GNPWE4 Luk Poziomy GEO

download GNPWE4 Luk Poziomy GEO

of 27

Transcript of GNPWE4 Luk Poziomy GEO

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKA

    dr inz. Mirosaw Jan Nowakowski

    uk poziomy na jednotorowej linii kolejowej

    Ostatnie zmiany: 24 pazdziernika 2013 r. godz. 20:12

    Wszelkie prawa zastrzezone

    Spis tresci

    1. Wprowadzenie teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Zjawiska fizyczne przy przejezdzie przez uk poziomy . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Ksztat geometryczny krzywej przejsciowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Dugosc uku krzywej przejsciowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Geometria uku koowego z symetrycznymi krzywymi przejsciowymi . . . . . 101.5. Stosowany ukad wsprzednych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6. Wsprzedne punktw gwnych uku z krzywymi przejsciowymi . . . . . . . 131.7. Dugosc krzywej przejsciowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2. Algorytm rozwiazania zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1. Obliczanie przechyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Obliczanie dugosci krzywej przejsciowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3. Sprawdzenie dugosci czesci koowej uku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Wyznaczenie charakterystyk katowych i liniowych ukadu . . . . . . . . . . . 212.5. Obliczenie wsprzednych punktw gwnych ukadu . . . . . . . . . . . . . . 21

    3. Przykady obliczen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1. Przykad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Przykad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3. Przykad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4. Przykad 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5. Przykad 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.6. Przykad 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    1. Wprowadzenie teoretyczne

    1.1. Zjawiska fizyczne przy przejezdzie przez uk poziomy

    Przy analizie i projektowaniu ukadu geometrycznego toru kolejowego w planieruch pociagu rozpatruje sie jako ruch punktu materialnego skupionego w srodkuciezkosci przekroju poprzecznego pojazdu, poruszajacego sie ze staa predkosciapo trajektorii okreslonej osia toru kolejowego, pomijajac przy tym wszelkie oporyruchu.

    Z 1-go prawa dynamiki Newtona wynika, ze przy v = const, podczas ruchupo torze prostym jedyna sia dziaajaca na pojazd o masie m jest sia grawitacji.

    1

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKA

    k = 0 a = 0 k = 1/R a = v /R2

    KP

    RR

    k = 0 a = 0Rys. 1. Wykres zmian krzywizny toru i przyspieszen w paszczyznie poziomej podczas

    ruchu pojazdu po uku poziomym

    Natomiast podczas ruchu po uku poziomym o promieniu R pojawia sie dodatkowasia dziaajaca w paszczyznie poziomej sia odsrodkowa F wyrazana wzorem

    F = m v2

    R(1)

    Podczas przejazdu przez ukad geometryczny zbudowany z dwch prostychuozonych na paszczyznie poziomej, skierowanych w rzne strony i poaczonychukiem poziomym (rys. 1) wystepuja zmiany:

    o promienia (na prostej r = , na uku r = R), albo inaczej krzywizny toru(na prostej k = 0, na uku k = 1/R);

    o zwiazane z tym zmiany si i przyspieszen dziaajacych w paszczyznie poziomejprostopadle do osi toru (na prostej F = 0 i a = 0, natomiast na uku F = mv2/Ri a = v2/R).

    Na styku prostej z ukiem koowym wystepuje naga, skokowa zmiana przyspie-szenia odsrodkowego. Jest to niekorzystne dla spokojnosci jazdy, komfortu pasa-zerw i bezpieczenstwa ruchu. Dlatego w wiekszosci torw (z wyjatkiem torwbocznych na stacjach) nie aczy sie bezposrednio prostej z ukiem, lecz na ich stykuwykonuje sie dodatkowy element geometryczny k r z y w a p r z e j s c i o w a.Zapewnia ona ciaga i monotoniczna zmiane krzywizny toru od wartosci k = 0na prostej do wartosci k = 1/R na styku z ukiem koowym o promieniu R, cow konsekwencji umozliwia pynna zmiane przyspieszenia niezrwnowazonego anod wartosci 0 na prostej do v2/R na uku koowym.

    Krzywa przejsciowa likwiduje skokowa zmiane przyspieszenia, nie wpywajednak na wartosc przyspieszenia odsrodkowego dziaajacego na pojazd podczasruchu po uku poziomym. Wartosc tego przyspieszenia nie jest obojetna dlakomfortu jazdy, bezpieczenstwa ruchu i trwaosci nawierzchni kolejowej. Z rys. 2bwynika, ze podczas jazdy po uku wystepuje przeciazenie zewnetrznego tokuszynowego. Prowadzi to do jego szybszego zuzycia. Ponadto zwiekszenie siy Fdo wartosci, przy ktrej kierunek siy wypadkowej W wypadnie powyzej punktupodparcia koa na zewnetrznym toku szynowym moze doprowadzic do wykolejeniapociagu.

    Wpyw siy odsrodkowej mozna zneutralizowac wykonujac w uku tzw. p r z e -c h y k e, ukadajac zewnetrzny tok szynowy wyzej od toku wewnetrznego. Narys. 2c przedstawiono sytuacje, gdy przechyka o wartosci h cakowicie niweluje

    2

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKA

    G

    P s P

    (a)

    G

    s

    W

    F

    Hz Hw

    Pz Pw

    (b)

    s

    G

    P

    P

    W

    F

    h

    (c)

    Rys. 2. Rozkad si i reakcji nawierzchni kolejowej podczas ruchu po torze: a) prostym,b) poozonym w uku bez przechyki, c) poozonym w uku z przechyka teoretycz-na. G grawitacja, F sia odsrodkowa, W sia wypadkowa, P, Pz , Hz , Pw ,Hw reakcje nawierzchni, h przechyka, s rozstaw szyn (mierzony miedzyich osiami).

    wpyw siy odsrodkowej wystepujacej podczas ruchu po uku poziomym wypad-kowa W siy grawitacji i siy odsrodkowej celuje wzduz pionowej osi symetrii po-jazdu, prostopadle do podogi wagonu, dokadnie w os toru. Przechyka, przy ktrejwystepuje taka sytuacja nosi miano p r z e c h y k i t e o r e t y c z n e j (h= h0).

