Funkcja produkcji

Funkcja produkcjiCobb - Douglas

Założenia

- wartość produkcji czystej [tys. zł], - wartość brutto produkcyjnego majątku trwałego [mln zł], - średnia liczba zatrudnionych w ciągu roku [l. pracowników] Relacja pomiędzy zmiennymi nieliniowa:funkcja Cobb – Douglasa:


Dane statystyczne:[1993 – 2007]

Rok

1993 864,00 13,5 359

1994 1081,20 17,4 453

1995 1092,80 18,7 431

1996 1194,10 23,3 423

1997 1225,60 24,4 424

1998 1284,60 24,2 471

1999 1409,70 28,6 486

2000 1502,70 31,2 511

2001 1597,40 34,1 535

2002 1634,80 33,2 574

2003 1783,00 35,1 601

2004 1786,90 38,5 600

2005 1900,40 41,4 634

2006 1972,80 41,1 690

2007 2022,50 42,2 707

tY tK tL


1. obliczyć elastyczność produkcji względem czynników produkcji, zinteipretować wyniki2. określić o ile procent wzrośnie produkcja, jeżeli wartość produkcyjnego majątku trwałego wzrośnie o 3%, a liczba zatrudnionych zmniejszy się o 2%,3. określić jaka powinna być wartość brutto produkcyjnego majątku trwałego, aby osiągnąć wartość produkcji czystej 2,05 mln zł, utrzymując jednocześnie zatrudnienie na poziomie z roku 20074. określić, o ile należy zwiększyć średnie, roczne zatrudnienie z okresu 2007 na 2008, jeżeli wiadomo, że wartość brutto produkcyjnego majątku trwałego ulegnie w okresie 2008 zmniejszeniu o 5 mln zł w porównaniu z rokiem 2007, a jednocześnie chcemy utrzymać produkcje na poziomie roku 20075. wyznaczyć optymalny układ czynników produkcji {K, L}, tak by uzyskać maksymalną wartość produkcji czystej Y = 1,5 mln zł, gdy znana jest liniowa funkcja kosztów całkowitych C(K, L) = 22 000 K + 1 500 L6. czy proces produkcji charakteryzuje; stały, rosnący czy malejący efekt skali produkcji7. wyznaczyć i zinterpretować stopień jednorodności funkcji


Oszacowana postać modelu:

Elastyczność produkcji względem majątku produkcyjnego oznacza, że zwiększenie majątku produkcyjnego o 1% powoduje wzrost produkcji czystej o 0,4521%.Elastyczność produkcji względem zatrudnienia oznacza, że zwiekszenie zatrudnienia o 1% powoduje wzrost produkcji czystej o 0,5080%

tettt eLKY 5080,04521,036,13

4521,0/ KY

5080,0/ LY


Elastyczność produkcji względem nakładów

K

K

Y

Y

Y

K

K

YKY

/ , L

L

Y

Y

Y

L

L

YLY

/ ,

stąd odpowiedź na pytanie o ile procent zmieni się produkcja czysta Y, jeśli zmieni się jednocześnie wartość nakładów {K, L}, odpowiednio o i zawiera wartość równania: , , , zmiana

produkcji pod wpływem zmian nakładów:

%100K

K

%3K

K

%100L

L

%2L

L

%3403,0%100 Y

Y


Substytucjanakładów

Załóżmy, że wartość produkcji jest na poziomie = 2,05 mln zł, przekształćmy funkcje produkcji, wyznaczając wartość majątku produkcyjnego jako funkcję zatrudnienia: , stąd jeśli , a [tys.zł], to

tt LY

K

1

0

0


Stopasubstytucji

Krańcowa stopa substytucji majątku produkcyjnego poprzez pracę:

określa jaka ilością pracy L należy zastąpić wycofaną ilość kapitału K,

bowiem równanie wyznacza konieczne zwiększenie nakładów

pracy, kompensujące spadek nakładów majątku produkcyjnego, pozwalające

utrzymać produkcję na poziomie , z definicji: stąd podstawiając w miejsce K równanie izokwanty: = 0,0663, otrzymamy

otrzymamy: , a zatem

by zrekompensować spadek wartości produkcyjnego majątku trwałego o 5 mln zł, przy jednoczesnym utrzymaniu produkcji czystej na poziomie 2022,5 tys zł., należy zwiększyć średnie roczne zatrudnienie o 76 pracowników

dL

dK

K

YL

Y

R LK

/

760663,0

5

dL


Niech Kw oraz Lw oznaczają jednostkowe koszty zaangażowania czynników produkcji {K, L},

stąd: ),()(min),(min 00,, LKCLwKwLKC LKLKLK oraz

tt LY

K

1

0

0 ,

)()(min)(min 0

1

0

0 LCLwLY

wLC LKLL

, pochodna funkcji C(L) jest równa:

LK wLY

wdL

dC

1

1

0

0

, optymalne rozwiązanie ze względu na L, otrzymamy

rozwiązując równanie: 00 LLdL

dC, stąd

K

L

w

wYL

1

0

00 , ponieważ druga

pochodna 2

0

1

0

02

2

)(0

LY

wdL

CdKLL

jest dodatnia dla dowolnych 0L .


Funkcja kosztów całkowitych przyjmuje wartość minimalną wyznaczoną z warunku:

podobnie wyznaczyć można przy założeniach przyjętych

w poleceniach punktu 5, stąd:

,

stąd minimalny koszt jest równy: [tys. Zł]

,

31508,0

4521,0

22000

1500

364,13

1500 508,04521,0

508,0

05084521,0

1

0

K

K

L

w

wYK

1

0

00

511508,0

4521,0

22000

1500

364,13

1500 508,04521,0

4521,0

05084521,0

1

0

L

00 LLdL

dC

5,4481min C


Ponieważ , zatem tempo przyrostu nakładów jest większe

aniżeli przyrost skali produkcji

, zatem jest miarą

stopnia jednorodności funkcji produkcji

19601,0

),()()(),( 0 LKYLKLKY k

Funkcja produkcji

Documents

Transcript of Funkcja produkcji