrym sposobem modyfikacji konstrukcji. Proszę zauważ, że może również wpływać na zmianę kolejności kroków konstrukcji w Protokole Konstrukcji.

3.1.9. Okno Dialogowe Właściwości Okno dialogowe właściwości pozwala na modyfikację własności obiektów (np. kolor, styl linii). Okno dialogowe otworzysz klikając prawym przyciskiem myszy (MacOS: Apple + klik) na obiekcie i wybierając Właściwości lub wybierając Właściwości z menu Edycja.

W oknie dialogowym właściwości zebrane są parametry różnych typów obiektów (np. punkt, prosta, okrąg) łatwo mieszcząc dużą ich liczbę. Możesz modyfikować własności wybranych obiektów w zakładkach po prawej stronie. Kiedy zakończysz wprowadzać zmiany we własnościach obiektów, zamknij okno dialogowe właściwości.

3.2. TrybyTryby można aktywować z paska narzędzi lub z Menu Geometrii. Kliknij na małą strzałkę w dolnym prawym rogu ikony, aby uzyskać dostęp do menu innych trybów. Uwaga: We wszystkich trybach konstrukcji łatwo utworzysz nowy punkt klikając w obszar roboczy.

Zaznaczanie ObiektuZaznaczyć obiekt to znaczy, kliknąć myszą na obiekt.

Szybka Zmiana Nazwy ObiektuBy zmienić nazwę wybranego lub ostatnio utworzonego obiektu, zacznij pisać w oknie dialogowym Zmień nazwę dla tego obiektu.

3.2.1. Tryby Ogólne

Przesuń W tym trybie możesz myszką przemieszczać i upuszczać niezależne obiekty. Jeżeli poprzez kliknięcie wybierzesz obiekt w

trybie Przesuń możesz usunąć naciskając klawisz Del przesunąć używając klawiszy strzałek (zobacz Animacja)

Uwaga: Naciskając klawisz Esc również aktywujesz tryb Przesuń.

Trzymając klawisz Ctrl możesz wybrać jednocześnie kilka obiektów.

Aby w inny sposób wybrać wiele obiektów położonych blisko siebie, należy trzymając lewy przycisk myszy wyszczególnić je poprzez prostokąt wyboru. Możesz przesunąć zaznaczone obiekty przeciągając myszą jeden z nich.

Prostokąt wyboru może zostać użyty również do wyszczególnienia obszaru do wydruku, eksportu obrazu i dynamicznej karty pracy (zobacz Wydruk i Eksport).

Obrót wokół punktu Najpierw wybierz punkt, który będzie środkiem obrotu. Następnie możesz dokonać obrotu niezależnych obiektów ciągnąc je myszą.

Relacja Zaznacz dwa obiekty, aby otrzymać informację o relacji między nimi (również zobacz polecenie Relacja).

Przemieszczaj płaszczyznę roboczą Przeciągnij i upuść płaszczyznę roboczą przemieszczając początek układu współrzędnych. Uwaga: Możesz również przesunąć płaszczyznę roboczą trzymając klawisz Shift (PC: tylko klawisz Ctrl) i przeciągając myszą.

W tym trybie możesz również skalować każą z osi poprzez przeciąganie ich myszą.

Uwaga: Skalowanie osi jest również możliwe w każdym innym trybie poprzez naciśnięcie i przytrzymanie klawisz Shift (PC: tylko klawisz Ctrl) w czasie przeciągania osi.

Powiększ Kliknij w dowolnym miejscu obszaru roboczego, aby powiększyć (zobacz także Powiększalnik)

Pomniejsz Kliknij w dowolnym miejscu obszaru roboczego, aby pomniejszyć (zobacz także Powiększalnik)

Pokaż / ukryj obiekt Kliknij na obiekt, aby go pokazać lub ukryć. Uwaga: Wszystkie obiekty, które będą schowane są podświetlone. Twoje zmiany będą stosowane, dopóki nie wybierzesz innego trybu z paska narzędzi.

Pokaż / ukryj etykietę Kliknij na obiekt, aby pokazać lub ukryć jego etykietę.

Kopiuj styl Ten tryb pozwala kopiować własności stylu (np. kolor, rozmiar, styl linii) z jednego obiektu na inne. Aby to zrobić, najpierw kliknij na obiekt, którego styl chcesz skopiować. Następnie klikaj na obiekty, które mają przyjąć kopiowany styl.

Usuń obiekt Kliknij na obiekt, aby go usunąć.

3.2.2. Punkt

Nowy punkt Kliknięcie w obszarze roboczym tworzy nowy punkt.Uwaga: Współrzędne punktu są ustalane w momencie zwolnienia przycisku myszy.

Poprzez kliknięcie na odcinku, prostej, wielokącie, krzywej stożkowej, funkcji lub krzywej tworzysz punkt na tym obiekcie (zobacz również polecenie Punkt). Kliknięciem na przecięciu dwóch obiektów tworzysz ich punkt przecięcia (zobacz również polecenie Przetnij).

Przecięcie dwóch obiektów Przecięcie dwóch obiektów można otrzymać na dwa sposoby. Jeżeli …

zaznaczysz dwa obiekty, to ich wszystkie punkty przecięcia zostaną utworzone (o ile to możliwe).

klikniesz na przecięciu dwóch obiektów, to tylko pojedynczy punkt przecięcia zostanie utworzony.

Dla odcinka, promienia lub łuku możesz określić, czy chcesz pozwolić na wprowadzenie punktów przecięcia oddalonych obiektów (zobacz Okno Dialogowe Własności). Może to zostać użyte, gdy chcesz wprowadzić punkt przecięcia dla obiektów rozłącznych na ich przedłużeniu. Dla przykładu, przedłużeniem odcinka lub promienia jest półprosta.

Punkt środkowy lub środek Kliknij na:

dwa punkty, aby otrzymać punkt środkowy. jeden odcinek, aby otrzymać jego środek. krzywą stożkową, aby otrzymać środek.

3.2.3. Wektor

Wektor między dwoma punktami Zaznacz punkt początkowy i końcowy wektora.

Wektor z punktu Zaznacz punkt A i wektor v, aby utworzyć punkt B = A + v i wektor z A do B.

3.2.4. Odcinek

Odcinek między dwoma punktami Zaznacz dwa punkty A i B a otrzymasz odcinek o końcach A i B. W oknie algebry jest wyświetlana długość otrzymanego odcinka.

Odcinek z punktu o danej długości Kliknij na punkt A, który będzie punktem początkowym odcinka. W pojawiającym się oknie wpisz pożądaną długość wektora.

Uwaga: W tym trybie utworzysz odcinek o danej długości i końcu B,

który obrócisz w trybie Przesuń dookoła początkowego punktu A.

3.2.5. Półprosta

Półprosta wyznaczona przez dwa punkty Zaznaczając punkt A i B tworzysz półprostą o początku A i przechodzącą przez punkt B. W oknie algebry jest wyświetlane równanie odpowiedniej prostej.

3.2.6. Wielokąt

Wielokąt Zaznacz co najmniej trzy punkty, które będą wierzchołkami wielokąta. Następnie kliknij ponownie pierwszy, aby zamknąć wielokąt. W oknie algebry wyświetlane jest pole wielokąta.

Wielokąt foremnyZaznacz dwa punkty i wpisz liczbę n do pojawiającego się pola dialogowego a otrzymasz wielokąt foremny o n wierzchołkach (zawierający punkty A i B).

3.2.7. Prosta

Prosta przechodząca przez dwa punkty Zaznacz dwa punkty A i B a otrzymasz prostą przechodzącą przez A i B. Wektor kierunkowy tej prostej to (B - A).

Proste równoległe Zaznacz prostą g i punkt A a w otrzymasz prostą przechodzącą przez punkt A i równoległą do g. Kierunek otrzymanej prostej jest zgodny z kierunkiem prostej g.

Proste prostopadłe Zaznacz prostą g i punkt A a otrzymasz prostą przechodzącą przez A i prostopadłą g. Kierunek otrzymanej prostej jest zgodny z kierunkiem wektora prostopadłego do (zobacz również polecenie WektorProstopadły) prostej g.

Symetralna Symetralną odcinka wyznaczamy przez zaznaczenie odcinka s lub dwóch punktów A i B. Kierunek otrzymanej prostej jest zgodny z kierunkiem wektora prostopadłego (zobacz również polecenie WektorProstopadły) do odcinka s lub AB.

Dwusieczna kąta Dwusieczną kąta można otrzymać na dwa sposoby:

Zaznaczenie trzech punktów A, B, C powoduje powstanie dwusiecznej kąta, którego wierzchołkiem jest punkt B.

Zaznaczenie dwóch prostych powoduje powstanie dwusiecznej kąta, który tworzą.

Uwaga: Wektor kierunkowy wszystkich dwusiecznych jest długości 1.

Styczne Styczną do krzywej stożkowej można otrzymać na dwa sposoby:

Zaznacz punkt A i krzywą c a otrzymasz styczną w punkcie A do krzywej c.

Zaznacz prostą g i krzywą c a otrzymasz styczne do c, które są równoległe do g.

Zaznaczając punkt A i funkcję f otrzymujesz styczną do f w x = x(A).

Prosta biegunowa lub prosta zawierająca średnicę Tryb umożliwia utworzenie prostej biegunowej lub prostą zawierająca średnicę krzywej stożkowej. Ty możesz:

Zaznaczyć punkt i krzywą stożkową, aby otrzymać prostą biegunową.

Zaznaczyć prostą lub wektor i krzywą stożkową, aby otrzymać prostą przechodzącą przez średnicę.

3.2.8. Krzywa Stożkowa

Okrąg o danym środku przechodzący przez punkt Zaznacz punkt M i punkt P, aby utworzyć okrąg o środku M i przechodzący przez punkt P. Promień tego okręgu ma długość MP.

Okrąg o danym środku i promieniu Po zaznaczeniu środka okręgu M wpisz długość promienia do pojawiającego się okna.

Okrąg przechodzący przez trzy punkty Zaznacz trzy punkty A, B i C, aby wyznaczyć okrąg przechodzący przez trzy punkty. Jeśli zaznaczysz trzy punkty na prostej, to tworzony okrąg zostanie zdegenerowany do tej prostej.

Krzywa stożkowa przechodząca przez 5 punktów Zaznaczając pięć punktów wyznaczasz krzywą stożkową przechodzącą przez te punkty. Uwaga: Jeżeli cztery z pięciu punktów nie leżą na prostej to krzywa stożkowa zostanie wyznaczona.

