Elementy sztucznej inteligencji - Kolos Wikikolos.math.uni.lodz.pl/~archive/Sztuczna...

Elementy sztucznej inteligencji

Data ostaniej mody�kacji: 25 stycznia 2005

Piotr Fulma«ski

Piotr Fulma«skiWydziaª Matematyki, Uniwersytet �ódzki

Banacha 22, 90-232, �ód¹Polska

email:[email protected]

Zanim zaczniemy . . .

Powy»sze opracowanie to nic innego jak moje notatki tworzone w trakcie przygotowywaniazaj¦¢ z �Elementów sztucznej inteligencji�. Obecnie jest to bardziej plan zaj¦¢ (i jednocze±niespis zagadnie« na egzamin ;) ) ni» materiaª z którego mo»na si¦ uczy¢.

Elementy sztucznej inteligencji c©2004 � 2005 by P. Fulma«ski (ostatnia mody�kacja: 25 stycznia 2005)

ii ROZDZIA� 0. ZANIM ZACZNIEMY . . .


Spis tre±ci

Zanim zaczniemy . . . i

1 Sztuczna inteligencja 11.1 Zarys materiaªu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Sztuczna Inteligencja - czym jest? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Test Turinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Idea tesu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Sprzeciwy i zarzuty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Dwa ró»ne pokoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.1 Chi«ski Pokój . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.2 Jasny Pokój . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Sztuczne sieci neuronowe 52.1 Neuron biologiczny i jego sztuczny model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Model McCullocha i Pittsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Model neuronu dla sztucznych sieci neuronowych . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1 Funkcje aktywacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Modele sztucznych sieci neuronowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4.1 Sieci jednokierunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4.2 Sieci ze sprz¦»eniem zwrotnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5 Przetwa»anie informacji w sieciach neuronowych . . . . . . . . . . . . . . . . 52.6 Mo»liwo±ci architektur sieci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.7 Sieci neuronowe - cechy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.8 Uczenie sieci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.8.1 Wsteczna propagacja b¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Algorytmy genetyczne 73.1 Wst¦p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1 Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.2 Podstawowe terminy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Klasyczny algorytm genetyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.1 Cechy algorytmu genetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.2 Algorytm genetyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.3 Przykªad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Algorytm genetyczny - mody�kacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Logika rozmyta 114.1 Wprowadzenie i uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Troch¦ teorii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11


iv SPIS TRE�CI


Rozdziaª 1

Sztuczna inteligencja

1.1 Zarys materiaªu

Niniejszy wykªad ma charakter wybitnie interdyscyplinarny. Obejmuje bowiem swoim za-si¦giem tematy i problemy ogólnie znane pod nazw¡ Sztucznej Inteligencji. Jak si¦ dosy¢szybko przekonamy, dziedzina ta ma swoje powi¡zania z logika, informatyk¡, matematyk¡,psychologi¡, �lozo�¡, biologi¡, lingwistk¡, robotyk¡.

Ze wzgl¦du na tak szeroki zakres poruszanych tematów znaczn¡ trudno±¢ przedstawiatakie przedstawienie wiadomo±ci aby uªo»yªy si¦ one w jak¡± sensown¡ caªo±¢.

Caªo±¢ zagadnie« podzielona zostaªa na dwie grupy, które wzajemnie b¦d¡ si¦ przenika¢w toku zaj¦¢.

• Grup¦ pierwsz¡ stanowi¢ b¦d¡ praktyczne przykªady zaczerpni¦te z niektórych dziedzinwchodz¡cych w skªad Sztucznej Inteligencji wraz z omówieniem podstawowych zagad-nie« (sieci neuronowe, programy ewolucyjne, logika rozmyta, modelowanie zachowa«).Wykªad odpowiedzialny b¦dzie w tym przypadku za wprowadzenie poj¦¢ i ich teorety-czn¡ prezentacj¦; implementacje pozostawione zostan¡ na ¢wiczenia.