    Nazwa przechyka teoretyczna ma uzasadnienie. Dla danego promienia Ri danej predkosci v0 istnieje jedna przechyka teoretyczna h0 = h(R, v0). W praktycena liniach kolejowych prowadzony jest przewaznie ruch mieszany, czyli ruchpociagw o rznych masach i predkosciach (nieliczne wyjatki to metro i niektrelinie specjalnego przeznaczenia). Jezeli po takim uku pociag bedzie sie poruszaz predkoscia v > v0, to pojawi sie w nim przyspieszenie niezrwnowazoneskierowane na zewnatrz uku i przeciazony bedzie zewnetrzny tok szynowy. Jezelinatomiast pociag bedzie sie porusza z predkoscia v < v0, to przyspieszenieniezrwnowazone bedzie skierowane do srodka uku (rys. 3). W praktyce ustalasie graniczne wartosci przyspieszen skierowanych na zewnatrz i do wewnatrzuku, i przy projektowaniu przechyki na liniach o ruchu mieszanym uwzgledniasie zarwno maksymalna predkosc pociagw pasazerskich vp, jak i minimalnapredkosc pociagw towarowych vt .

    Wartosc przyspieszenia niezrwnowazonego skierowanego na zewnatrz uku,wystepujaca w ruchu pociagw pasazerskich, wyznaczamy z rys. 3a. Z widocznegona nim trjkata KMN wynika, ze:

    sin=h

    s,

    natomiast z trjkata ABO otrzymujemy zaleznosc

    tg=f a

    g.

    3

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKAC f 0

    g

    a BA

    hs

    K MN

    (a)

    a

    h

    s

    g

    f 0C

    BAK

    N

    M

    (b)

    Rys. 3. Mozliwe kierunki dziaania przyspieszenia niezrwnowazonego: a) w ruchupociagw pasazerskich; b) w ruchu pociagw towarowych. g przyspieszenieziemskie, f przyspieszenie odsrodkowe, a przyspieszenie niezrwnowazone.

    Poniewaz kat jest bardzo may (w praktyce hmax 0,1 s), mozna przyjac, ze

    sin tg ,

    skad otrzymujemy:

    h

    s=

    f ag

    ,

    h

    s=

    v2pR ag

    ,

    a =v2pR g h

    s.

    Przyspieszenie to nie moze przekraczac wartosci dopuszczalnej w ruchu pocia-gw pasazerskich, czyli

    a =v2pR g h

    s ap . (2)

    Podobne rozumowanie prowadzi do wyznaczenia przyspieszenia niezrwno-wazonego skierowanego do srodka uku, gdy w ruchu najwolniejszych pociagw

    4

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKAtowarowych na uku wystapi nadmiar przechyki. Z rys. 3b mamy:

    sin=h

    s tg= f + a

    g,

    h

    s=

    v2tR+ a

    g,

    a =g h

    s v

    2t

    R,

    skad ostatecznie, wprowadzajac dopuszczalna wartosc przyspieszenia niezrwno-wazonego w ruchu pociagw towarowych at , otrzymujemy:

    a =g h

    s v

    2t

    R at . (3)

    Wzory (2) oraz (3) maja podstawowe znaczenie przy analizie granicznychwartosci promienia, przechyki i predkosci na uku poziomym.

    Jest oczywiste, ze przechyka powinna wystepowac wyacznie na uku. W torzeprostym oba toki szynowe musza byc uozone na tej samej wysokosci. Na styku pro-stej z ukiem powstaje zatem problem analogiczny jak przy zmianie przyspieszenianiezrwnowazonego nalezy umozliwic ciaga i monotoniczna zmiane przechykitoru od wartosci 0 na prostej do wartosci h w punkcie jej poaczenia z ukiem koo-wym (przy zaozeniu, ze przechyka na uku wystepuje). Odcinek toru, na ktrymjest to realizowane nosi nazwe r a m p y p r z e c h y k o w e j.

    Wspzaleznosc zjawisk powodujacych koniecznosc wykonania krzywej przej-sciowej oraz rampy przechykowej ma skutek praktyczny: krzywa przejsciowa po-winna byc wykonana w tym samym miejscu co rampa przechykowa i miec takasama dugosc (rys. 4). W praktyce dopuszcza sie kilka scisle okreslonych wyjatkwod tej reguy.

    L x

    h

    rampa przechykowa xpkp

    kkp

    uk koowy

    prostakrzywa przejciowa

    Rys. 4. Typowe wzajemne poozenie krzywej przejsciowej i rampy przechykowej

    5

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKA1.2. Ksztat geometryczny krzywej przejsciowej

    W Polsce podobnie jak w wielu innych krajach powszechnie stosowanakrzywa przejsciowa jest parabola trzeciego stopnia (rys. 5) o rwnaniu:

    y =x3

    6 R L , (4)gdzie:

    R promien uku koowego [m];L dugosc krzywej przejsciowej [m];x , y wsprzedne prostokatne [m] w ukadzie jak na rys. 5.

    Krzywa ta charakteryzuje sie liniowym wzrostem krzywizny miedzy jej poczat-kiem i koncem. Odpowiada jej zatem rampa przechykowa o takim samym (tzn.liniowym) wzroscie przechyki na jej dugosci.

    Podstawowe charakterystyki katowe i liniowe krzywej przejsciowej, to:

    o kat nachylenia stycznej do krzywej w koncu krzywej przejsciowej kkp,obliczany ze wzoru

    tg=d

    dx

    x3

    6 R L

    x=L

    =x2

    2 R L

    x=L

    =L

    2 R ; (5)

    o odcieta srodka uku koowego obliczana ze wzoru

    xs = L R sin ; (6)

    uk koowy

    uk paraboli

    pkp

    kkp

    y k

    M kkp'L

    x

    T

    R

    R

    Sy

    xs

    n

    P

    K

    Rys. 5. Krzywa przejsciowa w postaci paraboli trzeciego stopnia

    6

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKAo rzedna konca krzywej przejsciowej obliczana ze wzoru

    yk =

    x3

    6 R L

    x=L

    =L2

    6 R ; (7)

    o przesuniecie uku do wewnatrz wyrazane wzorem

    n= yk R (1 cos) ; (8)o dugosc stycznej do krzywej w jej poczatku, tzn. w pkp, obliczana ze wzoru

    Tpkp = PM = L yktg = L L2

    6 RL

    2 R= L L

    3=

    2

    3 L ; (9)

    o dugosc stycznej do krzywej w jej koncu, tzn. w kkp, obliczana ze wzoru

    Tkkp = MK =L

    3cos. (10)

    W praktyce funkcjonuja przyblizone wzory na obliczanie wartosci odcietej srod-ka uku xs oraz przesuniecia uku do wewnatrz n. Maja one geneze w czasach,gdy geodeta wiekszosc obliczen wykonywa w polu, a rozwiazywanie funkcji try-gonometrycznych wymagao korzystania z tablic (kopotliwych w uzyciu i o maejdokadnosci).

