Scriptiones GeometricaVolumen I (2014), No. 8, 1–11.

Geometria odwzorowan inzynierskich waspekcie CAD

Edwin Kozniewski

Zak lad Informacji Przestrzennej

1. Odwzorowanie obiektu geometrycznego w aspekcie CAD

Omawiajac geometrie odwzorowan inzynierskich nie sposob pominac tak wazny fakt jakimjest udzia l techniki komputerowej we wspo lczesnych metodach projektowania inzynierskiego.Oczywiscie myslimy tu o metodach komputerowego wspomagania projektowania (ang. CAD -Computer Aided Design). Mozliwosci zastosowania komputerow w tej dziedzinie, jak zresztaw kazdej innej, wyznaczaja czy nawet wymuszaja inne, rozne od tradycyjnego, ujecie przed-miotu. Wydaje sie, ze na geometrie nalezy spojrzec z dwoch aspektow: sposobu odwzorowania

obiektu geometrycznego w tzw. przestrzeni wirtualnej komputera oraz automatyzacji pro-

cesu wykonywania rysunkow. Omawianie tej problematyki rozpoczniemy od drugiego, jak siewydaje, bardziej spektakularnego w odbiorze przez uzytkownika, zagadnienia.

1.1. Istota konstrukcji geometrycznej 2D. Elementarne konstrukcje klasyczne za

pomoca cyrkla i linijki

Do czasow, w ktorych zaczeto wykorzystywac komputer do wykonywania konstrukcji geom-etrycznych jedynym procesem tworzenia rysunkow by l proces realizowany za pomoca cyrklai linijki oparty na metodzie konstrukcji klasycznych (p-o). Jest to proces polegajacy nawykorzystaniu cyrkla (okrag) i linijki (prosta) do wykonania kazdej konstrukcji, w ktorejrealizowany jest ciag konstrukcji elementarnych opisanych ponizej. Procesu tego nie da sieautomatyzowac. Kazdy powtarzajacy sie element rysunku musi byc narysowany takim samymsposobem (za pomoca tego samego algorytmu). Jedynym uproszczeniem, pomijajac specjal-istyczne przyrzady (np. dwie szpilki i sznurek do rysowania elipsy, siatki perspektywiczne,perspektografy), jest zastosowanie ekierki skracajacej proces kreslenia prostej rownoleg lej lubprostopad lej do danej prostej. Elementarne sk ladniki (dzisiaj mowimy entycje od angielskiegos lowa entity - wyodrebniona ca losc, rzecz realnie istniejaca) to prosta (odcinek), okrag ( lukokregu) i punkt. Kazda wiec konstrukcja wykonana metoda klasyczna sk lada sie z ciagu kon-strukcji utworzonego z elementow wzietych sposrod pieciu konstrukcji elementarnych:• konstrukcja prostej przechodzacej przez dwa punkty (p),• konstrukcja okregu (o),• konstrukcja punktu przeciecia sie dwu prostych (pp),

Edwin Kozniewski c© 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 8, geometria w aspekcie CAD

Rys. 8-01: Konstrukcje elementarne prosta - okrag (p-o). Przyk lad konstrukcji: symetralnej odcinka

(1-4), srodka odcinka (1-5)

• konstrukcja punktow przeciecia sie dwoch okregow (oo),• konstrukcja punktow przeciecia sie prostej z okregiem (po) (rys. 8-01).Dla przyk ladu konstrukcja symetralnej odcinka wykonywana jest za pomoca algorytmu: (o),(o), (oo), (p), konstrukcja zas srodka odcinka wykonywana jest za pomoca ciagu konstrukcjielementarnych: (o), (o), (oo), (p), (pp) (rys. 8-01). Konstrukcje kreslenia prostej prostopad lejdo danej prostej mozna zautomatyzowac wykorzystujac ekierke, tj. ciag: (o), (o), (oo) moznazastapic jedna czynnoscia polegajaca na ”odpowiednim przy lozeniu ekierki i linijki”. Jakiciag czynnosci elementarnych zastepujemy rysujac prosta rownoleg la za pomoca ekierki?Wiele konstrukcji geometrycznych nie jest wykonalnych za pomoca cyrkla i linijki. Sa tow szczegolnosci takie konstrukcje jak: podwojenie szescianu, trysekcja kata, kwadratura ko la,rektyfikacja okregu.