• Drug¡ natomiast teoria czyli w tym przypadku:� jak doszªo do powstania dziedziny nauki nazywanej dzi± Sztuczn¡ Inteligencj¡

� prezentacja bada«, prac i osi¡gni¦¢ zwi¡zanych z konstruowaniem my±l¡cychmaszyn;

� rozwa»ania natury �lozo�cznej zwi¡zane z, ogólnie mówi¡c, my±leniem.Wydaje mi si¦, i» istotnym jest aby podczas caªego cyklu zaj¦¢ poszukiwa¢ odpowiedzi

na pewne pytania. W¡tpi¦ abym odpowiedzi te zamie±ciª w sposób jawny, dlatego, »e ka»dysam musi wyrobi¢ sobie swoje wªasne zdanie i mie¢ intuicj¦ zwi¡zan¡ z tym tematem. Otote pytania:

1. Czy maszyna mo»e my±le¢?2. Jaka mo»liwa maszyna mo»e my±le¢?3. Czy my±l¡ca maszyna b¦dzie równoznaczna ze sztucznym czªowiekiem?4. Dlaczego budujemy maszyny my±l¡ce?5. Czy maszyna my±l¡ca b¦dzie posiada¢ prawa istoty my±l¡cej?6. Czy maszyna my±l¡ca zaliczana b¦dzie do �bytów� »ywych?

Oczywi±cie pyta« podobnych do tych jest wiele. Ka»dy mo»e uzupeªni¢ t¦ list¦ o wªasne iposzukiwa¢ odpowiedzi.


2 ROZDZIA� 1. SZTUCZNA INTELIGENCJA

1.2 Sztuczna Inteligencja - czym jest?

Spróbujmy teraz okre±li¢ czym jest Sztuczna Inteligencja. Nie nale»y tego co napisz¦ zarazponi»ej traktowa¢ jako SCIS�EJ de�nicji jako, »e jest ich wiele. Jest to pewna propozycja,tak samo dobra jak wiele innych :)))De�nicja 1.2.1 Sztuczna Inteligencja jest dziedzin¡ wiedzy której celem i przedmiotem bada«s¡ maszyny potra�¡ce rozwi¡zywa¢ zadania, przy rozwi¡zywaniu których czªowiek korzysta zeswojej inteligencji.

Sami badacze Sztucznaj Inteligencji dziel¡ si¦ na dwa obozy, wedle propozycji i charak-terystyki Johna Searle'a:Silna Sztuczna Inteligencja (ang. Strong Arti�cial Inteligence) Zwolennicy tego obozu

uwa»aj¡, i» zbiór problemów stawianych przed nauk¡ (jako tak¡, Sztuczn¡ Inteligencj¡ wszczególno±ci) i rozwi¡zywalnych metodami naukowymi pokrywa si¦ z klas¡ problemówrozstrzygalnych algorytmicznie, czyli rozwi¡zywalnych przez urz¡dzenia pracuj¡ce nazasadzie maszyny Turinga. Mówi¡c bardziej obrazowo, dla ka»dego zachowania lub akcjijaka wyda»y si¦ w naszym otoczeniu mo»na napisa¢ program, który to zachowanie lubakcj¦ wyja±ni. St¡d cz¦sto okre±la si¦ ich mianem algorytmistów.

Sªaba Sztuczna Inteligencja (ang. Weak Arti�cial Inteligence) Zwolennicy tego pogl¡dus¡ zdania, i» mo»liwe jest peªne poznanie badanych zagadnie«, ale poznanie to nieb¦dzie opieraªo si¦ na procedurach algorytmicznych.

Z kolei Roger Penrose proponuje podziaª oparty o nast¦puj¡ce stanowiska1. My±lenie zawsze polega na obliczeniach, a w szczególno±ci ±wiadome doznania postaj¡

wskutek realizacji odpowiedniego procesu obliczeniowego (stanowisko to pokrywa si¦ zSAI).

2. �wiadomo±¢ jest cech¡ �zyczn¡ dziaªaj¡cego mózgu. O ile szystkie �zyczne procesymo»na symulowa¢ obliczeniowo, to jednak symulacjom tym nie towarzyszy ±wiadomo±¢.

3. Odpowiedni procesy �zyczne w mózgu powoduj¡ powstanie ±wiadomo±ci, ale tych pro-cesów nie mo»na nawet symulowa¢ obliczeniowo (stanowisko to pokrywa si¦ z WAI).

4. �wiadomo±ci nie mo»na wyja±ni¢ w »aden �zyczny, obliczeniowy czy inny naukowysposób (mistycyzm).