    Dostrzegajac fakt, ze przy projektowaniu linii kolejowych mielismy do czynieniaz duzymi wartosciami promieni oraz maymi dugosciami krzywych przejsciowych,czyli maa wartoscia ilorazu L/R stwierdzono, ze spotykane w praktyce wartoscikata sa bardzo mae. Dla maych wartosci tego kata mozna przyjac zaozenie

    sin tg ,skad wzr (6) mozna przeksztacic do postaci

    xs = L R sin L R tg= L R L2R =L

    2. (11)

    Przesuniecie uku do wewnatrz mozna w przyblizeniu obliczyc odejmujac od

    rzednej konca krzywej przejsciowej strzake uku na dugosciL

    2, ktra wyraza sie

    wzorem:

    F =

    L

    2

    22R

    =L2

    8RWobec tego przesuniecie n wynosi:

    n yk F = L2

    6R L

    2

    8R=

    L2

    24R(12)

    W praktyce przy odpowiednio duzej wartosci ilorazu L/R stosowanie wzo-rw przyblizonych (11) i (12) prowadzi do istotnych bedw. Wynikiem przyjetych

    7

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKA

    Rys. 6. Niezgodnosc rzednych krzywej przejsciowej i uku koowego w koncu parabolitrzeciego stopnia

    przyblizen jest bowiem nieciagosc funkcji opisujacej tor w koncu krzywej przej-sciowej, a konkretnie rzna wartosc rzednej konca krzywej przejsciowej i prze-sunietego uku koowego w koncu krzywej przejsciowej (rys. 6).

    Rzedna paraboli w koncu krzywej przejsciowej yk wyraza sie wzorem (7) ,natomiast rzedna uku koowego w tym punkcie wynosi:

    y+k =L2

    24R+ R

    sR2

    L

    2

    2(13)

    Jak widac, yk < y+k . Rznica tych wartosci wynosi

    yk = y+k yk = R

    sR2

    L

    2

    2 L

    2

    24R= R R

    r1 L

    2

    4R2 3L

    2

    24R. (14)

    Po wprowadzeniu podstawienia

    u=L2

    4R2

    wyrazenie pod pierwiastkiem mozemy rozwinac w szereg Taylora:

    (1 u)z = 1 z1!

    u+z(z 1)

    2!u2 z(z 1)(z 2)

    3!u3+ . . . ,

    8

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKA

    co dla z =1

    2oraz przy ograniczeniu sie do trzech pierwszych wyrazw rozwiniecia

    daje p1 u= 1 1

    2u 1

    8u2 . (15)

    Po zastosowaniu tej zaleznosci do przeksztacenia wzoru (14) otrzymujemy

    yk = R R1 1

    2 L

    2

    4R2 1

    8

    L2

    4R2

    2 3L224R

    ,

    skad po uporzadkowaniu ostatecznie dochodzimy do zaleznosci

    yk =L4

    128R3(16)

    Rznica ta okazaa sie w pewnych warunkach niemozliwa do zaakceptowania.Rozpoczeto wiec poszukiwania metody jej wyeliminowania, co doprowadzio dopowstania wspczynnikw korygujacych klasyczna postac rwnania paraboli trze-ciego stopnia (4) oraz charakteryzujacych ja parametrw katowych i liniowych.Przy powszechnym dostepu do elektronicznej techniki obliczeniowej oraz syste-mw precyzyjnej geodezji satelitarnej stosowanie takich korekt w procesie oblicze-niowym jest nieuzasadnione, gdyz stosowanie dokadnych wzorw wynikajacychwprost z zaleznosci geometrycznych, tzn. (6) i (8) nie stanowi zadnego problemu.

    1.3. Dugosc uku krzywej przejsciowej

    W niektrych przypadkach (np. przy obliczaniu kilometrazu linii czy obliczaniuzmian dugosci toru przy jego regulacji) niezbedna jest znajomosc dugosci krzywej

    przejsciowej mierzonej po krzywiznie, to znaczy Lk = l(_

    PK).Dugosc uku krzywej przejsciowej Lk okresla caka

    Lk =

    L0

    p1+

    f (x)2

    dx . (17)

    Po podstawieniu do tego wyrazenia pierwszej pochodnej funkcji (4) otrzymuje-my

    Lk =

    L0

    r1+

    x4

    4R2 L2dx .

    Caki tej nie mozna wyrazic za pomoca funkcji elementarnych, konieczne jestzatem rozwiniecie wyrazenia podcakowego w szereg i cakowanie jego kolejnychwyrazw. W konsekwencji otrzymujemy wzr

    Lk = L

    1+

    1

    10

    L

    2R

    2 1

    72

    L

    2R

    4+

    1

    208

    L

    2R

    6 . . .

    . (18)

    9

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKAProste oszacowanie bedu w szeregu przemiennym zbieznym pozwala zalecic

    do praktycznego stosowania wzr ograniczony do trzech pierwszych wyrazwrozwiniecia:

    Lk = L

    1+

    L2

    40 R2 L4

    1152 R4

    . (19)

    Przy kilometrowaniu linii wymagane jest rozwiazanie sytuacji odwrotnej wyznaczania wsprzednych prostokatnych paraboli w ukadzie jak na rysunku4 w rwnych odstepach mierzonych po krzywiznie, czyli znalezienie x(lk) orazy(lk), gdzie lk oznacza odlegosc od poczatku krzywej przejsciowej mierzonej pokrzywiznie paraboli, przy czym 0 lk Lk.

    Dugosc rzutu L caej paraboli w funkcji jej dugosci Lk mierzonej po krzywizniemozna z wystarczajaca dokadnoscia wyznaczyc za pomoca wzoru

    L = Lk

    1 L

    2k

    40 R2

    , (20)

    skad dla dowolnego punktu odlegego po krzywiznie o Lx od poczatku krzywejprzejsciowej mamy:

    x = Lx

    1 L

    2x

    40 R2

    . (21)

    Wsprzedna y dla tak wyznaczonej wartosci x obliczamy ze wzoru (4).Jezeli wymagana jest wieksza dokadnosc obliczen, niz mozliwa do uzyskania

    przy stosowaniu wzoru (20), nalezy wykorzystac zaleznosc (18) z odpowiednialiczba wyrazw szeregu. Jest to rwnanie algebraiczne nstopnia. Rozwiazanietakiego rwnania jest mozliwe za pomoca typowych metod numerycznych.