3.2.9. Łuk i Wycinek KołaUwaga: Wielkość algebraiczna łuku jest jego długością. Wielkość wycinka jest jego polem.

Półokrąg Zaznaczając dwa punkty A i B tworzysz półokrąg oparty na odcinku AB.

Łuk o danych końcach zatoczony ze środka Zaznaczając trzy punkty M, A i B tworzysz łuk zatoczony z punktu M, punkt początkowy A i końcowy B łuku. Uwaga: Punkt B nie musi leżeć na łuku.

Wycinek koła o danym środku i przechodzący przez dwa punkty Zaznaczając punkty M, A i B tworzysz wycinek koła o środku w punkcie M, punkt początkowy A i punkt końcowy B. Uwaga: Punkt B nie musi leżeć na wycinku koła.

Łuk przechodzący przez trzy punkty Zaznaczając trzy punkty tworzysz łuk przechodzący przez te punkty.

Wycinek kołowy wyznaczony przez trzy punkty na łuku Zaznaczając trzy punkty na łuku tworzysz wycinek kołowy z tymi punktami na łuku.

3.2.10. Liczba i Kąt

Odległość lub długość Ten tryb umożliwia podanie odległości między dwoma punktami, prostymi lub punktem i prostą. Podaje również długość odcinka lub obwód okręgu.

Pole Ten tryb podaje pole wielokąta, okręgu, elipsy w postaci dynamicznie zmieniającego się tekstu w oknie algebry.

Nachylenie Ten tryb podaje nachylenie prostej w oknie algebry poprzez dynamicznie zmieniający się tekst.

Suwak Uwaga: W GeoGebra suwak jest graficzną reprezentacja niezależnej liczby lub kąta.

Kliknij w pustym miejscu obszaru roboczego aby utworzyć suwak dla liczby lub kąta. Pojawiające się okno umożliwia określić nazwę, przedział [min, max] liczby lub kąta, jak również określenie orientacji i szerokości suwaka (w pikselach). Uwaga: Jeśli chcesz łatwo utworzyć suwak dla istniejącej niezależnej liczby lub kąta możesz to zrobić poprzez wyświetlenie obiektu (zobacz Menu kontekstowe; zobacz tryb Pokaż / ukryj obiekt).

Położenie suwaka może być bezwzględne na ekranie lub określone przez układ współrzędnych. (zobacz Właściwości odpowiedniej liczby lub kąta).

Kąt Ten tryb umożliwia tworzenie …

kąt między trzema punktami kąt między dwoma odcinkami kąt między dwoma prostymi kąt między dwoma wektorami wszystkie wewnętrzne kąty wielokąta

Wszystkie te kąty mają miarę od) do 180°. Jeśli chcesz pozwolić na kąt wklęsły wybierz właściwe ustawienie w Oknie dialogowym właściwości.

Kąt o danej mierze Zaznacz dwa punkty A i B i wpisz miarę kąta do pojawiającego się okna. Ten tryb tworzy punkt C i kąt α, gdzie α jest katem ABC.

3.2.11. Zmienne Boolowskie

Pole wyboru pokaż / ukryj obiektyKlikając w obszar roboczy tworzone jest pole wyboru (zmienna boolowska) dające możliwość wyświetlenia lub ukrycia kilu obiektów. W pojawiającym się oknie możesz określić, których obiektów ma dotyczyć pole wyboru.

3.2.12. Miejsce Geometryczne

Miejsce geometryczne Zaznacz punkt B zależny od innego punktu A. Następnie kliknij punkt A. Zostanie narysowane miejsce geometryczne.Uwaga: Punkt B musi być punktem obiektu (np. prostej, odcinka, okręgu).

Przykład: Wpisz f(x) = x^2 – 2 x – 1 do pola wprowadzania Utwórz nowy punkt A na osi X (zobacz tryb Nowy Punkt;

zobacz polecenie Punkt). Utwórz punkt B = (x(A), f’(x(A))) zależny od punktu

A.

Wybierz tryb Miejsce geometryczne i kolejno kliknij na punkt B i punkt A.

Przesuwaj punkt A wzdłuż osi X i obserwuj ruch punktu B po miejscu geometrycznym.

3.2.13. Przekształcenia Geometryczne Są dostępne następujące przekształcenia geometryczne dla punktów, prostych, stożkowych, wielokątów i obrazów.

Symetria względem punktuNajpierw zaznacz obiekt do odbicia. Następnie kliknij na punkt, który ma być środkiem symetrii.

Symetria względem prostej Najpierw zaznacz obiekt do odbicia. Następnie kliknij na prostą, która ma być osią symetrii.

Obrót o kąt względem punktuNajpierw zaznacz obiekt do obrotu. Kliknij punkt, który będzie środkiem obrotu. Następnie w oknie dialogowym określ kąt obrotu.

Przesuń obiekt o wektor Najpierw zaznacz obiekt do przesunięcia. Następnie kliknij wektor przesunięcia.

JednokładnośćNajpierw zaznacz obiekt do przekształcenia. Wskaż punkt, który będzie środkiem jednokładności. Następnie wpisz do okna dialogowego wartość skali.

3.2.14. Tekst

Tekst Możesz tworzyć statyczny i dynamiczny tekst lub formuły LaTeX w oknie geometrii.

Klikając w obszarze roboczym wskazujesz lokalizację dla nowotworzonego tekst.

Klikając na punkt uzależniasz położenie nowotworzonego tekstu od tego punktu.

Następnie, w pojawiającym się oknie możesz wpisać tekst. Uwaga: Możliwe jest użycie wartości obiektów do tworzenia dynamicznych tekstów.

Wprowadzane Opis”To jest teks” tekst prosty (statyczny)

”Punkt A = ” + A tekst dynamiczny z użyciem współrzędnych punktu A

”a = ” + a + ”cm” tekst dynamiczny z użyciem długości odcinka a

Pozycja tekstu może być bezwzględna lub określona względem układu współrzędnych (zobacz Właściwości tekstu).

Formuły LaTeX W GeoGebra możesz stosować formuły. Aby to zrobić zaznacz pole wyboru Formuła LaTeX w oknie dialogowym trybu Tekst i wprowadź swoją formułę w składni LaTeX. Tutaj znajdziesz objaśnienie kilku ważnych poleceń LaTeX. Więcej informacji znajdziesz w dokumentacji LaTeX.

Polecenie LaTeX Rezultata \cdot b

\frac{a}{b}

\sqrt{x}\sqrt[n]{x}\vec{v}\overline{AB}x^{2}a_{1}\sin\alpha + \cos\beta

\int_{a}^{b} x dx

\sum_{i=1}^{n} i^2

3.2.15. Obrazy

Wstaw obraz Ten tryb umożliwia wstawienie obrazu do twojej konstrukcji.

Klikając w obszarze roboczym wskazujesz położenie lewego dolnego rogu wstawianego obrazu.

Klikając na punkt, poprzez ten punkt określasz położenie lewego dolnego rogu wstawianego obrazu.

Następnie, poprzez okno dialogowe możesz określić skąd pobrać plik-obraz.

3.2.16. Właściwości Obrazów Pozycja Położenie obrazu może bezwzględne lub względne, określone względem układu współrzędnych (zobacz Właściwości obrazu). Ten drugi sposób jest realizowany poprzez podanie trzech punktów narożnych. To daje możliwość dostosowania skali, obrotu i możliwość zniekształceń obrazów.

Narożnik 1 (pozycja lewego dolnego rogu obrazu) Narożnik 2 (pozycja prawego dolnego rogu obrazu)

Uwaga: Ten róg obrazu tylko wtedy może zostać określony, jeżeli wcześniej został określony róg 1. Daje możliwość sterowania szerokością obrazu.

Narożnik 3 (pozycja lewego górnego rogu obrazu) Uwaga: Ten róg obrazu tylko wtedy może zostać określony, jeżeli wcześniej został określony róg 1. Daje możliwość sterowania wysokością obrazu.

Uwaga: Zobacz także Róg

Przykład:Utwórz trzy punkty A, B i C, aby zbadać ich rolę punktów narożnych.

Ustaw punkt A jako pierwszy a punkt B jako drugi róg

obrazu. Przeciągając punkty A i B w trybie Przesuń możesz łatwo obserwować ich wpływ.

Ustaw punkt A jako pierwszy a punkt C jako drugi róg. Zbadaj jak ich przeciąganie wpływa na obraz.

W końcu ustalając wszystkie trzy punkty narożne możesz obserwować jak przeciąganie punktów zniekształca obraz.

Już wiesz jak wpłynąć na położenie i wielkość obrazu. Jeżeli chcesz obraz umieścić w określonym miejscu i ustalić szerokość na 3 a wysokość na 4 możesz to zrobić w następujący sposób:

róg 1: A róg 2: A + (3, 0) róg 4: A + (0, 4)

Uwaga: Jeśli przeciągniesz punkt A w trybie Przesuń, utrzymuje pożądana wielkość.

Obraz w tle Obraz można usytuować w tle poprzez wybranie Obraz w tle (zobacz Właściwości obrazu). Obraz w tle położony jest pod osiami układu współrzędnych i w żaden sposób nie da się go zaznaczyć myszą.Uwaga: Wybranie Właściwości z menu Edycja umożliwia zmianę ustawień obrazu w tle.

Przezroczystość Obraz możesz uczynić przezroczystym aby widzieć obiekty lub osie położone pod nim. Przezroczystość obiektu możesz modyfikować w ustawieniach obrazu wypełnienie wybierając wielkość między 0 % a 100 % (zobacz Właściwości obrazu).

4. Wprowadzenie do AlgebryW tym rozdziale wyjaśnimy, jak z użyciem klawiatury tworzyć i modyfikować obiekty w GeoGebrze.

4.1. Uwagi Ogólne Wartości, współrzędne i równania swobodnych i zależnych obiektów są wyświetlane w oknie algebry (po lewej stronie). Swobodne obiekty nie zależą od innych obiektów i można je całkowicie zmienić.

Możesz tworzyć i modyfikować obiekty używając pola wprowadzania na dole okna GeoGebry (zobacz Bezpośrednie wprowadzanie; zobacz Polecenia).Uwaga: Zawsze po zapisaniu definicji w polu wprowadzania, naciskaj klawisz Enter.

4.1.1. Zmiana Wartości Swobodne obiekty mogą być modyfikowane a zależne nie. Aby manipulować wartościami obiektów swobodnych, należy nowe wartości wprowadzić w polu wprowadzania (zobacz Bezpośrednie wprowadzanie). Przykład: Jeśli chcesz zmienić wartość istniejącej liczby a = 3, wpisz w polu wprowadzania a = 5 i naciśnij klawisz Enter.