1.2. Automatyzacja konstrukcji geometrycznej za pomoca edytora graficznego

Dopiero technika komputerowa, w szczegolnosci rozwoj grafiki komputerowej, umozliwi lawieloaspektowa automatyzacje wykonywania rysunkow (rysunkow technicznych). Tu tracisens pojecie konstrukcji elementarnej. Konstrukcja elementarna, w rozumieniu dotychcza-sowej prostej, krotkiej ”czynnosci geometrycznej” (ustalenie, przyjecie pewnej figury geom-etrycznej, np. prosta, okrag) staje sie bowiem ”jednorazowe” skonstruowanie najbardziejnawet skomplikowanego obiektu.Wydaje sie, ze najbardziej sensowne pod wzgledem dydaktycznym, omowienie struktury log-icznej konstrukcji edytora graficznego adresowane do szerokiej grupy uzytkownikow w ciaguniewielkiej liczby godzin wyk ladu moze sie powiesc, gdy rozwazania odniesie sie do konkret-nej, dobrej implementacji edytora. Do takich implementacji nalezy niewatpliwie programAutoCAD z grupy oprogramowania CAD. Stad wszelkie odniesienia, komentarze i przyk ladydotyczyc beda w lasnie programu AutoCAD.Logika ”kreslenia” za pomoca komputerowego edytora graficznego jest zupe lnie inna, cho-

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 8, geometria w aspekcie CAD 3

ciaz w zamierzeniu ma byc (i w konsekwencji w wielu sytuacjach jest) takze nasladowaniemtradycyjnego sposobu kreslenia.

Rys. 8-02: Polecenia modyfikujace rysunek (cdn)

Rys. 8-03: Polecenia modyfikujace rysunek

1.2.1. Polecenia dzia lajace na istniejacym rysunku. Implementacja znanych przek-

szta lcen geometrycznych

I tak, automatyzacja konstruowania przejawia sie m.in. w mozliwosci1) powielania obiektow poprzez:• kopiowanie, za pomoca polecenia (COPY/KOPIUJ). W sensie geometrycznym jest to prze-

suniecie rownoleg le z pozostawieniem pierwotnego obiektu,

4 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 8, geometria w aspekcie CAD

• kopiowanie wraz z wielokrotnym wstawieniem w tablice prostokatna lub biegunowa (AR-RAY/SZYK), w sensie geometrycznym jest to przesuniecie rownoleg le lub z lozenie z prze-

suniecia rownoleg lego i obrotu,• przesuwanie (MOVE/PRZESUN), w sensie geometrycznym jest to przesuniecie rownoleg le

z usunieciem pierwotnego obiektu,• odbicie zwieciadlane (MIRROR/LUSTRO), w sensie geometrycznym jest to symetria os-

iowa z pozostawieniem lub z usunieciem pierwotnego obiektu,• obrot (ROTATE/OBROT), w sensie geometrycznym jest to obrot z usunieciem pierwotnegoobiektu,2) powiekszania obiektow poprzez:• skalowanie (SCALE/SKALA), w sensie geometrycznym jest to jednok ladnosc z usunieciempierwotnego obiektu,3) zmiany kszta ltu obiektow poprzez:• rozciaganie (STRETCH/ROZCIAGNIJ), ktore jest przekszta lceniem topologicznym, wszczegolnym przypadku moze to byc powinowactwo osiowe,• scinanie rogow (CHAMFER/FAZUJ),• zaokraglanie (FILLET/ZAOKRAGL),4) modyfikacji obiektow poprzez:• ucinanie (TRIM/UTNIJ),• wyd luzanie (EXTEND/WYD LUZ),• przerywanie (BREAK/PRZERWIJ).Omawiana wyzej automatyzacja kreslenia w programie AutoCAD moze byc wykonywana zapomoca polecen przedstawionych na rys. 8-02, 8-03.