    1.4. Geometria uku koowego z symetrycznymi krzywymi przejsciowymi

    W praktyce przy trasowaniu linii kolejowej najczesciej mamy do czynienia z sy-tuacja, gdy odcinki proste sa poaczone z ukami koowymi za pomoca krzywychprzejsciowych o jednakowej dugosci. Mamy wtedy do czynienia z ukadem syme-trycznym wzgledem dwusiecznej kata wierzchokowego (rys. 7).

    Przy rozwiazywaniu takiego ukadu dane sa:

    o promien uku koowego R [m];o dugosc krzywej przejsciowej L [m];o kat zwrotu trasy [], [g], [RAD].

    Majac te dane nalezy w pierwszej kolejnosci obliczyc charakterystyki krzywejprzejsciowej (, xS, yk, n, Tpkp, Tkkp), po czym mozna przystapic do wyznaczeniawartosci pozostaych charakterystyk katowych i liniowych caego ukadu: kata, na ktrym oparta jest czesc koowa uku zawarta miedzy koncami krzywychprzejsciowych oraz dugosci stycznych Ts, T0 i Tk:

    10

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKA

    = 2 , (22)Z = (R+ n)

    sec

    2 1

    + n , (23)

    Ts = (R+ n) tg 2 , (24)T0 = xs + Ts , (25)

    Tk = R tg 2 . (26)

    Dugosc czesci koowej uku w zaleznosci od jednostek, w jakich podany jestkat nalezy wyznaczyc z jednego z ponizszych wzorw:

    k = R RAD = R pi g

    200g=

    R pi 180 (27)

    Przy obliczaniu wsprzednych krzywej przejsciowej i uku koowego w uka-dzie o poczatku w PKP (jak na rysunku 5) wazne sa jeszcze rzedna i odcieta punktusrodkowego uku O. Odpowiadaja im wartosci xmax oraz ymax na rysunku 7. Sa onerwne

    T S

    R R

    x s n

    T 0

    W

    W 1

    S

    pkp1 pkp2

    kkp1 kkp2M1

    M2

    T k

    /2

    Tpkp

    Tkkp

    R

    Z

    O

    O'

    x max

    ymax

    Rys. 7. Ukad geometryczny uku koowego z symetrycznymi krzywymi przejsciowymi

    11

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKA

    2-ga wiartka3-cia wiartka

    1-sza wiartka4-ta wiartka

    Rys. 8. Ukad wsprzednych prostokatnych paskich. xA, yA wsprzedne punktu A; Az azymut od punktu 0 do punktu A.

    xmax = xs + R sin 2 (28)ymax = n+ R

    1 cos

    2

    (29)

    1.5. Stosowany ukad wsprzednych

    Finalnym efektem kazdego projektu trasy komunikacyjnej jest jej wytyczenie w te-renie. W tym celu konieczne jest posuzenie sie pewnym przyjetym ukadem wsp-rzednych, w ktrym mozna w sposb jednoznaczny okreslic poozenie kazdegopunktu trasy.

    W geodezji oglnej, w ktrej powierzchnia odniesienia jest paszczyzna, jednymze stosowanych ukadw wsprzednych jest kartezjanski paski ukad wsprzed-nych prostokatnych (rys. 8). Tworza go dwie prostopade do siebie osie x i y , przyczym:

    o dodatni kierunek osi x wskazuje na pnoc (N),o dodatni kierunek osi y wskazuje na wschd (E),o kierunek orientuje sie przez okreslenie jego azymutu, ktry definiujemy jako kat

    poziomy pomiedzy dodatnim kierunkiem osi x a danym kierunkiem, mierzonyzgodnie z ruchem wskazwek zegara.

    Z przedstawionej definicji azymutu wynika, ze dla odcinka aczacego dwa rznepunkty A i B mozemy okreslic dwa azymuty, przy czym w zaleznosci od uzytychjednostek katowych:

    AzAB = AzBA+ 180 = Azg

    BA+ 200 g

    Do okreslenia wsprzednych dowolnego punktu wystarczy (rys. 9):

    o znajomosc wsprzednych punktu odniesienia A,o znajomosc odlegosci d od punktu odniesienia A do punktu o szukanych

    wsprzednych B,o znajomosc azymutu Az AB od punktu odniesienia A do punktu o szukanych

    wsprzednych B.

    12

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKAMajac powyzsze dane mozemy zapisac:

    xB = xA+ d cos(AzAB) ,yB = yA+ d sin(AzAB) . (30)

    Jest to zarazem zwiazek miedzy prostokatnym ukadem wsprzednych, a uka-dem biegunowym, w ktrym poozenie punktu na paszczyznie okreslone jest przezelement katowy (azymut) oraz liniowy (odlegosc).

    1.6. Wsprzedne punktw gwnych uku z krzywymi przejsciowymi

    Punkty gwne uku z krzywymi przejsciowymi to punkty W , pkp1, M1, kkp1,pkp2, M2, kkp2 oraz W1 na rys. 7. Ich wsprzedne mozemy wyznaczyc, znajac:

    o wartosci jego charakterystyk liniowych i katowych;o poozenie dowolnego punktu w terenie, do ktrego mozna dowiazac projekto-

    wany ukad w naszych rozwazaniach beda to zawsze wsprzedne wierzcho-ka gwnego ukadu W (xW , yW );

    o azymuty stycznej wejsciowej Az1 (podany w strone d o w i e r z c h o k a) orazstycznej wyjsciowej Az2 (podany w strone o d w i e r z c h o k a).

    Azymuty stycznej poczatkowej (wejsciowej) oraz koncowej (wyjsciowej) poda-wane sa zgodnie z rosnacym kilometrazem linii. To wystarcza do obliczenia katazwrotu trasy oraz zorientowania ukadu, tzn. okreslenia, czy jest to uk skrecajacyw prawo (prawostronny), czy skrecajacy w lewo (lewostronny). Ilustruje to rys. 10.

    Generalnie kat zwrotu trasy wyznacza sie odejmujac azymut stycznej poczat-kowej od azymutu stycznej koncowej. Wwczas wartosc bezwzgledna dziaaniaoznacza wartosc kata, tzn:

    = |Az2 Az1|Znak dziaania (z pominieciem wartosci bezwzglednej) oznacza kierunek za-

    kretu:

    i f (Az2 Az1)< 0 then zakret w lewo.i f (Az2 Az1)> 0 then zakret w prawo.

    Rys. 9. Wyznaczanie wsprzednych punktw na paszczyznie w geodezyjnym ukadziewsprzednych prostokatnych

    13

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKAWyjatek stanowi sytuacja, gdy jeden z azymutw lezy w 4-tej cwiartce ukadu

    wsprzednych, a drugi w 1-szej lub 2-giej. Wwczas azymut lezacy w cwiartce4-tej nalezy zredukowac, odejmujac od niego wartosc 360. Ilustruje to przykad 3ze str. 22.