Uwaga: Alternatywnie, możesz dokonać zmiany w oknie algebry wybierając Przedefiniuj z Menu kontekstowe lub podwójnie klikając na obiekcie w trybie Przesuń.

4.1.2. Animacja Możesz zmienić liczbę lub kąt wybierając tryb Przesuń. Następnie kliknij na liczbę lub kąt i naciskaj klawisz + lub –.

Przytrzymanie któregoś z tych klawiszy pozwala uzyskać animację.Przykład: Jeżeli współrzędne punktu zależą od liczby k jak w przykładzie P = (2 k, k), wtedy, wraz z ciągłą zmianą liczby k punkt P będzie się przemieszczał wzdłuż prostej.

W trybie Przesuń możesz przesuwać swobodne obiekty

używając klawiszy strzałek (zobacz Animacja; zobacz tryb Przesuń).Uwaga: Możesz dostosować wielkość przyrostu używając Okno Dialogowe Własności dla danego obiektu.

Skróty: Ctrl + klawisz strzałki wprowadza zmiany o 10 jednostek Alt + klawisz strzałki wprowadza zmiany o 100 jednostek

Uwaga: Punkt na prostej może również zostać przesunięty wzdłuż prostej z użyciem klawisza + lub – (zobacz Animacja).

4.2. Bezpośrednie Wprowadzanie GeoGebra rozpoznaje liczby, kąty, punkty, wektory, segmenty, proste, stożkowe, funkcje, parametry krzywych. My teraz wyjaśnimy, jak wprowadzać współrzędne lub równania tych obiektów w polu wprowadzania.

Uwaga: Możesz również używać indeksów w nawach obiektów, dla przykładu A1 lub SAB otrzymujemy przez wprowadzenie as A_1 i s_{AB}.

4.2.1. Liczby i Kąt W liczbach i kątach używany jest symbol “.” oddzielający całości od części dziesiętnych.

Przykład: Wprowadź liczbę r wpisując r = 5.32. Uwaga: Możesz również używać stałej π i stałej Eulera e w wyrażeniach i obliczeniach wybierając je z rozwijanego menu po prawej stronie pola wprowadzania.

Kąty występują w stopniach (°) lub radianach (rad). Stała π może występować w radianach i może być użyta jako pi.

Przykład: Kąt α może być zapisany w stopniach (α = 60) lub w radianach (α = pi/3).

Uwaga: GeoGebra wszystkie wewnętrzne obliczenia wykonuje w radianach. Symbol ° oznacza stałą π/180 używaną do zamiany stopni na radiany.

Suwaki i klawisze strzałek Liczby i kąty swobodne mogą zostać pokazane w oknie geometrii w postaci suwaków (zobacz tryb Suwak). Możesz także zmieniać liczby i kąty w oknie algebry przy pomocy klawiszy strzałek (zobacz Animacja).

Ograniczenie wielkoścido PrzedziałuLiczby i kąty swobodne mogą zostać ograniczone do przedziału [min, max] (zobacz Okno Dialogowe Własności). Ten przedział jest wykorzystywany także dla Suwaka.

Dla każdego kąta zależnego możesz określić, czy to ma być kąt wklęsły czy nie (zobacz Okno Dialogowe Własności).

4.2.2. Punkt i Wektor Punkt i wektor mogą być określone poprzez współrzędne kartezjańskie lub biegunowe (zobacz Liczby i Kąty). Uwaga: Nazwy pisane dużymi literami dotyczą punktów, natomiast małymi odnoszą się do wektorów.

Przykład: Wprowadź dla punktu P lub wektora v współrzędne

kartezjańskie P = (1, 0) lub v = (0, 5). Aby użyć współrzędnych biegunowych wprowadź: P = (1;

0°) lub v = (5; 90°).

4.2.3. Prosta Prosta może być wprowadzona w postaci równania liniowego x i y lub w postaci parametrycznej. W obu przypadkach możesz użyć wcześniej zdefiniowanych zmiennych (np. liczby, punkty, wektory). Uwaga: Możesz wprowadzić nazwę prostej, wpisując ją na początku ze znakiem dwukropka.

Przykład: Wpisując g : 3x + 4y = 2 wprowadzasz nazwę prostej

g i równanie prostej.

Zdefiniuj parametr t (t = 3) przed wprowadzeniem prostej g w parametrycznej postaci g: X = (-5, 5) + t (4, -3).

Wprowadź parametry m = 2 i b = -1. Następnie wprowadź równanie g: y = m x + b otrzymasz prostą g, gdzie y zapisane jest w postaci kierunkowej równania prostej

OśX i OśY Dwie osie współrzędnych są dostępne w poleceniach pod nazwami: OśX i OśY. Przykład: Polecenie Prostopadła[A, OśX] konstruuje prostą równoległą do osi OX przechodzącą przez punkt A.

4.2.4. Stożkowa Stożkowa jest wprowadzana jako równanie kwadratowe w x i y. Główne zdefiniowane zmienne (np. liczby, punkty, wektory) mogą być używane. Nazwę stożkowej wprowadzamy wpisując ją przed znakiem dwukropka.Przykład:

Elipsa ell: ell: 9 x^2 + 16 y^2 = 144 Hiperbola hyp: hyp: 9 x^2 – 16 y^2 = 144 Parabola par: par: y^2 = 4 x Okrąg k1: k1: x^2 + y^2 = 25 Okrąg k2: k2: (x–5)^2 + (y+2)^2 = 25

Uwaga: Jeśli wcześniej zdefiniujesz dwa parametry a = 4 i b = 3, możesz wprowadzić elipsę jako ell: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2.

4.2.5. Funkcja Zmiennej x Aby wprowadzić funkcję, używamy wcześniej zdefiniowanych zmiennych (np. liczby, punkty, wektory) oraz innych funkcji. Przykład:

Funkcja f: f(x) = 3 x^3 – x^2 Funkcja g: g(x) = tan(f(x)) Funkcja nie nazwana sin(3 x) + tan(x)

Wszystkie wewnętrzne funkcje (np. sin, cos, tan) zostały opisane w sekcji o operacjach arytmetycznych (zobacz Operacje Arytmetyczne).

W programie GeoGebra możesz stosować polecenia w celu uzyskania Całki i Pochodnej funkcji.

Możesz także użyć poleceń f’(x) lub f’’(x),… aby otrzymać pochodne funkcji wcześniej zdefiniowanych. f(x).Przykład: Najpierw zdefiniuj funkcję f jako f(x) = 3 x^3 – x^2. Następnie wpisz g(x) = cos(f’(x + 2)), aby uzyskać funkcję g.

Ponadto, funkcje mogą być przesunięte o wektor (zobacz polecenie Przesunięcie) a swobodna funkcja może być przesunięta myszką (zobacz tryb Przesuń).

Ograniczenie Funkcji do przedziału Aby ograniczyć funkcję do przedziału [a, b], użyj polecenia Funkcja (zobacz polecenie Funkcja).

4.2.6. Lista ObiektówUżywając nawiasów klamrowych, możesz stworzyć listę obiektów (np. punktów, odcinków, okręgów).

Przykład: L = {A, B, C} otrzymasz listę, która składa się z trzech

wcześniej zdefiniowanych punktów A, B i C. L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} otrzymasz listę

składającą się z wprowadzonych punktów bez nazw.

4.2.7. Operacje Arytmetyczne Przy wprowadzaniu liczb, współrzędnych lub równań (zobacz Bezpośrednie Wprowadzanie) możesz używać wyrażeń arytmetycznych z nawiasami. W GeoGebra są dostępne następujące operacje:

Operacja Wprowadźdodawanie +odejmowanie -

Operacja Wprowadźmnożenie * lub spacjaiIoczyn skalarny * lub spacjadzielenie /potęgowanie ^ lub 2silnia !funkcja Gamma gamma( )nawiasy ( )współrzędna x x( )współrzędna y y( )wartość bezwzględna abs( )znak sgn( )pierwiastek sqrt( )pierwiastek sześcienny cbrt( )liczba losowa z przedziału od 0 do 1 random( )funkcja wykładnicza exp( ) lub ℯx

logarytm (naturalny o podstawie e) ln( ) lub log( )

logarytm o podstawie 2 ld( )logarytm o podstawie 10 lg( )cosinus cos( )sinus sin( )tangens tan( )arcus cosinus acos( )arcus sinus asin( )arcus tangens atan( )cosinus hiperboliczny cosh( )sinus hiperboliczny sinh( )tangens hiperboliczny tanh( )funkcja odwrotna do cosinusa hiperbolicznego acosh( )funkcja odwrotna do sinusa hiperbolicznego asinh( )funkcja odwrotna do tangensa hiperbolicznego atanh( )największa liczba całkowita mniejsza lub równa danej liczbie

floor( )

najbliższa liczba całkowita większa lub równa danej liczbie

ceil( )

najbliższa liczba całkowita mniejsza, większa bądź równa danej liczbie

round( )

Przykład:

Środek M między punktami A i B możesz otrzymać wprowadzając M = (A + B) / 2

Długość wektora v może być obliczona poprzez użycie l = sqrt(v * v)

Uwaga: W GeoGebrze możesz przeprowadzać operacje również na punktach i wektorach.

4.2.8. Zmienne BoolowskieMożesz w GeoGebra używać zmiennych boolowskich “prawda” i “fałsz”.

Przykład: Wpisz c lub b = fałsz do pola wprowadzania a następnie naciśnij klawisz Enter.

Pole Wyboru i Klawisze StrzałekNiezależne zmienne boolowskie mogą być pokazane w obszarze roboczym w postaci pola wyboru (zobacz tryb Pole wyboru pokaż / ukryj obiekty). Zmienne boolowskie możesz zmieniać również w oknie algebry przy pomocy klawiszy strzałek (zobacz Animacja).

