funkcje wyklady

R.II FUNKCJE

WARSZAWSKA WYZSZA SZKOLA INFORMATYKI

2.1 DEFINICJA FUNKCJI

Funkcja f przyporzdkowuje kademu elementowi x z pewnego zbioru S dokadnie

jeden element pewnego zbioru T.

Mwimy wtedy, e taka funkcja f jest okrelona na zbiorze S i ma wartoci w

zbiorze T.

Zbir S nazywamy dziedzin funkcji i czasami oznaczamy przez Dom(f).

Element przyporzdkowany elementowi x jest zazwyczaj oznaczany przez f(x).


Funkcja f jest wyznaczona jednoznacznie przez:

(a) zbir, na ktrym jest okrelona, mianowicie Dom(f);

(b) przyporzdkowanie, regu lub wzr podajce warto f(x)

dla kadego x Dom(f).

Dla x nalecych do Dom(f), f(x) nazywamy te wartoci elementu x przy

funkcji f.

Zbir wszystkich wartoci f(x) jest podzbiorem zbioru T, nazywamy go

przeciwdziedzin funkcji f lub zbiorem wartoci funkcji f i oznaczamy przez

Im(f).

Mamy zatem

Im(f) = {f(x): x Dom(f)}.


Czsto wygodnie jest wyrni zbir T moliwych wartoci funkcji f, tzn.

zbir zawierajcy Im(f). Mwimy wtedy, e f jest funkcj o wartociach w

zbiorze T.

Funkcja f ma dokadnie jedn dziedzin Dom(f) i dokadnie jedn

przeciwdziedzin Im(f).

Natomiast dowolny zbir zawierajcy Im(f) moe by podany jako zbir, w

ktrym funkcja f ma wartoci. Oczywicie, jeli podajemy zbir, w ktrym

funkcja f ma wartoci, to staramy si wybra go w sposb uyteczny lub

dajcy informacje w danym kontekcie.

Oznaczenie f: S T jest skrtem stwierdzenia: f jest funkcj o dziedzinie S

i wartociach w zbiorze T.


Czasami funkcj f nazywamy przeksztaceniem lub odwzorowaniem i

mwimy, e przeksztaca (odwzorowuje) ona zbir S w zbir T.

Kiedy czujemy potrzeb graficznego przedstawienia funkcji, to robimy

rysunki, takie jak rysunek 1.7.

PRZYKAD 1

(a) Rozwamy funkcj f: R R. Oznacza to, e Dom(f) =R oraz dla kadej liczby

x R, f(x) oznacza jedn liczb ze zbioru R.

Zatem funkcja f przyjmuje wartoci w zbiorze R, ale jej przeciwdziedzina moe

by znacznie mniejszym zbiorem.

Na przykad, jeli f1(x) = x2 dla wszystkich x R, to Im(f1) = [0, ) i moemy

napisa, e f1: R [0, ).

Jeli funkcja f2 jest zdefiniowana w nastpujcy sposb:

0,0

0,1{)(2

xdla

xdlaxf

to Im(f2) = {0,1} i moemy napisa, e f2: R [0, ), f2: RN

lub f2: R {0,1} itp.

(b) Przypomnijmy, e warto bezwzgldna x liczby rzeczywistej x jest

okrelona wzorem:

0,

0,{

xdlax

xdlaxx

Funkcja f zdefiniowana za pomoc wzoru f(x) = x jest funkcj o dziedzinie R

i przeciwdziedzinie [0, ); zauwamy, e x 0 dla wszystkich liczb x R.

Warto bezwzgldna ma dwie wane wasnoci :

yxyx i yxyx dla wszystkich x, y R.

PRZYKAD 1


Rozwamy funkcj f: S T.

Wykresem funkcji f nazywamy nastpujcy

podzbir zbioru S T:

Wykres (f) = {(x,y) S T: y = f(x)}.

Ta definicja jest zgodna z definicj wykresu

funkcji w algebrze i analizie matematycznej.

Wykresy funkcji z przykadu 1 s

naszkicowane na rysunku .


Nasza robocza definicja funkcji jest niepena: termin przyporzdkowuje nie

zosta zdefiniowany.