1.2.2. Entycje elementarne i ich tworzenie

Kazdy obiekt geometryczny, narysowany za pomoca edytora graficznego, jest nie tylko wizual-nym martwym tworem widzianym na ekranie lub na wydrukowanej kartce papieru ale przedewszystkim jest obiektem jednoznacznie okreslonym parametrycznie, majacym swoja baze in-formacyjna, dajacym sie w kazdej chwili przetwarzac: modyfikowac, przekszta lcac, drukowacna ekranie monitora lub za pomoca drukarki(plotera) itp. Obiekt taki nazywamy entycja

(ang. entity). Najprostsze entycje (elementarne figury geometryczne) tworzymy za pomocapolecen:◦ rysowanie prostej (LINE/PROSTA) - polecenie rysujace linie prosta o zerowej szerokosci(grubosci),◦ rysowanie polilinii 2D (PLINE/PLINIA) - polecenie rysujace linie z lozona z odcinkowprostych i/lub lukow o dowolnej szerokosci(grubosci),◦ rysowanie polilinii 3D w przestzeni 3-wymiarowej (3DPOLY/3WPLINIA) - polecenie ry-sujace linie o dowolnej szerokosci w przestrzeni 3-wymiarowej,◦ rysowanie okregu (CIRCLE/OKRAG) - polecenie rysujace okrag jako linie o zerowej sze-rokosci(grubosci),◦ rysowanie luku (ARC/ LUK) - polecenie rysujace luk jako linie o zerowej szerokosci(grubosci).Omowione wyzej polecenia - to operacje rysujace w lasciwie dwa obiekty: odcinek i okrag( luk). Wystepuja one tu w roznych mutacjach zapewniajac lub nie mozliwosc rysowaniarozna gruboscia na p laszczyznie i w przestrzeni.Specjalne lub bardziej z lozone obiekty sa tworzone lub wstawiane do realizowanego rysunkuza pomoca polecen (niektore z nich zosta ly omowione na rys. 8-07):◦ rysowanie elipsy (ELLYPSE/ELIPSA) - polecenie rysujace elipse jako linie o zerowej sze-

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 8, geometria w aspekcie CAD 5

Rys. 8-04: Polecenia rysujace linie prosta (odcinek), okrag i luk

Rys. 8-05: Rozne opcje rysowania okregu i luku

rokosci(grubosci) 1,◦ rysowanie wieloboku (POLYGON/WIELOBOK) - polecenie rysujace wielokat o dowolnejliczbie bokow.◦ rysowanie prostokata (RECTANG/PROSTOKAT) - polecenie rysujace prostokat.◦ rysowanie splajnu (SPLINE/SPLAJN) - linia z lozona z lukow krzywych B-sklejanych dajacych

1Polecenia rysujace parabole i hiperbole w standardowych wersjach systemu AutoCAD nie istnieja.Propozycje autora polecen rysujacych wszystkie stozkowe zostana omowione w rozdziale dotyczacym tworzeniaoprogramowania zwiazanego z systemem edytora graficznego

6 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 8, geometria w aspekcie CAD

Rys. 8-06: Polecenie rysujace polilinie, tj. figure z lozona z linii prostych i/lub lukow o zadanej

grubosci

mozliwosc kreowania brzegow roznorodnych obiektow 2

◦ wstawianie bloku (INSERT/WSTAW) - polecenie wstawiajace utworzony wczesniej blok,Nie wszystkie polecenia tworzace proste entycje zosta ly tu omowione. Warto jeszcze raz z

Rys. 8-07: Polecenia tworzace nieelementarne entycje

naciskiem przypomniec, ze w systemach CAD (GCAD - Geometric Computer Aided Design)traci sens pojecie konstrukcji elementarnej. Bowiem w programie CAD konstrukcja elemen-

2Polecenia rysujace splajny (linie B-sklejane ang. B-splines) podobnie jak same obiekty otrzymywaneza pomoca funckji sklejanych wymagaja szerszego omowienia. Stad z uwagi na na charakter niniejszegoopracowania zostana pominiete. Obszerny wyk lad na ten temat znajduje sie w monografii [JANKOWSKI]