4.2.9. Operacje LogiczneMożesz używać w GeoGebrze następujących operacji logicznych:

Operacja Przykład Wprowadź

równa się ≟ lub == a ≟ b lub a == b

liczby, punkty, proste, stożkowe a, b

nie równa się ≠ lub != a ≠ b lub a !=

b

liczby, punkty, proste, stożkowe a, b

mniejszy niż < a < b liczby a, bwiększy niż > a > b liczby a, bmniejszy lub równy ≤ lub <= a ≤ b lub a <= b liczby a, b

większy lub równy ≥ lub >= a ≥ b lub a >= b liczby a, b

i ∧ a ∧ b wielkości

Operacja Przykład Wprowadźboolowskie a, b

lub ∨ a ∨ b wielkości boolowskie a, b

nie ¬ lub ! ¬a lub !awielkości wielkości boolowskie a

równoległy ∥ a ∥ b proste a, bprostopadły ⊥ a ⊥ b proste a, b

4.3. Polecenia Poprzez polecenia możemy tworzyć nowe i modyfikować istniejące obiekty. Poprzez komendy możesz wprowadzać nazwy etykiet stosując “=”. W poniższym przykładzie nowy punkt zostaje nazwany S.

Przykład: Aby uzyskać punkt przecięcia dwóch prostych g i h wprowadź S = Przecięcie[g, h] (zobacz polecenie Przecięcie).

Uwaga: Możesz także użyć indeksy w nazwach obiektów: A1 lub SAB wprowadzając odpowiednio A_1 lub s_{AB}.

4.3.1. Polecenia Ogólne Relacja Relacja[obiekt a, obiekt b]: wyświetla okno z informacją o

relacji między obiektem a i obiektem b. Uwaga: To polecenie pozwala dowiedzieć się, czy dwa obiekty są równe, czy punkt leży na prostej lub na stożkowej, lub czy prosta jest styczna czy przecina stożkową.

Usuń Usuń[obiekt a]: Usuwa obiekt i wszystkie obiekty zależne od

niego.

ElementElement[lista L, liczba n]: element n-ty listy L

4.3.2. Polecenia Boolowskie Jeżeli[warunek, a, b]: daje w wyniku obiekt a jeśli tylko

warunek jest prawdziwy, i obiekt b jeśli warunek jest fałszywy.

Jeżeli[warunek, a]: daje w wyniku obiekt a jeśli warunek jest prawdziwy, i nieokreślony obiekt gdy fałszywy.

4.3.3. Liczba Długość Długość[wektor v]: Długość wektora vDługość [punkt A]: Odległość A od początku układu

współrzędnychDługość [funkcja f, liczba x1, liczba x2]: Długość

wykresu funkcji f między liczbami x1 i x2Długość [funkcja f, punkt A, punkt B]: Długość

wykresu funkcji f między dwoma punktami A i B na wykresieDługość [krzywa c, liczba t1, liczba t2]: Długość

krzywej c między liczbami t1 i t2Długość [krzywa c, punkt A, punkt B]: Długość krzywej

c odległość między dwoma punktami A i B leżącymi na krzywej

Długość [lista L]: Długość listy L (liczba elementów listy)

Pole Pole[punkt A, punkt B, punkt C, ...]: Pole wielokąta

określonego przez punkty A, B, C Pole[stożkowa c]: Pole krzywej c (okrąg lub elipsa)

Odległość Odległość[punkt A, punkt B]: Odległość między punktem A

i B Odległość[punkt A, prosta]: Odległość punktu A od prostej

g Odległość[prosta g, prosta h]: Odległość między prostą g

i h. Uwaga: Odległość prostych przecinających się wynosi 0. To polecenie ma sens dla prostych równoległych.

Funkcja ModuloResztaDzielenia[liczba a, liczba b]: Reszta z dzielenia

liczby a przez b

Całość z DzieleniaDiv[liczba a, liczba b]: Całość z ilorazu liczby a przez

liczbę b.

Nachylenie Nachylenie[prosta g]: Nachylenie prostej g. Uwaga: To

polecenie rysuje trójkąt nachylenia, którego wielkość może być zmieniona (zobacz Okno Dialogowe Własności).

KrzywiznaKrzywizna[punkt A, funkcja f]: Krzywizna funkcji f w

punkcie AKrzywizna[punkt A, krzywa c]: Krzywizna krzywej c w

punkcie A

Promień Promień[okrąg c]: Promień okręgu c

Obwód KrzywejObwódKrzywej [stożkowa c]: Podaje obwód stożkowej c

(okręgu lub elipsy)

Obwódobwód[wielokąt poly]: Obwód wielokąta poly

Parametr Parametr[parabola p]: Parametr paraboli p (odległość

kierownicy i ogniskowej)

DługośćOsiWielkiej DługośćOsiWielkiej[stożkowa c]: Długość osi małej

krzywej stożkowej

DługośćOsiMałej DługośćOsiMałej[stożkowa c]: Długość drugiej osi krzywej

stożkowej

Mimośród Mimośród[stożkowa c]: Mimośród stożkowej c

Całka Całka[funkcja f, liczba a, liczba b]: Całka oznaczona

funkcji f(x) od a to b. Uwaga: To polecenie zaznacza również obszar pomiędzy wykresem funkcji a osią OX.

Całka[funkcja f, funkcja g, liczba a, liczba b]: Całka oznaczona różnicy funkcji f(x) - g(x) od a do b. Uwaga: Polecenie to zaznacza również obszar między wykresami funkcji f i g.

Uwaga: Zobacz Całka Nieoznaczona

DolnaSuma DolnaSuma[funkcja f, liczba a, liczba b, liczba

n]: Dolna suma funkcji f w przedziale [a, b] z n prostokątami. Uwaga: To polecenie zaznacza również prostokąty dolnej sumy.

GórnaSuma GórnaSuma[funkcja f, liczba a, liczba b, liczba

n]: Górna suma funkcji f w przedziale [a, b] z n prostokątami. Uwaga: To polecenie zaznacza również prostokąty górnej sumy.

IteracjaIteracja[funkcja f, liczba x0, liczba n]: n tą iteracją

funkcji f z rozpoczynając od wielkości x0. Przykład: Po zdefiniowaniu f(x) = x^2 poleceniem Iteracja[f, 3, 2] otrzymujesz następujący rezultat (32)2 = 81

Minimum i MaksimumMin[liczba a, liczba b]: Minimum z liczb a i bMax[liczba a, liczba b]: Maksimum z liczb a i b

Stosunek AfinicznyStosunekAfiniczny[punkt A, punkt B, punkt C]:

Zwraca stosunek afiniczny λ trzech punktów współliniowych A, B i C, gdzie C = A + λ * AB

StosunekAnharmonicznyStosunekAnharmoniczny[punkt A, punkt B, punkt C,

punkt D]: Stosunek anharmoniczny λ trzech współliniowych punktów A, B, C i D, gdzie λ = StosunekAfiniczny[B, C, D] / StosunekAfiniczny[A, C, D]

4.3.4. Kąt Kąt Kąt[wektor v1, wektor v2]: Kąt między dwoma wektorami

v1 i v2 (od 0 do 360°)

Kąt[prosta g, prosta h]: Kąt pomiędzy wektorami kierunkowymi dwóch prostych g i h (od 0 do 360°)

Kąt[punkt A, punkt B, punkt C]: Kąt tworzony jest przez BA i BC (od 0 od 360°). Punkt B jest wierzchołkiem.

Kąt[punkt A, punkt B, kąt alpha]: Kąt o mierze α rysowany z punktu A z wierzchołkiem B. Uwaga: Punkt jest również tworzony poleceniem Obrót[A, alpha, B].

Kąt[stożkowa c]: Kąt skrętu stożkowej względem osi (zobacz polecenie Osie)

Kąt[wektor v]: Kat między osią X i wektorem v Kąt[punkt A]: Kąt pomiędzy osią X i pozycją wektora punktu A Kąt[liczba n]: Zamiana liczby n w kąt (rezultat między 0 i 2pi) Kąt[wielokąt poly]: Wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta

poly

4.3.5. Punkt Punkt Punkt[prosta g]: Punkt na prostej gPunkt[stożkowa c]: Punkt na stożkowej c (np. okręgu, elipsie,

hiperboli) Punkt[funkcja f]: Punkt na wykresie funkcji fPunkt[wielokąt poly]: Punkt na wielokącie polyPunkt[wektor v]: Punkt na wektorze vPunkt[punkt P, wektor v]: Punkt P przesunięty o wektor v

Punkt Środkowy i ŚrodekPunktŚrodkowy[punkt A, punkt B]:Punkt środkowy punktów

A i B PunktŚrodkowy[odcinek s]: Punkt środkowy odcinka sPunktŚrodkowy[stożkowa c]: Centrum stożkowej c (np. okrąg,

elipsa, hiperbola)

Ogniskowa Ogniskowa[stożkowa c]: (Wszystkie) ogniska stożkowej c

Wierzchołek Wierzchołek[stożkowa c]: (Wszystkie) wierzchołki stożkowej

c

ŚrodekCiężkości ŚrodekCiężkości[wielokąt poly]: Środek ciężkości

wielokąta poly

Przecięcie Przecięcie[prosta g, prosta h]: Punkt przecięcia prostej g

i prostej h Przecięcie [prosta g, stożkowa c]: Wszystkie punkty

przecięcia prostej g i stożkowej c (maks. 2) Przecięcie [prosta g, stożkowa c, liczba n]: n-ty

punkt przecięcia prostej g i stożkowej c Przecięcie [stożkowa c1, stożkowa c2]: Wszystkie

punkty przecięcia stożkowych c1 i c2 (maks. 4) Przecięcie [stożkowa c1, stożkowa c2, liczba n]: n-

ty punkt przecięcia stożkowych c1 i c2 Przecięcie [wielomian f1, wielomian f2]: Wszystkie

punkty przecięcia wielomianów f1 i f2 Przecięcie [wielomian f1, wielomian f2, liczba n]:

n-ty punkt przecięcia funkcji f1 i f2Przecięcie [wielomian f, prosta g]: Wszystkie punkty

przecięcia wielomianu f i prostej g Przecięcie [wielomian f, prosta g, liczba n]: n-ty

punkt przecięcia wielomianu f i prostej gPrzecięcie [funkcja f, funkcja g, punkt A]: Punkt

przecięcia funkcji f i g z punktem początkowym A (metoda Newtona)

Przecięcie [funkcja f, prosta g, punkt A]: Punkt przecięcia funkcji f i prostej g z punktem początkowym A (metoda Newtona)

Uwaga: Zobacz także tryb Przecięcie dwóch obiektów

Pierwiastek Pierwiastek[wielomian f]: Wszystkie pierwiastki wielomianu

f (jako punkty) Pierwiastek [funkcja f, liczba a]: Jeden pierwiastek

funkcji f z wartością początkową a (metoda Newtona) Pierwiastek [funkcja f, liczba a, liczba b]: Jeden

pierwiastek funkcji f w przedziale [a, b] (regula falsi)

Ekstremum Ekstremum[wielomian f]: Wszystkie lokalne ekstrema

wielomianu f (jako punkty)

PunktPrzegięcia PunktPrzegięcia [wielomian f]: Wszystkie punkty

przegięcia wielomianu f

4.3.6. Wektor Wektor Wektor[punkt A, punkt B]: Wektor z punktu A do punktu B Wektor[punkt A]: Wektor z początku układu współrzędnych do

punktu A

Kierunek Kierunek[prosta g]: Wektor kierunkowy, wektor leżący na

prostej g. Uwaga: Dla prostej o równaniu ax + by = c otrzymamy wektor (b, - a).

