PARADOKSY NIESKOŃCZONOŚCI

Grzegorz Szkibiel

Organizacja1. Hotel Hilberta

2. Zbiory równoliczne

3. „Duży” zbiór przeliczalny

4. „Mały” zbiór nieprzeliczalny

5. Zbiór wszystkich zbiorów. Paradoksy Cantora i Russella

6. Paradoksy Zenona z Elei

7. Dodawanie nieskończone

8. Jedna cyfra mniej i... skończone!

1. Hotel Hilberta

David Hilbert (ur. 23 stycznia 1862 w Królewcu (Prusy Wschodnie), zm. 14 lutego 1943 w Getyndze) –matematyk niemiecki; zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej.

D. Hilbert był profesorem uniwersytetu w Getyndze, jednego z najważniejszych wówczas ośrodków myśli

matematycznej w świecie. W pierwszym okresie swej działalności naukowej pracował nad teorią niezmienników algebraicznych. Udowodnił twierdzenie o istnieniu skończonej bazy dla układu niezmienników.

Wyniki swych badań opublikował w książce Grundlagen der Geometrie z 1899 roku (Podstawy geometrii), w której podał formalne aksjomatyczne ujęcie geometrii klasycznej.

1. Hotel – zawsze wolne miejsca

• Ma nieskończoną liczbępokoi.

• Dlatego zawsze znajdziesię w nim wolny pokój.

• Jeśli nie, wystarczygościa z pokoju nr 3 przenieść do pokoju 4, tego z pokoju 4 do pokoju5 itd. Pokój 3 będziewolny!

2. Zbiory równoliczne

Czego jest więcej: czereśni, czy jabłek?

2. Zbiory równoliczne

• Wybieramy z każdego kosza po jednym owocu.

• Wniosek: kosz, który szybciej będzie pusty jest „mniej liczny”

2. A gdyby owoców było nieskończenie wiele?Rozważmy zbiór liczb naturalnych oraz zbiór liczbcałkowitych.

, jeśli jest liczbą nieparzystą

, jeśli jest liczba parzystą

1 2 3 4 5 6 7

0 -1 1 -2 2 -3 3

f (k) =

k −1

2

− k

2

k

k

3. Zbiór przeliczalny - definicje

• Dwa zbiory nazywamy równolicznymi jeśli istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna odwzorowująca jeden zbiór na drugi.

• Zbiór równoliczny zbiorowi liczb naturalnych Nnazywamy przeliczalnym.

• Zbiór przeliczalny możemy ustawić w ciąg.

• Zbiór nieskończony, który nie jest przeliczalny nazywamy nieprzeliczalnym.

3. Liczby wymierne

3. Liczby wymierne

• Na liniach ukośnych suma licznik + mianownik jest stała.

• Liczby wymierne dodatnie można zatem ustawić w ciąg.

• Zbiór liczb wymiernych dodatnich jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.

• Biorąc na przemian liczby dodatnie i ujemne, dochodzimy do następujacego wniosku:

Wniosek: Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.

4. Zbiór Cantora - „mały” zbiór nieprzeliczalny

1. Z odcinka <0,1> wycinamy środkową część.

2. Z powstałych dwóch odcinków wycinamy środkowe części.

3. Postępujemy tak dalej w nieskończoność.

Konstrukcja zbioru Cantora na YouTube

4. Georg CantorGeorg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor(ur. 3 marca 1845 w Sankt Petersburgu, zm. 6 stycznia 1918 w sanatorium w Halle) – niemiecki matematyk.

Studiował w Darmstadt, Zurychu i Getyndze. Doktorat obronił w 1867 roku w Berlinie. Do jego nauczycieli należeli: Karl Weierstraß, Ernst Eduard Kummer oraz Leopold

Kronecker. Uczył w berlińskim gimnazjum i ponad trzydzieści lat był profesorem uniwersytetu w Halle (Saale). Był zaprzyjaźniony z Ryszardem Dedekindem. Cantor miał znaczący udział w tworzeniu podwalin nowoczesnej matematyki. W szczególności uchodzi za twórcę teorii mnogości.