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 8, geometria w aspekcie CAD 7

tarna - to proces tworzacy obiekt zrealizowany za pomoca jednego polecenia. Na podanychpozniej przyk ladach latwo bedzie mozna zobaczyc, ze do najbardziej nawet skomplikowanegoobiektu geometrycznego (rysunku) mozna napisac polecenie go realizujace i to roznymi meto-dami i technikami. Co wiecej edytory graficzne systemow CAD sa programami otwartymi,”pozwalajacymi sie doprogramowywac” i, co najwazniejsze, mozliwosci ”uzupe lniania” sys-temu sa dostepne przecietnemu uzytkownikowi. Napisanie takiego polecenia zalezy od technikijaka wybierzemy i wymaga np. umiejetnosci programowania w jezyku PASCAL, AutoLISPlub C++. A jesli nie chcemy ”odchodzic” zbytnio od AutoCADa to wystarczy zapoznacsie np. z poleceniem SCRIPT. W pewnym sensie zadanie takie realizuje takze polecenieBLOCK/BLOK.

1.2.3. Tryby lokalizacji obiektu

Warto jeszcze zwrocic uwage niezwykle istotny fakt. Otoz sytemach CAD konstrukcje wykonu-jemy wykorzystujac tzw. punkty charakterystyczne obiektow lub inaczej tryby lokalizacjiobiektow (rys. 8-08). Gdy wiec na przyk lad chcemy skonstruowac srodkowa trojkata, to rysu-jemy odcinek (LINE/LINIA) od wierzcho lka (INTersection/PRZeciecie lub ENDpoint/KONiec)do srodka (MIDpoint/SYMetria). Kazda inna proba narysowania srodkowej, tzn. ”na oko”skonczy sie niepowodzeniem - nie trafimy w wierzcho lek trojkata i w srodek boku i odcineknie bedzie srodkowa.

Rys. 8-08: Punkty charakterystyczne obiektow (tryby lokalizacji)

1.2.4. Blokowanie i dekompozycja entycji

Jak zosta lo juz powiedziane wyzej polecenie BLOCK (BLOK) moze byc wykorzystane dotworzenia z lozonych entycji, tzw. blokow (rys. 8-07). Blok jest to obiekt z lozony z elementowsk ladowych, powiazanych ze soba tak, by stanowi ly funkcjonalna ca losc. Inaczej, z lozonyrysunek sk ladajacy sie z bardzo wielu odrebnych, niezaleznych od siebie, elementow mozemy

8 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 8, geometria w aspekcie CAD

Rys. 8-09: Polecenie sterujace warstwami

przekszta lcic za pomoca polecenia BLOCK (BLOK) w jeden niepodzielny obiekt 3. Operacjataka s luzyc moze do tworzenia biblioteki rysunkow (blokow) za pomoca ktorej szybko po-trafimy tworzyc nowy rysunek (sk ladajac go jak z klockow). Definicja bloku, realizowana zapomoca polecenia BLOCK (BLOK), formalnie polega na podaniu: nazwy bloku (block name),punktu wstawienia bloku (insertion base point), obiektow majacych wejsc w sk lad bloku (se-lect objects) (rys. 8-07). W celu zapisania bloku w bibliotece (na dysku) pos lugujemy siepoleceniem WBLOCK (PISZBLOK).

1.3. Istota konstrukcji geometrycznej 3D

Obiekt geometryczny mozemy odwzorowac w kartezjanskiej przestrzeni trojwymiarowej pos lugujacsie wspo lrzednymi. Prosta trojwymiarowa mozemy narysowac za pomoca polecenia 3DPOLY/ 3WPLINIA, okregi i luki rysujemy na wybranych p laszczyznach wprowadzajac tam wczesniejlokalne uk lady wspo lrzednych (polecenie UCS/LUW - ang. User Coordinate System). Powierzch-nie trojwymiarowe kszta ltujemy przez: obrot za pomoca polecenia REVSURF / POWO-BROT (rys. 8-10), przesuniecie za pomoca polecenia TABSURF / POWWALC (rys. 8-11). Krzywymi tworzacymi moga byc odcinki, luki, okregi, polilinie p laskie. Powierzchniawalcowa (otrzymana przez przesuniecie) w programie AutoCAD konstruowana jest poprzezpowielanie wielokatow, tzw. scianek (3DFACE / 3WPOW) 4. Stad jesli czesc krzywej jest