W calym wykªadzie b¦dzimy trzyma¢ si¦ nast¦puj¡cej notacji: przez Sztuczn¡ In-teligencj¦ okre±la¢ b¦dziemy dziedzin¦ bada« za± prze sztuczn¡ inteligencj¦ przedmiotbada«.

Zauwa»my, »e je±li Sztuczna Inteligencja bada my±l¡cy sztuczny system poznawczy toczyni to w oparciu o znajomo±¢ systemu naturalneg staj¡c si¦ tym samym blisk¡ naukomkognitywnym (ang. Cognitive Science).

Nauki kognitywne to okre±lene na interdyscyplinarny zbór nauk zwi¡zanych ze zdoby-waniem i u»ywaniem wiedzy. Swój wkªad wnosz¡ tutaj: psychologia, lingwistyka, �lozo�a,atropologia, nauki o mózgu, pedagogika, logika, matematyka, informatyka (computer sci-ence) i zapewne jeszcze wiele innych :))) Istnieje pi¦¢ gªównych pól badawczych w naukachkognitywnych: reprezentacja wiedzy, j¦zyk, uczenie si¦, my±lenie, percepcja.

Inna de�nicja nauk kognitywnych to:nauki kognitywne s¡ studium inteligencji i systemów inteligentnych ze szczególnym

odniesieniem si¦ do zachowania inteligentnego jako procesu daj¡cego si¦ obliczy¢.Mimo blisko±ci nauk kognitywnych i Sztucznej Inteligencji b¦dziemy je rozgranicza¢:

nauki kognitywne za przedmiot swych bada« obraªy naturalne systemy poznawcze ze szczegól-nym uwzgl¦dnieniem roli czªowieka, natomiast Sztuczna Inteligencja jedynie takie systemymodeluje.


1.3. TEST TURINGA 3

1.3 Test Turinga

1.3.1 Idea tesu

1.3.2 Sprzeciwy i zarzuty

Sprzeciw teologicznyZarzut �lepiej o tym nie my±le¢�Sprzeciw matematycznyZarzut ±wiadomo±ciZarzut niemo»no±ciZarzut nieformalno±ci zachowa«Zarzut pozazmysªowej percepcji

1.4 Dwa ró»ne pokoje

1.4.1 Chi«ski Pokój

1.4.2 Jasny Pokój


4 ROZDZIA� 1. SZTUCZNA INTELIGENCJA


Rozdziaª 2

Sztuczne sieci neuronowe

2.1 Neuron biologiczny i jego sztuczny model

2.2 Model McCullocha i Pittsa

2.3 Model neuronu dla sztucznych sieci neuronowych

2.3.1 Funkcje aktywacji

• �progowa�f(net) =

{1 net ≥ 0−1 net < 0

• liniowaf(net) = a · net

• sigmoidalna bipolarnaf(net) =

21 + exp(−λnet)

− 1

• sigmoidalna unipolarnaf(net) =

11 + exp(−λnet)

2.4 Modele sztucznych sieci neuronowych

2.4.1 Sieci jednokierunkowe

Sieci jednowarstwoweSieci wielowarstwowe2.4.2 Sieci ze sprz¦»eniem zwrotnym

2.5 Przetwa»anie informacji w sieciach neuronowych

1. Kojarzenie obrazów wej±ciowych• autoasocjacja• heteroasocjacja

2. Klasy�kacja i rozpoznawanie


6 ROZDZIA� 2. SZTUCZNE SIECI NEURONOWE

• klasy�kacja• rozpoznawanie

3. Uczenie i adaptacja• uczenie Uczenie z nauczycielem. Uczenie bez nauczyciela.• adaptacja

2.6 Mo»liwo±ci architektur sieci

2.7 Sieci neuronowe - cechy

• stanowi¡ uniwersalny ukªad aproksymacyjny odwzorowywuj¡cy wielowymiarowe zbiorydanych;

• maj¡ zdolno±¢ równolegªego przetwarzania informacji;• s¡ odporne na uszkodzenia poª¡cze« mi¦dzyneuronowych;• maj¡ zdolno±¢ uczenia si¦ i adaptacji do zmiennych warunków ±rodowiska;• maj¡ zdolno±¢ uogólniania nabytej wiedzy, stanowi¡c pod tym wzgl¦dem system sz-tucznej inteligencji

Wykorzystanie w:• rozpoznawania obrazów;• robotyka;• automatyka;• teoria sterowania i zagadnienia optymalizacyjne;• dziedziny tzw. sztucznej inteligencji, a zwªaszcza systemy ekspertowe.