    Znajac kierunek, w ktrym skreca trasa, ustalamy wartosc dodatkowego para-metru , ktry pozwoli na uproszczenie dalszych wzorw. Wartosc ta wynosi:

    =

    (1 dla ukadu prawostronnego (skrecajacego w prawo)

    1 dla ukadu lewostronnego (skrecajacego w lewo)Wsprzedne punktw gwnych ukadu przy zaozeniu, ze wszystkie katy sa

    podane w [] obliczamy za pomoca ponizszych wzorw.Wsprzedne poczatku krzywej przejsciowej na stycznej poczatkowej obliczamy

    ze wzorw:

    xpkp1 = xW + T0 cos(Az1+ 180) , (31)ypkp1 = yW + T0 sin(Az1+ 180) . (32)

    Do obliczenia wsprzednych poczatku krzywej przejsciowej na stycznej konco-wej stosujemy wzory:

    xpkp2 = xW + T0 cos Az2 , (33)ypkp2 = yW + T0 sin Az2 . (34)

    Wsprzedne punktu M1 na stycznej poczatkowej obliczamy w zaleznosci odprzyjetego punktu poczatkowego posugujac sie wzorami:

    xM1 = xpkp1+ Tpkp cos Az1 , (35)yM1 = ypkp1+ Tpkp sin Az1 , (36)

    lub

    xM1 = xW + (T0 Tpkp) cos(Az1+ 180) , (37)yM1 = yW + (T0 Tpkp) sin(Az1+ 180) . (38)

    2(x , y )2

    (x , y )1 1

    Az

    W

    Az1

    2

    Rys. 10. Interpretacja danych do wyznaczania kata i kierunku zakretu

    14

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKAAnalogicznie dla punktu M2 na stycznej koncowej stosujemy wzory:

    xM2 = xpkp2+ Tpkp cos(Az2+ 180) , (39)yM2 = ypkp2+ Tpkp sin(Az2+ 180) , (40)

    lub

    xM2 = xW + (T0 Tpkp) cos Az2 , (41)yM2 = yW + (T0 Tpkp) sin Az2 . (42)

    Wsprzedne konca pierwszej krzywej przejsciowej kkp1 obliczamy, przyjmujacza punkt poczatkowy punkt M1 na stycznej poczatkowej. Mamy wtedy:

    xkkp1 = xM1+ Tkkp cos(Az1+ ) , (43)ykkp1 = yM1+ Tkkp sin(Az1+ ) . (44)

    Wsprzedne konca drugiej krzywej przejsciowej kkp2 obliczamy, wychodzacod wsprzednych punktu M2 na stycznej koncowej:

    xkkp2 = xM2+ Tkkp cos(Az2+ 180 ) , (45)ykkp2 = yM2+ Tkkp sin(Az2+ 180 ) . (46)

    Ostatni punkt, ktrego wsprzedne powinnismy obliczyc, to wierzchoek W1czesci koowej uku. Jego wsprzedne mozemy wyznaczyc w dwojaki sposb(co pozwala na sprawdzenie poprawnosci obliczen). Wychodzac od punktu kkp1otrzymujemy zaleznosc:

    xW1 = xkkp1+ Tk cos(Az1+ ) , (47)yW1 = ykkp1+ Tk sin(Az1+ ) . (48)

    Takie same wyniki powinnismy otrzymac wychodzac od wsprzednych punktukkp2 i korzystajac ze wzorw:

    xW1 = xkkp2+ Tk cos(Az2+ 180 ) , (49)yW1 = ykkp2+ Tk sin(Az2+ 180 ) . (50)

    1.7. Dugosc krzywej przejsciowej

    W praktyce inzynierskiej przy projektowaniu nowego uku koowego mamy danekat zwrotu trasy oraz promien uku koowego R. Z porwnania z lista przed-stawiona w punkcie 1.4 wynika, ze brakuje wartosci trzeciego parametru geome-trycznego niezbednego do rozwiazania ukadu dugosci krzywej przejsciowej L.Zamiast niej projektant otrzymuje jako dane zestaw parametrw kinematycznych:

    o maksymalna szybkosc pociagw pasazerskich Vp [km/h];o szybkosc pociagw towarowych Vt [km/h];o dopuszczalne przyspieszenie niezrwnowazone w ruchu pociagw pasazerskich

    ap [m/s2] lub dopuszczalny niedomiar przechyki hp;o dopuszczalne przyspieszenie niezrwnowazone w ruchu pociagw towarowych

    at [m/s2] lub dopuszczalny nadmiar przechyki ht;

    15

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKAo dopuszczalna szybkosc przyrostu przyspieszenia na krzywej przejsciowej dop

    [m/s3];o dopuszczalna szybkosc podnoszenia sie koa na rampie przechykowej fdop

    [mm/s] lub okreslajacy ta szybkosc parametr m;o promien uku poziomego R [m];o wsprzedne wierzchoka gwnego ukadu W (xw, yw) [m];o azymut stycznej wejsciowej (poczatkowej) ukadu Az1 [];o azymut stycznej wyjsciowej (koncowej) ukadu Az2 [].

    Czesto niektre z tych wartosci nie sa podane w sposb bezposredni, lecz wy-nikaja posrednio z innych danych oraz z obowiazujacych w Polsce przepisw. Takjest np. z dopuszczalnym przyspieszeniem niezrwnowazonym w ruchu pociagwpasazerskich, ktrego wartosc przy projektowaniu pojedynczych ukw zalezyobecnie na PKP od predkosci Vp, i wynosi:

    ap =

    (0, 80 m/s2 dla Vp < 160 km/h,0, 60 m/s2 dla Vp 160 km/h.

    Alternatywnie, operujac niedomiarem przechyki, przyjmuje sie:

    hp =

    (122 mm dla Vp < 160 km/h,

    92 mm dla Vp 160 km/h.

    Pierwszym parametrem geometrycznym, jaki nalezy obliczyc, jest przechykah, ktra nalezy wykonac w uku koowym. Wyznacza sie ja wedug nastepujacychzasad:

    o na liniach z ruchem mieszanym z warunkw na dopuszczalne przyspieszeniaw ruchu pociagw pasazerskich i towarowych;

    o na liniach z ruchem jednorodnym z warunku na dopuszczalne przyspieszeniaw ruchu pociagw pasazerskich.