Wektor Jednostkowy WektorJednostkowy[prosta g]: Wektora kierunkowy o

długości 1 prostej gWektorJednostkowy [wektor v]: Wektor o długości 1,

kierunek i zwrot danego wektora v

Wektor Prostopadły WektorProstopadły[prosta g]: Wektor prostopadły do prostej

g. Uwaga: Prosta o równaniu ax + by = c ma wektor prostopadły (a, b).

WektorProstopadły[wector v]: Wektor prostopadły do wektora v. Uwaga: Wektor o współrzędnych (a, b) ma wektor prostopadły (- b, a).

Prostopadły Wektor JednostkowyProstopadłyWektorJednostkowy [prosta g]: Wektor

prostopadły do prostej g o długości 1ProstopadłyWektorJednostkowy [wektor v]: Wektor

prostopadły do wektora v o długości 1

Wektor KrzywiznyWektorKrzywizny[punkt A, funkcja f]: Wektor krzywizny

funkcji f w punkcie A

WektorKrzywizny [punkt A, krzywa c]: Wektor krzywizny krzywej c w punkcie A

4.3.7. Odcinek Odcinek Odcinek[punkt A, punkt B]: Odcinek pomiędzy punktami A i

B Odcinek[punkt A, liczba a]: Odcinek o długości a z punktu

A. Uwaga: Również tworzony jest punkt końcowy odcinka.

4.3.8. PółprostaPółprosta Półprosta [punkt A, punkt B]: Półprosta z punktu A

przechodząca przez punkt B Półprosta [punkt A, wektor v]: Półprosta z punktu A z

wektorem kierunkowym v

4.3.9. Wielokąt WielokątWielokąt[punkt A, punkt B, punkt C,...]: Wielokąt

określony przez punkty A, B, C,… Wielokąt [punkt A, punkt B, liczba n]: Wielokąt

foremny o n wierzchołkach (zawierających punkty A i B)

4.3.10. Prosta Prosta Prosta[punkt A, punkt B]: Prosta przechodząca przez dwa

punkty A i B Prosta [punkt A, prosta g]: Prosta przechodząca przez

punkt A i równoległa do prostej g Prosta [punkt A, wektor v]: Prosta przechodząca przez

punkt A i o wektorze kierunkowym v

Prostopadła Prostopadła [punkt A, prosta g]: Prosta przechodząca

przez punkt A równoległa do prostej g Prostopadła [punkt A, wektor v]: Prosta przechodząca

przez punkt A i prostopadła do wektora v

SymetralnaOdcinka SymetralnaOdcinka [punkt A, punkt B]: Symetralna

odcinka AB SymetralnaOdcinka [odcinek s]: Symetralna odcinka s

Dwusieczna Dwusieczna[punkt A, punkt B, punkt C]: Dwusieczna

kata zdefiniowanego przez punkty A, B i C. Uwaga: Punkt B jest wierzchołkiem kata.

Dwusieczna[prosta g, prosta h]: Dwusieczna kąta między prostymi g i h.

Styczna Styczna[punkt A, stożkowa c]: (Wszystkie) styczne w

punkcie A krzywej stożkowej c Styczna[prosta g, stożkowa c]: (Wszystkie) styczne

krzywej stożkowej c i równoległe do g Styczna[liczba a, funkcja f]: Styczna do wykresu funkcji

f(x) w punkcie, dla którego x = a Styczna[punkt A, funkcja f]: Styczna do wykresu funkcji

f(x), przy x = x(A) Styczna[punkt A, krzywa c]: Styczna do krzywej c w

punkcie A

Asymptota Asymptota [hiperbola h]: Asymptota hiperboli h

Kierownica Kierownica[parabola p]: Kierownica paraboli p

Osie Osie[stożkowa c]: Wielka i mała oś krzywej stożkowej c

OśWielka OśWielka[stożkowa c]:Oś wielka krzywej stożkowej c

OśMała OśMała[stożkowa c]: Oś mała krzywej stożkowej c

Biegunowa Biegunowa[punkt A, stożkowa c]: Biegunowa punktu A

względem stożkowej c

Średnica Średnica[prosta g , stożkowa c]: Średnica stożkowej c

względem prostej gŚrednica[wektor v, stożkowa c]: Średnica stożkowej c

względem wektora v

4.3.11. Krzywa StożkowaOkrąg Okrąg[punkt M, liczba r]: Okrąg o środku M i promieniu r Okrąg[punkt M, odcinek s]: Okrąg o środku M i o promieniu

równym Długość[s] Okrąg[punkt M, punkt A]: Okrąg o środku M i przechodzący

przez punkt A Okrąg[punkt A, punkt B, punkt C]: Okrąg przechodzący

przez trzy punkty A, B i C

Okrąg StycznyOkrągStyczny[punkt A, funkcja f]: Okrąg styczny do

wykresu funkcji f w punkcie AOkrągStyczny[punkt A, krzywa c]: Okrąg styczny do

krzywej c w punkcie A

Elipsa Elipsa[punkt F, punkt G, liczba a]: Elipsa z punktami

ogniskowymi F i G i osią wielką długości a. Uwaga: Warunek: 2a > Odległość[F, G]

Elipsa[punkt F, punkt G, odcinek s]: Elipsa z punktami ogniskowymi F i G i osią wielką równą odcinkowi s (a = Długość[s]).

Hiperbola Hiperbola[punkt F, punkt G, liczba a]: Hiperbola z

punktami ogniskowymi F i G i osią wielką długości a. Uwaga: Warunek: 0 < 2a < Odległość[F, G]

Hiperbola[punkt F, punkt G, odcinek s]: Hiperbola z punktami ogniskowymi F i G, gdzie długość osi wielkiej jest równa długości odcinka s (a = Długość[s])

Parabola Parabola[punkt F, prosta g]: Parabola z punktem

ogniskowym F i kierownicą g

Stożkowa Stożkowa[punkt A, punkt B, punkt C, punkt D, punkt

E]: Krzywa stożkowa przechodząca przez pięć punktów A, B, C, D i C. Uwaga: Żadne z czterech punktów nie mogą być współliniowe.

4.3.12. Funkcja Pochodna Pochodna[funkcja f]: Pochodna funkcji f(x) Pochodna[funkcja f, liczba n]: n-ta pochodna funkcji f(x)

Uwaga: Jeśli używasz f’(x) zamiast Pochodna[f]wtedy również używaj f’’(x) zamiast Pochodna[f, 2].

Całka Całka[funkcja f]: Całka nieoznaczona funkcji f(x)

Uwaga: Zobacz Całka Oznaczona

Wielomian Wielomian[funkcja f]: Rozwinięcie wielomianu funkcji f.

Przykład: Wielomian[(x - 3)^2] daje w wyniku x2 - 6x + 9

SzeregTaylora SzeregTaylora[funkcja f, liczba a, liczba n]:

Rozwinięcie w szereg dla funkcji f o środku w punkcie x = a stopnia n

FunkcjaFunkcja[funkcja f, liczba a, liczba b]: Funkcja

określona równaniem f w przedziale [a, b] i niezdefiniowana poza przedziałem [a, b]

Funkcja WarunkowaMożesz użyć boolowskiego polecenia If (zobacz polecenie Jeżeli) do utworzenia funkcji warunkowej. Uwaga: Możesz używać pochodnych i całek takich funkcji i składać je z “normalnymi” funkcjami.

Przykład:

f(x) = If[x < 3, sin(x), x^2] otrzymujesz funkcję określona równaniami

sin(x) dla x < 3 i x2 dla x ≥ 3.

4.3.13. Krzywa w Postaci ParametrycznejKrzywa[wyrażenie e1, wyrażenie e2, parametr t,

liczba a, liczba b]: Postać parametryczna krzywej przy danym x-wyrażeniu e1 i y-wyrażeniu e2 (z użyciem parametru t) w przedziale [a, b]

Przykład: c = Krzywa[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi]

Pochodna[krzywa c]: Pochodna krzywej c

Uwaga: Krzywe w postaci parametrycznej mogą być użyte jako funkcje w wyrażeniach arytmetycznych.Przykład: Wprowadź c(3) a otrzymasz punkt przy parametrze 3 na krzywej c.

Uwaga: Za pomocą myszy możesz umieścić punkt na krzywej używając trybu Nowy Punkt (zobacz tryb Nowy Punkt; również zobacz polecenie Punkt). Ponieważ parametry a i b są dynamiczne możesz użyć suwaka dla tych zmiennych (zobacz tryb Suwak).

4.3.14. Łuk i Wycinek Koła Uwaga: Algebraiczną wielkością dla łuku jest jego długość a dla wycinka koła jego pole.

Półokrąg Półokrąg[punkt A, punkt B]: Półokrąg wyznaczony przez

punkty A i B.

ŁukOkręgu ŁukOkregu[punkt M, punkt A, punkt B]: Łuk okręgu

zatoczony z punktu M pomiędzy punktami A i B. Uwaga: Punkt B nie musi leżeć na łuku.

ŁukOpisany ŁukOpisany [punkt A, punkt B, punkt C]: Łuk

przechodzący przez trzy punkty A, B i C

Łuk Łuk[stożkowa c, punkt A, punkt B]: Łuk krzywej

stożkowej między dwoma punktami A i B na stożkowej c (okrąg lub elipsa)

Łuk[stożkowa c, liczba t1, liczba t2]: Łuk krzywej stożkowej między dwoma parametrami o wielkości t1 i t2 na stożkowej c dla następujących postaci parametru:

Okrąg: (r cos(t), r sin(t)) gdzie r jest promieniem okręgu Elipsa: (a cos(t), b sin(t)) gdzie a i b są długościami osi

wielkiej i osi małej

WycinekKoła WycinekKoła [punkt M, punkt A, punkt B]: Wycinek koła

ze środka M między punktami A i B. Uwaga: punkt B nie musi leżeć na łuku

WycinekKołaOpisany WycinekKołaOpisany[punkt A, punkt B, punkt C]:

Wycinek koła przechodzący przez A, B i C

WycinekKoła WycinekKołowy[stożkowa c, punkt A, punkt B]:

Wycinek stożkowej między dwoma punktami A i B na stożkowej c (okrąg lub elipsa)

WycinekKołowy[stożkowa c, liczba t1, liczba t2]: Wycinek stożkowej między dwoma parametrami o wielkości t1 i t2 na stożkowej c dla następujących postaci parametru:

Okrąg: (r cos(t), r sin(t)) gdzie r jest promieniem okręgu Elipsa: (a cos(t), b sin(t)) gdzie a i b są długościami osi

wielkiej i osi małej.