Mona poda bardzo dokadn, teoriomnogociow definicj funkcji. Opiera si

ona na nastpujcej podstawowej obserwacji: nie tylko funkcja okrela swj

wykres, ale jest te ona jednoznacznie wyznaczona przez wykres.

W rzeczywistoci wykres funkcji f: S T jest podzbiorem G zbioru S T,

majcym nastpujc wasno:

dla kadego x S istnieje dokadnie jeden element y T taki, e (x,y) G.


Dla danego zbioru G mamy Dom(f) = S i dla kadego x S,

f(x) jest jedynym elementem zbioru T takim, e (x, f(x)) G.

Naley zauway, e niczego nie tracimy przyjmujc, e funkcje

i wykresy s tym samym, a zyskujemy wiksz ciso definicji.

Funkcja o dziedzinie S i wartociach w zbiorze T jest podzbiorem G

zbioru y T speniajcym warunek:

dla kadego x S istnieje dokadnie jeden element y T

taki, e (x,y) G.


Jeli S i T s podzbiorami zbioru R oraz jeli zbir S T jest

narysowany tak, e S jest czci osi poziomej, a T jest czci

osi pionowej, to podzbir G zbioru ST jest funkcj (lub wykresem

funkcji), jeli kada pionowa linia prosta przechodzca przez

punkt zbioru S przecina zbir G w dokadnie jednym punkcie.


Funkcja f: S T jest funkcj rnowartociow

(wasno t oznaczamy czsto symbolem 1-1), jeli rnym elementom

zbioru S funkcja f przyporzdkowuje rne wartoci w zbiorze T:

jeli x1,x2 S i x1 x2 to f(x1 ) f( x2 ) .

Warunek ten jest logicznie rwnowany z czsto uywanym warunkiem:

jeli x1,x2 S i f(x1 )= f( x2 ) to x1=x2


Korzystajc z definicji funkcji J jako wykresu G, mwimy, e

funkcja f jest rnowartociowa wtedy i tylko wtedy, gdy:

dla kadego y T istnieje co najwyej jeden element x S

taki, e (x,y) G.

Jeli S i T s podzbiorami zbioru R i funkcj f identyfikujemy

z jej wykresem G, to warunek ten oznacza, e poziome linie proste

przecinaj G w co najwyej jednym punkcie.


Dla danej funkcji f: S T mwimy, e funkcja f przeksztaca

zbir S na podzbir B zbioru T, jeli B =Im(f).

W szczeglnoci mwimy, e funkcja f przeksztaca zbir S na

zbir T, jeli Im(f) = T.

Jeli utosamimy funkcj f z jej wykresem G, to powiemy,

e f przeksztaca zbir S na zbir T wtedy i tylko wtedy, gdy:

dla kadego y T istnieje co najmniej jeden x S taki, e (x,y) G.


Funkcj f: S T, ktra jest rnowartociowa i przeksztaca

zbir S na zbir T, nazywamy przeksztaceniem wzajemnie

jednoznacznym zbioru S na zbir ( 1:1).

Zatem f jest przeksztaceniem wzajemnie jednoznacznym wtedy i tylko

wtedy, gdy:

dla kadego y T istnieje dokadnie jedno x S takie, e (x,y) G.


Te trzy specjalne rodzaje funkcji s zilustrowane na rysunku 1.9.

1:M 1:1 1:1 M:M

Im f=B T Im f=T

PRZYKAD 2

Przypumy, e kady student w grupie S ma przypisany numer miejsca ze

zbioru T = {1, 2,... 75}.

To przypisanie okrela funkcj f: S T; zatem dla kadego studenta s, f(s)

okrela jego (lub jej) numer miejsca.

Funkcja bdzie rnowartociowa, jeli dwaj rni studenci nie bd przypisani

do tego samego miejsca. W tym przypadku grupa nie moe liczy wicej ni 75

studentw.

Funkcja bdzie przeksztaca zbir S na zbir T, jeli kady numer w zbiorze T

bdzie przypisany co najmniej jednemu studentowi. Zauwamy, e w tym

przypadku grupa musi liczy co najmniej 75 studentw.