2.8 Uczenie sieci

2.8.1 Wsteczna propagacja b¦du


Rozdziaª 3

Algorytmy genetyczne

3.1 Wst¦p

3.1.1 Idea

3.1.2 Podstawowe terminy

PopulacjaOsobnikChromosomGenGenotypFenotypAllelLocus

3.2 Klasyczny algorytm genetyczny

3.2.1 Cechy algorytmu genetycznego

3.2.2 Algorytm genetyczny

3.2.3 Przykªad

Mamy nast¦puj¡ce zadanie: znale¹¢ maksimum funkcji f(·) okre±lonej nast¦puj¡cym wzorem

f(x) = 50− 12

sin(10πx)− 10(x− 112)2

dla x ∈ [0, 3]. Wykres funkcji przedstawia rysunek ??.Rozwi¡zanie:

U»ywaj¡c najbardziej naturalnej reprezentacji, chromosomowi c1c2 . . . cN o dªugo±ci N odpowiadaliczba o warto±ci

x′ =N∑

i=1

ci2−i


8 ROZDZIA� 3. ALGORYTMY GENETYCZNE

Chrom. Geny chrom. x f(x)c1 001011111010001000 0.558199 37.095265

c2 100110010101100000 1.797004 48.705701

c3 001001100101001011 0.449102 22.914265

c4 001001010000100010 0.433985 22.891859

c5 011101010010110010 1.373136 53.414501

c6 000110010000111000 0.293611 19.895602

c7 001010100110010001 0.496778 29.365759

c8 101011100110000000 2.043465 39.197929

c9 011000001010000100 1.132374 51.549879

c10 011000001110101101 1.135773 51.855631

c11 001101010100100101 0.624449 31.194383

c12 100101000000011100 1.734702 53.331889

c13 011010111100111011 1.263375 44.315135

c14 100101011101010000 1.755805 53.608358

c15 000111001110010010 0.338586 27.704348

c16 100100101101110110 1.721084 52.097334

c17 110010110100100100 2.382257 37.077412

c18 000100111010001001 0.230084 13.693426

c19 101000001010111111 1.883052 44.527296

c20 100011110101100111 1.679896 46.400632

Tablica 3.1: Pocz¡tkowa populacja chromosomów

nale»¡ca do przedziaªu [0,1]. Aby otrzyma¢ liczb¦ z przedziaªu [0, 3] nale»y zatem u»y¢nast¦puj¡cego przeksztaªcenia liniowego

x = 3x′

W tym przykªadzie przyjmujemy N = 18. St¡d wniosek, »e b¦dziemy mie¢ 218 punktów, odd-alonych od siebie o odcinek o dªugo±ci 2−183. Przyjmijmy ponadto warto±¢ 20 jako liczno±¢populacji, 0.3 jako prawdopodobie«stwo krzy»owania i 0.003 jako prawdopodobie«stwo mu-tacji. Prze±ledzimy teraz kilka pierwszych kroków algorytmu. Zaczynamy od wygenerowaniapopulacji pocz¡tkowej; wybór ten jest losowy a w jego wyniku otrzymano populacj¦ z tabeli3.1.

�rednia warto±¢ funkcji oceny wynosi 39.041830. Zaªó»my teraz, »e do reprodukcji wybrano(zgodnie z zasad¡ ruletki) chromosomy o numerach 5, 10, 5, 9, 12, 16, 5, 19, 12, 19, 5, 20, 6, 9, 19, 1, 17, 9, 7.Je±li teraz dokonamy operacji krzy»owania na chromosomach 5 i 10:c5 : 011101010010110010 1.373136 53.414501

c10 : 011000001110101101 1.135773 51.858631

a krzy»owanie nast¡pi po 13 genie to otrzymamy dwa nowe chromosomyc5_new : 011101010010101101 1.373079 53.420177

c10_new : 011000001110110010 1.135830 51.860342

Je±li natomista mutacja dokonana zostaªa na cgromosomie 1c1 : 001011111010001000 0.558199 37.095265

na genie 4 to otrzymamy chromosomc1 : 001111111010001000 0.745700 43.575070

W wyniku zastosownia operatorów genetycznych otrzymano ostatecznie nst¦puj¡c¡ pop-ulacj¦ ze ±redni¡ wartosci¡ funkcji oceny wynosz¡c¡ 46.613562.