4. Ciągi 0-1Rozważamy ciągi nieskończone, w których wyrazami są tylko 0 lub 1 np.

(0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, …)

(1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, …)

Takich ciągów jest nieprzeliczalnie wiele, bo gdyby zbiór wszystkich ciągów 0-1 był przeliczalny to moglibyśmy wypisać wszystkie te ciągi:

4. Ciągi 0-1

Ale na powyższej liście nie ma ciągu

(1-a11, 1-a22, 1-a33, 1-a44, 1-a55, …)

Zatem mamy sprzeczność.

a11 a12 a13 a14 a15 …

a21 a22 a23 a24 a25 …

a31 a32 a33 a34 a35 …

a41 a42 a43 a44 a45 …

a51 a52 a53 a54 a55 …

… … … … … …

4. Zbiór Cantora jest nieprzeliczalnyKażdemu elementowi zbioru Cantora przypisujemy ciąg 0-1:

jeśli element znajduje się z lewej strony wyciętego odcinka przypisujemy mu wartość 1. W przeciwnym wypadku przypisujemy mu wartość 0.

Wniosek: Zbiór Cantora jest równoliczny zbiorowi ciągów 0-1, czyli jest nieprzeliczalny.

4. Paradoks CantoraGeorg Cantor zauważył, że zbiór A oraz zbiór P(A), wszystkich podzbiorów zbioru A, nie są równoliczne.

A jak jest ze „zbiorem wszystkich zbiorów” X?

Przecież P(X) jest podzbiorem X.

W ten sposób dochodzimy do paradoksu w stylu:

czy Pan Bóg potrafi stworzyć kamień, którego nie podniesie?

5. Paradoks RussellaW „zbiorze wszystkich zbiorów” powinny istnieć zbiory R o własności R ∈ R. I tu mamy serię paradoksów Russella.

5. Paradoks Russella

1. Fryzjer

Na wsi Russellowo w gminieBertrandów mieszka fryzjer,który strzyże tylko tychmieszkańców, którzy niestrzygą się sami. Czystrzyże on sam siebie?

5. Paradoks Russella2) Powieszony czy rozstrzelany.

Republika Russellandii jest pań-stwem zamkniętym dla cudzozie-mców. Dowódcy straży granicznejmają rozkaz zadać każdemu, któ-ry przekroczy granicę pytanie:dlaczego przekroczyłeś granicę?Jeśli powie prawdę należy go roz-strzelać, jeśli skłamie – powiesić.Aż ktoś powiedział tak: Przekro-czyłem granicę, bo będę powie-szony.

I co z takim zrobić?

5. Bertrand RussellBertrand Arthur William Russell,3. hrabia Russell (ur. 18 maja 1872 r.w Ravenscroft (Monmouthshire),zm. 2 lutego 1970 r.w Penrhyndeudraeth, Walia) – brytyjskifilozof, logik, matematyk, działaczspołeczny i eseista.

Laureat Nagrody Nobla w dziedzinie literatury za rok 1950. Zainicjował w 1954 roku kampanię pokojową Pugwash.

5. Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorówWszystkie zbiory, które spełniają warunek Russela R ∈ R nazwiemy zbiorami czerwonymi.

Załóżmy że istnieje zbiór wszystkich zbiorów. Wyróżnimy w nim dwa podzbiory:

C = zbiór wszystkich czerwonych zbiorów.

N = zbiór pozostałych zbiorów (niebieskich).

Czy zbiór N jest niebieski?

Jeśli tak, to N ∈N, a to oznacza że jest on czerwony, więc nie jest niebieski.

Jeżeli nie, to N nie jest niebieski, czyli czerwony. Stąd

N ∈ N. Ale N jest zbiorem zbiorów niebieskich, więc jest niebieski!

Sprzeczność.

6. Paradoksy Zenona z Elei

Są to paradoksy, które łączy ukazanie trudności w rozumie-niu czasu i przestrzeni jako wielkości ciągłych, które możnaw związku z tym dzielić w nieskończoność. Oprócz znacze-nia czysto filozoficznego, paradoksy te mają też znaczeniematematyczne i fizyczne.

6. Zenon z EleiZenon z Elei (ok. 490-430 p.n.e.), filozof grecki.

Następca Parmenidesa z Elei, główny

przedstawiciel szkoły eleatów, wg Arystotelesa

- twórca dialektyki.