Jedyn moliwoci, by f byo przeksztaceniem wzajemnie jednoznacznym

zbioru S na zbir T jest, by grupa liczya dokadnie 75 studentw.

Jeli potraktujemy t funkcj f jako zbir par uporzdkowanych, to bdzie si

ona skada z par ze zbioru S x T, takich jak na przykad (Anna Kowalska, 73).

PRZYKAD 3

(a) Definiujemy funkcj f: NN korzystajc ze wzoru f(n) = 2n.

Wtedy funkcja f jest rnowartociowa, poniewa

f(n1) = f(n2) implikuje ( )2n1 = 2n2,

co z kolei implikuje ( ) n1 =n2.

Jednake funkcja f nie przeksztaca zbioru N na zbir N, poniewa Im(f) skada si

tylko z liczb naturalnych parzystych.

(b) Niech bdzie alfabetem. Wtedy dugo (w) N dla kadego sowa w ze

zbioru *;

Zatem dugo jest funkcj ze zbioru * na zbir N. Aby si o tym przekona,

zauwamy, e zbir S jest niepusty, a wic zawiera jak liter, na przykad a. Wtedy O = dugo( ), 1 = dugo(a), 2 = dugo(aa) itd.

Funkcja dugo nie jest funkcj rnowartociow, chyba, e zbir ma tylko jeden element.

PRZYKAD 4

Udowodnimy, e funkcja f: R R okrelona wzorem f(x) = 3x 5 jest

przeksztaceniem wzajemnie jednoznacznym zbioru R na R.

Aby sprawdzi, e f jest rnowartociowa, musimy pokaza, e

jeli f(x) = f(x), to x = x

to znaczy

jeli 3x 5 = 3x 5, to x = x.

Ale jeeli 3x 5= 3x- 5, to 3x = 3x (dodaj 5 do obu stron),

a to implikuje, e x = x (podziel obie strony przez 3).

Aby pokaza, e f przeksztaca zbir R na R, wemy element

y ze zbioru R. Musimy znale w zbiorze R taki element x, e

f (x) = y, tzn. 3x 5 = y.

Rozwizujemy rwnanie z niewiadom x i otrzymujemy x = (y + 5)/3.

Zatem dla danego y z R liczba (y + 5)/3 naley do R i

f(x)=f((y + 5)/3) = 3((y + 5)/3) 5 = y.

To pokazuje, e kady element y ze zbioru R naley do Im(f), a zatem f

przeksztaca R na R.


Pewne szczeglne funkcje pojawiaj si tak czsto, e maj

one specjalne nazwy.

Niech S bdzie zbiorem niepustym. Funkcj identycznociow 1s na zbiorze S

nazywamy funkcj, ktra przeksztaca kady element zbioru S na siebie samego:

1s (x) dla wszystkich x S.

Zatem funkcja identycznociowa jest przeksztaceniem wzajemnie jednoznacznym

zbioru S na S.

Funkcj f: S T nazywamy funkcj sta, jeli istnieje element y0 T taki, e

f(x) = y0 dla wszystkich x S. Warto, jak przyjmuje funkcja staa, nie zmienia

si, gdy x przebiega zbir S.


Wemy zbir S i jego podzbir A. Funkcj okrelon na zbiorze S, ktra

przyjmuje warto 1 dla elementw zbioru A i warto O dla innych elementw

zbioru S, nazywamy funkcj charakterystyczn zbioru A i oznaczamy przez A

(maa grecka litera chi z indeksem A). Zatem

ASxdla

AxdlaA

\,0

,1{

Zauwamy, e funkcja A S {0, 1} rzadko jest funkcj rnowartociow i

czsto jest przeksztaceniem na. W rzeczywistoci funkcja A przeksztaca

zbir S na zbir {0, 1}, chyba, e A =S lub A = .

Jeli A lub S\A ma o najmniej dwa elementy, to funkcja A nie jest funkcj

rnowartociow


Definiujemy zoenie funkcji g f: S U za pomoc wzoru

g f(x) = g(f(x)) dla wszystkich x S.

Lew stron mona czyta jako g zoona z f od x lub g od f od x.