3.3 Algorytm genetyczny - mody�kacje


3.3. ALGORYTM GENETYCZNY - MODYFIKACJE 9

Chrom. Geny chrom. x f(x)c1 101000010010110010 1.888763 45.248598

c2 011000001010000100 1.132374 51.549879

c3 100101000000011100 1.734702 53.331889

c4 011101010010110010 1.373136 53.414501

c5 011000001110101101 1.135773 51.855631

c6 100100101101110110 1.721084 52.097334

c7 011101010010110010 1.373136 53.414501

c8 101000001010111111 1.883052 44.527296

c9 100101000000011100 1.734702 53.331889

c10 101000001010111111 1.883052 44.527296

c11 011101010010110010 1.373136 53.414501

c12 100011110101100111 1.679896 46.400632

c13 000110010000111000 0.293611 19.895602

c14 011000001010000100 1.132374 51.549879

c15 011101001010111111 1.367425 53.917790

c16 001011111010001000 0.558199 37.095265

c17 110010110100100100 2.382257 37.077412

c18 100110010101100000 1.797004 48.705701

c19 011000001010000100 1.132374 51.549879

c20 001010100110010001 0.496778 29.365759

Tablica 3.2: Populacja po 1 iteracji algorytmu


10 ROZDZIA� 3. ALGORYTMY GENETYCZNE


Rozdziaª 4

Logika rozmyta

4.1 Wprowadzenie i uwagi

Impulsem dla powstania teorii zbiorów rozmytych byªa ch¦¢ precyzyjniejszego opisania zjawiskoraz poj¦¢ maj¡cych ze swojej natury nieprecyzyjny lub wieloznaczny charakter. Za ojca tejdziedziny nauki uwa»a si¦ L. A. Zadeha, który przedstawiª jej zarys w pracy Fuzzy Sets(Information And Control, 1965, vol. 8, p. 338-353).

4.2 Troch¦ teorii

De�nicja 4.2.1 Zbiorem rozmytym A w pewnej przestrzeni X (X jest zbiorem niepustym inierozmytym), co zapisujemy A ⊆ X nazywamy zbiór

A = {(x, µA(x));x ∈ X}

gdzieµA : X → [0, 1]

jest funkcj¡ przynale»no±ci zbioru rozmytego A. Funkcja ta ka»demu elementowi x ∈ Xprzyporz¡dkowywuje jego stopie« przynale»no±ci do zbioru rozmytego A.

Do zapisu zbiorów rozmytych stosuje si¦ symbolik¦, która mo»e okaza¢ si¦ lekko myl¡ca.Je»eli X jest przestrzeni¡ o sko«czonej liczbie elementów, to znaczy X = {x1, . . . , xn}, tozbiór rozmyty A ⊆ X symbolicznie zapisujemy w nast¦puj¡cej postaci

A =µA(x1)

x1+

µA(x2)x2

+ · · ·+ µA(xn)xn

=n∑

i=1

µA(xi)xi

gdzie zapisµA(xi)

xi

nale»y rozumie¢ jako(xi, (µA(xi))

Je±li X jest przestrzeni¡ o niesko«czonej liczbie elementów, to zbiór rozmyty A ⊆ X symbol-icznie zapisujemy jako

A =∫

X

µA(x)x

De�nicja 4.2.2 Zbiór elementów przestrzeni X, dla których µA(X) > 0 nazywamy no±nikiemzbioru rozmytego A i oznaczamy suppA.


12 ROZDZIA� 4. LOGIKA ROZMYTA

De�nicja 4.2.3 Wysoko±ci¡ zbioru rozmytego A nazywamy liczb¦ h(A) zde�niowan¡ jakponi»ej

h(A) = supx∈AµA(x)

De�nicja 4.2.4 Zbiór rozmyty A nazywamy normalnym je±li h(A) = 1. Zauwa»my, »e je±lizbiór nie jest normalny to zawsze mo»na znormalizowa¢ go za pomoc¡ przeksztaªcenia

µA′(x) =µA(x)h(A)

De�nicja 4.2.5 Zbiór rozmyty nazywamy pustym, co zapisujemy A = 0 je±li µA = 0 dlaka»dego x ∈ X.