3Taki obiekt nie jest absolutnie niepodzielny, mozemy go ponownie roz lozyc na elementy sk ladowe zapomoca polecenia EXPLODE/ROZBIJ. Polecenie to s luzy zreszta do dekompozycji innych entycji takich jak:zakreskowany obszar (otrzymany poleceniem HATCH(KRESKUJ)), wymiar obiektu (otrzymany poleceniemDIM(WYMIAR)), polilinia (otrzymany poleceniem PLINE(PLINIA))

4Przy okazji powiedzmy, ze modele przestrzenne obiektow moga byc: szkieletowe (odwzorowane sa tylkokrawedzie), sciankowe (odwzorowana jest powierzchnia brzegowa z nieprzezroczystych scianek), bry lowe (odw-zorowuja takze wnetrze obiektow). Mozemy obrazowo powiedziec, ze model szkieletowy przypomina domekzbudowany z zapa lek, sciankowy - z kart, bry lowy - z klockow. Modelowanie bry lowe jest najwierniejszei daje najwieksze mozliwosci. Modelowanie szkieletowe realizowane jest za pomoca polecen: LINE (PO-LILINIA) i 3DPOLY (3WPLINIA). Modelowanie sciankowe opiera sie na sciankach 3DFACE (3WPOW) orazpowierzchniach powsta lych na bazie scianki: 3DMESH (3WSIATKA), RULESURF (POWPROST), TAB-

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 8, geometria w aspekcie CAD 9

Rya. 8-10: Hiperboloida obrotowa otrzymana poprzez obrot prostej - krzywej tworzacej (ang. path

curve) doko la prostej - osi obrotu (ang. axis of revolution)

Rys. 8-11: Powierzchnia walcowa otrzymana przez przesuniecie - krzywej tworzacej (ang. path curve)

wzd luz - odcinka - wektora kierunkowego (ang. direction vector)

odcinkiem (LINE), wowczas p laska czesc powierzchni jest p laszczyzna i jest utworzona z jed-nej scianki (3DFACE) (rys. 8-11). Powierzchnie prostokreslne otrzymujemy rowniez jakorodziny prostych przecinajacych trzy krzywe. Powierzchnie siod lowa (rys. 8-12) otrzy-mujemy jako rodzine prostych przecinajacych dwie proste (odcinki) w lasciwe (dwie skosneprzekatne lezace na przeciwleg lych scianach prostopad loscianu) oraz prosta niew lasciwa (zbior

SURF (POWWALC), REVSURF (POWOBROT), EDGESURF (POWKRAW), polipowierzchniach PFACE(PPOW) i pogrubionych obiektach p laskich. Modelowanie bry lowe jest realizowane za pomoca modu lu AME(Advanced Modeling Extension)

10 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 8, geometria w aspekcie CAD

Rys. 8-12: Powierzchnia siod lowa otrzymana za pomoca polecenia RULESURF / POWPROST

kierunkow rownoleg lych do p laszczyzn nie zawierajacych tych przekatnych). W programieAutoCAD powierzchnie te mozna otrzymac ”przypadkowo” za pomoa polecenia RULESURF/ POWPROST. ”Przypadkowo” dlatego, ze w tym poleceniu podajemy tylko dwie krzywe anie trzy. Efekt otrzymujemy dlatego, ze podzia l krzywych na jednakowa liczbe rownych seg-mentow indukuje w tym przypadku rodzine prostych rownoleg lych do jednej p laszczyzny.Wyjasnijmy, ze polecenie RULESURF / POWPROST polega na podzieleniu dwu krzy-wych na jednakowa liczbe rownych odcinkow i po laczeniu punktow podzia lu prostymi. Poodpowiednim przyjeciu stosownych dwu krzywych mozna otrzymac takie powierzchnie jakpowierzchnie stozkowe, konoidy. Niemozliwe jest otrzymanie powierzchni cylindrycznych(np. sklepienie skosne, sklepienie marsylijskie), konusoidalnych. W programie AutoCADnie mozemy bezposrednio otrzymac sklepien klasztornych, krzyzowych rozpietych nad dowol-nymi wielokatami. Tworzenie powierzchni przestrzennych w omawianym programie mozemydokonywac jeszcze na inne sposoby.

