Bydgoszcz, 27 kwietnia 2016 r. godz. 9.00.

Etap szkolny

XVI Kujawsko-Pomorskich Zawodów Matematycznych im. Mariana Rejewskiego

uczniów klas I liceów ogólnokształcących.

Zadanie 1. Układ równań diofantycznych. Rozwiązać układ równań 𝑎𝑏 − 3𝑎 − 2𝑏 = −3𝑏𝑐 − 𝑏 − 3𝑐 = 3𝑐𝑎 − 2𝑐 − 𝑎 = 0

w liczbach całkowitych a, b, c. Zadanie 2. Okrąg ortocentryczny. Dany jest trójkąt równoramienny o bokach 12, 10 i 10.

Obliczyć długość promienia okręgu o środku w ortocentrum tego trójkąta i stycznego do jego ramion. (Ortocentrum – punkt przecięcia się wysokości trójkąta)

Zadanie 3. Czworokąt z okręgami. Dany jest czworokąt wypukły ABCD. Różne od

wierzchołków punkty K, L, M i N leżą odpowiednio na bokach AB, BC, CD, DA tak, że trzy okręgi: przechodzący przez punkty A, K, N; przechodzący przez punkty B, K, L oraz przechodzący przez punkty C, L, M przecinają się w jednym punkcie P. Wykazać, że okrąg przechodzący przez punkty D, M, N także przechodzi przez punkt P.

Zadanie 4. Nierówności. Liczby rzeczywiste x, y spełniają warunki

𝑥! ≤ 4𝑦 i 𝑥 + 100 ! ≤ 4 𝑦 + 100 .

Wykazać, że

𝑥 + 99 ! + 99 ≤ 4 𝑦 + 99 .

Bydgoszcz, 27 kwietnia 2016 r. godz. 9.00.

Etap szkolny

XVI Kujawsko-Pomorskich Zawodów Matematycznych im. Mariana Rejewskiego

uczniów klas II liceów ogólnokształcących.

Zadanie 1. Wyrażenie. Wyznaczyć wszystkie wartości rzeczywiste x, y, dla których wyrażenie

𝑥! + 𝑦𝑥 −𝑦 − 𝑦

+𝑥 −𝑦𝑦

ma stałą wartość.

Zadanie 2. Parabola i prosta. Wykres funkcji 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 𝑎𝑥 + 𝑏 przecina oś OY w punkcie B poniżej osi OX, a oś OX w punktach A i C po obu stronach osi OY. Wiadomo, że odcinek AB jest prostopadły do prostej o równaniu 𝑦 = 𝑥. Obliczyć odległość punktu C od początku układu współrzędnych.

Zadanie 3. Trzy okręgi. Dane są dwa zewnętrznie styczne okręgi o promieniach 𝑟!, 𝑟! oraz prosta styczna do nich odpowiednio w punktach A i B. Punkt C jest punktem wspólnym tych okręgów, a R jest długością promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC. Udowodnić, że 𝑅 = 𝑟!𝑟! .

Zadanie 4. Nierówności. Liczby rzeczywiste x, y spełniają warunki

𝑥! ≤ 4𝑦 i 𝑥 + 100 ! ≤ 4 𝑦 + 100 . Wykazać, że 𝑥 + 50 ! + 50 < 4 𝑦 + 50 .