De�nicja 4.2.6 Zbiór rozmyty A zawiera si¦ w zbiorze rozmytym B, co zapisujemy A ⊂ Bje±li

µA ≤ µB

dla ka»dego x ∈ X.

De�nicja 4.2.7 Zbiór rozmyty A jest równy zbiorowi rozmytemu B, co zapisujemy A = Bje±li

µA = µB


De�nicja 4.2.8 α-przekrojem zbioru rozmytego A ⊆ B, co zapisujemy Aα, nazywamy ziórnierozmyty

Aα = {x ∈ X : µA(x) ≥ α}

dla ka»dego α z przedziaªu [0, 1]

De�nicja 4.2.9 Zbiór rozmyty A ⊆ X jest wypukªy je±li dla dowolnych x1, x2 ∈ X i λ ∈[0, 1] zachodzi

µA[λx1 + (1− λx2] ≥ µA(x1) ∧ µA(x2) = min{µA(x1), µA(x2)}

De�nicja 4.2.10 Zbiór rozmyty A ⊆ X jest wkl¦sªy je±li dla dowolnych x1, x2 ∈ X i λ ∈[0, 1] zachodzi

µA[λx1 + (1− λx2] ≤ µA(x1) ∧ µA(x2) = min{µA(x1), µA(x2)}

De�nicja 4.2.11 Przeci¦ciem zbiorów rozmytych A,B ⊆ X jest zbiór rozmyty A ∩ B ofunkcji przynale»no±ci

µA∩B(x) = µA(x) ∧ µB(x) = min(µA(x), µB(x))


De�nicja 4.2.12 Sum¡ zbiorów rozmytych A,B ⊆ X jest zbiór rozmyty A ∪ B o funkcjiprzynale»no±ci

µA∪B(x) = µA(x) ∨ µB(x) = max(µA(x), µB(x))


Uwaga 4.2.1 Zamiast de�nicji 4.2.11 i 4.2.12 mo»na spotka¢ alternatywne de�nicj¦ przeci¦-cia i sumy zbiorów rozmytych. W ogólno±ci przceci¦cie zbiorów rozmytych mo»na zde�niowa¢za pomoc¡ tak zwanej T-normy natomiast sum¦ zbiorów rozmytych za pomoc¡ tak zwanejS-normy.


4.2. TROCH� TEORII 13

Twierdzenie 4.2.1 (Twierdzenie o dekompozycji) Ka»dy zbiór rozmyty A ⊆ X mo»naprzedstawi¢ w postaci

A =⋃

α∈[0,1]

αAα

gdzie αAα oznacza zbiór rozmyty, którego elementom przypisano nast¦puj¡ce stopnie przy-nale»no±ci

µαAα(x) =

{α dla x ∈ Aα

0 dla x /∈ Aα

De�nicja 4.2.13 Dopeªnieniem zbioru rozmytego A ⊆ X jest zbiór rozmyty A o funkcjiprzynale»no±ci

µ bA = 1− µA(x)


De�nicja 4.2.14 Iloczynem kartezja«skim zbiorów rozmytych A ⊆ X i B ⊆ Y , oznaczanymA×B, nazywamy

µA×B = µA(x) ∧ µB(y) = min(µA(x), µB(y))

lubµA×B = µA(x)µB(y)

dla ka»dego x ∈ X i y ∈ Y .

De�nicja 4.2.15 Liczb¡ rozmyt¡ nazywamy zbiór rozmyty A okre±lony w zbiorze liczb rzeczy-wistych R, A ⊆ R taki, »e

1. A jest normalny,

2. A jest wypukªy,

3. µA(x) jest przedziaªami ci¡gªa.

De�nicja 4.2.16 Liczba rozmyta A ⊆ R jest

• dodatnia, je»eli µA(x) = 0 dla wszystkich x < 0.

• ujemna, je»eli µA(x) = 0 dla wszystkich x > 0.