1.4. Algebraiczne i geometryczne konstruowanie obiektow trowymiarowych

1.4.1. Wspo lrzedne i filtry

Wiele polecen wymaga podania wspo lrzednych punktow. Istnieje wiele sytuacji, gdzie latwiejjest geometrycznie wybrac punkt na p laszczyznie xy a wspo lrzedna z podac z klawiatury. Takamozliwosc daja filtry, czyli takie funkcje pobieraja tylko niektore wspo lrzedne wskazanych naekranie punktow, natomiast brakujace wspo lrzedne wpisuje sie z klawiatury. Symbol filtrusk lada sie z jednej lub dwu liter poprzedzonych kropka: .x, .y, .z, .xy, .xz, .yz. I tak podaniesymbolu .xy powoduje, ze system pobiera (filtruje) wspo lrzedne x, y, natomiast wspo lrzednaz wpisuje sie z klawiatury (liczba a na rys. 8-13).

1.5. Rzuty prostokatne, aksonometryczne, perspektywiczne w programie Auto-

CAD

Jesli obiekt trojwymiarowy odwzorujemy w pe lni w przestrzeni wirtualnej, wowczas w celuotrzymania rzutow prostokatnych, aksonometrii, perspektywy wystarczy przyjac odpowiedni

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 8, geometria w aspekcie CAD 11

Rys. 8-13: Sposob konstruowania w przestrzeni za pomoca filtrow. Rysowanie linii pionowej (odcinka

(AB)) za pomoca polecenia 3DPOLY (3WPLINIA)

sposob odwzorowania obiektu a nastepnie po lozenie punktu widzenia. Aksonometrie i rzutyprostokatne otrzymujemy wybierajac polecenie VPOINT (PKTOBS) umozliwiajace ogladanieobiektu w rzucie rownoleg lym. Perspektywe zas realizujemy za pomoca polecenia DVIEW(DWIDOK) po okresleniu (przyjeciu) uk ladu CAmera (Kamera - punkt, z ktorego patrzymy) -TArget (CEl - punkt, w kierunku ktorego patrzymy) i w laczeniu perspektywy - Distance (Od-leg). Widok zalezy od po lozenia i orientacji (skierowania) kamery oraz ogniskowej soczewkikamery. Obiekt mozemy ogladac w wielu rzutach rownoczesnie dzielac ekran na kilka rzutniza pomoca polecenia VPORTS (RZUTNIE). Mozemy na przyk lad rownoczesnie przedstawicobiekt w trzech rzutach i aksonometrii (lub perspektywie).

Literatura

[Bry79] M. Brynski, L. W lodarski: Konstrukcje geometryczne. Wydawnictwo Szkolne iPedagogiczne. Warszawa 1979.[Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreslna z perspektywa stosowana. WydawnictwoNaukowe PWN. Warszawa 1995.[Jan90] M. Jankowski: Elementy grafiki komputerowej. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne.Warszawa 1990[Ott94] F. Otto, E. Otto: Podrecznik geometrii wykreslnej. Wydawnictwo Naukowe PWN.Warszawa 1994.[Pik97] A. Pikon: AutoCAD, wersje 10, 11, 12 i 12PL, 14 i 14PL i wyzsze. WydawnictwoHELION. Gliwice 1991, 1992, 1994, 1997.[Prz82] S. Przew locki: Geometria wykreslna w budownictwie. Arkady. Warszawa 1982.