Posługując się wyszukanymi argumentami

rozumowymi bronił tezy o niezmienności i niepodzielnościbytu. Sformułował słynne paradoksy, które miały dowodzić,że ruch (zmiana) nie istnieje. Przeciwko wielości rzeczywysuwał twierdzenie, że nie można w nieskończonośćdzielić czegoś, bo uzyska się w końcu części nieposiadające wymiarów, a suma części bez wymiarów musibyć równa zeru.

6. Achilles i żółw

6. StrzałaZałóżmy, że wystrzelona z łuku strzała pokonała określony dowolnyodcinek drogi. Można więc powiedzieć, że w momencie wystrzeleniaznajdowała się ona na początku tej trasy, a po dotarciu do celu – nakońcu. Pytanie jednak, gdzie przebywała w trakcie pokonywania tejdrogi. Można odpowiedzieć, że w 1/4 czasu pokonywania tego odcinkamusiała być niewątpliwie w 1/4 odcinka. Gdy zadamy pytanie, gdziebyła po 1/2 czasu lotu, znowu można odpowiedzieć, że w 1/2 odcinka.Po 3/4 czasu – w 3/4 odcinka, i tak dalej w nieskończoność. Możemysobie wyobrażać dowolną chwilę lotu, w którym strzała znajdowała sięw jakimś konkretnym punkcie, w konkretnej odległości od łucznika.Czyli możemy powiedzieć, że skoro w każdej chwili znajdowała się wjakimś konkretnym punkcie, więc w każdej chwili była w spoczynku.Niemożliwe jest zatem, aby w każdej chwili czasu strzała pozostawaław spoczynku i poruszała się jednocześnie.

6. Dawne próby rozwiązania paradoksów• Dowodzono, iż w świecie rzeczywistym nie można

dzielić odcinków w nieskończoność, a także, żewszystkie zjawiska zachodzące w nim są ciągłe, a niepunktowe, jak w ujęciu Zenona.

• Matematyk Giovanni Benedetti (1530-1590) twierdził, iż"zatrzymywanie" obiektów w ich ruchu to dostrzeganiejedynie części zjawiska, bowiem między statycznymiobrazami znajdują się nieskończenie krótkie odcinkiczasu, w których obiekt przebywa odpowiednie odcinkidrogi.

6. Dzisiejsze rozwiązania• W matematyczny sposób można łatwo udowodnić, że w

tym przypadku suma nieskończonej liczby odcinków dajeodcinek o skończonej długości, a więc czas potrzebnydo pokonania go również jest skończony.

• Paradoks dotyczący Achillesa i żółwia można rozwiązaćza pomocą wykresu pokazującego stosunek drogi doczasu i punkt, w którym Achilles zrówna się z żółwiem.

6. Pozostałe paradoksy ZenonaMiara: Jeśli wielość istnieje, musi być jednocześnienieskończenie mała i nieskończenie duża. Wielość zdefinicji musi być podzielna, podzielna zaś jest dopóki jejczęści posiadają wielkość. Jeżeli jest nieskończeniepodzielna, to składa się z nieskończenie wielu części.Jeżeli części te nie mają wielkości, to również całość,złożona z części pozbawionych wielkości, musiałaby byćpozbawiona wielkości. Jeżeli części mają skończonąwielkość, to całość, jako złożona z nieskończenie wieluczęści posiadających jakąś wielkość, byłaby nieskończonejwielkości.

6. Pozostałe paradoksy Zenona• Ilość: Jeśli wielość istnieje, musi być zarówno skończona

i nieskończona w ilości. Jeśli rzeczy jest tyle ile jest, toich ilość powinna być skończona. Jednak każde dwierzeczy są oddzielone przez trzecią, a pomiędzy nimi sąnastępne i tak dalej. I tak liczba istniejących rzeczy jestnieograniczona.

• Miejsce: Jeżeli wszystko, co istnieje, zajmuje jakieśmiejsce, to również miejsce musi mieć swoje miejsce itak dalej, w nieskończoność.

6. Pozostałe paradoksy Zenona• Soryt: od gr. σωρός czyli stos : Jaką najmniejszą liczbę

ziaren nazwać można stosem (ziaren)?

• Siew: Skoro przy zasiewaniu pojedynczego ziarna brakjest wrażeń słuchowych, to przy zasiewaniu większejilości szum musi być złudzeniem.