De�nicja 4.2.17 Niech dane b¦d¡ dwie liczby rozmyte A1, A2 ⊆ R. Okre±lamy dla nichoperacje

• dodawania, co zapisujemy A1 + A2 = B, gdzie funkcja przynale»no±ci zbioru B przyj-muje posta¢

µB(y) = sup x1, x2

y = x1 + x2

min{µA1(x1), µA2(x2)}

• odejmowanie, co zapisujemy A1−A2 = B, gdzie funkcja przynale»no±ci zbioru B przyj-muje posta¢

µB(y) = sup x1, x2

y = x1 − x2


• mno»eniem, co zapisujemy A1·A2 = B, gdzie funkcja przynale»no±ci zbioru B przyjmujeposta¢

µB(y) = sup x1, x2

y = x1 · x2



14 ROZDZIA� 4. LOGIKA ROZMYTA

• dzieleniem, co zapisujemy A1 : A2 = B, gdzie funkcja przynale»no±ci zbioru B przyj-muje posta¢

µB(y) = sup x1, x2

y = x1 : x2


De�nicja 4.2.18 Relacj¡ rozmyt¡ R mi¦dzy dwoma niepustymi zbiorami (nierozmytymi) Xi Y nazywamy zbiór rozmyty okre±lony na iloczynie kartezja«skim X × Y .

De�nicja 4.2.19 Uogólnion¡ (rozmyt¡) reguª¡ wnioskowania modus ponens okre±la nast¦pu-j¡cy schemat wnioskowania

Przesªanka x jest A'

Implikacja IF x jest A THEN y jest B

-------------------------------------

Wniosek y jest B'

gdzie A,A′ ⊆ X oraz B,B′ ⊆ Y s¡ zbiorami rozmytymi, natomiast x i y s¡ zmiennymi ling-wistycznymi czyli zmiennymi przyjmuj¡cymi jako swoj¡ warto±¢ sªowa lub zadania wypowiedzianew j¦zyku naturalnym.

De�nicja 4.2.20 Uogólnion¡ (rozmyt¡) reguª¡ wnioskowania modus tollens okre±la nast¦pu-j¡cy schemat wnioskowania

Przesªanka y jest B'

Implikacja IF x jest A THEN y jest B

-------------------------------------

Wniosek x jest A'

gdzie A,A′ ⊆ X oraz B,B′ ⊆ Y s¡ zbiorami rozmytymi, natomiast x i y s¡ zmiennymi ling-wistycznymi czyli zmiennymi przyjmuj¡cymi jako swoj¡ warto±¢ sªowa lub zadania wypowiedzianew j¦zyku naturalnym.

De�nicja 4.2.21 Niech A i B b¦d¡ zbiorami rozmytymi, A ⊆ X oraz B ⊆ Y . Rozmyt¡implikacj¡ A → B nazywamy relacj¦ R okre±lon¡ w X × Y i zde�niowan¡ za pomoc¡ jednejz podanych reguª1

reguªa Mamdaniego (minimum)

µA→B(x, y) = µR(x, y) = µA(x) ∧ µB(y) = min[µA(x), µB(y)]

reguªa Larsena (iloczyn)

µA→B(x, y) = µR(x, y) = µA(x) · µB(y)

1Reguª tych jest znacznie wi¦cej.


Bibliogra�a

[1] red. Maciej Naª¦cz, Biocybernetyka i in»ynieria biomedyczna 2000, Akademicka O�cynaWydawnicza EXIT, Warszawa 2000.

[2] Józef Korbicz, A. Obuchowicz, D.Uci«ski, Sztuczne sieci neuronowe, Akademicka O�cynaWydawnicza PLJ, Warszawa 1994.

[3] John Hertz, Anders Korgh, Richard G. Palmer, Wst¦p do teorii oblicze« neuronowych,WNT, Warszawa 1995.

[4] Maciej Pili«ski, Danuta Rutkowska, Leszek Rutkowski, Sieci neuronowe, algorytmy gene-tyczne i systemy rozmyte, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1997.

[5] Stanisªaw Osowski, Sieci neuronowe w uj¦ciu algorytmicznym, WNT, Warszawa 1996.[6] J. �urada, M. Barski, W. J¦druch, Sztuczne sieci neuronowe, Wydawnictwo Naukowe

PWN, Warszawa 1996.[7] Marek Jan Kasperski, Sztuczna inteligencja. Droga do my±l¡cych maszyn, Helion, Gliwice,

2003


Elementy sztucznej inteligencji - Kolos Wikikolos.math.uni.lodz.pl/~archive/Sztuczna...

Documents

Transcript of Elementy sztucznej inteligencji - Kolos Wikikolos.math.uni.lodz.pl/~archive/Sztuczna...