4.3.15. Obraz Róg Róg[obraz pic, liczba n]: n-ty róg obrazu pic z 4

narożników.

4.3.16. TekstNazwa Nazwa[obiekt]: Tekst, który jest nazwą obiektu

Uwaga: Możesz użyć tego polecenia do dynamicznych tekstów dla obiektów, które chcesz przemianować

4.3.17. Miejsce Geometryczne Miejsce geometryczne MiejsceGeometryczne[punkt Q, punkt P]: Miejsce

geometryczne. punktu Q zależnego od punktu P. Uwaga: Punkt P musi być punktem obiektu (np. prostej, odcinka, okręgu).

4.3.18. CiągCiągCiąg[wyrażenie e, zmienna i, numer a, numer b]:

Lista obiektów utworzona z użyciem wyrażenia e i indeksu i z zakresu od numeru a do numeru b.Przykład: L = Ciąg[(2, i), i, 1, 5] tworzy listę punktów, których współrzędna y jest z zakresu od 1 do 5

Ciąg[wyrażenie e, zmienna i, numer a, numer b, numer s]: Lista obiektów utworzona z użyciem wyrażenia e i indeksu i z zakresu od numeru a do numeru b z krokiem wielkości s.Przykład: L = Ciąg[(2, i), i, 1, 5, 0.5] tworzy listę punktów, których współrzędna y jest z zakresu od 1 do 5 z krokiem wielkości 0.5.

Uwaga: Tam, gdzie parametry a i b mogą się zmieniać dynamicznie możesz użyć suwaka dla zmiennych.

Inne Polecenia CiągówElement[lista L, liczba n]: n-ty element listy LDługość[lista L]: Długość listy LMin[lista L]: Najmniejszy element listy LMax[lista L]: Największy element listy L

IteracjaListaIteracji[funkcja f, liczba x0, liczba n]:

Lista L o długości n+1 gdzie elementy iteracji funkcji f rozpoczynają się od wielkości x0.Przykład: Po zdefiniowaniu funkcji f(x) = x^2 wprowadź polecenie L = ListaIteracji[f, 3, 2] a otrzymasz

listęL = {3, 32, (32)2} = {3, 9, 81}

4.3.19. Przekształcenia GeometryczneJeżeli zastosujesz polecenie wprowadzając nową nazwę, otrzymasz nowy obiekt, kopię przemieszczanego obiektu. Uwaga: Polecenie Odbicie[A, g] odbija punkt A względem g i zmienia lokalizację punktu A. Zapisując B = Odbicie[A, g] otrzymujesz nowy punkt B natomiast punkt A zostaje niezmieniony.

Przesunięcie Przesunięcie[punkt A, wektor v]: Przesunięcie punktu A o

wektor v Przesunięcie [prosta g, wektor v]: Przesunięcie prostej

g o wektor v Przesunięcie [stożkowa c, wektor v]: Przesunięcie

stożkowej c o wektor v Przesunięcie [funkcja c, wektor v]: Przesunięcie funkcji

f o wektor v Przesunięcie [wielokąt poly, wektor v]: Przesunięcie

wielokąta poly o wektor v. Uwaga: Są tworzone także nowe wierzchołki i odcinki.

Przesunięcie [obraz pic, wektor v]: Przesunięcie obrazu pic o wektor v

Przesunięcie [wektor v, Punkt P]: Przesunięcie wektora v do punktu P

Uwaga: Zobacz także Przesuń obiekt o wektor

Obrót Obrót[punkt A, kąt phi]: Obraca punkt A o kat φ względem

początku układu współrzędnych Obrót[wektor v, kąt phi]: Obraca wektor v o kąt φ Obrót[prosta g, kąt phi]: Obraca prostą g o kąt φ

względem początku układu współrzędnych Obrót[stożkowa c, kąt phi]: Obraca stożkową c o kąt φ

względem początku układu współrzędnychObrót[wielokąt poly, kąt phi]: Obraca wielokąt poly o kąt

φ względem początku układu współrzędnych. Uwaga: Tworzone są również nowe wierzchołki i boki

Obrót[obraz pic, kąt phi]: Obrót obrazu pic o kąt φ względem początku układu współrzędnych

Obrót[punkt A, kąt phi, punkt B]: Obrót punktu A o kąt φ dookoła punktu B

Obrót[prosta g, kąt phi, punkt B]: Obrót prostej g o kąt φ dookoła punktu B

Obrót[stożkowa c, kąt phi, punkt B]: Obrót stożkowej c o kąt φ dookoła punktu B

Obrót[wielokąt poly, kąt phi, punkt B]: Obrót wielokąta poly o kąt φ dookoła punktu B. Uwaga: Tworzone są również nowe wierzchołki i boki.

Obrót[obraz pic, kąt phi, punkt B]: Obrót obrazu pic o kąt φ dookoła punktu B

Uwaga: Zobacz także tryb Obrót o kąt względem punktu

Odbicie Odbicie[punkt A, punkt B]: Odbicie punktu A względem

punktu B Odbicie[prosta g, punkt B]: Odbicie prostej g względem

punktu B Odbicie[stożkowa c, punkt B]: Odbicie stożkowej c

względem punktu B Odbicie[wielokąt poly, punkt B]: Odbicie wielokąta poly

względem punktu B. Uwaga: Tworzone są również nowe wierzchołki i boki.

Odbicie[obraz pic, punkt B]: Odbicie obrazu pic względem punktu B

Odbicie[punkt A, prosta h]: Odbicie punktu A względem prostej h

Odbicie[prosta g, prosta h]: Odbicie prostej g względem prostej h

Odbicie[stożkowa c, prosta h]: Odbicie stożkowej c względem prostej h

Odbicie[wielokąt poly, prosta h]: Odbicie wielokąta poly względem prostej h. Uwaga: Tworzone są również nowe wierzchołki i boki.

Odbicie[obraz pic, prosta h]: Odbicie obrazu pic względem prostej h

Uwaga: Zobacz także tryb Symetria względem punktu; tryb Symetria względem prostej

Jednokładność Jednokładność[punkt A, liczba f, punkt S]:

Jednokładność o środku S i skali f punktu A Jednokładność[prosta h, liczba f, punkt S]:

Jednokładność o środku S i skali f prostej hJednokładność[stożkowa c, liczba f, punkt S]:

Jednokładność o środku S i skali f stożkowej c Jednokładność[wielokąt poly, liczba f, punkt S]:

Jednokładność o środku S i skali f wielokąta poly. Uwaga: Tworzone są również nowe wierzchołki i boki.

Jednokładność[obraz pic, liczba f, punkt S]: Jednokładność o środku S i skali f obrazu pic

Uwaga: Zobacz także tryb Jednokładność

5. Wydruk i Eksport

5.1. Drukuj

5.1.1. Obszar Roboczy W menu Plik dla obszaru roboczego znajdziesz Drukuj Podgląd. Tu możesz określić tytuł, autora, datę i skalę wydruku (w cm).

Uwaga: Naciśnij Enter aby wprowadzić zmiany w oknie podglądu.

5.1.2. Protokół Konstrukcji Aby wydrukować podgląd protokołu konstrukcji, najpierw otwórz Protokół Konstrukcji (menu Widok). Następnie, w menu Plik, znajdziesz Drukuj Podgląd otwartego okna protokołu.

Uwaga: Możesz włączyć i wyłączyć różne kolumny Nazwa, Definicja, Polecenie, Algebra, Punkt zatrzymania w oknie protokołu konstrukcji (zobacz menu Widok protokołu konstrukcji).

Przed wydrukiem swojej konstrukcji w oknie podglądu wydruku protokołu konstrukcji możesz wprowadzić tytuł, autora i datę.

W dolnej części okna protokołu konstrukcji znajduje się pasek nawigacji. Umożliwia on krok po kroku nawigowanie twoją konstrukcją (zobacz Pasek Nawigacji). Uwaga: Używając kolumny Punkt zatrzymania (menu Widok) możesz zdefiniować pewne kroki konstrukcji jako punkty zatrzymania w celu zgrupowania obiektów. Wtedy, sterując swoją konstrukcją poprzez pasek nawigacji, zgrupowane obiekty pojawią się jednocześnie.

5.1.3. Obszar Roboczy jako Obraz W menu Plik, Eksportuj znajdziesz Płaszczyzna Robocza jako Obraz. Tu możesz określić skalę (w cm) i rozdzielczość (w dpi) graficznego pliku wyjściowego. Rzeczywista wielkość obrazu jest wyświetlana w dolnej części okna.Eksportując obszar roboczy jako obraz, możesz wybrać jeden z formatów:

PNG – Portable Network GraphicsTo jest format grafiki rastrowej. W wysokiej rozdzielczości (dpi), lepszej jakości (zazwyczaj wystarcza 300dpi). Grafika PNG nie powinna być skalowana, bo traci wtedy na jakości

Pliki graficzne PNG z powodzeniem możesz stosować na stronie internetowej (html) i w programie Microsoft Word. Uwaga: Jeżeli wstawiasz plik graficzny PNG do dokumentu Worda (menu Wstaw, Obraz z pliku) upewnij się, czy skala jest ustawiona na 100 %. W przeciwnym wypadku zmień skalę (w cm).

EPS – Encapsulated Postscript To jest format grafiki wektorowej. Obrazy w formacie EPS mogą być bezstratnie skalowane. Pliki graficzne EPS mogą być stosowane w programach grafiki wektorowej takich jak Corel Draw i profesjonalnych procesorach tekstu takich jak LaTeX.

Rozdzielczość dla grafiki EPS zawsze jest ustawiona na 72dpi. Ta wartość jest użyta do obliczenia rzeczywistej wielkości obrazu i nie ma wpływu na jego jakość.

Uwaga: Efekt przezroczystości dla wypełnionych wielokątów i stożkowych nie jest możliwy dla grafiki EPS.