Bardziej zoone operacje wykonywane w analizie matematycznej lub

skomplikowane dziaania wykonywane na kalkulatorze mog by przedstawione

jako zoenie prostszych funkcji.

Wemy teraz funkcje f: S T i g: T U ( rysunek 1.10)

PRZYKAD 5

Wemy funkcj h: R R dan wzorem

h(x) =(x3 + 2x)

7.

Warto h(x) otrzymujemy obliczajc najpierw x3 + 2x, a nastpnie podnoszc wynik

do sidmej potgi.

Przez f oznaczymy pierwsz (lub wewntrzn) funkcj: f(x) = x3 + 2x.

Przez g oznaczymy drug (lub zewntrzn) funkcj: g(x=) x7. Nazwa zmiennej x jest

nieistotna; moemy rwnie dobrze napisa g(y) = y7 dla y R.

Tak czy inaczej, widzimy, e

g(f(x))=g(x3+2x)=(x3+2x)7 = h(x) dla x R.

Zatem h =g f. Umiejtno przedstawienia skomplikowanych funkcji jako zoenia

prostszych funkcji jest bardzo wan w analizie matematycznej.

Zauwamy, e kolejno funkcji f i g ma znaczenie. Istotnie

f g(x) = f(x7) = (x7)3 + 2(x7) = x21 + 2x7 dla x R.

PRZYKAD 6

Definiujemy funkcje f, g i h, ktre przeksztacaj zbir R w R za pomoc wzorw

f(x) = x4, g(y)= 1

2 y , h(z) = z2+ 72.

Uylimy rnych nazw zmiennych x, y i z, aby ponisze obliczenia byy bardziej

czytelne.

Obliczmy h (g f) oraz (h g) f i porwnajmy wyniki.

Po pierwsze, dla x R mamy

(h (g f))(x) =h(g f(x)) z definicji h (g f)

= h(g(f(x))) z definicji g f

= h(g(x4)) poniewa f(x) = x4

=h 18 x = y = x4

w definicji funkcji g

=( 18 x )2 +72 z= 1

8 x

w definicji funkcji h

= x8 + 73 przeksztacenia

algebraiczne.

PRZYKAD 6

Z drugiej strony

((hg) f)(x) = (hg)(f(x))

= h(g(f(x)))

x8 + 73

Std wynika, e

(h (g f))(x)=((h g) f)(x)=x8+73 dla wszystkich xR,

zatem funkcje h (g f) i (hg) f s rwne.

To nie jest przypadek, jak pokazuje nastpne oglne twierdzenie.

z definicji (h g) f

z definicji h g

dokadnie tak jak wyej.

czno zoenia funkcji

Dowd tego podstawowego faktu sprowadza si do sprawdzenia, e obie funkcje

h (g f) i h (g f)

przeksztacaj zbir S w zbir V oraz e tak jak w przykadzie 6, dla kadego

x S wartoci h (g f (x) i (h (g f) (x) s rwne h(g(f(x))).

Poniewa zoenie funkcji jest czne, wic moemy pisa h g f bez nawiasw

i nie prowadzi to do nieporozumie.

Moemy rwnie zapisa zoenie dowolnej skoczonej liczby funkcji nie

uywajc nawiasw.

Wemy funkcje f: ST, g: TU i h: UV.

Wtedy h (g f)=(h g) f.

2.1 FUNKCJE ODWROTNE

Funkcj odwrotn do funkcji f jest taka funkcja, ktra cofa dziaanie f.

Wyznaczajc najpierw warto funkcji f , a nastpnie funkcji do niej odwrotnej,

otrzymujemy z powrotem ten element dziedziny funkcji f, dla ktrego

obliczalimy warto funkcji ( rysunek ).

PRZYKAD 1

(a) Funkcje x2 i x o dziedzinach [0, ) s funkcjami wzajemnie odwrotnymi.

Jeli wykonasz na jakiej liczbie te dwie operacje w dowolnej kolejnoci, otrzymasz

t pocztkow liczb.

Moemy to zapisa za pomoc wzorw

x 2 =x i )( x 2=x d1a x[0, ).

(b) Funkcja 1/x jest funkcj odwrotn do siebie samej. Jeli wykonasz t operacj

dwukrotnie na jakiej liczbie, otrzymasz z powrotem t liczb. To znaczy

xx

/1

1 dla wszystkich rnych od zera x ze zbioru R.