    Przechyke minimalna hmin z uwagi na ruch pociagw pasazerskich wyznaczasie przeksztacajac wzr (2) za wzgledu na h przy a = ap. Otrzymuje sie wtedy

    hmin =s

    g

    v2pR ap

    !=

    s

    g v

    2p

    R s

    g ap .

    Podstawiajac do tego wzoru g = 9, 81 m/s2, s = 1500 mm oraz Vp w [km/h] iR w [m] otrzymuje sie:

    hmin =1500 V 2p

    9,81 3,62 R 1500

    9,81 ap [mm] ,

    skad dochodzi sie do ostatecznej postaci wzoru na przechyke hmin:

    hmin =11,8 V 2p

    R 153 ap [mm]. (51)

    Interpretacja obliczonej wartosci jest nastepujaca:

    16

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKAJezeli na uku o promieniu R i przechyce nie mniejszej niz hmin pojawi

    sie pociag poruszajacy sie z najwieksza przewidziana predkoscia (tzn. Vp), torzeczywiste przyspieszenie niezrwnowazone skierowane na zewnatrz uku nieprzekroczy wartosci dopuszczalnej ap.

    Wystepujaca we wzorze wartosc ap mozna takze wyrazic sie za pomocadopuszczalnego n i e d o m i a r u p r z e c h y k i hp [mm], przyjmowanego zewzgledu na najszybsze pociagi pasazerskie:

    ap =hp gs =9,81 hp

    1500=hp153

    .

    Stad coraz czesciej mozna spotkac wzr (51) zapisany w postaci

    hmin =11,8 V 2p

    Rhp [mm]. (52)

    Przechyke maksymalna hmax z uwagi na ruch pociagw towarowych wyznaczasie na podstawie analogicznego rozumowania. Na podstawie wzoru (3) otrzymujesie

    hmax =s

    g

    v2tR+ at

    =

    s

    g v

    2t

    R+

    s

    g at .

    Stosujac podstawienie jak wyzej, tzn. g = 9,81 m/s2, s = 1500 mm, Vt w [km/h]oraz R w [m] otrzymuje sie:

    hmax =11,8 V 2t

    R+ 153 at . (53)

    Interpretacja obliczonej wartosci jest nastepujaca:

    Jezeli na uku o promieniu R i przechyce nie wiekszej niz hmax pojawi siepociag towarowy poruszajacy sie z predkoscia Vt , to rzeczywiste przyspieszenieniezrwnowazone skierowane do srodka uku nie przekroczy wartosci dopusz-czalnej at .

    Parametr at mozna wyrazic w funkcji dopuszczalnego n a d m i a r u p r z e -c h y k i ht [mm], przyjmowanego ze wzgledu na ruch pociagw towarowych:

    at =ht gs =9,81 ht

    1500=ht153

    skad wynika, ze wzr (53) mozna zapisac w postaci

    hmax =11,8 V 2t

    R+ht . (54)

    Na liniach z ruchem mieszanym przechyka zastosowana w uku powinnaspeniac oba powyzsze warunki, czyli:

    hmin h hmax [mm],

    natomiast na liniach, na ktrych nie wystepuje ruch pociagw towarowych,przechyka wynika bezposrednio z wzoru (51) lub (52).

    Dodatkowo ze wzgledw eksploatacyjnych i utrzymaniowych na PKPobowiazuja nastepujace ograniczenia:

    17

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKAo nie wykonuje sie przechyki mniejszej niz 20 mm;

    o nie wykonuje sie przechyki wiekszej niz 150 mm (nowe przepisy z 2010 r.w wyjatkowych przypadkach dopuszczaja 160 mm lub 180 mm w zaleznosciod typu linii; odmienne zasady obowiazuja tez w ukach o promieniu R 0, tominimalna dugosc krzywej przejsciowej wyraza sie wzorem:

    Lmin =ap Vp

    3,6 dop . (56)

    18

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKAJezeli natomiast na uku koowym przechyka nie wystepuje, tzn. h = 0, mini-

    malna dugosc krzywej przejsciowej ze wzgledu na szybkosc przyrostu przyspiesze-nia Lmin nalezy obliczac za pomoca wzoru:

    Lmin = 0,0214 V 3p

    R dop . (57)

    Minimalna dugosc krzywej przejsciowej ze wzgledu na dokadnosc tyczeniaLnmin wyraza sie wzorem:

    Lnmin = 0,7 p

    R . (58)

    Projektowana krzywa przejsciowa musi speniac wszystkie przedstawione wyzejwarunki, zatem jej dugosc powinna wynosic:

    o w przypadku uku z przechyka:

    Lmin = sup

    L fmin, Lmin, L

    nmin

    [m]; (59)

    o w przypadku uku bez przechyki:

    Lmin = sup

    Lmin, Lnmin

    [m]. (60)

    W praktyce wartosc uzyskana ze warunku (59) lub (60) zaokragla sie w gredo najblizszej wielokrotnosci 5 m.

    2. Algorytm rozwiazania zadania

    2.1. Obliczanie przechyki

    W pierwszym etapie obliczamy dopuszczalne wartosci przechyki toru w uku,zgodnie z zasadami przedstawionymi w punkcie 1.7.

    Dla linii, na ktrych nie wystepuje ruch pociagw towarowych, przechykemamy okreslona jednoznacznie. Inaczej jest w przypadku linii o ruchu mieszanym z obliczen otrzymujemy przedzia, z ktrego mozemy wybrac przechyke:

    h hmin; hmaxAby zapewnic w przyszosci mozliwosc dostosowania linii do wiekszych pred-

    kosci, do dalszych obliczen przyjmujemy przechyke o wartosci

    h= hmax .

    2.2. Obliczanie dugosci krzywej przejsciowej

    W drugim etapie etapie obliczamy minimalna dugosc krzywej przejsciowej, zgod-nie z zasadami przedstawionymi w punkcie 1.7 niniejszego opracowania.

    19

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKA

    Rys. 11. uk paraboliczny (bi-parabola)

    2.3. Sprawdzenie dugosci czesci koowej uku

    W kolejnym etapie sprawdzamy, czy przy obliczonej dugosci krzywej przejsciowejukad jest poprawny geometrycznie, tzn. zachowany jest warunek minimalnejdugosci czesci koowej uku, zawartej miedzy koncami krzywych przejsciowych(punktami pkp1 i pkp2 na rys. 7).

    Minimalna dugosc czesci koowej uku wyznaczamy ze wzoru:

    kmin = sup Vp

    2,5; 30

    [m].