SVG – Scaleable Vector Graphic(zobacz EPS format)

EMF – Enhanced Meta Format(zobacz EPS format)

PSTricks dla LaTeX

5.2. Zapisz Obraz Konstrukcji do Schowka

W menu Plik, Eksportuj. znajdziesz Zapisz Obraz Konstrukcji do Schowka To polecenie kopiuje do schowka zrzut ekranu obszaru roboczego w formacie PNG (zobacz format PNG). Ten obraz może być wklejony do innych programów (np. do dokumentu Microsoft Word).

Uwaga: Aby wyeksportować konstrukcję w określonej skali (w cm) użyj Obszar Roboczy jako Obraz z menu Plik, Eksportuj (zobacz Obszar Roboczy jako obraz ).

5.3. Protokół Konstrukcji jako Strona Internetowa

Aby otworzyć okno Eksportuj: Protokół konstrukcji najpierw z menu Widok wybierz Protokół Konstrukcji. Następnie, w menu Plik znajdziesz Eksportuj jako Strona internetowa (html).

Uwaga: Przed wyeksportowaniem protokołu konstrukcji w postaci strony internetowej możesz włączyć lub wyłączyć wybrane kolumny protokołu (zobacz menu Widok w oknie protokołu konstrukcji).

W oknie eksportu protokołu konstrukcji możesz wprowadzić autora, datę konstrukcji i możesz zdecydować czy wyeksportować również wraz z protokołem obraz obszaru roboczego i okno algebry.

Uwaga: Wyeksportowany plik HTML możesz obejrzeć dowolną przeglądarką internetową (np. Mozilla, Internet Explorer) i edytować różnymi edytorami (np. FrontPage, Word).

5.4. Dynamiczne Karty Pracy jako Strona Internetowa

W menu Plik, Eksportuj znajdziesz pozycję Dynamiczna Karta Pracy jako Strona Internetowa (html).

W górnej części okna eksportuj możesz wprowadzić tytuł, autora i datę tworzenia karty pracy.

W zakładce Ogólne możesz dodać tekst przed i po dynamicznej konstrukcji (np. opis konstrukcji i zadania do wykonania). Konstrukcja może być umieszczona bezpośrednio na stronie lub może otwierać się po kliknięciu na przycisk.

W zakładce Zaawansowane możesz zmienić funkcjonalność dynamicznych kart pracy (np. dodać przycisk resetu konstrukcji, otwieranie okna aplikacji poprzez podwójne kliknięcie) jak i zmodyfikować interfejs użytkownika (np. wyświetlić pasek narzędzi, zmodyfikować szerokość i wysokość).Uwaga: Aby dynamiczna karta pracy w całości była widoczna w przeglądarce internetowej, nie używaj zbyt dużych wartości dla szerokości i wysokości dynamicznych kart pracy.

Przy eksporcie dynamicznych kart pracy tworzonych jest kilka plików :

plik html (np. prosta.html) – plik ten zawiera samą kartę pracy

plik GGB (np. prosta.ggb) – plik ten zawiera twoją GeoGebra

geogebra.jar (kilka plików) – te pliki zawierają GeoGebrę i uczynią twoją kartę pracy interaktywną.

Wszystkie pliki (np. prosta.html, prosta.ggb i plik geogebra.jar) muszą być w jednym folderze (katalogu), aby dynamiczna konstrukcja działała. Możesz oczywiście skopiować wszystkie pliki do innego folderu.

Uwaga: Eksportowany plik HTML (np. prosta.html) można obejrzeć dowolną przeglądarką internetową (np. Mozilla, Internet Explorer, Safari). Aby dynamiczna karta pracy działała musi być zainstalowana w komputerze Java. Javę można pobrać bezpłatnie z http://www.java.com. Jeżeli potrzebujesz użyć dynamicznych kart pracy w szkolnej sieci komputerowej, skontaktuj się z administratorem lokalnej sieci w celu zainstalowania Jawy.

Uwaga: Możesz edytować dynamiczne karty pracy używając różnych edytorów (np. FrontPage, Word) otwierając wyeksportowany plik HTML.

6. Opcje Ustawienia globalne możesz zmienić z paska menu opcje. Ustawienia obiektu możesz zmienić używając Menu kontekstowego.

6.1. Przyciąganie Punktu Decydujesz, czy Przyciąganie punktu ustawić na włącz / wyłącz na przyciąganie punktu do siatki.

6.2. Jednostka Kąta Decydujesz, czy miara kąta ma być wyświetlana w stopniach (°), czy radianach (rad). Uwaga: Zawsze są możliwe oba wybory (stopnie lub radiany).

6.3. Miejsca Dziesiętne Decydujesz o ilości miejsc po przecinku; od 0 do 5.

6.4. CiągłośćGeoGebra pozwala w menu Opcje włączyć / wyłączyć heurystykę ciągłości. Oprogramowanie domyślnie używa heurystyki-bliskości by przemieszczające się, blisko położone punkty przecięcia, utrzymać w starej pozycji i uniknąć przeskakiwania punktów przecięcia.

Uwaga: Domyślnie ta heurystyka jest wyłączone. Dla narzędzi zdefiniowanych przez użytkownika (zobacz Narzędzia zdefiniowane przez użytkownika) ciągłość jest także zawsze wyłączona.

6.5. Styl Punktu Decydujesz, czy punkty mają być wyświetlane jako kropki czy jako krzyżyki.

6.6. Styl Kąta Prostego Decydujesz, czy kąt prosty ma być dodatkowo wyróżniony kropką albo kwadratem, czy ma być oznaczony jak wszystkie inne kąty.

6.7. Współrzędne Decydujesz, w jakiej postaci wyświetlane są współrzędne punktu: A = (x, y) lub A(x | y).

6.8. Etykietowanie Decydujesz, czy dla nowo utworzonych obiektów, ma być wyświetlana etykieta czy nie. Uwaga: Przy ustawieniu Automatycznie, dla nowo tworzonych obiektów, wyświetlane są etykiety, jeżeli tylko otwarte jest okno algebry.

6.9. Rozmiar Czcionki Decydujesz o rozmiarze czcionki dla etykiet i tekstu w punktach (pt).

6.10. Język GeoGebra jest wielojęzyczna. Możesz zmienić ustawienia bieżącego języka. To wpływa na zmianę wprowadzanych poleceń i danych wyjściowych.

6.11. Obszar RoboczyOtwiera okno dialogowe, w którym możesz zmienić ustawienia dotyczące obszaru roboczego (np. kolor osi, siatki, tła).

6.12. Zapisz Ustawienia GeoGebra zapamięta twoje ustawienia (ustawienia z menu Opcje dotyczące paska narzędzi i obszaru roboczego), jeżeli wybierzesz Zapisz ustawienia z menu Opcje.

7. Narzędzia i Pasek Narzędzi

7.1. Narzędzia Zdefiniowane przez Użytkownika

Na bazie istniejącej konstrukcji możesz utworzyć w GeoGebrze własne narzędzie. Po przygotowaniu konstrukcji swojego narzędzia, wybierz Utwórz nowe narzędzie z menu Narzędzia W pojawiającym się oknie dialogowym możesz określić dane wyjściowe i dane wejściowe swojego narzędzia, możesz wybrać dla narzędzia nazwę, ikonę i polecenie.

Przykład: Kwadrat-Narzędzie Rozpocznij konstrukcję od dwóch punktów A i B. Zbuduj

pozostałe wierzchołki i połącz je narzędziem Wielokąt aby otrzymać kwadrat poly1.

Wybierz Utwórz nowe narzędzie z menu Narzędzia. Określ Obiekty Wyjścia: Kliknij na kwadrat lub wybierz

obiekty z rozwijanej listy. Określ Obiekty Wejścia: GeoGebra automatycznie określa

obiekty wejścia (tutaj to punkty A i B). Możesz zmodyfikować wybór obiektów wejścia klikając na nie w swojej konstrukcji lub korzystając z listy.

Określ nazwę narzędzia i nazwę polecenia dla swojego nowego narzędzia. Nazwa narzędzia pojawi się na pasku narzędzi GeoGebry, nazwa polecenia może być użyta w polu wprowadzania GeoGebry.

Możesz wybrać obraz dla ikony. GeoGebra zmienia rozmiar obrazu automatycznie, by dopasować przycisk do paska narzędzi.

Uwaga: Twoje narzędzie może być wywołane za pomocą myszy lub polecenia w polu wprowadzania. Wszystkie narzędzia są automatycznie zapisywane w pliku twojej konstrukcji “GGB”.

Używając Menedżera narzędzi możesz w oknie dialogowym (menu Narzędzia) usunąć narzędzie lub zmodyfikować jego nazwę, ikonę. Możesz zapisać wybrane narzędzie w Pliku Narzędzia GeoGebry

(“GGT”). Plik ten możesz użyć później (z menu Plik wybierz Otwórz) i załadować to narzędzie do innej konstrukcji. Uwaga: Otwarcie pliku “GGT” nie zmienia bieżącej konstrukcji, ale otwarcie “GGB” zmienia.

7.2. Dostosuj Pasek NarzędziMożesz dostosować pasek narzędzi GeoGebra, wybierając Dostosuj pasek narzędzi z menu Narzędzia. To jest szczególnie przydatne przy tworzeniu dynamicznych kart pracy, jeżeli potrzebujesz ograniczyć na nich dostęp do niektórych narzędzi z paska narzędzi. Uwaga: Bieżące ustawienia są zapisywane wraz z konstrukcją w pliku “GGB”.

8. Interfejs JavaScript Uwaga: Interfejs JavaScript GeoGebra jest przydatny dla osób, które mają trochę doświadczenia w stosowaniu języka HTML.

Aby udoskonalić dynamiczne karty pracy i ich interaktywność, aplety GeoGebra udostępniają interfejs JavaScript. Na przykład, możesz utworzyć przycisk do losowego generowania nowych konfiguracji dynamicznych konstrukcji.

Zobacz dokument GeoGebra Applets and JavaScript (http://www.geogebra.org w “Help”) a w nim przykłady i informacje jak używać JavaScript w apletach GeoGebry.

