ETO w Inżynierii Chemicznej

MathCAD wykład 4.

Analiza danych

Aproksymacja danych

definicja

• Aproksymacja jest działem analizy numerycznej zajmującym się najbardziej ogólnymi zagadnieniami przybliżania funkcji, polegającymi na wyznaczaniu dla danej funkcji f(x) takich funkcji F(x), które w określonym sensie najlepiej przybliżają funkcję f(x).

zastosowanie

• gdy funkcja f(x) jest zdefiniowana bardzo skomplikowanym wzorem

• gdy funkcja f(x) określona jest na dyskretnym zbiorze argumentów i znana jest postać funkcji aproksymującej otrzymuje się zależność ciągłą. Określa sie tylko wartości liczbowe parametrów, przy których przybliżenie danej funkcji jest najlepsze– wyznaczanie parametrów na podstawie danych

doświadczalnych

rodzaje

• aproksymacja interpolacyjna

• aproksymacja jednostajna

• aproksymacja średniokwadratowa

aproksymacja interpolacyjna

• żąda się spełnienia warunku, aby funkcja dana f(x) i funkcja szukana F(x) przyjmowały dokładnie te same wartości na zbiorze z góry ustalonych punktów węzłowych. Czasem uzupełnia się warunkiem równości pochodnych w węzłach (jeżeli wartości pochodnych zostaną zadane).

aproksymacja jednostajna

• funkcję f(x) przybliżamy taką funkcją F(x) w całym przedziale [a,b], że maksymalne odchylenie osiąga minimum

aproksymacja średniokwadratowa

• funkcja aproksymująca wyznaczana jest z warunku, aby wartość wyrażenia

była możliwie najmniejsza. Geometrycznie warunek ten wyraża żądanie, aby pole powierzchni między liniami reprezentującymi funkcję było najmniejsze

• Przy znanej postaci funkcji aproksymującej wartość E jest funkcją parametrów tej funkcji

min2 dxxfxFEb

a

aproksymacja średniokwadratowa

• W przypadku dyskretnego zbioru argumentów funkcja celu przyjmuje postać:

min2

iii xfxFE

Jawna aproksymacja średniokwadratowa w MathCADzie

• Dzięki procedurze:

minimize(funkcja, p1, p2,...)

można tak dobrać szukane parametry funkcji aproksymującej aby zminimalizować sumę kwadratów odchyleń miedzy wartościami stabelaryzowanymi a obliczonymi z funkcji. funkcja – to funkcja obliczająca sumę kwadratów odchyłek miedzy wartościami danymi w zbiorze i obliczonymi funkcja aproksymującą. Argumentami są parametry funkcji aproksymującej

• Algorytm:1. Utworzenie funkcji dopasowującej. Argumentami są

zmienna niezależna oraz szukane parametry

2. Nadanie licznikowi wartości z zakresu od 0 do ilość punktów danych w zbiorze –1

– Ilość danych w zbiorze można uzyskać stosując funkcję length, której argumentem jest dowolna kolumna danych

3. Utworzenie funkcji obliczającej sumę kwadratów odchyłek między doświadczeniem a wartościami obliczonymi z funkcji. Zmiennymi utworzonej funkcji są parametry funkcji aproksymującej

4. Założenie startowych wartości parametrów

5. Wykonanie procedury Minimize na utworzonej funkcji i parametrach.

Analiza danych• Dowolna funkcja o parametrach

wyznaczonych narzędziem genfit:c:=genfit(X, Y, c0, F)– c0 – startowy wektor szukanych parametrów

funkcji– c - wektor szukanych parametrów – F – funkcja wektorowa zmiennej niezależnej i

wektora c, składająca się szukanej funkcji oraz jej pochodnych po parametrach

– X – zmienne niezależne ze zbioru danych– Y – zmienne zależne ze zbioru danych

Analiza danych• Aproksymacja wielomianem:

– aproksymacja średniokwadratowa– składnia Z:= Regress(X, Y, s)

• X wektor zmiennych niezależnych

• Y wektor zmiennych zależnych

• s – stopień wielomianu

• Wynikiem jest wektor Z, którego s+1 ostatnich elementów to parametry wielomianu

Analiza danych

• Kubiczna funkcja sklejana (Cubic Spline) – aproksymacja interpolacyjna– składnia Z:=lspline(X, Y)– Wynikiem jest wektor Z, parametrów funkcji

sklejanej– Funkcja wymaga posortowania danych

W:=csort(W,i), W – macierz danych, i – nr kolumny porządkującej

Analiza danych• Funkcja interpretująca równanie interp

uwalnia od konieczności pisania równania:F(x):=interp(Z, X, Y, x)

odpowiada np. Y(x):=Z4+Z5x+Z6x2

(przy Z wyznaczonym procedurą regress)

– Z – wektor znaleziony przez procedurę aproksymującą

– X, Y – wektory zmiennych zależnych i niezależnych ze zbioru danych

– x – zmienna niezależna

Można różniczkować

Można całkować