2.1 FUNKCJE ODWROTNE

Definicja:

Funkcj odwrotn do funkcji f: ST jest funkcja f -1: TS taka, e

f -1 f = 1s oraz f f-1 = 1T, tzn. taka, e

f -1(f(x)) = x dla wszystkich x S oraz

f(f -1(y)) = y dla wszystkich y T.

Nie wszystkie funkcje maj funkcje odwrotne; te, ktre maj, nazywamy funkcjami

odwracalnymi.

Definicja funkcji odwrotnej f -1 okrela j jednoznacznie, jeli taka funkcja istnieje,

zatem funkcja odwracalna nie moe mie dwch rnych funkcji odwrotnych.

PRZYKAD 2

Wemy dodatni liczb rzeczywist b 1. W tym przykadzie szczeglnie wane

bd trzy wartoci liczby b: 2, 10 oraz czsto wystpujca w analizie liczba e, w

przyblieniu rwna 2, 718.

Funkcja fb dana wzorem fb(x) = bx dla x R ma funkcj odwrotn

fb-1 o dziedzinie (0, ), ktr nazywamy funkcj logarytmiczn.

Piszemy fb-1 = logb y;

z definicji funkcji odwrotnej mamy log bbx = x dla kadego x R

oraz b logb y = y dla kadego y (0, ).

PRZYKAD 2

W szczeglnoci, ex i log e x s funkcjami wzajemnie odwrotnymi.

Funkcj log e x nazywamy logarytmem naturalnym i czsto oznaczamy ln x.

Funkcje 10x i log10 x s wzajemnie odwrotne, podobnie 2x i log2 x.

Wartoci funkcji log10 x= log x i log e x = ln x mona oblicza na wielu

kalkulatorach;

takie kalkulatory pozwalaj te oblicza wartoci funkcji odwrotnych 10x i ex.

Aby obliczy log2 x na kalkulatorze, korzystamy z jednego z nastpujcych

wzorw

Twierdzenie

Funkcja f: S T jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy f jest rnowartociowa i

przeksztaca zbir S na zbir T.

Dowd. Przypumy, e f ma funkcj odwrotn f -1.

Jeli x1,x2 S oraz f(x1) = f(x2), to

x1=f -1

(f(x1)) = f -1

(f(x2))=x2.

Zatem funkcja f jest rnowartociowa.

Ponadto, jeli y T, to f -1(y) naley do S i f(f -1(y)) = y; zatem y Im(f).

Std T= Im(f), a wic f przeksztaca zbir S na zbir T.

Na odwrt, jeli f przeksztaca S na T, to dla kadego y ze zbioru T

istnieje jaki x S taki, e f(x) = y.

Jeli f jest take rnowartociowa, to istnieje dokadnie jeden taki x i funkcj f

moemy okreli wzorem:

f -1(y) ten jedyny x S taki, e f(x)= y. (*)

Z definicji tej mamy bezporednio f(f -1(y)) = y,

a f -1(f(x)) jest jedynym elementem zbioru S, ktry funkcja f przeksztaca w

f(x), czyli samym elementem x.

Zatem funkcja f okrelona za pomoc wzoru (*) spenia warunki naoone

przez definicj funkcji odwrotnej.

Dowd ten pokazuje te, jak otrzyma warto f -1(y), jeli

funkcja f jest odwracalna.

Po prostu, rozwizujemy rwnanie, wyznaczajc x za pomoc y.

Twierdzenie-cd

f -1

(y) ten jedyny x S taki, e f(x)= y. (*)

PRZYKAD 3

Wemy funkcj f: R R dan wzorem f(x) = x3 + 1.

Aby przekona si, e funkcja f jest rnowartociowa, zauwamy, e

f(x 1)= f(x2)

x1 3+ 1 = x2

3+ 1 x1

3 = x2

3 x1 = x2 ;

ta ostatnia implikacja zachodzi, poniewa kada liczba rzeczywista ma dokadnie

jeden pierwiastek trzeciego stopnia.