• Argumenty przeciwko wielości opierają się na błędnymzałożeniu (tym samym co argumenty przeciw ruchowi),iż można dzielić w nieskończoność. Błędność "siewu"polega na wyciąganiu wniosku ze zbyt niskiego poziomuszumu przy sianiu małej ilości ziarna.

6. Pozostałe paradoksy Zenona• Stacja benzynowa:

• Ile kosztuje kropla benzyny?

• Nic.

• To poproszę ich 200000000000000.

7. Dodawanie nieskończoneCzy można dodać nieskończoną liczbę składników?

Rozważmy na przykład sumę:

1+ �

�+�

�+�

�+⋯+

�

�+⋯

Zauważmy, że suma dwóch początkowych składników jestrówna

�. Natomiast suma czterech początkowych składni-

ków jest równa��

�. Ogólnie suma n początkowych składni-

ków wynosi� �

���. Możemy więc przyjąć, że nasza suma

nieskończona jest równa 2.

Rozważmy sumę

� =1

1 ∗ 2+

1

2 ∗ 3+

1

3 ∗ 4+⋯+

1

� � + 1+⋯

Aby obliczyć sumę n początkowych składników, zauważmy że:1

� � + 1=1

�−

1

� + 1

Zatem nasza suma przybiera postać:1

1−1

2+1

2−1

3+⋯+

1

�−

1

� + 1

Więc jest równa 1−�

���. Ostatecznie � = 1.

7. Dodawanie nieskończone

Rozważmy sumę:

1 +1

2+1

3+1

4+1

5+1

6+1

7+1

8+⋯+

1

�+⋯

Tym razem:

1 +1

2> 1

1

3+1

4>1

21

5+1

6+1

7+1

8>1

2

…i tak dalej. Ogólnie suma 2� początkowych składników jest większa od

���

�. Zatem cała suma jest równa ∞.

7. Dodawanie nieskończone

8. Jedna cyfra mniej i... skończone• Zadanie: Czy suma odwrotności liczb naturalnych

zapisanych bez użycia cyfry 7 jest nieskończona?

• Pokażemy, że nie. Najpierw zajmiemy się sumą

1 +1

11+1

111+⋯

czyli sumą odwrotności liczb naturalnych zapisanych za pomocą tylko jednej cyfry.

8. Jedna cyfra mniej i... skończone

• Zauważmy, że 1 =�

�!", �

��<

�

�!�, �

���<

�

�!$, …

• Ogólnie, n-ty składniek naszej sumy jest mniejszy lub równy

�

�!'�.

• Zatem nasza suma jest mniejsza lub równa

�

� �

�"

=�!

(< 1

8. Jedna cyfra mniej i... skończone• Rozważmy teraz sumę

1 +1

2+1

11+1

12+1

21+1

22

+1

111+1

112+1

121+1

122+1

211+1

212+1

221+1

222+⋯

odwrotności liczb naturalnych zapisanych za pomocą dwóch cyfr.

8. Jedna cyfra mniej i... skończoneMamy tu:

• Dwie odwrotności liczb jednocyfrowych – ich suma jest mniejsza od

�

�= 2 ∗ (

�

�!)!.

• Cztery odwrotności liczb dwucyfrowych – ich suma jest mniejsza od

�

�!= 2 ∗ (

�

�!)�.

• Osiem odwrotności liczb trzycyfrowych – ich suma jest mniejsza od

�

�!!= 2 ∗ (

�

�!)�.

• Itd.

8. Jedna cyfra mniej i... skończone• Ostatecznie, mamy oszacowanie naszej sumy przez

liczbę

2 ∗�

� $

�"

=�!

�= 2,5.

• A co z naszą pierwotną sumą?

• Jest mniejsza od

9 ∗�

� ,

�"

= 90.

Linki1. http://pl.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor

2. http://pl.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert

3. http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/b_zbiory.php

4. http://www.youtube.com/watch?v=MdNg6f0e1Ys

5. http://pl.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell

Literatura

1. Michał Szurek, Opowieści matematyczne, wyd.WSiP, Warszawa 1987,

2. Manfred R. Schroeder, Number Theory in Science and Communication, Springer, Berlin 1997,

3. Roland L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, Matematyka konkretna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1996,

4. Rooney Anne, Fascynująca Matematyka, Bellona, Warszawa 2011.