    Rzeczywista dugosc czesci koowej uku obliczamy ze wzoru (27). Uzyskanywynik porwnujemy z wartoscia kmin.

    Jezeli k kmin uznajemy, ze mamy obliczona dugosc krzywej przejscioweji przystepujemy do kolejnego etapu rozwiazywania zadania.

    Jezeli k < kmin podejmujemy prbe wyduzenia czesci koowej uku przezskrcenie krzywej przejsciowej. Jest to mozliwe dzieki poczatkowemu przyjeciudo obliczen w punkcie (2.2) przechyki h = hmax . Wobec tego zmniejszajacprzyjmowana do obliczen przechyke powtarzamy iteracyjnie obliczenia zpunktw (2.2) (2.3), szukajac najwiekszej przechyki z przedziau

    hmin; hmax

    ,

    dla ktrej obliczona dugosc krzywej przejsciowej L jest taka, ze speniony jestwarunek k kmin.

    Jezeli nawet przy najmniejszej mozliwej dugosci krzywej przejsciowej zachodzi 0 k < kmin, stosujemy uk paraboliczny, tzn. taki, w ktrym k = 0i krzywe przejsciowe stykaja sie ze soba koncami (rys. 11). Jest to matematyczniemozliwe, gdy

    = 0 = 2 ,20

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKAskad wynika bezposrednio, ze aby uzyskac uk paraboliczny nalezy zastosowac

    krzywa przejsciowa o dugosci

    L = 2 R tg

    2

    . (61)

    W przypadku uku parabolicznego do dalszych obliczen nalezy przyjmowacdokadna wartosc L wynikajaca ze wzoru (61). Trzeba tez pamietac, ze otrzymaniewartosci k < 0 przy maksymalnym skrceniu krzywej przejsciowej swiadczyo bednych zaozeniach projektowych zbyt maym promieniu uku lub kaciezwrotu trasy.

    Nalezy zwrcic uwage, ze przedstawiona powyzej mozliwosc skrcenia krzywejprzejsciowej przez zmniejszenie wstepnie przyjetej do obliczen przechyki jestmozliwa jedynie na linii o ruchu mieszanym, gdy hmin < hmax . Na linii o ruchujednorodnym przechyka minimalna jest okreslona jednoznacznie, a mozliwosci jejoptymalizacji zalezy jedynie od tego, czy do obliczen przyjeto wstepnie h > hmin.Ponadto nalezy pamietac, ze maksymalne skrcenie krzywej przejsciowej nie jestjednoznaczne z przyjeciem do obliczen wartosci hmin. Minimalna dugosc krzywejprzejsciowej zgodnie ze wzorem (60) zalezy od trzech warunkw i wpewnych przypadkach najwieksza wartosc nie bedzie wynikaa z warunku na L fmin.

    Brak mozliwosci spenienia warunku minimalnej dugosci czesci koowej ukulub wprowadzenia uku parabolicznego wymaga zmiany zaozen projektowych:zmniejszenia predkosci pociagw, zwiekszenia promienia uku lub zwiekszenia katazwrotu trasy.

    2.4. Wyznaczenie charakterystyk katowych i liniowych ukadu

    Majac dany brakujacy parametr geometryczny (dugosc krzywej przejsciowej), obli-czamy charakterystyki katowe i liniowe uku poziomego z krzywymi przejsciowymi:, xS, yk, n, Tpkp, Tkkp, , Ts, T0, Tk.

    2.5. Obliczenie wsprzednych punktw gwnych ukadu

    W ostatnim etapie obliczamy wsprzedne punktw gwnych ukadu, korzystajacze wzorw (31) (49).

    3. Przykady obliczen

    3.1. Przykad 1

    Zadanie: Obliczyc kat zwrotu trasy i zorientowac ukad majac dane: Az1 = 40oraz Az2 = 100.

    Rozwiazanie:

    = |Az2 Az1|= |100 40|= |60|= 60Az2 Az1 > 0 zakret w prawo

    21

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKA

    W

    40

    100

    Rys. 12. Ilustracja zadania nr 1

    3.2. Przykad 2

    Zadanie: Obliczyc kat zwrotu trasy i zorientowac ukad majac dane: Az1 = 320oraz Az2 = 260.

    Rozwiazanie:

    = |Az2 Az1|= |260 320|= | 60|= 60Az2 Az1 < 0 zakret w lewo

    W

    320

    260

    Rys. 13. Ilustracja zadania nr 2

    3.3. Przykad 3

    Zadanie: Obliczyc kat zwrotu trasy i zorientowac ukad majac dane: Az1 = 10oraz Az2 = 330.

    Rozwiazanie:

    = |(Az2 360) 10|= |(330 360) 10|= | 30 10|= | 40|= 40(Az2 360) Az1 < 0 zakret w lewo

    22

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKA

    W

    10

    330

    Rys. 14. Ilustracja zadania nr 3

    3.4. Przykad 4

    Zadanie: Dla ponizszych danych obliczyc dugosc krzywych przejsciowych dlasymetrycznego uku poziomego na jednotorowej linii kolejowej.Vp 100 km/h,Vt 40 km/h,ap 0,8 m/s2,at 0,6 m/s2,dop 0,5 m/s3,m 100 ,R 3800 m, 10 .

    Rozwiazanie:Obliczamy przechyke:

    hmin =11,8 V 2p

    R 153 ap = 11,8 100

    2

    3800 153 0,8=91,35 hmin = 0 mm

    hmax =11,8 V 2t

    R+ 153 at = 11,8 40

    2

    3800+ 153 0,6= 96,77 hmax = 95 mm

    Do dalszych obliczen wstepnie przyjmujemy

    h= hmax = 95 mm.

    Obliczamy dugosc krzywej przejsciowej:

    L fmin =Vp h

    m=

    100 95100

    = 95

    Lmin =ap Vp

    3,6 dop =0,8 1003,6 0,5 = 44,4

    Lnmin = 0,7 p

    R= 0,7 p3800= 43,15Do dalszych obliczen przyjmujemy

    L = sup {95; 44,4; 43,15} 95 m.23

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKASprawdzamy dugosc czesci koowej uku:

    kmin = sup Vp

    2,5; 30= sup{40 ; 30}= 40 m.

    = arc tg

    L

    2 R= arc tg

    95

    2 3800= 0,7161599

    = 2 = 10 2 0,7161599= 8,5676802k =

    pi R 180 =

    pi 3800 8,5676802180 = 568,228 m.

    Poniewaz k > kmin , do dalszych obliczen przyjmujemy krzywa przejsciowao dugosci L = 95 m.