Indeks

Aanimacja, 29asymptota, polecenie, 46

Bbezpośrednie wprowadzanie,

30biegunowa lub prosta

zawierająca średnicę, tryb, 20

biegunowa, polecenie, 47biegunowe, współrzędne, 31boolowskie, operacje, 36boolowskie, polecenia, 38boolowskie, zmienne, 36

Ccałka, nieoznaczona, 48całka, oznaczona, 40całka, polecenie, 40, 48całość z dzielenia, polecenie,

39ciąg, 51ciąg, inne polecenia, 52ciągłość, opcje, 60cosinus, 34custom toolbar, 64

Ddługość, polecenie, 39dodawanie, 34dolna suma, polecenie, 41drukuj, 55drukuj, obszar roboczy, 55

drukuj, protokół konstrukcji, 55

dwusieczna kąta, tryb, 20dwusieczna, polecenie, 46dynamiczna karta pracy,

eksport, 58dzielenie, 34

Eeksport, 57eksport, dynamiczna karta

pracy, 58eksport, obszar roboczy, 56eksport, obszar roboczy do

schowka, 57eksport, protokół konstrukcji

jako strona internetowa, 57ekstremum, polecenie, 44element, polecenie, 38elipsa, polecenie, 47etykietowanie, opcje, 61

Fformat, kopiuj styl, tryb, 16formuła, 26funkcja, 33funkcja Gamma, 34funkcja modulo, polecenie, 39funkcja trygonometryczna, 33funkcja trygonometryczna,

arcus cosinus, 35funkcja trygonometryczna,

arcus sinus, 35funkcja trygonometryczna,

arcus tangens, 35

funkcja trygonometryczna, cosinus, 34

funkcja trygonometryczna, cosinus hiperboliczny, 35

funkcja trygonometryczna, funkcja odwrotna do cosinusa hiperbolicznego, 35

funkcja trygonometryczna, funkcja odwrotna do sinusa hiperbolicznego, 35

funkcja trygonometryczna, funkcja odwrotna do tangensa hiperbolicznego, 35

funkcja trygonometryczna, sinus, 34

funkcja trygonometryczna, sinus hiperboliczny, 35

funkcja trygonometryczna, tangens, 34

funkcja trygonometryczna, tangens hiperboliczny, 35

funkcja warunkowa, polecenie, 49

funkcja wykładnicza, 34funkcja, ograniczenie do

przedziału, 33funkcja, polecenie, 48, 49funkcja, wykładnicza, 34

Ggórna suma, polecenie, 41

Hhiperbola, polecenie, 47

Iif, command, 49iloczyn skalarny, 34indeks, 30, 38iteracja, 52

iteracja, plecenie, 41

JJavaScript, 64jednokładność, obiektu z

punktu, tryb, 25jednokładność, polecenie, 54jednostka kąta, opcje, 60język, opcje, 62

Kkartezjańskie, współrzędne,

31kąt, 30kąt, o danej mierze, tryb, 23kąt, ograniczenie wielkości,

31kąt, polecenie, 42kąt, tryb, 23kąt, wklęsły, 31kierownica, polecenie, 46kierunek, polecenie, 44kolor, 11kopiuj styl, tryb, 16krzywa, 49krzywa w postaci

parametrycznej, 49krzywizna, polecenie, 40

Lliczba, 30liczba losowa z przedziału od

0 do 1, 34liczba, ograniczenie wielkości,

31lista, 33logarytm, 34łuk okręgu, polecenie, 50łuk opisany, polecenie, 50łuk, polecenie, 50łuk, przez trzy punkty, tryb, 22łuk, tryb, 21

łuk, ze środka przez dwa punkty, tryb, 21

Mmaksimum, polecenie, 41menedżer, narzędzia, 64menu kontekstowe, 11miejsca dziesiętne, opcje, 60miejsce geometryczne, 24miejsce geometryczne,

polecenie, 51miejsce geometryczne, tryb,

24mimośród, polecenie, 40minimum, polecenie, 41mnożenie, 34

Nnachylenie, polecenie, 40nachylenie, tryb, 22najbliższa liczba całkowita

mniejsza, większa bądź równa danej liczbie, 35

najbliższa liczba całkowita większa lub równa danej liczbie, 35

największa liczba całkowita mniejsza lub równa danej liczbie, 35

narzędzia zdefiniowane przez użytkownika, 63

narzędzia, menedżer, 64narzędzia, zdefiniowane

przez użytkownika, 63nawiasy, 34nowy punkt, tryb, 17

Oobraz, 27obraz w tle, 28obraz, pozycja, 27obraz, przezroczystość, 28

obraz, róg, 51obraz, tło, 28obraz, wstaw, 27obrót, obiektu względem

punktu, tryb, 25obrót, polecenie, 53obrót, wokół punktu, tryb, 15obszar roboczy, 11obszar roboczy, do schowka,

eksport, 57obszar roboczy, drukuj, 55obszar roboczy, eksport, 56obszar roboczy, opcje, 62obwód krzywej, polecenie, 40obwód, polecenie, 40odbicie, polecenie, 53odcinek, konwersja do prostej

przedefiniuj, 14odcinek, między dwoma

punktami, tryb, 18odcinek, polecenie, 45odcinek, z punktu o długości,

tryb, 18odejmowanie, 34odległość, polecenie, 39odległość, tryb, 22ogniskowa, polecenie, 42ograniczenie, funkcja w

przedziale, 33ograniczenie, wielkości kąta,

31ograniczenie, wielkości liczby,

31okno geometrii, 11okrąg, o danym środku

przechodzący przez punkt, tryb, 20

okrąg, o środku i promieniu, tryb, 21

okrąg, polecenie, 47okrąg, przez trzy punkty, tryb,

21

opcje, 60opcje, ciągłość, 60opcje, etykietowanie, 61opcje, jednostka kąta, 60opcje, język, 62opcje, miejsca dziesiętne, 60opcje, obszar roboczy, 62opcje, przyciąganie punktu,

60opcje, rozmiar czcionki, 62opcje, styl kąta prostego, 61opcje, styl punktu, 61opcje, styl współrzędnych, 61opcje, zapisz ustawienia, 62operacje arytmetyczne, 34oś mała, długość, polecenie,

40oś mała, polecenie, 47oś wielka, długość, polecenie,

40oś wielka, polecenie, 46osie, OśX, OśY, 32osie, polecenie, 46osie, stosunek, 12OśX, 32OśY, 32

Pparabola, polecenie, 48parametr, polecenie, 40pasek narzędzi, dostosuj, 64pasek nawigacji, 13, 55pierwiastek, 34pierwiastek sześcienny, 34pierwiastek, polecenie, 43pochodna, polecenie, 48pokaż, 12pokaż / ukryj, etykieta, tryb,

16pokaż / ukryj, obiekt, tryb, 16pole wyboru, pokaż / ukryj

obiekty, 23

pole, definicja całki, 39pole, między dwoma

funkcjami, 39pole, polecenie, 39pole, tryb, 22polecenia, 38półokrąg, polecenie, 50półprosta, polecenie, 45półprosta, przez dwa punkty,

tryb, 18pomniejsz, tryb, 16potęgowanie, 34powiększ, tryb, 16powiększalnik, 12promień, polecenie, 40prosta, 32prosta, grubość, 11prosta, konwersja do odcinka,

przedefiniuj, 13prosta, polecenie, 45prosta, przez dwa punkty,

tryb, 19prosta, styl, 11prosta, symetralna, polecenie,

46prosta, symetralna, tryb, 19proste równoległe, tryb, 19prostokąt wyboru, 15prostopadła, polecenie, 46prostopadły wektor

jednostkowy, polecenie, 44prostopadły, prosta, tryb, 19protocol, 13protokół konstrukcji, 13protokół konstrukcji, drukuj,

55protokół konstrukcji, eksport,

57protokół konstrukcji, jako

strona internetowa, eksport, 57

protokół, eksport, 57

przecięciepolecenie, 43

przecięcie, dwa obiekty, tryb, 17

przedefiniuj, 11, 13przekształcenia

geometryczne, 52przekształcenia,

geometryczne, 52przemieszczaj, płaszczyzna

robocza, tryb, 15przemieszczenia, 52przesuń, obiekt o wektor, tryb,

25przesuń, tryb, 15przesunięcie, polecenie, 52przezroczystość, obraz, 28punkt, 31punkt przegięcia, polecenie,

44punkt zatrzymania, 13, 55punkt, polecenie, 42punkt, przyciąganie, opcje, 60punkt, umieścić na prostej,

przedefiniuj, 13punkt, usunąć punkt z prostej,

przedefiniuj, 13

Rrelacja, polecenie, 38relacja, tryb, 15reszta, 39róg, polecenie, 51rozmiar, 11rozmiar czcionki, opcje, 62rozwinięcie, wielomian, 48

Ssilnia, 34simplify, polynomial, 48sinus, 34ślad, 12

średnica, polecenie, 47środek ciężkości, polecenie,

43środek, polecenie, 42środek, tryb, 17stosunek afiniczny, polecenie,

41stosunek anharmoniczny,

polecenie, 41stożkowa, 32stożkowa, polecenie, 48stożkowa, przez 5 punktów,

tryb, 21styczna, polecenie, 46styczna, tryb, 20styczny, okrąg

polecenie, 47styl kąta prostego, opcje, 61styl punktu, opcje, 61styl współrzędnych, opcje, 61styl, kopiuj, 16suwak, tryb, 22symetria, obiektu względem

prostej, tryb, 24SzeregTaylora, polecenie, 48

Ttangens, 34tekst, 25tekst, tryb, 25tryby, 14tryby ogólne, tryb, 15tryby, tryby ogólne, 15

Uukryj, 12usuń, 11usuń, obiekt, tryb, 16usuń, polecenie, 38

Wwartość bezwzględna, 34

wartość, zmiana, 29wektor, 31wektor jednostkowy,

polecenie, 44wektor krzywizny, wektor,

polecenie, 45wektor prostopadły, wektor,

polecenie, 44wektor, między dwoma

punktami, tryb, 18wektor, polecenie, 44wektor, z punktu, tryb, 18wielokąt

tryb, 19wielokąt foremny, tryb, 19wielokąt, foremny, tryb, 19wielokąt, polecenie, 45wielomian, polecenie, 48wierzchołek, polecenie, 43właściwości, 14właściwości, dialog, 14współrzędna x, 34współrzędna y, 34współrzędne, 31

współrzędne, biegunowe, 31współrzędne, kartezjańskie,

31współrzędne, współrzędna x,

34współrzędne, współrzędna y,

34wstaw, obraz, tryb, 27wstaw, tekst, 25wycinek koła, 50wycinek koła opisany,

polecenie, 50wycinek koła, polecenie, 50wycinek koła, ze środka przez

dwa punkty, tryb, 21wycinek kołowy, przez trzy

punkty, tryb, 22wypełnienie, 11

Zzapisz ustawienia, opcje, 62zmień nazwę, 11znak, 34