PRZYKAD 3

Aby sprawdzi, e funkcja f przeksztaca R na R, wemy y ze zbioru R.

Musimy znale liczb x R tak, e f(x) = y, tzn. musimy rozwiza rwnanie

x3 +1 = y niewiadom x.

Kiedy to zrobimy, otrzymamy liczb x= )1(3 y ktra naley do R. To oznacza, e

f przeksztaca R na R.

Poniewa funkcja f jest rnowartociowa i przeksztaca R na R, wic na podstawie

twierdzenia jest odwracalna.

Zatem f -1(y) = )1(3 y . Ten wzr ma sens dla kadego y ze zbioru R, a wic

funkcja f -1 jest dobrze okrelona.

PRZYKAD 4

Wemy funkcj g: Z x Z Z x Z okrelon wzorem g(m,n) =(n, m).

Sprawdzimy, e funkcja g jest rnowartociowa i na, a nastpnie znajdziemy

funkcj odwrotn do niej.

Aby pokaza, e funkcja g jest rnowartociowa, musimy pokaza, e

g(m,n) =g(m,n) (m,n) = (m,n).

Jeli g(m,n) = g(m,n), to (n,m) = (n,m).

Poniewa te pary uporzdkowane s rwne, otrzymujemy: n = n oraz

m = m.

Std m = m i n = n, a wic (m,n) = (m,n), czego mielimy dowie.

PRZYKAD 4

Aby pokaza, e funkcja g przeksztaca Zx Z na Zx Z, wemy par (p, q) ze zbioru Z

x Z. Musimy znale par (m, n) ze zbioru Zx Z tak, e g(m, n) = (p, q).

Zatem musi by speniona rwno (n, m) = (p, q), a to oznacza, e n powinno

by rwne p, a m powinno by rwne q.

Innymi sowy, dla danej pary (p, q) ze zbioru ZxZ, para (q, p) jest elementem

zbioru ZxZ takim, e g(q, p) = (p, q).

Zatem g przeksztaca zbir Z x Z na Z x Z.

PRZYKAD 5

Obraz zbioru B wzgldem funkcji f

Wemy funkcj f: S T.

Dla dowolnego podzbioru A zbioru S okrelamy

f(A)={f(x): xA}.

Zatem f(A) jest zbiorem wszystkich wartoci f(x), gdy x przebiega zbir

A. Zbir f(A) nazywamy obrazem zbioru A wzgldem funkcji f.

Interesuje nas te operacja odwrotna do obrazu zbioru, dla zbioru B

zawartego w zbiorze T:

f (B) = {x S: f(x) B}.

Zbir f (B) nazywamy przeciwobrazem zbioru B wzgldem funkcji f.

Obraz zbioru B wzgldem funkcji f-cd

Jeli f jest funkcj odwracaln, to przeciwobraz podzbioru B zbioru T

wzgldem funkcji f jest rwny obrazowi zbioru B wzgldem funkcji f -1,

tzn. w tym przypadku

f (B) {f -1(y): y B} = f -1(B).

Jeli funkcja f jest nieodwracalna, to oczywicie nie ma sensu pisanie f -1(y)

czy f -1(B).

Poniewa f -1(B) nie moe mie adnego innego znaczenia poza f (B),

niektrzy autorzy rozszerzaj znaczenie f -1 przez f -1(B) oznaczaj to, co my

oznaczamy przez f (B), nawet jeli funkcja f jest nieodwracalna.

Obraz zbioru B wzgldem funkcji f-cd

Dla y T przez f (y) oznaczamy zbir f ({y}).

To znaczy f (y) {x S: f(x) = y}.

Zbir ten nazywamy przeciwobrazem elementu y wzgldem funkcji f.

Zauwamy, e rozwizanie rwnania f(x) = y z niewiadom x jest

rwnowane znalezieniu zbioru f (y).

To znaczy, e f (y) jest zbiorem rozwiza rwnania f(x)= y.

Tak jak w przypadku rwna algebraicznych zbir f (y) moe mie jeden

element, wiele elementw lub nie mie ich wcale.

PRZYKAD 6

PRZYKAD 7

Dzikuj za uwag

funkcje wyklady

Documents

Transcript of funkcje wyklady