    3.5. Przykad 5

    Zadanie: Dla ponizszych danych obliczyc dugosc krzywych przejsciowych dlasymetrycznego uku poziomego na jednotorowej linii kolejowej.Vp 100 km/h,Vt 40 km/h,ap 0,8 m/s2,at 0,6 m/s2,dop 0,5 m/s3,m 100 ,R 3800 m, 2 .

    Rozwiazanie:Obliczamy przechyke:

    hmin =11,8 V 2p

    R 153 ap = 11,8 100

    2

    3800 153 0,8=91,35 hmin = 0 mm

    hmax =11,8 V 2t

    R+ 153 at = 11,8 40

    2

    3800+ 153 0,6= 96,77 hmax = 95 mm

    Do dalszych obliczen wstepnie przyjmujemy

    h= hmax = 95 mm.

    Obliczamy dugosc krzywej przejsciowej:

    L fmin =Vp h

    m=

    100 95100

    = 95

    Lmin =ap Vp

    3,6 dop =0,8 1003,6 0,5 = 44,4

    Lnmin = 0,7 p

    R= 0,7 p3800= 43,15Do dalszych obliczen przyjmujemy

    L = sup{95; 44,4; 43,15} 95 m.24

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKASprawdzamy dugosc czesci koowej uku:

    kmin =max Vp

    2,5; 30=max(40 ; 30) = 40 m.

    = arc tg

    L

    2 R= arc tg

    95

    2 3800= 0,7161599

    = 2 = 2 2 0,7161599= 0,5676802k =

    pi R 180 =

    pi 3800 0,5676802180 = 37,650 m.

    Poniewaz k < kmin , przeprowadzamy analize mozliwosci skrcenia krzywejprzejsciowej przez przyjecie przechyki hmin h< hmax .Dla h= 90 mm otrzymujemy:

    L fmin =Vp h

    m=

    100 90100

    = 90

    Lmin =ap Vp

    3,6 dop =0,8 1003,6 0,5 = 44,4

    Lnmin = 0,7 p

    R= 0,7 p3800= 43,15Wobec tego nowa dugosc krzywej przejsciowej wynosi

    L = sup{90; 44,4; 43,15} 90 m.Dla tej wartosci L mamy:

    = arc tg

    L

    2 R= arc tg

    90

    2 3800= 0,6784709

    = 2 = 2 2 0,6784709= 0,6430582k =

    pi R 180 =

    pi 3800 0,6430582180 = 42,649

    k > kmin

    Do dalszych obliczen przyjmujemy krzywa przejsciowa o dugosci L = 90 m.

    3.6. Przykad 6

    Zadanie: Dla ponizszych danych obliczyc dugosc krzywych przejsciowych dlasymetrycznego uku poziomego na jednotorowej linii kolejowej.Vp 100 km/h,Vt 40 km/h,ap 0,8 m/s2,at 0,6 m/s2,dop 0,5 m/s3,m 100 ,R 3800 m, 1 .

    25

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKARozwiazanie:

    Obliczamy przechyke:

    hmin =11,8 V 2p

    R 153 ap = 11,8 100

    2

    3800 153 0,8=91,35 hmin = 0 mm

    hmax =11,8 V 2t

    R+ 153 at = 11,8 40

    2

    3800+ 153 0,6= 96,77 hmax = 95 mm

    Do dalszych obliczen wstepnie przyjmujemy

    h= hmax = 95 mm.

    Obliczamy dugosc krzywej przejsciowej:

    L fmin =Vp h

    m=

    100 95100

    = 95

    Lmin =ap Vp

    3,6 dop =0,8 1003,6 0,5 = 44,4

    Lnmin = 0,7 p

    R= 0,7 p3800= 43,15Do dalszych obliczen przyjmujemy

    L = sup{95; 44,4; 43,15} 95 m.Sprawdzamy dugosc czesci koowej uku:

    kmin = sup Vp

    2,5; 30=max(40 ; 30) = 40 m.

    = arc tg

    L

    2 R= arc tg

    95

    2 3800= 0,7161599

    = 2 = 1 2 0,7161599=0,4323198 .Ukad jest zatem geometrycznie bedny ujemna wartosc kata oznaczaujemna dugosc k, a wiec konce krzywych przejsciowych krzyzuja sie ze soba.W tej sytuacji podejmujemy prbe zmniejszenia dugosci krzywej przejsciowejw sposb analogiczny, jak w przykadzie 2. Jednakze nawet przy najmniejszejmozliwej do uzyskania dugosci krzywej przejsciowej, odpowiadajacej najmniej-szej mozliwej przechyce wynoszacej h= 0 mm otrzymujemy:

    Lmin = 0,0214 V 3p

    R dop = 0,0214 1003

    3800 0,5 = 11,26 ,Lnmin = 0,7

    pR= 0,7 p3800= 43, 15

    wobec czegoL = sup{11,26 ; 43,15} 45 m.

    26

  • Pom

    oce

    dyda

    ktyc

    zne KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDANSKADla takiej wartosci L:

    = arc tg

    L

    2 R= arc tg

    45

    2 3800= 0,3392474

    = 2 = 1 2 0,3392474= 0,3215052 ,k =

    pi R 180 =

    pi 3800 0,3215052180 = 21,323 m,

    0< k < kmin .

    Wobec tego ukad nalezy wykonac jako uk paraboliczny (rys. 11 ze str. 20),przyjmujac do dalszych obliczen dugosc krzywej przejsciowej:

    L = 2 R tg

    2

    = 2 3800 tg

    1

    2

    = 66,3241952 m.

    Poniewaz dugosc ta wynika wyacznie z geometrii ukadu, do dalszych obliczennalezy ja przyjmowac bez jakichkolwiek zaokraglen, z jak najwieksza dokad-noscia.

    27

    Wprowadzenie teoretyczneZjawiska fizyczne przy przejezdzie przez uk poziomyKsztat geometryczny krzywej przejsciowejDugosc uku krzywej przejsciowejGeometria uku koowego z symetrycznymi krzywymi przejsciowymiStosowany ukad wsprzednychWsprzedne punktw gwnych uku z krzywymi przejsciowymiDugosc krzywej przejsciowej

    Algorytm rozwiazania zadaniaObliczanie przechykiObliczanie dugosci krzywej przejsciowejSprawdzenie dugosci czesci koowej ukuWyznaczenie charakterystyk katowych i liniowych ukaduObliczenie wsprzednych punktw gwnych ukadu

    Przykady obliczenPrzykad 1Przykad 2Przykad 3Przykad 4Przykad 5Przykad 6